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Tabla de contenido Página
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 3
Problema de enfriamiento 3
Caída de cuerpos 6
Mezclas o diluciones 10
Trayectorias ortogonales 13
Resumen 16
Bibliografía recomendada 16
Párrafo nexo 16
Autoevaluación formativa 17
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Facultad de Ingeniería de Sistemas.
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por
escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales En este fascículo solucionaremos algunos ejemplos, en problemas,
donde utilizamos las ecuaciones diferenciales de primer orden; en ellos
veremos el uso de éstas y llegaremos a su solución con los métodos
que hemos trabajado.
Las aplicaciones que contemplamos aquí corresponden a problemas de
enfriamiento, caída de cuerpos, mezclas o diluciones y trayectorias orto-
gonales. Es de anotar que hemos trabajado ya algunas aplicaciones ta-
les como problemas de crecimiento y decrecimiento, en el fascículo 8, y
los problemas de circuitos en el fascículo 9. Por esta razón se incluyen
algunos ejercicios en actividad de estos casos.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Plantea problemas correctamente empleando ecuaciones diferencia-
les.
Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales.
Reconoce la importancia de las ecuaciones diferenciales en la solu-
ción de problemas científicos.
Problema de enfriamiento
La ley de newton sobre enfriamiento establece que la razón a la que un
objeto se enfría es proporcional a la diferencial de la temperatura entre
el objeto y el medio ambiente. Si llamamos T a la temperatura del cuer-
po y mT la temperatura del medio ambiente, entonces el cambio de la
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Isaac Newton (1642 –
1.727). Publicó en 1686 su
obra “Principios Matemáti-
cos de la Filosofía Natu-
ral”, donde enuncia las
tres Leyes del Movimiento.
temperatura con respecto al paso del tiempo es
dt
dT y por tanto pode-
mos formular la Ley de Enfriamiento de Newton como:
mTTk
dt
dT (1)
Donde k es una constante de proporcionalidad, la ecuación (1) tam-
bién la podemos escribir como:
mkTkTdt
dT (2)
debemos reconocer (2) como una ecuación lineal y de esa forma pode-
mos resolverla. Veamos un ejemplo.
Ejemplo
Un cuerpo sacado de un horno a Fo300 es colocado en cuarto que
está a Fo75 ; si la temperatura decae hasta F
o200 en media hora,
¿cuál será la temperatura al cabo de tres horas?.
Podemos aplicar la Ley de Enfriamiento de Newton, si llamamos )(tT a
la temperatura medida en grados F , a las horas t , entonces debemos
resolver la ecuación:
mkTkTdt
dT
De donde
)(75kkTdt
dT
Sabemos que
5
5
FT
FT
o
o
2002
1
3000
)(
y queremos hallar )(3T . Resolvamos nuestra ecuación:
kkTdt
dT75
para esta ecuación lineal el factor de integración es:
ktkdt
ee
Al multiplicar nuestra ecuación por el factor de integración y escribirla
como derivadas obtenemos:
ktktkeTe
dt
d75
Integrando respecto a t
)( ceTektkt 75
De donde
ktceT
75
Como T es función del tiempo podemos escribir
ktcetT
75)(
Si reemplazamos las condiciones dadas Fo3000T )( obtenemos
ktce
75300
de donde, así, entonces
ktetT 22575)(
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La cantidad de movimiento
o momento lineal frecuente-
mente representado por la
letra p , de un cuerpo de
masa m y velocidad v
está dado por mvp .
