szakdolgozat - elteweb.cs.elte.hu/.../msc_actfinmat/2014/fegyveres_gyorgy.pdf · 2014. 5. 28. · a...

Szakdolgozat

Fegyveres György

2014

Budapesti Corvinus Egyetem Eötvös Loránd Tudományegyetem

Közgazdaságtudományi Kar Természettudományi Kar

A hozamgörbe modellezésének módszertanibemutatása a spline és a Nelson-Siegel típusú

modellek összehasonlításán keresztül

Készítette: Fegyveres György

Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak

Kvantitatív pénzügyek szakirány

2014

Témavezet®: Dr. Száz János, Vidovics-Dancs Ágnes

Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretném megköszönni Dr. Száz Jánosnak és Vidovics-Dancs Ágnesnek,

hogy észrevételeikkel és tanácsaikkal segítették munkámat.

Továbbá hálás vagyok munkatársaimnak, Mohai Ádámnak, Reguly Ágostonnak

és Bebes Andrásnak segít® észrevételeikért.

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 1

2. A hozamgörbe és a kötvényárazás 5

2.1. A kamatlábak lejárati szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Kötvényárfolyam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Benchmark kötvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Az átlagid® és a módosított átlagid® . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Az kötvényárazás hibája 15

3.1. Az árazó függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. A hiba mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. A hibatagokra vonatkozó vizsgálatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. A hozamgörbe közelítése 21

4.1. Interpoláció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2. Spline illesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3. Függvény alapú módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4. A Nelson-Siegel modellcsalád . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4.1. A Nelson-Siegel modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4.2. A Nelson-Siegel modell kiterjesztései . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5. A paraméterek becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Empirikus vizsgálat 38

5.1. Statikus vizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1. Spline alapú modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.2. Nelson-Siegel alapú modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2. Dinamikus vizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6. Befejezés 53

A. Programkódok 56

ii

Táblázatok jegyzéke

2.1. A diszkontfüggvény, a hozamgörbe és a forwardgörbe elemi összefüggései 6

3.1. A benchmark kötvények szórása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1. A harmadfokú spline bázisfüggvényei τ = kt,m+1 és τ = k+t,m+1 esetén . 25

4.2. A Nelson-Siegel típusú modellek becsülend® paraméterei . . . . . . . 37

5.1. A vizsgált hibafüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2. A bázisfüggvény súlyok szórása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.3. A becsült árfolyamok eltérése (RMSE) a valós meg�gyelésekt®l . . . . 42

5.4. Csomópontok harmadfokú spline becslés esetén . . . . . . . . . . . . 44

5.5. Hibák különböz® lambdák mellett a NS modell esetén . . . . . . . . . 46

5.6. A Nelson-Siegel típusú modellek hibája . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.7. A kapott faktorok és lambdák különböz® modellek esetén . . . . . . . 48

6.1. A külföldi jegybankok gyakorlata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iii

Ábrák jegyzéke

2.1. A 2014.03.31-ei hozamgörbe, diszkontfüggvény és forwardgörbe . . . . 7

2.2. A napi DKJ adatok lejárat szerinti megoszlása . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. A napi államkötvény adatok lejárat szerinti megoszlása . . . . . . . . 8

2.4. A benchmark hozamok alakulása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5. A benchmark hozamok korrelációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6. Az árfolyamváltozás közelítése módosított átlagid®vel . . . . . . . . . 13

2.7. Az árfolyamváltozás közelítésének hibája . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1. A harmadfokú spline módszer lehetséges bázisfüggvényei . . . . . . . 25

4.2. Bázisfüggvények a Merrill Lynch exponenciális spline modell esetén . 28

4.3. Bázisfüggvények a Fourier-sorfejtés alapján . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4. A faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5. A Nelson-Siegel modellel kapható különböz® hozamgörbe alakok . . . 32

5.1. A kapott hozamgörbe a vizsgált hibafüggvények mellett . . . . . . . . 40

5.2. A bázisfüggvények súlyai spline illesztés esetén . . . . . . . . . . . . . 40

5.3. A bázisfüggvények súlyainak kezd®pont függése . . . . . . . . . . . . 41

5.4. A spline közelítés relatív hibája három hibafüggvény esetén . . . . . . 43

5.5. A spline közelítés relatív hibája különböz® értékpapírok esetén . . . . 43

5.6. Hozamgörbék spline módszerek esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.7. A zérókupon hozamok és a f®komponensek korrelációja . . . . . . . . 45

5.8. Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén . . . . . . . . . . . . . . 46

5.9. Faktorok különböz® lambdák mellett a NS modell esetén . . . . . . . 46

5.10. A faktorok és a lambda kezd®pont függése a Nelson-Siegel modell esetén 47

5.11. Hozamgörbék a Nelson-Siegel típusú modellek esetén . . . . . . . . . 48

5.12. Súlyok a harmadfokú spline modell esetén . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.13. Diszkontfaktorok a harmadfokú spline modell esetén . . . . . . . . . . 50

5.14. Faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.15. Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén . . . . . . . . . . . . . . 51

5.16. Faktorsúlyok a dinamikus Diebold-Li modell esetén . . . . . . . . . . 51

iv

5.17. Hozamgörbék a dinamikus Diebold-Li modell esetén . . . . . . . . . . 52

1. fejezet

Bevezetés

Egy pénzáramlás jöv®beli és mai értéke nem egyezik meg, a kapcsolatot közöttük

a hozamgörbe jelenti. E görbe ismerete, vagy legalábbis becslése, a piaci szerep-

l®k számára létszükséglet különböz® derivatívák árazásához és fedezéséhez, míg az

adósságkezel®k, mint szuverén piaci szerepl®k esetén az adósságportfólió menedzse-

lése szempontjából lényeges. Így dolgozatomban különböz® módszereket mutatok

be, amellyel keresztmetszeti kötvényárfolyamokra tudunk hozamgörbét illeszteni, il-

letve utóbbi id®beli fejl®dését lehet meghatározni. A magyar adatok vizsgálatával

pedig rávilágítok a bemutatott modellek gyakorlati nehézségeire.

A magyar adósságkezel®, az Államadósság Kezel® Központ Zrt. (ÁKK) adós-

ságkezelési stratégiája alapján �az ÁKK feladata az, hogy a központi költségvetés

�nanszírozási szükségletét hosszú távon minimális költséggel, elfogadható kockáza-

tok vállalása mellett, egységes szemléletben �nanszírozza� (ÁKK Zrt., 2012). A

legnagyobb költség és kockázati tényez®k, azaz a kamatkiadások és a kamatláb koc-

kázat a hozamgörbéhez kapcsolódnak, ezért kockázatkezelési szempontból fontos a

hozamgörbe vizsgálata és becslése egyaránt.

A hozamgörbe vizsgálata történhet statikusan vagy dinamikusan. El®bbi kereszt-

metszeti becslést jelent, azaz egy adott id®pontra határozzák meg a hozamgörbét.

Legegyszer¶bb eljárás a bootstrap módszer, melyet Fama és Bliss (Fama és Bliss,

1987) publikált el®ször. Az összetettebb görbeillesztési technikákon belül két fontos

módszercsalád különíthet® el, a spline és a függvény alapú modellek. El®bbiek a

hozamgörbét szakaszonként építik fel, a szakirodalomban a f®bb módszerek az alko-

tó függvényekben térnek el. Ezek többek között lehetnek harmadfokú (McCulloch,

1975), exponenciális (Vasicek és Fong, 1981), simító (Fischer, Nychka és Zervos,

1995) vagy B-spline-ok (Bolder és Gusba, 2002). A függvény alapú modellek esetén

a teljes intervallumra illesztenek, a legnagyobb hatású a Nelson-Siegel (Nelson és Sie-

gel, 1987) és a Svensson modell (Svensson, 1994). A megfelel® statikus módszertan

1

1. FEJEZET. BEVEZETÉS 2

kiválasztásához nyújtanak segítséget Bliss (1996) és Bolder és Gusba (2002) össze-

hasonlító tanulmányai. A dinamikus becslés a hozamok id®soros jellegét ragadja

meg a görbe fejl®désének leírásával.

Az alkalmazandó hozammodell kiválasztásakor különböz® elvárások képzelhet®k

el (Bolder, 2001). A hozamgörbe alakjából következtetni lehet a piaci szerepl®k vára-

kozására és annak bekövetkezésének sebességére. Így például emelked® hozamgörbe

a gazdaság és az in�áció növekedését, míg meredeksége a változás gyorsaságát jelzi.

A magyar adatok alapján elvárható, hogy a modell képes legyen reprodukálni külön-

böz® hozamgörbe alakokat is. Ezenkívül a historikus adatok alapján meg�gyelhet®

további jellemz®kkel, stilizált tényekkel is összhangban kell lennie a kapott eredmé-

nyeknek. További elvárt követelmények a modell matematikai alakjával, valamint a

paraméterek megszorításával érhet®k el. Ilyen az arbitrázsmentesség, a negatív és

nem korlátos hozamok tiltása, illetve, hogy a modell az egész görbét modellezze, ne

csak egy pontjának dinamikájából vezesse le a többi alakulását.

A modell ellen®rzése során szükséges a paramétereit többször újrabecsülni, ugyan-

is els®dleges vizsgálati elem a modell eredményeinek paraméterekt®l való függése,

érzékenységvizsgálata. Minél könnyebben végezhet® eló a becslés, akár a paraméte-

rek száma, akár az alkalmazott módszertan miatt, annál könnyebben ellen®rizhet® a

hozamgörbe stabilitása. A könny¶ becsülhet®ség mellett a paraméterek közgazdasá-

gi értelmezése és ezáltal egyes értékek kizárása is lehetséges szempont az empirikus

vizsgálat során. Végül a görbe id®beli fejl®désének pontos modellezése és a függvény-

szer¶ kapcsolat egyes faktorok és a hozamok között a szimuláció helyességének és

sebességének lehetséges elemi kritériumai. Szimulációs szempontból további követel-

mény, hogy a különböz® lejáratra kapott kamatlábak közti korrelációk a meg�gyelt

mintát tükrözzék (Danmarks Nationalbank, 2010).

Természetesen nem teljesíthet® egyidej¶leg az összes lehetséges elvárás, így szük-

séges jellemz®ik alapján csoportosítani a szakirodalomban fellelhet® modelleket. Ko-

pányi (2009) alapján a rendszerezés a modell id®belisége (diszkrét vagy folytonos),

célja (árazás vagy kockázatkezelés), faktorainak száma (egy vagy több) és az azok

közti függvénykapcsolat alapján végezhet® el.

Az id®beliség alapján megkülönböztethet®ek diszkrét és folytonos idej¶ model-

lek. Utóbbiak el®nye a jóval b®vebb szakirodalom és elméleti háttér, továbbá az

egyszer¶bb modellek esetén zárt képlettel számolhatók a kötvényárfolyamok, illetve

meghatározható a kamatlábak eloszlása. Hátrányuk, hogy ezzel szemben a valós ke-

reskedés diszkrét idej¶ és az árfolyamok mozgása is diszkrét nagyságú, így gyakorlati

szemszögb®l a folytonos folyamatokat diszkretizálni kell. A nagyfrekvenciájú keres-

kedés (HFT, High Frequency Trading) megjelenésével azonban a diszkrét lépésközök


egyre kisebbek, így a folyamatok egyre jobban közelítenek a folytonoshoz. A diszkrét

modellek hátránya, hogy az id®közök megválasztása önkényes, ami befolyásolhatja a

modell eredményeit, el®nye viszont a könny¶ interpretálhatóság és érthet®ség. Jelen

dolgozatban a komplexebb, folytonos modellekkel foglalkozom els®dlegesen.

A hozamgörbe felhasználásának két területét említi Bolder (Bolder, 2006): a

kamatláb derivatívák árazását és a kockázatkezelést. Az el®bbi esetén a görbe di-

namikájának leírása a rizikósemleges, vagy martingál mérték szerint történik, így

arra nincsenek hatással a befektet®k kockázati preferenciái. Kockázatkezelésnél ez

nem lenne járható út, így ott a dinamika felírása a valós mérték szerint történik.

A két lehetséges cél szerint megkülönböztethet®k arbitrázsmentes és egyensúlyi ho-

zamgörbe modellek. Az arbitrázsmentes családba tartozó módszerek az egy adott

id®pontra való tökéletes illeszkedésre összpontosítanak, ezáltal kizárva az arbitrázs

lehet®ségét, ami elengedhetetlen árazási szempontból. Ebbe a csoportba tartozik

többek között a diszkrét Ho-Lee (Ho és Lee, 1986), a Heath-Jarrow-Morton (Heath,

Jarrow és Morton, 1992) és a Hull-White (Hull és White 1994a, illetve Hull és White

1994b) modell. Az egyensúlyi modellek a pillanatnyi kamatláb dinamikája alapján

a hozamgörbe többi pontját a kockázati prémiumra vonatkozó feltételezések alapján

határozzák meg. Idetartozik például a Merton (Merton, 1973) és a két legismertebb

a�n modell, a Vasicek (Vasicek, 1977) és a CIR (Cox, Ingersoll és Ross, 1985). Az

arbitrázsmentes és az egyensúlyi modellek el®nye az analitikus számolhatóság és az

elméleti megalapozottság, az el®rejelzésben azonban gyengén teljesítenek (Du�ee,

2002). Az eddig említett elméleti modellekr®l Yu (Yu, 2012) ad részletes összefog-

lalót.

Kockázatkezelési szempontból a jöv®beli hozamok becslése kiemelt jelent®ség¶,

ezért a dolgozatban els®dlegesen az emprikus modelleket mutatom be részletesen.

Egyszer¶sége és értelmezhet®sége miatt alapvet® a dinamikus Nelson-Siegel modell

(Diebold és Li, 2006), mely a korábban említett Nelson-Siegel modell id®függ® válto-

zata. De Pooter (De Pooter, 2007) összefoglalja a Nelson-Siegel modellcsalád egyes

tagjait, míg Bolder (Bolder, 2006) elméleti és empirikus modelleket hasonlít össze

egy általa választott szempontrendszer alapján, például egy egyszer¶ portfólió op-

timalizálási feladat alapján. A Nelson-Siegel modell közvetlenül nem illeszthet® be

a korábban említett, Dai és Singleton (2000) által rendszerezett a�n modellek kö-

zé (Diebold, Ji és Li, 2006a), az eredeti modell módosításával azonban megtehet®

(Christensen, Diebold és Rudebusch, 2011). Az így kapott a�n arbitrázsmentes

Nelson�Siegel modellt általánosítja Yu (2012) két deviza esetére.

A hozamgörbe volatilitását három látens faktor szinte teljesen magyarázza (Lit-

terman és Scheinkman, 1991), így a három faktoros modellek a leggyakrabban el-


terjedtek, ráadásul a faktoroknak közgazdasági értelmet is lehet adni (szint, mere-

dekség, görbület). Eltérés, hogy míg az a�n modellek esetén a faktorok a rövid

kamatot határozzák meg, addig a Nelson-Siegel típusú modelleknél a teljes hozam-

görbét. Empirikus tapasztalatok azt mutatják, hogy az el®bb említett nem meg�-

gyelhet® változók mellett meg�gyelhet® makrováltozók (például in�áció, alapkamat)

használata javítja a modell eredményeit. Ezért a 2000-es években mind az elméleti

modellek (Ang és Piazzesi, 2003), mind az empirikus modellek esetén (Diebold, Ru-

debusch és Aruoba, 2006b) születtek a makrogazdaság alakulását �gyelembe vev®

modellek. Bolder és Liu (2007) összehasonlító elemzésében elméleti és empirikus

makro-hozam modellek teljesítményét hasonlítja össze.

Dolgozatomban áttekintem a külföldi adósságkezel®k és nemzeti bankok gyakor-

latát (Bank for International Settlements (BIS), 2005) és a szakirodalomban koráb-

ban megjelent hazai (Reppa, 2009, illetve Kopányi, 2009) és regionális (�opov és

Seidler, 2011) empirikus eredményeket is.

Dolgozatom felépítése a következ®. A második fejezetben összefoglalom a kötvé-

nyekkel és azok árazásával kapcsolatos elemi ismereteket. A következ® két fejezetben

bemutatom a becsült és elméleti árfolyamok eltérését számszer¶sít® mutatószámo-

kat, illetve különböz® görbeillesztési technikákat. Két csoporttal foglalkozom, a

spline illesztésekkel és a Nelson-Siegel típusú modellekkel. Az ötödik fejezetben a

magyar adatok alapján 2014.03.31-ére illesztek hozamgörbét Excel segítségével, il-

letve az R statisztikai programmal dinamikusan a 2003.01.01. és 2013.12.31. közti

id®szakra. Dolgozatom ábráit az ÁKK honlapján elérhet® adatokra támaszkodva,

saját számítások alapján, Matlabbal készítettem.

2. fejezet

A hozamgörbe és a kötvényárazás

A kamatlábmodellek egy adott id®pontra a különböz® lejáratokhoz tartozó hozamo-

kat ábrázolják, valamint azok id®beni fejl®dését írják le. Egy id®pillanatra többféle

görbe is meghatározható, melyek ugyanazt az információt hordozzák, a következ®k-

ben röviden a diszkontfüggvényt, a hozamgörbét és a forwardgörbét tekintem át.

2.1. A kamatlábak lejárati szerkezete

A kötvénypiacok legegyszer¶bb épít®elemei a kockázatmentes diszkontpapírok, vagy

elemi kötvények. Ezek árfolyama a jöv®beli kockázatmentes 1 egység¶ ki�zetés je-

lenlegi értékét mutatják. Jelölje p(t, T ) a T id®pillanatban 1 egységet �zet® elemi

kötvény árfolyamát t-ben, a d(t, ·) : s 7→ p(t, t+ s) hozzárendelés az árfolyam- vagy

diszkontfüggvény. Az arbitrázsmentességhez szükségesek a függvényre vonatkozó

kikötések (Makara, 1998), azaz

� d(t, 0) = 1

� d(t, ·) monoton csökken®

� d(t, ·) > 0.

Az elemi kötvény de�níciója alapján p(T, T ) = 1, így folytonos kamatozással

számolva, a T − t futamidej¶ elemi kötvény r(t, T ) azonnali hozamára t-ben:

p(t, T )er(t,T )(T−t) = 1,

r(t, T ) = − log p(t, T )

T − t.

A magyar terminológiában használatos az Y (t, T ) kamattömeg fogalma (Medve-

gyev és Száz, 2010), mely az Y (t, T ) = r(t, T )(T − t) mennyiséggel egyezik meg, és

5

2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS 6

ezzel a kötvény

p(t, T ) = e−Y (t,T )

árfolyama könnyebben értelmezhet®vé válik. A kés®bbi egységes jelölés miatt azon-

ban a kamattömeg tényez®it a dolgozatban mindig kiírom.

A továbbiakban hozam alatt, ha külön nem említem, loghozamot értek. Az

R(t, ·) : s 7→ r(t, t+ s) függvényt nevezzük hozamgörbének, ez a piacon közvetlenül

nem �gyelhet® meg. Ha a T−t hátralév® lejárat 0-hoz tart, akkor az r(t) pillanatnyi

kamatot kapjuk, mely egy t-ben megkötött, azonnal megtérül® befektetés hozama.

