TNG HP CÁC THI HSG LP
9 NM 2011-2012
Li nói u:
Chào tt c các bn! Mình là Nguyn Huy Thnh hc sinh lp 8/1 Trng THCS Tân Xuân.Nay
mình quyt nh tng hp li tt c các thi HSG lp 9 (nm 2011-2012) cho các bn ôn thi
tuyn sinh lp 10 và chun b cho kì thi hc sinh gii lp 9 ca tnh mình.Sau ây là hn 30
thi hc sinh gii lp 9 c mình tng hp trên VMF (din àn toán hc).Mình mong nó s giúp
các bn phn nào v ôn tp HSG
Ngi biên son
Nguyn Huy Thnh
MÔN: TOÁN
THI GIAN: 120 phút (không k thi gian giao )
Bài 1: (4,0 im)
Rút gn biu thc:
Bài 2: (6,0 im)
1) Cho trc s hu t m sao cho 3 m là s vô t. Tìm các s hu t a,b,c :
3 2 3 0a m b m c
2) Tìm s t nhiên có 4 ch s (vit trong h thp phân) sao cho 2 iu kin sau ng thi tha
mãn:
(i) Mi ch s ng sau ln hn ch s ng lin trc.
(ii) Tng p+q ly giá tr nh nht, trong ó p là t s ca ch s hàng chc và ch s hàng n v
còn q là t s ch s hàng nghìn và ch s hàng trm.
Bài 3: (4,0 im)
1) Tìm tt c các s nguyên x tha mãn:
| 10 | | 11| | 101| | 990 | | 1000 | 2012x x x x x
2) Chng minh rng có th chia mt tam giác vuông có dài 3 cnh là các s nguyên thành 6
phn din tích bng nhau và din tích mi phn là s nguyên.
Bài 4: (4,0 im)
1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhn, trung tuyn AO có dài bng dài cnh BC. ng tròn
ng kính BC ct AB,AC th t ti M,N (M khác B, N khác C). ng tròn ngoi tip tam giác
AMN và ng tròn ngoi tip tam giác ABC ct ng thng AO ln lt ti I,K. Chng minh
t giác BOIM ni tip c mt ng tròn và t giác BICK là hình bình hành.
2) Cho tam giác ABC, im M di chuyn trên cnh BC. Gi P,Q ln lt là hình chiu vuông góc
ca M trên AB,AC. Xác nh v trí M PQ có dài nh nht.
Bài 5: (2,0 im)
Trong mt hình vuông cnh bng 7, ly 51 im. Chng minh rng có 3 im trong 51 im ã
cho cùng nm trong 1 hình tròn có bán kính bng 1.
Kì thi chn hc sinh gii lp 9
Nm hc 2011-2012
Môn thi:Toán
______________________________________
. 1 1
vi 0; 1x x . Rút gn biu thc A
và tìm các giá tr nguyên ca x A là s nguyên.
b) Cho biu thc:
1 2 1 2              1       2   2 1 M x x x x x x x x x x x x
Vi x là s t nhiên khác 0 . Chng minh M cng là s t nhiên.
Bài 2. (2,0 im)
b) Gii h phng trình:
9
4
1
Bài 3. (2,0 im)
Trên mt phng ta Oxy cho t giác ABCD có (0;1); (0;4); (6;4)A B C và (4;1)D . Gi d là
ng thng ct các on thng AD,BC ln lt ti M,N sao cho ng thng d chia t giác
ABCD thành 2 phn có din tích bng nhau, bit phng trình ng thng d có dng
5
3
a) Tìm ta ca M và N
b)Tìm ton im Q trên d sao cho khong cách t Q n trc Ox bng 2 ln khong cách t Q
n Oy.
Bài 4. (2,0 im)
Cho tam giác ABC u ni tip ng tròn tâm O, gi H là trung im BC. Trên các cnh
AB,AC ln lt ly hai im D,E sao cho 60oDHE . Ly M bt kì trên cung nh AB.
a) Chng minh ba ng phân giác ca ba góc , ,BAC BDE DEC ng quy.
b) Cho AB có dài 1 n v. Chng minh: 4
3 MA MB
Bài 5. (1,0 im)
Cho tam giác ABC không cân, v phân giác trong Ax ca góc A. V ng thng d là trung trc
ca on thng BC. Gi E là giao ca Ax và d. Chng minh E nm ngoài tam giác ABC.
Bài 6. (1,0 im)
Cho x,y,z là ba s thc dng tha iu kin xyz=1. Chng minh rng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1

*Lu ý: Thí sinh không c s dng máy tính cm tay khi làm bài thi.
----------------------HT----------------------
thi HSG vòng 2 qun Hà ông - Hà Ni
Bài 1:
a)Gii pt: 2 2 2 32( 1) 7( 1) 13( 1)x x x x
b)Cho pt : 2 2( 1) 3 0mx m x m
Tìm m pt có 2 nghim phân bit 1 2;x x mà 2 2
1 2x x =3
b)Gii h:
Tìm max: 3 3 3 3 3 3
1 1 1

Bài 4: Cho ng tròn (O) .Dây BC c nh , A chuyn ng trên ng tròn sao cho tam giác
ABC có ba góc nhn.K các ng cao AD,BE,CF ct nhau ti H
a) CMR: 2 2 2 1cos A cos B cos C
b)Tìm v trí im A din tích tam giác AEH max
c)CMR: ng tròn ngoi tip tam giác DEF i qua 1 im c nh
d) CM: 2 2 24BC AD EF
thi HSG toán 9 tnh Yên Bái nm hc 2011-2012
Thi gian làm bài: 150 phút (Không k thi gian giao )
Câu 1:<4 >
Tìm hai s x,y nguyên tho mãn 2 7 2 15x xy x y
Câu 2:<3 >
Gii h phng trình:
Câu 3:<5 >
Cho hình thang ABCD(AB//CD). Trên áy ln AB ly im M không trùng vi các nh. Qua M
k các ng thng song song vi AC và BD, các ng thng này ct hai cch BC, AD ln lt
ti E và F. on EF ct AC và BD ln lt ti I và J. Gi H là trung im ca IJ.
a. Chng minh rng: FH=HE
b. Cho AB=2CD. Chng minh rng: EJ=JI=IF
Câu 4:<3 >
Cho ng tròn O và mt dây cung $AB(O\not\in AB)$. Các tip tuyn ti A và B ca ng
tròn ct nhau ti C. K dây cung CD ca ng tròn ng kính $OC(D\neq A,B)$. Dây cung
CD ct cung AB ca ng tròn (O) ti E (E nm gia C và D).
a. Chng minh: BED DAE
b. Chng minh: 2 .DE DA DB
Câu 5:<2 >
... ... , ( ;1 2012) 1.2012 2.2011 (2012 1) 2012.1
S k k k k

2013
Cho $x,y,z$ là ba s dng tho mãn xyz=1.
Chng minh rng: 2 2 2 3
1 1 1 2
THI HSG TOÁN TNH HÀ TNH NM 2011-2012
Bài 1a) Rút gn biu thc 5 3 29 12 5
b) Tìm các s nguyên a,b sao cho 3 2
7 20 3 3 3a b a b

Bài 2a) Gii phng trình 2 12 1 36x x x
b) Gii h phng trình
     
Bài 3Cho ba s m,n,p tha mãn: 2 2 2
2 2
n n p và
2 2 2 2
Tính 2 3 4Q m m p
Bài 4Cho tam giác ABC có B nhn, trên cung nh AC ca (ABC) ly D khác A. K và H là hình
chiu ca D trên các ng thng BC,AB. I là giao im KH và AC.
a.CM DI vuông góc vi AC và HK < AC
b.E là trung im AB . (HDE) ct IK ti F . CM IF=FK
Bài 5Cho hai s thc x,y khác 0 sao cho 2 2( 1)x y xy x y Tìm max ca 3 3
1 1 A
x y
thi chn HSG tham d kì thi cp TP Hà Ni
Bài 1(6):
1.2.3........2011.2012(1 ....... ) 2 3 2011 2012

CMR: A là 1 s t nhiên và A chia ht cho 2013
b) Tìm x tha mãn: 3 2 3 2 3 33 2011 3 7 2012 6 2013 2012x x x x x
Bài 2 ( 3)
x y z t


Bài 3: Cho a,b,c thuc R , x,y,z>0 CM:
a) 2 2 2 2( )a b c a b c
x y z x y z


2 2 2

Bài 4(5):
Cho ng tròn ( O,R) . T im S ngoài ng tròn k 2 tip tuyn SM, SN ti ng tròn(
M,N là hai tip im), ng thng d qua S ct ng tròn (O,R) ti A và B ( M thuc cung ln
AB). Qua A k ng thng Ax // SM. ng thng Ax ct MN ti E, ct MB ti C. ng
thng MN ct AB ti K . Gi I là trung im AB
a) CM: IS là phân giác MIN
b) CM: SA SK
c)CM: MA,SC,BE ng quy ti 1 im
Bài 5(2): Trong 1 cuc hi ngh có 100 i biu, trong ó mi ngi quen vi ít nht 67 ngi
khác. CMR: trong hi ngh ó có ít nht 4 ngi mà mi ngi u quen vi 3 ngi còn li.
S GIÁO DC VÀ ÀO TO
THÁI BÌNH
CHÍNH THC
THI CHN HC SINH GII LP 9 THCS NM HC 2011-2012
Môn thi: TOÁN Thi gian làm bài: 150 phút, không k thi gian giao
Câu 1: (3,0 im)
Cho tam giác vuông có dài các cnh là nhng s nguyên và s o chu vi bng hai ln s o
din tích. Tìm dài các cnh ca tam giác ó.
Câu 2: (3,0 im)
Cho biu thc:
2 21 (1 ) 1 1 (1 ) 1P x x x x x x vi [ 1;1]x
Tính giá tr biu thc P vi 1
2012 x
Câu 3: (3,0 im)
Tìm s thc x, y tha mãn: 2 2 2 2 2 3 3( 1) 16 2 9 8 8x y x x x y x y xy
Câu 4: (3,0 im)
Trong mt phng ta Oxy, cho Parabol (P): 2y x và hai im A(-1;1). B(3;9) nm trên (P).
Gi M là im thay i trên (P) và có hoành là m ($-1<m<3$). Tìm m din tích tam giác
ABM ln nht.
Câu 5: (3,0 im)
Cho tam giác ABC ni tip (O;R). Gi I là im bt kì trong tam giác ABC (I không nm trên
các cnh ca tam giác). Các tia AI, BI, CI ct ln lt BC, CA, AB ti M, N và P.
a) Chng minh: 2 AI BI CI
AN BN CN .
.
Câu 6: (3,0 im)
Cho tam giác ABC có góc A tù, ni tip (O;R). Gi $x, y, z$ là khong cách t O n các cnh
BC, CA, AB và r là bán kính ng tròn ni tip tam giác ABC. Chng minh $y+z-x=R+r$.
Câu 7: (2,0 im)
0 , 2
1 1 3
.
thi HSG lp 9 tnh An Giang nm hc 2011 - 2012
Bài 1. (3 im)

Bài 2. (3 im)
Chng minh rng nu hai phng trình 2 20; 3 3 0x bx c x bx c có nghim thì phng
trình 2 2 2 0x bx c có nghim.
Bài 3. (4 im)
2 3 1
x y m
(m là tham s)
a. Vi m nào thì h phng trình có nghim duy nht.
b. Tìm m nguyên h phng trình có nghim x,y nguyên và x+y bé nht.
Bài 4. (4 im)
44 4
2 2
Du bng ca bt ng thc xy ra khi nào.
b. Phân tích a thc sau thành nhân t: 4 28 12P x x x x
Bài 5. (6 im)
Gi A',B',C' ln lt là trung im ca các cung BC,CA,AB không cha các im A,B,C ca
ng tròn ngoi tip tam giác ABC. BC ct A'C' và A'B' ti M và N; CA ct A'B' và B'C' ti P
và Q; AB ct B'C’ và A'C' ti R và S.
a. Chng t rng AA',BB',CC' ng quy ti I.
b. Chng minh rng IQAR là hình thoi.
c. Tìm iu kin ca tam giác ABC MN=PQ=RS.
-------------HT-------------
thi HSG lp 9 tnh Vnh Long nm hc 2011 - 2012
Bài 1. (2 im)
Tìm các s t nhiên có hai ch s, bit s ó chia cho tng các ch s ca nó c thng là 4
và s d là 3.
Bài 2. (6 im)
a. 3 3 7 8x x
b.    1 4 1   3x x
c. 2 2 1 5x x
Bài 3. (3 im)
Cho Parabol 2( ) : 2P y x . Trên (P) ly im A có hoành bng 1, im B có hoành bng 2.
Tìm m và n ng thng :d y mx n tip xúc vi parabol ( )P và song song vi ng
thng AB.
Bài 4. (3 im)
Cho phng trình bc hai 2 2 1 2 10 0x m x m , vi m là tham s thc.
a.Tìm m phng trình có hai nghim 1 2,x x
b. Tìm m biu thc 2 2
1 2 1 26P x x x x t giá tr nh nht.
Bài 5. (4 im)
Cho tam giác ABC cân ti A. Các cnh AB,BC,CA ln lt tip xúc vi ng tròn (O) ti
D,E,F.
a. Chng minh DF//BC và ba im A,O,E thng hàng, vi O là tâm ca ng tròn (O).
b. Gi giao im th hai ca BF vi ng tròn (O) là M và giao im ca DM vi BC là N.
Chng minh tam giác BFC ng dng vi tam giác DNB và N là trung im ca BE.
c. Gi (O') là ng tròn qua ba im B,O,C. Chng minh AB,AC là các tip tuyn ca ng
tròn (O').
Bài 6. (2 im)
Cho tam giác ABC có , ,BC a AC b AB c . Gi , ,a b ch h h ln lt là các ng cao ng vi
các cnh a,b,c. Tính s o các góc ca tam giác ABC bit 9a b ch h h r , vi r là bán kính
ng tròn ni tip tam giác ABC.
-------------HT-------------
thi HSG lp 9 tnh Tin Giang nm hc 2011 - 2012
Bài 1. (4,0 im)
3 2
3 2
1 2( )
1 2( )


2. Cho phng trình: 4 22 2 1 0(1)x mx m
a. Tìm m (1) có 4 nghim 1 2 3 4, , ,x x x x tho 1 2 3 4
4 3 3 2 2 1
x x x x


b. Gii phng trình (1) vi m tìm c câu a.
Bài 2. (4,0 im)
Cho 2( ) : ;( ) :P y x d y x m . Tìm m (P) và (d) ct nhau ti hai im phân bit A, B sao
cho: tam giác OAB là tam giác vuông.
Bài 3. (4,0 im)
1. Cho 4 s a, b, c, d tho iu kin 2a b c d . Chng minh: 2 2 2 2 1a b c d
2. Cho và 3 2 23 3 ( 1) ( 1) 0a a a m m . Hãy tìm giá tr nh nht (GTNN) ca $a$.
Bài 4. (3,0 im)
Chng minh rng: 2 2 2 2 2 ( 1)(2 1)
2 4 6 ... (2 ) ; , 1 3
n n n n n n

Bài 5. (5,0 im)
Cho tam giác ABC có các phân giác trong ca các góc nhn , ,BAC ACB CBA theo th t ct các
cnh i ti các im M, P, N. t , , ;a BC b CA c AB ,MNP ABCS S theo th t là din tích
ca tam giác MNP và ABC.
1. Chng minh rng:



ABC
S
S
-------------HT-------------
* Ghi chú: Thí sinh không c s dng máy tính cm tay.
thi HSG lp 9 tnh Lng Sn nm hc 2011 - 2012
Bài 1. (4 im)
:   
a. Rút gn P
b. Tìm m vi mi giá tr 9x ta có 3 1  m x P x
Bài 2. (3 im)
2 2 2
Bài 3. (4 im)
Cho phng trình bc hai: 2 22 2 7 0 1x m m x m , (m là tham s)
a. Gii phng trình (1) khi m = 1
b. Tìm m phng trình (1) có hai nghim 1 2;x x tha mãn: 1 2 1 22 4x x x x
Bài 4. (6 im)
Cho tam giác ABC có 5 ; 4 ; 3BC a CA a AB a , ng trung trc ca on AC ct ng
phân giác trong ca góc BAC ti K.
a. Chng minh tam giác ABC vuông.
b. Gi (K) là ng tròn có tâm K và tip xúc vi ng thng AB. Chng minh rng ng
tròn (K) tip xúc vi ng tròn ngoi tip ca tam giác ABC.
c. Chng minh rng trung im ca on AK cng là tâm ng tròn ni tip ca tam giác ABC
Bài 5. (3 im)
Cho a,b,c là các s nguyên t khác 0, a c tha mãn: 2 2
2 2
. Chng minh rng
2 2 2a b c không th là mt s nguyên t.
-------------HT-------------
thi HSG lp 9 tnh Hi Dng nm hc 2011-2012
Bài 1. (2,5 im)
2 2
x x x x


2. Phân tích thành nhân t: 33 3 3a b c a b c
3. Tìm x bit 3 32 62 1 1x x x x
Bài 2. (2,0 im)
2
33 3 16
Bài 3. (2,0 im)
1. Tìm nghim nguyên ca phng trình: 2 28 23 16 44 16 1180 0x y x y xy
2. Cho n là s nguyên dng và $m$ là c nguyên dng ca 22n . Chng minh rng
2n m
Bài 4. (3,0 im)
Cho ng tròn (O;R) và AB là ng kính. Gi d là ng trung trc ca OB. Gi M và N là
hai im phân bit thuc ng thng d. Trên các tia OM,ON ly ln lt các im M' và N' sao
cho 2. .OM OM ON ON R .
1. Chng minh rng bn im M,N,M',N' thuc mt ng tròn.
2. Khi im M chuyn ng trên d, chng minh rng im M' thuc mt ng tròn c
nh.
3. Tìm v trí im M trên d nhng M không nm trong ng tròn (O;R) tng MO+MA
t giá tr nh nht.
Bài 5. (0,5 im)
Trong các hình bình hành ngoi tip ng tròn (O;r), hãy tìm hình bình hành có din tích nh
nht.
-------HT-------
S GIÁO DC - ÀO TO KÌ THI HC SINH GII LP 9
THCS
Môn: Toán
(Thi gian làm bài: 150 phút, không k thi gian giao )
Câu 1:
1) Cho các s thc a, b, c khác nhau tng ôi mt vào tha mãn iu kin:
2 2 2a b b c c a
Chng minh rng: ( 1)( 1)( 1) 1a b b c c a
2) Cho ba s thc dng a, b, c tha mãn: 1ab bc ca
Chng minh rng: 2
( 3) ( 8) 13


2) Gii phng trình: 21 3 3 4 2x x x x
Câu 3: Tìm tt c các b ba s nguyên không âm (x;y;z) tha mãn ng thc:
2012 2013 2014x y z
Câu 4: Cho ng tròn (O), AB là ng kính ca (O). im Q thuc on thng OB (Q khác
O; Q khác B). ng thng i qua Q, vuông góc vi AB ct ng tròn (O) ti hai im C và D
khác nhau (im D nm trong na mt phng b PS cha B). Gi G là giao im ca các ng
thng CD và AP. Gi E là giao im ca các ng thng CD và PS. Gi K là trung im ca
on thng AQ.
1) Chng minh rng tam giác PDE ng dng vi tam giác PSD
2) Chng minh rng EP=EQ=EG
3) Chng minh ng thng KG vuông góc vi ng thng CD
Câu 5: Cho ba s thc dng a, b, c tha mãn iu kin:
2 2 2 3a b c
Chng minh rng: 3 3 3
1 1 1 1

thi HSG lp 9 tnh Phú Th nm hc 2011 - 2012
Bài 1. (3 im)
Tìm tt c các s nguyên dng n hai s n + 26 và n – 11 u là lp phng ca hai s
nguyên dng nào ó.
Bài 2. (4 im)
Gi s $a$ là mt nghim ca phng trình 22 1 0x x . không gii phng trình, hãy tính
giá tr ca biu thc: 4 2
2 3
a. Gii phng trình: 28 1 1   3x x x
b. Gii h phng trình: 2 2
2
Bài 4. (7 im)
Cho ng tròn (O;R) và im M nm ngoài ng tròn. Qua im M v hai tip tuyn MA, MB
ti ng tròn (A và B là các tip im). Gi D là im di ng trên cung ln AB (D không
trùng A, B và im chính gia ca cung) và C là giao im th hai ca ng thng MD vi
ng tròn O;R).
a. Gi s H là giao im ca các ng thng OM vi AB. Chng minh rng
. .MH MO MC MD , t ó suy ra ng tròn ngoi tip tam giác HCD luôn i qua mt im c
nh.
b. Chng minh rng nu AD song song vi ng thng MB thì ng thng AC i qua trng
tâm G ca tam giác MAB.
c. K ng kính BK ca ng tròn (O;R), gi I là giao im ca các ng thng MK và AB.
Tính bán kính ng tròn ngoi tip tam giác MBI theo R, khi bit 2OM R .
Bài 5. (2 im)
Cho các s thc dng a, b, c tho mãn: 3abc a b ab . Chng minh rng:
3        1 1

-------------HT-------------
THI CHN HSG LP 9 CP TNH, BÀ RA VNG TÀU 2012
Câu 1. (3,0 im)
Gii các phng trình:
1. 2 2( 1) 0x y x y ( x, y là n )
2. 2 26 1 6 0x x .
Câu 2. (4,0 im)
Rút gn biu thc:
2 4 2 3 2 4 2 3 A


1 1 1 1 1
3 2 5 6 7 12 9 20 B

Câu 3. (4,0 im)
1. Tìm tt c các s t nhiên n sao cho 3n+5 chia ht cho n-7
2. Tìm nghim nguyên ca phng trình: 2( 1) 4 (1 )x x x y y (vi x, y là n).
Câu 4. (2,0 im)
Cho a,b,c là dài ba cnh tam giác. Chng minh: 2 2 2 2( )ab bc ca a b c ab bc ca
Câu 5. (3,0 im)
Cho ng tròn (O) có hai ng kính AB và CE vuông góc vi nhau. Gi P là mt im di
ng trên cung nh AE (P khác A và E). CP ct OA ti M và BP ct OE ti N.
.
MA NE là mt hng s.
Câu 6. (4,0 im)
Cho tam giác ABC u có ng cao AH (H thuc BC). M là im di ng trên cnh BC(M
khác B và C).
Dng MP vuông góc vi AB ti P và MQ vuông góc vi AC ti Q, AM ct ng tròn ngoi
tip tam giác ABC ti D (D $khác A).
1. Chng minh t giác APMQ ni tip trong mt ng tròn.
2. Gi $O$ là tâm ng tròn ngoi tip t giác APMQ, chng minh H vuông góc vi PQ.
3. Khi $M$ di ng trên cnh BC (M khác B và C), tìm tp hp trung im E ca on AD.
------- Ht -------
thi hc sinh gii TP.HCM cp THCS nm hc 2011 - 2012
Bài 1: (4 im)
Cho phng trình 2 2( 2) 3 0mx m x m (x là n s)
a) Tìm m phng trình có hai nghim trái du.
b) Tìm m phng trình có hai nghim trái du và nghim âm có giá tr tuyt i ln hn
nghim dng.
Bài 3: (4 im)
a) Chng minh rng: 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd vi a, b, c, d là các s thc.
b) Cho 1, 1a b . Chng minh rng: 1 1a b b a ab
Bài 4: (2 im)
Tìm giá tr nh nht ca biu thc 2 3A x y z bit x,y,z không âm và tha h phng trình:
2 4 3 8
Bài 5: (2 im)
Chng minh rng phng trình 2 3 24 4 8 2 4x x y z không có nghim nguyên.
Bài 6: (4 im)
Cho ng tròn (O) ng kính AB, bán kính R. Tip tuyn ti M bt kì thuc ng tròn (O)
ct các tip tuyn ca ng tròn ti A và B ln lt ti C và D.
a) Chng minh rng: 2.AC BD R
b) Gi I và J ln lt là giao im ca OC vi AM và OD vi BM.
Chng minh IJ song song vi AB.
c) Xác nh v trí ca M ng tròn ngoi tip t giác CIJD có bán kính nh nht.
thi HSG lp 9 tnh Qung Ninh 2011-2012
Câu 1 (2): cho 3 31 2 4x , chng minh rng P= 3 23 3 3x x x là mt s chính phng.
Câu 2 (6):
4

Câu 3 (3) Tìm tham s m tp nghim phng trình sau có úng mt phn t:
2 2 (2 5) 1
0 1
Câu 4 (7)
Cho (O) và (O') ct nhau ti A và B. Trên tia i ca tia AB ly M khác A. Qua M k tip
tuyn MC, MD vi ng tròn (O') ( C,D là các tip im, C nm ngoài (O)). ng thng AC
ct (O) tai P khác A, ng thng AD ct (O) ti Q khác A. ng thng CD ct PQ ti K.
Chng minh:
Tam giác BCD ng dng vi tam giác BPQ
ng tròn ngoi tip tam giác KCP luôn i qua mt im c nh khi M thay i.
K là trung im PQ
Câu 5 (2)Vi a,b,c là ba s thc dng, chng minh bt ng thc: 3 3 3
2 2 2a b c a b c
b c a
NM HC 2011-2012
Thi gian làm bài: 150 phút (không k thi gian giao )
CÂU 1: (5)
1 2
a a a a
CÂU 2: (5)
Gii các phng trình sau:
1. 3 2 3 3 3 22 2 3 1 3 1 2x x x x x x
2. 4 4 2 2 2 22 4 7 5 0x y x y x y ; (vi x;y nguyên)
CÂU 3: (4)
Cho ng tròn ;O R . ng thng d không i qua O ct ng tròn ( )O ti hai im A
và B . T mt im M tu ý trên ng thng d và ngoài ng tròn (O), v hai tip tuyn
MN và MP vi ng tròn (O), ( N,P là hai tip im).
1. Dng v trí im M trên ng thng d sao cho t giác $MNOP$ là hình vuông.
2. CMR tâm ca ng tròn i qua 3 im $M, N, P$ luôn chy trên ng thng c nh khi
M di chuyn trên ng thng d .
.CÂU 4:(4)
1. a) Tìm Max ca : 29y x x
b) GT $x, y, z$ là nhng s dng tho mãn k: 1xyz .
Tìm min: 3 3 3
1 1 1 f x
x y z y x z z x y
.
2. Cho 3 s $a,b,c$ tho mãn: 1a b c ; 2 2 2 3 3 31; 1a b c a b c .
CMR: 2 1 2 1 2 1 1n n na b c vi *n .
CÂU 5: (2)
Cho ABC thay i có 6AB và 2AC BC . Tìm giá tr ln nht ca ABCS .
thi HSG lp 9 tnh Qung Ngãi nm hc 2011 - 2012
Ngày thi: 29/03/2012
Thi gian: 150'
Bài 1: a) Tìm x, y nguyên dng sao cho 6 5 18 2x y xy
b) Chng minh A là s t nhiên vi mi a thuc N: 5 4 3 27 5
120 12 24 12 5
a a a a a A
Bài 2: a) Gii phng trình: 24 1 5 14x x x
b) Gii h phng trình:
2
2 a
816 51a a
b) Cho a, b là các s thc dng. Chng minh:
2( ) 2 2

Bài 4: Cho im M thuc ng tròn (O) ng kính AB. T 1 im C trên on OB, k CN
vuông góc vi AM ti N. Tia phân giác ca góc MAB ct CN ti I, ct (O) ti P. Tia MI ct
ng tròn (O) ti Q.
a) Chng minh P, C, Q thng hàng.
b) Khi AM = BC, chng minh tia MI i qua trung im ca AC.
Bài 5: Cho tam giác ABC nhn, ng cao AH. Trên AH, AB, AC ln lt ly các im D, E, F
sao cho 90oEDC FDB . Chng minh rng: EF // BC.
THI HSG LP 9 TINH ÔNG NAI 2011-2012
Câu 1 (4)
Cho ac=bd và ab>0 chng minh
2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c d a d b c
Câu 2 (4)
Câu 3 (4)
Cho m,n,k là các s nguyên tha 2 2 2m n k
Chng minh tích mn 12
Câu 4(3,5)
Trong mt phng ta Oxy mi im vi hoành và tung u nguyên c gi là 1 im
nguyên
Trong mt phng vi h ta Oxy cho các im M(p,q) E(p,0) F(0,q)
Bit p,q là hai s t nhiên và nguyên t cùng nhau p>1 q>1
1) tính p và q theo s im nguyên bên trong hình ch nht OEMF
2) Chng minh rng ch có 2 im nguyên thuc on OM
Câu 5(4,5)
Cho (O;R) tâm O bán kính R gi A,B là hai im c nh thuc (O;R) A B Gi C là im thay
i thuc (O;R) vi C A C B V ( 1O ) i qua A tip xúc vi BC ti C . V 2( )O i qua B
và tip xúc ci AC ti C. 1( )O và 2( )O ct nhau ti D C
1) Chng minh 1 2OO CO là hình bình hành
2) Xác nh v trí im C tha iu kin ã cho dài on CD ln nht
thi HSG lp 9 tnh Thanh Hóa nm hc 2011 - 2012
Bài 1. (4,0 im)
x x x P
xx x x x
1. Rút gn P
2. Tính giá tr ca P khi 4 4 3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2 x


Bài 2. (4,0 im)
Trong cùng mt h ta , cho ng thng -: 2d y x .và parabol 2  :P y x . Gi A và
B là giao im ca d và ( )P
1. Tính dài AB
2. Tìm m ng thng ' :d y x m ct ( )P ti hai im C và D sao cho CD AB
Bài 3. (4,0 im)
2
2
2
1
2



2. Tìm nghim nguyên ca phng trình: 6 2 32 2 320x y x y
Bài 4. (6,0 im)
Cho tam giác nhn ABC có AB AC . Gi M là trung im ca BC; H là trc tâm; AD,BE,CF
là các ng cao ca tam giác ABC. Kí hiu 1( )C và 2( )C ln lt là ng tròn ngoi tip tam
giác AEF và DKE, vi K là giao im ca EF và BC. Chng minh rng:
1. ME là tip tuyn chung ca 1( )C và 2( )C
2. KH AM
Bài 5. (2,0 im)
Vi 0 , , 1x y z . Tìm tt c các nghim ca phng trình:
3

Câu 1:
1. Tính giá tr ca biu thc sau: 1 4 1 4
1 1 4 1 1 4
x x
x x
9 x
2. Tìm các giá tr ca tham s m phng trình 2( 1) (2 1) 1 0m x m x m có 2 nghim
phân bit 1 2,x x tha mãn 2 2
1 2 1 22009 2012x x x x
Câu 2:
1. Gii phng trình 2(2 2 4 1)(2 3 4 9 2) 7x x x x x
2. Gii h phuong trình sau
2 4 2
2 4 2
2 4 2
x y z
y z x
z x y
Câu 3:
1. Tìm giá tr ln nht, nh nht ca x bit x, y là 2 s tha mãn ng thc 2 23( )y xy y x x
2. Tìm các s nguyên k biu thc 4 3 28 23 26 10k k k k là s chính phng.
Câu 4: Cho ng tròn ng kính AB. Trên on thng AO ly im H bt kì không trùng vi
A và O, k ng thng d vuông góc vi AB ti H, trên d ly im C nm ngoài ng tròn, t C
k 2 tip tuyn CM và CN vi ng tròn (O) vi M và N là các tip im, (M thuc na mt
phng b d có cha im A). Gi P và Q ln lt là giao im ca CM, CN vi ng thng AB.
1, Chng minh rng HC là tia phân giác MHN
2. ng thng i qua O vuông góc vi AB ct MN ti K và ng thng CK ct ng thng
AB ti I. Chng minh I là trung im ca PQ
3. Chng minh rng ba ng thng PN, QM, CH ng quy.
Câu 5:
Cho 3 s dng x, y, z tha mãn x+y+z=6. Chng minh rng 2 2 2 8x y z xy yz zx xyz
thi HSG lp 9 Bình Thun nm 2011-2012
Bài 1: (4 im)
1/ Chng minh rng nu a+b+c+d = 0 thì 3 3 3 3 3( )( )a b c d ac bd b d
2/ Tìm mt s gm hai ch s sao cho t s gia s ó vi tng hai ch s ca nó là ln nht.
Bài 2: (4 im)
1/ Gii phng trình 31 2x x = 5
2/ Trong mt lp hc ch có hai loi hc sinh là gii và khá. Nu có 1 hc sinh gii chuyn i thì
1
6 s hc sinh còn li là hc sinh gii. Nu có 1 hc sinh khá chuyn i thì
1
là hc sinh gii. Tính s hc sinh ca lp.
Bài 3:(4 im)
1/ Cp s (x, y) là nghim phng trình: 2 2 4 0x y xy x y . Tìm giá tr ln nht ca y.
2/ Cho ba s thc $a, b, c$ 0 tha 0a b c và 1 1 1 1
a b c a b c
.
Chng minh rng trong ba s a, b, c có hai s i nhau.
Bài 4: (5 im)
Cho (O; R) có ng kính AB c nh; mt ng kính CD thay i không vuông góc và không
trùng AB. V tip tuyn (d) ca ng tròn (O) ti B. Các ng thng AC, AD ln lt ct (d)
ti E và F.
1/ Chng minh t giác CEFD ni tip c trong ng tròn.
2/ Gi I là tâm ng tròn ngoi tip tam giác CDE. Chng minh rng I di ng trên mt ng
thng c nh.
Bài 5: (3 im)
Cho tam giác ABC có các ng phân giác trong BD và CE ct nhau ti G. Chng minh rng
nu GD =GE thì tam giác ABC cân ti A hoc góc A bng 60o
--------HT--------
S GIÁO DC VÀ ÀO TO K THI CHN HC SINH GII LP 9 CP TNH
GIA LAI Nm hc 2011 – 2012
------------------------------------- MÔN: Toán
CHÍNH THC Thi gian: 150 phút (không k thi gian phát
)
x
4 3 2      1  2 A x x x x
b) Chng minh biu thc
3 2 2  ( 7) 36  P n n n
chia ht cho 7 vi mi s nguyên n.
Câu 2. (3,0 im)
a) Trong mt phng, h ta Oxy cho ng thng có phng trình y = x + 1.
Tìm trên ng thng các im M (x; y) tha mãn ng thc 2 3   2 0  y y x x
b) Trong mt phng, h ta Oxy cho ng thng d có phng trình y = ax + b.
Tìm a, b d i qua im B(1;2) và tip xúc vi Parabol (P) có phng trình: y = 2x2
Câu 3. (4,0 im)
     
    


b) Gi 1 2;x x là hai nghim ca phng trình 22012 (  20 11) 20 2  1 0x a x (a là s
thc)
2 1 2 1 2
1 2
x x
Câu 4. (4,0 im)
a) Cho các s thc $a,b,c$ sao cho 1 , , 2a b c
. Chng minh rng: 1 1 1
10a b c a b c


b) Trong hi tri ngày 26 tháng 3, lp 9A có 7 hc sinh tham gia trò chi ném bóng vào
r. 7 hc sinh này ã ném c tt c 100 qu bóng vào r. S qu bóng ném c vào r ca
mi hc sinh u khác nhau. Chng minh rng có 3 hc sinh ném c tng s qu
bóng vào r không ít hn 50 qu.
Câu 5. (6,0 im)
Cho tam giác ABC vuông ti A (AB < AC) có ng cao AH và trung tuyn
AM (H, M thuc BC). ng tròn tâm H bán kính HA, ct ng thng AB và ng
thng AC ln lt ti D và E (D và E khác im A)
a) Chng minh D, H, E thng hàng và MA vuông góc vi DE
b) Chng minh 4 im B, E, C, D cùng thuc mt ng tròn. Gi O là tâm ca ng
tròn i qua 4 im B, E, C, D. T giác AMOH là hình gì?
c) t ˆ ˆ;ACB AMB . Chng minh rng:
2
----------------------Ht----------------------------
thi HSG lp 9 tnh Bình nh nm hc 2011 - 2012
Bài 1. (4 im)
a. Rút gn biu thc sau:    8 15 8 15
2 2 A
2
Bài 2. (4 im)
a. Chng minh rng 3n n chia ht cho 24 vi mi s t nhiên n l.
b. Cho $a, b, c$ là các s thc dng tha mãn iu kin:
2 2 22 2 2a b c a b b c c a
Chng minh rng nu c a và c b thì c a b
Bài 3. (3 im)
Cho phng trình 2 1 6 0x m x . Tìm m phng trình có 2 nghim phân bit 1x và 2x
sao cho biu thc 2 2
1 29 4A x x t giá tr ln nht.
Bài 4. (6 im)
a. Cho tam giác ABC cân ti A có 020 ,BAC AB AC b và BC a . Chng minh rng: 3 3 23a b ab
b. Cho hai im $A, B$ thuc ng tròn ( )O ($AB$ không qua O ) và có hai im C, D di
ng trên cung ln AB sao cho / /AD BC (C, D khác A, B và AD BC ). Gi M là giao im
ca BD$ và $AC. Hai tip tuyn ca ng tròn ( )O ti A và D ct nhau ti I
b.1. Chng minh ba im I, O, M thng hàng.
b.2. Chng minh bán kính ng tròn ngoi tip tam giác MCD không i.
Cho x, y là các s thc dng tha mãn 1xy . Chng minh rng
2 2 4 1 8x y x y
x y

thi HSG lp 9 tnh Ngh An nm hc 2011 - 2012
Bài 1. (5,0 im)
a. Cho a và b là các s t nhiên tha mãn iu kin 2 2 7a b . Chng minh rng a và b u
chia ht cho 7.
b. Cho 2012 2011 1A n n . Tìm tt c các s t nhiên n A nhn giá tr là mt s nguyên t.
Bài 2. (4,5 im)
2x x x x x x
b. Cho $x,y,z$ là các s thc khác 0 tha mãn 0xy yz zx . Tính giá tr ca biu thc:
2 2 2
Bài 3. (4,5 im)
a. Cho các s thc $x,y,z$ tha mãn iu kin: 6x y z xy yz zx . Chng minh rng: 2 2 2 3x y z
b. Cho $a,b,c$ là các s thc dng tha mãn iu kin: 3a b c . Tìm giá tr nh nht ca
biu thc: 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c P

Bài 4. (6,0 im)
Cho ng tròn (O;R) và mt dây BC c nh không i qua O. T mt im A bt kì trên tia i
ca tia BC v các tip tuyn AM,AN vi ng tròn (M và N là các tip im, M nm trên cung
nh BC). Gi I là trung im ca dây BC, ng thng MI ct ng tròn (O) ti im th hai là
P.
a. Chng minh rng NP//BC.
b. Gi giao im ca ng thng MN và ng thng OI là K. Xác nh v trí ca im A trên
.
-------------HT-------------
thi hc sinh gii lp 9 tnh hng yên 2011-2012
câu I (2.0 im):
1. cho hàm s 4 2012( ) ( 2 7)f x x x . tính ( )f a vi
(4 15)( 5 3). 4 15a .
2. cho parabol (P): 2y x .
trên (P) ly 2 im 1 2,A A sao cho
1 2 90oAOA (O là gc ta ).
hình chiu vuông góc ca 1 2,A A lêm trc hoành ln lt là
1 2,B B .
câu II (2im):
1. cho PT 2 3 0x mx m (m là tham s khác 0) có 2 nghim phân bit 1 2,x x tìm giá tr nh
nht ca:
2. tìm nghim nguyên ca PT:
4 4 2 2 2 22 4 7 5 0x y x y x y
câu III: (2.0 im):
x x x x
câu IV: (3.0 im)
1. cho ng tròn tâm O có ng kính CD là ng cao ca tam giác ABC vuông ti C.
ng tròn (O) ct các cnh AC, BC ln lt ti E và F, gi M là giao im ca ng tròn tâm
O vi BE (M khác E). hai ng thng AC, MF ct nhau ti K, EF và BK ct nhau ti P
a. CMR B,M,F,P cùng thuc 1 ng tròn
b. tính các góc ca tam giác ABC khi 3 im D,M,P thng hàng.
2.cho tam giác ABC vuông ti C, góc BAC bng 60o và trung tuyn
3
tam giác ABC theo a.
câu V:(1 im ): trên mt phng cho 6 ng tròn có bán kính bng nhau và có im chung.
CMR ít nht 1 trong nhng ng tròn này cha tâm ca 1 ng tròn khác trong chúng.
thi HSG lp 9 tnh Qung Bình nm hc 2011 - 2012
Câu1: Gii h phng trình sau:
2
2
Câu2: Cho pt: x2 -2mx +1 =0 (n x)
a) Tìm m pt có hai nghim dng.
b)Gi x1 ,x2 ( 1 2x x ) là hai nghim ca pt
Tính 1 2P x x theo m và tìm GTNN ca biu thc 1 2
1 2

Câu3: Cho tam giác ABC có góc u nhn và H là trc tâm. Gi M,N,P ln lt là giao im th
hai ca các dng thng AH,BH,CH vi dng tròn ngoi tip tam giác ABC; D,E,F ln lt là
chân các dng cao h t A,B,C ca tam giác ABC
a) Chng minh tam giac CHM cân
Tính tng AM
Câu 4: Không s dng máy tính hãy chng minh:
1 1 1

Câu5: Tìm s nguyên t p 4p2 + 1 va 6p2 +1 cng là s nguyên t
S GIÁO DC VÀ ÀO TO K THI CHN HC SINH GII TNH
K LK NM HC 2011 - 2012
CHÍNH THC MÔN TOÁN 9 - THCS
(Thi gian làm bài 150 phút, không k thi gian giao )
Ngày thi: 20/03/2012
2 3 1 3
x x x P
x x x x
2/ Tìm giá tr ln nht ca P.
Bài 2. (4 im)
1/ Tìm tt c s thc m h phng trình: 2
3 5
mx y
x my
0
2/ Cho x, y là hai s thc dng tha mãn: 3 3x x x y . Chng minh rng 2 2 1x y .
Bài 3. (4 im)
1/ Chng t rng không có hai s nguyên x, y tha mãn ng thc 2 2 2012x y .
2/ Tìm tt c s nguyên n s 4 3 23 4 5 2 1A n n n n là mt s nguyên t.
Bài 4. ( 4 im)
Cho tam giác ABC vuông ti A, có AH là ng cao.
1/ Chng minh rng 4 4 4 2 2
1 1 1 1 1
AB AC BC AH BC
2/ Tam giác ABC có c im gì nu có 4 4 4 2
1 1 1 3
4AB AC BC AH
Bài 5. (4 im)
Cho tam giac ABC cân ti A, mt im F di ng trên cch AC và F không trùng vi im A.
1/ Xác nh im E nm trên ng thng AB sao cho trung im I ca on thng EF nm trên
cnh BC.
2/ Chng minh rng vi mi im E xác nh trên thì tâm ng tròn ngoi tip tam giác AEF
nm trên mt ng thng c nh.
thi HSG khi 9 thành ph Hi Phòng 2011-2012 Bng A
Bài 1: (2.0 im)
a. Cho A = 3 7 5 2 ; B = 3 20 14 2 . Tính A + B
b. Cho a, b, c là các s khác 0 tho mãn 0a b c . Chng minh rng: 4 4 4
4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2
3
( ) ( ) ( ) 4

7 7 6


b. Cho x, y là hai s nguyên khác -1 sao cho 4 41 1
1 1
x y
y x
Bài 3: (1.0 im)
Tìm nghim nguyên ca phng trình 6 6 6 632 16 4x y z t
Bài 4: (2.0 im)
Cho t giác li ABCD bit , 30 , 150o oAB BD BAC ADC . Chng minh rng CA là tia phân
giác ca góc BCD
Bài 5: (2.0 im)
Cho ng tròn (O) ni tip tam giác ABC, gi K, P, Q ln lt là các tip im ca các cnh
BC, AC và AB. Gi R là trung im ca on thng PK. Chng minh rng PQC KQR
Bài 6: (1.0 im)
Cho ba s dng a, b, c. Chng minh rng
Du ng thc xy ra khi nào?
thi chn hc sinh gii lp 9 tnh Hi Phòng. Môn thi: Toán - Bng B
. THI MÔN: TOÁN - BNG B
Thi gian: 150 phút ( không k thi gian giao )
Ngày thi: 06/04/2012
Bài 1: (2.0 im)
a. Cho 3 37 5 2; 20 14 2A B . Tính A B .
b. Cho a,b,c là các s khác ) tha mãn 0a b c . CMR: 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2

7 7 6


b. Cho $x,y,z$ là nhng s nguyên tha mãn iu kin 4 4 4x y z chia ht cho 4. CMR: c
x,y,x u chia ht cho 4.
Bài 3:(1.0 im). Tìm các nghim nguyên ca pt: 4 3 2 24 7 6 4x x x x y
Bài 4:(2.0 im). Cho tam giác ABC ni tip (O). Tip tuyn ti A & C vs ng tròn ct tip
tuyn v t im B ca ng tròn ln lt ti P & Q. Trong tam giác ABCv ng cao BH (H
nm gia A & C). CMR: HB là tia phân giác ca PHQ .
Bài 5:(2.0 im). Cho tam giác ABC ni tip (O). ng phân giác ca các góc BAC & ACB ct
nhau ti I & ct ng tròn taam O ln lot ti E & D. CMR: DE vuông góc vi BI.
Bài 6:(1.0 im). Cho a,b,c là các s thc dng. CMR: 2 2 2
1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

..........HT..................
Câu 1 (3 im )
A f f f f
2.Cho biu thúc :
1
x x x x x x x x


Tìm tt c các giá tr ca $ x$ sao cho giá tr ca P là mt s nguyên.
Câu 2 (1,5 im )
Tìm tt c các cp s nguyên duong ( ; )x y tha mãn 3 2( ) ( 6)x y x y .
Câu 3 (1,5 im )
Cho , , ,a b c d là các s thc tha mãn iu kin :
2012abc bcd cda dab a b c d
CMR : 2 2 2 2( 1)( 1)( 1)( 1) 2012a b c d .
Câu 4 (3 im )
Cho 3 uòng tròn ( 1O ), ( 2O ) và ( O ) . Gi s ( 1O ) và ( 2O ) tip xúc ngoài vs nhau ti I và cùng
tip xúc trong vs ( O ) ti 1M , 2M . Tip tuyn ca ( 1O ) ti I ct (O ) ti A , $A'$. A 1M ct
li ( 1O ) ti im 1N , A 2M ct li ( 2O ) ti im 2N .
1. CMR : tú giác 1M 1N 2N 2M ni tip và O A vuông góc vs 1N 2N .
2. K uòng kính P Q ca ( O ) sao cho P Q vuông góc vs I A ( im P nm trên cung A 1M
ko chúa im 2M ) .CMR : Nu P 1M và Q 2M không song song thì A I , P 1M và Q 2M
ng quy .
Câu 5 ( 1 im )
Tt c các im trên mt phng u c tô màu , trong ó mi im c tô bi 1 trong 3 màu xanh,
, tím. CMR : luôn tn ti ít nht mt tam giác cân, có 3 nh thuc các im ca mt phng mà
3 nh ca tam giác ó ôi mt cùng màu hoc khác màu .
thi HSG lp 9 thành ph Hà Ni nm 2011-2012
Thi gian làm bài: 150 phút (không k thi gian giao )
Ngày thi: 04/4/2012
Câu 1:
1/Cmr: A= 2012 2012 2012 2008 2008 2008( ) ( ) 30a b c a b c mi a;b;c nguyên dng
2/Cho 3 2012( ) (2 21 29)f x x x
Tính f(x) khi 3 3 49 49
7 7 8 8
1/Gii phng trình : 2 25 3 12 5x x x
2/Gii h phng trình : 2 22 0x xy x y y và 2 2 6x y x y
Câu 3: Gii phng trình nghim nguyên dng: 2 22 5 3 3 4 0x xy y x y
Câu 4: Cho na ng tròn tâm O ng kính BC và A bt kì nm trên ng tròn.T A h AH
vuông góc BC và v ng tròn ng kính HA ct AB;AC M và N.
a/Cmr: OA vuông góc MN
b/Cho 2; 7AH BC Tính bán kính ng tròn ngoi tip tam giác CMN
Câu 5:
1/Chng minh rng: iu kin cn và 1 tam giác có các ng cao 1 2 3; ;h h h và bán kính
ng tròn ni tip r là tam giác u là:
1 2 2 3 3 1
1 1 1 1

2/Cho 8045 im trên 1 mt phng sao cho c 3 im bt kì thì to thành 1 tam giác có din tích
<1.Chng minh rng: Luôn có th có ít nht 2012 im nm trong tam giác hoc trên cnh ca 1
tam giác có din tích <1
S GIÁO DC VÀ ÀO TÀO
THA THIÊN HU
KÌ THI CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2012
Môn: TOÁN
2
14( 1)
xx x
2. Tính giá tr ca Q vi 2013x
Bài 2. (4,0 im) Cho phng trình: 2 2( 1) 2 5 0 (1)x m x m
1. Tìm m phng trình có nghim dng.
2. Gi 1 2,x x là hai nghim ca phng trình (1) . Tìm m nguyên dng
2 2
1 2
2 1
2 2
( 1) x x

2. Tìm tt c các cp s nguyên ( ; )x y sao cho x y và 2012.x y
Bài 4. (5,0 im)
Cho hai ng tròn ( ; )O R và ( ; ),( )O R R R ct nhau ti A và $B.$ Mt tip tuyn chung
tip xúc vi ng tròn ( )O ti $C,$ tip xúc vi ng tròn ( )O ti D . Gi I là giao im
ca AB và CD. B' là im i xng ca B qua I, C' là im i xng ca B qua CD. Qua A k
cát tuyn song song vi CD ct ng tròn ( )O ti P , ct ng tròn ( )O ti Q . Gi M,N ln
lt là giao i ca DB,CB vi PQ.
1. Chng minh rng A là trung im ca $MN$.
2. Chng minh rng A,C,B',C',D cùng thuc mt ung tròn.
Bài 5. (2,5 im) Cho ung tròn tâm O ni tip tam giác ABC vuông ti A . ng tròn
( )O ni tip tam giác tip xúc vi BC ti D . Chng minh rng .ABCS BD CD .
Bài 6. (2,0 im) Có hay không s t nhiên n tho 22012 n là s chính phng? Tìm n .
----HT----