Tecnicas de refinamiento y multimalla para lasimulacion de dispositivos de lectura magnetica 1

Inigo Arregui, J. Jesus Cendan, Carlos Vazquez

Dpto. de Matematicas, Universidad de A Coruna

arregui@udc.es, suceve@udc.es, carlosv@udc.es

Resumen

En este trabajo se presentan tecnicas de refinamiento para la resolucion numeri-ca de modelos de Reynolds compresible que gobiernan la presion del aire en lacapa delgada que separa la pieza lectora de la que contiene la informacion endispositivos de lectura magnetica. La presencia de fuertes gradientes en la pre-sion en ciertos regımenes de funcionamiento o la existencia de ranuras en lacabeza lectora aconsejan el uso de estas tecnicas para la simulacion mas precisadel comportamiento mecanico de los dispositivos.

Seccion en el CEDYA 2011: MAI Modelizacion y Aplicaciones a la Industria

1 Introduccion

En los dispositivos de lectura magnetica la separacion entre la cabeza lectoray el lugar donde se almacena la informacion tiene un efecto determinante en lacalidad de la senal que se recibe. En la Figura 1 se presenta un esquema de undispositivo generico, en el que la cinta se mueve con cierta velocidad por encimade la cabeza lectora, separadas ambas por una delgada capa de aire.

Cuando los dispositivos de almacenamiento son relativamente rıgidos (el dis-co duro de un ordenador, por ejemplo) el problema mecanico, que determinala presion del aire entre los dispositivos de lectura y de almacenamiento de lainformacion, se enmarca en la teorıa de lubricacion hidrodinamica y se puedemodelar mediante la ecuacion de Reynolds compresible [4]. En concreto, la pre-sion p del aire, que actua como lubricante entre el dispositivo de almacenamientoy la cabeza lectora, es solucion de la ecuacion:

∇ ·(h3p

η(p)∇p)

= 6∂

∂x1(V ph) , en Ω,

donde h representa la separacion entre la cabeza lectora y el dispositivo dealmacenamiento, V es la velocidad de desplazamiento de la cinta y η es laviscosidad efectiva. La ecuacion se completa con una condicion de contorno detipo Dirichlet, que impone una presion atmosferica en los bordes del dominiorectangular y bidimensional Ω, que resulta de proyectar la cabeza sobre el planox1x2 (ver Figura 1).

1Trabajo parcialmente financiado por el MICINN (Proyecto MTM2010–21135–C02-01) yla Xunta de Galicia (Proyecto INCITE09105339PR).

Figura 1: Esquema de un dispositivo de lectura magnetica

En la construccion del modelo se supone que la velocidad de la cinta esconstante, se desprecian los efectos de la tension superficial y se asume que elaire se comporta como un gas perfecto, en el sentido de que la densidad esproporcional a la presion. Se considera que la anchura de la capa de fluido esmuy pequena comparada con las otras dimensiones. Ademas, se desprecian lasfuerzas inerciales comparadas con las fuerzas debidas a la viscosidad.

El analisis matematico del modelo de Reynolds compresible se ha desarro-llado en un marco mas general en el trabajo de [5], donde se estudian distintosmodelos en funcion del orden del espesor de la capa de aire. En cuanto a laresolucion numerica, en [1] se propone un metodo numerico basado en opera-dores maximales monotonos para tratar el termino no lineal de difusion, quesurge al sustituir la expresion de la viscosidad efectiva en funcion de la pre-sion. Este metodo se combina con un esquema de discretizacion en tiempo decaracterısticas para tratar adecuadamente el aspecto de conveccion dominante,creando un problema evolutivo artificial. Se usan elementos finitos para la dis-cretizacion espacial. Esta estrategia conjunta ha mostrado buenos resultados enel caso de funciones h regulares. No obstante, en algunos dispositivos, se intro-ducen ranuras (slots) para reducir la separacion y mejorar las condiciones delectura [7]. El analisis matematico de los modelos en presencia de funciones hcon discontinuidades se ha analizado en [8] y algunas experiencias numericas semuestran en [10].

