Tajuk 5: MATRIKS

1. Penentu Matriks

Jika A matriks , maka penentu A, I AI = ad - bc

Contoh:

1)

Penentu = 2x3 – 5 x1 = 6 − 5 = 1

Latihan:

1)

2)

Penentu = 1 x 4 – (−2) x 3 = 4 + 6 = 10

2)

3)

Penentu = 1 x 4 – 2x (−3) = 4 + 6 = 10

3)

4)

Penentu = 1 x (−4) – 2 x 3 = − 4 − 6 = −10

4)

Latihan 1

1

Cari penentu bagi setiap matriks berikut:

Latihan:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

2

2. MATRIKS SONGSANG

i) Tukar kedudukan dari kepada .

Contoh:

1)

=

Latihan:

1)

2)

=

2)

3)

=

3)

4)

=

4)

5)

=

5)

Latihan 2

3

Tukar kedudukan dari kepada .

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

ii) Mencari Matriks Songsang dengan Kaedah rumus.

1. Matriks songsang bagi M=M -1

Misalnya jika matriks M =

maka matriks songsang M -1 = -1

2. Bagi matriks M = , yang mempunyai matriks songsang

4-1

M =

Cari matriks songsang bagi setiap matriks berikut:

Contoh:

a)

=

=

56

34

=

Atau

=

Latihan:

a)

Contoh:

b)

=

Latihan:

b)

5

-1

-1

= −1

-1

-1

=

atau

=

c)

=

=

atau

=

(c)

Contoh:

(d)

=

Latihan:

d)

6

-1

-1

=

=

atau

=

Latihan 3:

1. Dengan menggunakan rumus, cari matriks songsang bagi setiap matriks yang berikut:

a) b)

c) d)

7

e) f)

4. Menukarkan Persamaan Matriks Dalam Bentuk = A

Contoh 1:

=

Latihan:

1) =

8

-1

-1

=

Contoh 2:

=

=

Latihan:

2) =

Contoh 3:

=

=

Latihan:

3) =

Contoh 4:

=

=

Latihan:

3) =

Latihan 4

Tuliskan persamaan matriks berikut dalam bentuk = A− 1

1) = 2) =

9

-1

-1

-1

3) = 4) =

5) = 6) =

7) = 8) =

9) = 10) =

5. Penyelesaian Persamaan Matriks

i) Mengunakan kaedah matriks untuk mencari nilai x dan y

Contoh 1:

=

=

=

Latihan :

=

10

=

=

=

=

=

x = − 4, y= 4

Contoh 2:

=

=

=

=

=

=

Latihan 2:

=

11

-1

=

=

x = 3, y = −1

12

Latihan 5

Selesaikan persamaan matriks berikut dengan kaedah matriks.

1) = 2) =

3) = 4) =

13

5) = 6) =

7) = 8) =

9) = 10) =

14

6. Menukar Persamaan Serentak Kepada Persamaan Matriks

Contoh 1:

x + 2y = 53x + 4y = 6

1 x + 2 y = 53 x + 4 y = 6

Persamaan matriks

=

Latihan:

1) 2x + 3y = 7 4x + 5y = 8

Contoh 2:

x − 2y = 53x − 4y = 6

1x − 2y = 53x + 4y = 6

Persamaan matriks

=

Latihan:

2) 2x − 3y = 7 4x + 5y = 8

Contoh 3:

x + 2y = 5−3x + 4y = 6

1x + 2y = 5−3x + 4y = 6

Persamaan matriks

=

Latihan:

3) 2x + 3y = 7 −4x + 5y = 8

Latihan 6

15

Tukarkan persamaan serentak berikut kepada bentuk Matriks

1) x + 2y = 5 3x – 4y = 6

2) 2x + 4y = 5 6x + 8y = 6

3) 4x + 3y = 7 2x + y = 8

4) 2x - 4y = 5 6x + 8y = 6

5) 2 x + 4y = 5 -6x + 8y = 6

6) 2x + 4y = 5 6x – 8y = 6

7) 4x - 3y = 7 2x + y = 8

8) 4x + 3y = 7 -2x + y = 8

9) 4x + 3y = 7 2x –y = 8

10) 2x + 3y = 6 4x + 5y = 7

Penyelesaian Soalan Berformat SPM

16

Contoh :

1. a) Carikan matrik songsang bagi

b) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai m dan n yang memuaskan kedua-dua persamaan berikut:

m – 2n = 23m – 2n =10

Penyelesaian

a) Matriks sonsang bagi

=

=

=

=

b) m – 2n = 23m – 2n = 10

=

=

=

=

=

=

=

=

maka m=4 dan n=1

17

Latihan Kendiri:

1. i) Carikan matriks songsang bagi

ii) Seterusnya, hitungkan nilai k dan nilai m yang memuaskan

persamaan matriks berikut: = .