Ez matematikailag a kötvényárfolyam logaritmusának lejárat szerinti deriváltjának

értéke t-ben, így a L'Hospital szabály felhasználásával (Bolder, 2001):

r(t) = limT→t

r(t, T ) = − limT→t

log p(t, T )

T − t= − lim

T→t

1

p(t, T )

∂p(t, T )

∂T= −∂ log p(t, t)

∂t.

Jelölje f(t, S, T ) azt az [S, T ] id®szaki határid®s kamatlábat, melyet a t id®pont-

ban kötnek, majd tegyük fel, hogy t-ben befektetünk p(t, S) egységet. Ez S-ben 1-et,

míg T -ben ef(t,S,T )(T−S)-et fog érni. A T -beli pénzáramlás megegyezik ef(t,S,T )(T−S)

darab t-beli, T -ben lejáró elemi kötvény pénzáramlásával, így a t id®pontra vonat-

kozóan:

p(t, S) = ef(t,S,T )(T−S)p(t, T ),

f(t, S, T ) = − log p(t, T )− log p(t, S)

T − S=

(T − t)r(t, T )− (S − t)r(t, S)

T − S.

Az S → T határátmenettel kapott mennyiséget f(t, T ) pillanatnyi határid®s

kamatlábnak nevezzük, és a következ® alapján kapható az F (t, ·) : s 7→ f(t, t + s)

forwardgörbe:

f(t, T ) = limS→T

f(t, S, T ) = −∂ log p(t, T )

∂T.

A de�níciók alapján látható, hogy r(t) = f(t, t).

A d(t, ·) diszkontfüggvény, az R(t, ·) hozamgörbe és az F (t, ·) forwardgörbe köztiekvivalenciát a 2.1 táblázat tartalmazza, becslési szempontból azonban nem mind-

egy a választás. Ránézve az összefüggésekre látható, hogy a határid®s kamatláb és

az azonnali hozam mikroökonomiai megfeleltetése a termelés marginális- és átlag-

költsége (Svensson, 1994).

r(t, T ) = − log p(t,T )T−t r(t, T ) = − 1

T−t

∫ Ttf(t, u) du

p(t, T ) = e−r(t,T )(T−t) p(t, T ) = e−∫ Tt f(t,u) du

f(t, T ) = −∂ log p(t,T )∂T

f(t, T ) = r(t, T ) + (T − t)∂r(t,T )∂T

2.1. táblázat. A diszkontfüggvény, a hozamgörbe és a forwardgörbe elemi összefüg-

gései


A 2.1 ábrán látható az Államadósság Kezel® Központ által közölt, 1 2014.03.31-

ei hozamgörbe és az ebb®l számított diszkontfüggvény, illetve forward görbe. Az

adósságkezel® e�ektív hozamokkal számol, így szükséges az adatokat az

rlog(t, T ) = log(1 + reff (t, T ))

képlet alapján átszámítani. Az adatok a T1, . . . Tn diszkrét id®pontokban adottak,

így a diszkontfüggvény a p(t, Ti) = e−r(t,Ti)(Ti−t) képlettel számolható, míg a forward-

görbét numerikus deriválással határoztam meg. A kezd®pontban haladó, a közbens®

pontokban központi, a végpontban retrogád di�erenciával, sorrendben:

f(t, T1) ≈ r(t, T1) + (T1 − t)r(t, T2)− r(t, T1)

T2 − T1,

f(t, Ti) ≈ r(t, Ti) + (Ti − t)r(t,Ti+1)−r(t,Ti)

Ti+1−Ti + r(t,Ti)−r(t,Ti−1)Ti−Ti−1

2, ahol i = 2, . . . n− 1 és

f(t, Tn) ≈ r(t, Tn) + (Tn − t)r(t, Tn)− r(t, Tn−1)

Tn − Tn−1.

0.02 3.65 7.29 10.93 14.570

25

50

75

100

Lejárat (év)

Dis

zkon

tfügg

vény

(%

)

0.02 3.65 7.29 10.93 14.570

5

10

15

20

Hoz

am−

és fo

rwar

dgör

be (

%)

DiszkontfüggvényHozamgörbeForwardgörbe

2.1. ábra. A 2014.03.31-ei hozamgörbe, diszkontfüggvény és forwardgörbe

A 2.1 ábra alapján a március végi hozamgörbe emelked® volt, illetve a diszkont-

függvény megfelel az arbitrázsmentességhez szükséges függvényalaknak.

Ha minden lejáratra van elemi kötvény, akkor azok árfolyamaiból megkapható

a diszkontfüggvény és így a hozamgörbe. A feltevés azonban nem igaz, egyrészt

az elemi kötvények futamideje általában éven belüli, másrészt a lejárat összessége

diszkrét halmaz. A magyar kötvénypiacon kockázatmentes elemi kötvénynek a disz-

kont kincstárjegy tekinthet®. Ezek a Magyar Állam által kibocsátott névre szóló,

dematerializált, nem kamatozó értékpapírok, melyek alapvet®en 3 és 12 hónapos

futamid®vel, névérték alatt kerülnek kibocsátásra. Ahogy a 2.2 ábra mutatja, az1http://akk.hu/zerokupon.ivy?public.cat-sys-B23DDCB1-22B0-40E0-A088-991F3409C08E-

�ltergroup=user3 (letöltve 2014.04.11-én)


2013.01.01 2013.07.01 2013.12.213

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Dátum (nap)

Lejá

rat (

hóna

p)

2.2. ábra. A napi DKJ adatok lejárat szerinti megoszlása

Els®dleges forgalmazók árjegyzése alapján jellemz®en naponta 5 diszkont kincstár-

jegy árfolyama áll rendelkezése, a legrövidebb futamid® 3 hónapos. Az elemi kötvé-

nyek alacsony száma miatt ezért numerikus módszereket alkalmaznak a zérókupon

hozamok meghatározására, ezt nevezik összefoglalóan a hozamgörbe becslésének.

Ezen eljárások a kockázatmentesnek tekinthet® állampapírok �diszkontkincstárjegy

és államkötvény� árfolyamaiból határozzák meg a hozamgörbét. Jelenleg 3, 5, 10 és

15 éves futamidej¶ államkötvények kerülnek kibocsátásra. A 2.3 ábra alapján egy

adott napon jelenleg általában 15 �x kamatozású kötvényre jegyeznek árfolyamot.

2013.01.01 2013.07.01 2013.12.210

2

4

6

8

10

12

14

16

Dátum (nap)

Lejá

rat (

év)

2.3. ábra. A napi államkötvény adatok lejárat szerinti megoszlása

A következ®kben áttekintem a kamatozó kötvényekkell kapcsolatos elemi számí-

tásokat.

2.2. Kötvényárfolyam

A kamatozó kötvényeket megkülönböztethetjük a kamat�zetés típusa, gyakorisága

és konvenciója szerint. Típusa lehet �x vagy változó kamatozású, el®bbi esetben


minden ki�zetéskor a névérték egy el®re meghatározott százaléka (kuponráta) kerül

ki�zetésre. A magyar államkötvények esetén a változó kamatot a három hónapos

diszkontkincstárjegy hozamából, a fogyasztói árindex változásából, vagy a BUBOR-

ból származtatják. A kamat�zetés jellemz®en félévente vagy évente történhet, Ma-

gyaroszágon 2003 óta csak éves kamatperiódusú államkötvényeket bocsátanak ki. A

kamatkonvenció a két ki�zetés között eltelt id® számításának módszertanát hatá-

rozza meg. A következ® jelölésekkel

� ACT: tényleges napok száma

� 360: az évet 360 naposnak tekinti

� 365: az évet 365 naposnak tekinti

a magyar diszkontkincstárjegyek esetén a konvenció ACT/360, míg az államköt-

vényeknél ACT/ACT (a lakossági állampapírok, például a kamatozó kincstárjegy

esetén jellemz® az ACT/365 is). A kamatkonvenció mind a kötvények felhalmozott

kamatára, mind árfolyamára hatással van.

A kamatozó kötvények esetén a rendszeres kupon�zetés miatt az árfolyam az

egyes diszkontált pénzáramlások összege. Tegyük fel, hogy az i. kötvény pénzáram-

lásait (kamat és t®ke�zetés) a t = {ti,1, ti,2, . . . ti,ni} (t ≤ ti,1 ≤ · · · ≤ ti,ni = T )

id®pontok és a c = {ci,1, ci,2, . . . ci,ni} ki�zetés nagyságok írják le. Ekkor ezen pénz-

áramlásokat tekinthetjük elemi kötvények portfóliójának, ahol a ki�zetés nagysága

a darabszám. Így az i. kötvény árfolyamára:

Pi(t, r) = Pi(t, T, t, c, r(t, ·)) =

ni∑j=1

ci,jp(t, ti,j) =

ni∑j=1

ci,je−r(t,ti,j)(ti,j−t). (2.1)

Természetesen diszkont kincstárjegyek esetén is igaz a képlet, ott egy pénzáram-

lás van, a lejáratkori t®ke vissza�zetés. Adott napra vonatkozóan az Els®dleges for-

galmazók árjegyzése alapján az Államadósság Kezel® Központ két árfolyamot közöl,

egy P bidi (t, r) vételi és egy P ask

i (t, r) eladási árfolyamot, a kett® közti sávot nevezz-

zük az si = P aski (t, r)−P bid

i (t, r) bid-ask spreadnek. Az elméleti kötvényárfolyamra

teljesülnie kell, hogy

P bidi (t, r) ≤ Pi(t, r) ≤ P ask

i (t, r),

ezt több hozamgörbe is kielégítheti. A továbbiakban egy kötvény árfolyamán a

Pmidi (t, r) = (P bid

i (t, r) + P aski (t, r))/2 középárfolyamot értem.

Tegyük fel, hogy N kötvényünk van és fel szeretnénk írni mátrixos formában

ezek árfolyamát t-ben. Ehhez létre kell hozni egy {Ci,j}i=(1,...,K),j=(1,...,N) ki�zetés

mátrixot, melynek sorai az összes lehetséges t1, t2, . . . tK id®pont és az oszlopai az


értékpapírok. Azaz a mátrix i. sorának j. eleme megmutatja, hogy a j. kötvényhez

mekkora pénzáramlás tartozik a ti id®pontban:

Ci,j =

{ci,k ha ti = tj,k valamilyen k-ra,

0 különben.

A C mátrix ritka, ugyanis az oszlopokban körülbelül a kötvény hátralév® fu-

tamidejével (évben) egyez® elem nem nulla (éves kamat�zetés esetén), míg a ka-

mat�zetések idejének nem kell egybeesni, így a sorok száma nagy is lehet. Például

2014.03.31-ére vonatkozóan a cash-�ow mátrix 69 sorból és 19 oszlopból állt 2, az

1311 eleméb®l pedig csupán 89 nem volt nulla.

Legyen továbbá p = (P1, P2, . . . PN)T az egyes kötvények árfolyamának oszlop-

vektora, és d = (d1, d2, . . . dK)T a diszkonttényez®k oszlopvektora, azaz di = p(t, ti).

Ezekkel a jelölésekkelP1

P2

...

PN

=

C1,1 C1,2 · · · C1,N

C2,1 C2,2 · · · C1,N

...... . . . ...

CK,1 CK,2 · · · CK,N

T

d1

d2...

dK

,

p = CTd. (2.2)

A kés®bbi fejezetekben az R statisztikai program termstrc csomagját is hasz-

nálom (Ferstl és Hayden, 2010), így megemlítem, hogy ott hogyan számítják a p

vektort. Meghatároznak egy C cash-�ow mátrixot, mely oszlopaiban az egyes kötvé-

nyek pénzáramlásai szerepelnek egymás után, és az ezekhez tartozó diszkontfaktorok

D mátrixát. Így legyen L = max1≤i≤N ni, azaz a legtöbb kamat- és t®ke�zetéssel

rendelkez® kötvény cash �ow-inak száma, továbbá

Ci,j =

{cj,i ha i ≤ ni,

0 különben.

Ekkorp1

p2...

pN

T

=

1

1...

1

T

C1,1 C1,2 · · · C1,N

C2,1 C2,2 · · · C2,N

...... . . . ...

CL,1 CL,2 · · · CL,N

·d1,1 d1,2 · · · d1,N

d2,1 d2,2 · · · d2,N...

... . . . ...

dL,1 dL,2 · · · dL,N

,

pT = 1T C · D, (2.3)

2Csak a diszkont kincstárjegy és a �x kamatozású államkötvény adatokat �gyelembe véve.


ahol · elemenkénti szorzást jelent és di,j = p(t, tj,i, ha i ≤ ni. 2014.03.31-ét

tekintve C és D mérete így 15-ször 19-es, és az 585 elemb®l 89 nem nulla.

Összefoglalva, a p kiszámításához a 2.2 képlet használatával (K · K + K) · Nm¶veletre (szorzás és összeadás) van szükség, míg a 2.3 esetén L ·N+(L ·L+L) ·N -

re. Egy tipikus napra (2014.03.31.) vonatkozóan ez azt jelenti, hogy az els® esetben

(69 · 69 + 69) · 19 = 91770, míg a második esetben 15 · 19 + (15 · 15 + 15) · 19 = 4845

m¶veletre van szükség, így a második módszer gyorsíthatja a becslést.

2.3. Benchmark kötvények

A kötvények árfolyamával ekvivalens módon megadható az yi(t) lejáratig számított

hozama, vagy másnéven bels® megtérülési rátája. Ez az a konstans kamatláb, amely

mellett a pénzáramlások jelenértéke éppen az árfolyammal egyezik meg.

Pi(t, yi) = Pi(t, T, t, c, yi(t)) =

ni∑j=1

ci,je−yi(t)(ti,j−t). (2.4)

A legtöbb esetben a lejáratig számított hozamot analitikusan nem lehet meg-

határozni, csak numerikusan, például a Newton�Raphson módszerrel. A lejáratig

számított hozamok a kötvények közti összehasonlítást segítik, a hozamgörbét azon-

ban nem határozzák meg. Egyrészt a 2.1 és a 2.4 egyenletekb®l látszik, hogy a

lejáratig számított hozam az azonnali hozamok súlyozott átlaga, másrészt az értéke

a kuponráta függvénye. Ez utóbbit nevezik kuponhatásnak, azaz az azonos lejáratú

kamatozó kötvények bels® megtérülési rátája a kuponráta nemlineáris függvénye.

2003.01.02 2005.10.17 2008.08.12 2011.05.31 2014.03.312

4

6

8

10

12

14

Dátum (nap)

Effe

ktív

hoz

am (

száz

alék

pont

)

3 hónap6 hónap12 hónap3 év5 év10 év15 év

2.4. ábra. A benchmark hozamok alakulása

A referencia hozamgörbe, melyet az Államadósság Kezel® Központ minden nap-

ra közöl, kitüntetett lejáratokhoz tartozó kötvények lejáratig számított hozamát


szemlélteti. Így a 3, 6, 12 hónapos és a 3, 5, 10, 15 éves benchmark kötvények

árfolyamának alakulását láthatjuk a 2.4 ábrán 2003.01.02. és 2014.03.31. között.

Meg�gyelhet®ek hozamemelkedéssel járó állampapírpiaci zavarok, melyek a forint

gyengülésének és a külföldiek állampapír eladásának (2003), a likviditás kiapadásá-

nak (2008), illetve a hitelmin®sít®k általi bóvli kategóriába sorolás (2011) következ-

ményei voltak. Látható a különböz® lejáratú benchmark hozamok együttmozgása,

különösen a diszkont kincstárjegyek esetén. Az összes hozam szétválása (2004 ele-

je és 2013 végét®l) emelked®, míg a rövid és hosszú lejáratok kettéválása meredek

hozamgörbére utal.

2.5. ábra. A benchmark hozamok korrelációja

A rövid hozamok közti er®s, pozitív kapcsolatot jelzi számszer¶leg a 2.5 ábra,

melyen az egyes lejáratok benchmark hozamai közti korrelációk szerepelnek. Habár

itt külön nem szerepel, de a zérókupon hozamok vizsgálatával is hasonló eredmé-

nyeketre juthatunk. A korrelációk magas szintje mutatja, hogy a benchmark, illetve

zérókupon hozamokat kevesebb faktorral is le lehet írni, a hozamgörbét leíró fakto-

rokról a 4.4 részben lesz szó.

2.4. Az átlagid® és a módosított átlagid®

Az árfolyam és a lejáratig számított hozam megváltozása közti kapcsolat számsze-

r¶sítéséhez határozzuk meg el®ször Pi(t, yi) yi(t) szerinti félrugalmasságát loghoza-

mokra:∂Pi(t, yi)

∂yi(t)/Pi(t, yi) = −

ni∑j=1

(ti,j − t)ci,je

−yi(t)(ti,j−t)

Pi(t, yi)= −

ni∑j=1

(ti,j − t)PV (ci,j)

Pi(t, yi), (2.5)

ahol PV (·) a jelenértéket jelöli. E�ektív hozamok esetén a következ®képpen módosulaz összefüggés:

∂Pi(t, yi)

∂yi(t)/Pi(t, yi) =

= − 1

1 + yi

ni∑j=1

(ti,j − t)ci,j

(1 + yi)ti,j−t1

Pi(t, yi)= − 1

1 + yi

ni∑j=1

(ti,j − t)PV (ci,j)

Pi(t, yi).


A∑ni

j=1(ti,j − t)PV (ci,j)

Pi(t,yi)összeget nevezzük Macaulay-féle Di átlagid®nek és a fél-

rugalmasság ellentettjét D∗i módosított átlagid®nek. Az átlagid® a két esetben meg-

egyezik, a módosított átlagid® loghozamok esetén

D∗i = Di,

míg e�ektív hozamokra

D∗i =1

1 + yiDi.

2014.01.02 2014.01.23 2014.02.14 2014.03.07 2014.03.31

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Dátum (nap)

Vál

tozá

s (s

záza

lékp

ont)

ÁrváltozásBecsült árváltozás

2.6. ábra. Az árfolyamváltozás közelítése módosított átlagid®vel

A de�níció alapján az átlagid® a jöv®beli pénzáramlások hátralév® idejének sú-

lyozott átlaga, ahol a súlyozás a pénzáramlások jelenértékének árfolyamhoz viszo-

nyított aránya alapján történik. A félrugalmasság, és így a módosítot átlagid® azt

mutatja meg, hogy mekkora a kötvény árfolyamában történ® változás (százalékban)

a lejáratig számított hozam egységnyi változása esetén. Ez alapján a módosított

átlagid® az árfolyam hozamérzékenységét mutatja, minél nagyobb, annál nagyobb a

kötvény kamatlábkockázata. Az el®bbi jelölésekkel így az els®rend¶ Taylor-sorfejtés

alapján

∂Pi(t, yi) ≈ −D∗iPi(t, yi)∂yi.