En el presente trabajo proponemos un metodo de refinamiento adaptativocombinado con las tecnicas desarrolladas en [1] y una estrategia de tipo multi-malla algebraico para la resolucion de los sistemas lineales asociados al problemadiscretizado resultante en cada etapa del algoritmo de dualidad.

2 Formulacion variacional

La formulacion variacional del denominado problema hidrodinamico consiste enencontrar p ∈ Va tal que:

∫Ω

(γh2∇p+ h3p∇p

)∇ϕ+ 6V ηa

∫Ω

∂

∂x1(ph)ϕ = 0, ∀ϕ ∈ V0 (1)

donde Ω = (l1, l2)× (0, l2− l1) representa el dominio rectangular bidimensionalde nuestro problema y los espacios y conjuntos funcionales son:

Va = ϕ ∈ H1(Ω)/ϕ = pa en ∂Ω,V0 = ϕ ∈ H1(Ω)/ϕ = 0 en ∂Ω.

Bajo ciertas hipotesis [6], se puede probar la existencia y unicidad de solucionde nuestro problema hidrodinamico, ası como la existencia de cotas de la misma.En concreto, si h ∈ L∞(Ω) y 0 < hmin ≤ h ≤ hmax <∞, entonces el problema(1) tiene una unica solucion, p ∈ Va, tal que:

0 ≤ p ≤ R0

donde:

R0 = max2pa, 2h−3min(2K | Ω | hmax − γh2

min),

K =1

2|| Ω ||1/2 s∗21/(s∗−2),

s∗ = 2 + ln(2) +√

4 ln(2) + (ln(2))2.

3 Resolucion numerica

Para abordar la resolucion numerica del problema (1), primeramente realizamosel reescalado de las coordenadas y variables que intervienen. Ası, definimos

P =p

pa, H =

h

hm, X1 =

x1

l, X2 =

x2

l,

de modo que el dominio para el problema adimensionalizado resulta

Ω = (L1, L2)×(0, L2 − L1) , donde Li = li/l, i = 1, 2.

El problema hidrodinamico adimensionalizado consiste en encontrar P tal que:

∂

∂X1(PH)− α∇ ·

(H2∇P

)− β∇ ·

(H3P∇P

)= 0 en Ω (2)

P = 1 en ∂Ω. (3)

En [1] se propone un algoritmo para su resolucion numerica, que incluye unadiscretizacion mediante el metodo de caracterısticas combinado con elementosfinitos, un algoritmo de dualidad para la difusion no lineal y un esquema depunto fijo para el caso en que el dispositivo de lectura sea flexible y el problemahidrodinamico se acople con un modelo elastico. La discretizacion temporalmediante caracterısticas introduce un paso de tiempo artificial k y el termino

χk, como se detalla en [1]. Por brevedad, presentamos a continuacion el metodode dualidad que se aplica en cada iteracion en tiempo m, utilizando este ındicesobre las funciones para indicar el instante de tiempo al que se refieren. En elalgoritmo de dualidad se introduce el operador maximal monotono

f(P ) =

0 si P > 0P 2 si P ≥ 0

(4)

Ademas, dado ω > 0, introducimos como nueva incognita el multiplicador θm+1:

θm+1 = f(Pm+1)− ωPm+1 = (f − ωI)(Pm+1)

de modo que:

f(Pm+1) = θm+1 + ωPm+1, ∇(f(Pm+1)) = ∇θm+1 + ω∇Pm+1.

Entonces en cada paso de tiempo, se plantea encontrar (Pm+1, θm+1), solu-cion del problema no lineal:∫

Ω

Pm+1H ϕ+ kα

∫Ω

H2∇Pm+1∇ϕ+ kβω

2

∫Ω

H3∇Pm+1∇ϕ =∫Ω

((PmH) χk)ϕ− kβ

2

∫Ω

H3∇θm+1∇ϕ , ∀ϕ ∈ V0 (5)

θm+1 = f(Pm+1)− ωPm+1 (6)

Teniendo en cuenta un lema que aparece en [3],

θm+1 = f(Pm+1)− ωPm+1 ⇐⇒ θm+1 = fωλ (Pm+1 + λθm+1) ,

donde fωλ es la aproximacion Yosida de f − ωI y se toma 2λω = 1 para laconvergencia del algoritmo. De este modo, podemos reemplazar (6) por su ex-presion equivalente y establecer un algoritmo de punto fijo entre las ecuaciones(5) y (6), resolviendo en cada iteracion un problema lineal (5) para actualizarla presion con un multiplicador conocido y dado por (6).

