Fejlesztő matematika (5–12. évf.) 1

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

Százalékok kezdőknek és haladóknak

Arányok és százalékszámítás2. feladatcsomag

Életkor: 13–18 év

Fogalmak, eljárások:

• a százalék fogalma• a százalékszámítás alapesetei• algebrai kifejezések• egyenletek megoldása• algebrai és grafi kus módszerek a problé-

mamegoldásban• nyitott feladatok• modellezési feladatok

Százalékszámítással kapcsolatos helyzetekkel sokféle formá-ban és sokféle tartalommal lehet találkozni az iskolában és a mindennapi életben is. Ennek ellenére a felmérések szerint ezen a téren a felnőtt lakosság ismeretei is elég hiányosak itthon és külföldön is. De felmérések nélkül is tudjuk, hogy sok a gond ebben a témában, hiszen rendszeresen találhatók százalékszámításhoz kapcsolható hibák például a médiában és a reklámokban is.Ennek egyik oka nyilvánvalóan az, hogy a százalékszámítás nem szerepel kellő hangsúllyal az órákon. De valószínűleg az is igaz, hogy a sokszor „száraz” számítások eleve unalmasak, és hamar feledésbe is merülnek.A következő feladatok nemcsak a százalékszámítás alkalma-zására mutatnak több lehetséges szituációt, de remélhetőleg érdekessé, esetenként újszerűvé is teszik a téma feldolgozá-sát.

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)2

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

A feladatok listája

1. Ráhangoló I. (arányos következtetés, összefüggések alkalmazása, számolás)

2. Ráhangoló II. (arányos következtetés, összefüggések alkalmazása, számolás)

3. Feladatok az üzleti élet világából (összefüggések keresése, számolás, szövegértés)

4. Nemcsak profi knak! (összefüggéslátás, összehasonlítás, rendszeralkotás)

Módszertani tanácsok

A feladatcsomag két „ráhangoló” feladatlappal indul. Közülük a másodikat általában érdemes akkor is megoldatni a tanu-lókkal, ha egyébként úgy ítéljük meg, hogy a tanulók kellő-képpen jártasak a témában. Ugyanis az alapvető számítások átismétlésén túl a feladatok bevezetést adnak a továbbiakban is felbukkanó nyitott feladatok világába, és ezek még sok he-lyen nem számítanak hagyományos feladatoknak. A nyitott feladatok típusai közül a feladatlapokon több is szerepel.

A Ráhangoló I. feladatai két gyakori hibalehetőséget is tár-gyalnak. Az egyik az, hogy a tanulók valós szituációhoz kap-csolható feladatokban a negatív eredményt akkor is elvetik, ha az egyébként a feladat szempontjából értékelhető lenne. Itt ezt a negatív értékként megjelenő vagyoni állapot jelzi, ami természetesen lehetséges, és adósságot jelent.A másik az utolsó feladatban megjelenő, kétszeri árváltozta-tás utáni ár eredeti árhoz való viszonyával kapcsolatos. Nem véletlenül kér itt a feladat rajzot is. Ez vizuálisan is segít rög-zíteni azt a tényt, hogy az állítás nem igaz. A többféle módon végiggondolt és különböző módon reprezentált tartalmak bi-zonyítottan tartósabban maradnak meg.