además como FTo200
2
1
entonces
2
1
22575200k
e
de donde, así nuestra ecuación es:
tetT
175122575 ,)(
podemos ahora encontrar la temperatura a las tres horas, haciendo:
FT
eT
o6813
225753 31751
,)(
)().(,
Caída de cuerpos
Si consideramos un cuerpo de masa m cayendo verticalmente hacia
abajo sometido a la acción única de la gravedad g y a una resistencia
del aire proporcional a la velocidad del cuerpo, entonces, si elegimos la
dirección hacia abajo como la dirección positiva y suponemos que la
masa del cuerpo y el valor de la gravedad permanecen constantes po-
demos enunciar la segunda ley de Newton para el movimiento así:
La fuerza neta (total), que actúa sobre un cuerpo es igual a la tasa de
cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento del cuerpo, para una
masa constante; de este modo si llamamos F a la fuerza neta y v a la
velocidad del cuerpo de masa m en el tiempo t podemos escribir que:
dt
dvmF
Si analizamos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo podemos consi-
derar dos, la fuerza debida a la gravedad, dada por mg y la fuerza de
la resistencia del aire, dada por kv , con k una constante positiva; el
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signo menos indica que esta fuerza se opone a la velocidad, es decir,
en dirección negativa como muestra la figura 1.
Figura 11.1 Fuerzas actuando
sobre un cuerpo que cae.
Por tanto, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es
kvmgF
Si sustituimos en la ecuación para la Segunda ley de Newton tenemos:
dt
dvmkvmg
De donde gvm
k
dt
dv
Esta última ecuación también es una ecuación diferencial lineal; además
si la resistencia del aire es despejable entonces 0k y la ecuación se
reduce a: gdt
dv
si 0k , la velocidad limite lv es definida por
k
mgvl
veamos un ejemplo de aplicación.
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Un Newton (1N) es la fuer-
za necesaria para que un
cuerpo de un kilogramo (1
kg) adquiera una acelera-
ción de un metro por se-
gundo cuadrado 21s
m .
22111
s
kgm
s
mkgN .
Ejemplo
Un cuerpo que pesa 64 Newtons se deja caer desde la altura de 100
metros con velocidad inicial
sm10 . Si suponemos que la resistencia
del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo y la velocidad límite es
sm128 , encontramos expresiones para la velocidad del cuerpo y la
posición en cualquier instante del tiempo t .
De los datos suministrados en el problema tenemos:
Peso del cuerpo mgN 64 de donde si 289s
mg , entonces
kg
sm
Nm 56
89
64
2
,,
Además
smv 128 , entonces como
k
mgvl así
2
1
128
64
2
2
s
ms
mkg
v
mgk
l
con estos valores nuestra ecuación diferencial es
8913
1,
vdt
dv
gvm
k
dt
dv
si resolvemos esta ecuación lineal obtenemos
t
cev 13
1
128
5
9
es decir,
t
cetv 13
1
128
)(
de las condiciones del problema tenemos que en 0t la velocidad es
sm10 por tanto
013
1
128010.
)(
cev
así 118c
por tanto la expresión pedida para la velocidad es
13118128
t
etv
)(
Si recordamos que
dt
dxv donde x es la posición del objeto, enton-
ces vdtx , por tanto
dtetxt13118128)(
detxt131534128
)(
como en 0t el cuerpo se encuentra en 0x metros, (porque esta-
mos considerando que comienza su movimiento hacia abajo) tenemos
que:
de 130
153401280
.
de donde d1534 ; así la expresión para el cálculo de la posición
en cualquier instante del tiempo es:
15341534128 13 t
etx )(
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Mezclas o diluciones
Consideremos un tanque o recipiente que contiene inicialmente 0v ga-
lones de una solución salina (por ejemplo, salmuera, agua con sal), su-
pongamos que en el tanque hay a libras de sal disueltas. Otra solución
salina que contiene b libras de sal por galón entra al tanque a razón de
e galones por minuto; simultáneamente la solución bien mezclada, sale
del tanque a una velocidad de f galones por minuto. Queremos en-
contrar la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t .
Llamemos Q a la cantidad de sal (en libras) en cualquier instante del
tiempo (es decir )(tQ ), así
dt
dQ es el cambio de la cantidad de sal que
hay en el tanque con respecto al cambio del tiempo; esta cantidad es
igual a la razón de entrada de sal menos la razón a la cual sale la sal del
tanque, es decir,
dt
dQ= (razón entrada) – (razón de salida)
la razón de entrada es:
Razón de entrada =
minmin.
libbe
galóne
galón
libb
Para calcular la razón de salida primero calculamos el volumen de solu-
ción salina que hay en el tanque en cualquier instante t ; este es el volu-
men inicial 0v más el volumen de la solución salina agregada ft ; en-
tonces el volumen de la solución salina en cualquier instante corres-
ponde a ftetv 0 galones.
Por tanto, la concentración de sal en el tanque en cualquier instante es:
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galoneslibras
ftetv
Q
o
Como la solución sale del tanque a razón de f galones por minuto
entonces se deduce que la sal sale del tanque a razón de:
minmin.
libQ
ftetv
fgalónf
galón
lib
ftetv
Q
00
entonces:
Qtfev
fbe
dt
dQ
)(
0
equivalente a
beQtfev
f
dt
dQ
)(0
(1)
Resolvamos un ejemplo para esta aplicación.
Ejemplo
En un tanque hay una libra de sal disuelta en 100 galones de agua. Una
solución salina que contiene 1 libra de sal por galón entra al tanque a
razón de 3 galones por minuto. La solución se mantiene totalmente agi-
tada y sale del tanque a la misma razón. Encontremos la cantidad de
sal que hay en el tanque en cualquier instante t .
Para este ejercicio, y de acuerdo con lo planteado teóricamente, pode-
mos decir que:
0v = 100 galones
a = 1 libra
b = 1 libra/gal
e = 3 galones/min
f = 3 galones/min
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así:
beQtfev
f
dt
dQ
o
)(
que para nuestro ejercicio corresponde a:
3133100
3.
)(
Q
tdt
dQ
de donde
3030 Qdt
dQ,
al resolver esta ecuación lineal obtenemos:
tcetQ
030100 ,)(
como en el instante 0t la cantidad de sal es 1 libra entonces
00301001 ., ce de donde 99c
así la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante de
tiempo es
tetQ
03099100 ,)(
Si deseamos por ejemplo saber la cantidad de sal que hay en el tanque
a las 2 horas de iniciado nuestro procedimiento podemos hacer 3t y
obtenemos
libras
eQ
529
991003 3030
,
)(.,
Si deseamos saber, por ejemplo en que instante habrá en el tanque 5
libras de sal, basta con hacer 5)(tQ y despejar t .
te
030991005 ,
de donde
te
0309995 ,
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Recuerda que si
dx
dy co-
rresponde a la pendiente
de la recta tangente a la
curva en y en algún pun-
to x
.
es decir t03099
95,ln
ó
thoras
t
371
030040
,
,,
Trayectorias ortogonales
Se dice que dos curvas 1C y 2C que se intersectan en un punto son
ortogonales en dicho punto si y sólo si las rectas tangentes a las curvas
en el punto mencionado son perpendiculares entre si.
Recuerda que: dos rectas son perpendiculares si el producto
de sus pendientes es –1. 121 mm . , de donde
1
2
1
mm
.
Definición
Cuando una familia de curvas 01 ),,( cyxG cortan ortogonalmente
a otra familia 02 ),,( cyxH , se dice que las familias son cada una
trayectorias ortogonales de la otra.
Las trayectorias ortogonales son encontradas con frecuencia en estu-
dios meteorológicos y en campos eléctricos alrededor de cargas opues-
tas.
Si queremos hallar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas
dadas se encuentra primero
dx
dy para la familia dada; esto nos da
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),( yxfdx
dy y resolviendo la ecuación
),( yxfdx
dy 1 encontra-
mos las trayectorias ortogonales de la familia dada.
