I ) nFFI I( E, LITERATURA, NÁ VAZNOSTI.

Pm / II OS I ;t pc, lI os l (PP) se zabývú určovúním deformace, 1I:lpj:1I 0 Sli;t porllsováním celistvosti tělesa v závislosti na vn ěj š ím I:JII / Cllí. SO llčá tí PP je rovn ěž formulace tzv. mezních s tavů a SI:llI O, cní bezpečnosti a spo lehlivosti.

o po ruce ná literatura:

.I nič k. Ondráček, Vrbka, Burva: Mechanika tě le, Pružnost a p \ n l I, RJvl , 2004

Bur' a. Horníko á, Janíček : Pružno ta pevno t, C RM 2003, rovněž inl rakt ivní uč bní text V TF 12002

Janí- k. Florian: ' lohy z pružno ti a pe\ nosti T, VUT

Ho hl: Pružno t a pe no t e trojní tví, SNTL Praha, ALFA Brali la\ a. 1977

f' () 'rt:. 'T i 1110 ve nkk . M chan ics of mate ial , hapman and Hall , Londo, )Ja gO\\. 1991

·\ \'AZNOTI

PPI n<1\ ,vuj e na

a) sta tiku (podmínk statické rovnováhy, stati cká ana lýza atd.) . pp je jeden z predmětů Mechaniky tě l es - statika, PP , kinematika, d\ 'namika).

b) matematiku (matematická formulace úloh PP ajejich řešenÍ ­integrální a diti renci ální počet, diferenci ální rovnice atd.)

) mat riálové in žen ' r tví (mate ri álové charakteri stiky)

d) fyziku (a tom vá truktura lál k, te ri d i lokací, krystalická lruktura atd .)

d) úvod do tl' jí ren t"Í (k n tru vání pl' d ta a o zák ladních ll' jní h díl ch aj eji h runk i

) le rie : t 'mu, t

\ h dn)' h \ )'P ct ri e mod lování t ri

\ \' h III d I LI úl h atd . ) . pCťlm ntu (tvorba

I

_.1 I l'fnnll:tl'l' .ťll'Sll

1'11 d ·t"II11,ll'l lt k',l " I11U11 poloha bodu lck~a \ /hkdclll ke \ 1.1'11'11111 "llli.ldl1it' ()\CI111l ~~~léll1u (i \/d éíleno ~ li hodu) a l\ar l ěk ... a

t '/h' l'.hll

.111'll'll \.' 11(11.\.111 \ C \ ~ c II b d ch l e O

t, I tl ,ti. rlll:1CI \ ~cch elementu tele a

,I j ,I) ) /'

\li b)

Pn kcm (elementem) tč lesa rozumíme každou' h ddvl' ('Úst. < Je o o e Itelnou

Konečn)' prvek - všechny rozměry prvku jsou konečné

~lell1entá rn.í prvek - aJespOI1 jeden rozměr je infinitesimálně mal ' II ~dno- , dvoJ-, trojnásobně elementárni prvek). y

\

/

--Deformace tělesa je určena deformací každého trojnásobně elementárního prvku (elementu) tělesa. Deformací je zde přitom míněna změna rozměrll a tvaru elementu.

Matematické vyjádřená deformace tělesa

4

:}--

tl

ú

y

1

_,.. /J , r -J

t

B

0)( /

Ilh 11.1 I \ \ / lll~ III l ' I 'llll'IHlI ll' pOp -;;'III ; 1 dl'lIw vý III i Jl h'l vořen í m i I I. a

\, \ \

, \

rl:: rll ,;

rl:: ( I )

/ 111 \1 1,1 ( \ :l 1"U C!c,lllCl1llljC !)OP ána úhlovými přetvořeními (zkosy) . :1 ' . "-.(CI"C gco melrt cky před stavují zm ěnu pravého úh lu

rl: = r +6 r~, = E::+1fI (2)

Pozn: u\ edené vzta h ( I ) platí pro malá přetvořent' E:: < 0,05.

o f rma e v obecném bod v

I mentárního pl' ku, který t

IZ\ . tenzorem přetvoření r.

f: .l.... 1-J 7

.&. -f: I:'

J I: E::.