A 2.6 ábrán a 2028/A államkötvény 2014 márciusi bruttó vételi árváltozásai

szerepelnek az el®z® közelítéssel. Látható, hogy az approximáció viszonylag közeli

eredményeket ad, de a hibák természetér®l még nem árul el sokat. A 2.7 pontdi-

agramon már meg�gyelhet®, hogy az árfolyamváltozás nagyságával n® a hiba ab-

szolútértéke is (igazából minden esetben alulbecsüljük az árfolyam változását). Az

árfolyamváltozás és a hibák között másodrend¶ kapcsolat van, ami legalább má-

sodrend¶ Taylor-sor használatának (a második deriváltat konvexitásnak nevezzük)

szükségességét jelzi. A magasabb hibanagyságok csütörtöki napokhoz tartoznak, a


két munkanappal kés®bbi elszámolás miatt így igazából a többivel ellentétben nem

egynapos, hanem háromnapos az árfolyamváltozás. Az ábrán azért maradtak mégis

rajta, mert az el®bbi meg�gyelések ezekre is igazak.

−2.80 −0.38 0.02 0.59 2.28

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Az árváltozás nagysága (százalékpont)

Hib

a (s

záza

lékp

ont)

2.7. ábra. Az árfolyamváltozás közelítésének hibája

Az el®bbiek alapján az átlagid® a vízszintes hozamgörbe kismérték¶, párhuzamos

eltolódása esetén méri jól a kockázatot. Ha a zérókupon hozamgörbét használjuk a

diszkontáláshoz, akkor a Fischer-Weil átlagid®t kapjuk, melyre loghozamok esetén

Di,FW =

ni∑j=1

(ti,j − t)1

Pi(t, yi)ci,je

−r(t,ti,j)(ti,j−t).

Ebben a fejezetben áttekintettem a kötvények árazásához kapcsolodó alapfogal-

makat, úgymint az árfolyam, a hozam- és forwardgörbe. Bemutattam a magyar

államkötvények referencia hozamgörbéjéhez kapcsolódóan a benchmark kötvényeket

és a lejáratig számított hozamot, majd a kamatlábkockázathoz tartozó legegyszer¶bb

mutatószámot, az átlagid®t. Ezek ismeretében a következ® fejezetben már választ

adhatok arra a kérdésre, hogy egy adott nap kötvényárfolyam adataiból hogyan lehet

meghatározni a hozamgörbét.

3. fejezet

Az kötvényárazás hibája

A görbeillesztés során diszkrét id®pontok meg�gyeléseihez keressük a pontokat minél

jobban leíró folytonos függvényt. Adott napra vonatkozó illesztés esetén azonban

több probléma is adódik. A korábban említettek alapján egyrészt kamatozó kötvény

adatokat is fel kell használni a görbe meghatározásához, de a 2.2 és a 2.3 ábrák

alapján csupán közel 20 futamid®re tudunk valós adatot meg�gyelni. A másik, hogy

két, egymást kiszorító cél van, a minél pontosabb illeszkedés és a simaság. Utóbbi a

hozamgörbénél lényeges szempont, ugyanis nem kívánatosak az ugrások a görbében,

két közeli lejárat között nem változik szigni�kánsan a hozam. Túl sima függvény

esetén azonban nem elég pontos a kötvényárfolyamok becslése, míg túl jó illeszkedés

mellett, empirikus tapasztalatok alapján romlik a mintán kívüli becslés.

A hozamgörbe becslésénél el®zetesen három kérdésben kell dönteni (Bliss, 1996):

� az árazó függvény alakja,

� a közelít® függvény típusa,

� a paraméterek becslésének módszertana.

A választás a végs® eredményeket is befolyásolja, ezért a következ®kben ezeket

részletesen is bemutatom, a fejezet további részében kalappal jelzem a becsült, el-

méleti mennyiségeket, míg a valós, meg�gyelt árfolyamok kalap nélküliek.

3.1. Az árazó függvény

A meg�gyelt árfolyamok a becsült árfolyamok és egy hibatag összegei, azaz

Pi(t, r) = Pi(t, r) + εit

Ha nem vesszük �gyelembe az adókat és az esetleges beágyazott opciókat (példá-

ul visszaváltható és visszahívható kötvények), akkor a Pi(t, r) meghatározására a

15

3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA 16

legegyszer¶bb árazó függvény a 2.1 képlettel adható meg. A piacok tökéletlensége

miatt azonban a gyakorlatban ez nem teljesül, általánosan a meg�gyelt árfolyamokat

a

Pi(t, r) = g(ci,j, r(t, tj)) + εit (3.1)

összefüggéssel írhatjuk le. Ebben feltesszük, hogy g(·)-n keresztül a kötvény árfo-

lyama az összes lényeges információt tartalmazza, így az elméleti és valós ár eltérése

csupán zaj. Az r(·) illesztése úgy történik, hogy az εit véletlen zaj valamilyen, el®re

meghatározott függvénye minimális legyen.

A dolgozatban felteszem, hogy a kötvények árfolyamát az egyes pénzáramlások

jelenértéke határozza meg (2.1 képlet), azaz

Pi(t, r) =

ni∑j=1

ci,je−r(t,ti,j)(ti,j−t) + εit. (3.2)

Ez egyrészr®l megtehet®, ugyanis az állampapírok nem tartalmaznak semmilyen

bels® opciót. Másrészr®l viszont így nem veszünk �gyelembe olyan, az árfolyamra

ható faktorokat, mint a likviditási prémium vagy akár az adatok min®sége. El®b-

bit a hibák likviditás szerinti súlyozásán keresztül beépíthetjük a modellbe, err®l

kés®bb még lesz szó. Lényegesen egyszer¶sítjük továbbá az állampapírpiacot az

adózási hatások kihagyásával. Meg�gyelhet® ugyanis, hogy a befektet®k adózási

szempontokhoz igazíthatják tranzakcióik idejét (tax-timing option) vagy a keresett

termékek körét (tax-clientele). Érdemes lehet ugyanis az árfolyamnyereség elha-

lasztásával és a veszteségek el®rehozatalával csökkenteni a �zetened® adó mértékét

(Makara, 2013). Magyarországon a kamatjövedelmeket terhel® egészségügyi hozzá-

járulás (EHO) 2013. augusztusi bevezetése1 megváltoztatta a befektet®k szokásait,

ugyanis az az állampapírokat nem terheli, míg a bankbetéteket és a befektetési je-

gyeket igen. Az emiatti kereslet növekedés az állampapír piacon befolyásolta azok

árfolyamát is. A külföldi szakirodalomban kiemelt szereppel bír McCulloch (1975)

cikke, melyben a kötvény árfolyamokat korrigálta az adózással. Vizsgálatai során

azt kapta, hogy az adózás �gyelembe vétele csökkenti az illesztés által nem megma-

gyarázott varianciát, illetve meghatározta azt az adókulcsot, ami a modell keretei

között legjobban magyarázza a meg�gyeléseket (ebb®l kapva az adózás el®tti ho-

zamgörbét).

3.2. A hiba mérése

A hozamgörbe illesztésekor, ahogy el®bb említettem, minimalizálnak egy el®re de�-

niált h(·) hibafüggvényt. Ez lehet például az árfolyamok vagy az azokból számított1http://www.kozlonyok.hu/nkonline/MKPDF/hiteles/MK13111.pdf


bels® megtérülési ráták különbségének függvénye, azaz a feladat a következ®:

minr(t,·)

N∑i=1

h(Pi(t, r)− Pi(t, r)) vagy minr(t,·)

N∑i=1

h(yi − yi),

ahol N az árfolyamadatok száma a t id®pillanatban. 3.1 alapján εit = Pi(t, r) −Pi(t, r), míg az yi− yi már ennek függvénye. A következ®kben említett mér®számok

analóg módon átvihet®k a lejáratig számított hozamok különbségére is, így külön

nem írom le.

Az egyik legegyszer¶bb függvényalak az abszolútérték függvény, ezzel az

MAEt = MAE(t, P, r) =1

N

N∑i=1

|Pi(t, r)− Pi(t, r)|

átlagos abszolút eltérést kapjuk. Ahogy a neve is mutatja, ez átlagolja a meg�gyelt

és becsült értékek közti abszolút távolságokat. Ha a valós adatok között nagy volt az

eltérés, akkor nehezen értelmezhet® az értéke. Az illeszkedés leggyakrabban használt

mér®száma az átlagos négyzetes eltérés, melyre

RMSEt = RMSE(t, P, r) =

√√√√ 1

N

N∑i=1

(Pi(t, r)− Pi(t, r))2.

Tehát az RMSEt négyzetre emeli a valós és elméleti árak közti távolságot, így

nagyobb hatással vannak rá az extrém meg�gyelések. A kett® közti relációra teljesül

a következ® egyenl®tlenség (Bolder és Gusba, 2002):

1√NRMSEt ≤MAEt.

A magyar adatok száma alapján így RMSEt .√

20MAEt, ezáltal valamelyest

összehasonlíthatóvá válik a két mér®szám.

Egy hiba lehet abszolút értelemben nagy, de relatíve kicsi a kötvény árfolyamához

képest. Ezért jobban értelmezhet® és stabilabb eredményeket ad, ha normalizáljuk

a hibákat (Bolder és Rubin, 2007). Természetesen adódik normalizáló tényez®nek a

kötvények meg�gyelt árfolyama, azaz

sMAEt =1

N

N∑i=1

|Pi(t, r)− Pi(t, r)|Pi(t, r)

sRMSEt =

√√√√ 1

N

N∑i=1

(Pi(t, r)− Pi(t, r))2Pi(t, r)

.

Ezzel az sMAE már értelmezhet® százalékos formában, minél kisebb ez az érték

annál jobb az illeszkedés a meg�gyelt és becsült árfolyamadatok között. Azaz, ha


3 hónap 6 hónap 12 hónap 3 év 5 év 10 év 15 év

Szórás (árfolyam) 6,66 6,37 6,34 7,51 8,38 10,77 12,17

Szórás (YTM) 2,12 2,09 2,04 1,79 1,52 1,12 0,97

3.1. táblázat. A benchmark kötvények árfolyamának és lejáratig számított hozamá-

nak (YTM) szórása százalékpontban

az sMAE értéke 1%, akkor átlagosan a becsült kötvényárfolyamok 1%-kal térnek el

a piaci árfolyamoktól.

Az MAEt és az RMSEt egyenl®en súlyozza az egyes hibákat, azonban a becsl®

preferenciái alapján elképzelhet®ek más súlyozások is. Rövid távon sokkal több

meg�gyelés áll rendelkezésre (ahogy a 2.3 ábrán is látható), mint hosszú távon.

Másrészt, ahogy a 3.1 táblázat mutatja, a 2003.01.02. és 2013.12.31. közötti adatok

alapján a hosszú lejáratú benchmark kötvények árfolyama jobban szóródik, mint a

rövid lejáratúaké. Ezek miatt a termék lejáratát tükröz® mér®számmal szükséges

az egyes hibák közti fontosságot meghatározni. Legegyszer¶bb ilyen a hátralév®

futamid® reciproka, ezzel nagyobb súlyt helyezve az éven belüli meg�gyelésekre,

míg kisebbet az 5 éven túli, ritkább, volatilisebb adatokra. A korábbi jelöléseket

használva, azaz ti,ni jelöli az utolsó ki�zetést (így az i. kötvény lejáratát), a súlyozott

átlagos abszolút és négyzetes eltérés a következ®képpen kapható:

WMAEtnt =

1∑Ni=1

1ti,ni

N∑i=1

|Pi(t, r)− Pi(t, r)|ti,ni

,

WRMSEtnt =

√√√√ 1∑Ni=1

1ti,ni

N∑i=1

(Pi(t, r)− Pi(t, r))2ti,ni

.

Az illesztési hibák heteroszkedaszticitását, illetve az árfolyamok és lejáratig szá-

mított hozamok közti elméleti kapcsolatot azonban a D∗i Macaulay-féle módosított

átlagid®vel való súlyozás ragadja meg a legjobban (Bliss, 1996). Ekkor

WMAED∗

t =1∑N

i=11D∗i

N∑i=1

|Pi(t, r)− Pi(t, r)|D∗i

,

WRMSED∗

t =

√√√√ 1∑Ni=1

1D∗i

N∑i=1

(Pi(t, r)− Pi(t, r))2D∗i

.

Szükséges lehet, hogy a likvid papírok árfolyamát jobban közelítsük, mint a nem

likvidekét. A piaci likvidást méri a bid-ask spread, minél sz¶kebb a sáv, annál

pontosabb becslés szükséges. Ezért a hibákat súlyozhatjuk az si bid-ask spread


reciprokával is, azaz

WMAEst =

1∑Ni=1

1si

N∑i=1

|Pi(t, r)− Pi(t, r)|si

,

WRMSEst =

√√√√ 1∑Ni=1

1si

N∑i=1

(Pi(t, r)− Pi(t, r))2si

.

A benchmark kötvények tekinthet®k az állampapírpiacon a leglikvidebb termé-

keknek, így azok meg�gyelt árfolyamáról feltételezhet®, hogy legpontosabban jelzik

az elméleti árfolyamot. Ahhoz, hogy az ezekhez tartozó hibatagok minél kisebbek

legyenek, beszorozhatjuk ezek súlyait egy olyan K konstanssal, amely mellett a

benchmark kötvények közelítése már megfelel® pontosságú (Bolder és Gusba, 2002).

A négyzetes hibákat felírhatjuk mátrixos formában is, mellyel jobban értelmez-

het®vé válik. Például a módosított átlagid®vel súlyozott négyzetes átlagos eltérésre

WRMSED∗

t =

=

P1(t, r)− P2(t, r)

...

PN(t, r)− PN(t, r)

T

1D∗1∑Ni=1

1D∗i

· · · 0

... . . . ...

0 · · ·1D∗N∑N

i=11D∗i

P1(t, r)− P2(t, r)

...

PN(t, r)− PN(t, r)

.

Eddig mindig olyan hozamgörbét kerestünk, mellyel a legjobban közelítjük a

meg�gyelt középárfolyamokat. Egyfel®l a középárfolyam használatával elveszítjük a

felhasználható adatok egy részét, a vételi és eladási árfolyamokat (bid-ask spread

súlyozás esetén egy részét meg®rizzük viszont). Másfel®l félreárazást csak akkor

lehet kihasználni, ha a számított árra

Pi(t, r) ≤ P bidi (t, r) vagy P ask

i (t, r) ≤ Pi(t, r).

Tehát becslés esetén lényegében tekinthetjük csupán azt is hibának, ha Pi(t, r)

nem esik a vételi és eladási árfolyam közé (Bliss, 1996), így nem a Pi(t, r)− Pi(t, r)(vagy yi − yi) függvényét minimalizáljuk, hanem a következ® kifejezését (ami már

maga is εit függvénye):

ε∗it

P aski (t, r)− Pi(t, r) ha P ask

i (t, r) ≤ Pi(t, r),

P bidi (t, r)− Pi(t, r) ha Pi(t, r) ≤ P bid

i (t, r),

0 különben.

(3.3)

Egy illesztés sikerességét mérhetjük azzal is, hogy a meg�gyelések hanyadrészé-

nél 0 a hiba az el®z® de�nícióval, Bliss (Bliss, 1996) ezt nevezi találati aránynak.

Lehetséges további mér®szám az �olcsó� arány (felülbecsüljük az eladási árat) és a

�drága� arány (alulbecsüljük a vételi árfolyamot).


3.3. A hibatagokra vonatkozó vizsgálatok

Ha élünk az árazófüggvényre vonatkozó egyszer¶sít® feltételezéssel, akkor szüksé-

ges megvizsgálni, hogy a reziduálisok valóban véletlen zajok-e és korrelálatlanok-e

más faktorokkal. Ehhez kapcsolódóan Bliss (Bliss, 1996) három lehet®séget javasol,

ezeket mutatom be röviden a következ®kben.

Ha az árazó egyenletet helyesen határoztuk meg és az árazási hibák valóban vé-

letlen zajok, akkor egy kötvény egymást követ® id®szaki becslése során kapott hibák

között nincs kapcsolat. Az εit illeszkedési hibákat három kategóriába sorolhatjuk

el®jelük szerint. Ha véletlenek voltak, akkor ezeknek a kategorizált változóknak is

annak kell lenniük. Az els® módszer szerint megnézzük az egymást követ® id®sza-

kok kategorizált hibáinak átmenetmátrixát, melynek sorai a t − 1., míg oszlopai a

t. id®szaki hibák el®jelei. A mátrix egyes elemei pedig a feltételes valószín¶ségek,

azaz például, hogyha a t − 1. id®szakban pozitív volt a hiba, mekkora eséllyel lesz

a következ®ben negatív. Ha a mátrix oszlopösszegei nem egyeznek meg annak a

feltétel nélküli valószín¶ségével, hogy a hiba negatív, nulla, vagy pozitív, akkor azok

nem véletlenek. Ez pedig azt jelenti, hogy vannak olyan tartósan fennálló faktorok,

melyeket az árazó egyenlet nem ragad meg.

Ha több módszerrel is elvégezzük a becslést, akkor az árazó egyenlet helyessége

esetén a hibák el®jelének a módszert®l függetlennek kell lenniük. A vizsgálatot

az el®z® módszerhez hasonlóan egy feltételes valószín¶ségeket tartalmazó mátrix

alapján végezhetjük. Ha a módszerek hibáinak el®jele között nincs kapcsolat, akkor

arra következtethetünk, hogy a meg�gyelt eltérések más okból származnak az egyes

módszerek esetén, például a következ® részben említend® közelít® függvény helytelen

megválasztásából. Ha magas az egyik módszer magyarázó hatása, akkor a hibák

adat-, és nem módszerspeci�kus faktorokból származnak.

A harmadik módszer a hibák regressziójára épül, azaz különböz® faktorokkal pró-

báljuk azokat magyarázni. Magyarázó változó lehet péládul a kibocsátás óta eltelt

vagy lejáratig hátralév® id® (lejárati prémium), a fennálló állomány vagy a bid-ask

spread (likviditási prémium). A regresszió R-négyzet értéke alapján következtethe-

tünk a faktor szükségességére, azonban nem várható el nagy magyarázó er®, ugyanis

ezen faktorok általában nem lineárisan hatnak a kötvény árfolyamára.

4. fejezet

A hozamgörbe közelítése

A következ®kben a közelít® függvény lehetséges alakjait tekintem át. El®ször felte-

szem, hogy adottak egyes lejáratokra a diszkontfaktorok (és így hozamok) és ezekre

szeretnénk diszkontfüggvényt illeszteni. Ha ez sikerül, akkor abból már rögtön adó-

dik a hozamgörbe is. A korábbi jelöléssel ellentétesen a továbbiakban legyen egy

adott id®pont becsült diszkontfüggvénye d(t, τ).