Penyelesaian

i) ii)

Contoh:

18

2 i) Diberi bahawa matriks F = , G= dan FG = . Cari

nilai m dan n.

ii) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai u dan v yang memuaskan persamaan matriks berikut:

=

Penyelesaian

i) Jika FG =

maka G = F

F =

F =

=

=

F −1 =

Bandingkan G dan F

=

m = , n =

ii)

=

Penyelesaian

=

=

=

=

=

=

u = − 15, v = 13

Latihan Kendiri:

a) Diberi bahawa matriks

19

-1

-1 -1

-1

D = , E =

dan DE =

Cari nilai m dan n.

b) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai u dn w yang memuaskan persamaan.

=

Penyelesaian

a) b)

20

3. Diberi bahawa ialah matriks songsang bagi .

i) Carikan nilai r dan nilai k.

ii) Seterusnya dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan matriks berikut:

=

Penyelesaian

(i) Songsang =

=

=

=

Bandingkan =

k = 5, r = -2

ii)

y

x =

=

=

=

=

=

y

x =

x = 7, y = − 4

Latihan Kendiri:

21

1. Diberi bahawa ialah matriks songsang bagi

a) Carikan nilai k dan p.

b) Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan y yang memuaskan persamaan matriks berikut:

=

Penyelesaian

a) b)

Contoh Pemarkahan:

1) i) Carikan matriks songsang bagi

ii) Seterusnya, hitungkan nilai k dan nilai m yang memuaskan persamaan matriks berikut:

22

2k + m = 06k + 4m = 1

(7 markah)Penyelesaian

i) =

=

=

ii) =

=

=

=

=

=

=

=

k = , m= 1

* mewakili satu markah.Kesalahan umum.

Analisis Kesalahan

Dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan kedua-dua persamaan berikut:

5 x + 3 y = 3-4x + y = -16

SALAH BETUL

23

-1 * *

*

-1

**

*

*

1. Kesilapan dalam menulis serentak dalam bentuk matriks.

=

1.

=

2. Kesilapan menghitung nilai penentu.

=

=

2.

=

=

3. Kesilapan dalam mendarab dua matriks.

=

3.

=

4.

=

4.

=

5. Sebagai jawapan akhir

=

5.

x = 3, y = -4

24

-1

SOALAN – SOALAN SPM

1. SPM 2003 Kertas 2, soalan 11

M ialah satu matriks 2 x 2 dengan keadaan M

a) Carikan matriks M.b) Tuliskan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan

matriks.

3x − 2y = 7 5x − 4y = 9

Seterusnya, dengan mengunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan y [ 6 markah]

2. SPM 2004 Kertas 2, soalan 8

a) M atriks songsang bagi ialah . Carikan nilai m dan p.

b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear srentak berikut:

3x − 4y = − 1 5x − 6y = 2 [6 markah]

3. SPM 2005 Kertas 2, Soalan 11

Diberi bahawa matriks dan matriks dengan

keadaan .

a) Carikan nilai k dan nilai h.b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hiutngkan nilai x dan y yang

memuaskan persamaan linear serentak berikut:

2x − 5y = − 17 x + 3y = 8 [ 7 markah]

4. SPM 2004 Julai, Kertas 2, Soalan 9

25

a) Carikan matriks songsang bagi

b) Dengan mengunakan kaedah matriks, hitunhkan nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut.

2x + 3y = 1 5x + 6y = − 2 [6 markah]

5. SPM 2005 Julai, Kertas 2, Soalan 9

P ialah matriks 2 x 2 dengan keadaan .

a) Carikan matriks P. b) Tuliskan persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks:

x − 2y = 8 3x + 4y = − 6 Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y. [ 6markah]

26

JAWAPAN

Latihan 1:

1) −22) 383) 384) −385) 26) −27) 108) 109) −1010) 2

Latihan 2:

1)

Latihan 3:

a)

2) b)

3) c)

4) d)

5) e)

6) f)

7)

8)

27

Latihan 4:

1) = 2) =

3) = 4) =

5) = 6) =

7) = 8) =

9) = 10) =

Latihan 5

1) x = 1, y = 2 2) x = -1, y = 13) x = 3, y = 1 4) x = 1, y = 0

5) x = , y = 6) x = 0, y = 1

7) x = , y = 8) x = 1, y = −1

9) x = -4, y = 3 10) x = 1, y = 0

Latihan 6

-1 -1

-1

28

1) = 2) =

3) = 4) =

5) = 6) =

7) = 8) =

9) = 10) =

Soalan – soalan SPM

1. a) b) , x = 5 dan y = 4

2. a) m = dan p = 4 b)

3. a) b)

4. a) b)

5. a) b)

29