...

tě l sa je popsána deformací nto bod ob ahuje. Deformace je určena

(3)

kl l) Je )'metrickým tenzo rem druh ého řádu , který obsahuj e 6 nt:l-á\ i. I) ch prvkLL

Ddormace těl sa j e homogen ní, pokud je ve všech bodech A těle a n IL:jná. ~j. tenl-or přetvoření 7 j e ve všech bodech A tejn)' .

IJ I../rJll1laci PO\ia/ujcmc /3 nehomogenní, je- li rll;tn)'ch bodech t k čl rU / lléÍ. f)cf(Jrfllél CC Illll/C b ' l i po čás lech neholllogenní .

fl dl .1/ ( 1 ) d,'{

.11 di."

• \ .1.\ dS

(T - no rmátové napětí [ I 11/ 2 = Pa ] [ NII/II/ 2 = lv/Pa ]

~ - ~ mykové napětí [ Nm-2 = Pa ] [ N1I/1I/ 2 = MPa]

ztal1\' m zi obecným napětím a jeho složkami

(5)

Znam ' nková konvence pro ložky napětí

U > O n apětí má sm r n ěj í normál

u <' o n apětí má směr nitřní normál

I:nam ' nko á kon ence pro r má mlu ní charakt r e azbě na p u/ it) ouradni co )1 s stém.

čiší ')nahou je n) ní urč it I ve vYech bodech k L U «).

li lll ' ' : :lp.i;ltn ~ tl \ hode tclesa A rozumíme množi nu ohecných 11 ,1 1 II . :l .i 'hn ~ I() / ' h. (T" :l f" , které PLlsohí ve všech ře/',ech (J , které I 'd '111 . \ I' rnl' h ;llL~ i í.

!;Ih.Lldllll11 krokem ke lano ení obecných n apě tí .i~ a j eho složek a p a

. .i ' lI\ )ll1cnÍ prvku l č l e a ni řezem cv a zavedení ú č inků vzáj emného ptl ~ l)b'ní. l l \' . plovn ' ch il.

mentární sílu vzáj emného působení v místě A řezu označíme dF~

JI' ~ 7.dS (1) (2)

kde f je tz . obecné napětí .

7

11\' \ 'd 'III' 'Lltld.) rn / hnr si lové soustavy pllsobíd na prvek tčlesa \' . " ' 1.1\ .llll' l pndsnllstm) \ 11 jsi 'h sil n i Cl soustavy v nitřních sil n, .

JI cr>

1\,~ ' I P~) lI > ill:II1)' ch podmínek stati cké rovnováhy

S = JI - P =CX)

l Il)h:1 :'1:1110\ cní obecll)ích napětí II v řezu ev je obecně úlohou

Ill'koncč nckrát staticky neurčitou a neníji tedy možné těst v rámci :'1:11 jl-.. \ .

\ . d mci obecné Pružnosti a pevnosti se problém řeší dvěma přístupy.

~l) diť renciálním přístupem pomocí vztahů obecné pružnosti, které se távají z diferenciálních podmínek rovnováhy pro uvolněný trojnásobně elementární prvek, geometrických podmínek, kon titutivních vztahů (Hookeova zákona) a okrajových podmínek. f>{> ií' . nalyticky v uzavřeném tvaru je tato úloha řešitelná pouze

\. jednoduchých případech. Numerické řešení např. metodou sítí je často nestabilní.

b) integrá lním přístupem pomocí variačních principů (Lagrangeův var i ační přístup) resp. pomocí principu virtuálních prací.

umerické řešení úlohy zejména pomocí Metody konečných prvků (MKP).

rámci prosté Pružnosti a pevnosti se úloha zjednodušuje zavedením určitých předpokladů o průběhu deformace resp. napětí \ charakteri stických řezech, které vyplývají z praktických zkušeností, ho ohme o pracovních předpokladech.

I.ákladní otázkou však zůstává v jakém stavu je nutné uvolňovat pn ek tě l esa. Korektně bychom měli uvolňovat v zatíženém, tr J:d eformovaném stavu, ale deformaci dopředu neznáme. Navlc tento

I ~):-;tll l \ ' li ' obl.: ' ll h. n ' Iin ':J rni záv islosti mezi napjatostí a deformacf {PI druh ~ ho hídu) .

