tailieu.vncty.com bai tap va bai giai phuong phap tinh
DESCRIPTION
http://tailieu.vncty.com/index.phpTRANSCRIPT
Bài 2: Dùng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng của
x3 + 3x2
- 3 = 0
với độ chính xác 10-3, biết khoảng phân ly nghiệm (-3 ; -2).
Lời giải :
Ta có: f (x) = x3 + 3x2
- 3
f’ (x) = 3 x2 +6x <=> f’(x) = 0 => x1 = 0 x2 = -2Bảng biến thiên:
X -2 0 +∞
f (x) 0 0 +∞
f (x) -∞ 1 -3
Ta có :
f (-3) = - 3 < 0 Khoảng phân ly nghiệm [ -3; -2]
f (-2) = 1 > 0
Áp dụng phương pháp chia đôi ta có:
C1 = a+b¿
2 ¿¿¿ =
(−3)+(−2 )¿2 ¿¿¿¿¿¿
= -2.5 => F1(C1) = 0.125 >0 => Khoảng phân ly nghiệm [ -3;-2.5 ]
C2 =
(−3)+(−2 . 5)¿2 ¿¿¿¿¿¿
= -2.75 => F2(C2) = -1.109 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.75; -2.5 ]
C3 =
(−2. 75 )+(−2.5)¿2 ¿¿¿¿¿¿
= -2.625 => F3(C3) = - 0.416 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.625; -2.5 ]
C4 =
(−2. 625 )+(−2. 5 )¿2 ¿¿¿¿¿¿
= -2.5625 => F4(C4) = - 0.127 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.5 ]
C5 =
(−2. 5625 )+(−2. 5)¿2 ¿¿¿¿¿¿
= -2.53125 => F5(C5) = 0.004 >0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ]
C6 = -2.546875 => F6(C6) = - 0.061 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.546875; -2.53125 ]
C7 = -2.5390625=> F7(C7) = - 0.029 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.5390625; -2.53125 ]
C8 = -2.53515=> F8(C8) = - 0.012 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.53515; -2.5390625 ]
C9 = -2.537106=> F9(C9) = - 0.020 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.537106; -2.5390625 ]
C10 = -2.538084=> F10(C10) = - 0.024 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [-2.538084; -2.5390625 ]
Ta lấy nghiệm gần đúng: ξ = - 2.538084
Đánh giá sai số: |α – bn| ≤ bn - an = |-2.5390625 –
(-2.538084) | = 9,785.10- 4 < 10-3
Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10-3
a) x3 + 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là ( -2.75; -2.5)
b) √ x+1 = 1x
Lời giải :
a) x3 + 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là [ -2.75; -2.5]
<=> x3 = 3 - 3x2 <=> (3 - 3x2 )1/3
Ta nhận thấy | f ’ (x) | ≤ 0.045< 1 nên ta chọn hàm lặp (x) = (3 - 3x2 )1/3
Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5]
Do f (- 2.5) < 0 nên ta chọn đầu b = - 2.5 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = - 2.5
Ta có quá trình lặp .
Đặt (x) = (3 - 3x2 )1/3 <=> ’(x) = 13 (3 – 3x)-2/3 =
13 .
13√(3−3 x2 )2
Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5]
xo = - 2.5 ; q =
13 . Vì α € [ -2.75; -2.5]
ta có: | ’(x) | ¿ 13 ∀ x € [ -2.75; -2.5]; ’(x) < 0 ∀ x € [ -2.75; -2.5]
xn + 1 = (3 - 3x2 )1/3
xo = - 2.5
x1 = (3 – 3.(-2.5)2 )1/3 = -2.5066
x2 = (3 – 3.( x1)2 )1/3 = -2.5119
x3 = (3 – 3.( x2)2 )1/3 = -2.5161
x4 = (3 – 3.( x3)2 )1/3 = -2.5194
x5 = (3 – 3.( x4)2 )1/3 = -2.5221
x6 = (3 – 3.( x5)2 )1/3 = -2.5242
x7 = (3 – 3.( x6)2 )1/3 = -2.5259
x8 = (3 – 3.( x7)2 )1/3 = -2.5272
x9 = (3 – 3.( x8)2 )1/3 = -2.5282
x10= (3 – 3.( x9)2 )1/3 = -2.590
x11 = (3 – 3.( x10)2 )1/3 = -2.5296
x12 = (3 – 3.( x11)2 )1/3 = -2.5301
Ta lấy nghiệm gần đúng: ξ = - 2.5301
Đánh giá sai số: |α - x12 | = q
1−q | x12 - x11 | = 2.5.10 - 4 < 10-3
b) √ x+1 = 1x
Đặt f(x) = √ x+1 - 1x
Từ đồ thị ta có :f (0.7) = - 0.12473 < 0f (0.8) = 0.09164 > 0
f (0.7) . f (0.8) < 0 . Vậy ta có khoảng phân ly nghiệm là [ 0.7; 0.8]Ta có:
<=> x =
1
√x+1 = (x + 1 ) - 1/2
Đặt (x) = (x + 1 ) - 1/2 <=> ’(x) = -12 (x + 1) - 3/2 = -
13 .
1
√( x+1 )3
Ta nhận thấy | f ’ (x) | ≤ 0.4141< 1 nên ta chọn hàm lặp (x) = (x + 1 ) - 1/2
Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ 0.7; 0.8]
Do f (0.7) < 0 nên ta chọn đầu b = 0.8 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = 0.7.
Ta có quá trình lặp
q = 0.4141 . Vì α € [ 0.7; 0.8]
ta có: | ’(x) | ¿12 ∀ x € [ 0.7; 0.8] ; ’(x) < 0 ∀ x € [ 0.7; 0.8]
xn + 1 = (x + 1 ) -1/2
xo = 0.7
x1 = (0.7 + 1 ) -1/2 = 0.766964988
x2 = (x1+ 1 ) -1/2 = 0.75229128
x3 = (x2+ 1 ) -1/2 = 0.755434561
x4 = (x3+ 1 ) -1/2 = 0.754757917
Ta lấy nghiệm gần đúng: ξ = 0.754757917
Đánh giá sai số: |α - x4 | = q
1−q | x4 – x3 | = 4,7735.10-4 < 10-3
Bài 4: Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm đúng với độ
chính xác 10-2
a) x3 + 3x2
+ 5 = 0
b) x4 – 3x + 1 = 0
Lời giải :
a) x3 + 3x2
+ 5 = 0
Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:
f (x) = x3 + 3x2
+ 5
<=> x3 = 5 - 3x2
Đặt y1 = x3
y2 = 5 - 3x2
y
-2 0 1 x
-1
-2
Từ đồ thị ta có:
f (-2 ) = - 9 < 0
Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1 ]
f (-1 ) = 1 > 0
Vì f (-2 ) . f (-1 ) < 0 * Áp dụng phương pháp dây cung ta có:
Do f (-2 ) = - 9 < 0 => chọn xo = -2
x1 = xo –
f ( x0 ) .(b−a)f (b)−f ( a) = -1.1
f (x1) = 0.036 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.1 ]
x2 = x1 –
f ( x1 ).(b−a )f (b )− f (a ) = -1.14
f (x2) = 0.098 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.14 ]
x3 = x2 –
f ( x2 ).( b−a)f (b )− f ( a) = -1.149
f (x3) = 0.0036> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.149 ]
x4 = -1.152 => f (x4) = 0.015> 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ; -1.152 ]
x5 = -1.1534 => f (x5) = 0.0054 > 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1534 ]
x6 = -1.1539 => f (x6) = -1.1539 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1539 ].