Fejlesztő matematika (5–12. évf.) 3

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

A Ráhangoló II. első feladata valószínűleg a gyakorlás érdeke-sebb lehetőségét kínálja a százalékszámítás egyik alapeseté-hez. Emellett elgondolkodtató számadatot is szolgáltatnak a számított értékek arról, milyen sokan vannak azok, akiknek elmaradásuk van a testedzés terén. Így a számítás nem öncélú műveletvégzés volt csupán, hanem egy érdekes információ-hoz is juttatja a tanulókat, amiről érdemes elbeszélgetni rövi-den az órán. A feladat második része nemcsak az öntevékeny feladatvégzést segíti, de egyben az előző részhez képest fordí-tott feladatot is jelent: az összehasonlításhoz ki kell számolni a megfelelő százalékokat.A lap második feladata egy egyszerű nyitott feladat (szituáci-ós). A tanulóknak kell megadni azt az adatot, amivel számol-nak, és ők választják meg az összehasonlítás módját is. Ezzel a feladattal így több kamatoskamat-számítás is történik. Termé-szetesen feladható lett volna a feladat zárt formában, konkrét kezdeti értékekkel is, ami a helyes számítás gyors ellenőrzését segítette volna. Ám most mégsem ezt tettük, ugyanis bebizo-nyosodott, hogy a tanulók szívesebben foglalkoznak – és job-ban is dolgoznak – olyan feladatokkal, amelyeknél a feladat-készítésben is legalább valamennyire részt vehettek. (Ezt a lehetőséget még a további feladatoknál is kihasználjuk.) A fel-adat megoldása emellett még fejleszti a tervszerű, átgondolt feladatmegoldást is, hiszen érdemes átolvasni, meggondolni, megtervezni az elindulást. Ugyanis „jó” kiindulási értéket vá-lasztva nyilvánvalóan kevesebbet kell számolni.A feladat további „hozadéka” a „számérzet” fejlesztése, hi-szen több példán átgondolva az adott százalékos emelés hatását, jobban érzékelhető a végeredmény alakulása. Ezt a feladatot érdemes csoportmunkában megoldatni: egy cso-portban a tagok megegyeznek arról, hogy milyen kiindulási értékkel számolnak –esetleg ezt a többi csoporttal is egyezte-tik –, majd a csoporttagok egymás között felosztják, ki melyik számítás(oka)t végzi el a három közül. Érdemes úgy dolgozni, hogy minden értékkel ketten végzik el ugyanazt a számítást,

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)4

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

egymástól függetlenül, majd összehasonlítják az eredménye-ket.A lap utolsó feladata egy modellezési feladat. Ennek megoldá-sához először érdemes felvázolni a szempontokat, amelyeket fi gyelembe veszünk a továbbiakban, meggondolni, majd el-végezni a szükséges számításokat, ezeket összevetni a szem-pontokkal, aztán átgondolni ennek alapján egy új szempont-rendszer kialakításával egy esetleges új modell készítését. (Vö.: modellezési ciklus, Ambrus G., 2007)

A Feladatok az üzleti élet világából feladatlap szituációi való-ban az üzleti életből valók, bár helyenként érezhetően „be-öltöztetett” feladatról van szó, azaz a matematikai tartalmat ruháztuk fel egy nagyjából alkalmas szituációval. Ezt esetleg érdemes megbeszélni a tanulókkal is, hiszen jó tisztázni, mi-lyen esetben tekinthetjük (közel) valósnak a feladatban leírt helyzetet, és mikor van szó csupán a matematikai tartalom szövegbe ágyazott felismeréséről. Ennek tisztázása, tudato-sítása hozzájárul a matematikai ismeretek valódi gyakorlati problémákban való helyes alkalmazásához is.A lap feladataiban változatos formában jelennek meg a szá-zalékszámítás algebrai vonatkozásai. Emellett, ahogyan ez korábban is volt, más tartalmak is gyakorlásra kerülnek, pél-dául az 1. feladatnál a függvényszerű gondolkodás, a változó paraméterek vizsgálata. Mindhárom feladat jellemzője, hogy megoldásuk során keveset kell számolni, annál többet gondol-kodni. Itt különösen fontos, hogy a különböző eredmények, különböző megoldási utak megvitatásra kerüljenek.

A Nemcsak profi knak feladatlap tartalmazza véleményünk sze-rint a legnehezebb, de egyúttal a legérdekesebb feladatokat is. Megoldásuk során a bevált számítási módok csak részben alkalmazhatók, általában akkor is csak valamilyen újszerű for-mában.Az első feladathoz saját feladat készítése is kapcsolódik. En-nek az is célja, hogy a megoldás során megfi gyelteket tudato-

Fejlesztő matematika (5–12. évf.) 5

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

sítsák a tanulók, azaz ne csak a megoldást, de ehhez kapcsoló-dóan a feladat megfogalmazását is fi gyeljék. Ez nyilvánvalóan jobban biztosítható, ha megoldást is kérünk a tanulók által készített feladathoz. Így a feladat nemcsak a problémameg-oldó képességet, de a refl ektív, analizáló feladatmegoldást is segíti.A százalékos feladatok világából nem maradhatnak ki a reklá-mok. A feladatlap utolsó feladataként egy egyetemi hallgató által gyűjtött „gyöngyszem” kerül terítékre.