\ . , \ \tš i I ll: pri padli c na t tf ukazuje, že napjatost ( lA resp. vnitřní silm ~ úci nk ) nczáv i í pods tatně na deformaci tě lesa a můžeme tedy pn d . tckSél uvo liíovat v nezdeformovaném stavu. Pro lineárně prll / nč t0kso potom jde o lineární závislost mezi vnitřními silovými llci nky a deformací tě l esa (PP prvého řádu).

11." U /j

'-"

l

-Pp II -!1 x.)

/

~

----( .,.J 1-- - -

"> '-'

r r.

I

{jf}(j

",. - r.

-9

F

,I )

ľ ľ .\1 ETí N P.J 'rOSTI.

I Illl I 'lll:lIi "tll! lir ll\ :hl 11l1 napjatosti a deformace v tčlesech \ ,1 \ i"ltl.'li 1l:1 \11 .isl lll /'utlz ' ní se budeme zabývat v průběhu celého pr'dlll III PP,I. JI ) lla / a <~ Ikllje ale zapotřebí znát jisté závislosti, které ' I 11 \ 'tk lll~' Inrlll Oll v c L

,I) t)1 'l' lll' lli1 1 č t i /, z is i na tvaru tělesa n, zatížení 7f, poloze bodu \ , (' ' / 1I ,,) :1 matcri álo ých charakteristikách

r .:? -!)

\ fl 11;

t=IL. ~ ht

'-~ ~ - ~

< ~ ..

,/) -\-~ ~

t) bc né napčtí fA ř zech w, je stejné, pokud tyto řezy mají stejnou n rmáJu -,

C) e n ' napětí f, j lin ární kombinací jednotkového vektoru n rmáJ) e, v tomto bod v

•

r p. maticovém tvaru

7 kd I T, J je tz . tenzor napětí definovaný následovně

a r

r -IJ r .•

a.

II J - ~ a

Jde o ) mdri k}' tenzor druhého řádu ob ahujfc 6 nezá • r ~ u.

ľch

I

"",\ hm 'II d\\\ \\ll "1\IIS1,1\ II 'T si lo Oll SOllsla Oll slaticky \ 1\ ,II '111111 Pl 1\\111 \lh 1..' 11 napt: l í I, hod' 'h 1\ jl: rro ohě

Ihl \ '\\11,1.1\ \ \\h' ' l1l IlJ/ II \,

I 'lil1l " 11.lpj;1I1\:-.li \ hod lt:ksa a z.tahu ad c) plyne, že napjatost \ II tl I 1 ";Ij , url 'na lcn/on:m Ilapl:tí I/ ~ 1 tomto bode. Napjatost

".1 I' p\.'I\\111 li,lna napjalos l í Vl: v ' cch bodech tč l esa .

. q 1.11\"1 \ I \1 '~l je hom cnní , pokud j c v Vech bodech A tě l esa I 'In .I.I/I1 . I' \ c \ šeeh bode h tč l a Jc tcn zornapě tí [Tal stejný .

. ! 1,11\ 'I \ lč!csejc nchomo cnní, j c li různ 'ch bodech různá .

. ! 1.11\)'\ IllU/e b:' \ i ! čá lech nch m b nní.

\ I I \ I \ I l \ P I{ I I ( ' ", ,

I I , ~ \ , ll ~ II , , ' 1I \ , ' II \ \ 1'1 ,\ \ , I , l l ' ' I ; II i l ' k) l ' k \ 1\ ; li L' 11111 í II Ú I" ; I tl ( lil ,' \ " ,.'ll'l.I \ \ ll' "\ 11\ IIl' II :1 Il ; lpj : II11 \ 1 p lll l /L' \ h C/PIO Stf' L:dllíll1

I' I 1.1111 ,h" I lil 11 '~lIll' lll\hl p llp f'\ l' il1tlliti\!lL' I Of'Il1UI O\ al " ,Iilll -\ , ',ll I