Para la discretizacion espacial empleamos elementos finitos de tipo Lagrangeafines por triangulo, es decir, los definidos por el espacio

Vh = ϕh ∈ C0(Ω) / ϕh|E ∈ P1,∀E ∈ τh

donde E denota un triangulo generico de la malla.Bajo ciertas condiciones operativas y para geometrıas especıficas del disposi-

tivo se necesitan mallas muy finas con el objetivo de captar los altos gradienteslocales de presion. Ademas, si la cabeza lectora presenta ciertas ranuras o slots(disenadas en dispositivos reales para mejorar las condiciones de lectura), lafuncion h que define la separacion entre cinta y cabeza lectora no es continuay una malla uniforme no resulta lo mas adecuado. Por ello, en este trabajointroducimos tecnicas de refinamiento adaptativos en aquellas zonas en las que laseparacion y/o la presion presenta fuertes gradientes. En cada nivel se refinan los

elementos de la malla en los que el gradiente de presion es mas elevado. Por otrolado, ademas del refinamiento, la resolucion de los sistemas de ecuaciones linealesresultantes se efectua mediante un algoritmo multimalla algebraico, analogo enel propuesto por Hoppe [9] para problemas de tipo obstaculo resueltos conalgoritmos de dualidad.

4 Resultados numericos

Para verificar el buen funcionamiento de las tecnicas propuestas, en primerlugar se resolvieron algunos ejemplos con solucion analıtica conocida. A con-tinuacion se realizaron ejemplos mas realistas, correspondientes a dispositivoscon cabeza plana o cilındrica. Finalmente, se introdujeron ranuras en la cabezalectora. Como ejemplo de este ultimo caso, se consideraron los siguientes datosde parametros adimensionales:

α = 3×10−3, β = 3×10−3

y la siguiente separacion escalada de la cabeza lectora y la cinta:

H(X1, X2) =

1,2 si (X1, X2) ∈ (0,2, 0,4)× (0,475, 0,525)

1,2 si (X1, X2) ∈ (0,6, 0,8)× (0,475, 0,525)

1 + (X1 − 0,5)2 en otro caso

(7)

La Figura 2 muestra la grafica de la funcion H definida en (7) y correspon-diente a una cabeza lectora de tipo cilındrico, con dos slots en la direccion dela generatriz del cilindro.

En la Figura 3 mostramos una de las mallas que surgen en el proceso iter-ativo de refinamiento. Empleamos una tecnica de refinamiento adaptativo pararefinar en las zonas de fuertes gradientes de presion y separacion. En la Figura4 se presenta el valor de la presion obtenida, se puede observar como la zonade refinamiento coincide con la de mayores gradientes de presion y separacion,ası como el aumento de presiones en las zonas de geometrıa convergente y lacaıda en las zonas divergentes. Ademas, en este ejemplo se ha utilizado la vari-ante propuesta en [2] con parametros funcionales w en el algoritmo de dualidad,por simplicidad en la exposicion hemos descrito el caso clasico de parametrosconstantes.

Bibliografıa

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[2] I. Arregui, J. J. Cendan, C. Pares, C. Vazquez, Numerical solution of a 1-d elastohydro-dynamic problem in magnetic storage devices, Mathematical Modelliing and NumericalAnalysis, 42 (2008) 645-665.

Figura 2: Separacion entre una cabeza lectora con dos ranuras y la cinta, definidapor la funcion (7)

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Figura 3: Ejemplo de malla obtenida en el proceso de refinamiento durante laresolucion numerica

Figura 4: Presion obtenida en la simulacion numerica del ejemplo descrito