Ta chọn nghiệm gần đúng ξ = - 1.53
Đánh giá sai số: |ξ - x6 | ¿ |f ( x )
m | với m là số dương : 0 < m ¿ f’(x)
∀ x € [-2 ;-1] |ξ - x6 | ¿ 1.36 .10 -3 < 10 -2
* Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) ta có:
f ’(-2) = 19 > 0
f ’’(-2) = -12 < 0
=> f ’(-2) . f ’’(-2) < 0 nên ta chọn x0 = -2
Với x0 = -2 ta có:
x1 = x0 -
f ( x0 )
f ' ( x0 ) = -1.4
x2 = x1 -
f ( x1)
f ' ( x1 ) = -1.181081081
x3 = x2 -
f ( x2)
f ' ( x2 ) = -1.154525889
x4 = x3 -
f ( x3)
f ' ( x3 ) = -1.15417557
Ta chọn nghiệm gần đúng ξ = - 1.154
Đánh giá sai số: |ξ - x4 | ¿ |f ( x )
m | với m là số dương : | f’(x) |¿ m > 0
∀ x € [-2 ;-1] |ξ - x4 | ¿ 1.99 .10 - 4 < 10 -2
b) x4 – 3x + 1 = 0
Tìm khoảng phân ly nghiệm :
f (x) = x4 – 3x + 1
f’(x) = 4x3 - 3 <=> f’(x) = 0 => => x =
3√ 34 =
3√0 .75
Bảng biến thiên:
X -∞ 3√0 .75 +∞
f (x) -∞ 0 +∞
f (x) - 1.044
Ta có :
f (0) = 1 > 0
f (1) = -1< 0 Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 1 ] ; [ 1; 2 ]
f (2) = 11> 0
* Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có:
Do f (1 ) = - 1 < 0 => chọn xo = 1
x1 = xo –
f ( x0 ) .(b−a)f (b)−f ( a) = 0.5
f (x1) = - 0.4375 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0; 0.5 ]
x2 = x1 –
f ( x1 ).(b−a )f (b )− f (a ) = 0.3478
f (x2) = - 0.0288 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3478]
x3 = x2 –
f ( x2 ).( b−a)f (b )− f ( a) = 0.3380
f (x3) = - 0.00095 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3380]
x4 = 0.3376 => f (x4) = 0.0019 > 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [0.0019; 0.3380]
Ta chọn nghiệm gần đúng ξ = 0.3376
Đánh giá sai số: |ξ - x4 | ¿ |f ( x )
m | với m là số dương : 0 < m ¿ f’(x)
∀ x € |ξ - x4 | ¿ 1.9.10 - 4 < 10 -2
* Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có:
f ’(1) = 1 > 0
f ’’(1) = 12 > 0
=> f ’(1) . f ’’(1) > 0 nên ta chọn x0 = 0
Với x0 = 0 ta có:
x1 = x0 -
f ( x0 )
f ' ( x0 ) = 0.3333
x2 = x1 -
f ( x1)
f ' ( x1 ) = 0.33766
x3 = x2 -
f ( x2)
f ' ( x2 ) = 0.33766
Ta chọn nghiệm gần đúng ξ = 0.3376
Đánh giá sai số: |ξ - x3| ¿ |f ( x )
m | với m là số dương : | f’(x) |¿ m > 0
∀ x € [ 0 ; 1 ] |ξ - x3| ¿ 6 .10 - 5 < 10 -2
* Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 1; 2 ] ta có:
Do f (1 ) = - 1 < 0 => chọn xo = 1
x1 = xo –
f ( x0 ) .(b−a)f (b)−f ( a) = 1.083
f (x1) = - 0.873<0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.083; 2]
x2 = x1 –
f ( x1 ).(b−a )f (b )− f (a ) = 1.150
f (x2) = - 0.7 <0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.150; 2]
x3 = x2 –
f ( x2 ).( b−a)f (b )− f ( a) = 1.2
f (x3) = - 0.526< 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2 ; 2]
x4 = 1.237 => f (x4) = -0.369 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.237 ; 2]
x5 = 1.2618 => f (x5) = -0.25 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.2618 ; 2]
x6 = 1.2782 => f (x6) = - 0.165 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.2782 ; 2]
x7 = 1.2889 => f (x7) = - 0.1069 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.2889; 2]
x8 = 1.2957 => f (x8) = - 0.068 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.2957; 2]
x9= 1.3000 => f (x9) = - 0.0439 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.3; 2]
x10= 1.3028 => f (x10) = - 0.027 < 0
=> Khoảng phân ly nghiệm [1.3028; 2]
Ta chọn nghiệm gần đúng ξ = 1.30
Đánh giá sai số: |ξ - x10 | ¿ |f ( x )
m | với m là số dương : 0 < m ¿ f’(x)
∀ x € |ξ - x10 | ¿ -2.8.10 - 3 < 10 -2
* Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 1; 2 ] ta có:
f ’(1) = 1 > 0
f ’’(1) = 12 > 0
=> f ’(1) . f ’’(1) > 0 nên ta chọn x0 =2
Với x0 = 0 ta có:
x1 = x0 -
f ( x0 )
f ' ( x0 ) = 1.6206896
x2 = x1 -
f ( x1)
f ' ( x1 ) = 1.404181
x3 = x2 -
f ( x2)
f ' ( x2 ) = 1.320566
x4 = x3 -
f ( x3)
f ' ( x3 ) = 1.307772
x5 = x4 -
f ( x4 )
f ' ( x4 ) = 1.307486
Ta chọn nghiệm gần đúng ξ = 1.30
Đánh giá sai số: |ξ - x5| ¿ |f ( x )
m | với m là số dương : | f’(x) |¿ m > 0
∀ x € [ 1; 2 ] |ξ - x5| ¿ -7.486.10 - 3< 10 -2
Ta chọn nghiệm gần đúng ξ = 0.3376
Đánh giá sai số: |ξ - x4 | ¿ |f ( x )
m | với m là số dương : 0 < m ¿ f’(x)
∀ x € |ξ - x4 | ¿ 1.9.10 - 4 < 10 -2
Bài tập 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (1) bằng
phương pháp tiếp tuyếnvới độ chính xác Bài giải:
B1:tìm khoảng phân ly
Ta tách phương trình (1)thành
Dựa vào phương pháp đồ thị ta tìm dươc khoảng phân ly là : vì
2 4 0x x 510
1
2
2
4
xy
y x
0;0,5
vậy B2: tìm nghiệm của phương trình
nên ta chọn
Vậy ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là : x= 0,30991Bài tập 6:
Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trìnhAx=b. Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy:a.
Bài giải:Lập bảng gauss :
Quá trình
ai1 ai2 ai3 ai4
(cột kiểm tra)Thuận 1,5
0,1-0,3
-0,21,50,2
0,1-0,1-0,5
0,40,80,2
100
-0,133331,486671,6
0,066670,09333-0,48
0,266670,826670,28
11
0,06278-1,48448
0,55605-0,33326
11
1 0,224490,541960,32397
( )
(0,5)
0
0
of
f
( ) (0,5) 0of f
, ,, , ,,0; 0 0f f f f 0 0x a
0
0
( )1 0 ,
( )
10 0,3024
3,30685x
x
fx x
f
2
0,023590,3024 0,3099
3,14521x
3
0,000020,3099 0,30991
3,14076x
4
0,000010,30991 0,30991
3,14075x
1,5 0,1 0,1
0,1 1,5 0,1
0,3 0,2 0,5
A
0,4
0,8
0,2
b
1
2
3
x
x x
x
0,4
0,8
0,2
B
ija
Vậy nghiệm của phương trình là : (0,32397 ; 0,54196 ;0,22449 )
b)
Bài giải:Lập bảng gauss :
Quá trình
ai1 ai2 ai3 ai4
(cột kiểm tra)
Thuận2,63-6
-4,533,5
-2,04,33
19,073,21-18,25
1 -1,730778,9231-6,88462
-0,769236,60769-1,61538
7,33462-18,7938625,75772
1 0,806573,93754
-2,294099,96378
1
11 2,53045
-4,335081,77810
Bài 7: Giải hệ phương trình:
{−8 x+ y+z ¿ {x5 y+z ¿ ¿¿¿(I)
Bằng phương pháp lặp đơn,tính lặp 3 lần,lấy x(a)=g và đánh giá sai số của x3
Giải: Từ phương trình (I)
2,6 4,5 2,0
3,0 3,0 4,3
6,0 3,5 3,0
A
19,07
3,21
18,25
b
1
2
3
x
x x
x
19,07
3, 21
18,25
B
ija
{x= y .1 /8+z . 1/8−1 /8 ¿ { y=x .1 /5+z .1 /5−16/5 ¿ ¿¿¿
{x=0 ,125 y+0 , 125 z−0 , 125¿ { y=0,2 x+0,2 z−3,2¿ ¿¿¿
=> B=
(0 0 ,125 0 ,125 ¿ ) (0,2 0 0,2 ¿ ) ¿¿
¿¿ ; g =
(−0 , 125 ¿ ) (−3,2 ¿ )¿¿
¿¿
Ta xet r = maxi ∑j=1
3
|bij|=>
{r 1=0 , 25 ¿ {r2=0,4 ¿ ¿¿¿ r = maxi
∑j=1
3
|bij| =0,5 <1
phương pháp lặp đơn x(m) =b.x(m-1) +g , hội tụ với mọi x0 cho trước ta có bảng sau:
X Y ZB 0
0,20,25
0,13500,25
0,1250,20
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
-0,125-0,74375-0,89453125-0,961835937
-3,2-3,575-3,865-3,94484375
-1,75-2,58125-2,8296875-2,939882875
Đánh giá sai số x(3)
||x(3)- x(2) ||= max (0,067304687;0,07984375;0,110195375)Áp dụng công thức (3.36) SGK ta có
||x(3) - 2||¿
0,51−0,5 .0,110195375 = 0,110195375
Vậy ta có nghiệm của phương trình là:
X= -0,961835937 ±0,110195375Y= -3,94484337 ±0,110195375Z= -2,939882875 ±0,110195375
Bâi 8 : Giải hệ phương trình
1 2 3
1 2 3
1 2 3
24,21 2, 42 3,85 30,24
2,31 31, 49 1,52 40,95
3, 49 4,85 28,72 42,81
x x x
x x x
x x x
1 2 3
2 1 3
3 1 2
1, 24907 0,09995 0,15902
1,30041 0,07335 0,04826
1, 49059 0,1215 0,1689
x x x
x x x
x x x
Ta có:
pt hội tụ
Lập bảng:
B0-0,07335-0,12151
-0,099950-0,16887
-0,15902-0,048260
1,24907 1,30041 1,490590,982010,957470,944160,944520,944410,944520,94444
1,136851,174371,173261,174311,174291,174311,17429
1,119211,179281,177731,177741,177511,177531,17751
Nghiệm bằng: (0,94444; 1,17429; 1,17751)
Bài 9Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm y=f(x) cho dưới dạng bảngX 0 2 3 5Y 1 3 2 5
Giải:
ở đây ta thấy n=3 nên đa thức nội suy là một đa thức bậc 3 có dạng
P3(x)= yo + lo (x) + y1L1(x) + y2 l2(x) + y3 l3(x)
p3(x)=
( x−2 )(x−3)( x−5 )(0−2 )(0−3 )(0−5) +3.
( x−0 )( x−3 )(x−5)(2−0)(2−3)(2−5) +2.
( x−0 )( x−2)( x−5 )(3−0)(3−2)(3−5) + 5.
( x−0 )( x−2)( x−3 )(5−0)(5−2)(5−3)
p3(x) =
x3−10 x 2+31 x−30−30 +
x3−8 x2+15 x6 +
x3−5x 2+6 x30
p3(x) =
9 x3−65 x 2+124 x+3030
1
2
3
0 0,09995 0,15902 1, 24907
0,07335 0 0,04826 1,30041
0,12151 0,16887 0 1, 49059x
x
f x
x
1
2
3
0, 25897 1
0,12171 1
0, 29038 1
r
r
r
1x 2x 3x
0x1x2x3x4x5x6x7x
Vậy đa thức Lagrange cần tìm la : p3(x) =
9 x3−65 x 2+124 x+3030
Bài 10 :
Cho bảng giá trị của hàm số y= f(x)
X 321,0 322,0 324,0 325,0
Y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188
Tính gần đúng t (324,5) bằng đa thức nội suy Lagrange ?
Giải :
Gọi x* =323,5
y(x* ) =p3 (x* ) = y0l0(x* )+ y1l1(x* ) +y2l2(x* ) + y3l3(x* )
Ta có
l0(x* ) =
(323 , 5−322 , 8 )(323 , 5−324 , 2)(323 , 5−325 , 0 )(321 , 0−322 , 8 )(321 , 0−324 , 2)(321 , 0−325 , 0 )= - 0,031901041
= -0,03190
L1(x* )=
(323 , 5−321 , 0 )(323 , 5−324 , 2)(323 , 5−325 , 0 )(322 , 8−321 , 0 )(322 , 8−324 , 2)(322 , 8−325 , 0 )= 0,473484848
= 0,43748
L2(x* )=
(323 , 5−321, 0 )(323 ,5−322 , 8)(323 , 5−325 ,0 )(324 , 2−321 , 0 )(324 , 2−322 , 8)(324 ,2−325 , 0)=0,732421875
=0,73242
L3(x* )=
(323 , 5−321, 0 )(323 ,5−322 , 8)(323 , 5−324 ,2 )(325 , 0−321 , 0 )(325 ,0−322 , 8)(325 , 0−324 , 2)=-0,174005681
= -0,17401
y (323,5)= 2,50651.(-0,03190)+2,50893.0,47348+2,51081.0,73242+2,51188.(-0,17401) =2,50985
Bài 11:
Cho bảng giá trị của hàm số y =f(x)
X -1 0 3 6 7
Y 3 -6 39 822 1011
a. Xây dựng đa thức nội suy Niwton tiến xuất phát từ nút x0 =-1 của y = f(x)
b. Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f(0,25)
Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều
a. Ta có bảng ký hiệu
X Y THC1 THC2 THC3 THC4
-1
0
3
6
7
3
-6
39
822
1611
⟩¿¿¿
-9
⟩¿¿¿
15
⟩¿¿¿
261
⟩¿¿¿
89
⟩¿¿¿
6
⟩¿¿¿
41
⟩¿¿¿
132
⟩¿¿¿
5
⟩¿¿¿
13
⟩¿¿¿
1
Đa thức nội suy : p4(x) = 3-9(x+1)+6(x+1)x+5(x+1)x(x-3)+(x+1)x(x-3)(x-6)
= 3-9x-9+6x2+6x+5x3-10x2-15x+x4-8x3 +9x2 +18x
p4(x) = x4-3x3 +5x2 – 6
b. Tính f(-0,25) = (-0,25)4 - 3(0,25)3 |+5(0,25)2 –b = -5,636719
Bài 12 : Cho bảng giá trị của hàm số y=sinx
X 0,1 0,2 0,3 0,4
Y=f(x) 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942
a. Dùng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0,1 tính gần đúng sin(0,4) và đánh giá sai số của giá trị nhận được
b. Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ x3 =0,4 tính gần đúng sin (0,46) và đánh giá sai số
Giải:
a. Đa thức nội suy bước đều với h=0,1 ta có bảng sai phân:
X Y Δ Y Δ 2Y Δ 3Y
0,1
0,2
0,3
0,4
0,09983
0,19867
0,29552
0,38942
⟩¿¿¿
0,09884
⟩¿¿¿
0,09685
⟩¿¿¿
0,09390
⟩¿¿¿
-0,00199
⟩¿¿¿
-0,00295
⟩¿¿¿
-0,00096
Áp dụng công thức đa thức nội suy Niwton tiến ta tính:
Sai (0,014) = pn(x) [ x=0,1+0,1t] = y0 + t.
Δy0
1 ! +t( t−1 )
2! Δ2y0 +t( t−1 )( t−2)
3 ! Δ3y0
Theo bài ra ta có : x=0,14 0,1+0,1t =0,1ϕ => t=0,4
Thay vào trên ta có : Sin(0,14) = 0,09983 + 0,4.0,09884 +0,4( 0,4−1 )
2 (0,00199)
+0,4( 0,4−1 )(0,4−2)
6 (-0,00096) = 0,13954336
Đánh giá sai số :
Ta có : Π (x) = (x-0,1)(x-0,2)(x-0,3)(x-0,4)
|Π (0 , 14 )| = |(0 ,14−0,1)(0 , 14−0,2)(0 , 14−0,3 )(0 ,14−0,4 )| = 0,00009984
=> |sin (0 ,14 )−0 ,13954336| ¿0 ,00009984
4 ! =4,16.10-6
=> Nghiệm gần đúng sin(0,14) = 0,13954±10-5
b. Lập bảng sai phân với đa thức nội suy lùi
X Y Δ 1Y Δ 2Y Δ 3Y
0,4
0,3
0,2
0,38942
0,29552
0,19867
⟩¿¿¿
0,0939
⟩¿¿¿
0,09686
⟩¿¿¿
-0,00295
⟩¿¿¿
-0,00199
⟩¿¿¿
-0,00096
0,1 0,09983⟩¿¿¿
0,09884
Dựa vào công thức sai phân lùi ta có
Sin(0,46) = p(x) ; [x= 0,4 + 0,1t = mọi người nhập trong tài liệu.Sai số tính theo công thức (4.7) ở trênta có :
Ta quy tròn số0,4439446 đến 5 chữ số lẻ thập phân :
Bài 13Cho bảng giá trị: X 2 4 6 8 10 12Y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05
Hãy tìm công thực nghiệm có dạng y = ax + b
Xi Yi X2i xi.yiN = 6 2
4681012
7,328,249,2010.911,0112,05
4163264100144
14,6432,9655,2081,52110,1144,6
Tổng 42 58,01 364 439,02
Giá trị công thức na+b∑xi =∑yia∑xi +b∑xi2 = ∑xiyi
Ta có hệ phương trình : {6a+42 b=58 ,01 ¿ ¿¿¿
=>{a=6 ,373333338 ¿¿¿¿
=>{a=6,4 ¿ ¿¿¿
Vậy công thức nghiệm có dạng: y=6,4x +0,5
Bài 13: Cho bảng giá trị
x 2 4 6 8 10 12y= f(x) 7,23 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05
Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = ax + bTa lập bảng số:
n= 6 x i x i2 y i x i y i
2 4 7,32 14,64
5sin(0,46) 0, 4439446 3,8.10
5sin(0,46) 0, 44394 5.10
4 16 8,24 32,966 36 9,20 55,28 64 10,19 81,5210 100 11,01 110,112 144 12,05 144,6
∑ 42 364 58,01 439,02
Áp dụng công thức:
Thay số ta có hệ phương trình:
{6a+42 b=58 ,01 ¿ ¿¿¿
Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là y=0,5+6,4 x
Bài 14: Cho bảng giá trị
x 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81y= f(x) 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28
Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = a + bx + cx2
Ta lập bảng số:
n= 5
x i x i2 x i
3 x i4 y i x i y i x i
2 y i
0,78 0,6084 0,474552 0,37015056 2,50 1,95 1,5211,56 2,4336 3,796416 5,92240896 1,20 1,872 2,920322,34 5,4756 12,812904 29,98219536 1,12 2,6208 6,133123,12 9,7344 30,371328 94,75854336 2,25 7,02 21,90243,81 14,5161 55,306341 210,7171592 4,28 16,3068 62,128908
∑ 11,61 32,7681 102,761541
341,7504574 11,35 29,7696 94,605748
Áp dụng công thức:
n.a + b.∑ x i+c .∑ xi2=∑ yi
a. ∑ x i+b .∑ xi2+c∑ x i
3=∑ xi yi
a. ∑ x i2+b .∑ xi
3+c∑ x i4=∑ x i
2 y i
Ta có hệ phương trình :
{5a+11 ,61 b+32 , 7681c=11 ,35¿ {11 , 61 a+32 , 7681b+102 ,761541c=29 , 7696 ¿¿¿¿
n .a+b∑ x i=∑ y i
a .∑ x i+b .∑ x i2=∑ x i . y i
⇒¿ {a=5 , 022553658≈5 ¿ {b=−4 , 014714129≈−4 ¿¿¿Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là : y=5−4 x+x2
.
CHƯƠNG 5: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Bài 15: Cho bảng giá trị
x 50 55 60y=f(x) 1,6990 1,7404 1,7782
Tính gần đúng y’(55) và y’(60) của hàm số y = lgx. So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx.
Bài giảiTa sử dụng công thức nội suy Niwtơn tiến bước đều:
f’(x)= 1h [∆ y0−
12
∆2 y0+13
∆3 y0−14
∆42 y0+…] (1)
Để tính gần đúng đạo hàm.Lập bảng sai phân:
x y y02y0
50 1,6990> 0,0414> 0,0378 > - 0,003655 1,7404
60 1,7782
Thay vào công thức (1) ta được:
+) f’(55)= 15 [0,0414−1
2(−0,0036)] = 0,00864
+) f’(60)= 15 [0,0378−1
2(−0,0036)] = 0,00792
*) So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx- Tính đạm hàm đúng:
Ta có: y '=( lgx )'=¿ 1
x . ln 10
y ' (55)=¿ (lg55)’ = 1
55. ln10=0,007896
y ' (60 )=(lg 60 )'=¿ 1
60. ln10=0,007238
- So sánh: +) |y ' (55 )−(lg55)'|=|0,00864−0,007896|=0,000744
+) |y ' (60 )−(lg60) '|=|0,00792−0,007238|=0,000682
Bài 16: Cho bảng giá trị
x 0,11 0,13 0,15 0,17 1,18y=f(x) 81,81818
269,230769 60,00000
052,941176 50,000000
Hãy tính y’(0,11). Kết quả làm tròn đến 6 chữ số lẻ thập phân.Bài giải:
Lập bảng tỉ hiệu:x y Δy Δ2 y 3 Δy Δ4 y
0,11 81,818182- 629,37065
- 461,53845- 352,9412
- 294,1176
419,805
2714,93125
1960,786667
-24681,22917
- 15082,89166137119,1073
0,13 69,2307690,15 60,0000000,17 52,9411760,18 50,000000
Ta có: ⇒P4 ( x )= 81,818182– 629,37065 (x - 0,11) + 4195,805(x - 0,1)(x – 0,13) –
- 4681,2291 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) ++ 137119,1073 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) (x- 0,17)
⇔ P4 ( x )= 137119,1073x4 - 101467,9292 x3 + + 29809,57226 x2- 4338,14816x+ 313,9906839.
⇒P ' 4 ( x )= 548476,4292 x3 – 304403,7876 x2 + 59619,144452x- 4338,148167
Vậy ta có y¿ (0 ,11 )= P’4(0,11)= 548476,4292 (0,11)3 – 304403,7876(0,11)2 + 59619,144452 (0,11)- 4338,148167 = -733,3059747
y¿ (0 ,11)= P’4(0,11)= -733,3059747
Câu 17. Cho bảng giá trị. x 0,12 0,15 0,17 0,2 0,22y 8,333333 6,666667 5,882353 5,000000 4,545455
Hãy tính y¿ (0 ,12 ). Kết quả làm tròn tới 6 chữ số thập phân.
Giải: Lập bảng tỉ hiệu:
x y Δy Δ2 y 3 Δy Δ4 y0,12 8,333333
- 55,555533
- 39,215700- 29,411767
- 22,727250
326,796666
196,078660
133,690340
-1633,975075
- 891,2617147427,133610
0,15 6,666667
0,17 5,8823530,2 5,0000000,22 4,545455
⇒P4 ( x )= 8,333333 – 55,555533 (x -0,12) + 326 ,796666( x−0 ,12 )( x−0 ,15 )−1633,975075 (x-0,12 ). ( x−0 , 15 ).(x -0,17) + 7427,133610( x−0 , 12)( x−0 , 15 ).(x -0,17)( ( x−0,2 ).⇔ P4 ( x )= 7427,133610 x4−6387 ,340585 x3+2173 , 927294 x2−365 ,847435 x+30 ,427706
⇒P4¿ ( x )=29708 , 53444 x3−19162, 02176 x2+4347 ,854588 x−365 , 847435
Vậy ta có y¿ (0 ,12 )= P4¿ (0 , 12)=29708 ,53444 .0 , 123−19162 ,02176 x2+4347 ,854588 x−365 , 847435
= -68,689650.
Câu 18. Tính gần đúng y/(1) của hàm y = y ( x )dựa vào bảng giá trị :
x 0,98 1,00 1,02
y= y (x ) 0,7739332 0,7651977 0,7563321
Giải:
Theo bài ra ta có h = 0,02
Áp dụng công thức Taylo, ta có: f ¿( x0 )≈
f ( x0+h )− f ( x0 )h
.
Thay số ta có: y¿ (1 )=f ¿(1 )≈
f (1 , 02)−f (1 , 00 )0 ,02
=0 , 7563321−0 , 76519770 , 02
=−0 , 44328
Vậy y¿ (1 )¿ −0 ,44328 .Câu 19.
Cho tính phân:∫0,1
1,1 dx
(1+4 x )2
a. Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức hình thang tổng quát chia đoạn [0,1 ;1,1 ] thành 10 đoạn bằng nhau.b. Đánh giá sai số của giá trị gần đúng tìm được.Giải: a.
Theo bài ra ta có h=b−a
n=1,1−0,1
10=0,1
.Lập bảng giá trị :
i x y
0 0,1 0,5102040811 0,2 0,3086419752 0,3 0,2066115703 0,4 0,1479289944 0,5 0,1111111115 0,6 0,0865051906 0,7 0,0692520777 0,8 0,0566893428 0,9 0,0472589799 1,0 0,04000000010 1,1 0,034293552
Áp dụng công thức hình thang IT = h2 [ y0+ y10+2 ( y1+ y2+ y3+ y 4+ y5+ y6+ y7+ y8+ y9 )]
.
Thay số ta có: IT =
0,12[0,510204081 +0,034293552 + 2(0,308641975 + 0,206611570
+ + 0,147928994 +0,111111111+ 0,086505190 + 0,069252077 + 0,056689342 +
0,047258979 + 0,040000000 ) ] = 0,134624805Vậy IT = 0,134624805.
b. Đánh giá sai số, ta có: |I−I T|≤
M .h2
12. (b−a ) ;
Với M=Max|f// ( x )|, với mọi x∈ [a , b ] .
Ta có
f ( x )=1
(1+4 x )2⇒ f ¿( x )=( 1
(1+4 x )2 )¿
=−32 x−8
(1+4 x )4
⇒ f //( x )=(−32 x−8(1+4 x )4 )
¿
=−32(1+4 x )4−16(1+4 x )3 (−32 x−8 )
(1+4 x )8=384 x+96(1+4 x )5
Ta nhận thấy, Max|f// ( x )|=
f // (0,1)=384 . 0,1+96
(1+4 . 0,1)5=24 , 98958767
⇒ Sai số |I−I T|¿
24 ,98958767 .0,12 .(1,1−0,1)12
=0 ,020824656.
Câu 20. Cho tích phân:∫2
3,5 1+ x1−x
dx.
a. Tích gần đúng tích phân bằng công thức Símson tổng quát chia đoạn [2 ;3,5 ] thành 12 đoạn bằng nhau. b. Đánh giá sai số giá trị vừa tìm được. Giải:
a. Theo bài ra ta có h=b−a
n=3,5−2
12=0 , 125
Lập bảng giá trị :
ix y
0 2 -31 2,125 -2, 7777777782 2,25 -2,63 2,375 -2,4545454554 2,5 -2, 3333333335 2,625 -2,2307692316 2,75 -2,1428571437 2,875 -2,0666666678 3,0 -29 3,125 -1,94117647110 3,25 -1, 88888888911 3,375 -1,84210526312 3,5 -1,8
Áp dụng công thức Símson
I S=h3 [ y0+ y12+4 ( y1+ y3+ y5+ y7+ y9+ y11)+2( y2+ y4+ y6+ y8+ y10 )]=
=0 , 1253
[−3−1,8+4 .(-2, 777777778-2,454545455-2,230769231-2,066666667- 1,941176471
-
-1,842105263 )+ 2. (-2,6 -2, 333333333 -2,142857143 -2 -1, 888888889)] = = -3.332596758
Vậy I S=-3 . 332596758
b. Đánh giá sai số: |I−I S|≤
M .h4
180.(b−a )
Trong đó M=Max|f//// ( x )| với a≤x≤b
Ta có:
f ( x )=1+x1−x
⇒ f ¿ ( x )=21−2 x+x2
⇒ f // ( x )=4 x−4(1−2 x+x2 )2
⇒ f ///( x )=−12 x2+24 x+20(1−2 x+x2)3
⇒ f ////( x )=64 .(1−x )(1−2 x+ x2)4
Ta nhận thấy: Max
|f //// ( x )|=|f ////(2 )|=64⇒|I−I S|≤64 . 0 ,1254 .(3,5−2)180
=0 ,0001302083333.
CHƯƠNG 6:TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 21
Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần đúng tích phân: .
Chia [0;1] thành 10 đoạn bằng nhau, suy ra h = Ta tính ra bảng sau :
Áp dụng công thức Simpson :
Is = [ y0+ y10 + 4( y1+ y3+ y5+ y7+ y9 )+ 2( y2+ y4+ y6+ y8 )
Is = [1 + 0,70711+ 4(0,99950 + 0,98677 + 0,94281 + 0,86290 + 0,76051)+ 2(0,99602 + 0,96946 + 0,90685 + 0,81325 ) Is = 0,90961
dxx
∫
1
03 1
1
1,01
01
3
h
3
1,0
Thứ tự x
f(x) = 0 0 1,000001 0,1 0,999502 0,2 0,996023 0,3 0,986774 0,4 0,969465 0,5 0,942816 0,6 0,906857 0,7 0,862908 0,8 0,813259 0,9 0,7605110 1,0 0,70711
1
13 x
Bài 22
Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần đúng tích phân
Chia [-0,8; 0,8] thành 16 đoạn bằng nhau, suy ra h = = 0,1
Ta tính ra bảng sau :
Thứ tự xf(x) =
0 - 0,8 0.9344121 - 0,7 0.8558262 - 0,6 0.7628603 - 0,5 0.6569324 -0,4 0.5397435 -0,3 0.4132366 -0,2 0.2795577 -0,1 0.1410098 0 0.0001419 0,1 0.14100910 0,2 0.27955711 0,3 0.41323612 0,4 0.53974313 0,5 0.65693214 0,6 0.76286015 0,7 0.85582616 0,8 0.934412
Áp dụng công thức Simpson :
Is = [y0+y16 + 4(y1+y3+y5+ y7+ y9+ y11+y13+ y15)+ 2(y2+ y4+ y6+ y8+ y10+ y12+ y14
)
Thay số và tính toán ta được kết quả Is = 0,824459
Bài 23
Dùng công thức Simpson để tính gần đúng tích phân Chia [-0,5;0,5] thành 8 đoạn bằng nhau ta có h =0,125
∫
8,0
8,0
2
cos1
sindx
x
x
16
)8,0(8,0
x
x
cos1
sin 2
3
h
dxx
x∫
5,0
5,0 )cos1ln(
)ln(cos
Ta tính ra bảng sau :
Thứ tự x
f(x) =0 - 0,5 - 0,2072811 - 0,375 - 0,1094972 - 0,250 - 0,0466153 - 0,125 - 0,0113654 0,000 0,0000005 0,125 - 0,0113656 0,250 - 0,0466157 0,375 - 0,1094978 0,5 - 0,207281
Áp dụng công thức Simpson :
Is = [ y0+ y8 + 4( y1+ y3+ y5+ y7 )+ 2( y2+ y4+ y6 ) Thay số và tính toán ta được kết quả Is = - 0,065330
Bài 24: Cho bài toán Cauchy:y’= y2 - x2
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler trên [1,2], chọn bước h= 0,1.Bài giải:
Theo đầu bài ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = 1Áp dụng công thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi)Ta tính đượcU1= U0+ hf(x0 ; y0) = 1+ 0,1(12-12)= 1
U2= U1+ hf(x1 ; y1) = 1+ 0,1(12-1,12)= 0,979
U3= U2+ hf(x2 ; y2) = 1+ 0,1(0,9792-1,22)= 0,9308441
U4= U3+ hf(x3 ; y3) = 1+ 0,1(0,93084412-1,32)= 0,848491173
U5= U4+ hf(x4 ; y4) = 1+ 0,1(0,8484911732-1,42)= 0,724484901
U6= U5+ hf(x5 ; y5) = 1+ 0,1(0,7244849012-1,52)= 0,551972738
U7= U6+ hf(x6 ; y6) = 1+ 0,1(0,5519727382-1,62)= 0,326440128
U8= U7+ hf(x7 ; y7) = 1+ 0,1(0,3264401282-1,72)= 0,048096444
U9= U8+ hf(x8 ; y8) = 1+ 0,1(0,0480964442-1,82)= - 0,275672228
U10= U9+ hf(; y9) = 1+ 0,1[(- 0,275672228)2-1,92) = - 0,629072711
U11= U10+ hf(x10 ; y10) = 1+ 0,1- 0,629072711)2-22) = - 0,989499463
Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U11= α =- 0,989499463
Câu 25. Cho bài toán Cauchy. y¿= y−2 x
yy(0) = 1, 0¿ x ¿ 1.
)cos1ln(
)ln(cos
x
x
3
h
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến ( chỉ lặp 1 lần),chọn bước h = 0,2 và so sánh kết quả với nghiệm đúng.
Giải:
Theo bài ra ta có u0= y (0 )=1 ; h=0,2 .
Vì x i=x 0+ih , ta có bảng giá trị của x :
x0 0,0x1 0,2x2 0,4x3 0,6x4 0,8x5 1,0
Theo phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp hình thang). ui+1(0)=u i+hf ( x i , ui ) (1)
ui+1(m+1)=ui+
h2[ f ( x i , ui)+ f ( x i+1 ,u
(m )i+1) ]
. (2)
Từ (1) và (2) ta có u1(0)=u0+hf ( x 0 , u0 )
=1+0,2(1−01)=1,2
.
u1(1 )=u0+
h2[ f ( x 0 , u0 )+ f ( x 1 , u1
(0 )) ] =1+0,1[(1−2 .0
1 )+(1,2−2 .0,21,2 )]
= 1,186667.
u2(0)=u1
(1)+0,2 f ( x 1 , u1(1 ))=1, 186667+0,2(1 ,186667− 2. 0,2
1 , 186667)=1 , 356585
.
u2(1 )=u1
(1)+ h2[ f ( x 1 , u1
(1 ))+ f ( x 2 , u2(0 ))]=
=1 ,186667+0,1 [(1 ,186667− 2.01, 186667 )+(1 , 356585− 2. 0,4
1 ,356585 )]=1 ,348325
u3(0)=u2
(1)+0,2 f ( x 2 , u2(1 ))=1 ,348325+0,2(1 ,348325− 2 . 0,4
1 , 348325 )=1 , 499325.
u3(1 )=u2
(1)+ h2[ f ( x 2 , u2
(1 ))+ f ( x 3 , u3(0))]=
=1 ,348325+0,1[(1 ,348325− 2 . 0,41 , 348325 )+(1 , 499325− 2 . 0,6
1 , 499325 )]=1 ,493721
u4(0)=u3
(1)+0,2 f ( x 3 , u3(1))=1 , 493721+0,2(1 ,493721− 2 .0,6
1 , 493721 )=1 , 631793.
u4(1 )=u3
(1)+ h2[ f ( x 3 ,u3
(1))+ f ( x 4 , u4(0 )) ]=
=1 ,493721+0,1 [(1 ,493721− 2 .0,61 ,493721 )+(1,631793− 2 .0,8
1 ,631793 )]=1 ,627884
u5(0)=u4
(1)+h . f ( x 4 ,u4(1))=1 , 627884+0,2(1 ,627884− 2 .0,8
1 ,627884 )=1, 756887.
u5(1 )=u4
(1)+ h2[ f ( x 4 , u4
(1))+ f ( x 5 , u5(0 )) ]=
=1 ,627884+0,1[(1 , 627884− 2.0,81 , 627884 )+(1 ,756887− 2 . 1
1 ,756887 )]=1 ,754236 .
Vậy nghiệm gần đúng cần tính là u5(1 )
=α≈¿ ¿1 ,754236
Câu 26. Cho bài toán Cauchy y¿=x+ y .
y(0)= 1. Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến với độ chính xác đến 4 chữ số lẻ thập phân trùng nhau, giá trị của y(0,1). chọn bước h = 0,05.
Giải:Theo bài bước h = 0,05. f(x,y) = x + y Theo công thức Euler cải tiến ta có:
ui+1(m+1)=u i+
h2 [ f (x i ,ui )+f ( xi+1 , ui+1
(m ))] (1)
ui+1(0)=u i+hf ( x i , ui )(2)
Từ (1) và (2) ta có: u1(0)=u0+hf ( x0 , u0 )=1+0 , 05(0+1)=1 , 05
u1(1 )=u 0+
h2 [f ( x 0 , u0 )+f ( x1 , u1
(0))]=1+ 0 , 052
[ (0+1 )+ (0 ,05+1 ,05 ) ]=1 ,0525
u1(2)=u 0+
h2 [ f ( x 0 , u0 )+f (x1 , u1
(1))]=1+ 0 , 052
[ (0+1 )+ (0 ,05+1, 0525 ) ]=1 ,05256
Ta thấy u1(2)
- u1(1 )
= 1,05256 – 1,0525 = 0,00006 < 10-4 đạt yêu cầu chính xác, lấy gần đúng
u1 = 1,0526.
