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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”3
Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
PÁGINA 73
Sistemas de ecuaciones
13 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba las soluciones:
a) °¢£
5x + 3 = 20 – 9y2x – 3y = 5x – y
b) °¢£
x + y = 306,5x + 3,2y = 158,7
c)
°§¢§£
x3
– y2
= 4
x2
– y4
= 2 d)
°§¢§£
2x3
+ y + 1 = 0
x + 12
+ y – 13
+ 1 = 0
a) °¢£
5x + 9y = 17 –3x – 2y = 0
8 15x + 27y = 51 –15x – 10y = 0
17y = 51 8 y = 3
Si y = 3 8 5x + 27 = 17 8 5x = –10 8 x = –2
Solución: x = –2; y = 3
b) °¢£
y = 30 – x6,5x + 3,2(30 – x) = 158,7 8 6,5x + 96 – 3,2x = 158,7
3,3x = 62,7 8 x = 19
y = 30 – 19 = 11
Solución: x = 19; y = 11
c) °¢£
2x – 3y = 24 2x – y = 8
8 2x – 3y = 24 –2x + y = –8
–2y = 16 8 y = –8 2x + 24 = 24 8 x = 0
Solución: x = 0; y = –8
d) °¢£
2x + 3y = –3 3x + 3 + 2y – 2 + 6 = 0
8 2x + 3y = –3 8 –4x – 6y = 63x + 2y = –7 8 9x + 6y = –21
5x = –15 8 x = –3 2(–3) + 3y = –3 8 3y = 3 8 y = 1
Solución: x = –3; y = 1
14 Resuelve los siguientes sistemas aplicando dos veces el método de reducción:
a) °¢£
13x – 12y = 12721x + 17y = 96
b) °¢£
8,6x + 5,4y = 1125x – 12y = –245
a) 273x – 252y = 2667 221x – 204y = 2 159 –273x – 221y = –1 248 252x + 204y = 1 152 –473y = 1 419 8 y = –3 473x = 3 311 8 x = 7
Solución: x = 7, y = –3
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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
b) –215x – 135y = –275 103,2x + 64,8y = 132 215x – 103,2y = –2 107 135x – 64,8y = –1 323 –238,2y = –2 382 8 y = 10 238,2x = –1 191 8 x = –5 Solución: x = –5, y = 10
15 Averigua cuál de los siguientes sistemas no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones:
a) °¢£
x + y = 4 – y3x – 5 = 7 – 6y
b) °¢£
5 + x = y7x – y + 17 = 3x + 3y
a) °¢£
x + 2y = 4 3x + 6y = 12
°¢£ Tiene infinitas soluciones.
b) °¢£
x – y = –5 4x – 4y = –17
°¢£ No tiene solución.
16 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
°§¢§£
x + 158
+ 3(y + 1)16
= 3
7 – x2
– 1 + y12
= 3b)
