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Profesor Leopoldo Silva Bijit 21-09-2009

Tabla de contenido

CAPÍTULO 1 ................................................................................................................................................... 2

1 SISTEMAS TRIFÁSICOS. .................................................................................................................... 2

1.1. SISTEMAS TRIFÁSICOS....................................................................................................................... 2 1.2 DEFINICIONES BÁSICAS .................................................................................................................... 3

1.2.1 Señales trifásicas son tres variables sinusoidales de igual frecuencia angular y que difieren en

sus fases temporales. ................................................................................................................................ 3 1.2.2 Señales trifásicas equilibradas o simétricas o balanceadas son aquellas que tienen valores

máximos iguales y cuyas fases difieren en 120º........................................................................................ 3 1.2.3 Secuencia de fases ....................................................................................................................... 4

1.2.4 Operador a

............................................................................................................................ 4

1.3 GENERADOR SINCRÓNICO ................................................................................................................. 5 1.3.1 Generador monofásico ................................................................................................................ 5 1.3.2 Generador trifásico. .................................................................................................................... 7

1.4 FRECUENCIAS EMPLEADAS EN SISTEMAS TRIFÁSICOS ......................................................................12 1.5 VENTAJAS DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS .........................................................................................12

1.5.1 Flujo energético en sistemas trifásicos. ......................................................................................12 1.5.2 Sistema trifásico tetrafilar. Conductor neutro. ...........................................................................15 1.5.3 Generación de sistemas polifásicos a partir de uno trifásico. ....................................................16 1.5.4 Sistema trifásico trifilar. .............................................................................................................16 1.5.5 Tierra de protección. ..................................................................................................................16

1.6 MODELOS. COMPONENTES DE REDES TRIFÁSICAS. ...........................................................................17 1.6.1 Generador trifásico estrella. ......................................................................................................17 1.6.2 Generador trifásico triángulo. ....................................................................................................20 1.6.3 Carga trifásica estrella. ..............................................................................................................24 1.6.4 Carga trifásica triángulo. ...........................................................................................................25

1.7 REDES TRIFÁSICAS EQUIVALENTES. .................................................................................................26 1.7.1 Generadores equivalentes. .........................................................................................................26 1.7.2 Cargas equivalentes ...................................................................................................................27

1.8 POTENCIAS EN SISTEMAS TRIFÁSICOS. .............................................................................................28 1.8.1 Definiciones ................................................................................................................................28 1.8.2 Sistema equilibrado. ...................................................................................................................29

1.9 ANÁLISIS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS. ........................................................................29 1.9.1 Generador y carga en conexión estrella con neutro...................................................................29 1.9.2 Generador y carga conectados en triángulo. .............................................................................31 1.9.3 Generador estrella, carga triángulo. ..........................................................................................32 1.9.4 Generador triángulo, carga estrella. ..........................................................................................32 1.9.5 Carga en paralelo. ......................................................................................................................33 1.9.6 Caídas de tensión en sistemas con neutro. .................................................................................33

1.10 ANÁLISIS DE SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS. ..................................................................37 1.10.1 Generador y carga conectados en estrella con neutro. ..........................................................38

PROBLEMAS RESUELTOS ........................................................................................................................45

SISTEMAS TRIFASICOS ............................................................................................................................45

2 Redes Eléctricas


Capítulo 1

1 Sistemas trifásicos.

1.1. Sistemas trifásicos

La generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica se efectúa, generalmente, mediante

sistemas trifásicos.

El siguiente esquema ilustra el flujo de energía desde el generador hacia los consumidores o cargas:

Figura 1.1

La representación de la Figura 1.1, se denomina unilineal, debido a que sólo se dibuja una línea, en

lugar de los tres o cuatro conductores que emplean los sistemas trifásicos. Se indica con pequeños

trazos verticales, sobre la línea, el número de conductores que posee el sistema.

Se transmite con tensiones altas, ya que para un flujo de energía determinado las corrientes serán

menores, y tanto menores cuanto mayores sean las tensiones. A corrientes menores se tendrán

menores pérdidas por disipación en las líneas de transmisión. Recuérdese que la disipación en una

resistencia es proporcional al cuadrado de la corriente, y también varía proporcionalmente con el

largo de la línea e inversamente con la sección del conductor.

Se distribuye con tensiones menores por la forma de emplear la energía eléctrica y por razones de

seguridad. Los usos más difundidos de la energía eléctrica son: alumbrado, fuerza motriz y

calefacción; en todos ellos es deseable tener corrientes elevadas. En el caso de los motores,

recuérdese que la fuerza entre dos conductores que llevan corrientes es proporcional al producto de

éstas. En planchas, radiadores y calefactores en general interesa tener alta disipación, y ésta es

proporcional al cuadrado de la corriente.

La resistencia del cuerpo humano entre mano y pie, es de 1000 a 3000 Ohms. Entre ambas manos,

aproximadamente, 700 a 1000 Ohms. Si una persona, apoyada en tierra, toca un conductor que está

con cierta tensión respecto a tierra, permitirá que circule una corriente eléctrica a través de su

cuerpo.

Corrientes de 1,2 a 1,6 mA producen cosquillas.

Corrientes de 50 mA y mayores pueden causar la muerte.

Sistemas trifásicos 3


Los valores dados son muy variables y dependen de diversos factores. Por ejemplo, del estado de

aislación respecto a tierra, zapatos, guantes, humedad de las manos, calidad conductora del suelo,

etc. Corrientes que circulen entre ambas manos son más peligrosas, debido a la mayor circulación

en zonas cercanas al corazón.

Por razones de seguridad para los seres humanos, convendría disponer de tensiones bajas en redes

de distribución. Sin embargo, esto implicaría artefactos carísimos, ya que sería necesario

construirlos de tal modo que soportaran corrientes altas, en el caso de requerirse una potencia

determinada. Las tensiones normalizadas de distribución domiciliaria son 220 ó 110 Volts.

Los sistemas trifásicos de potencia pueden ser analizados con los conceptos básicos de la teoría de

redes. Sin embargo, debido a la importancia y uso que ellos tienen, se desarrollarán procedimientos

prácticos para analizarlos.

Nuestro objetivo será familiarizar con el lenguaje, nomenclatura y definiciones usuales de los

sistemas trifásicos. Para ellos desarrollaremos modelos y los analizaremos desde el punto de vista

de las redes eléctricas; no obstante, se introducirá el punto de vista físico cuando éste logre

enriquecer la información necesaria para cumplir con el objetivo propuesto.

Se estudiarán sistemas trifásicos en estado estacionario y con señales sinusoidales de igual

frecuencia angular. Se tratarán, en general, sistemas trifásicos en condiciones normales de

operación. Fenómenos transitorios, armónicas y fallas en sistemas trifásicos no serán desarrollados

en este texto.

1.2 Definiciones Básicas

1.2.1 Señales trifásicas son tres variables sinusoidales de igual frecuencia angular y que difieren

en sus fases temporales.

1.2.2 Señales trifásicas equilibradas o simétricas o balanceadas son aquellas que tienen valores

máximos iguales y cuyas fases difieren en 120º.

Ejemplo 1.1

En la Figura 1.2 se ilustra un conjunto de voltajes trifásicos equilibrados.

La Figura 1.3 muestra corrientes trifásicas desequilibradas.

Figura 1.2 Figura 1.3

Ejemplo 1.2

En la Figura 1.4 se muestran las formas de ondas asociadas a los fasores de la Figura 1.2

Si nos fijamos en los instantes en que las señales tienen un valor determinado, veremos que la señal

2e adquiere ese valor después que la señal 1e ; y que un instante después toma dicho valor la señal

3e .

4 Redes Eléctricas


Figura 1.4

Se aprecia mejor la secuencia, si se observan los valores mínimos, máximos o los cruces por cero.

Para las señales de la Figura 1.4, la secuencia de fases es (1, 2, 3); esto también puede observarse

directamente en la Figura 1.2, recordando que los fasores son las transformadas fasoriales de las

señales girando en sentido contrario al del reloj.

También puede decirse que la secuencia es (2, 3, 1) ó (3, 1, 2). Se acostumbra escoger la secuencia

en orden ascendente, ya sea alfabética o numéricamente.

1.2.3 Secuencia de fases

La secuencia describe el orden en que los fasores pasan por una referencia temporal arbitraria. Se la

anota mediante un conjunto ordenado de los subíndices de las señales, encerrados entre paréntesis.

1.2.4 Operador a

Es conveniente definir el operador a

, para describir un desfase de 120º. Nótese que es un número

complejo.

1120ºa

Algunas relaciones: 2 º240 1 120ºa

31a

21 0a a

La Figura 1.5 resume las principales relaciones.

Figura 1.5



1.3 Generador sincrónico

1.3.1 Generador monofásico

Para producir tensiones alternas, generalmente, se emplea un conversor electromecánico de

energía, denominado generador sincrónico o alternador.

El dispositivo se construye enrollando un conductor de cobre sobre un núcleo de fierro. Por un

conductor se hace circular corriente continua, lo cual produce un campo magnético; el fierro al

magnetizarse permite obtener un valor mayor de la inducción magnética en las caras polares de

electroimán.

Figura 1.6

Al electroimán indicado, se le agrega un eje mecánico y se lo impulsa mediante energía mecánica

que se le suministra. La fuerza motriz puede provenir de una turbina a gas, agua o vapor; también

puede ser un motor a explosión.

Por otro lado, se dispone de un enrollado fijo, dentro del cual gira el electroimán:

Figura 1.7

Para fijar el devanado se lo incorpora dentro de ranuras en un dispositivo cilíndrico, que se

construye en fierro y se denomina estator.

Al girar la parte móvil o rotor, se inducirán de acuerdo con la Ley de Faraday, tensiones en el

devanado estacionario o estator.

En la Figura 1.7 se han definido las referencias para las variables del estator:

es el flujo enlazado por el estator.

e es la tensión generada por el campo magnético variable producido por el rotor.

También se indica la referencia para el movimiento del rotor. Si , la frecuencia angular de giro,

es positiva, de acuerdo con la referencia indicada, existirá un giro del rotor según el reloj; esto

mirando el rotor desde los terminales a y a’, en donde se induce la tensión e.

6 Redes Eléctricas


En un curso básico de electromagnetismo, para estudiantes de ingeniería, se fundamenta que con

las referencias elegidas resulta:

de

dt (1.1)

La relación (1.1) es general; pero consideramos que el circuito del estator está abierto. De este

modo no se considera la disipación, ni la tensión de reacción debida al flujo de la corriente en el

circuito del estator. Es decir, el flujo enlazado sólo es debido al campo asociado al rotor.

Para recordar las referencias de la relación (1.1), se suele emplear la regla de la mano derecha. Se

coloca el pulgar, en la dirección de referencia asumida para el flujo enlazado; el resto de los dedos

indica una dirección que, seguida a través del circuito, indica la polaridad positiva de la referencia

para el voltaje entre los terminales.

Se suele representar la configuración anterior mediante el esquema que se muestra en la Figura 1.8,

que corresponde a una vista en corte de la sección del artefacto.

Figura 1.8

En la Figura 1.8 no se muestra como se cierran los devanados; tampoco se indica el enrollado del

rotor, ni como se lo alimenta.

El esquema se muestra en el instante t igual a cero.

En 0t el flujo enlazado es máximo positivo, las líneas del rotor atraviesan el área encerrada por

el estator, en igual dirección que la de referencia.

Si el rotor gira según el reloj, un instante después de 0t , se tendrá un flujo enlazado positivo,

pero menor que el inicial. Debe recordarse que para calcular el flujo enlazado importan las líneas

que inciden normalmente con la superficie.

Cuando ha girado 90º se tendrá que el flujo enlazado será cero, y un instante después se tendrá un

flujo negativo. La Figura 1.9, muestra la forma de onda del flujo enlazado por el estator. Se ha

supuesto una forma sinusoidal, como una aproximación razonable para simplificar el desarrollo.

Figura 1.9



Derivando la forma de onda, ya sea analítica o gráficamente, y cambiando el signo se obtiene la

Figura 1.10.

'

ˆ ( )

ˆ ( )aa

dsen t

dt

e sen t

Figura 1.10

Un modelo de redes del generador sincrónico se muestra en la Figura 1.11.

Figura 1.11 Figura 1.12

En la Figura 1.12 se ilustra un modelo más real del generador, en él se han considerado las pérdidas

por disipación y la autoinductancia del estator.

1.3.2 Generador trifásico.

El dispositivo descrito en 1.3.1. es monofásico. Hemos utilizado antes la palabra fase, para

describir la “diferencia de fase” entre dos formas de ondas sinusoidales, o el ángulo de un sinusoide

respecto a una referencia. También en una máquina eléctrica se emplea el término fase para

describir un devanado y sus dos terminales asociados.

Un generador sincrónico tiene generalmente tres enrollados o fases en el estator. Lo cual permite

generar tensiones trifásicas.

Las fases se distribuyen, en el espacio, con 120º de separación, como se indica en la Figura 1.13.

Figura 1.13

Para giro según reloj, y aproximados por sinusoides, los flujos enlazados son como se muestran en

las figuras siguientes. La Figura 1.14 muestra el flujo asociado a la fase a.

8 Redes Eléctricas


Figura. 1.14

Debe notarse que b pasa por un máximo positivo de 30º después del instante inicial, como se

ilustra en la Figura 1.15.

Figura 1.15

En forma análoga, c pasa por cero 60º después del instante inicial. La forma de onda se muestra en

la Figura 1.16.

Figura 1.16

Se tiene para los flujos enlazados:

ˆ ( )

ˆ cos( 30º )

ˆ ( 60º )

a a

b b

c c

sen t

t

sen t

Aplicando a las expresiones anteriores, la Ley de Faraday, relación (1.1), se obtienen:

'

'

'

ˆ cos( )

ˆ ( 30 )

ˆ cos( 60 )

aa a

bb b

cc c

e t

e sen t

e t



Figura 1.16

Relaciones que se simbolizan mediante transformadas fasoriales en la Figura 1.17, con secuencia

(a, b, c).

Figura 1.17

Un diagrama de redes del alternador trifásico idealizado se muestra en la Figura 1.18.

Figura 1.18

En forma análoga pueden obtenerse las tensiones generadas cuando el rotor gira en sentido

contrario al reloj. Los resultados se muestran en las Figuras 1.19 y 1.20.

Figura 1.19

Para los flujos enlazados, se obtienen:

ˆ ( )

ˆ cos( 30º )

ˆ cos( 30º )

a a

b b

c c

sen t

t

t

10 Redes Eléctricas


Figura 1.20

Las tensiones entre terminales, con secuencia (c, b, a):

'

'

'

ˆ cos( )

ˆ ( 30 )

ˆ cos( 60 )

aa a

bb b

cc c

e t

e sen t

e t

Igual resultado puede obtenerse si en (1.2) se cambia por .

Si denominamos secuencia positiva a la de la Figura 1.17, suele llamarse secuencia negativa a la de

la Figura 1.19. Debe notarse que en ambas figuras los fasores giran en sentido contra reloj; pero los

sentidos de giro de los rotores son diferentes.

Ejemplo 1.3 Secuencia y sentido de giro del rotor.

Una característica de los conversores de energía es que son reversibles; es decir, si a un dispositivo

como el indicado se le suministra energía eléctrica trifásica por el estator y si se mantiene la tensión

continua aplicada al rotor, se podrá obtener energía mecánica en el eje. En este caso se dice que el

conversor es un motor sincrónico trifásico.

Para enfatizar el concepto de secuencia analicemos los siguientes diagramas:

Figura 1.21

Figura 1.22

Si en la Figura 1.21 el eje del motor gira según el reloj, en la Figura 1.22 girará en sentido

contrario.

En las figuras anteriores puede suponerse que los puntos a’, b’ y c’ se han unido en un punto

denominado g , en el caso del generador; y m en el motor.

Ejemplo 1.4.



Determinar el modelo de redes para el siguiente generador trifásico:

El diagrama se muestra en t=0

Figura E.1.4.1

Solución:

Se eligen referencias para los enlaces de flujos en las fases aa’ y bb’, según se indica en la Figura

E.1.4.2.

Figura E.1.4.2

Entonces, aplicando la Ley de Faraday, resultan:

'a

aa

de

dt '

bbb

de

dt

Las formas de ondas de los flujos, se pueden describir en primera aproximación, por:

Figura E.1.4.3

Entonces se tiene:

'

'

ˆ cos( )

ˆ ( )

aa a

bb b

e E t

e E sen t

Con:

ˆa aE

ˆ

b bE

El modelo de redes puede representarse por:



Figura E.1.4.4

1.4 Frecuencias empleadas en sistemas trifásicos

La frecuencia de las señales sinusoidales dependerá de la velocidad angular con que se impulsa al

rotor. Existen varias razones por las que se emplean frecuencias de 50 ó 60 Hz.

Cuando se inició la transmisión de energía eléctrica se empleó corriente continua; pero por

limitaciones técnicas no se podía subir mucho la tensión, debido a la ruptura de dieléctricos, en los

generadores de corriente continua. Debido a esto, se producían grandes pérdidas en la línea por

disipación. Por esta razón se intentó transmitir con frecuencias alternas, que permiten el uso de

transformadores para elevar y bajar los niveles de tensión. Se comenzó a emplear 133,3 Hz; pero

esta frecuencia hacía importante el valor de la inductancia de las líneas, lo cual implicaba

almacenamiento reactivo de energía en las inmediaciones de los cables.

Valores más altos de frecuencia empeoran la situación y además producen irradiación de energía.

Se emplean aún, en otros países, líneas con frecuencia de 25 Hz, sobre todo en transmisión a

distancias largas. Pero esta frecuencia produce un parpadeo apreciable de la luz emitida por

ampolletas de filamento incandescente, y no puede emplearse en alumbrado, pero sí en fuerza

motriz.

Finalmente los valores exactos de 50 ó 60 Hz, corresponden a normalizaciones que los diversos

países se dan para tener: uniformidad en equipos, instalaciones, repuestos, mercado, etc.

1.5 Ventajas de los sistemas trifásicos

La transmisión por corriente continua permite ahorrar cobre, ya que sólo son necesarias dos

conductores. Para que sea eficiente debe efectuarse con tensiones bastante altas y en distancias

grandes.

La transmisión alterna trifásica es la solución económica más empleada actualmente. Permite el uso

de transformadores y pueden emplearse sólo tres conductores para transmisión a largas distancias.

A igualdad de potencia, los motores monofásicos son más grandes, tienen menor rendimiento, un

factor de potencia más bajo y menor capacidad para las sobrecargas que los trifásicos. Por esta

razón las industrias suelen usar motores trifásicos.

1.5.1 Flujo energético en sistemas trifásicos.

Debe recordarse que en caso de transmisión monofásica la potencia activa instantánea contiene un

término oscilatorio. Veremos que, en sistemas trifásicos en condiciones normales, la potencia

activa instantánea es una constante, lo cual implica un transporte de la energía más parejo que en

sistemas monofásicos.

Supongamos que los devanados de un generador trifásico se conectan en un punto común, y que el

sistema está conectado a una carga o consumidor como se indica en la Figura 1.23.



Figura 1.23

Aplicando el teorema de conservación de la potencia, se obtiene la siguiente expresión para la

potencia instantánea que ingresa a la carga, proveniente de las tres fuentes de tensión:

1 1 2 2 3 3p e i e i e i (1.3)

La potencia aparente, en caso de excitaciones sinusoidales de igual frecuencia, será:

1 1 2 2 3 3P E I E I E I (1.4)

Supondremos que las tensiones son simétricas y con las siguientes transformadas fasoriales:

10oE E

2E E a

2

3E E a

En condiciones normales las corrientes serán equilibradas, y las supondremos desfasadas respecto

de las tensiones del generador:

1I I

2 1I I a

2

3 1I I a

Reemplazando en la relación 1.4 se obtiene:

3 cos( ) 3 ( )P E I j E I sen (1.5)

Entonces la potencia instantánea resulta:

( ) 3 cos( )p t E I (1.6)

Debe notarse que la expresión (1.6) es una constante, respecto del tiempo.

Ejemplo 1.5.

Determinar el flujo de energía desde la red A hacia la red B.

Figura E.1.5.1.

Solución:



Consideremos la potencia que ingresa a la red B; y reemplazaremos la red A por una equivalente,

tal que no se modifiquen las tensiones en las líneas 1, 2 y 3.

Aplicamos teorema de substitución por fuente de voltaje de los terminales de la red A; obtenemos:

Figura E.1.5.2

Nótese que entre el terminal 1 y 2 aparece una tensión 1 2( )v v .

La potencia que ingresa a B estará dada por la suma de las potencias suministradas por las fuentes

de tensión:

1 3 1 2 3 2( ) ( )p v v i v v i (i)

Arreglando:

1 1 2 2 3 1 2( )p v i v i v i i

Por LCK se cumple que: 3 1 2( )i i i

Entonces resulta:

1 1 2 2 3 3p v i v i v i (ii)

Aplicando movilidad de fuentes a la figura E.1.5.2 se obtiene:

Figura E.1.5.3

En la cual se ve la relación (ii) en forma más simple, ya que es la suma de las potencias entregadas

por los generadores.

Debe notarse que la relación (i) garantiza que puede medirse la potencia, determinando dos

corrientes y dos diferencias de potencial. En un curso de mediciones, se desarrollan métodos para

medir potencia trifásica mediante el empleo de dos wattímetros (conexión de Aron).



Puede demostrarse, en general, que en un sistema m-fásico, sólo se precisan (m-1) wattímetros para

medir la potencia activa del sistema (Teorema de Blondel).

1.5.2 Sistema trifásico tetrafilar. Conductor neutro.

En la distribución domiciliaria y de fuerza se emplean transformadores con secundario conectado

en estrella. En la figura 1.24. se muestra un transformador de distribución.

Figura 1.24

El conductor n se denomina neutro, y los conductores que se conectan, para hacer la distribución,

en a, b y c se denominan líneas. El neutro está conectado, en el secundario o lado de baja tensión

del transformador, mediante un conductor con la tierra.

El concepto de fase está relacionado con la generación; mientras que el de línea con la transmisión.

Sin embargo, en la jerga de los electricistas, suele usarse el término fase para referirse a una línea,

provocando confusión.

Los valores efectivos de las tensiones entre líneas están normalizados a 380 V; y entre el neutro y

una línea se tienen 220 V. Las relaciones gráficas se muestran en la Figura 1.25.

El enrollado entre a y el punto común se denomina fase. Por esta razón también se dice que la

tensión entre fase y neutro es de 220 V. Se suele abreviar y decir que la tensión de fase es 220 V.

Figura 1.25

El sistema tetrafilar permite disponer de dos juegos de señales trifásicas. Uno con valores de

tensión de 380 V, y el otro con tensiones de 220V. Además, se dispone de tres alimentaciones

monofásicas de 220 V, que se emplean para distribuir energía en las casas.

En cada barrio o sector existe una subestación de distribución que contiene un transformador como

el recién descrito. Se trata de lograr que el total de energía consumida sea igual en cada fase.

En un caso ideal, las corrientes en las fases serán simétricas y, por lo tanto, su suma será cero. En

un caso real esto no es posible y existirá una suma distinta de cero. La suma de las corrientes de las

fases es la corriente en el neutro; y si la corriente en el neutro es pequeña puede emplearse un

conductor de sección menor, lo cual disminuye el costo de la instalación.



Si existe sobrecarga de una fase, se presentarán corrientes desequilibradas que pueden hacer

disminuir la tensión de una fase y aumentar la tensión en otra. Esto causa problemas, ya que una

caída de un 5% de la tensión reduce el brillo de las ampolletas en un 20%; y una sobretensión de

un 5% aumenta la luminosidad en un 20%, pero reduce la vida útil de la ampolleta en un 50%.

Además, esto empeora el funcionamiento de motores trifásicos y también los televisores y otros

equipos.

El torque de arranque de los motores trifásicos varía con el cuadrado de la tensión de alimentación;

si ésta disminuye puede suceder que no parta el motor.

Los motores trifásicos tienen tres devanados de igual impedancia y pueden ser conectados al

sistema de 220 o al de 380 V. En el primer caso quedan conectados en estrella; en el segundo, en

triángulo. Los motores asincrónicos de más de 3 HP, suelen utilizar los dos sistemas de tensiones.

Parten en estrella, lo cual disminuye la corriente en las fases, y luego se conectan en triángulo.

1.5.3 Generación de sistemas polifásicos a partir de uno trifásico.

Otra ventaja del sistema trifásico, es que mediante transformadores especiales pueden lograrse

sistemas de 6 y 12 o más fases. Estos sistemas polifásicos se emplean generalmente en

convertidores, que son dispositivos que convierten energía alterna en energía continua. Está

probado que con un número mayor de fases se aumenta la eficiencia de la conversión.

En ferrocarriles suele aún emplearse convertidores giratorios para obtener la tensión continua de

alimentación.

Los convertidores actuales suelen ser estáticos, y se construyen empleando tiristores.

1.5.4 Sistema trifásico trifilar.

Se emplean en líneas de transmisión a largas distancias con tensiones del orden de 100 KV; y en la

distribución secundaria para alimentar los transformadores descritos en 1.5.2.

La razón de su empleo es económica. Se usan sólo 3 cables.

1.5.5 Tierra de protección.

Con el fin de evitar la aparición de tensiones peligrosas entre partes de instalaciones, que

normalmente están sin tensión, y otras partes vecinas que pueden encontrarse al potencial local de

tierra, se suele usar una tierra de protección.

Un extremo de un conductor se conecta a tierra, cerca del lugar donde se usa la energía, y el otro a

las partes metálicas exteriores que normalmente estén sin tensión.

En los enchufes de las casas, el conductor central es la tierra de protección.

Figura 1.26



1.6 Modelos. Componentes de redes trifásicas.

1.6.1 Generador trifásico estrella.

a) Generalidades:

Si en el diagrama de la Figura 1.18, se unen los terminales a’, b’ y c’ en un solo punto, tendremos

la configuración de un generador trifásico estrella. Si además conectamos una línea al punto

común, tendremos un sistema estrella con neutro. La Figura 1.27 muestra la conexión con las

referencias para las variables.

El nombre estrella se debe a la forma geométrica que adoptan las fuentes de tensión. También suele

llamarse y por la similitud de la forma de la conexión con dicha letra.

Figura 1.27

El modelo es idealizado, ya que considera sólo fuentes de tensión ideales. Será una buena

aproximación de un generador real, si las impedancias de carga conectadas en las líneas son mucho

mayores que las internas.

Para las tensiones en las fases generador se ha elegido la notación con doble subíndice. Si se

midieran los potenciales absolutos de los voltajes a y n , y se expresaron como av y nv

respectivamente, se tendrá:

an a ne v v (1.7)

Veremos que la notación con doble subíndice facilitará dibujar e interpretar el diagrama fasorial

asociado a las tensiones de fase.

Debe notarse que se ha empleado la letra e para denominar las tensiones de fase, esta diferencia se

ha realizado para facilitar la diferencia con una caída de voltaje en una carga, la cual

denominaremos con la letra v.

Se han elegido las corrientes en las líneas saliendo del generador. De esta forma la potencia

instantánea que fluye hacia la carga, proveniente de cada fase del generador, tendrá signo positivo.

Ver expresión (1.3)

En esta conexión la corriente en la fase es igual a la corriente en la línea.

fY

I I (1.8)

En la práctica, en lugar de a, b y c se emplean R, S y T.

b) Tensiones en las fases: ( )fE

Las tensiones en las fases o los voltajes entre líneas y neutro pueden expresarse en función de una

de las tensiones de fase si el generador es equilibrado. Elegiremos generación en secuencia

( , , )a b c y usaremos anE como tensión de referencia.

Entonces:



2

0ºan f

bn an

cn an

E E

E a E

E a E

(1.9)

Especificando la tensión de referencia, la relación (1.9) permite determinar las otras tensiones en

las fases.

c) Tensiones entre líneas ( )llE

Veremos que las tensiones entre líneas son señales trifásicas simétricas y que pueden expresarse en

función de la tensión de la fase elegida como referencia.

Se tiene, aplicando LVK:

ab an bn

ca cn an

bc bn cn

E E E

E E E

E E E

(1.9a)

Empleando (1.9), resulta:

2(1 ) 3 30ºab an anE a E E (1.10a)

En forma similar se obtienen:

3 150ºca aban

E E a E (1.10b)

2

3 90ºbc aban

E E a E (1.10c)

Se advierte que las tensiones entre líneas son mayores que las tensiones de fases. En general, se

cumple la siguiente relación entre los módulos:

3ll fY

E E (1.11)

d) Diagrama fasorial:

Las relaciones anteriores pueden recordarse con facilidad apoyándose en el símbolo de la Figura

1.28, mediante la siguiente regla:

En el diagrama fasorial la flecha (polaridad positiva) apunta a la letra del primer índice.



Figura 1.28

Debe notarse que colocando en secuencia las letras a, b, c y n es suficiente para tener toda la

información. Ya que, por ejemplo, la variable caE tiene su polaridad positiva en c y la negativa en

a. El orden de las letras es importante, deben formar la misma secuencia que la del generador.

La Figura 1.29 presenta la misma información del diagrama fasorial anterior, pero ya no puede

emplearse las letras dibujadas en los extremos de las transformadas fasoriales para identificar las

variables con doble subíndice.

Figura 1.29

Resulta sencillo demostrar que:

0an bn cn

E E E (1.12)

0ab bc ca

E E E (1.13)

La relación (1.13) se cumple siempre (LVK); mientras que la (1.12) se debe a la condición de

simetría, establecida en (1.9).

e) Corrientes:

Las corrientes en las líneas dependerán de lo que se conecte al generador.

En caso de sistema tetrafilar, Figura 1.27, se tendrá:

n a b ci i i i (1.14)

El estudio de un generador trifásico estrella sin neutro, es similar al desarrollado anteriormente.

Excepto que en la relación (1.14) se efectúa in = 0.

El generador trifásico mantiene las relaciones expresadas en (1.8) y (1.10) independientemente de

la corriente que circule por las líneas.



f) Símbolos:

En adelante, cuando nos interese la conducta en los terminales de un generador estrella, usaremos

los siguientes símbolos:

La Figura 1.30 muestra el caso tetrafilar, indicando cada línea explícitamente. La Figura 1.31

presenta la misma información, pero es forma unilineal.

Figura 1.30 -1.31

El caso trifilar se indica en las figuras 1.32 y 1.33.

Figuras 1.32 -1.33

Ejemplo 1.6.

Para generador estrella, con secuencia (a, c, b), determinar bc

E en función de an

E .

Solución:

El diagrama fasorial es el siguiente:

Ejemplo 1.6

Se advierte que 3 90ºbc an

E E

Puede compararse el resultado con la relación (1.10c), y el diagrama con la Figura 1.28.

1.6.2 Generador trifásico triángulo.

a) Generalidades:



Si en la Figura 1.18 se une el terminal a con c’, el c con b’, y el terminal b con a’, se obtiene la

configuración triángulo. El nombre es debido, obviamente, a la forma geométrica de la conexión.

En la Figura 1.34 se muestra la conexión y la referencia para las variables.

Figura 1.34

En la red, las corrientes con doble índice, indican la dirección en que fluye la corriente.

La conexión también se denomina delta, ya que el símbolo para esa letra mayúscula griega es .

El sistema trifásico, en este caso, sólo puede ser trifilar. El símbolo terminal, especificando las

líneas, se muestra en la Figura 1.35; y el diagrama unilineal se ilustra en la Figura 1.36 para

secuencia (a, b, c).

Figuras 1.35 – 1.36

b) Tensiones:

En la conexión triángulo las tensiones entre líneas son iguales a las tensiones en las fases.

ll fE E (1.15)

Para generación simétrica, en secuencia (a, b, c), las relaciones entre las tensiones se muestra en la

Figura 1.37.

Figura 1.37



Si se elige la tensión entre a y b como referencia se tendrá:

0llab

E E

2

bc abE a E (1.16)

ca abE a E

Y se cumple:

0ab bc ca

E E E

(1.17)

La relación 1.17, puede observarse gráficamente en la Figura 1.37; corresponde a la aplicación de

LVK en el triángulo.

El generador ideal, definido en 1.16, sostiene las tensiones independientemente de las corrientes

que circulan por las fuentes de tensión.

c) Corrientes:

Aplicando LCK se cumple que:

0a b c

I I I (1.18)

Y también que:

a ba acI I I

b cb baI I I (1.19)

c ac cbI I I

Si se conocen las corrientes en las fases pueden determinarse las corrientes en las líneas. Pero si se

conocen las corrientes de líneas no pueden determinarse unívocamente las de fase, salvo que se

agregue una condición adicional.

En el sistema formado por (1.19) no pueden despejarse las corrientes de fase en términos de las de

línea. La matriz resulta singular.

c1) Corrientes en las fases:

Supondremos que las corrientes de fases constituyen un sistema equilibrado. Esto es equivalente a

suponer que cada generador entrega igual potencia aparente.

Empleando igual convenio para los diagramas fasoriales con variable de doble subíndice se obtiene

la Figura 1.38.

También pueden representarse como se indica en la Figura 1.39.



La Figura 1.38 ilustra gráficamente la relación (1.18); mientras que en la Figura 1.39 se aprecia que

las corrientes de fase son simétricas.

Figura 1.38

Figura 1.39

c2) Corrientes en las líneas:

Aplicando en la Figura 1.39 la relación (1.19) se obtiene la Figura 1.40.

Figura 1.40

Debe observarse que los módulos de las corrientes de líneas son mayores que los de las corrientes

en las fases. Es decir:

3l fI I (1.20)

La regla del doble índice no se aplica para las corrientes de línea que tienen un solo subíndice. En

la Figura 1.40 se advierte la relación (1.18), pues las corrientes forman un triángulo. Y como éste

es equilátero se tendrá que las corrientes de línea son simétricas. La relación entre los ángulos de

las corrientes en las líneas y en las fases se observa en la Figura 1.41., que es equivalente con la

Figura 1.40.



Figura 1.41

Ejemplo 1.7.

En un generador triángulo se conoce la corriente de línea:

3 ( 30º )ai sen t

Determinar la potencia aparente suministrada por la fase bce , con:

2 cos( 30º )bce t

Solución:

La potencia aparente pedida es:

*

bc cbP E I

Y se conoce 2

30º2bc

E

Para secuencia (a, b, c) se tiene, viendo la Figura 1.40:

90º3

a

cb

II

Pero se da la corriente en la línea a, entonces:

360º

2aI

Resulta:

3 33 120º

2 2P j

1.6.3 Carga trifásica estrella.

En la Figura 1.42 se muestra la carga trifásica estrella con las referencias para las variables.

Para los voltajes en las impedancias de la carga se ha elegido la letra V.



Figura 1.42

Las corrientes en las líneas se escogen entrando a la carga. Entonces la potencia aparente que entra

a la carga se expresa según:

* * *a b ca b c

P V I v I v I (1.21)

Si existe conductor neutro, se tendrá:

n a b cI I I I (1.22)

En caso de alimentación trifilar se tendrá:

0a b c

I I I (1.23)

Se dice que la carga estrella es equilibrada o balanceada sí y sólo si:

a b cZ Z Z (1.24)

A veces se menciona la relación (1.24) como carga simétrica; sin embargo, es más adecuado el

término para la generación.

Cuando deseemos referirnos a la conducta externa de la carga, es decir, desde sus terminales,

emplearemos los diagramas que se muestran en las Figuras 1.43 y 1.44.

Figuras 1.43 – 1.44

1.6.4 Carga trifásica triángulo.

La conexión y las variables se muestran en la Figura 1.45



Figura 1.45

La potencia aparente que ingresa a la carga se expresa según:

* * *bcab caab bc ca

P V I V I V I (1.25)

Siempre se cumple que:

0ab bc ca

V V V (1.26)

Se dice que la carga trifásica triángulo es equilibrada, o balanceada, o simétrica, sí y sólo si se

cumple:

ab bc caZ Z Z (1.27)

Los diagramas para representar la componente desde sus terminales; o bien, en la forma unilineal,

son similares a las Figuras 1.43 y 1.44, excepto que en lugar de la estrella se coloca un triángulo.

1.7 Redes trifásicas equivalentes.

1.7.1 Generadores equivalentes.

Sean las siguientes redes:

Figuras 1.46 – 1.47

En las Figuras 1.46 y 1.47 la carga trifásica es la misma, no importando si está conectada en

estrella o triángulo.

a) Estrella a triángulo

Si se conoce el generador estrella nos interesa determinar el generador triángulo equivalente,

respecto de la red trifásica conectada al generador.

Mediante el teorema de substitución por fuente de voltaje, se reemplaza la configuración estrella

por un triángulo, manteniendo las tensiones entre líneas. La relación (1.10) permite obtener los



generadores entre líneas equivalentes, en caso que la estrella sea simétrica. La Figura 1.28 muestra

gráficamente la situación; la Figura 1.48 presenta la misma información que la Figura 1.28, pero

hace énfasis en las relaciones entre magnitudes y fases de ambos sistemas.

Figura 1.48

Si la estrella es simétrica, se tendrá un triángulo simétrico. Si la generación estrella es

desequilibrada, el equivalente triángulo puede obtenerse siguiendo un procedimiento semejante al

recién descrito. En este caso resultará un generador triángulo desequilibrado.

b) Triángulo a estrella

Existen múltiples soluciones; es decir, el generador estrella no es único. Esto puede visualizarse en

el diagrama fasorial de la Figura 1.28, para el caso equilibrado, observando que el punto neutro de

la estrella puede colocarse en cualquier lugar. Si se está interesado en determinar variables en la

carga, podrá escogerse cualquiera de los generadores estrella, sin alterar la solución. Ya que todos

ellos mantienen las tensiones entre líneas.

1.7.2 Cargas equivalentes

a) Estrella triángulo

Para los diagramas de las Figuras 1.42 y 1.45, y en caso de carga estrella sin neutro, se tienen las

siguientes relaciones para convertir una carga estrella en una equivalente conectada en triángulo.

2

V

ab

c

zZ

z

2

V

bc

a

zZ

z (1.28)

2

V

ca

b

zZ

z

Donde:

2

v a b b c c aZ Z Z Z Z Z Z

(1.29)

b) Triángulo estrella

Para convertir una carga triángulo en una estrella equivalente, se tienen:



ab ca

a

z zZ

z

bc ab

b

z zZ

z

(1.30)

ca bc

c

z zZ

z

Donde:

ab bc caz Z Z Z

(1.31)

c) Carga balanceada

Si la carga es equilibrada, las relaciones se simplifican

1

3fY fZ Z

(1.32)

3 fYf

Z Z

(1.33)

Donde el subíndice f recuerda la palabra fase.

1.8 Potencias en sistemas trifásicos.

1.8.1 Definiciones

Si en un sistema trifásico se numeran las fases como sigue:

Figuras 1.49 – 1.50

Y si se definen las referencias, para cada fase, de tal modo que el producto de la tensión de fase por

la corriente de fase sea la potencia instantánea que entre a la fase se tendrán:

Potencia activa trifásica:

30 1 2 3 ( )P P P P W (1.34)



Potencia reactiva trifásica:

30 1 2 3 ( )Q Q Q Q VAR (1.35)

Potencia aparente trifásica (módulo)

30

2 2

30 30apP P Q VA (1.36)

Factor de potencia trifásico

30

30

ap

P

P (1.37)

Donde:

1 1 1 1cos( )P V I

1 1 1 1( )Q V I sen

Si la fase es una impedancia, 1 es el ángulo de ésta.

Si la fase es un generador, 1 es el ángulo medido desde 1

I

hacia 1

V

.

Existen relaciones análogas para las fases dos y tres.

1.8.2 Sistema equilibrado.

Las relaciones se simplifican, y pueden expresarse según:

30 1 1 13 cos 3 cosf fP V I V I W (1.38)

30 1 1 13 3f fQ V I sen V I sen VAR (1.39)

30 1 13 3ap f fQ V I V I VA (1.40)

30 10FP FP (1.41)

Las relaciones anteriores pueden aplicarse a la conexión estrella y a la conexión triángulo,

mediante la correcta identificación de las variables de fase y de las líneas.

1.9 Análisis de sistemas trifásicos equilibrados.

1.9.1 Generador y carga en conexión estrella con neutro.

En la Figura 1.51 se muestran las conexiones y variables del sistema que se desea analizar.



Figura 1.51

Sean además:

1 cZ Z Z

Z Z

º0

anE E

Secuencia (a, b, c)

Se tienen las siguientes ecuaciones independientes:

an a n nE I Z I Z

(1.42)

bn b n nE I Z I Z

(1.43)

cn c n nE I Z I Z

(1.44)

an b cI I I I

(1.45)

Las tensiones en las fases cumplen (1.9); además, se cumple la relación (1.12).

Sumando las relaciones (1.42), (1.43) y (1.44), y aplicando (1.12), se puede despejar n

I

Si es ésta se aplica (1.45) se obtendrá:

3 0n n

I Z Z

Entonces se tendrá:

0n

I

(1.46)

Y puede aplicarse teorema de sustitución por circuito abierto. Esto equivale a sacar conexión entre

los neutros.



La relación (1.46) también implica que la tensión entre los neutros es cero; y puede aplicarse

teorema de sustitución por cortocircuito. Y la red puede estudiarse como tres redes monofásicas.

Puede verse al introducir (1.46) en (1.42), (1.43) y (1.44) que las corrientes son simétricas, y

pueden calcularse según:

an

a

E EI

Z Z

2

b aI a I

(1.47)

c aI a I

Relación que insinúa que sólo es preciso calcular para la fase a, y las variables para las fases b y c

se obtienen desfasando es más y menos 120º, los valores obtenidos para la fase a.

Las potencias se calculan mediante (1.38) y (1.39), resultan:

2

30 3 cosE

P WZ

2

30 3E

Q sen VARZ

1.9.2 Generador y carga conectados en triángulo.

Figura 1.52

Sean:

Z Z

0ºab

E E

Secuencia (a, b, c)

Se considera cero las impedancias de las líneas.

Cálculo de las tensiones en las fases de la carga:

0ºabab

V E E



2 2

0ºbcbc ab

V E a E a V

(1.48)

0ºcaca ab

V E a E aV

Cálculo de las corrientes en las fases de la carga:

ab

ab

VE

IZ Z

2

bc abI a I

(1.49)

ca abI a I

Cálculo de las corrientes en las líneas:

1 3 30ºa ca abab

EI a I a I

Z

2

b aI a I

(1.50)

c aI a I

La determinación de las potencias se realiza, sin dificultad, mediante las fórmulas desarrolladas en

(1.8).

1.9.3 Generador estrella, carga triángulo.

El cálculo de las tensiones en las fases de la carga, se puede efectuar determinando el generador

equivalente triángulo desarrollado en el punto 1.7.1.

Figura 1.53

Determinada la tensión en la fase ab, pueden aplicarse los resultados obtenidos en 1.9.2.

1.9.4 Generador triángulo, carga estrella.

Debido a que la carga es equilibrada, puede determinarse el generador estrella equivalente

equilibrado según se vio en el punto 1.7.1.

Luego se aplica igual desarrollo que en 1.9.1.



Figura 1.54

Un método alternativo es obtener el equivalente triángulo de la carga, y determinar las corrientes en

las líneas según 1.9.2. Estas corrientes serán iguales a las que circulan en las fases de la carga

estrella. Luego pueden determinarse, mediante las impedancias y corrientes de fases, las tensiones

en las fases de la carga estrella.

1.9.5 Carga en paralelo.

Ocurre frecuentemente, en la práctica, el tener que efectuar cálculos en sistemas trifásicos que

tengan cargas en paralelo. Suele interesar: la potencia total que debe entregar el generador, las

corrientes en las líneas del generador, el factor de potencia trifásico del conjunto de las cargas.

Estos cálculos permiten dimensionar: las secciones de los cables de las líneas de alimentación, los

fusibles de protección, la potencia del transformador, los condensadores para mejorar el factor de

potencia, etc.

Figura 1.55

Existen varias formas del problema propuesto, según se ilustra en la figura 1.55.

El método para solucionar estos casos dependerá de lo que se desee calcular.

Cuando se desean determinar variables en el generador, podrá calcularse un equivalente del sistema

de cargas paralelo y aplicar las técnicas de cálculo desarrolladas anteriormente.

1.9.6 Caídas de tensión en sistemas con neutro.

Se necesita efectuar estos cálculos para dimensionar las secciones de los conductores que se

deberán emplear en instalaciones eléctricas, tanto en industrias como en casas.

Una instalación incorrecta presenta riesgos de incendio, y más generalmente puede presentarse el

caso de caídas de tensión que impidan el correcto funcionamiento de la maquinaria y del

alumbrado.

Un esquema de la situación es el siguiente:



Figura 1.56

Se considera como generador ideal la alimentación entregada por la empresa que vende la energía

eléctrica, después del medidor. En zonas muy alejadas del transformador de distribución o bien en

barrios densamente poblados con tendidos de cables de mucha antigüedad el modelo anterior será

bastante inexacto.

Las impedancias de las líneas se consideran solamente resistivas, y se calculan de acuerdo a los

valores de resistencia por metro de largo que entregan los fabricantes de los conductores. Se tienen

tablas con: las secciones normalizadas que se encuentran en el comercio, el tipo de aislamiento, la

máxima densidad de corriente que soportan en distintas condiciones de refrigeración (al aire libre,

dentro de tubos, etc.). Se recomienda consultar el manual de instalaciones de Servicios Eléctricos,

en él figuran los porcentajes permitidos para las caídas de tensión, tanto en alumbrado como en

fuerza motriz.

El método de análisis que se recomienda es calcular las corrientes en las líneas, para la carga

trifásica equivalente estrella, vista por el generador.

Ejemplo 1.8.

Determinar corrientes de línea:

Ejemplo 1.8a

Solución:

Considerando la fase a como referencia, que tendrá:

Ejemplo 1.8b

Entonces resulta:

110 30ºa

I



Y por lo tanto, para secuencia (a, c, b):

110 90ºb a

I I a

2

110 150ºc a

I I a

Ejemplo 1.9.

Se tiene una carga trifásica de 10 KVA con F.P. = 0,5 IND; determinar los KVA de un banco de

condensadores que conectado en paralelo con la carga anterior hace que el factor de potencia total

sea de 0,866 CAP.

Solución:

Se tienen

Ejemplo 1.9a

1 2P P P

2

110.000 0,5 10.000 1 0,5P j

22

P j Q

; Se desea calcular 2Q

Ejemplo 1.9b

Del diagrama:

221 2 1

1

a

t a

P Q Q

Cos P

Reemplazando los valores numéricos se llega a:



2

2

2

5.0008.660

3Q

Por lo tanto:

2 11.746,8Q ; descartando el valor de 2Q que es menor que 1Q , que determina un

0,866FP IND

Respuesta:

11,75 KVAR

Ejemplo 1.10.

A la red trifásica de 380 V entre líneas están conectados un motor y un horno.

Ejemplo 1.10

El motor trifásico de 5 HP tiene una eficiencia de 86% y opera con FP = 0,866, y está conectado en

estrella.

El horno trifásico tiene 36 Ohms por fase y está conectado en triángulo.

Determinar los KVA, el factor de potencia y la corriente de línea del sistema.

Solución:

En general ;util totalP Eficiencia P

en particular: mecanica en el eje

electrica

PP

1 11

aP P j Q

1

5 0,754,36

0,86 1a

KWP KW

HP

1

4,365,036

0,866P KVA

11

Q P

sen (arcos 0,866) = 2,52 KVAR ind



En el horno:

22

0aP P j

con 2 1FP

2 2

3803 cos 3 380 1 12,03

36a fP V I KW

Entonces ingresa al sistema:

4,36 2,52 12,03P j

16,58P

KVA

El factor de potencia del sistema es:

12,03 4,360,988

16,58FP ind

16,58 100025,19

3 3 380

PI A

V

1.10 Análisis de sistemas trifásicos desequilibrados.

Cuando se presentan corrientes desiguales en maquinarias eléctricas, tanto estáticas como

giratorias, se producen efectos perjudiciales para el correcto funcionamiento de ellas. Entre los

efectos, que se producen en funcionamiento anormal, destacamos los siguientes: distorsión de las

formas de ondas sinusoidales en las tensiones de fase en los voltajes entre líneas, pérdidas de

potencia adicionales en el fierro y en los devanados, sobre calentamiento local excesivo, esfuerzos

mecánicos en los devanados, torques parásitos opuestos a la dirección normal de funcionamiento,

reducción del torque de partida y de la eficiencia, etc.

Existen métodos especiales para el análisis de sistemas trifásicos desbalanceados, están basados en

la descomposición de las señales trifásicas desequilibradas en sumas de señales trifásicas

simétricas. Estas materias no serán tratadas en este texto. Se analizarán los sistemas

desequilibrados mediante los métodos generales desarrollados en el curso introductorio de teoría de

redes.

Los efectos perjudiciales, mencionados al comienzo, son máximos en el caso de cortocircuitos

desequilibrados que representan el caso extremo de carga desbalanceada. La caracterización

analítica de estos casos nos permitirá comparar cuantitativamente los distintos sistemas de

alimentación y obtener una medida de los efectos perjudiciales descritos.

1.10.1 Generador y carga conectados en estrella con neutro.

Figura 1.57



Sean: a a

aZ Z

b b

bZ Z

c c

cZ Z

0ºa

E E

2

b aE a E

c a

E a E

Nótese que las tensiones del generador son simétricas. Las impedancias del generador y de las

líneas se han incluido en la carga, por esta razón en los resultados que se obtengan no se podrá

hacer tender a cero las impedancias a

Z

, b

Z

y c

Z

Un cortocircuito en una fase de la carga podrá

representarse por una impedancia finita que llamaremos 1

Z

a aaI V Y

b bbI V Y

(1.51)

c ccI V Y

n a b cI I I I

(1.52)

Nótese que las corrientes constituyen un sistema desequilibrado.

Adviértase que las tensiones en las fases de la carga serán desequilibradas, debido a que las caídas

en las líneas y en las impedancias del generador serán desbalanceadas, ya que se tienen corrientes

simétricas.

Una medida de la asimetría se obtiene calculando:

2

a b c

n n an

a b c n

Y a Y aYV I Z E

Y Y Y Y

(1.53)

Un esquema adecuado para interpretar la situación es el siguiente diagrama fasorial:

Cálculo de las tensiones en las fases de la carga:



Figura 1.58

aa nV E V

2

ab nV a E V

(1.54)

ac nV a E V

Nótese que resulta conveniente calcular primero n

V

, luego se calculan las tensiones en las fases de

la carga, y, finalmente, las corrientes en las líneas.

1.10.2. Tensión entre neutros.

La tensión entre el neutro del generador y el neutro de la carga puede determinarse por varios

métodos. La fórmula planteada anteriormente, se puede demostrar aplicando el teorema de Norton

o Thévenin, también aplicando superposición o un método general de análisis de redes.

En caso de conexión estrella sin neutro, la expresión (1.53) se modifica haciendo 0n

Y

Si definimos:

t a b cY Y Y Y

2

c g fuente Norton entre n y nN a b c an

I Y a Y aY E

Se tendrán:

nV

con neutro = 1

1

1

N N

tt n t

n

I I

YY Y Y

Y

(1.55)

nV

sin neutro N

t

I

Y

(1.56)



Expresiones que permiten analizar distintas condiciones de falla u operación anormal; y además

efectuar comparaciones entre ambos sistemas de distribución.

Puede verse que si la suma paralelo de las impedancias de las líneas es mucho mayor que la del

neutro, se tendrá.

t nY Y

En este caso n

V

es casi cero, y se aprecia la importancia del conductor neutro, pues el valor de

nV

de la expresión (1.55) será mucho menor que el dado por la (1.56)

1.10.3. Cortocircuito en una fase.

a) Con conductor neutro.

Estudiemos un cortocircuito en la fase a de la carga, la situación se ilustra en la figura 1.59, para el

caso con conductor neutro.

Figura 1.59

Resulta

1

1

4

2 2

f an

ann

Y EV E

Y

La condición para la aproximación es 1 fY Y . Esto en general se cumple, ya que la impedancia de

la línea de transmisión es muchísimo menor que la impedancia de la carga.

Figura 1.60



En la figura 1.60 se muestra el diagrama fasorial en el que se aprecia que, al producirse la falla,

aumentan las tensiones en las fases b y c.

Se produce una alta corriente en la línea fallada, que será interrumpida al fundirse el fusible de

línea; la corriente es grande pues la mitad de la tensión de fase es aplicada a una impedancia muy

pequeña. En el peor caso, el máximo aumento de la tensión en las fases b y c es de 32%, respecto

al caso sin falla.

Las sobretensiones son transitorias, mientras opera el fusible; luego las tensiones en circuito

abierto, en una fase, se calculan en 1.10.4

b) Sin conductor neutro

En este caso resulta:

1

3

1

f

an ann

YV E E

Y

Ahora la tensión en la fase fallada es cero, pero las sobretensiones en las fases b y c son un 73% de

la tensión en la fase sin falla. Las tensiones son inadmisibles para equipos conectados en las fases

b y c; si por ejemplo fueran ampolletas, éstas se quemarían.

Concluimos que este sistema de distribución está en desventaja respecto al con neutro, pues una

falla de cortocircuito en una fase, que es muy frecuente, puede dañar los equipos conectados a los

otras fases.

Además, en caso de operar las protecciones en b y c, quedaría fuera de servicio todo el sistema.

1.10.4. Circuito abierto en una fase.

a) Con conductor neutro.

Usaremos el sistema propuesto en la Figura 1.59, pero ahora se abre la fase a.

Resulta.

1

03ann

f

YV E

Y

Es decir, las tensiones en las fases b y c, prácticamente no se modifican. Los equipos conectados

en las fases b y c podrán seguir operando sin dificultades; esto para el caso de que los dispositivos

que no requieran de alimentación trifásica.

b) Sin conductor neutro.

Ahora resulta:

2

an

n

EV



Situación que se ilustra en la Figura 1.61

Las tensiones en las fases b y c disminuyen en 13%

Se concluye que en caso de falla de circuito abierto en una fase, es más ventajosa la distribución

con conductor neutro.

Figura 1.61

1.10.5. Otros sistemas desequilibrados

Los sistemas conectados en triángulo y en desequilibrio pueden ser estudiados mediante técnicas

generales de análisis de redes, y no serán desarrollados en este texto.

Ejemplo 1.11. Determinar

Determinar las corrientes en las líneas.

Ejemplo 1.11

Con

10abV t sen 10 37ºt

15 3 5Z j

25 5 3Z j

Solución:

Por inspección

1

;ac

a

VI

Z

2

;bc

b

VI

Z

c a b

I I I

Es preciso conocer acV y bcV en términos de los datos:

120ºbc ab

V V

120ºac ca ab

V V V



Pero se tiene:

10 37ºab

V

(referencia seno)

Conviene la forma polar, para la división:

1 210 30º; 10 60ºZ Z

Resultan:

10 23º1 7º

10 30ºaI

10 831 143º

10 60bI

0,194 0,480a b

I I j

0,518 112ºc

I

Entonces:

ai sen 10 7ºt

bi sen 10 143ºt cos 10 127ºt

0,52ci sen 10 112º 0,52t cos 10 22ºt

Ejemplo 1.12.

Determinar la corriente en la línea a, con neutro conectado y sin neutro.

Ejemplo 1.12

a) Con neutro conectado.

4

a

a

VI

aa nV E V

21 1 14

4 4 21 1 1 8

14 4 2 4

aan

a a aV E E



14 8

a

a

E aI

b) sin neutro.

14 4

a

a

E aI

; mayor que el caso a)

Ejemplo 1.12



PROBLEMAS RESUELTOS

SISTEMAS TRIFASICOS



1. Para el siguiente sistema, determine la corriente en la fase del generador:

Solución:

Para la fase a del generador se tiene la siguiente red equivalente:

Entonces.

1// 2a

E aI

Z Z

Se tiene:

1 2

4//

3Z Z

Resulta:

240 3104

4aI A

2. Si la tensión de fase estrella es

110 30º ,an

E

determinar ca

E

si la secuencia es (a, c, b).

Solución:

El diagrama fasorial es :

Se tiene:

3 150ºca an

E E

Entonces:



110 3 120ºca

E

Pueden calcularse:

110 3 60ºcb

E

110 3 180ºba

E

3. Calcular el valor de:

2

1

3

aj x

a

Solución:

Se tienen:

1 3 150ºa

90ºj

Entonces:

3 150º 90º360º 1

3 120ºx

Resulta:

1x

4. Partidor estrella-triángulo.

En motores trifásicos, para reducir las altas corrientes en la partida, se les hace andar inicialmente

conectados en estrella. Cuando el motor ha adquirido una velocidad cercana a la nominal se

conectan sus fases en triángulo. A continuación se estudian algunas relaciones entre ambas

conexiones.

f abV V

3

ab

f

VV



3ab

VI

Z

3

abV

IZ

ab

f

VI

Z

f

I I

2* 33

* *

ab ab

ab

V VP V

Z Z

2

3 *

*3 3 *

ab ab abV V V

PZZ

Entonces:

3f

f

V

V

3f

f

I

I

1V

V

3

I

I

3

I

I

5. Sistema equilibrado.

Si la corriente de línea es de 10 A , determinar la tensión entre líneas.



Solución:

Para las variables:

Se tienen:

fV Z I

3f

II

Entonces:

5 10

3 3

Z IV

5028,87

3V

6. Para el siguiente sistema.

Si el módulo de la impedancia disminuye en 20%, determinar la variación de la tensión de fase en

la carga.

Solución:

La tensión en las fases de la carga solo depende del generador. Y como este no cambia, no habrá

variación de la tensión de fase.

En cambio la corriente de fase en la carga aumenta en un 25%. Esto debido a:

Originalmente: f

f

VI

Z (i)

Luego: 1,250,8

f f

f

V VI

Z Z (ii)



7. Sistema equilibrado, con impedancia de línea no despreciable, 1 30ºZ

Determinar la tensión de fase en la carga.

Solución:

El circuito monofásico, para la fase de referencia es el siguiente:

Entonces:

220 0º

3cV

4 30º 4 220

1 30º 4 30º 5 3

101,6c

V V

8. Se tienen cargas equilibradas:

Determinar la impedancia en una fase de la carga equivalente estrella.

Solución:

La impedancia de la carga triángulo convertida en una equivalente estrella es:

22 90ºZ

Pueden unirse los neutros de las cargas estrellas, pues son equilibradas. Entonces las impedancias

1Z

y 2

Z

quedan en paralelo.

1 2

2 2 2// 2 45º

2 2 1e

jZZ Z

j j



9. Se tiene el siguiente sistema equilibrado

Determinar la magnitud de las corrientes en las fases del generador.

Solución

Las corrientes en las fases del generador serán de igual módulo que las corrientes en las fases de la

carga.

arg

3809,5

40c afI A

9,5 3 16,5I A

9,53generadorf

II A

10. sistema equilibrado

(

Determinar el factor de potencia visto por el generador.

Solución:

La impedancia de fase estrella equivalente será:

1

2

15 30º 20 20º 300 10º//

3 15 30º 20 20º 31,78 0,66

ZZ Z

j

300 10º9,44 8,81º

31,79 1,19ºZ

cos cos 8,81º 0,988 .FP ind

11. En el siguiente sistema equilibrado, se conecta un banco de condensadores en triángulo.



Determinar el valor del condensador de modo que el FP visto desde el generador sea uno.

Solución:

La impedancia equivalente triángulo de las cargas será:

120 25º 90º

120 25

WCZ Z

jWC

Para tener factor de potencia unitario el ángulo debe ser cero.

Entonces:

120 25

25º 90º20cos 25

senWC tg

0,021

67,3

WC

C uF

12. En el siguiente sistema trifásico equilibrado las tensiones entre líneas son:

20017º, 200 103º, E

Determinar E

Solución:

Las tensiones deben sumar cero.

Entonces:



Resulta 20017º 120º 200137ºE

13. Sistema equilibrado, la magnitud de corriente de línea es 30 A

Determinar la tensión entre líneas:

Solución:

La corriente en la fase de la carga es:

30

3fI

La tensión entre líneas será.

306 103,9

3V V

14. Sistema equilibrado, secuencia (a, c, b).

Con 5 15º

aI

Determinar corrientes en líneas b y c.

Solución:

Se tiene



Es decir:

b aI a I

2

c aI a I

Entonces:

5135ºb

I

5 105ºc

I

15. En un generador trifásico estrella, se tienen las siguientes tensiones de fases:

Determinar la tensión de la línea R respecto de la línea T.

Solución:

Se tiene:

200 3 30º3 30º

2RT RE E



200 3 30ºRT

e sen wt

16. Se tiene un sistema triángulo en paralelo con otro estrella, ambos equilibrados y con

impedancias de fases resistivas e iguales. Si la tensión entre líneas es 100 V y la

corriente de línea es de 40 A . ¿Determinar el valor de la resistencia?

Solución:

La red monofásica equivalente es:

Entonces:

100

3I

/ 340

/ 3

R R

R R

De donde:

5,77R

17. Una estrella resistiva está en paralelo con un triángulo equilibrado de 5 10Z j

Con tensión entre líneas de 300 V la potencia absorbida por las cargas es 19,75 KW.

¿Determinar la resistencia por fase de la estrella?

Solución:

300V R 5 10Z j

1 2

19,75ac acP P KW

Se tienen:

1

2

300 1 90.0003

3acP

R R



2

300 27.000 103 300

525 100acP COS COS arctg

Z

Entonces:

10,06R

18. Tres impedancias iguales, 2 1, 25Z j

están conectadas en triángulo a un sistema con

220 V de tensión entre líneas. Determinar la corriente de fase, la de línea y las

potencias.

Solución.

2 2

220 22093,3

2 1,25fI A

Z

3 161,6fI I A

23 52,2ac fP I R KW

23 1,25 32,6fQ I KVAR

2 2 61,5ap acP P Q KVA

19. ¿Qué razón debe existir entre las resistencias por fase de una estrella y un triángulo

respectivamente, para que la razón entre las potencias absorbidas sea igual a un número

dado n?

Solución:

Potencia carga estrella resistiva: P

2

13

3

VP

R

2 13P V

R

Entonces:

3

P R

P R

Se pide:



1 1

3 / 3n

R

R P P

20. Un sistema trifásico equilibrado tiene 344 V entre líneas, y una carga estrella que absorbe

90 KW con un factor de potencia inductivo de 0,75.

Determinar la corriente en la línea.

Solución:

Se tiene:

El F.P. de la fase es igual al de la carga trifásica, si ésta es equilibrada.

Se tiene:

1cosac fP V I

1

9030

3acP KW

cos 0,75

344168,6

3 3f

VV

Entonces:

30.000201,4

198,6 0,75I A

21. Sistema tetrafásico simétrico estrella, de secuencia (a, b, c, d).

Determinar las tensiones entre líneas en función de la tensión en la fase a.

Solución



Se tiene

Entonces.

2 45ºab a

E E

2ac a

E E

2 45ºad a

E E

bc adE E

2 90ºbd a

E E

cd abE E

22. Si la tensión en la fase uno de un generador simétrico triángulo es 380 50º , determinar las

tensiones de fase del generador estrella equivalente. La secuencia es (1, 2, 3).

Solución:

Se tiene

Sea

12380 50ºE

El diagrama fasorial, refleja la secuencia (1, 2, 3). Esto puede notarse observando la

secuencia del primer índice de las transformadas fasoriales.



Conviene dibujarlo según

Se elegirá un generador estrella simétrico, en este caso, las tensiones de fases resultan:

1

38020º

3nE

3

380140º

3nE

2

380260º

3nE

Método 2

Se conoce que la tensión de fase estrella está 30º atrasada respecto de la fase triángulo:

12

130º

3n

EE

Entonces:

1

38020º

3nE

3 1120º

n nE E



1240º

an nE E

23. Generador trifásico equilibrado, de secuencia abc, alimenta a una carga balanceada

triángulo.

Determinar el retraso de fase de bc

I

respecto de b

I

Donde bc

I

es corriente en la carga.

Solución.

Se tiene por LCK:

a ab cai i i

b bc abi i i

Si la carga es balanceada las corrientes en las fases serán simétricas, ya que las tensiones

entre líneas también son simétricas.

La secuencia es (ab, bc, ca) esto puede verse si consideramos cargas resistivas, por ejemplo,

en el siguiente diagrama fasorial de las tensiones en las frases del triángulo:



Las corrientes en las fases, estarán en fase con las tensiones. En general estarán desfasadas

respectos de las tensiones en el ángulo de la impedancia.

Luego se han dibujado las corrientes en las líneas tal que se cumplan las leyes de Kirchhoff.

Entonces:

3 30ºa ab

I I

3 30ºb bc

I I

3 30ºc ca

I I

Puede decirse que bc

I

está retrasada en 30º respecto b

I

es preferible decir que bc

I

adelanta en

30º a b

I

.

24. Determinar la magnitud de las corrientes en las líneas

Solución:

La impedancia de fase estrella, será:

/ 3I

El equivalente monofásico de referencia será:

Entonces:

33

3

V VI

Z Z

25. Las señales 1, 2 3v v y v son las tensiones de fases en un generador trifásico triángulo.

Se tiene



1 (2 30º )v A sen t

2 cos (2 60º )v A t

Determinar 3( )v t .

Solución:

Se cumple, por ser triángulo,

3 1 2v v v

Y también.

3 1 2V V V

Las transformadas fasoriales de 1v y 2v

Se advierte que el sistema es simétrico, entonces

3V

adelanta en 120º a 2

V

.

Por lo tanto:

3jV A

Resulta:

3( ) cos 2v t A t

La secuencia es (1, 3, 2).

26. Para el siguiente sistema, con 3 30ºZ

Determinar



RS

NT

V

I

para secuencia a) RST

b) RTS

Solución:

En general se tiene:

NTNTV Z I

Entonces:

RS RS

NT NT

V VZ

I V

, y buscaremos la relación entre las tensiones en un diagrama fasorial.

a) Para secuencia RST

Se tiene:

3 90ºRS NT

V V

Es decir: / 3 90ºRS NT

V V

Y la razón pedida:

3 30º 3 90º 3 3 120ºRS

NT

V

I

b) Para secuencia RTS



Se tiene:

3 90ºRS NT

V V

Entonces:

3 90ºRS

NT

V

V

La razón pedida:

3 30º 3 90º 3 3 60ºRS

NT

V

I

27. Un sistema tiene tres cargas estrella y tres cargas triángulo con iguales impedancias de fase.

Con 2,5 1,55f

Z j

y 380V determinar la corriente de línea y las potencias

aparentes en la carga triángulo, estrella y del conjunto de cargas.

Solución

Potencia en carga triángulo: (En 3 cargas )

Para cada carga :

2

3803 cosacP

Z

1,5127,4

2,5arctg KW

2 22,5 1,5 2,92Z

1,5127,4 76,4

2,5Q KVAR

127,4 76,4P j

KVA

En la estrella:

42,53

ac

ac

PP KW

76,425,5

3Q KVAR



42,5 25,5P j

KVA

En total: Son 3 cargas y 3 cargas en paralelo.

3 509,7 305,7P P P j KVA

Entonces:

3 380 594,35P I KVA

Resulta:

903I A

28. Para el siguiente sistema trifásico

Determinar potencia activa suministrada por el generador y factor de potencia del conjunto

de cargas.

Solución:

a) Potencia

En el motor: Potencia en el eje 2 2 745,7HP W

Rendimiento Potencia eléctrica suministrada al motor HPP

Entonces:

1

2 745,71989 2

0,75acP W KW

En la carga resistiva:

2

23 400

3 965 5

ac

VP V KW

Potencia activa suministrada por el generador 98 KW

b) Factor de potencia.

Se tiene

2 2

ac ac

ap ac

P PFP

P P Q



Es preciso determinar Q.

Pero 1 2Q Q Q , con 2 0Q por ser carga resistiva.

En el motor:

1

11cos

ac

ap

PQ P sen sen

1 1989 cos 0,866 1148,5Q tg arc VAR

Entonces:

2 297,989 1,149 97,996apP KVA

Finalmente,

979891

97996HP



29. Para el siguiente sistema

Determinar.

a) Potencia aparente suministrada por el generador.

b) Carga estrella equivalente, que consuma igual potencia

c) Factor potencia visto por el generador.

Solución.

a) 1 2 3

P P P P

2

11

3cos80º 80º 3,76 21,33

VP jsen j KVA

Z

2200 0,8 200 arccos0,8 160 120P j sen j KVA

34 0P j KVA

167,76 98,67 194,6 30,46ºP j

b) 2

*

33 *

VP V I

Z

Entonces:

*

2,22 | 30,5ºZ

0,74 30,5ºZ

c) 167,76

cos 0,862194,6

cap

También puede calcularse según



cos 30,46º 0,862HP cap .

30. Sistema trifásico equilibrado

Considere líneas, generador y transformador ideales.

Determinar el cuociente entre módulos formador ideales.

Determinar el cuociente entre módulos de:

a) Tensión de fase del generador y tensión de fase en la carga.

b) Corriente de línea del generador y corriente de fase en la carga.

Solución:

En el transformador ideal se cumplen.

1 2

2 1''

a a

aa

V IN N

V N I N

a) 3

f

a

EV (en generador)

'a fV V (en la carga)

Entonces:

1

' 2

3 3f a

f a

E V N

V V N

b) a

I I

(en generador)

´a c

I I

(en la carga triángulo)



Entonces:

2

´ 1

a

c a

II N

I I N

31. Variaciones en carga.

Un generador estrella equilibrado, con 220V en las fases, alimenta una carga estrella

equilibrada de 5 30º en cada fase.

Si el módulo de una de las impedancias aumenta en 40% ¿en qué porcentaje varía la

potencia suministrada por cada fase del generador?

Con neutro conectado y sin neutro.

Solución:

En el caso equilibrado

2

1

*1 1 1

*e

EP E I

Z

2

2

*2e

EP

Z

2

3

*3e

EP

Z

Con: 1 2 3 fE E E E

1 2 3 fZ Z Z Z

Supondremos que 3

1,4f

Z Z

a) Con neutro conectado:

No varían las potencias suministradas por los generadores de las fases uno y dos que se

consideran inalteradas.

En cambio:

2

3

3 30,714

1,4cn e

f

EP P

Z

El generador de la fase 3 genera 28,6% menos, es decir 1 0,714 100.



b) Sin neutro:

Calculamos

1 2 3 1 2 3 3/ / / 1,4 0,286

1/ 1/ 1/ 1,4 2,714nN

E Z E Z E Z E E E EV

Z Z Z

30,105

nNV E

Y tenemos, para secuencia (1, 2, 3):

1

1 1 1 1

1

1 0,948 0,091nN nN

Sn e e

E V VP E P P j

Z E

*

2 2 2

2

1 0,948 0,091nN

SN e e

VP P P j

E

*

2 2 2

2

1 0,948 0,091nN

SN e e

VP P P j

E

*

3

3 3 3 3

1 / 1,1050,789

1,4 1,4

nN

SN e e e

V EP P P P

En este caso, los generadores 1 y 2 además de disminuir cerca de un 5% la potencia activa

generada también varían en el suministro de potencia reactiva.

32. Para un generador equilibrado, de secuencia abc, se tiene el siguiente diagrama fasorial:

Determinar ane t .

Solución.

El diagrama tal como está dibujado no cumple la regla de los subíndices. Conviene dibujar

el diagrama equivalente siguiente:



Se advierte que:

10º

3anE

Entonces:

2cos

3ane t wt

33. Generación asimétrica, carga equilibrada.

Con:

100 0ºab

V

100bc

V j

20 0ºZ

Determinar ,a ca

I V

Solución método 1

Se tiene



Y como ca ab bc

V V V

, se tendrá:

100 2 135ºca

V

, con secuencia (a, c, b)

La impedancia triángulo equivalente será 60 0ºZ

Y se tiene:

60

ab

ab

VI

60

bc

bc

VI

60

ca

ca

VI

La corriente de línea

100 100 2135º

60 60a ab caI I I

5 526,56º 3,73 26,56º

3aI

También puede resolverse gráficamente:



2100 11 2

60 2aI arctg

Solución método 2

Por teorema de substitución por fuente de tensión.

Aplicando teoremas de equivalencia respecto de los terminales xy, se tendrá.

Por lo tanto:

23,73 26,56º

2 3

bc

a ab

VI V

Z

34. Generación simétrica, carga desequilibrada

Con:



1

2

3

10

10

10

380 , sec , ,

Z

Z j

Z j

V V uencia a b c

Determinar an

V

Solución:

Se tiene aan n

V E V

2

1 2 3

1 2 3

1

1 1 1 an

a a

Z Z ZV E

Z Z Z

Sea

220 0ºa

E

Entonces

2

211 1 a an

j a aV E aj a j E

j

1aan

V a j a E

3aan

V E

35. Carga estrella desequilibrada.

Determinar las corrientes de línea, la potencia activa absorbida, y la impedancia de una

carga estrella equilibrada que absorba igual potencia.



Con:

1

2

3

5 2

10 4

10 10

380 , sec 1, 2,3

Z j

Z j

Z j

V V uencia

Solución:

Método 1. Análisis de mallas

Se tiene:

12

23

a

b

I E

I E

Entonces.

1 2 2 3 1 3

1a

b

I

I Z Z Z Z Z Z

12

23

E

E

20 14 10 4 329 190110 4 15 2 380188 170

a

b

I j j j

j jI jj

135,46 11,3º

aI I

217,59 228,73º

a bI I I

324,00164,86º

bI I

Y las tensiones en la carga:

1 2Z Z

2Z

2Z

2 3

Z Z

2 3Z Z

2

Z

2Z

1 2

Z Z



1191,13 33,10ºV

2189,44 206,93ºV

3339,36119,86ºV

Potencia aparente:

15,8 16,48ºP KVA

La potencia activa:

15,15acP KW

Carga estrella equivalente

Tenemos: 3 15.800f fV I P

Entonces.

23,94fI A

2209,19

23,94Z

Finalmente,

9,19 16,48ºZ

Método 2.

Calculando

31 2

1 2 3

1 2 3

1 1 1nN

EE E

Z Z ZZ

Z Z Z

19,96 31,35120,3 60,41º

0,309 0,0156nN

jZ

j

Y se tienen:

1 1 11 nNV E V I Z

2 2 22 nNV E V I Z



3 3 33nNV E V I Z

Determinándose iguales valores de corrientes y tensiones en las fases de la carga, que en el método

1.

36.- Para el siguiente sistema trifásico, determinar la pérdida de tensión en las líneas.

Puede convertirse la carga en estrella y analizarse la fase de referencia:

Se tiene:

220 220

1,510º 5 20º 6,18 1,97I

j

22033,95 17,7º

6,4817,7ºI

Entonces la pérdida de tensión es.

1,510º 33,95 17,7 50,93 7,7ºp

V

Y la tensión en la carga:

5 20 169,75 2,3ºc

V I

Se tiene: 169,75/ 220 0,7716;es decir, se reduce en 22,84% (pérdida de tensión)

También puede estudiarse la pérdida de potencia:



Potencia suministrada por fase 220 33,95 cos 17,7º 7115 W

Potencia disipada en cada línea = 2

33,95 1,5 cos 10º 1703 W

% pérdida de potencia = 1703

100 23,93%7115

37.- Se tiene el sistema trifásico asimétrico

Determinar la tensión entre neutros, en función de las tensiones del generador.

Solución:

La fórmula de la tensión entre neutros desarrollada para carga desequilibrada no puede emplearse,

pues fue calculada con generador simétrico.

Método 1.- Análisis de mallas.-

1

2

I

I

1 2

2 3

E E

E E

Resolviendo por Cramer, se obtienen.

1 2 3

1

2

3

E E EI

Z

2 3 1

2

2

3

E E EI

Z

Entonces:

1 1 2 1 2 3 2c

gn

I n E I Z E I I Z E I Z

2 Z

Z

Z

2 Z



Y empleando que 1 3

E E

resulta:

2

3c

gn

EV n

Método 2.-

Puede verse la red dada según

Aplicando el teorema de Millman, o reemplazando las fuentes reales de tensión por sus

equivalentes de corriente se tendrá:

31 2

M

EE EE

Z Z Z

2

3 3c

Mg

n

E Z EV n

Método 3.-

Aplicando Thevenin entre los terminales de la impedancia conectada al generador 2

E

se tendrá:

Resultan:



2T

ZZ

2TE E

22

3

EV

Finalmente,

2

2 3c

gn

EV n E V

38.- Determinar condiciones para que las corrientes de fase en conexión triángulo o las tensiones de

fase estrella sumen cero.

Solución:

Estudiaremos el problema, en forma geométrica; y trataremos las transformadas fasoriales de las

variables como vectores.

a) Caso equilibrado

x a d i

y b d ii

z c d iii

El triángulo exterior representa LCK con corrientes de líneas o LVK con tensiones entre líneas

para un caso equilibrado.

Sumando las relaciones se tendrá:

3x y z a b c d iv



En caso de corrientes de fase estrella equilibradas está representado por , , ;x y z y el

desequilibrado por , , .a b c

Hemos supuesto el conjunto ,x y z equilibrado, entonces se tiene:

, 0x y z

Entonces, de iv se tendrá, si no son señales equilibradas:

3a b c d

Y para que sumen cero debe ser 0d ; es decir, deben ser simétricas.

39.- Se desea determinar la secuencia de un sistema trifásico, del cual no se tiene ninguna

información.

Se dispone la siguiente conexión.

La línea en que se conecta el condensador se identifica con la letra R; con T donde se conecta el

terminal de la resistencia; y con S se identifica la línea en que se conecta un extremo del

voltímetro

Demostrar que si la secuencia es (R, S, T) el voltímetro indicará una lectura mayor que la tensión

entre líneas. Si la secuencia es (R, T, S) el voltímetro tendrá una tensión menor que la tensión entre

líneas.

Solución:

Suponemos secuencia (R, S, T), entonces el diagrama fasorial se indica en la figura:



El voltímetro mide la tensión SNV

Si la tensión entre líneas es 380, la lectura del voltímetro será 520. En general será

3 11,37

2

VV V

Ahora consideraremos secuencia (R, T, S):

Resulta ahora

3 10,37

2SNV V V V

En general se tendrá:

90º2 2 2g

R T R T S RTN N

E E j E E E EV

40.- Para determinar la secuencia de un sistema trifásico simétrico se efectúa la siguiente conexión:

En las fases an y cn se conectan ampolletas, que se consideran puramente resistivas.

2 Redes Eléctricas


La inductancia en la práctica tiene una pequeña resistencia. Se considera la reactancia de igual

valor que la resistencia de las ampolletas y mucho mayor que la de la bobina.

Determinar la regla que permite determinar la secuencia del generador

Solución

Se tiene, aplicando Millman o teoremas de superposición o equivalencia:

2

a c b

nN

Z E E R EV

R Z

Si el sistema es simétrico:

a c bE E E

Entonces:

2 bnN

R ZV E

R Z

Con Z

= jR resulta:

0,63 72ºbnN

V E

i. Para Secuencia abc:

an cnV V

La ampolleta de la fase a es más brillante que la de la fase c.

ii. Para secuencia acb

an cnV V



La construcción práctica puede ser más sencilla con un condensador. Si se usan ampolletas

de 60 W, resulta un condensador de 4 F para 380 V.

En este caso:

0,63108ºbnN

V E

Para abc

an cnV V

Para acb

an cnV V

BIBLIOGRAFIA

Capitulo Autor y Título

I, III Fallor *”Théorie Générale des Circuits Electriques”

I Kerchner, Corcoran *”Alternating Current Circuits”

I, III Le Page, Seely *”General Network Analysis”

II Cheng, *”Analysis of Linear Systems”

II Desoer, Kuh *”Basic Circuit Theory”

II, III Javid, Brenner *”Analysis, Trasmission and Filtering of Signals”

II, III Kuo *”Analysis and Synthesis of Linear Active Networks”

III Greiner *”Semiconductor Devices and Applications”

IV Chua, *”Introduction to Nonlinear Network Theory”

Índice de figuras

Figura 1.1 ........................................................................................................................................... 2 Figura 1.2 Figura 1.3 .................................................................................................................. 3 Figura 1.4 ........................................................................................................................................... 4 Figura 1.5 ........................................................................................................................................... 4

4 Redes Eléctricas


Figura 1.6 ........................................................................................................................................... 5 Figura 1.7 ........................................................................................................................................... 5 Figura 1.8 ........................................................................................................................................... 6 Figura 1.9 ........................................................................................................................................... 6 Figura 1.10 ......................................................................................................................................... 7 Figura 1.11 ......................................................................................................................................... 7 Figura 1.13 ......................................................................................................................................... 7 Figura. 1.14 ........................................................................................................................................ 8 Figura 1.15 ......................................................................................................................................... 8 Figura 1.16 ......................................................................................................................................... 8 Figura 1.17 ......................................................................................................................................... 9 Figura 1.18 ......................................................................................................................................... 9 Figura 1.19 ......................................................................................................................................... 9 Figura 1.20 ....................................................................................................................................... 10 Figura 1.21 ....................................................................................................................................... 10 Figura 1.22 ....................................................................................................................................... 10 Figura E.1.4.1 ................................................................................................................................... 11 Figura E.1.4.2 ................................................................................................................................... 11 Figura E.1.4.3 ................................................................................................................................... 11 Figura E.1.4.4 ................................................................................................................................... 12 Figura 1.23 ....................................................................................................................................... 13 Figura E.1.5.1. ................................................................................................................................. 13 Figura E.1.5.2 .................................................................................................................................. 14 Figura E.1.5.3 .................................................................................................................................. 14 Figura 1.24 ....................................................................................................................................... 15 Figura 1.25 ...................................................................................................................................... 15 Figura 1.26 ....................................................................................................................................... 16 Figura 1.27 ....................................................................................................................................... 17 Figura 1.28 ....................................................................................................................................... 19 Figura 1.29 ....................................................................................................................................... 19 Figura 1.30 -1.31 .............................................................................................................................. 20 Figuras 1.32 -1.33 ............................................................................................................................ 20 Ejemplo 1.6 ...................................................................................................................................... 20 Figura 1.34 ....................................................................................................................................... 21 Figuras 1.35 – 1.36 ........................................................................................................................... 21 Figura 1.37 ....................................................................................................................................... 21 Figura 1.38 ....................................................................................................................................... 23 Figura 1.39 ....................................................................................................................................... 23 Figura 1.40 ....................................................................................................................................... 23 Figura 1.41 ....................................................................................................................................... 24 Figura 1.42 ....................................................................................................................................... 25 Figuras 1.43 – 1.44 ........................................................................................................................... 25 Figura 1.45 ....................................................................................................................................... 26 Figuras 1.46 – 1.47 ........................................................................................................................... 26 Figura 1.48 ....................................................................................................................................... 27 Figuras 1.49 – 1.50 ........................................................................................................................... 28 Figura 1.51 ....................................................................................................................................... 30 Figura 1.52 ....................................................................................................................................... 31 Figura 1.53 ....................................................................................................................................... 32 Figura 1.54 ....................................................................................................................................... 33 Figura 1.55 ....................................................................................................................................... 33 Figura 1.56 ....................................................................................................................................... 34 Ejemplo 1.8a .................................................................................................................................... 34 Ejemplo 1.8b .................................................................................................................................... 34 Ejemplo 1.9a .................................................................................................................................... 35



Ejemplo 1.9b .................................................................................................................................... 35 Ejemplo 1.10 .................................................................................................................................... 36 Figura 1.57 ....................................................................................................................................... 37 Figura 1.58 ....................................................................................................................................... 39 Figura 1.59 ....................................................................................................................................... 40 Figura 1.60 ....................................................................................................................................... 40 Ejemplo 1.11 .................................................................................................................................... 42 Ejemplo 1.12 .................................................................................................................................... 43 Ejemplo 1.12 .................................................................................................................................... 44

tabla de contenido1 profesor leopoldo silva bijit 21-09-2009 tabla de contenido capÍtulo 1..... 2

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