tabulasi integral parsial

INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002

Liem Chin

TABULASI INTEGRAL PARSIALTABULASI INTEGRAL PARSIAL

Intisari Integral parsial merupakan salah satu dari teknik pengintegralan. Pada tulisan ini akan diperkenalkan suatu metode yang disebut tabulasi integral parsial. Dengan metode ini, integral parsial akan lebih mudah dilakukan terutama jika teknik ini dipakai berulang kali.

Abstract Integration by parts is one of the techniques of integration to evaluate integral. In this paper, tabular integration by parts will be introduced. Integration by parts will be easier to be done with this method, especially if this technique is used repeatedly.

Diterima : 21 Mei 2002

Disetujui untuk dipublikasikan : 10 September 2002

1. Pendahuluan Beberapa bentuk integral, seperti:

( )∫ ∫∫ xdxedxxxdxx x sin,ln,cos 233 ,

dapat diselesaikan dengan menggunakan integral parsial. Namun, jika harus menggunakan integral parsial berulang kali, maka kemungkinan melakukan kesalahan cukuplah besar. Oleh karena itu, di dalam tulisan ini akan diperkenalkan suatu metode yang sangat membantu jika integral par sial digunakan dalam perhitungan integral. Metode ini disebut tabulasi integral parsial.

2. Metode Tabulasi Integral Parsial

Tinjau integral yang berbentuk:

( ) ( )∫ dxxgxf , (2.1)

yang dapat diselesaikan dengan menggunakan integral parsial. Misalkan

( )xf dapat diturunkan sampai ( )1+n

kali dan ( )xg dapat diintegralkan sampai

( )1+n kali dengan cukup mudah. Sebut ( )( )xf i turunan ke-i dari f dan

( ) ( )ig x−

fungsi pengintegralan dari g sampai ke-i secara berulangkali. Maka pengintegralan parsial pertama kali memberikan

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫

∫ ∫ ∫∫−−

−

−=

==

dxxgxfxgxf

xdgxfdxxgdxfdxxgxf111

1

Pengintegralan parsial kedua memberikan

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∫

∫∫−−−

−−

+−=

−=

dxxgxfxgxfxgxf

xdgfxgxfdxxgxf22211

211

70

Bila pengintegralan parsial dilanjutkan sampai ke- ( )1+n kali, maka secara induksi diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑∫

∫

−−++

=

−−

−−++

−−−−−

−+−=

−+

−+−+−=

dxxgxfxgxf

dxxgxf

xgxfxgxfxgxfxgxfdxxgxf

nnnn

k

kkk

nnn

nnn

111

0

1

111

132211

11

1

1K

Rumus ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode tabulasi integral parsial seperti yang diberikan dalam tabel 1 berikut. Kolom 1 Kolom 2

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )11

3

2

1

1

1++−

−

−

+

−

+

nn

nn

f

f

f

f

f

f

M

( )

( )

( )

( )

( )1

3

2

1

−−

−

−

−

−

n

n

g

g

g

g

g

g

M

Tabel 1 Tabulasi Integral Parsial

Tabulasi dihentikan jika ( ) ( ) 01 =+ xf n atau bentuk

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫=−−+ dxxgxfdxxgxf nn α11

untuk suatu 0≠α . Khususnya jika ( )xf suatu polinom, maka penjumlahan

bentuk-bentuk di atas berhingga, karena

terdapat n sehingga ( ) ( ) 0=xf n .

3. Contoh-contoh Perhitungan

Contoh 1: Akan dihitung ∫ xdxx cos3

dan ∫ xdxe x sin2 .

Untuk integral yang pertama, tabulas i memberikan oleh tabel berikut:

Kolom 1 Kolom 2

0

6

6

3 2

3

−+−

+

x

x

x

xx

xx

x

cos

sin

cos

sin

cos

−−

Jadi diperoleh Cxxxxxxxxdxx +−−+=∫ cos6sin6cos3sincos 233

(2.2)

71 INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002

Untuk integral yang kedua, tabulasi diberikan oleh tabel berikut :

Kolom 1 Kolom 2

x

x

x

e

e

e

2

2

2

4

2

+

−

+

xsin

xcos

xsin

−−

Jadi, ∫∫ −+−= xdxexexexdxe xxxx sin4sin2cossin 2222

∴ ( ) Cxexexdxe xxx ++−=∫ sin2cos5

1sin 222

Perhatikan bahwa contoh ini memberikan ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫−=− dxxgxfdxxgxf 422

Jika fungsi f pada integral (2.1) berbentuk ( )xf ln , maka dengan mengambil ( ) 1=xg , pengintegralan parsial pertama kali akan memberikan

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫−= dxxfxxfdxxf lnlnln 1

Dengan tetap mengambil ( ) 1=xg , pengintegralan parsial kedua akan memberikan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫+−= dxxfxxfxxfdxxf lnlnlnln 21

Bila pengintegralan parsial dilanjutkan sampai ke- ( )1+n , maka secara induksi diperoleh

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫∫ ++−++−= dxxfxxfxxfdxxf nn ln1lnlnln 111 L (3.1)

Sehingga metode tabulasinya akan menjadi seperti yang diberikan pada tabel berikut. Kolom 1 Kolom 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xf

xf

xf

xf

xf

xf

nn

nn

ln1

ln1

ln

ln

ln

ln

11

3

2

1

++−

−

−

+

−

+

M

1

1

x

x

x

x

x

M

Integral parsial berhenti jika ( )( ) 0ln1 =+ xf n atau ( ) ( ) ( )∫ ∫=+ dxxfdxxf n lnln1 α

untuk suatu 0≠α .

Contoh 2: Akan dihitung ∫ dxx3ln dan ( )∫ dxxlncos .

INTEGRAL, Vol. 7, No. 2, Oktober 2002 72

Untuk integral yang pertama, tabulasi diberikan oleh tabel berikut : Kolom 1 Kolom 2

x3ln+ 1 x2ln3− x xln6+ x

6− x 0 x

Jadi Cxxxxxxxdxx +−+−=∫ 6ln6ln3lnln 233

Untuk integral yang kedua, tabulasi diberikan oleh tabel berikut :

Kolom 1 Kolom 2 ( )xlncos+ 1

( )xlnsin+ x ( )xlncos− x

( )xlnsin− 1

Jadi, ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −+= dxxxxxxdxx lncoslnsinlncoslncos

( ) ( ) ( )( )∫ ++=∴ Cxxxdxx lnsinlncoslncos 21

Perhitungan ∫ dxx3ln dan ( )∫ dxxlncos

4. Penggunaan yang lain dari

Tabulasi Integral Parsial Berikut ini akan dibahas pula mengenai penggunaan yang lain dari metode tabulasi integral parsial, yaitu: a. Menghitung integral tak tentu:

( )( )∫ +

dxbax

xPn

, di mana ( )xP adalah

polinom. Di sini ( )xPf = dan

( ) nbaxg −+= . Jika n bilangan bulat positif, maka setelah melakukan n kali pengintegralan parsial akan muncul bentuk ( )bax +ln . Hal ini tentu saja akan menyulitkan jika proses tabulasinya masih berlanjut. Jadi untuk kasus ini, metode tabulasi integral parsial akan dapat digunakan terutama jika n bukan bilangan bulat positif.


73

Contoh: Akan dihitung ( )∫ +

−+dx

x

xx2

7

12

525 3

Kolom 1 Kolom 2

525 3 −++ xx ( ) 27

12 −+x

215 2 +− x ( ) 25

125

1 −+− x

x30+ ( ) 23

12151 −+x

30− ( ) 21

1215

1 −+− x

0 ( ) 21

1215

1+− x

Jadi,

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Cxxxxxxxxdx

x

xx ++++−++−+−+−=+

−+ −−−−∫ 21

21

23

25

27

12212212215151

1252551

12

525 233

b. Membuktikan salah satu teorema yang berhubungan dengan transformasi Laplace.

Misalkan Λ ( ){ } ( )∫∝

−=0

dttfetf st (4.1)

menyatakan transformasi Laplace dari fungsi f. Teorema 1. Misalkan n bilangan bulat positif dan ( )tf suatu fungsi sehingga ( ) ( )tf n

merupakan fungsi yang kontinu bagian demi bagian pada selang 0≥t ( ( ) ( )tf n menyatakan turunan ke-n dari fungsi f). Misalkan pula ada konstanta a,b, dan M sehingga

( )( ) Mtaetf btk ≥≤ jika ,

untuk setiap k = 0, 1, 2,…, n-1. Jika bs > , maka:

Λ ( )( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnnn sfssfftf +−−−−= −−− 000 121 K Λ ( ){ }tf (4.2)


Bukti. Kolom 1 Kolom 2

( ) ( )( ) ( ) stnnn

stnnn

st

st

st

es

es

es

se

e

−

−−−−

−

−

−

−−

−−

+

−−

+

11

11 111

2

M

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )tf

tf

tf

tf

tf

n

n

n

1

2

1

M

−

−

Sehingga diperoleh

Λ ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∝

−∝=

−−−−−− ++++=0

0121 dttfestfestfsetfetf stn

tstnnstnstn L

( )( ) ( )( ) ( ) nnnn sfssff +−−−−= −−− 000 121 K Λ ( ){ }tf .

∴ Λ ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnnn sfssfftf +−−−−= −−− 000 121 K Λ ( ){ }tf c. Membuktikan rumus deret Taylor. Teorema 2. Misalkan ( )tf memiliki turunan-turunan yang kontinu sampai dengan n + 1 pada suatu selang I yang memuat c. Jika x suatu bilangan yang berada di selang I, maka

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .

!!!2

12

21 ∫ −+−++−+−+=

+x

c

nn

nn

dttxn

tfcx

ncf

cxcf

cxcfcfxf L

(4.3)


75

Bukti Kolom 1 Kolom 2

( ) ( )tf 1−+ 1−

( ) ( )tf 2−− ( )tx −

( )( )tf 3−+ ( )

!2

2tx −−

M M

( ) ( ) ( )tf nn −− +11

( ) ( )( )!1

11

−−

−−

ntx n

n

( ) ( ) ( )tf nn 121 ++ −−

( ) ( )!

1 1

ntx n

n −− +

Sehingga diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]

( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )∫

∫

∫∫

−+−++−+−=

−+

−−−−−−−=

−−==−

+

+

=

x

c

nn

nn

x

c

nnx

ct

nn

x

c

x

c

dttx!n

tfcx

!ncf

cx!

cfcxcf

dttx!n

tftx

!n

tftx

!

tftxtf

dttfdttfcfxf

12

21

12

21

11

2

2

1

K

K

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ −+−++−+−+=∴

+x

c

nn

nn

dttxn

tfcx

ncf

cxcf

cxcfcfxf!!!2

12

21 L

5. Penutup Tabulasi Integral Parsial merupakan suatu alat untuk membantu dalam penghitungan integral parsial (terutama jika integral parsial tersebut digunakan berulang kali) sehingga penghitungan pun akan relatif lebih mudah dilakukan. Namun demikian, metode ini akan lebih berhasil jika integral (2.1) memuat fungsi f yang mudah diturunkan berulang kali dan fungsi g yang mudah diintegralkan berulang kali.

6. Daftar Pustaka [1] Horowitz, D., “Tabular Integration

by Parts” , The College Mathematics Journal, vol. 21, number 4, pp. 307 – 311, September 1990, http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma035.pdf.

[2] Gillman, L., “More on Tabular Integration by Parts” , The College Mathematics Journal, vol. 22, number 5, pp. 407 – 410, November 1991,


http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma036.pdf.

[3] Purcell, E., J., Varberg, D., “Calculus”, 7th ed., Prentice Hall, pp. 421 – 430, 1997.

[4] Thomas Jr., G. B., Finney, R. L., “Calculus and Analytic Geometry” ,

9th ed., Addison-Wesley, pp.562-569, 1996.

7. Penulis Liem Chin adalah dosen Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan Bandung.


77

tabulasi integral parsial

Documents