°§¢§£
x + 25
– 3y – 110
= –310
2x + 38
+ y + 74
= 198
a) °¢£
2(x + 15) + 3(y + 1) = 48 6(7 – x) – (1 – y) = 36
8 °¢£
2x + 30 – 3y + 3 = 48 42 – 6x – 1 – y = 36
°¢£
2x + 3y = 15 –6x – y = –5
6x + 9y = 45 –6x – y = –5
8y = 40 8 y = 5 8 2x + 15 = 15 8 x = 0 Solución: x = 0, y = 5
b) °¢£
2(x + 2) – 3y + 1 = –3 2x + 3 + 2y + 14 = 19
8 °¢£
2x – 3y = –8 2x + 2y = 2
–2x + 3y = 8 2x + 2y = 2
5y = 10 y = 2 8 2x – 6 = –8 8 2x = –2 8 x = –1 Solución: x = –1, y = 2
17 Resuelve.
a) °¢£
x – y + 3 = 0x 2 + y 2 = 5
b) °¢£
x + y = 1xy + 2y = 2
c) °¢£
2x + y = 3xy – y2 = 0
d) °¢£
3x + 2y = 0x(x – y) = 2y2 – 8
a) °¢£
x = y – 3(y – 3)2 + y2 = 5 8 y2 – 6y + 9 + y2 – 5 = 0 8 2y2 – 6y + 4 = 0
y2 – 3y + 2 = 0 8 y = 3 ± √12
y1 = 1 8 x1 = 1 – 3 = 2y2 = 2 8 x2 = 2 – 3 = –1
Soluciones: x1 = –2, y1 = 1; x2 = –1, y2 = 2
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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
b) °¢£
x = 1 – y(1 – y)y + 2y = 2 8 y – y2 + 2y = 2 8 y2 – 3y + 2 = 0
y = 3 ± 12
y1 = 1 8 x1 = 1 – 1 = 0y2 = 2 8 x2 = 1 – 2 = –1
Soluciones: x1 = 0, y1 = 1; x2 = –1, y2 = 2
c) °¢£
y = 3 – 2xx (3 – 2x) – (3 – 2x)2 = 0 8 3x – 2x2 – 9 – 4x2 – 12x = 0
–6x2 + 15x – 9 = 0 8 2x2 – 5x + 3 = 0 8 x = 5 ± 12
x1 = 2x2 = 3
Si x1 = 2 8 y1 = 3 – 4 = 1 Si x2 = 3 8 y2 = 3 – 6 = –3 Soluciones: x1 = 2, y1 = 1; x2 = 3, y2 = –3
d)
°§¢§£
y =– 32
x
x(x + 32
x) = 2(– 32
x)2 – 8 8 5
2x 2 = 9
2x 2 – 8 8 –2x 2 = –8
x2 = 4 x1 = 2 8 y1 = – 3
2 · 2 = –3
x2 = –2 8 y2 = – 32
(–2) = 3
Soluciones: x1 = 2, y1 = –3; x2 = –2, y2 = 3
18 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción y comprueba que tienen cuatro soluciones:
a) °¢£
x2 + y2 = 41x2 – y2 = 9
b) °¢£
3x2 + 2y2 = 35x2 – 2y2 = 1
c) °¢£
x2 + y2 + x + y = 32x2 – y2 + x – y = 28
d) °¢£
x2 + 2y2 + x + 1 = 0x2 – 2y2 + 3x + 1 = 0
a) °¢£
x2 + y2 = 41x2 – y2 = 9
2x2 = 50 8 x2 = 25 8 x = ±5
Si x = 5 8 25 + y2 = 41 8 y2 = 16 8 y = ±4
Si x = –5 8 25 + y2 = 41 8 y2 = 16 8 y = ±4
Soluciones: x1 = 5, y1 = 4; x2 = 5, y2 = –4; x3 = –5, y3 = 4; x4 = –5, y4 = –4
b) °¢£
3x2 + 2y2 = 35x2 – 2y2 = 1
4x2 = 36 8 x2 = 9 8 x = ±3
Si x = 3 8 27 + 2y2 = 35 8 y2 = 4 8 y = ±2
Si x = –3 8 27 + 2y2 = 35 8 y2 = 4 8 y = ±2
Soluciones: x1 = 3, y1 = 2; x2 = 3, y2 = –2; x3 = –3, y3 = 2; x4 = –3, y4 = –2
Pág. 3
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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
c) °¢£
x2 + y2 + x + y = 32x2 – y2 + x – y = 28
2x2 + 2x = 60 8 x2 + x = 30 8 x2 + x – 30 = 0
x = –1 ± √1 + 1202
= –1 ± 112
= –65
• Si x = –6 8 36 + y2 – 6 + y = 32 8 y2 + y – 2 = 0
y = –1 ± √1 + 82
= –1 ± 32
= –21
• Si x = 5 8 25 + y2 + 5 + y = 32 8 y2 + y – 2 = 0 8 y = –21
Soluciones: x1 = –6, y1 = –2; x2 = –6, y2 = 1; x3 = 5, y3 = –2; x4 = 5, y4 = 1
d) °¢£
x2 + 2y2 + x + 1 = 0x2 – 2y2 + 3x + 1 = 0
2x2 + 4x + 2 = 0 8 x2 + 2x + 1 = 0 8 (x + 1)2 = 0 8 x = –1
Si x = –1 8 1 + 2y2 – 1 + 1 = 0 8 2y2 = –1 8 No tiene solución.