Ejemplo
Halla las trayectorias ortogonales de la familia de curvas 2
cxy . La
familia que está dada por 2
cxycyxF ),,( consiste en parábolas
asimétricas al eje y , con su vértice en el origen. Derivando implícita-
mente la ecuación dada con respecto a x obtenemos:
cxdx
dy2 .
Para eliminar c observamos de la ecuación dada que
2x
yc
por lo tanto
x
y
dx
dy 2
Aquí
x
yyxF
2),( se convierte en
y
x
dx
dy
2
o 02 ydyxdx
la solución a este ecuación separable es kyx 22
2
1.
La figura 2 muestra las 2 familias de curvas ortogonales del ejemplo an-
terior.
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Figura 11.2 Familias ortogonales
11.1
Resuelve los siguientes problemas
1. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrige-
rador a una temperatura constante de Fo0 . Si después de 20
minutos la temperatura del cuerpo es Fo40 y después de 40
minutos la temperatura del cuerpo es de Fo20 . Halla la tempe-
ratura inicial de éste.
2. Un cuerpo a una temperatura de Fo50 se pone en un horno cu-
ya temperatura se mantiene a Fo150 . Si después de 10 minu-
tos la temperatura del cuerpo es de Fo75 , halla el tiempo re-
querido por el cuerpo para llegar a una temperatura de Fo100 .
3. Se sabe que la población de un estado crece a una rata proporcio-
nal al número de habitantes que viven actualmente en el estado. Si
después de 10 años la población se ha triplicado y después de 20
años la población es de 150.000 habitantes, halla el número de
habitantes que había inicialmente en el estado.
4. Un cuerpo de masa m se lanza verticalmente en el aire con una
velocidad inicial ov . El cuerpo no encuentra resistencia al aire.
Halla:
a. La ecuación del movimiento.
b. Una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t .
c. El momento mt en el cual llega el cuerpo a su altura máxima.
d. Una expresión para la posición del cuerpo en un momento t .
e. La altura máxima alcanzada por el cuerpo.
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5. Un tanque contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Para
0t , una solución salina que contiene media libra de sal por
galón se agrega en el tanque a una rata de 2 gal/min., mientras
que una solución bien mezclada sale del tanque a la misma rata.
Halla:
a. La cantidad.
b. La concentración de sal en el tanque en cualquier momento t .
6. Halla las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
xcey
7. Halla las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
cxyx 22
En este fascículo hemos trabajado algunas de las aplicaciones de las
ecuaciones lineales a problemas reales; hemos reconocido la importan-
cia de las ecuaciones diferenciales y su método de solución en el plan-
teamiento y búsqueda de respuesta en áreas diversas de la ciencia.
Rainville, Earl D. y Otros. Ecuaciones diferenciales. México: Ed. Prentice
Hall, octava edición, 1997, cap. 1 y 2
Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.
México: Ed. Inter. – Thomson Editores, sexta edición, 2000, cap. 3.
En el fascículo siguiente iniciaremos el estudio de las ecuaciones dife-
renciales de orden superior, Solucionaremos ecuaciones diferenciales li-
neales de segundo orden con coeficientes constantes. Para llevar a ca-
bo este procedimiento haremos uso de la llamada ecuación característi-
ca o auxiliar de la ecuación diferencial dada.
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Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 11
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad __________________________________________ Semestre _________________
Resuelve los siguientes problemas:
1. Un cuerpo con una masa de 10 slugs se suelta de una altura de 10.000 pies
sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional
a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser de 320 pies / segundo, encuen-
tra
a. Una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t .
b. Una expresión para la posición del cuerpo en un momento t .
c. El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 160
pies / segundo.
2. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con media libra
de sal por galón. Para 0t , otra solución salina que contiene 1 libra de sal
por galón se agrega en el tanque a una rata de 4 gal./min., mientras que una
solución bien mezclada sale del tanque a una rata de 8 gal./min. Halla la canti-
dad de sal en el tanque cuando éste contiene exactamente 40 galones de so-
lución.
3. Halla las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
222cyx