Megoldások, megjegyzések

1. Ráhangoló I.1. A többféle módszer a következtetést és a törtrészszámítást,

képletalkalmazást jelenti. A c) esetben lehet számolni úgy, hogy elvesszük a számból az érték hatvan százalékát, de úgy is, hogy fi gyelembe vesszük, a megmaradó rész az ere-deti szám 40%-a, és ezt számoljuk ki.

a) 210 b) 583,33… c) 1402. Ha a megtakarított pénzem 150%-a 30 000 Ft, akkor a

vagyonom kezdetben 20 000 Ft-volt. Ebből költöttem el a 30 000 Ft-ot, így a vagyonom –10 000 Ft, azaz 10 000 Ft adósság.

3. A számot a-val jelölve felírható, hogy 0,7 · 1,2a = 0,84a, ami nyilvánvalóan kisebb, mint 0,9a.

Például a következő rajz készíthető:

4. A fi úk nem fi gyeltek eléggé a matematikaórákon. A 20%-os engedmény mindig az aktuális árból értendő, így az 5. árleszállítás után a cipő ára az eredeti ár 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,8 . 0,328-szorosába kerül.

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)6

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

2. Ráhangoló II.1. A jelzett korosztály létszáma (6–18) körülbelül számítható

például a következő korfa segítségével:

Magyarország korfája 2008-ban(http://profi tline.hu/nyugdij/Demografi ai-helyzet-korfa)

Ennek alapján a fi úk létszáma körülbelül 890 000, a lányoké 925 000 volt 2008-ban. Ez a létszám újabb eredményekkel, pontosabb adatokkal javítható.

Ha körülbelül 900 000-t veszünk (a fi atalok száma csökkent az utóbbi években) mindkét nem esetében, akkor is látható a nagyságrend az egyes adatokhoz:

Lányok: 1. 93 600 2. 103 500 3. 198 900 Fiúk: 1. 179 000 2. 205 200 3. 281 7002. A téglalap alakú terület hosszabbik vagy rövidebb oldalát

25%-kal csökkentve a terület is így csökken. Olyan megol-dást is kerestessünk, ahol egy (esetleg több) darabot kell kivágni a téglalapból.

Fejlesztő matematika (5–12. évf.) 7

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

A kivágandó rész területe 6 · 105 m2. Ennek egy téglalap kivágása esetén elvileg bármely kéttényezős szorzatalakja megoldás lehet. A szöveget fi gyelembe véve inkább egész tényezős felbontások jönnek szóba, és ügyelni kell arra is, hogy a kis rész kivágásánál az oldalak nem „lóghatnak túl” az eredeti téglalap oldalain. Ezért érdemes vázlatot készí-teni a tervezett csökkentéshez.

A vázlat kapcsán megbeszélhető, hogy olyan megoldások is szóba jöhetnek, mint például az eredeti földterület va-lamelyik részén egy tanyának megfelelő rész és bekötőút (utak).

3. Ha a betett összeget p-vel jelöljük, akkor a kamatemelés hatásának vizsgálatához például a következő képletek használhatók az egyes esetekben:

a) , ,p p112001 5 1 0151

12

$ .+` j

b) , ,p p1

4001 5 1 01508

4

$ .+` j

c) , ,p p1

1001 5 1 015$ .+` j

Ha például 1 millió forint esetében nézzük a hatást, akkor ez körülbelül

a) 15 100 Ft, b) 15 080 Ft c) 15 000 Ft többletet jelent éves szinten. Ez jó kiindulópontot jelent további értékek megválasztá-

sához. Látható, hogy a háromféle kamatszámítás ekkora összegnél még nem vezet lényeges különbségre.