Inecuaciones
19 Encuentra las soluciones de las siguientes inecuaciones:a) 2x + 7 < 3 b) 3 – x Ì 9 c) 3 Ì 2x + 2 d) 3 – 2x Ó x – 9
a) 2x < –4 8 x < –2 b) 3 – x Ì 9 8 –x Ì 6 8 x Ó –6
Solución: (–@, –2) Solución: [–6, +@)
c) 2x Ó 1 8 x Ó 12
d) –2x – x Ó –9 – 3 8 –3x Ó –12 8 3x Ì 12 8 x Ì 4
Solución: [12, +@) Solución: (–@, 4]
20 Resuelve.
a) 7 – 3x2
< x + 1 b) x + 43
+ 3 Ó x + 106
c) 2x – 2(3x – 5) < x d) x – 1 – x – 12
< 0
a) 7 – 3x < 2x + 2 8 –5x < –5 8 5x > 5 8 x > 1
Solución: (1, +@)
b) 2x + 8 + 18 Ó x + 10 8 x Ó –16
Solución: [–16, +@)
c) 2x – 6x + 10 < x 8 –5x < –10 8 5x > 10 8 x > 2
Solución: (2, +@)
d) 2x – 2 – x + 1 < 0 8 x – 1 < 0 8 x < 1
Solución: (–@, 1)
Pág. 4
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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
21 Halla las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) °¢£
2 – x > 02 + x > 0
b) °¢£
5x – 3 Ì x + 12x + 6 Ó x + 2
c)
°§¢§£
2x + 53
< x – 1
x3
– 1 < 2x – 15
d)
°§¢§£
x + 136
< 39 – 2x18
3x – 54
< –1
a) °¢£
2 – x > 0 8 –x > –2 8 x < 22 + x > 0 8 x > –2
–2 2
Solución: (–2, 2)
b) °¢£
5x – 3 Ì x + 1 8 4x Ì 4 8 x Ì 12x + 6 Ó x + 2 8 x Ó –4
1 4
No tiene solución.
c)
°§¢§£
2x + 53
< x – 1 8 2x + 5 < 3x – 3 8 –x < –8 8 x > 8
x3
– 1 < 2x – 15
8 5x – 15 < 6x – 3 8 –x < 12 8 x > –12
–12 8
Solución: (8, +@)
d) °¢£
3x + 39 < 39 – 2x 8 5x < 0 8 x < 03x – 5 < –4 8 3x < 1 8 x < 1/3
0 1/3
Solución: (–@, 0)
22 Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:a) x2 – 4 Ì 0 b) x2 – 9 > 0 c) x2 – 4x < 0 d) x2 + 3x > 0
a) x2 – 4 = 0 8 (x + 2)(x – 2) = 0 x = 2x = –2
–2 2
No NoSí
Solución: [–2, 2]
b) x2 – 9 = 0 8 (x + 3)(x – 3) = 0 x = 3x = –3
–3 3
Sí SíNo
Solución: (–@, –3) « (3, +@)
c) x2 – 4x = 0 8 x (x – 4) = 0 x = 0x = 4
0 4
No NoSí
Solución: (0, 4)
d) x2 + 3x = 0 8 x (x + 3) = 0 x = 0x = –3
–3 0
Sí SíNo
Solución: (–@, –3) « (0, +@)
Pág. 5
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23 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) (x – 1)(x – 5) < 0 b) (x + 2)(x – 3) > 0c) (4 – x)(2 + x) Ó 0 d) 2x (3 – x) Ì 0
a) (x – 1)(x – 5) = 0 x = 1x = 5
1 5
No NoSí
Solución: (1, 5)
b) (x + 2)(x – 3) = 0 x = –2x = 3
–2 3
Sí SíNo
Solución: (–@, –2) « (3, +@)
c) (4 – x)(2 + x) = 0 x = 4x = –2
–2 4
No NoSí
Solución: [–2, 4]
d) 2x (3 – x) = 0 x = 0x = 3
0 3
Sí SíNo
Solución: (–@, 0] « [3, +@)
24 Traduce a lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:a) La mitad de un número menos 10 unidades es menor que 7.b) Si a los tres cuartos de un número le resto 2, obtengo más que si a su mitad le sumo 5.c) El producto de dos números consecutivos no supera a 8.d) El perímetro de un rectángulo cuya base mide 3 cm más que la altura es menor
que 50 m.
a) x2
– 10 < 7 b) 34
x – 2 > x2
+ 5
c) x (x + 1) Ì 8 d) 4x + 6 < 50
Pág. 6