4.1. Interpoláció

A görbeillesztés matematikailag egy interpoláció, tegyük fel, hogy ismerjük a disz-

kontfüggvény (de lehet a forward- vagy hozamgörbe is)

{Dt,0, Dt,1, . . . , Dt,N}

értékeit a különböz®

{τt,0, τt,1, . . . , τt,N}

lejáratokra. Általánosan a feladat ekkor lehet például a többi pontbeli érték, a

függvény deriváltjának vagy integráljának meghatározása, így biztosítva átjárást a

hozamgörbe különböz® alakjai között (Faragó és Horváth, 2013). Ezek megoldásá-

hoz általában olyan, a [τt,0, τt,N ] intervallumon folytonos d függvényeket keresünk,

melyekre d(t, τt,i) = Dt,i, és ezekre végezzük el a kívánt m¶veletet. Ilyen lehet pél-

dául a lépcs®s, a szakaszonként lineáris, a polinomiális, a szakaszonként polinomiális

(spline) és az exponenciális függvény.

Lineáris illesztés esetén egyszer¶en

d(t, τ) = Dt,i +Dt,i+1 −Dt,i

τt,i+1 − τt,i(τ − τt,i),

ha τt,i ≤ τ < τt,i+1. Az így kapott diszkontfüggvény azonban nem sima, az adott

τt,i pontokban általában nem is deriválható, ami a forward görbe meghatározásához

szükséges volna.

21

4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE 22

Jobb megoldás, ha a keresett d(t, τ) függvény formája polinom, azaz

d(t, τ) =N∑k=0

at,kτk.

Ekkor minden i-re teljesülnie kell, hogy d(t, τt,i) = Dt,i, azaz mátrixos formában1 τt,0 τ 2t,0 · · · τNt,0

1 τt,1 τ 2t,1 · · · τNt,1...

...... . . . ...

1 τt,N τ 2t,N · · · τNt,N

at,0

at,1...

at,N

=

Dt,0

Dt,1

...

Dt,N

. (4.1)

Az egyenlet könnyen megoldható az együttható mátrix invertálásával. Mivel a

mátrix Vandermonde-mátrix1, illetve az id®pontok különböz®ek, így az invertálás

mindig elvégezhet®. Ez alapján N + 1 meg�gyelésre mindig illeszthet® egy N -ed

fokú polinom. A gyakorlatban az együtthatók ilyen módon való meghatározása

a Vandermonde-mátrix gyenge kondícionáltságából következ® nagy approximációs

hiba miatt nem javasolt (Bolder és Gusba, 2002).

Az N + 1 dimenziós polinomok terében természetes bázis az el®bbi 1, τ, . . . , τN .

Ennek használatával jutottunk a mátrix invertálási problémához, ami a gyakorlatban

nem használható. Jobb választás a Lagrange-polinomokból álló bázis, melyet a

következ® N + 1 függvény alkot (k ∈ {0, . . . N}):

lk(t, τ) =(τ − τt,0) . . . (τ − τt,k−1)(τ − τt,k+1) . . . (t− τt,N)

(τt,k − τt,0) . . . (τt,k − τt,k−1)(τt,k − τt,k+1) . . . (τt,k − τt,N).

Ezek lineáris kombinációjaként adódik az interpolációs polinom, azaz a becsült

diszkontfüggvény:

d(t, τ) =N∑k=0

Dt,klk(t, τ)

Ezen módszerek hátránya, hogy a meg�gyelések számával közel azonos fokú poli-

nommal közelítjük a diszkontfüggvényt, ami 20 pont esetén már a görbe ingadozását

is eredményezheti. Ennek következménye egymáshoz közeli lokális széls®értékek, ami

irreális forwardgörbéhez vezet (Makara, 2013). Természetes ötlet, hogy szakaszon-

ként kisebb fokú polinommal közelítsünk, például spline módszerrel.

4.2. Spline illesztés

Legyenek a szakaszhatárok (csomópontok) {kt,0, kt,1, . . . , kt,l}, ezek nem feltétlenül

esnek egybe a τt,i id®pontokkal, s®t a számuknak sem kell megegyezniük. Legyen

1Azaz determinánsára det(V ) =∏

1≤i<j≤N (τj − τi).


S(t, τ) szakaszonként harmadfokú polinomokból álló függvény, azaz

S1(t, τ) = at,1 + bt,1(τ − kt,0) + · · ·+ dt,1(τ − kt,0)3 ha kt,0 ≤ τ ≤ kt,1,

S2(t, τ) = at,2 + bt,2(τ − kt,1) + · · ·+ dt,2(τ − kt,1)3 ha kt,1 ≤ τ ≤ kt,2,...

Sl(t, τ) = at,l + bt,l(τ − kt,l−1) + · · ·+ dt,l(τ − kt,l−1)3 ha kt,l−1 ≤ τ ≤ kt,l.(4.2)

S(t, τ)-t akkor nevezzük spline függvénynek, ha az egyes szakaszok illeszked-

nek a csomópontokban (folytonosság) és kell®en simák (els® és második deriváltja

folytonos). Továbbá, mivel interpolációról van szó, így a τt,i id®pontokban felvett

értékeknek Dt,i-vel kell megegyezniük. Formálisan, ha kielégíti a következ® feltéte-

leket:

- S(t, τt,i) = Dt,i, i ∈ {0, . . . N}

� Si(t, kt,i) = Si+1(t, kt,i), i ∈ {1, . . . l − 1}

� S′i(t, kt,i) = S

′i+1(t, kt,i) és S

′′i (t, kt,i) = S

′′i+1(t, kt,i), i ∈ {1, . . . l − 1}.

Látható 4.2 alapján, hogy 4l paramétert kell meghatározni. Az els® feltétel

alapján N + 1 egyenletet írhatunk fel a következ®képpen

at,j + bt,j(τt,0 − kt,j−1) + · · ·+ dt,j(τt,0 − kt,j−1)3 = Dt,0 ahol kt,j−1 ≤ τt,0 ≤ kt,j...

at,j + bt,j(τt,N − kt,j−1) + · · ·+ dt,j(τt,N − kt,j−1)3 = Dt,N ahol kt,j−1 ≤ τt,N ≤ kt,j.

A folytonossági követelmény a következ® l − 1 egyenletet határozza meg:

at,1 + bt,1(kt,1 − kt,0) + ct,1(kt,1 − kt,0)2 + dt,1(kt,1 − kt,0)3 = at,2...

at,l−1 + bt,l−1(kt,l−1 − kt,l−2) + · · ·+ dt,l−1(kt,l−1 − kt,l−2)3 = at,l.

Végül a simaságra vonatkozó feltételek alapján az els® deriváltakra

bt,1 + 2ct,1(kt,1 − kt,0) + 3dt,1(kt,1 − kt,0)2 = bt,2,...

bt,l−1 + 2ct,l−1(kt,l−1 − kt,l−2) + 3dt,l−1(kt,l−1 − kt,l−2)2 = bt,l,

míg a második deriváltakra

2ct,1 + 6dt,1(kt,1 − kt,0) = 2ct,2,...

2ct,l−1 + 6dt,l−1(kt,l−1 − kt,l−2) = 2ct,l.


Az el®bbiek alapján így 4l változó és (N+1)+(l−1)+(l−1)+(l−1) = N+3l−2

egyenlet van, így az osztópontok számától is függ, hogy megoldható-e az egyenlet

rendszer.

Ha az osztópontok megegyeznek az alappontokkal, akkor a rendszer alulhatáro-

zott (4N változó és 4N−2 egyenlet). Ezért két további feltételt is meg kell határozni,

általános választás (Bolder és Gusba, 2002), hogy a kezd®, illetve végpontban 0 le-

gyen a második derivált2, azaz

2ct,1 = 0,

2ct,l + 6dt,l(kt,l − kt,l−1) = 0).

Így már általában megoldható a lineáris egyenletrendszer, az alappontok és így a

csomópontok növekedésével ezt a megközelítést nehéz implementálni és numerikusan

instabil (Bolder és Gusba, 2002). Az el®z® részhez hasonlóan most is egy alkalmas

bázis felírása jelent megoldást.

Makara (2013) a következ® bázisfüggvényeket említi a {kt,0, kt,1, . . . , kt,l} csomó-pontok által meghatározott harmadfokó spline-ok terében:

fj(τ) =

0 ha τ ≤ kt,j,

(τ−kt,j)36(kt,j+1−kt,j) ha kt,j < τ ≤ kt,j+1,(kt,j+1−kt,j)2

6+

(τ−kt,j)(τ−kt,j+1)

2ha kt,j+1 < τ ≤ kt,l−1,

fl−1(τ) = τ,

fl(τ) = τ 2,

fl+1(τ) = 1.

(4.3)

A 4.1 ábrán 5 csomópont ({0; 2, 5; 5; 7, 5; 10}) mellett ábrázoltam a bázisfüggvé-

nyeket, ez és a de�níció alapján látható, hogy nagyobb lejáratok esetén rugalmasabb

lesz a kapott diszkontfüggvény, ugyanis több bázisfüggvény vesz fel nullától külön-

böz® értéket. Az empirikus vizsgálatok során a szükséges csomópontok számának

megtalálása id®igényes feladat. Fontossága viszont megkérd®jelezhetetlen, ugyanis

ha túl kicsi, akkor nem biztos, hogy megfelel®en illeszkedik a görbe. Túl sok sza-

kasz esetén a túlzott pontosság a probléma, ugyanis ekkor a kiugró meg�gyelések

elhúzzák a görbét. McCulloch (1971) ezért azt a hüvelykujj szabályt javasolta, hogy

a csomópontok száma a meg�gyelések négyzetgyökéhez legközelebb es® egész szám

legyen.

A keresett diszkontfüggvény ezután ezen bázisfüggvények súlyozott összegeként

adódik, a becslés ezen wt,i súlyok megtalálását jelenti.

d(t, τ) =l+1∑j=0

wt,jfj(τ). (4.4)

2Ezeket nevezzük a természetes spline-nak.


0 2.5 5 7.5 10

0

10

20

30

40

Idõ (t)

Ért

ék

0 2.5 5 7.5 10

0

25

50

75

100

Ért

ék (

f 5)

f0(t)

f1(t)

f2(t)

f3(t)

f4(t)

f6(t)

f5(t)

4.1. ábra. A harmadfokú spline módszer lehetséges bázisfüggvényei

Ellen®rizzük, hogy a 4.3 de�níció valóban spline függvényt ad-e. Mivel a bázis-

függvények folytonos függvények voltak (ezért szükséges a (kt,j+1−kt,j)26

konstans), így

összegük is az lesz.

A 4.1 táblázatban egyes bázisfüggvények szerepelnek abban az esetben, ha τ =

kt,m+1 (els® sor), illetve τ = k+t,m+1 (azaz kt,m+1-nél in�nitezimálisan nagyobb, máso-

dik sor), m ∈ {0, 1, . . . l− 1}. Helytakarékossági szempontból a táblázatban lehagy-

tam a t indexeket. Látható, hogy csak fm és fm+1 esetén térnek el, így elég csak

ezekre megnézni az els® két derivált különbségét.

fm−1 fm fm+1 fm+2

(km−km−1)2

6+ (τ−km−1)(τ−km)

2(τ−km)3

6(km+1−km)0 0

(km−km−1)2

6+ (τ−km−1)(τ−km)

2(km+1−km)2

6+ (τ−km)(τ−km+1)

2(τ−km+1)3

6(km+2−km+1)0

4.1. táblázat. A harmadfokú spline bázisfüggvényei τ = kt,m+1 és τ = k+t,m+1 esetén

Az els® deriváltak különbségére

d′(t, k+t,m+1)− d

′(t, kt,m+1) =

= wt,m

(f′

m(t, k+t,m+1)− f′

m(t, kt,m+1))

+wt,m+1

(f′

m+1(t, k+t,m+1)− f

′

m+1(t, kt,m+1))

=

= wt,m

(kt,m+1 − kt,m

2−

2k+t,m+1 − kt,m − kt,m+1

2

)+wt,m+1

((k+t,m+1 − kt,m+1)

2

2(kt,m+2 − kt,m+1)

).

Mivel k+t,m+1 → kt,m+1, így mindkét tag tart a 0-hoz, így az összeg is. Tehát

limτ→kt,m+1

d′(t, τ) = d

′(kt,m+1)

minden bels® osztópontra, így azokban folytonos az els® derivált, márcsak a második


deriváltakra kell ellen®rizni.

d′′(t, k+t,m+1)− d

′′(t, kt,m+1) =

= wt,m

(f′′

m(t, k+t,m+1)− f′′

m(t, kt,m+1))

+wt,m+1

(f′′

m+1(t, k+t,m+1)− f

′′

m+1(t, kt,m+1))

=

= wt,m(1− 1) + wt,m+1

(k+t,m+1 − kt,m+1

kt,m+2 − kt,m+1

)→ 0.

Így a második derivált is folytonos a bels® pontokban, továbbá a kezd®- és vég-

pontban nulla, így harmadfokú, természetes spline-t kapunk.

Természetesen nem csak egy bázis adható meg, a harmadfokú spline-ok terében

numerikusan stabil eredményeket ad a B-spline bázis használata (Fischer, Nychka és

Zervos, 1995). Ezeket rekurzióval de�niálják, részletes elméleti összefoglaló található

Bolder és Gusba (2002) tanulmányában.

Az eddig elmondottak során végig feltettem, hogy adottak az illesztend® görbe

egyes pontjai. A piacon azonban éven túl nem lehet zérókupon hozamokat meg�gyel-

ni, így az eddig említett spline módszerek nem alkalmazhatók közvetlenül. Egyik

lehet®ség, hogy valamilyen egyszer¶ módszerrel meghatározunk egyes lejáratokra

zérókupon hozamokat. Ilyen módszer a bootstrap módszer (Bliss, 1996). Ez egy

iterációs eljárás a forward hozamok kinyerésére a kötvényárfolyam meg�gyelésekb®l.

Az algoritmus minden lépésben b®víti a diszkontfüggvényt, úgy, hogy kiszámítja

a legközelebbi lejáratú, addig még nem használt kötvény árazásához szükséges for-

ward hozamot, a köztes lejáratokra pedig lineáris függvényt illeszt. A simítatlan

Fama-Bliss módszer annyival több a bootstrap módszernél, hogy kisz¶ri az ext-

rém meg�gyeléseket. A simított Fama-Bliss módszernél a kapott diszkont rátákhoz

approximáló függvényt illesztenek (Bliss, 1996). A módszerek el®nye, hogy a kapott

diszkontfüggvény pontosan árazza a piacon lév® kötvényeket, szükséges feltétel azon-

ban, hogy megegyezzen a meg�gyelések és a pénzáramlások száma (Kopányi, 2009).

Ez a magyar adatokra nem teljesül, így nem célszer¶ ezt a módszert használni. Fon-

tos megemlíteni, hogy Diebold és Li (2006) ezt az eljárást használják a zérókupon

hozamok meghatározására, amikb®l kiindulva aztán elvégzik a hozamgörbeillesztést

a kés®bb említend® Nelson-Siegel módszerrel.

Ha nem adottak zérókupon hozamok, akkor az el®z® fejezetben említettek alap-

ján úgy becsüljük a bázisfüggvények súlyait, hogy minimális legyen a becsült és

valós árfolyamok (vagy lejáratig számított hozamok) eltérésének valamilyen függvé-

nye (általában a súlyozott átlagos négyzetes eltérés). Ez utóbbi azonban csak az

illeszkedést méri, annak túlzott jósága pedig a diszkontfüggvény ingadozását ered-

ményezi. Ezért Fischer, Nychka és Zervos (1995) bevezetett egy büntet®függvényt,


mely a diszkontfüggvény simaságát méri a második derivált segítségével.

λ

∫ τt,N

τt,0

d′′(t, u) du,

ahol λ a simaság relatív fontosságát határozza meg az illeszkedéshez képest. A

korábbi jelölésekkel így a diszkontfüggvény optimalizálási feladata

mind(t,·)

N+1∑i=1

h(Pi(t, r)− Pi(t, r)

)+ λ

∫ τt,N

taut,0

d′′(t, u) du

célfüggvény minimalizálást jelenti. Az így kapott függvényeket nevezzük simított

spline-oknak.

4.3. Függvény alapú módszerek

Az el®z® részben az approximáló függvény alakja szakaszonként polinom volt. Ilyen

típusú függvényekkel azonban nehéz leírni az alapvet®en exponenciális lecsengés¶

d(t, τ) diszkontfüggvényt. Ezért Vasicek és Fong (1981) exponenciális spline-okat

használ a diszkontfüggvény közelítésére. Mivel a diszkontfüggvény logaritmizálásával

egy nem lineáris becslési problémához jutnánk, ezért a függvény argumentumának

transzformálását javasolták, azaz

τ = − 1

αlog (1− τ ′),

ahol α konstans. Végül az így kapott függvényt közelítették spline-okkal.

Vasicek és Fong (1981) módszere rámutatott, hogy az exponenciális függvények

használata célravezet® lehet. Továbbá ne szakaszonként, hanem az egész interval-

lumon közelítsünk (ez olyan, mintha két csomópont lenne, az intervallum kezd®-

és a végpontja). El®ször Bolder és Gusba (2002) alapján a Merrill Lynch (ML)

exponenciális spline módszert mutatom be.

A ML exponenciális spline modellben a diszkontfüggvény exponenciális függvé-

nyek lineáris kombinációjaként adódik, azaz

d(t, τ) =K∑j=1

wt,je−jατ ,

ahol α paraméter.

A 4.2 ábrán ábrázoltam az e−jατ bázisfüggvényeket α = 0, 1 és α = 0, 14 mellett.

Látható, hogy az α paraméter a lecsengés gyorsaságát határozza meg. Míg ennél a

rövid távra van hatással több bázisfüggvény, addig a 4.1 ábra alapján harmadfokú

spline módszer esetén a hosszú távra volt.


0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Idõ (év)

Ért

ék

k=1, α=0,1k=2, α=0,1k=3, α=0,1k=4, α=0,1k=1, α=0,14k=2, α=0,14k=3, α=0,14k=4, α=0,14

4.2. ábra. Bázisfüggvények a Merrill Lynch exponenciális spline modell esetén

Az ismeretlen paraméterek száma K + 1− 1 = K, ugyanis a wt,j súlyokat és α-t

is becsülni kell, de a τ = 0 pillanatban a diszkontfüggvény 1, azaz

d(t, 0) =K∑j=1

wt,j.

Utóbbi feltétel miatt az egyik súly kötött, így azt nem kell becsülni. A modell

egyik er®ssége, hogy az ebb®l kapott elméleti árak az ismeretlen paraméterek lineáris

függvénye lesz (Bolder és Gusba, 2002), ami egyszer¶síti a becslést.

A Taylor-3 és Fourier-sorfejtés4 két további bázist motiválnak (Bolder és Gusba,

2002). Az els® a 4.1 részben is szerepl® 1, τ, . . . , τN , így azt nem ismétlem meg. A

másik a

1, sin(naτ), cos

(naτ)

trigonometrikus függvényekkel adott, ahol n = 1, 2, . . . , K és a paraméter.

0 5 10 15

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Idõ (év)

Ért

ék

1sin(1/5*t)sin(2/5*t)sin(3/5*t)sin(4/5*t)cos(1/5*t)cos(2/5*t)cos(3/5*t)cos(4/5*t)

4.3. ábra. Bázisfüggvények a Fourier-sorfejtés alapján

3d(t, τ0) =∑∞j=0

d(t,τ)(j)(τ0)j! (τ − τ0)j

4d(t, τ) = a02 +

∑∞j=1

(aj cos(

2πjτp ) + aj sin(

2πjτp ))


Ha ábrázoljuk ezen bázisfüggvényeket N = 4 és a = 5 esetén, akkor a 4.3 ábrán

láthatjuk, hogy ezzel az egész intervallumon egyformán rugalmasan illeszthet® a

diszkontfüggvény. Bolder és Gusba (2002) empirikus tapasztalatai alapján az ezzel

a módszerrel kapott forward görbék jobban ingadoznak, mint az ML exponenciális

spline esetén, de stabil eredményeket ad.

4.4. A Nelson-Siegel modellcsalád

Az el®z® rész exponenciális függvényformájából kiindulva, a következ®kben a legel-

terjedtebb modellcsaláddal, a Nelson-Siegel típusú modellekkel foglalkozom.

4.4.1. A Nelson-Siegel modell

Nelson és Siegel felteszik, hogy a forwardgörbe egy másodrend¶ di�erenciálegyenlet

megoldása (Nelson és Siegel, 1987). Ha az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet

megoldásai valósak és megegyeznek, akkor a megoldás a következ® alakban írható

fel:

F (t, τ) = βt,1 + βt,2e−λtτ + βt,3λtτe

−λtτ . (4.5)

Két különböz® gyök esetére5 Nelson és Siegel azt tapasztalták, hogy ekkor a

modell túlparaméterezett, így az el®z® feltevésnél maradtak (Nelson és Siegel, 1987).

A forward görbe 4.5 egyenletéb®l a 2.1 táblázat alapján integrálással kaphatjuk

a hozamgörbét, azaz

R(t, τ) =1

τ − 0

∫ τ

0

(βt,1 + βt,2e

−λtu + βt,3λtue−λtu

)du =

= βt,1 + βt,21

τ

∫ τ

0

e−λtu du+ βt,31

τλt

∫ τ

0

ue−λtu du =

= βt,1 + βt,21

τ

[− e−λtu

λt

]τ0

+ βt,31

τλt

[− ue

−λtu

λt

]τ0

+ βt,31

τλt

∫ τ

0

e−λtu

λtdu =

= βt,1 + βt,2

(1− e−λtτ

λtτ

)− βt,3e−λtτ + βt,3

1

τ

[− e−λtu

λt

]τ0

.

Ebb®l már adódik a Nelson-Siegel modell hozamgörbére vonatkozó egyenletének

jól ismert alakja:

R(t, τ) = βt,1 + βt,2

(1− e−λtτ

λtτ

)+ βt,3

(1− e−λtτ

λtτ− e−λtτ

). (4.6)

Nelson és Siegel (Nelson és Siegel, 1987) a kövektez® faktorizációval írta fel az

egyenletet, azonban a két alak βt,· paraméterei egyszer¶en kifejezhet®k egymásból.

R(t, τ) = β′

t,1 + β′

t,2

(1− e−λtτ

λtτ

)− β ′t,3e−λtτ (4.7)

5F (t, τ) = βt,1 + βt,2e−τλt,1 + βt,3e

−τλt,2


A βt,· paraméterekre tekinthetünk úgy, mint faktorokra a hozzájuk tartozó fak-

torsúlyokkal. A λt paramétert nevezik exponenciális késleltetésnek, kis értékei lassú

lecsengést eredményeznek, így a görbe jobban illeszkedik a hosszú lejáratokon, míg

nagy értékek mellett a rövid távon. A λt paraméter határozza meg továbbá, hogy

mikor éri el a második faktor a maximumát. Az eddigi megállapításokat foglal-

ja össze a 4.4 ábra, ahol az egyes faktorsúlyokat ábrázoltam különböz® λt értékek

mellett.

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Idõ (év)

Fak

tors

úly

β1 súlya

β2 súlya, λ=0,7308

β2 súlya, λ=1,4616

β2 súlya, λ=2,1924

β3 súlya, λ=0,7308

β3 súlya, λ=1,4616

β3 súlya, λ=2,1924

4.4. ábra. A faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén

Ezen látható, hogy az els® faktor konstans 1 súlyú, így ez tekinthet® egy hosszú

távú faktornak. A második faktor 1−e−λtτλtτ

súlya is az 1-b®l indul, azonban ezután

exponenciális sebességgel, monoton tart a 0-hoz (minél nagyobb a λt, annál gyor-

sabban), tehát ez rövid távú faktor. A β3-hoz tartozó 1−e−λtτλtτ

−e−λtτ súly 0-ból indulés ugyanoda tér vissza, így se nem rövid, se nem hosszú távú faktor. λt értékét®l

függ®en éri el közben maximumát, ez alapján ez a faktor középtávon hat. A 4.4

ábra alapján annál hamarabb veszi fel maximumát, minél nagyobb a λt.

Egyrészt βt,1 egyformán változtatja az összes lejáratú hozamot, másrészt

R(t,∞) = limτ→∞

R(t, τ) = βt,1,

így βt,1 azonosítható a hozamgörbe szintjével. A görbe meredekségének de�níciójára

természetes gondolat egy hosszú és egy rövid távú hozam különbsége (Diebold és

Li, 2006). Elméletileg ez az R(t,∞)−R(t, 0) mennyiséget jelenti. Erre a L'Hospital

szabály felhasználásával

limτ→∞

R(t, τ)−limτ→0

R(t, τ) = βt,1−βt,1−βt,2 limτ→0

(1− e−λtτ

λtτ

)−βt,3 lim

τ→0

(1− e−λtτ

λtτ

)−

− βt,3 limτ→0

(− e−λtτ

)= −βt,2 lim

τ→0

(λe−λtτ

λ

)+ βt,3 lim

τ→0

(λe−λtτ

λ

)− βt,3 = −βt,2.


Tehát látható, hogy a meredekség szorosan kapcsolódik a második faktorhoz és

annak súlyfüggvénye alapján az is elmondható, hogy a faktor növekedése jobban

növeli a rövid oldali kamatokat, mint a hosszúakét. Az el®z® számolás alapján

látható továbbá, hogy az R(t, 0) pillanatnyi kamat a szintt®l és a meredekeségt®l is

függ, ugyanis

R(t, 0) = βt,1 + βt,2.

A piacon értelemszer¶en nem lehet a végtelen és pillanatnyi lejáratra hozamokat

meg�gyelni, ezért Diebold és Li (2006) a meredekséget a tizenkét éves és a három

hónapos hozam különbségeként de�niálja, azaz R(t, 12) − R(t, 0, 25). A harmadik

faktor azonosítható a hozamgörbe görbületével, ugyanis középtávú faktorként ez

felel®s a hozamgörbe púpos alakjáért. Ez a 2R(t, 2)− R(t, 0, 25)− R(t, 12) különb-

ségként de�niálható (Diebold és Li, 2006).

Eddig az id® szerinti határátmeneteket említettem, fontos azonban megvizsgálni

a késleltetési paraméter extrém értékeit is, ugyanis ez a paraméter adja a modell

nemlineáris természetét. A λt széls®séges értékei esetén multikollinearitás lép fel,

ami azt eredményezheti, hogy egyes faktorok nem azonosíthatók. Mivel

limλt→∞

(1− e−λtτ

λtτ

)= 0 és lim

λt→∞

(1− e−λtτ

λtτ− e−λtτ

)= 0,

így az exponenciális késleltetés túl nagy értékei esetén a meredekség és görbület

faktorok nem értelmezhet®k, ami extrém becsléseket eredményez (De Pooter, 2007).

Túl kicsi λt paraméter esetén a korábbihoz hasonló számítás alapján (a súlyfüggvé-

nyek szimmetrikusak τ -ra és λt-ra)

limλt→0

(1− e−λtτ

λtτ

)= 1 és lim

λt→0

(1− e−λtτ

λtτ− e−λtτ

)= 0,

azaz ekkor a görbület nem azonosítható, míg a szint és meredekség is csupán együt-

tesen, egyedileg nem. Egy adott napra vonatkozó hozamgörbeillesztés esetén nem

jelent problémát, ha nem azonosíthatók a faktorok, a modell ugyanúgy helyes becs-

lést ad. Ha azonban több napra is elvégezzük a becslést, és így lényeges a faktorok

dinamikája, akkor a λt miatti széls®séges faktorbecslések torzíthatják az eredménye-

ket (De Pooter, 2007).

A nemzetközi szakirodalomban többek között Litterman és Scheinkman (1991)

megmutatták, hogy a hozamok varianciájának nagy része magyarázható viszonylag

kis számú faktor segítségével, tipikusan az els® három f®komponenssel. A harmadik

f®komponens magyarázó hatása már jóval kisebb az els® kett®nél, így egyszer¶síthet®

az eddig felvázolt modell, ha csak az els® két faktort, a szintet és a meredekséget

tekintjük. Ez a két faktor azonban lehetséges, hogy nem elegend® a kell®en pontos


el®rejelzéshez, vagy pedig a teljes hozamgörbe pontos illesztéséhez (Diebold, Piazessi

és Rudebusch, 2005).

0 5 10 15

0

1

2

3

4

5

Idõ (év)

Hoz

am (

száz

alék

pont

)

β3=−6

β3=−3

β3=0

β3=3

β3=6

β3=9

β3=12

4.5. ábra. A Nelson-Siegel modellel kapható különböz® hozamgörbe alakok

A három faktoros modellel amellett, hogy könnyen kezelhet® és értelmezhet®

(a szint, meredekség és görbület azonosítás miatt), sokféle hozamgörbe alakot is el®

tudunk állítani. Ezt látjuk a 4.5 ábrán is, ahol feltettem, hogy βt,1 = βt,2 = λt = 1, és

βt,3 különböz® értékei mellett ábrázoltam a hozamgörbét6. Az eltér® alakok mellett

meg�gyelhet®, ahogy mindegyik görbe tart a βt,1-hez, illetve hogy az egyez® λt miatt

mindegyik görbének ugyanott van lokális széls®értéke. Fontos megjegyezni, hogy az

ábra alapján is szükséges megkötésekkel élnünk a paraméterekre és a faktorokra

vonatkozólag, hogy elkerüljük a negatív hozamokat.

4.4.2. A Nelson-Siegel modell kiterjesztései

A még rugalmasabb illesztéshez azonban több faktorra is szükség lehet. Els® lehe-

t®ség egy újabb rövid távon ható komponens használata, így De Pooter összefoglaló

írásában (De Pooter, 2007) a négyfaktoros Björk és Christensen modellt említi els®-

ként (Björk és Christensen, 1999). Ebben a forwardgörbe az

F (t, τ) = βt,1 + βt,2e−λtτ + βt,3λtτe

−λtτ + βt,4e−2λtτ

egyenlettel írható le, amib®l a hozamgörbe

R(t, τ) = βt,1 + βt,2

(1− e−λtτ

λtτ

)+ βt,3

(1− e−λtτ

λtτ− e−λtτ

)+ βt,4

(1− e−2λtτ

2λtτ

).

A negyedik faktor súlya hasonló a másodikéhoz, a különbség csupán annyi, hogy

gyorsabban tart a nullához. Így ez tekinthet® egy második meredekség faktornak, a

6R(t, τ) = 1 +(1−e−ττ

)+ a(1−e−ττ − e−τ

)


modell a hozamgörbe meredekségét βt,2 és βt,4 súlyozott összegén keresztül ragadja

meg (De Pooter, 2007). Változik a pillanatnyi kamat is, azaz

R(t, 0) = βt,1 + βt,2 + βt,4.

Másik lehet®ség, hogy nem követeljük meg, hogy a késleltetési paraméter meg-

egyezzen a meredekség és a görbület esetén7. Az így kapott három faktoros Bliss

modell (Bliss, 1996), amit a szerz® b®vített Nelson-Siegel modellnek nevezett el, az

F (t, τ) = βt,1 + βt,2e−τλt,1 + βt,3τλt,2e

−τλt,2

forwardgörbéb®l indul ki. A korábbiak szerint ennek második változó szerinti integ-

rálásával adódik az

R(t, τ) = βt,1 + βt,2

(1− e−τλt,1τλt,1

)+ βt,3


− e−τλt,2)

hozamgörbe. Természetesen λt,1 = λt,2 esetén visszakapjuk az eredeti Nelson-Siegel

modellt. Ebben az esetben 5 paramétert kell megbecsülni nemlineáris, korlátos

optimalizálással. Bliss (Bliss, 1996) célfüggvényként az átlagid®vel súlyozott négy-

zetes hibaösszeget választotta, míg a korlátok a következ®k, ha a meg�gyelések a

{τ1, τ2, . . . , τN} lejáratokra esnek:

� 0 ≤ R(t, τ1), azaz lényegében 0 ≤ βt,1 + βt,2,

� 0 ≤ R(t, τN), azaz lényegében 0 ≤ βt,1,

� e−R(t,τi)τi ≥ e−R(t,τi+1)τi+1 , i ∈ {1, . . . , N − 1} .

Látható, hogy ezek azért szükségesek, hogy a diszkontfüggvény a rövid és hosszú

oldalon pozitív legyen, míg a harmadik korlát biztosítja a monoton csökkenést, azaz,

hogy ne legyenek negatív forward hozamok.

Svensson (1994) nem újabb meredekség, hanem új görbület faktort épített be a

modelljébe. Eszerint a forward görbe egyenlete az


−τλt,1 + βt,4τλt,2e−τλt,2

alakra módosul (λt,2 > 0), melyb®l a hozamgörbe

R(t, τ) =

= βt,1+βt,2


)+βt,3


−e−τλt,1)

+βt,4


−e−τλt,2).

7Hasonlóról már volt szó a szakasz elején, amikor a di�erenciálegyenletnek különböz® gyökei

voltak.


Svensson a modellt bemutató tanulmányában (Svensson, 1994) a hozamgörbe

alapján adott diszkontfüggvény kiszámításhoz a hibák (számított kötvényárfolyam

vagy lejáratig számított hozamok eltérése) négyzetösszegét minimalizálta. Azt ta-

pasztalta, hogy az árfolyamhibák minimalizálásakor a rövid oldalon a kötvények ho-

zamai jelent®s eltérést mutatnak, ezt azzal magyarázta, hogy az árfolyamok kevésbé

érzékenyek közeli lejáratok esetén a hozamokra. A becsléseket a kés®bb említend®

maximum likelihood módszerrel végezte és azt az eredményt kapta, hogy az általa

vizsgált, 1992 és 1994 közti svéd adatokra a hozameltérések minimalizálásra jobb

eredményre vezet. A több faktor használata néhány esetben pontosabb eredményre

vezetett, mint az eredeti Nelson-Siegel modell (Svensson, 1994).

De Pooter (2007) két problémáját is említi a Svensson-modellnek. Egyrészt a két

nem lineáris λt,· paraméter miatt a modell még nehezebben becsülhet®, másrészt a

paraméterek között felléphet multikollinearitás. Ez akkor jelentkezik, amikor λt,1 és

λt,2 becslésére közel azonos érték adódik, és ezáltal a modell a három faktoros alap-

modellre redukálódik. A görbületi faktor ekkor a βt,3 és βt,4 összege, ami együttesen

hatékonyan becsülhet®, egyedileg azonban nem. Erre megoldást jelent a De Poo-

ter által javasolt módosított Svensson-modell, melyben biztosítja, hogy λt,1 ≈ λt,2

esetén a középtávú faktorok eltérjenek. A forward görbe egyenlete a módosított

Svensson modell esetén a következ® (De Pooter, 2007).


−τλt,1 + βt,4

(e−τλt,2 +

(2τλt,2 − 1

)e−2τλt,2

).

Látható, hogy ezzel a második görbületi faktor súlya gyorsabban emelkedik, majd

cseng le a nullához, mint az els® görbületi faktoré. Az el®z® egyenletb®l a hozam-

görbe egyenletére a következ®t kaphatjuk.

R(t, τ) =

= βt,1+βt,2


)+βt,3


−e−τλt,1)

+βt,4


−e−2τλt,2).

Hurn, Lindsay és Pavlov (2005) általánosította a faktorsúlyokon keresztül a há-

rom faktoros Nelson-Siegel modellt. A K faktoros forward görbét (illetve a hozam-

görbét is) az

F (t, τ) = βt,1 + e−τλtK−2∑k=0

βt,k+2Lk(τλt)

alakban írták fel, ahol Lk(τλt) a k-ad fokú Laguerre-polinom. Utóbbi a Rodrigues

formula alapján számítható (Hurn, Lindsay és Pavlov, 2005) az

Lk(x) =ex

k!

dk

dxk(xke−x

)


képlettel. Egyszer¶ számítással adódik, hogy L0(τλt) = 1 és L1(τλt) = 1− τλt. Eztbehelyettesítve a forward görbe egyenletébe

F (t, τ) = βt,1 + e−τλt(βt,2 + βt,3(1− τλt)

)= βt,1 + (βt,2 + βt,3)e

−λtτ + βt,3λtτe−λtτ ,

ami formailag megegyezik a Nelson-Siegel modellel. Hurn, Lindsay és Pavlov (2005)

a brit kötvényadatokon végeztek empirikus vizsgálatot. Azt tapasztalták, hogy az

újabb faktorokkal csökken® mértékben, de javul az illeszkedés és az eredmények ke-

vésbé érzékenyek az exponenciális késleltetésre, azonban négynél több faktor esetén

λt magasabb hatványai is megjelennek.

A hozamok faktorokkal történ® felírása lehet®séget biztosít a 2.4 részben de�-

niált Fischer-Weil féle átlagid® általánosítsására (Diebold, Ji és Li, 2006a), mely a

kockázatkezelésben játszik fontos szerepet . Ha Bt,·(τ)-val jelöljük a faktorsúlyokat,

akkor három faktoros modell esetén az i. kötvényárfolyam százalékos változására

−∂Pi(τ, R(t, ·)

)Pi(τ, R(t, ·)

) =

ni∑j=1

τjci,je

−R(t,τi)τj

Pi(τ, R(t, ·)

)∂R(t, ·) =

=3∑

k=1

ni∑j=1

τjci,je

−R(t,τj)τi

Pi(τ, R(t, ·)

)Bt,k(τj)∂βt,k =3∑

k=1

ni∑j=1

τjwjBt,k(τj)∂βt,k.

Ezzel az árfolyamváltozást felbontottuk kockázati tényez®k szerint, így az egyes

tényez®kre való érzékenység

Dj :=

ni∑j=1

τjwjBt,k(τi).

Speciálisan az alap Nelson-Siegel modell esetére

(D1, D2, D3) =

(ni∑j=1

τjwj,

ni∑j=1

wj1− e−λtτj

λt,

ni∑j=1

wj

(1− e−λtτj

λt− τie−λtτj

)).

D1 az eredeti Fischer-Weil átlagid®t adja (vízszintes hozamgörbe esetén Macaulay),

D1, D2, D3 azonos irányba változnak, mivel mindegyik növekv® τ szerint. Továb-

bá mindhárom tényez® csökken® a szelvényhozam és a lejáratig számított hozam

függvényében (Diebold, Ji és Li, 2006a).

Az összes eddigi modell hasonlóan épült fel, azaz faktorok lineáris kombinációja,

ahol a faktorok id®ben változó folyamatok. Az ilyen modellek leírására alkalmasak

az állapottér modellek. A Nelson-Siegel típusú modellek állapottér reprezentációja

során De Pooter tanulmányára támaszkodom (De Pooter, 2007), de a szakiroda-

lom többsége foglalkozik ezzel. Legyen N különböz® lejárat, ekkor a K faktoros

állapottér modell meg�gyelési egyenlete a következ®képpen írható fel.R(t, τ1)

...

R(t, τN)

=

Xt,1,1 · · · Xt,1,K

... . . . ...

Xt,N,1 · · · Xt,N,K

βt,1...

βt,K

+

εt,1...

εt,N

,


Rt = Xtβt + εt. (4.8)

Az el®z® egyenletben Xt,i,j jelöli a j. faktorhoz tartozó súlyt a τi lejárat esetén a

t id®pontban. A βt vektor minden id®pillanatban leírja a rendszer állapotát, így a

βt,· faktorokat nevezzük állapotváltozóknak. Látható, hogy a meg�gyelési egyenlettel

illesztjük a hozamgörbét, feltevés szerint a különböz® lejáratokhoz tartozó hibatagok

függetlenek, és szórásuk egy id®ben állandó, a lejárattól függ® σ2(τi) konstans. Az

el®rejelzéshez azonban szükséges meghatároznunk a faktorok dinamikáját is. Ezt

a fejl®dést Diebold és Li (2006) 1 késleltetés¶ AR(1) autoregresszív, vagy VAR(1)

vektorautoregresszív folyamattal modellezi.βt,1...

βt,K

=

µt,1...

µt,K

+

Φt,1,1 · · · Φt,1,K

... . . . ...

Φt,K,1 · · · Φt,K,K

βt−1,1...

βt−1,K

+

νt,1...

νt,K

,

Rt = µt + Φtβt + νt. (4.9)

Ha a Φt mátrix diagonális, akkor K darab különálló AR(1) folyamatot kapunk,

ahol az egyes faktorok nem hatnak egymásra. Szükséges még feltételezéssel élni a

mérési és állapot egyenlet hibatagjaira vonatkozóan. Ezekre De Pooter (2007) azt

teszi fel, hogy (εt

νt

)∼ N

[(0N×1

0K×1

),

(H 0N×N

0K×K Q

)], (4.10)

tehát a meg�gyelési és állapot egyenlet hibavektorai normális eloszlásúak és or-

togonálisak (korrelálatlanok). Az el®z® egyenletben szerepl® H kovaraiancia mátrix

diagonális, mivel feltettük, hogy a különböz® lejáratokhoz tartozó hozamok hibája

független egymástól. A Q mátrix a becslési módszert®l függ®en lehet diagonális

vagy teljes mátrix egyaránt. A következ® részben f®képp az állapottér modellek

becslésér®l lesz szó.

4.5. A paraméterek becslése

A korábban bemutatott spline alapú módszerek többek között becsülhet®k általáno-

sított (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerével (Bolder és Gusba, 2002). Habár

ebben a részben a Nelson-Siegel típusú hozamgörbék becslésével foglalkozom, de a

lenti megállapítások ugyanúgy igazak a spline alapú módszerekre is.

Az állapottér modellek becslésére több megközelítés is létezik (De Pooter, 2007).

Egyrészt a becslés történhet két lépésben, az els®ben a meg�gyelési egyenletet kü-

lönállóan kezeljük, és minden id®pontra megbecsüljük a paramétereket legkisebb


négyzetek módszerével (keresztmetszeti vizsgálat). A második lépésben az így ka-

pott faktorok id®sorára illesztünk általában autoregresszív folyamatot az állapot

egyenlet alapján (id®soros vizsgálat). A másik szemléletmód esetén egy lépésben,

párhuzamosan történik az állapottér modell paramétereinek becslése.

Kétfaktoros Nelson-Siegel βt,1, βt,2, λt,1

Három faktoros Nelson-Siegel βt,1, βt,2, βt,3, λt,1

Björk és Christensen βt,1, βt,2, βt,3, βt,4, λt,1

Bliss βt,1, βt,2, βt,3, λt,1, λt,1

Svensson βt,1, βt,2, βt,3, βt,4, λt,1, λt,2

Módosított Svensson βt,1, βt,2, βt,3, βt,4, λt,1, λt,2

4.2. táblázat. A Nelson-Siegel típusú modellek becsülend® paraméterei

A két lépéses módszer els® lépésében becsülend® paramétereket foglalja össze

a 4.2 táblázat. A három faktoros Nelson-Siegel módszer esetén, ha a három fak-

tort és az exponenciális késleltetés paramétert is becsüljük, akkor az egy nemline-

áris (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerét igényl® probléma. Az exponenciális

késleltetés becslése esetén továbbá a korábban említett multikollinaritás miatt szük-

séges korlátokat állítani (De Pooter, 2007). Diebold és Li (2006) az egyszer¶ség és

a numerikus megbízhatóság miatt, ami tökéletesen látszik az 5.14 és az 5.16 elté-

réséb®l, felteszi, hogy λt értéke el®re adott konstans. Rögzített λt esetén ugyanis

a becslés (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerére redukálódik, ugyanis ekkor a

meg�gyelési egyenlet az állapotvektorban lineáris. Ennek hátránya, hogy ekkor ezt

a paramétert megfelel®en kell megválasztanunk.

Az egy lépéses becslés esetén Kálmán-sz¶r®vel határozhatjuk meg az Rt+1|Rt

feltételes átmenet-s¶r¶ségfüggvényének logaritmusát, amit aztán maximum likeli-

hood (ML) módszerrel maximalizálhatunk. A Kálmán-sz¶r® a priori becslést ad

a meg�gyelési egyenlet alapján az állapotváltozókból kiindulva, majd a meg�gyelt

hozamok alapján a posteriori frissíti az állapot egyenletre vonatkozó becslését és

el®rejelzi az állapotváltozókat. Ezen lépéseket iterálva végül meghatározható a log-

likehood függvény. Err®l részletesen Bolder (2001) tanulmányában lehet olvasni.

Az ML becsléssel kapcsolatosan Kopányi (2009) megemlíti továbbá a kvázi-ML és a

szimulált ML-becsléseket is, illetve bemutat momentum becslési technikákat is (álta-

lánosított momentumok és hatékony momentumok módszerei), ezeket azonban nem

fejtem ki részletesen. A következ® fejezetben két program (Excel, R) segítségével

vizsgálom a hozamgörbe illesztését magyar állampapírpiaci meg�gyelésekre.

5. fejezet

Empirikus vizsgálat

Az adatok min®sége miatt Diebold és Li (2006) nem használ opcióval rendelkez®,

változó kamatozású vagy éven belül lejáró kötvényeket, illetve egy hónapon belüli

kincstárjegyeket. Bolder és Gusba (Bolder és Gusba, 2002) továbbá szintén a likvidi-

tás miatt korlátokat állít a fennálló mennyiségre, illetve adózási szempontból a piaci-

és a kuponráta túlzott eltérésére. El®ször 2014.03.31-ére vonatkozóan végeztem el a

hozamgörbe illesztését harmadfokú spline és Nelson-Siegel típusú módszerek esetén

a magyar adatok alapján.

Egy adott nap legjobb vételi és eladási árfolyamai az ÁKK honlapjáról1 tölthe-

t®k le. Ez alapján a vizsgált napra 23 állampapír adata állt rendelkezésre. Ebb®l

négy volt a három hónapos diszkont kincstárjegy hozamaihoz kötött változó kama-

tozású papír (2015/B, 2018/N, 2019/B és 2020/N), ezeket az adatokat kisz¶rtem.

Két kötvény volt éven belüli lejáratú (2014/D, 2015/A), az adatok kevés száma mi-

att ezeket viszont benthagytam az elemzésben, annak ellenére, hogy ezen kötvények

esetén jóval nagyobb a bid-ask spread (20, illetve 30 bázispont), mint a diszkont

kincstárjegyek esetén (10 és 15 bázispont közöttiek). Így összesen 6 zérókuponnak

tekinthet® adat (a két éven belüli kötvény mellett a D140606, D141015, D150121), il-

letve 4 három éven belüli (2015/C, 2016/C, 2016/D, 2017/B), 3 öt év belüli (2017/A,

2018/B, 2018/A), 4 tíz éven belüli (2019/A, 2020/A, 2022/A, 2023/A) és 2 tizenöt

éven belüli (2025/A, 2028A) meg�gyelés állt rendelkezésre. Ezt a statikus vizsgála-

tot Excellel végeztem.1http://akk.hu/bestpdfull.ivy?public.cat-sys-B8869B77-407E-4608-A3F7-6A132CF162B3-

�ltergroup=user3, Letöltve: 2013.04.21.

38

5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT 39

5.1. Statikus vizsgálat

El®ször a Makara Tamás által a Budapesti Corvinus Egytemen, az Empirikus pénz-

ügyek nev¶ tárgy keretében tartott el®adásán elhangzott módszertan alapján végez-

tem az illesztést. A spline módszerek során e�ektív hozamokkal számoltam az ÁKK

módszertanához igazodva. A diszkontáláshoz �gyelembe vettem, hogy a teljesítés

értéknapja 2014.04.02., így 2 nappal kevesebbel kell számolni. A valóságtól eltér®-

en a kamatkonvencióra feltettem, hogy ACT/365 ezzel egyszer¶sítve a vizsgálatot.

Végül az egyes papírok módosított Macaulay-féle átlagidejének kiszámításhoz, és az

árfolyamok becsléséhez elkészítettem a 2.2 képletben is szerepl® cash-�ow mátrixot,

ennek tulajodnságair®l ott már esett szó.

5.1.1. Spline alapú modellek

A spline illesztést 12 különböz® hibafüggvénnyel végeztem el, ezeket foglalja össze

az 5.1 táblázat. Ebben félkövérrel szerepelnek, ahol négyzetes eltéréseket számítot-

tam. A hiba a becsült és valós árfolyam tényleges eltérése (Alap sor), vagy a 3.3-ban

de�niált mennyiség (Bid-ask sor) volt. A Benchmark sor arra utal, hogy azok eseté-

ben a cél a benchmark állampapírok (D140806, D141015, D150121, 2018/B, 2019/A,

2025/B és 2028/A) minél jobb közelítése volt. Itt érdemes megjegyezni, hogy például

a három éves benchmark kötvény lejárata több, mint négy év. A súlyozást tekint-

ve három eset volt: a súlyozatlan, a bid-ask spreaddel és a módosított átlagid®vel

súlyozott hibatagok.

Súlyozatlan Bid-ask spread Módosított átlagid®

Alap Spline 1 és Spline 2 Spline 3 Spline 4

Bid-ask Spline 5 és Spline 6 Spline 7 Spline 8

Benchmark Spline 9 és Spline 10 Spline 11 Spline 12

5.1. táblázat. A vizsgált hibafüggvények

Ahogy említettem, az adatok sz¶rése után 19 meg�gyelés állt rendelkezésre, így 4

csomópontot határoztam meg úgy, hogy mindegyik intervallumba közel azonos szá-

mú állampapír essen. Csomópontoknak a {0; 0, 8658; 4, 7205; 14, 5671} adódtak, azígy kialakuló három intervallumba pedig 6, 7, illetve 6 meg�gyelés esett. Az illesz-

tés során olyan diszkontfüggvény kerestem, ami minimalizálja a korábban említett

hibafüggvényeit az árfolyamok eltérésének (a benchmark esetben csak a benchmark

kötvényekét). Az optimalizálást a beépített Solver-rel végeztem, a 4.3 bázisfügg-

vények súlyaival, mint módosuló cellákkal, és amellett a korlátozó feltétel mellett,


hogy a 0 id®pillanatban a diszkontfüggvény értéke 1 legyen. A kiinduló, kezd® sú-

lyok a {0, 0, 0, 0, 0, 1} voltak, ugyanis ekkor minden diszkontfaktor 1. Az így kapott

eredményekb®l határoztam meg a hozamgörbét, melyet az 5.1 ábra mutat be.

0 2 4 6 8 10 12 14

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

Lejárat (év)

Effe

ktív

hoz

am (

száz

alék

pont

)

Spline 1Spline 9Spline 10Spline 11Spline 12ÁKK

D141126

5.1. ábra. A kapott hozamgörbe a vizsgált hibafüggvények mellett

Ezen tizenkét módszerrel kapott hozamgörbe látható az egyes kötvények lejáratig

számított hozama mellett. Meg�gyelhet®, hogy a benchmark módszerek esetén a

kilógó D141126 mennyire elhúzza a hozamgörbét, ami után csak 4 év körül térnek

vissza a többi módszer általi görbékhez. Látványos a súlyozatlan, négyzetes hibák

esetén kialakuló görbe rossz illeszkedése, illetve hogy az általam kapott hozamok

középtávon az ÁKK honlapján közzétett2 zérókupon hozamok alatt vannak.

Elsõ Második Harmadik Negyedik Ötödik−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Bázisfüggvény

Súl

y

Spline 1Spline 9Spline 10Spline 11Spline 12

5.2. ábra. A bázisfüggvények súlyai spline illesztés esetén

A hozamgörbe eltérések okára mutat rá az 5.2 ábra. Ezen az els® öt bázisfügg-

vényhez tartozó súlyokat láthatjuk a különböz® módszerek esetén. Azért csupán az2http://akk.hu/zerokupon.ivy?public.cat-sys-B23DDCB1-22B0-40E0-A088-991F3409C08E-

�ltergroup=user3


els® ötét, mivel a diszkontfüggvényre vonatkozó egyenl®ségi feltétel miatt a hatodik

bázisfüggvény súlya minden esetben 1. A súlyok els®sorban a rövid lejáraton is ható

bázisfüggvények esetén térnek el, ezek az els®, a negyedik és az ötödik. Látható,

hogy a benchmark módszerek esetén (Spline 9, 10, 11, 12) ellentétes el®jel¶ súly ke-

rül az els® bázisfüggvényre a D141126 miatt. Ennek a kilengésnek a kompenzálása

az egész intervallumra ható t és t2 bázisfüggvények súlyain keresztül történik. A

súlyozatlan, négyzetes hibák minimalizálása esetén kapott súlyok is jelent®s eltérést

mutatnak a többi esethez képest.

0 50 100 150 200−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Futtatás

Súl

yok

ElsõMásodikHarmadikNegyedikÖtödikHiba

5.3. ábra. A bázisfüggvények súlyainak kezd®pont függése

A Solver a nemlineáris programozási feladatok esetén általánosított redukált gra-

diens módszert alkalmaz. Mint minden optimalizálási algoritmus esetén, itt is meg

kell vizsgálni a kiindulási súlyoktól való függést. Ehhez létrehoztam 243 kiindulási

állapotot, ahol az els® öt bázisfüggvény súlya 0; 0,5 vagy 1 lehet és a {0, 0, 0, 0, 0, 1}-tól haladtam az {1, 1, 1, 1, 1, 1} felé. A négyzetes, módosított átlagid® súlyozású

hibafüggvény minimalizálásával kapott bázisfüggvény súlyokat kapjuk az 5.3 ábrán.

Ezen látható, hogy a súlyok az els® bázisfüggvényét leszámítva stabilak. Az els®

esetén pedig az ingadozás az els® intervallumba es® meg�gyelések volatilitása miatt

tapasztalható.

Els® Második Harmadik Negyedik Ötödik

Spline 1 16,10 1,56 0,88 4,75 7,50

Spline 4 3,17 0,53 0,43 0,76 1,41

5.2. táblázat. A bázisfüggvény súlyok szórása (·10−3)

Az 5.2 táblázat alapján a Spline 1 módszer (alap, súlyozatlan, négyzetes hibák)

esetén a bázisfüggvény súlyok jóval nagyobb ingadozást mutatnak, mint a Spline 4

(alap, módosított átlagid®vel súlyozott, négyzetes). Az 5.3 táblázat alapján azonban


nem azért tér el jelent®sen a hozamgörbe, mert rossz volt a kezd®pont megválasz-

tása és egy lokális optimumot találtunk csupán. Ebben az egyes módszerek esetén

láthatjuk a középárfolyamt®l vett távolságok négyzetösszegét. Ez alapján, ha a hi-

bát a becsült és meg�gyelt középárfolyam eltéréseként de�niáljuk, akkor a súlyozott

megoldások jobb eredményt adnak, mint a súlyozatlanok. Meg�gyelhet®, hogy ha

a hibát a bid-ask sávtól való eltérésnek vesszük, akkor az azt eredményezi, hogy

az optimális megoldás esetén a számított árfolyamok jobban eltérnek a középárfo-

lyamtól, mint az el®z® esetben. Itt a súlyozatlan, abszolút hibák esetén lényegesen

jobb eredményt kapunk. Abban az esetben a legmagasabb az eltérések összege, ha

a benchmark kötvényekre fókuszálunk. Ez annak a következménye, hogy a bench-

mark papírok hibáinak csökkentése mellett nem �gyelünk a többi kötvény esetleges

félreárazására.

Spline 1 0,2729 Spline 5 0,3005 Spline 9 0,3562




5.3. táblázat. A becsült árfolyamok eltérése (RMSE) a valós meg�gyelésekt®l

Az eltérések négyzetösszege helyett szemléletesebb a

Pi(t, r)− Pi(t, r)Pi(t, r)

relatív hibák ábrázolása az egyes kötvények esetén. Ezért az 5.4 ábra a módosí-

tott átlagid®vel súlyozott négyzetes hibák minimalizálásaikor kapott relatív hibákat

szemlélteti (Spline 4, 8, 12) a vizsgált állampapírok esetén, a piros pontok a vételi

és eladási árfolyamok relatív eltérését mutatják a középárfolyamtól.

Ezzel már látható, hogy mely kötvények adják az eltérés nagy részét. Látható,

hogy a benchmark módszer a nem benchmark papírok esetén a vételi árfolyamnál is

alacsonyabb árfolyamokat határoz meg, így a korábbiakat is �gyelembe véve elmond-

ható, hogy nem célszer¶ a minimalizálást a benchmark kötvényekre végezni csupán.

Célravezet®bb lehet a korábban említett módszer, miszerint a benchmark kötvények

súlyait egy adott K konstanssal szorozzuk, azonban akkor szükséges megtalálni a

helyes átváltást a benchmark és nem benchmark kötvények hibái között.

A másik két esetben (zöld és kék oszlopok) láthatjuk, hogy a hibák el®jele két

papírt leszámítva (2019/A, 2028/A) megegyezik, így arra lehet következtetni, hogy

az árfolyamok számításánál nem vettünk �gyelembe valamilyen faktort (persze az-

zal, hogy csak máshogy de�niáljuk a hibákat, még nem változtatunk lényegesen a


2014/A 2015/A 2015/C 2016/C 2016/D 2018/B 2017/A 2018/B 2018/A 2019/A 2020/A 2022/A 2023/A 2025/B 2028/A D140806 D141015 D141126 D150121−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Állampapír

Rel

atív

hib

a (s

záza

lékp

ont)

Becsült árfolyam (alap)Becsült árfolyam (bid−ask)Becsült árfolyam (benchmark)

5.4. ábra. A spline közelítés relatív hibája három hibafüggvény esetén

módszertanon). Meg�gyelhet® továbbá, hogy a hosszú lejáratú kötvények (f®leg a

2022/A) esetén jelent®s a relatív hiba, azok esetleges kihagyásával javítnai lehetne

a becslést. A meg�gyelések, f®leg a hosszú lejáratúaké, kis száma miatt ez azonban

nem javasolt.

Spline 1 Spline 2 Spline 3 Spline 4 Spline 5 Spline 6 Spline 7 Spline 8 Spline 9 Spline 10 Spline 11 Spline 12−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1A spline közelítés relatív hibája különbözõ értékpapírok esetén

Módszer

Rel

atív

hib

a (s

záza

lékp

ont)

2016/C2018/B2022/AD141126

5.5. ábra. A spline közelítés relatív hibája különböz® értékpapírok esetén

További következtetések tehet®k, ha néhány kiemelt állampapír esetén ábrázol-

juk a relatív hibát az optimalizáláshoz használt hibafüggvényenként, ahogy az 5.5

ábrán is látható. A választásnál �gyelembe vettem, hogy szerepeljen az a papír,

ami elhúzza a hozamgörbét (D141126) és a legnagyobb relatív hibával rendelkez®

(2022/A) is. Látható, hogy az els® módszer, ahogy a rövid távon eltér® hozam-

görbe alapján várható is, félreárazza a majdnem féléves lejáratú diszkontpapírt. A

korábbiak alapján pedig az sem meglepetés, hogy a nem benchmark kötvényeket a

többihez vizsonyítva is mennyire félreárazza az utolsó négy módszer. A legfontosabb


azonban, hogy lényegében az összes módszer azonos el®jel¶ relatív hibát eredményez.

Eddig csak a harmadfokú spline-okat vizsgáltam (Harmadfokú spline 1), így el-

végeztem a görbeillesztést további módszerekkel is (a hibát a módosított átlagid®vel

súlyoztam). Ilyen volt például, amikor a csomópontokat is változóknak tekintet-

tem (Harmadfokú spline 2). Az így kapott, optimális csomópontokat tartalmazza

az 5.4 táblázat. Látható, hogy a csomópontok változtatásával már nem oszlanak

el egyenletesen a meg�gyelések az intervallumok között, az els®be kevesebb, míg a

másodikba több kerül.

Harmadfokú spline 1 0 0,8658 4,7205 14,5671

Harmadfokú spline 2 0,1077 0,60594 5,2237 14,5374

5.4. táblázat. Csomópontok harmadfokú spline becslés esetén

További két módszert is elemeztem, a ML exponenciális spline-t (3 bázisfügg-

vény) és ennek a trigonometrikus változatát (7 bázisfüggvény). A négy megközelítés

által kapott hozamgörbét szemlélteti az 5.6 ábra. Ezen látható, hogy a két harmad-

fokú spline-nal kapott görbék a rövid távot leszámítva közel megegyeznek (az eltérés

a csomópontoknak köszönhet®), míg az exponenciális spline modellel adódó hozam-

görbe alakja eltér a többi módszerét®l. A hibák alapján (0,0533;0,055;0,1237;0,0490)

elmondható, hogy a gra�kus vizsgálattal összhangban az ML exponenciális spline

modell teljesít a legrosszabbul 2014.03.31-ére vonatkozóan (több bázisfüggvény ese-

tén még rosszabb volt az illeszkedes).

0 2 4 6 8 10 12 14

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

Lejárat (év)

Effe

ktív

hoz

am (

száz

alék

pont

)

Harmadfokú spline 1Harmadfokú spline 2ML exponenciális splineMLES−FourierÁKK

5.6. ábra. Hozamgörbék spline módszerek esetén


5.1.2. Nelson-Siegel alapú modellek

A szükséges faktorok számának meghatározására f®komponens elemzést végeztem a

nyilvános magyar zérókupon adatokon3 a 2002.01.01. és 2014.02.28. közti id®szakra.

A f®komponens elemzéssel egymással korrelált változókból állítunk el® korrelálatla-

nokat (Kovács, 2011). Az SPSS statisztikai programmal kapott komponens mátrix

eredményeit láthatjuk az 5.7 ábrán, ami azt mutatja meg, hogy az egyes hozamok

mennyire korrelálnak a kapott f®komponensekkel. Látható, hogy minden hozam

er®sen, ugyanolyan mértékben korrelál az els® f®komponenssel, így az valóban te-

kinthet® a szintnek. A második f®komponens a rövid lejáratok esetén er®s pozitív

kapcsolatot mutat, míg hosszú lejáratok esetén már negatívat. Ez alapján ezt me-

redekségként értelmezhetjük. Két f®komponens elegend® a magyar adatok alapján,

ugyanis ezek a hozamok varianciájának 99,062%-át magyarázzák.

0,25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

−0.5

0

0.5

1

Lejárat (év)

Kor

relá

ció

1. fõkomponens2. fõkomponens

5.7. ábra. A zérókupon hozamok és a f®komponensek korrelációja

Tehát abban az esetben, ha rendelkezésünkre áll már egy zérókupon hozamgörbe,

akkor két faktorral (szint és meredekség) leírhatjuk a hozamokat. A piacon ez azon-

ban nem �gyelhet® meg, így a rugalmasabb, három faktoros Nelson-Siegel modellt

vizsgáltam el®ször.

El®ször �x lambdák (0, 25; 0, 5; 0, 75; 1; 1, 25; 1, 5; 1, 75; 2; 2, 25; 2, 5) mellett hatá-

roztam meg a három faktoros Nelson-Siegel modellel kapható hozamgörbéket. Az 5.8

ábra alapján a következ®ket �gyelhetjük meg. Az els® és második faktor összege a

lambdával n®. A szint független az exponenciális késleltetést®l, illetve a hosszú le-

járatú hozamok megegyeznek, így azt várom, hogy az els® faktor közel azonos a

különböz® lambdák mellett, míg a második faktor emelked®. A harmadik faktor

pedig a hozamgörbe púpossága alapján el®jelet vált és egyre jobban csökken. Az

ÁKK által számított görbéhez képest hosszabb lejáratokon a görbe rugalmatlanabb,

de középtávon nem tapasztalható eltérés. Látható, hogy a kapott hozamgörbék rö-

vid távú illeszkedése mennyire érzékeny az exponenciális késleltetésre, így dinamikus

3Az adatokért köszönettel tartozom az Államadósság Kezel® Központ Zrt. elemzési osztályának.


0 2 4 6 8 10 12 14

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Lejárat (év)

Logh

ozam

(sz

ázal

ékpo

nt)

NS 1NS 3NS 5NS 7NS 10ÁKK

5.8. ábra. Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén

vizsgálat esetén különösen fontos ennek helyes megválasztása (Diebold és Li, 2006).

Az ábra alapján nem meglep®, hogy nagyobb lambda magasabb hibát eredmé-

nyez, ez látható az 5.5 táblázatban. Habár nem ábrázoltam külön, de érdemes meg-

említeni, hogy a Nelson-Siegel modell a 2028/A papírt árazza szigni�kánsan félre (a

spline módszereknél ez a papír a a 2022/A volt).

λ = 0, 25 0,0969 λ = 0, 5 0,0971 λ = 0, 75 0,1008 λ = 1 0,1107

λ = 1, 25 0,1283 λ = 1, 5 0,1510 λ = 1, 75 0,1758 λ = 2 0,2007

λ = 2, 25 0,2246 λ = 2, 5 0,2469

5.5. táblázat. Hibák különböz® lambdák mellett a NS modell esetén

A becsléssel kapott béta értékek láthatóak az 5.9 ábrán. Ezen meg�gyelhet®ek

az el®z® várakozások a faktorok alakulására.

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

A λ értéke

A fa

ktor

ért

éke

β1

β2

β3

5.9. ábra. Faktorok különböz® lambdák mellett a NS modell esetén

A spline módszerekhez hasonlóan szükséges megvizsgálni a kialakuló optimális

faktorok kezd®pont függését. Adott lambda mellett a korábban említettek alapján

az optimalizálás legkisebb négyzetek módszerével megoldható a linearitás miatt, és


az optimalizálás stabil eredményeket ad. Ha a faktorokon kívül a lambdát is be-

csüljük, akkor már a nemlinearitás miatt érdekes lehet a kezd®pont függés. Ezért

162-szer elvégeztem az optimalizálást, ahol az egyes faktorok és a lambda a követ-

kez® lehetett: β1 = {0, 05; 0, 08; 0, 11}, β2 = {−0, 1; 0; 0, 1}, β3 = {−0, 1; 0; 0, 1} ésλ = {0, 25; 0, 75; 1, 25; 1, 75; 2, 25; 2, 75}. A különböz® kezd®pontokból elvégezve az

optimalizálást az 5.10 ábrán szerepl® paraméterek adódnak. Ezen látható, hogy az

egyes faktorok stabilak, míg a lambdában tapasztalható kisebb ingadozás, de közel

sem akkora, mint ami a harmadfokú spline módszer súlyainál volt jellemz®.

0 20 40 60 80 100 120 140 160−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Futtatás

A β

és

λ ér

ték

β1

β2

β3

λHiba

5.10. ábra. A faktorok és a lambda kezd®pont függése a Nelson-Siegel modell esetén

A 4.4.2 részben bemutatott Nelson-Siegel típusú modellek esetén is elvégeztem

a görbeillesztést a 2014.03.31-ei adatokra, módosított átlagid®vel súlyozott hiba-

tagok esetén. Minden módszernél a 4.2 táblázat összes paraméterét módosulónak

tekintettem a Solverben.

WRMSE RMSE

Kétfaktoros Nelson-Siegel 0,0958 0,4316

Három faktoros Nelson-Siegel 0,0958 0,4317

Björk és Christensen 0,0959 0,4333

Bliss 0,0788 0,2967

Svensson 0,0957 0,4262

Módosított Svensson 0,0851 0,3755

5.6. táblázat. A Nelson-Siegel típusú modellek hibája

A kapott WRMSED∗ hibák alapján, melyet az 5.6 táblázat tartalmaz, a Bliss

módszer t¶nik a legjobbnak, az RMSEt oszlop is ezt támasztja alá. Utóbbiakat

összehasonlítva a különböz® hibafüggvény¶ spline illesztésekkel (5.3 táblázat) el-

mondható, hogy a Nelson-Siegel modellek erre a napra gyengébben teljesítenek az


illeszkedésben. De ett®l függetlenül más preferenciák miatt, például a görbe alakja,

választhatjuk ezeket.

A hozamgörbék 5.11 ábráját vizsgálva látható, hogy a Nelson-Siegel típusú mo-

dellek az Államadósság Kezel® Központ görbéjénél rugalmatlanabb illeszkedést ered-

ményeznek. Nagyon rövid távon a módosított Svensson-modell ad irreális eredmé-

nyeket, ez a faktorokra és a lambdákra kapott eredményekb®l is látszik (5.7 táblá-

zat). Ezenkívül a Bliss modell tér el a többit®l mind az ábrát, mind a táblázatot

tekintve.

0 2 4 6 8 10 12 14

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

Lejárat (év)

Logh

ozam

(sz

ázal

ékpo

nt)

Kétfaktoros NSHáromfaktoros NSBjörk és ChristensenBlissSvenssonMódosított SvenssonÁKK

5.11. ábra. Hozamgörbék a Nelson-Siegel típusú modellek esetén

A kapott faktorok alapján látható, hogy a két- és három faktoros Nelson-Siegel

nem tér el jelent®sen, ez azt jelenti, hogy a görbében kicsi a görbület. Hasonló ered-

ményeket ad a Björk és Christensen, illetve a Svensson modell is, így a 2014.03.31-ei

hozamgörbét els®dlegesen csupán a szint és a meredekség határozza meg.

βt,1 βt,2 βt,3 βt,4 λt,1 λt,2

2F NS 0,0693 -0,046 0,3318

3F NS 0,0693 -0,046 -0,0002 0,3333

Björk és Christ. 0,0692 -0,0456 -0,0059 -0,0002 0,3777 0,0763

Bliss 0,2884 -0,2662 -0,5381 0,2204 0,5987

Svensson 0,0698 -0,0466 -0,0056 0,0027 0,3513 1,3533

Mód. Svensson 0,0713 -0,0294 0,0222 -0,032 0,0959

5.7. táblázat. A kapott faktorok és lambdák különböz® modellek esetén

Eddig egy adott napra, statikusan vizsgáltam a hozamgörbe illesztését. A kö-

vetkez® részben a dinamikus illesztést mutatom be az R statisztikai programcsomag

segítségével.


5.2. Dinamikus vizsgálat

A dinamikus elemzés során a 2003.01.02. és 2013.12.31. közti árfolyam adatokat

használtam fel. Az el®z® elemzéshez hasonlóan kisz¶rtem a változó kötvények meg-

�gyeléseit, ezenkívül azonban mindent felhasználtam. Excelben elég nehézkes volna

egy ilyen hosszú id®szakra illeszteni hozamgörbéket, ezért az R termstrc csomagját

használtam, ezt Ferstl és Hayden (2010) mutatja be részletesen. A csomag felhasz-

nálásval egy adott napra illeszthet® hozamgörbe a harmadfokú spline módszerrel,

ahol a csomópontok számának meghatározása McCulloch (1971) történik. A Nelson-

Siegel típusú modellek közül pedig a három faktoros Nelson-Siegel modellt, illetve

a Svensson és a módosított Svensson modellt használhatjuk, ezeknél minden pa-

ramétert becsül. Rögzített lambda esetén Diebold és Li (2006) módszertanával is

elvégezhet® az elemzés. Eredményként megkapható a diszkontfüggvény, a hozam-

és forwardgörbe, a becsült súlyok, illetve a faktorok az exponenciális késleltési pa-

raméterekkel. Megkaphatjuk továbbá a korábban említett cash-�ow mátrixot is, az

átlagid®ket, a becsült kötvényárfolyamokat és lejératig számított hozamokat, illet-

ve azok hibáját egyaránt. A következ®kben a kapott eredményeket mutatom be, a

használt R kódok az A. függelékben találhatóak (a kapott eredmények kinyerésére

csak egy reprezentatív példát másoltam be).

2003.01.02 2004.10.18 2006.07.26 2008.05.16 2010.05.21

−0.2

−0.1

0

0.1

Dátum

Fak

tor

w1

w2

w3

w4

w5

5.12. ábra. Súlyok a harmadfokú spline modell esetén

A harmadfokú spilne módszer esetén Ferstl és Hayden (2010) az általam bemu-

tatottól picit eltér® bázisfüggvényeket használ, ez megtalálható tanulmányukban.

Minden egyes napra külön-külön megbecsültem a hozamgörbét, majd a súlyok ala-

kulását tekintettem. Az 5.12 ábra alapján a rövid távon ható bázisfüggvény súlya a

legvolatilisebb, egyik napról a másikra is jelent®sen meg tud változni. A többi bá-

zisfüggvény súlyának alakulása viszonylag stabilnak mondható. A vizsgált id®szak

elején 4 csomópont volt a meg�gyelések száma alapján, míg 2010 második felét®l

már csak három, ezért ábrázoltam a kapott súlyokat csak addig.


0,013,6

7,210,8

14,58 2003.01.022005.10.10

2008.07.242011.05.04

2013.12.31

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D

iszk

on

tfak

tor

5.13. ábra. Diszkontfaktorok a harmadfokú spline modell esetén

A diszkontfaktorokon nem látszik a súlyoknál tapasztalható ingadozás, az 5.13

ábra alapján a diszkontfüggvények teljesítik az elvárható feltételeket. Azaz 0-ból

indulnak, pozitívak és monoton csökkennek. Az illesztés viszonylag gyorsan, fél óra

alatt lefutott, illetve a kapott eredmények alapján ez a módszer használhatónak

bizonyult.

2003.01.02 2005.10.10 2008.07.08 2011.07.19 2013.12.31−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Dátum

Fak

tor

β1

β2

β3

τ

5.14. ábra. Faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén

Ezután megvizsgáltam a háromfaktoros Nelson-Siegel illesztést is minden napra.

Ekkor a 2758 nap közül utólag kisz¶rtem azokat, ahol irreális eredményeket kaptam,

azaz ahol a második és harmadik faktor nem esik −20 és 20 közé, vagy az els®

faktor kisebb, mint 1%. Így 225 napot töröltem az elemzésb®l. A kapott faktorok

és a τ (ez az exponenciális késleltetés reciproka) id®soros alakulásából (5.14 ábra)

nagyfokú volatilitást �gyelhetünk meg. Ez els®sorban a nemlineáris optimalizálás

instabilitásából fakad, különösen nagy volatilitás �gyelhet® meg a görbület és a τ

esetében.


0,013,6

7,210,8

14,58

2013.12.312011.07.192008.07.082005.10.102003.01.022

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12Lo

ghoz

am (

száz

alék

pont

)

5.15. ábra. Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén

A kapott hozamgörbék 5.15 ábráján továbbra is láthatóak extrém görbék, ezek

el®sorban a rövid oldalon adnak rossz közelítést. Ezen látszanak a benchmark ho-

zamoknál említett állampapírpiaci zavarok, ezek a legmagasabb szakaszok. Meg�-

gyelhet® továbbá, hogy a 11 év során mennyire változatos a magyar hozamgörbék

alakja, illetve a meredekség változása is. A faktorok és a hozamgörbe pontok magas

volatilitása, illetve a lassabb futásid® (fél nap) miatt így e módszer használata kell®

körültekintést igényel.

2003.01.02 2005.10.10 2008.07.24 2011.05.04 2013.12.31

−5

0

5

10

15

Dátum

Fak

tor

β1

β2

β3

5.16. ábra. Faktorsúlyok a dinamikus Diebold-Li modell esetén

A harmadik módszer esetén rögzítettem a λ értéket, és Diebold és Li (2006)

alapján ennek 0, 7308-at választottam. A faktorok 5.16 ábrája alapján a görbület

faktor mutat nagyobb ingadozást, els®sorban a pénzügyi válság idején. Az opti-

malizálás egyszer¶södésével a faktorok volatilitása is lényegesen csökken (korábban

a τ paraméter változékonysága átragadt a faktorokra is). Az 5.17 ábrán látható

hozamok is ezt a stabilitást támasztják alá, a hozamgörbe dinamikája megegyezik


az el®z® ábrán tapasztaltéval. A futásid® a három módszer közül a legalacsonyabb,

így további vizsgálatokra és el®rejelzésre ez a módszer javasolt a lambda körülte-

kint® megválasztása mellett. A Svensson- és módosított Svensson módszerekkel a

rendkívül hosszú futásid® (körülbelül 1 hét) miatt nem végeztem el a görbeillesztést.