4. Például legyen a betett pénz minden hónap elején 1000 fo-rint, a havi kamat az éves infl áció kétszeresének 1/12 része. A kamatot a hónap végén számoljuk a betett összeghez. Ekkor 4,2%-os infl ációval számolva havi körülbelül 0,7%-os a kamat. Az év végi összeg a mértani sorozat összegképle-tével számolva:

1000 · 1,007 · (1,00712 – 1) : 0,007 . 12 560 Ft.

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)8

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

Azaz az éves nyereség 560 Ft. Látható, hogy ebben az eset-ben havi 2000 Ft, illetve 3000 Ft betétele esetén a megtaka-rítás is kétszerese, háromszorosa lesz az előbbi összegnek.

További lehetőségek: A kamat legyen a banki alapkamat, legyen lehetőség a

pénz egy részének lekötésére. Mivel itt nemcsak a bankoknál szokásos lehetőségek van-

nak, „családi” szempontok is fi gyelembe vehetők, például kamatemelés fél évre megfelelő eredmények elérése, kü-lön feladatok vállalása esetén.

3. Feladatok az üzleti élet világából1. 0,7 · (x + y) = ax + by, ahol x, y a termékek eredeti árát, a és b

a tervezett emelés mértékének tizedes tört alakját jelölik. Így látható, hogy az egyik változtatás szabadon megadha-

tó, és ennek függvényében kell változtatni a másik termék árát.

Például ha a = 0,8, azaz 80% az új ár az eredetihez, akkor

ezzel az értékkel , ,

by

y x0 7 0 1−= lesz.

2. A feladat akár fejben is megoldható, hiszen nem kell feltét-lenül számolni ahhoz, hogy a kérdésre válaszolni lehessen. Nyilvánvalóan a maradék 40%-ot a nagykereskedelmi ár alatt eladva nem érhető el a cél. Ezt a megoldást érdemes mindenképpen megbeszélni.

További lehetőségek a megoldásra: (algebrai út:) x db készülék esetén, ha az eredeti fogyasztói

ár a, az eldöntendő kérdés az, hogy 0,75a · 0,6x + 0,4x · 0,5a ≥ 0,75ax teljesül-e? (grafi kus út:) Elkészíthető például a következő ábra, amiről

a megoldás egyértelműen leolvasható.

Fejlesztő matematika (5–12. évf.) 9

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

4. Ha az eredeti árat b-vel jelöljük, akkor az új ár b100125 . Ahhoz,

hogy az eredeti árat visszakapjuk, ezt 125100

54= -del kell

megszorozni az „új” árat. Ez azt jelenti, hogy a második változtatás után az ár a 80%-a lett az „új” árnak, azaz az árcsökkenés 20% volt.

4. Nemcsak profi knak!1. a) Ha x%-kal szállították le mindkét esetben, akkor felírha-

tó, hogy

2500 x1100

20252

$ =` j ,

így x1100 50

45 = adódik. Ebből x = 10.

b) Ha most x és y az egymás utáni árleszállítások mértékét jelölik százalékban, akkor a

2500 x

y1

1001

1002025$ $ =` `j j

egyenlet vár megoldásra. Utánaszámolható, például megfelelő próbálgatással, hogy ha nem ragaszkodunk a pontos értékhez, akkor a két csökkentés 11% és 9% is lehet, ekkor a végső érték 2024,75, kerekítve 2025. A tri-viálisan adódó 19%, 0% csak akkor fogadható el, ha a 0%-os értéket is elfogadjuk csökkentésnek. Egész érté-keket kaphatunk, ha megengedünk csökkentést és nö-

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)10

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

velést is. Például: először 25%-kal csökkentették az árat, utána 8%-kal emelték, akkor ez 0,75 · 1,08 = 0,81, tehát a második változtatás után a kívánt értéket kapjuk. Ekkor persze a fenti jelöléssel x = 25 és az y = –8.

Feladatváltozat lehet az az eset, hogy ugyanilyen értékek mellett azt kérdezzük:

Hogyan változott, ha ugyanannyi %-kal csökkentették, majd növelték az árat? Mennyi ez a változás %-ban?