:,11 1 :HlllIlc- lj ,jl l1\ l ' (l1l~()hCllí 7 , o kolí bodu P na po vrchu I

111' ,\ lil , ' 1;'lil' I-~ l' I-, j, :lklllllí/ll /.alízcním T , pal< napjatos t v t č l csc

hUlIL' fl!"() nhl' 1:llí / Cllí pra"ticky . tcjnú S \'~'jjl11l< o u hl' / pnhll'cd ll ího o ', o lí bodu P.

f II l J /' ~/,

II \ ' I I, 111111 \ I ) I' i II ~ , I jl 11111 II / 1'1 ll, i l'

,I) ,1 \l' dl.' III \\.' li l ' ill\l1S:II11l'I " Síl y F p ,,~ , , V 11I / .1l0 s tl é.I pev no sti

I, \ ,' 1\ ,1 1'\.'1 \ ,\ p \)l' ll) \ ( IllOtkly s ty ku tě l es (redukce p o '( t II I. '. 11 ,1111.' l ' It ), c u

(r v

( ~

Ir \.. ) rl zd ~ I i t ře ~ ní napj atos ti a deformace vázaného tě lesa na

r ", ní ťO\'no vá h tě l e a jako celku a pak napj atosti a 1 rm ace LI o ln ěn ' ho tě l e a,

t

/

POZO R: , a int- ena ntu v pr in cip je možné použít pouze tehdy, je­li () bla ~ t ' pat n ě tanovené na pj atos ti n, mim o kritickou oblast n" kl ed rc)/; hodu je o bezpeč n os ti. e lze např , použít u kontaktních .,

~

2.3 Zatížení tělesa.

/'.aLíženÍ tě le aje zp ůso ben o interakcí tě l esa s . ' . procesy, které v tě l esa IJrobíha,il' V ', I dk . oko lon nebo \ ' llltřními d ~. \ S e em Je \'zmk . . eformace s možností vzniku po ~ ' I' . napJatosl

J a

"v - rusenJ ce JSI\ o tj l ě l O za tezovacího p ů soben í pa tří: e a. o

- silové za těžová ní (osam ě l é síl \' f (\) I' .. ' s íly jJ, [ ,\ ín 1], objemové s íly rJ 1 \ '1/1 I ~ . I nI O \ e íl: 'I 1\111 ] . plo ' né

7-F.- I tf' (,..

d ~ ;I v v /' -7

6 1 cJ' ~d ..,

ll'

- defonnačn í zatěžová ní (předep an)' po ll\ /, \ IJSICm m íS I Č na povrchu tě l c a - rca li .ca c n apř. dOla/cním l1l;JIJCC nj iSI." POČC I o táček, nasazen ím obj ím k) na h řídc l md )

- objemové zatěžová n í (nch omogcnní tel lota. / Ill č n a objcmu průběh u fázových ZJ11 čn (au tcn it - mane /v il ) all. ). í:.a líicní od nehomogenní teploty sc obvyk /c na7)'\ á lcp/otn í / alí/ cní.

Charakte"istické p ůsoben í - Pl/sobení, které sa mo nevede ke vzniku napjatosti, ale které ml/že ov l ivnit vznik mezních tavu _ teplota, korozivní pros tředí atd.

9.: /L )

+

·1\ .ldtln • na~kdllild pojllly :

Ilth:}m nd sla\' - Zu)

,~cho .. í sla\' - / (0). V (s inou prcdpokládámc, žc napjatost je v tomto • l:l\ U nu lm :1.

hisforie zMčzo áni - Zel) pro «0,( >

\'1:1 tni napjato t - napjato t v tělese bez vnějšího zatížení z(r) = o.

,t n pj t tj způ obena celou historií zatěžování (kalení, tváření za tud na montáž ní operace, vznik lokální plastické deformace v růb hu zat zování atd .).

16

.4 Il'zní stavy tělesa.

1\ I '/!lIlH st;1\ '!ll (MS) rozumíme stav kdy se mční ch k . . , l:lstnost Il.:lcsa. ' ara lenstlcká

I. tezlli ' tavy související s deformací tě l esa.

a) l\ tCZ~lí stav d~.fomlace je takový MS, po jehož překročení ztrácí II tl tka OJI funkční způsobilost.

~ " ~ -- ---~ LJ -é'- A

v

b) Mezní stav pružnosti. S tělesem provedeme zátěžný cyklus, počívající v zatížení a následném odtížení. Po překročení MS

pružnosti zůstávají v tělese trvalé (plastické) deformace.

---

-I

17

.' -t.

-\

c) Mezní stav deformační stability, Geometrická konfigurace stabilní do tohoto stavu se stává labilní a stabilní se stává jiná geometrická konfigurace (při stejném způsobu namáhání).

~~~.~/~ ,

if -- 'I , I

2 M ' , ", v" I' 'vl F tvuv . ezm stavy souvlseJlcl s s porusovamm ce lStVOStI te esa. -.-- ____

Mezní stav porušení - vznikají první trhlinky zjistitelné dostupnými prostředky.

Mezní stav trhlin - porušení funkčně přípustné se mění na funkčně nepří ustné.

Mezní stav stability trhlin - trhlina přestává být stabilní a šíří se bez příjmu energie z vnějšku (bez vnějšího zatížení).

Mezní stav lomu - těleso se rozpadá na dvě či více částí.

-~--~~: . , .

. J

,···ů .... ·• Iř'f.J #"!

18

~L --.,...,..

l 1

F/;--\--\ ~ - ~~ - \,~-

f;- , 1ft" iH tIk",.)

lvi t

", ""'---4 ~ ... ,;:p'. '.~:a ..

"

, , ..... :: .. -

2.5 Deformačně-pevnostní spolehlivost.

Základním požadavkem na /" ,aždou konstrukci je, aby plnila svoji funkci

a) v realizovaném stavu (po montáži)

b) za běžných a některých mimořádných podmínek

c) po požadovanou dobu.

Schopnost konstrukce za těchto podmínek pracovat se nazývá spolehlivost, která se kvantitativně vyjadřuje charakteristikami spolehlivosti a to různým způsobem

a) slovně (spolehlivost dostatečná, malá vyhovující, přiměřená)

b) jednoduchou relací ve tvaru

,7

Kde cL j e veličina charakterizující spolehlivost ve vyšetřovaném stavu a al1 j e mezní hodnota této veličiny.

- vyhovující

- nevyhovující

19

d koeficientem bezpečnosti, zkráccnč bezpečnosti vůči aktu;\lnll11u meznímu stavu

J:.. 1'/ 0("'1

(kk = ~ ~ ) = 0- J baJ oL

J: /'-f '/ ! /~ /J) - vyhovuje

Kl'! L (k/)) - nevyhovuje -

Pozn: Z důvodu výpočtových nepřesností (ve stanovení , materiálových parametrech, okrajových podmínkách, vlastním 'počtu atd .) jev relacích místo hodnoty 1 hodnota větší 1,

pl noucí z praktických zkušeností).

d) životnost - doba, resp. počet zátěžovaCÍch cyklů do vzniku mezního stavu

relace vyhovuje

nevyhovuje

kde - t N , je doba resp. počet cyklů, které j sou požadovány I z důvodu správné funkce konstrukce

I; I Nf , je doba resp. počet cyklů do vzniku mezního ta u ( ětšinou lomu) .

?O

• v T' JlY lILO" V JlRUZNOSTI A PEVN()STI.

I) l Jloh) pomocné. Určují se veličiny, které nej 'ou pružnostn č pevnostními charakteristikami, ale jsou důležité pro výpočet napjato ti a deformace pomocí příslušných vztahů

- prllr zové charakteristiky prutů í ledné vnitřní silové účinky u prutů

- ) Úlohy o kontrole. Úlohaje zadána úplně (známe geometrii tě l esa, Materiálové charakteristiky, silové působení,vazby k rámu). ÚkoJem je většinou stanovit bezpečnost vůči aktuálnímu meznímu tavu .

3) Úlohy o určování parametrů. Úloha je zadána neúplně. Úkolem je určit nezadané parametry (často rozměry), aby spolehlivě nenastal mezní sta.