0,013,6

7,210,8

14,58

2013.12.312011.05.042008.07.242005.10.102003.01.022

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Logh

ozam

(sz

ázal

ékpo

nt)

5.17. ábra. Hozamgörbék a dinamikus Diebold-Li modell esetén

Ebben a fejezetben egy 11 éves periódus minden napjára megbecsültem a pi-

aci adatok alapján a hozamgörbéket. Ez még a 4.5 részben említett két lépéses

módszer els® lépése, szükséges volna még a faktorok id®sora alapján az AR(1) vagy

VAR(1) folyamatokat is megbecsülni. Jelen dolgozatban azonban erre nem térek ki

részletesen.

6. fejezet

Befejezés

A külföldi jegybankok gyakorlatában1 a legelterjedtebb a simított spline és Svensson

modellek használata, ahogy a 6.1 táblázatban is látható (Bank for International Sett-

lements (BIS), 2005). Megoszlik azonban, hogy miknek a hibáját minimalizálják, az

árakét súlyozva, vagy a hozamokét.

Központi Bank Becslési módszer Minimalizált hiba

Belgium Svensson vagy Nelson-Siegel súlyozott ár

Egyesült Királyság VRP hozam

Finnország Nelson-Siegel súlyozott ár

Franciaország Svensson vagy Nelson-Siegel súlyozott ár

Japán simított spline árak

Kanada ML exponenciális spline súlyozott ár

Németország Svensson hozam

Norvégia Svensson hozam

Olaszország Nelson-Siegel súlyozott ár

Spanyolország (-1995) Nelson-Siegel árak

Spanyolország (1995-) Svensson súlyozott ár

Svájc Svensson hozam

Svédország simított spline vagy Svensson hozam

USA (kincstárjegy) simított spline súlyozott ár

USA (kötvény) simított spline árak

6.1. táblázat. A külföldi jegybankok gyakorlata (Bank for International Settlements

(BIS), 2005)

1Habár külön nem esett szó róla, de a britek által használt VRP (Variable Roughness Penalty)

modell a simított spline módszerek egyik változata (Anderson és Sleath, 2001).

53

6. FEJEZET. BEFEJEZÉS 54

Dolgozatomban áttekintettem a hozamgörbe modellezésének különböz® lehet®-

ségeit. Az a�n modellek osztályát jelen tanulmányban nem vizsgáltam részletesen,

pedig azok is a hozamgörbe modellezésének alapkövei. Ugyanakkor azért helyeztem

nagyobb hangsúlyt az empirikus modellekre, mert Kopányi (2009) a hozamgörbe

dinamikus becslése során els®sorban az a�n modelleket vizsgálja, így azokról már

született átfogó magyar elemzés. Tanulmányában arra az eredményre jut, hogy a

három faktoros Vasicek modell jó választás a magyar adatok alapján. A rendszerez®

bemutatás során említett modellek közül részletesen csak a spline és a Nelson-Siegel

típusúakkal foglalkoztam, ezek elengedhetetlenek a téma módszertani megalapo-

zásához. Így aprólékosan felépítettem a spline modellek módszertanát, a lineáris

illesztéseken keresztül a harmadfokú spline-okig. Természetesen a vizsgálat tovább

folytatható a B-spline bázisfüggvények vagy a simított spline-ok irányába.

A Nelson-Siegel típusú modellek kapcsán a két-, három- és négyfaktoros model-

lek elméletével egyaránt foglalkoztam. Így megemlítettem a két- és három faktoros

Nelson-Siegel, a Björk és Christensen, a Bliss, a Svensson és a módosított Svensson

modelleket. Egyik továbblépési irány az empirikus modellek kapcsán makrováltozók

bevezetése a faktorok közé. A Magyar Nemzeti Bank m¶helytanulmányában Reppa

(2009) két látens (szint, meredekség) és négy meg�gyelhet® faktor (in�áció, kibo-

csátás, alapkamat, devizaárfolyam) mellett elemzi a magyar adatokat. Eredményül

azt kapta a szerz®, hogy a látens faktorok varianciájánák közel 60%-a magyarázható

makrogazdasági sokkokkal. Vizsgálhatók továbbá a faktorok értékét meghatározó

regionális és globális hatások. �opov és Seidler (2011) a magyar, lengyel, cseh és

szlovák hozamgörbéket meghatározó faktorokban szerepl® regionális hatásokat vizs-

gálták dinamikus Nelson-Siegel modell segítségével. A szerz®k azt találták, hogy a

magyar hozamgörbére hatnak leginkább a regionális faktorok a négy ország közül.

A magyar adatok alapján statikus és dinamikus elemzést is végeztem 2014.03.31-

ére, illetve a 2003.01.02. és 2013.12.31. közti id®szakra. Az egy adott napra

vonatkozó illesztést Excellel készítettem el, el®ször harmadfokú spline módszerrel,

különböz® hibafüggvények esetére. A legjobb illeszkedést a súlyozott hibák mini-

malizálása eredményezte, így a vizsgálat további részében módosított átlagid®vel

súlyozott hibatagokat használtam. A Nelson-Siegel esetben, a Bliss modellt leszá-

mítva rosszabb illeszkedéseket kaptam. Túlzott következtetést azonban nem vontam

le egy nap alapján, szükséges az eredmények további elemzése is. Ilyen lehet például

a vizsgálat megismétlése egy hosszabb id®távon keresztül, az esetlegesen félreára-

zott értékpapírok kisz¶rése a meg�gyelések közül vagy pedig az el®zetesen rögzített

preferenciának (például alak, simaság) megfelel® hozamgörbe kiválasztása. Mivel a

hozamgörbéket optimalizálással kaptam, így érzékenységvizsgálatot is készítettem a

6. FEJEZET. BEFEJEZÉS 55

kezd®pontra vonatkozóan. Az eredmények alapján a harmadfokú spline módszerek

esetén jobban függ a kapott eredmény a kezd®pont megválasztásától, mint a három

faktoros Nelson-Siegel modellnél.

A dinamikus elemzés során egy hosszabb id®szakra végeztem el minden napra

vonatkozóan a hozamgörbe illesztését az R statisztikai programcsomag segítségével.

Három módszert tekintettem, a harmadfokú spline-t, valamint a három faktoros

Nelson-Siegel modellt rögzített és becsült exponenciális késleltetés paraméter mel-

lett. A kapott bázisfüggvény súlyok és faktorok gra�kus elemzése során arra jutot-

tam, hogy a rögzített λ paraméter¶ dinamikus Nelson-Siegel modell esetén kapunk

további elemzésre alkalmas faktor id®sorokat. A másik két esetben, f®leg, amikor

minden napra külön becsültem a λ paramétert, az id®sorok sokkal nagyobb inga-

dozást mutattak. Ez alapján kijelenthetem, hogy a hozamgörbe el®rejelzéséhez a

dinamikus Nelson-Siegel modell (Diebold és Li, 2006) használható. A dinamikus

vizsgálat soron következ® lépéseként szükséges meghatározni a megfelel® λ paramé-

tert, illetve a három faktor id®soros alakulását leíró (vektor) autoregresszív folya-

matot. Az elemzés további folytatására másik lehet®ség a faktorok dinamikájának

és a hozamgörbe illesztésének együttes becslése is.

A dolgozat megírása során célom volt a hozamgörbe modellezésének rendkívül

széles módszertanának bemutatása. Ebb®l fakadóan nem volt lehetséges mindent

teljes részletességében vizsgálni, azonban hiszem, hogy legalább egy kezdeti képet

sikerült adnom. Reményeim szerint kell®képp felhívtam a �gyelmet a módszertani

kihívásokra, illetve a további elemzések szükségességére és irányára.

A. függelék

Programkódok

beolvasas_papir=read.csv("dynDataCSV.csv", sep=";", dec=",", header=TRUE)

beolvasas_cf=read.csv("cfDataCSV.csv", sep=";", dec=",", header=TRUE)

data <-list()

class(data) <- "dyncouponbonds"

adatbazis_elem <- function(date, pos){

data[[pos]] <<- list(HUNGARY=list(ISIN=as.vector(beolvasas_papir$ISIN[beolvasas_papir$TODAY==date]),

MATURITYDATE=as.Date(beolvasas_papir$MATURITYDATE[beolvasas_papir$TODAY==date], format="%Y.%m.%d"),

ISSUEDATE=as.Date(beolvasas_papir$ISSUEDATE[beolvasas_papir$TODAY==date], format="%Y.%m.%d"),

COUPONRATE=as.vector(beolvasas_papir$COUPONRATE[beolvasas_papir$TODAY==date]),

PRICE=as.vector(beolvasas_papir$PRICE[beolvasas_papir$TODAY==date]),

ACCRUED=as.vector(beolvasas_papir$ACCRUED[beolvasas_papir$TODAY==date]),

CASHFLOWS=list(),

56

A.FÜGGELÉK.PROGRAMKÓDOK

57

TODAY=as.Date(date, format="%Y.%m.%d")))

cf_index<-logical(length(beolvasas_cf$CFISIN))

for (i in c(1:length(data[[pos]]$HUNGARY$ISIN))) {

cf_index=cf_index |

(beolvasas_cf$CFISIN==data[[pos]]$HUNGARY$ISIN[i] & as.vector(beolvasas_cf$DATE)>=date)}

data[[pos]]$HUNGARY$CASHFLOWS <<-list(ISIN=as.vector(beolvasas_cf$CFISIN[cf_index]),

CF=as.vector(beolvasas_cf$CF[cf_index]),

DATE=as.Date(beolvasas_cf$DATE[cf_index], format="%Y.%m.%d"))

class(data[[pos]]) <<- "couponbonds"}

adatbazis <- function(date1,date2) {

data <-list()

class(data) <- "dyncouponbonds"

dates=vector()

dates<-as.vector(unique(beolvasas_papir$TODAY)[as.vector(unique(beolvasas_papir$TODAY))>=date1 &

as.vector(unique(beolvasas_papir$TODAY))<=date2])

for (i in 1:length(dates)) {

adatbazis_elem(dates[i],i)}

return(data)}

becsles<-function(type="cs", data=data_input, bound=c(0,15)) {

res<-list()

group_est<-"HUNGARY"

matrange_est<-c(bound[1],bound[2])

if(type =="cs") {

A.FÜGGELÉK.PROGRAMKÓDOK

58

for (i in 1:length(data)) {

res[[i]]<-estim_cs(data[[i]], group=group_est, matrange=matrange_est, rse = TRUE)}}

else {


res[[i]]<-estim_nss(data[[i]],group=group_est, matrange=matrange_est, method=type)}}

return(res)}

idosor_beta_ns<- function(result) {

lambda_ts<-data.frame()

row.names<-c()


row.names<-c(row.names,as.character(data[[i]]$HUNGARY$TODAY))

for (j in 1:4) {

lambda_ts[i,j]<- result[[i]]$opt_result$HUNGARY$par[j]}}

rownames(lambda_ts)<-c(row.names)

colnames(lambda_ts)<-c("Beta1","Beta2","Beta3","Tau1")

write.table(lambda_ts, file="beta_ns_ts.txt", sep=";", dec=",")}

Irodalomjegyzék

ÁKK Zrt. Éves jelentés az államadósság kezelésér®l. http://akk.hu//kepek/

upload/2013/%C3%89VES%20JELENT%C3%89S%20-%20magyar-48.pdf, 2012. Le-

töltve: 2014-04-21.

N. Anderson és J. Sleath. New estimates of the uk real and nominal yield curves.

2001.

A. Ang és M. Piazzesi. A no-arbitrage vector autoregression of term structure dyna-

mics with macroeconomic and latent variables. Journal of Monetary economics,

50(4):745�787, 2003.

Bank for International Settlements (BIS). Zero-coupon yield curves: Technical do-

cumentation. BIS Papers, 25, 2005.

Tomas Björk és Bent Jesper Christensen. Interest rate dynamics and consistent

forward rate curves. Mathematical Finance, 9(4):323�348, 1999.

R. R. Bliss. Testing term structure estimation methods. Working Paper Series

(Federal Reserve Bank of Atlanta), 96(12):1�42, 1996.

D. J. Bolder. A�ne term-structure models: Theory and implementation. Working

Paper 2001-15 � Bank of Canada, 2001.

D. J. Bolder. Modelling term-structure dynamics for risk management: A practit-

ioner's perspective. Working Paper 2006-48 � Bank of Canada, 2006.

D. J. Bolder és S. Gusba. Exponentials, polynomials, and fourier series: More yield

curve modelling at the bank of canada. Working Paper 2002-29 � Bank of Canada,

2002.

D. J. Bolder és S. Liu. Examining simple joint macroeconomic and term-structure

models: A practitioner's perspective. Working Paper 2007-49 � Bank of Canada,

2007.

59

http://akk.hu//kepek/upload/2013/%C3%89VES%20JELENT%C3%89S%20-%20magyar-48.pdf

http://akk.hu//kepek/upload/2013/%C3%89VES%20JELENT%C3%89S%20-%20magyar-48.pdf

IRODALOMJEGYZÉK 60

D. J. Bolder és T. Rubin. Optimization in a simulation setting: Use of function app-

roximation in debt strategy analysis. Working Paper 2007-13 � Bank of Canada,

2007.

J. H. E. Christensen, F. X Diebold és G. D. Rudebusch. The a�ne arbitrage-free

class of nelson�siegel term structure models. Journal of Econometrics, 164(1):

4�20, 2011.

J. C Cox, J. E. Ingersoll és S. A. Ross. A theory of the term structure of interest

rates. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 53(2):385�407, 1985.

Q. Dai és K. J. Singleton. Speci�cation analysis of a�ne term structure models.

The Journal of Finance, 55(5):1943�1978, 2000.

Danmarks Nationalbank. Danish government borrowing and

debt. http://www.nationalbanken.dk/C1256BE9004F6416/side/

B91B80668274D0A6C125783F00379DA7/$file/SLOG-2010-UK-web.pdf, 2010.

Letöltve: 2014-04-21.

M. De Pooter. Examining the nelson-siegel class of term structure models. Tinbergen

Institute Discussion Papers. Tinbergen Institute, 2007.

F. X. Diebold és C. Li. Forecasting the term structure of government bond yields.

Journal of Econometrics, 130:337�364, 2006.

F. X. Diebold, M. Piazessi és G. D. Rudebusch. Modeling bond yields in �nance

and macroeconomics. The American Economic Review, 95:415�420, 2005.

F. X. Diebold, L. Ji és C. Li. A three-factor yield curve model: non-a�ne structure,

systematic risk sources and generalized duration. Long-run Growth and Short-run

Stabilization: Essays in Memory of Albert Ando, pages 240�274, 2006a.

F. X. Diebold, G. D. Rudebusch és S. B. Aruoba. The macroeconomy and the

yield curve: a dynamic latent factor approach. Journal of econometrics, 131(1):

309�338, 2006b.

G. R. Du�ee. Term premia and interest rate forecasts in a�ne models. The Journal

of Finance, 57(1):405�443, 2002.

E. F. Fama és R. R. Bliss. The information in long-maturity forward rates. The

American Economic Review, 77(4):680�692, 1987.

András,. Faragó és Róbert, Horváth. Numerikus módszerek. Typotex, Budapest,

2013.

http://www.nationalbanken.dk/C1256BE9004F6416/side/B91B80668274D0A6C125783F00379DA7/$file/SLOG-2010-UK-web.pdf

http://www.nationalbanken.dk/C1256BE9004F6416/side/B91B80668274D0A6C125783F00379DA7/$file/SLOG-2010-UK-web.pdf

IRODALOMJEGYZÉK 61

R. Ferstl és J. Hayden. Zero-coupon yield curve estimation with the package term-

strc. Journal of Statistical Software, 36(1), 2010.

M. Fischer, D. Nychka és D. Zervos. Fitting the term structure of interest rates with

smoothing splines. Federal Reserve System Working Paper No. 95-1., 1995.

D. Heath, R. Jarrow és A. Morton. Bond pricing and the term structure of interest

rates: A new methodology for contingent claims valuation. Econometrica: Journal

of the Econometric Society, 60(1):77�105, 1992.

T. S. Y. Ho és S. B. Lee. Term structure movements and pricing interest rate

contingent claims. The Journal of Finance, 41(5):1011�1029, 1986.

J. C. Hull és A. D. White. Numerical procedures for implementing term structure

models i: Single-factor models. The Journal of Derivatives, 2(1):7�16, 1994a.

J. C Hull és A. D White. Numerical procedures for implementing term structure

models ii: Two-factor models. The Journal of Derivatives, 2(2):37�48, 1994b.

S. Hurn, K.h Lindsay és V. Pavlov. Smooth estimation of yield curves by laguerre

functions. 2005.

Szabolcs András, Kopányi. A hozamgörbe dinamikus becslése. Ph.d. értekezés,

Budapesti Corvinus Egyetem, 2009.

Erzsébet, Kovács. Pénzügyi adatok statisztikai elemzése. Tanszék Kft., Budapest,

2011.

R. B. Litterman és J. Scheinkman. Common factors a�ecting bond returns. The

Journal of Fixed Income, 1(1):54�61, 1991.

Tamás, Makara. A hozamgörbe becslése spline módszerrel. Nemzetközi Bankárképz®

Központ, Budapest, 1998.

Tamás, Makara. A hozamgörbe mérése. Egyetemi Tanulmány (BCE), 2013.

J. H. McCulloch. The tax-adjusted yield curve. The Journal of Finance, 30(3):

811�830, 1975.

J.H. McCulloch. Measuring the term structure of interest rates. Journal of Business,

44(1):19, 1971.

Péter, Medvegyev és János, Száz. A meglepetések jellege a pénzügyi piacokon. Nem-

zetközi Bankárképz® Központ, Budapest, 2010.

IRODALOMJEGYZÉK 62

R. C. Merton. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics, 4(1):

141�183, 1973.

C. R. Nelson és A. F. Siegel. Parsimonious modeling of yield curves. The Journal

of Business, 60(4):473�489, 1987.

Zoltán, Reppa. A joint macroeconomic-yield curve model for hungary. MNB Wor-

king Papers 2009/1, 2009.

B. �opov és J. Seidler. Yield curve dynamics: Regional common factor modell.

Prague Economic Papers, 2:141, 2011.

L. E. O. Svensson. Estimating and interpreting forward interest rates: Sweden

1992�1994. NBER Working Paper Series No. 4871, 1994.

O. A. Vasicek. An equilibrium characterization of the term structure. Journal of

�nancial economics, 5(2):177�188, 1977.

O. A. Vasicek és H. G. Fong. Term structure modeling using exponential splines.

The Journal of Finance, 37(2):339�348, 1981.

Y. Yu. Modeling a two-currency a�ne arbitrage-free nelson-siegel tem structure

model. Master's thesis, National University of Ireland, 05 2012.

szakdolgozat - elteweb.cs.elte.hu/.../msc_actfinmat/2014/fegyveres_gyorgy.pdf · 2014. 5. 28. · a...

Documents