2. Önálló megoldás.3. A vásárlók 25%-a nem vett az elsőből, 30%-a nem vett a

másodikból, és 40%-a nem vett a harmadikból. Így leg-alább 100 – 25 – 30 – 40 = 5% vett mindháromból.

4. A feladat a Ráhangoló I. 3. feladatának valóságban is megje-lent változata. Hiszen a forgalmi adó előtti ár 27%-a nyilvánva-lóan nem egyezik meg az emelt ár 27%-ával, ez utóbbi a több, tehát ha valóban így maradt az üzleti számítás, akkor az üzlet-lánc a levonás után az eredeti (áfamentes) árnál kevesebbért fogja árulni termékeit. Így a feladat számolás nélkül is meg-oldható. Ha kiszámítjuk, hogy mennyiért vehetjük meg ezek után a terméket az eredeti (áfamentes) árhoz képest, akkor látható, hogy gyakorlatilag körülbelül 27 + 7%-os kedvezmény-ről van szó. (a az eredeti áfamentes ár, 1,27a · 0,73 = 0,9271a, azaz 92,71%-a az új ár az áfamentes árnak.)

A feladatoknál felhasznált források:

Ambrus G.: Modellezési feladatok a matematikaórán.Matematika Tanári Kincsestár, RAABE, Budapest, 2007. dec.

Ambrus, G. – Wagner, A.: Mivel is kezdjünk? – Témaindító fel-adatokról a „tört szorzása törttel” anyagrész kapcsán.In: A Matematika Tanítása, 2012/3. Mozaik Kiadó, Szeged

Ambrus, G.: Titanic a Balatonon és más modellezési feladatok matematikából középiskolásoknak.Műszaki Kiadó, Budapest, 2012.

Fejlesztő matematika (5–12. évf.) 11

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás Arányos következtetés 3.2

1. Ráhangoló I.

1. Számítsátok ki többféle módon:

a) 350-nek a 60%-át

b) azt a számot, aminek 60%-a 350

c) azt a számot, ami 350-nek 60%-kal történő csökkentése után marad!

2. Mennyi a „vagyonom”, ha elköltöm a megtakarított pén-zem 150%-át, 30 000 Ft-ot?

3. Igaz-e, hogy ha egy szám először 30%-kal csökken, majd a kapott érték 20%-kal emelkedik, akkor az így kapott szám az eredeti számnál 10%-kal kevesebb? Pároddal közösen készítsetek rajzot is!

4. Két hetedikes hazafelé menet megáll az egyik cipőbolt ki-rakata előtt.

– Figyelj, Lacó! Látod azt a feliratot ott, a sárga focicsuka mellett?– Én is azt fi gyelem éppen: „Újra elengedünk 20%-ot!”– Az elmúlt hónapban egyszer már engedtek 20%-ot az ár-ból. Ha így folytatják, 3 hónap múlva – amikor ötödjére is 20%-kal csökkentik az árát – ingyen megszerezhetjük azt a cipőt!– Hogy úgy van, Joci, hiszen 5-ször 20 az éppen 100! Látod, mégiscsak volt értelme matekórákra járnunk!

Mi a véleményetek a párbeszéd tartalmát illetően?

13–16.év

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)12

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás Arányos következtetés 3.2

2. Ráhangoló II.

1. A következő statisztikai adatokat a Metró újságban találtuk 2012 májusában.

a) A 6–18 éves korcsoport létszáma alapján (információt gyűjthetsz például az internetről) számítsátok ki, körülbe-lül hány lányról és fi úról van szó az egyes esetekben!

b) Végezzetek felmérést az osztályotokban és iskolátokban (legalább egy másik évfolyam valamelyik osztályában) ar-ról, hogyan alakulnak ott ezek az értékek!

13–16.év

Fejlesztő matematika (5–12. évf.) 13

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás Arányos következtetés 3.2

2. Egy adott művelésű földterület nagyságát a jövő évtől gaz-daságossági szempontok miatt 25%-kal csökkenteni akar-ják. Hogyan tehető meg, ha a terület téglalap alakú, és mé-retei 2500 m × 960 m? Dolgozz ki legalább 3-4 lehetséges változatot a terület csökkentésére!

