Tabla de Derivadas e Integrales

Función Derivada Ejemplos

Constante

y=k y'=0 y=8 y'=0

Identidad

y=x y'=1 y=x y'=1

Funciones potenciales

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

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Tabla de Integrales

Integral de Función No hay Ejemplos

INTEGRALES DE INTERES.(10-8-2006). D.Pedro Rosa

LOGARITMOS 

Preparado por: Prof. Evelyn Dávila 

 

 

 

Ejemplos  

1. log 2 8 = 3   si  2 3 = 8 

2. log 3 1/9 = -2  si 3 -2 = 1/9

Práctica  I  Expresa los siguientes logarítmos en su notación exponencial. 

 3. log 10 1000 = 3 si 103 = 1000

 4. 53 = 125  si  log5 125 = 3

 5. 4 1/2 = 2 si  log42 = 1/2

 6. 10-2 = 1/100 si log10 1/100 = -2

  

1.   log 64 4 = 1/3  2.   log 13 13 = 1 3.   log 1/3 27 = -3 II  Expresa los siguientes exponentes en su forma logarítmica 1.    4 3 = 64     2.    8 -2 = 1/64 3.    25 1/2 = 5                                       III   Evalúa los siguientes logarítmos. 1.    log 8 8 = 2.   log 8 1 = 3.   log 2 32 =

 Cuando en una expresión logarítmica no se escribe la base, entendemos que la base es diez. Ejemplo         

Si  , entonces x = 2, porque la base es diez y  tenemos  

Llamamos logarítmo natural ,   , a  un logaritmo cuya base es  e ( e   2.71828).  

Ejemplo           Si  ln 2.718 = x   entonces    x =.99998,   porque    la base es e,   Podemos resolver algunas ecuaciones exponenciales o logarítmicas directamente en la calculadora.

1.

2. 

3.

 

4.

5.

6.

 Su calculadora solo puede calcular logarítmos naturales o base 10, por lo tanto ,si desea resolver un logarítmo con base distinta tiene que realizar un cambio de base. 

 FÓRMULA PARA EL CAMBIO DE BASE

 Si u > 0  y  si  a y b son números reales positivos distinto de uno, entonces

                    

   Ejemplo 

   

Resuelve las siguientes ecuaciones. 

1. log  9  .3  =  x 

2. log 2  20 =  p 

 

  

ECUACIONES LOGARÍTMICAS  Leyes de los  logarítmos: Sean   M y N valores positivos,

,  entonces: 

 Simplifica las siguientes expresiones expresándolas en término de un solo logaritmo de ser posible. 1.  log b ( x+1) - log b (x+2)  2.  log b x + 2 log b (x-1)  3.   log b (x-1) + log b 3 -   log b (x+1)

I      

II       

  4.   2logb(x-3) + logb (5x) – logb(x) 

III       

  Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de logarítmos. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON LOGARITMOS #1  Aplicar  las propiedades de logaritmos  que sean necesarias para expresar la ecuación

con un solo logaritmo.#2    Simplificar de ser necesario#3    Expresar el logaritmo en notación exponencial utilizando la definición de logaritmos.#4    Despejar para la variable#5    Verificar que el argumento del logaritmo sea positivo en los valores encontrados.  1.     log 8 (x-6) + log 8 (x+6) = 2 

#1  Utilizamos la propiedad de la multiplicación                

#2  Expandimos el argumento del logaritmo

#3   Utilizar la definición de logaritmos

#4   Resolver la ecuación

  

 #5  IMPORTANTE  Por definición el argumento de un logaritmo debe ser positivo, por lo tanto verificamos las respuestas en el logaritmo correspondiente y la solución serán los valores que cumplan con la definición 

 

  es solución de la ecuación 

 

      no es Solución de la ecuación

 2.    log ( x 3 - 1 ) - log (x2 + x + 1 ) = 1    

 4.      log 2          4            =  0                    x - 2  

 3.   log 3   2x - log 3  (x + 5 ) = 0  

5.    log x + log 5 = 2 

          ECUACIONES EXPONENCIALES QUE SE RESUELVEN CON LOGARITMOS Aquellas ecuaciones exponenciales que no se pueda expresar en términos de bases iguales, se utilizan los logaritmos y sus propiedades para hallar la solución.  EJEMPLO 1 

          

    1.       Aplica la

definición de logaritmo.

2.       Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.

     

 EJEMPLO 2 

    1.       Aplica la

definición de logaritmo.

2.       Aplica la propiedad del exponente.

3.       Despejar para la variable

  4.       Se evalúa el

logaritmo usando la fórmula de cambio de base.

  EJEMPLO  3 

 

  

   1.       Aplica

logaritmo a ambos lados de la ecuación.

2.       Aplica la propiedad del exponente.

3.       Despeja para la variable

         Reúne los logaritmos a un lado de la ecuación y al otro lado los términos con

  PRÁCTICA PARA DISCUTIR EN CLASE Evalúa

1.      

2.      

3.      

4.      

5.      

6.       Resuelve para x

  

la variable.         Se evalúan

los logaritmos 

 

1.      

2.      

3.      

4.      

5.      

6.      

7.      

8.      

9.       

FUNCIóN  LOGARíTMICA 

Para toda b > 0 y b  1, la ecuación          es una función logarítmica con base b y Dominio x > 0. PROPIEDADES 

1.  Dominio     { x > 0 }

2. Rango  consiste en todos los números reales.

3.  Para  b > 1:

   la gráfica de esta función es creciente y  cóncava  hacia abajo.

4.  Para  0 < b < 1:

   la gráfica de esta función es decreciente y  cóncava  hacia arriba

5. Es una función uno a uno, por   consiguiente tiene función inversa..

6.  No tiene intercepto en y.

7.   El par ordenado     (1, 0) pertenece a su gráfica.

8.  El eje de y es asíntota vertical  de la función. Observe que las propiedades de las funciones logarítmicas son similares a las funciones exponenciales. La función logarítmica es función inversa de la función  exponencial.  EJEMPLO 1 f( x) =  log 2 x 

EJEMPLO  2 f( x) =  log 1/2 x