LOGARYTMY ROZWIZANIE TAJEMNIC SUWAKA LOGARYTMICZNEGO Sandra Szweda Izabela Moko Pawe Aranowski WPROWADZENIE Naszym zadaniem byo wykona prac na temat Suwak Logarytmiczny. Cho z pocztku bylimy przeraeni , poradzilimy sobie. Gwnie chcielibymy przybliy Pastwu pojcie logarytmw, jak i samego suwaka logarytmicznego. Dlaczego logarytmy, co maj wsplnego i po co mamy je wprowadza? Odpowied jest prosta przed rozpoczciem bada bya to jedyna wiedza, na ktrej si opieralimy i dzi, prbujc Pastwu przedstawi czym jest suwak logarytmiczny, powinnimy byli opisa take pojcie logarytmw. Przede wszystkim naszym celem byo napisanie tej ksiki tak, by kady, nawet niecisy umys (chociaby humanista) potrafi w sposb prosty i przyjemny nauczy si obsugi tego jake strasznego urzdzenia. W trakcie czytania zwrcie uwag na prosty jzyk, jakiego staralimy si uywa, na maksymalne ograniczenia nazw matematycznych. Uwaamy bowiem, e tego typu poradnik powinien da nam wiedz gwnie praktyczn. Zapraszamy. Autorzy SPIS TRECI: 1. Pojcie Logarytmu a) Definicja b)wzr c)historia 2. Opracowanie gwnego tematu a) Pojcie suwaka logarytmicznego -uycie -sposb liczenia b) Historia suwaka c) Przykady i rodzaje suwaka d) Ciekawostki :- suwak logarytmiczny w przedmiotach -liczne zastosowania -wymiana suwaka logarytmicznego na nowsze technologie 1.LogarytmemliczbydodatniejNprzydanejpodstawie dodatnieja(rnejodjednoci)nazywamywykadnikpotgix,doktrejtrzeba podniepodstawa,aeby otrzyma liczb N.Piszemy: x=logaN, jeeli ax=N N - dana liczba(N>0); a - zasada logarytmu(a>0,a rne od jedynki); x - (wykadnik potgi) - logarytm liczby N przy zasadzie a. Kadaliczbadodatniamaprzydowolnejpodstawiedodatniej(rnejod jednoci)swjlogarytm.Logarytmowaniemdanejliczbynazywamywyznaczenie jejlogarytmu.Czcakowitlogarytmunazywamyjegocech,acz uamkow-mantys np. log324=2,5105 ma cech 2 i mantys 0,5105 RODZAJE: 1. LOGARYTM DZIESITNY logarytmy przy podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesitnym i zamiast pisa log10N, moemy pisa logNnp.log100=2 2. LOGARYTM NATURALNY logarytmy przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i zamiast pisa logeN, moemy pisa lnN. WZORY ZASADNICZE: 1. loga1=0; 2. logaa=1; 3. loga(mn)= logam+logan; 4. loga m/n= logam-logan Historia NapomyswprowadzenialogarytmwjakopierwszywpadSzkotJohn Napier.Swojerozwaaniaopublikowaw1614r.wksice,,Opisaniecudownych zasadlogarytmw''.LogarytmyNapierarniysiniecoodtych,ktrymi posugujemysiedzisiaj,alestanowiytakogromnypostpwmetodach rachunkowych,eodrazuwzbudziyogromnyentuzjazm.Nazwlogarytm wprowadzisamNapier.Powstaaonazgreckichswlagos-myleniei arithmos-liczenie. 2. POJCIE SUWAKA LOGARYTMICZNEGO Przeznaczeniesuwaka.Elementarneobliczeniazawierajcemnoenie, dzielenie,podnoszeniedokwadratulubszecianu,wyciganiekwadratowegolub szeciennegopierwiastkailogarytmowaniedanychliczborazdziaaniana funkcjachtrygonometrycznychdanychktwmogbywprzyblieniuwykonane nasuwakulogarytmicznym.Dokadnoobliczejestrnawposzczeglnych przypadkach, za pomoc suwaka logarytmicznego o dugoci 25cmbd wzgldny zawierasimidzy0,1%a1%.Dlazmiennych(kalkulowanych)parametrw wejciowych i przy braku potrzeby wikszej dokadnoci, by i jest najwspanialszym urzdzeniem. 3. HISTORIA SUWAKA: Odponad300lat,odjegowynalezieniaw1620rokuprzezWilliama Oughtred,suwaklogarytmicznyodgrywacorazwikszrolwrozwojuhandlu, podatkw,uzbrojenia,nawigacji,astronomiiiinynierii.Stasibardzo zaawansowanymprzyrzdemiprzeniknwszystkiedziedzinytechniki.Wtym czasie suwak logarytmiczny mia wiele form. Liniowe suwaki o dugoci od 3 do 40 cali,okrgesuwaki,dugiesuwaki.W1968rokudotardozenitupodwzgldem wyrafinowania i popularnoci.Stosowany by gwnie w wiecie techniki i kady inyniermiagoprzysobie.Suwakjakonarzdziearytmetycznetojuprzeszo, przewysza on jednak wszelkie kalkulatory i komputery w szacowaniu proporcji. 