4) Úlohy o optimalizaci . Úlohaje zadána neúplně. Úkolem je stanovit nezadané param tI tak ab spolehli v n na tal aktuální mezní ta a současne b la splněna optimalizačn í podmínka (např.

minimální hmotnost .

5 loh o odvozování a dokazování. Požaduj e od oz ní ji tý h ztah ů zá i 10 tí ět o ilov' m pů ob n napjato ti a d forma i.

Jd o úloh t oreti ckého charakt ru .

... )IJF.< ,NIt yLASTNOSTI A OBECNÉ VĚTY LINEARNE PRUŽNÉHO TĚLESA.

l haraktcri 'fickou v lastností I ineárně pružného tělesa' I' , , .. ' I ' " Je mearnl nl\ 18 ost mezI zattzenll11 , napětími, deformacemi a posuvy,

? 2.

~/-./

V případě pružného tělesa je tato závislost nelineární, ale po odtíženÍ se dostáváme do původního stavu,

U pružného tělesa (a samozřejmě i v lineárně pružném případě) závisí napjatost a deformace pouze na zatížení, které na těleso v daném okamžiku působí a není tedy závislé na historii zatěžovánÍ.

Pro pružné těleso platí zákon zachování energie v následujícím tvaru

Přj zatěžo ání tělesa v pružném stavu je přírůstek energie napjatosti d r o en přírůstku deformační práce .fA všech sil, působících na kl s .

22

II i zat zo\'úní z nczatižcného stavu bez vnitřní napjatosti platí J I dll nú rovnost pro celkové hodnoty

dal" ím e omezíme na lineárně pružné těleso, K tomu je zap ti"ebí, aby bylo splněno několik podmínek

( I )

(2)

a) materiál tělesaje lineárně pružný. Konstitutivní vztahy popisující azbu mezi napětími a deformacemi jsou popsány tzv.Hookeovým

zákonem. V případě isotropického materiálového modelu je mechanické chování materiálu určeno dvěma nezávislými materiálovými konstantami, jmenovitě modulem pružnosti E a Poissonovým číslem r .

b) deformační posuvy jsou malé a neovlivňují napjatost a deformaci

c) složky tenzoru přetvoření Jé jsou malé

d) okrajové podmínky jsou lineární.

IlcfOl"mační p."ácc osamělé síly F

A

' r

(3) iL~

~ Je. tt-F.duF ~ , :z. e:, U~ 2

1:7

Věta o superposici napjatosti a deformace

r---'

Napjatost a deformace tělesa, způsobená silovou soustavou JL je rovna součtu napjatostí a deformací způsobených jednotlivými silovými účinky, přičemž nezávisí na pořadí zatěžovánÍ.

24

ta o vzájemnosti prací

.-,. -fo

oučasné zatěžování silami ;=; a ~

Postupné zatěžování I

Postupné zatěžování II

/

(5)

25

souladu s předchoz í včtou o supcrposici platí

z porovnání vztahll (4) a (5) dostáváme

(6)

Což je možné vyjádřit slovně:

Práce síly Fr na posuvu Ut;' způsobeném v místě 1 silou ;; je rovna práci síly li na posuvu UJZf způsobeném v místě 2 silou Fi (Bettyho věta).

Věta o vzájemnosti posuvů

Působí-li v místech 1 a 2 jednotkové síly ři; a e:. , potom pro složky posuvů platí:

(7)

26

-. ' .. . . '~'. <

_ -" 1 •

....... ~-

\ \ \

= .: F,r.yl: rr:í -=~/ e)'ť ~z~l!r (8) F c:t

, ěta o deformační práci silové soustavy -7

A ~.

/ \ ~ --,.

\

\

( 'nstiJ!linno\'a "čta

a~lI11 dkm je Slal1?vit složku posuvu l-~Pllsobištč síly Ft , která pusob! na povrchu IlI1eárnč pružného tělesa k..

hlV I Stav II

Stav I - zatížení tělesa silovou soustavou ---,;> ---;;;>

Stav II - zatížení tělesa silovou soustavou 7r 1:/ Ff.. U cl Fk. ve.tl · ,-;-:- ~ -;:J If U dl'; U r;

A.r = Aífr-~ f J í-i·L<-é f- d,,%,t-L/c;

--? O

28

hl !ll.ll ' 11Ial idl'110 poh I 'du je pni 'e ~ si 10 é SOuSla í­I , II 'II IUIlI-.. ' I / (\(I )(: Ilí.

4 ( /

T l:l lní di rCIl iál príru rek j pOlom ro /l

h · ,.,

)A dr +t JA J//. . )~ )/7 . '1 ~ tl -I i

v n /TI príp d , kd pu í p uze ./F. platí

prihlédnUlí/TI k _ d tá u větu pro pO u /TI rů pů bí í

lzv.

tvaru

(J I )

(12)

(13)

/lam 'nko á kon ence - je-Ii ~,( /" D , potom se posuv rea l izuje ve měru pu obící íl .

29

nalogickým postupem je možné odvodit Castiglianovo větu pro natočeni ~ v mí tě působení silové dvojice

(14)

Znaménková konvence - je-Ii ť'e.> O ,potom se natočení realizuje ve směru působení silové dvojice HL

Pozn: Pokud chceme stanovit posunutí resp. natočení v místech, kde nepllsobí žádná osamělá síla resp. silová dvojice, zavádíme do těchto míst veličiny doplňkové !;; resp. /7.>1 . Potom pro posuv resp. úhel natočení dostáváme

)k/ Ltq = -­Jr.;.- ( (15)

Celý postup provádíme s obecnými hodnotami ~ resp. l-t'd, jejichž hodnoty před závěrečnou matematickou operací položíme rovny O.

30

z KLADNÍ VLAS!NOSTI PRUŽNĚ PLASTICKÉHO M TERlÁLU A TELESA.

Jestliže po zatížení a následném odtížení zůstanou v tělese trvalé deformace, potom bylo těleso (materiál) pod zatížením ve stavu elasticko-plastickém

F .t\ b

f

/7- .;> CI- > U ó ! 0 9L . é,~t

é r:- .::>r<. =ť

Určování napjatosti a deformace a napjatosti a deformace je v tomto případě značně obtížnější než u lineárně pružného tělesa. Touto problematikou se zabývá speciální část mechaniky těles, s názvem plasticita.

Základní vlastnosti pružně-plastického tělesa je moné shrnout následovně:

a) závislost mezi zatížením a deformačními posuvy resp. mezi 4-napětím a deformací je v pružně-plastickém stavu nelineární. J~m z důsledků je i to, že napjatost a deformace závisejí na celé historii zatěžování

b) neplatí princip superposice

c) plastická deformace nastává po překročení jisté mezní hodnoty napětí - meze kluzu ~

31

.,,"f I •

. ' .'.,....~ ...... ,.; . .. ~. ; ,.~ .

d) odlehčíme-li těleso z pružně plastického stavu při nehomogenní napjatosti, potom vzniknou v těles zbytková napětí (vlastní napjatost).

Nejjednodušším materiálovým výpočtovým modelem je tzv. ideální pružně-plastický materiál

32

4. ZÁKLADNÍ MATERÁLOVÉ CHARAKTERISTIKY, TAHOVÁ A TLAKOVÁ ZKOUŠKA.

Pro řešení úlohy pružnosti a pevnosti jak v rámci obecné tak i prosté PP je nezbytné znát konstitutivní vztahy materiálu, které představují zá i lost mezi napjatostí a deformací. Ty lze stanovit pouze e perimentálně na základě vhodně uspořádaných zkoušek. Získané deformační charakteristiky se převedou na hledanou napjatostně­deformační závislost tedy na hledané konstitutivní vztahy.

Základním experimentem v rámci PPI je tahová a tlaková zkouška

41 4 ", ~ .!Í'L ...::: ~~ :::>- -<:. 2 -,L <3c jC.

,--::>

Ci F~~~ 5' 1 - ,....

y?

33

t.1b 2

A..

" 4 ~. v t Ah -z

Tahov ' diagram pro ocel

F A p

(6: )

.LJ

Charakteristické body na tahovém diagramu

L - mez lineárního chování materiálu E - mez pružného chování materiálu H - horní mez kluzu D - dolní mez kluzu P - mez únosnosti (smluvní mez pevnosti) F - počátek lomu T - konec lomu