Tính tiếp cho u2 , ta có: u2(0)=u1+h . f (x1 , u1 )=1 ,0526+0 ,05(0 ,05+1 , 0526 )=1 , 1077 .
u2(1 )=u 1+
h2 [ f ( x 1 , u1 )+ f ( x2 ,u2
(0))]=1, 0526+ 0 ,052
[ (0 ,05+1 ,0526 )+(0,1+1 ,1077 ) ]=1 ,11036
u2(2)=u 1+
h2 [ f ( x 1 ,u1 )+ f ( x2 ,u2
(1))]=1 , 0526+ 0 , 052
[(0 ,05+1,0526 )+ (0,1+1 ,11036 ) ]=1 , 11042
Cũng như với u1 ta có u2(2)− u2
(1 )= 0,00006<10-4. Ta có thể lấy y(0,1) = u(0,1 )=
u2≈¿ ¿1,1104.
Câu 27. Cho bài toán Cauchy
y¿=1+ y2
y (0 )=0
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Runge – Kutta cấp 4 trên [0 ;0,6 ] . Chọn bước h= 0,2.
Giải Theo bài ra, ta có
x0=0 , b=0,6 , h=0,2
⇒n=b−x0
h=0,6−0
0,2=3
Ta có bảng: x0 0x1 0,2
x2 0,4x3 0,6
* Tính u1 với {u0=0¿ ¿¿¿
Ta có k 1=h. f (x0 ,u0 )=0,2(1+02 )=0,2
k 2=h. f ( x0+0,5h;u0+0,5k1 )=0,2(1+0,12)=0 ,202
k 3=h. f ( x0+0,5 .h ;u0+0,5. k 2)=0,2(1+0 ,1012)=0 , 2020402
k 4=h . f ( x0+h ;u0+k3 )=0,2(1+20204022 )=0 ,208164048
⇒u1=u0+16(k1+2k2+2k3+k 4 )=0+1
6(0,2+2 . 0 ,202+2 . 0 ,2020402+0 ,208164048 )
¿0 ,202707408
*Tính u2 với {u1=0 , 202707408 ¿ ¿¿¿
Ta có:
k 1=h. f (x1 , u1 )=0,2(1+0 ,2027074082)=0 , 208218058
k 2=h. f ( x1+0,5h;u1+0,5 k1)=0,2(1+0 , 3068164372 )=0 , 218827265
k 3=h. f ( x1+0,5 .h;u1+0,5 . k2 )=0,2(1+0 , 312121042)=0 , 219483908
k 4=h . f ( x1+h;u1+k3 )=0,2(1+0 , 4221913162 )=0 ,235649101
⇒u2=u1+16(k1+2 k 2+2 k3+k4 )=0 ,202707408+1
6(0 ,208218058+2. 0 , 218827265+
+2 . 0 ,219483908+0 ,235649101 )=0 , 422788992 .
*Tính u3 với {u2=0 , 422788992 ¿ ¿¿¿
Ta có: k 1=h. f (x2 ,u2 )=0,2(1+0 , 4227889922 )=0 , 235750106
k 2=h. f ( x2+0,5 h;u2+0,5 k1 )=0,2(1+0 ,5406640452 )=0 , 258463521
k 3=h. f ( x2+0,5 .h ;u2+0,5 . k2 )=0,2(1+0 ,5520207522 )=0 , 260945382
k 4=h . f ( x2+h;u2+k 3)=0,2(1+0 , 6837343742 )=0 ,293498538
⇒u3=u2+16(k1+2k2+2 k3+k 4 )=0 ,422788992+1
6(0 , 235750106+2 .0 ,258463521+
+2 . 0 ,260945382+0 ,293498538 )=0 , 6841334 .
*Tính u4 với {u3=0 ,6841334 ¿ ¿¿¿
k 1=h. f (x3 ,u3)=0,2(1+ 0 ,68413342 )=0 ,293607701
k 2=h. f ( x3+0,5 h;u3+0,5 k1 )=0,2(1+0 ,830937252 )=0 ,338091342
k 3=h. f ( x3+0,5 .h ;u3+0,5 .k2 )=0,2(1+0 ,8531790712)=0 ,345582905
k 4=h . f ( x3+h ;u3+k3 )=0,2(1+1 ,0297163052 )=0 , 412063133
⇒u4=u3+16(k1+2k2+2 k3+k4 )=0 ,6841334+1
6(0 ,293607701+2.0 ,338091342+
+2 .0 ,345582905+0 ,412063133)=1 ,029636621
Bài 28: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau:
y '= y−cosxy
Với 0 ≤ x≤ 1; y(0) =1, chọn bước h =0,2. Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân.Bài giải
Ta có: U0= y(0) =1
Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được:
+ U 1= U0 + h2 (U0-
cos x0
U 0) = 1
U1= U0 + h(U 1- cos (x0+0,5h)
U1)) = 1,000999
+ U 2= U1 + h2 (U1-
cos x1
U 1) = 1,003088
U2= U1 + h(U 2- cos (x1+0,5 h)
U 2)) = 1,010495
+ U 3= U2 + h2 (U2-
cos x2
U 2) = 1,019277
U3= U2 + h(U 3- cos (x2+0,5h)
U3)) = 1,037935
+ U 4= U3 + h2 (U3-
cos x3
U 3) = 1,057977
U4= U3 + h(U 4- cos (x3+0,5 h)
U 4)) = 1,091733
+ U 5= U4 + h2 (U4-
cos x4
U 4) = 1,126575
U5= U4 + h(U 5- cos (x4+0,5h)
U5)) = 1,177547
+ U 6= U5 + h2 (U5-
cos x5
U 5) = 1,229245
U6= U5 + h(U 6- cos (x5+0,5 h)
U 6)) = 1,2982670
Bài 29: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau:
y '= y−e x cosxy
Với 0,3 ≤ x≤ 0,5; y(0,3) =0,943747, chọn bước h =0,1. Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân.
Bài giảiTa có: U0= y(0) =0,943747
Áp dụng phương pháp trung điểm ta tính được:
+) U 1=U 0+h2(U 0−
ex0.cos x0
U 0
)= 0,926822832
U 1=U 0+h¿= 0,891524
+) U 2=U 1+h2(U 1−
e x1 .cos x1
U 1
)= 0,859038
U 2=U 1+h¿= 0,813037
+) U 3=U 2+h2(U 2−
ex2 .cos x2
U 2
)= 0,764708
U 3=U 2+h¿= 0,696278
Vậy nghiệm gần đúng cần tìm là: U3= α= 0,696278