3. Egy bank 1,5%-os kamatemelést ígér a jövő évtől. Vizsgáld meg legalább 2 példán, milyen hatással van ez az éves megtakarításra, ha

a) havi

b) háromhavi

c) éves

kamatjóváírással számolunk.

4. MI Bank1

Felmérések szerint a középiskolások közül sokan kapnak zsebpénzt, de ennek jelentős része gyorsan elköltésre is kerül. Egy kis odafi gyeléssel jobban is fel lehetne használni.

Jó ötlet lehet, ha valaki úgy takarékoskodik, hogy pénzét otthon „teszi” bankba (MI Bank). Ez azt jelenti, hogy rábíz-za édesanyjára vagy édesapjára, a „betett” pénz pedig va-lamilyen megbeszélt módon kamatozik.

Milyen szempontokat érdemes fi gyelembe venni, és ho-gyan működjön a bank? (Dolgozz ki legalább kétféle külön-féle modellt a MI Bank működéséhez!)

1 Ambrus G., 2012

13–16.év

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)14

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás Összefüggések keresése 3.2

3. Feladatok az üzleti élet világából

1. Egy kifutó termékből 2-féle típust árusítanak jelenleg. A termék árát 30%-kal csökkentik átlagosan az igazgató-tanácsi döntés szerint. Milyen mértékben csökkenjen az egyes termékek ára? Készíts modellt több lehetőségre!

2. Egy marketingmanager azt a feladatot kapja az új iPhone 4S készülék megjelenése után, hogy a régi típusokból álló készletet árusítsa ki kedvezményes áron.

A nagykereskedelmi ár a kiskereskedelmi (fogyasztói) ár 75%-a. Készülékenként ekkora bevételt kell elérnie ahhoz, hogy legalább a nagykereskedelmi ár megtérüljön, azaz ne legyen vesztesége.

a) A következő a terve: a készülékek 60%-át eladja az ere-deti ár 75%-áért, és ha ez már megtörtént, akkor a ma-radék készüléket az eredeti ár 50%-áért fogja kínálni. Vajon elérheti-e célját ezzel a stratégiával?

b) Hogyan határozza meg a kedvezmények mértékét és az eladni szánt mennyiségeket, ha veszteség nélkül, kettő vagy több lépésben akar megszabadulni az árutól? Adj tanácsot a marketingmanagernek!

3. Egy termék árát 25%-kal emelték. Mivel emiatt a készlet nagy része eladhatatlan lett, fél év múlva árcsökkenést ha-tároztak el, aminek eredményeképpen az ár az áremelés előtti lett.

Hány százalékos volt az árcsökkentés a második esetben?

13–18.év

Fejlesztő matematika (5–12. évf.) 15

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás Összefüggéslátás 3.2

4. Nemcsak profi knak!

1. Egy autómodell régi ára 2500 Ft, az új ára kétszeri árleszál-lítás után 2025 Ft. Meg tudod mondani, hány százalékosak az árleszállítások, ha ez

a) mindkét esetben ugyanannyi

b) esetenként eltérő mértékű

kedvezménnyel történt?

2. Az 1. feladat megoldása során szerzett tapasztalataid fel-használásával készíts hasonló feladatot, és oldd is meg!

3. Egy akció során három különböző terméket dobtak piacra, mindegyikből azonos darabszámot. Az akció csak 1-1 darab megvásárlására vonatkozott. A felmérések szerint a vásár-lók 75%-a az elsőből, 70%-a a másodikból, 60%-a a harma-dikból vásárolt. A vásárlók legalább hány %-a vett mindhá-rom termékből?

4. Erről a reklámról mi a véleményed? Indokold meg elképze-lésed!

13–18.év

Fejlesztő matematika (5–12. évf.)16

SZÁMTAN, ALGEBRA BArányok és százalékszámítás 3.2

Az Ön jegyzetei, kérdései*:

* Kérdéseit juttassa el a RAABE Kiadóhoz!

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 250 /GrayImageMinResolutionPolicy /Warning /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth 8 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /FlateEncode /AutoFilterGrayImages false /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /Warning /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /FlateEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/CreateJDFFile false /Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice