J. CALVO

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Propiedades de la Transformada de Fourier.

( ) ( )x t X dj te=− ∞

∞

∫1

2πω ωω ←⎯→ ( ) ( )X x t dtj teω ω= −

− ∞

∞

∫

Propiedad. Descripción Matemática.

1.- Linealidad.

Si: xn (t) ←⎯→ Xn (ω)

n

N

=∑

1an xn (t) ←⎯→

n

N

=∑

1an Xn (ω)

donde los an son constantes.

n

N

=∑

1an xn (t) ←⎯→

n

N

=∑

1an Xn ( f )

donde los an son constantes.

2.- Escalado. x (a t) ←⎯→ 1a

Xaω⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x (a t) ←⎯→ 1 fXa a

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3.- Dualidad o simetría.

Si: x (t) ←⎯→ X (ω) X (t) ←⎯→ 2 π x (-ω)

Si: x (t) ←⎯→ X ( f ) X (t) ←⎯→ x (-f )

4.- Desplazamiento en el tiempo. x (t - to ) ←⎯→ X (ω) oj te− ω x (t - to ) ←⎯→ X (f) oj f te− 2π

5.- Desplazamiento en la frecuencia. x (t) oj te ω ←⎯→ X (ω - ωo ) x (t) o

j f te 2π ←⎯→ X ( f - fo )

6.- Diferenciación en el tiempo.

d xdt

n

n ←⎯→ ( jω ) n X (ω ) d xd t

n

n ←⎯→ ( j2π f ) n X ( f )

7.- Integración en el tiempo.

( )x dt

τ τ− ∞∫ ←⎯→

( )Xjωω

+ π X (0 ) δ (ω ) ( )x dt

τ τ− ∞∫ ←⎯→

( )X fj f2π

+ ( )X 02

δ ( f )

8.- Diferenciación en la frecuencia. ( -jt ) n x (t) ←⎯→

d Xd

n

nω ( -j 2 π t ) n x (t) ←⎯→

d Xd f

n

n

9.- Multiplicación en el tiempo.

x1 (t) x2 (t) ←⎯→ 12π

[ X1 (ω) * X2 (ω) ] x1 (t) x2 (t) ←⎯→ [ X1 ( f ) * X2 ( f ) ]

10.- Convolución en el tiempo. x1 (t) * x2 (t) ←⎯→ X1 (ω) X2 (ω) x1 (t) * x2 (t) ←⎯→ X1 ( f ) X2 ( f )

( ) ( )x t X f dfj f te=− ∞

∞

∫2 π ←⎯→ ( ) ( )X f x t dtj f te= −

− ∞

∞

∫2π

Relación de Parseval para señales de energía: 2 2 2

- - -

1x(t) dt = x(ω) dω = x(f) df 2π

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞∫ ∫ ∫

Sea una señal g(t) periódica, de periodo T0 y gp(t) un periodo de la señal, con:

gp(t) ←⎯→ Gp(ω)

Suma de Poisson.-

Con 00

2πωT

= , g(t) = 0jnω tp 0 p 0

n=- n=-0

1g (t-nT ) = (nω ) T

eG∞ ∞

∞ ∞∑ ∑

cos (ϕ ± θ) = cos ϕ cos θ ∓ sen ϕ sen θ sen (ϕ ± θ) = sen ϕ cos θ ± cos ϕ sen θ

Sa (x) = sen x

x

( ) sinc (x) =

sen x

x

( )π

π rect t

τ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= Gτ (t) = 1 20 2

| || |

⎧⎨⎩

<>

tt

ττ

// tri t

τ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

0− <

≥⎧⎨⎩

| | / | || |

t tt

τ ττ

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Tabla de Transformadas de Fourier básicas.

SSeeññaall.. TTrraannssffoorrmmaaddaa.. (( ωω )) TTrraannssffoorrmmaaddaa.. (( ff )) δ (t) 1 1 1 2 π δ (ω ) δ ( f )

0( )j te ω φ+ 2 π je φ δ (ω - ωo ) je φ δ (f - fo )

sgn (t) 2jω

1j fπ

jtπ

sgn (ω ) sgn ( f )

u (t) π δ (ω ) + 1jω

21δ ( f ) +

f2j1π

Cn oj n t

ne ω

= −∞

∞

∑ 2 π Cnn = −∞

∞

∑ δ (ω - nωo ) Cnn = −∞

∞

∑ δ ( f - n /To )

∑∞

∞−=nδ (t – nTo )

n=-

2 ( )oo

nTπ δ ω ω

∞

∞

−∑ n=-

1 ( )o o

nfT T

δ∞

∞

−∑

rect tτ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= Gτ (t) τ Sa2ωτ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= τ sinc2ωτπ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

τ Sa (π f τ ) = τ sinc ( f τ )

W W tSa

22π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=BSa(πBt) rectWω⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= GW (ω ) rect 2 fWπ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= rect fB

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, W = 2πB

tri tτ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2Sa ωττ ⎡ ⎤⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ τ [ sinc ( f τ ) ] 2

cos (ωo t +φ) π [δ (ω - ωo ) e jφ+ δ (ω + ωo ) e -jφ ] 21

[δ ( f - fo ) e jφ+ δ ( f + fo ) e -jφ ]

sen (ωo t +φ) j π [δ (ω + ωo ) e -jφ - δ (ω - ωo ) e jφ] j21

[δ ( f - fo ) e jφ- δ ( f + fo ) e -jφ ]

cos (ωo t ) u (t) 2π

[δ (ω - ωo ) +δ (ω + ωo )] + 2 2o

jωω ω−

14

[δ ( f - fo ) +δ ( f + fo )] + 2 22 ( )o

j ff fπ −

sen (ωo t ) u (t) j2π

[δ (ω -ωo ) - δ (ω + ωo )] + 2 2o

o

ωω ω−

j4

1[δ ( f - fo ) -δ ( f + fo )] + 2 22 ( )

o

o

ff fπ −

e -α t u (t) * 1

+ jα ω 1

+ 2j fα π

t e -α t u (t) * 2

1( + )jα ω 2

1( + 2 )j fα π

1

( 1)!

ntn

−

− e -α t u (t) * n

1( + )jα ω n

1( + 2 )j fα π

e -α | t | , α > 0 2 2

2+ α

α ω 2 2

2+ (2 )f

αα π

|t|e -α | t | , * 2 2

4+

jα ωα ω

2 2

4 (2 )+ (2 )

j ff

α πα π

e -α t cos (ωo t ) u (t) * 2 2( )o

jj

α ωω α ω

++ +

2 2

2(2 ) ( 2 )o

j ff j fα π

π α π++ +

e -α t sen (ωo t ) u (t) * 2 2( )o

o jω

ω α ω+ + 2 2

2(2 ) ( 2 )

o

o

ff j f

ππ α π+ +

2> 0 , at ae−

2 4- / aa

e ωπ 2 2- /f a

ae ππ

* Re(α ) > 0 , ωo = 2 π fo , fo = 1/To