Smluvní napětí

Poměrné deformace (poměrná přetvoření)

34

r

(1)

(2)

Poissonovo číslo (součinitel příčné kontrakce)

(3)

Poissonovo číslo pro ocel

'<.. A

Q,j

f J ,

t-,-r "':.:1 I?"" .1. ,. I

91 t .J - ;;>

éx

Pro pružnostně-pevnostní výpočet tahový diagram zjednodušujeme, vytváříme tzv. výpočtový model materiálu.

~ . ...

kde ~ j e tzv. modelová mez kluzu.

35

I

"I -é

V}' počtový model tahového diagramu vykazuje tři charakteristické ohla ti

l) Oblast pružných deformací (na inženýrské rozlišovaCÍ úrovni obla t lineárně pružných deformací), kde platí jednoduchá lineární závislost

(f)~ E . é: ) (4)

E - modul pružnosti v tahu, ocel E = 1,9 - 2,1. l O.r MPa

(5)

;v - Poissonovo číslo , ocel (= 0,3

Poměrné objemové přetvoření e

L. & q. ~ bp [-c . "'--l .~ ~

e v- ~ v .. =

(fu fA! ) (q -4q) (b .. -Ab)- (,. Clv.b ..

10. et'., . 6 ..

t (Ir é. j. ~ (f-A. E-<.) bo (I-;C-' ~~) - 10 Q" bu

i l a" .6~ }

=

Z předchozího vztahu vyplývá následující omezení pro hodnotu r = (7)

Tato relace je důsledkem podmínky, že při tahovém namáhání musí dojít ke zvětšení objemu, tedy e~o. V případě krajní hodnoty ~= 0,5 hovoříme o tzv. nestlačitelném materiálu.

Uvedený tvar tahového diagramu odpovídá materiálu ve stavu tvárném. Tahový diagram materiálu ve stavu křehkém má jiný charakteristický tvar:

1'1 b l\ t:l ~

~r:-1\

CJRf-j-

S-JrF

oJ

11 '"")

f

Zavádí se tu součinite l ~

~lf-

~oI

0;, - křehká mez pevnosti v tahu c- křehká mez pevnosti v tlaku CJ~d -

é.. /"

(7)

Tahový diagram má v tomto případě přibližně lineární charakter.

37

II. Obla t rovnoměrných pružně~plastických deformací

Ve sledované oblasti se vzorek zužuje po celé délce rovnoměrně Monotonní zatěžování se děje po tahové křivce odtěžování prob"ha' ,,, . , ,1 po pnmce se steJnym sklonem jako v oblasti I

-Jt

' P(

t /

apětí při odtěžování je dáno vztahem

(8)

Deformace v této oblast závisí na historii zatěžování

III. Oblast nerovnoměrných pružně-plastických deformací

Dochází k lokální koncentraci plastické deformace a vzniká zúžení -krček. V rámci prosté pp nedokážeme určit napjatost a deformaci.

38

Vlivy na tahový diagram.

1) Vlivy metalurgické (chemické složení materiálu)

r;;-A Vit y. t?b.rq/,t.<.- C ~'" 'VII j; ~",,zll1t / (Cr) c- 1~ 4-~ /. 1- ~

ct

2) Vliv teploty

3) Rychlost zatěžování

A_ ll:.. ) _

I i. \ .'">

~

t ->- ',r--_~ I

\ .

39

Vii na transitní teplotu křehkosti

S růstem rychlosti přetvoření roste náchylnost ke křehkému lomu

Tahový diagram při pomalém (statickém) a rychlém (dynamickém) zatěžování

40

4) Vliv velikosti tělesa

~~".'" .: .. -'-

Tahový diagram je materiálovou charakteristikou, která není podstatně závislá na velikosti zkušebních tyčí, pokud je zajištěna homogenita chemického složení, struktury, napjatosti, defektů atd. U některých mechanických charakteristik je závislost na velikosti vzorku menší (modul pružnosti E, Poissonovo číslo ), u jiných větší (mez kluzu ,křehká mez pevnosti ,mez únavy , tranzitní teplota křehkosti ).

Pro ilustraci je v následujícím grafu uvedena závislost meze kluzu na velikosti zkušebního tělesa

41