4. RODZAJE I PRZYKADY SUWAKW: I. Suwak precyzyjny-ktry rny jest od zwykego przez podziak, jest ona podzielona na 2 czci. Pierwsza cz zawiera liczby od jeden do 3,162 oraz ley na miejscu podziaki B i A. Druga jej cz zawiera liczby od 3,162 do 10. Jest ona umieszczona na miejscu podziaki D i C. W taki sposb zwyky suwak rachunkowy posiada dokadno suwaka, ktry ma dugo dwa razy dusz. II. Suwak rachunkowy III. Suwak walcowy- ze skalami po linii rubowej o dugoci 170 cm, co daje dokadno odczytu 3-4 miejsc (normalnie 2-3) IV. Suwak internetowy V. Suwaki specjalistyczne: a) chemiczny b) elektryczny c) poligraficzny d) lotniczy VI. Suwak dydaktyczny VII. Suwak okrgy 5. SKALA LOGARYTMICZNA Zasadadziaaniasuwakalogarytmicznegoopierasienaskalo logarytmicznej:obierajcpewienodcinekzajednostkdugoci,odmierzamyod pocztkowegopunktuskaliodcinkw,ktrychmiaryprzyprzyjtejjednostce dugocisrwnelogarytmomdziesitnympewnegociguliczb,przyczym odmierzajcodcineklogapiszemyprzyjegokoculiczba.Przypunkcie pocztkowymnaleyumieciliczb1,gdylog1=0.Wtensposbnaskali logarytmicznej odlego od punktu 1 do punktu a wynosi w obranej skali log a. Skalesuwaka:Suwaklogarytmicznyskadasiezczcistaejwpostaci linijki, wysuwki poruszajcej si w wyobieniach linijki oraz okienka ruchomego ze szkiekiem,naktrymzaznaczonesjednalubtrzyrysy.Nagrnejpowierzchni linijki i na obu powierzchniach wysuwki znjaduj sie rne skale, ktre oznaczamy literamiA, B, C, D, I, K, L. Podziaki na korpusie Podziaka A podziaka nieregularna, zawierajca liczby naturalne, PodziakaFpodziakalogarytmw,rwnomierna,zawierajcamantysy logarytmw ktrym odpowiadaj liczby naturalne z podziaki A PodziakaDpodziakaposiadajcaskaldwarazymniejszodpodziaki A, przedstawiajca kwadraty liczb Podziaka E podziaka posiadajca skal trzy razy mniejsz od podziaki A, przedstawiajca szeciany liczb Podziaki na przesuwce Podziaka B podziaka identyczna jak podziaka A PodziakaGodwrconapodziakaA(wartocioznaczewzrastajod prawej ku lewej stronie) Podziaka C identyczna z podziak D PodziakaSumieszczanazdrugiejstrony,przypomocyktrej odczytujemy wartoci sinus dla ktw od 5 stopni do 90 stopni Podziaka T dla funkcji tangens Naodwrotnejstroniewysuwkiumieszczonajestskalalogarytmiczna dla funkcji trygonometrycznych: T lub Tg (tangens) S lub Sin (sinus) S & T ( sinus i tangens) NaskaliTpunktpocztkowyumieszczonyjestnaprawymkocu;odpowiada mu kt 45o, poniewa log tg45o=0 Na skali S punktowi pocztkowemu umieszczonemu na kocu skali odpowiada punkt 90o, gdy log sin90o=0 Dlaktwmniejszych od 5o44' warto sinusaitangensa pokrywasie,dlatego utworzona zostaa wsplna skala, majca na prawym kocu punkt To1=So1 Odlego od punktu To, So od punktu pocztkowego wynosi |log tgTo| lub |log sinSo| przy obranej jednostce dugoci. 6. Zasady rachowania na suwaku. Dziaanie suwaka opiera si na wspaniaej prawidowoci przedstawianej wzorem: loga(x * y)=logax + logay *Mnoenie na suwaku to dodawanie odcinkw na skali logarytmicznej, a dzielenie to ich odejmowanie. Technika liczenia Aby dobrze posugiwa si suwakiem logarytmicznym, pamitaj : -Kad liczb jak chcesz mnoy lub dzieli musisz traktowa jako zesp uszeregowanych cyfr bez uwzgldnienia przecinka umiejscowionego, by oddzieli reszt od liczby cakowitej -Nie naley uwzgldnia te zer pocztkowych Np. Liczby29,1 ;2910 ;2,91 ; 0,0291 Zajmuj na podziace A miejsce 291. Wynika wic z tego, e kada liczba na suwaku logarytmicznym musi znale swoja pozycj. Dokadny wynik ustalony zostanie na jej podstawie za pomoc znalezienia miejsca dziesitnego. 8. MNOENIE(iloczyn): Aby pomnoy jedn liczb przez drug za pomoc suwaka logarytmicznego, naley: 1)Odnale skal A oraz skal B 2)Skal A oznaczymy jako nasz skal podstawow, 3)Naley ustali jakie liczby chcemy przez siebie pomnoy. Wemy x=4 i y=2 4)Skala B jest umieszczona na rodkowej wysuwce. Znajdmy tam liczb 4. 5)Zapomocruchomejwysuwkix=4umieszczamypod(lubnadwzalenoci od rodzaju suwaka) cyfr 1. [bierze si to std, e logarytm z 1 rwny jest 0] 6)Pierwszaliczbaziloczynuto4.Naskalipodstawowejszukamyliczbyprzez ktr chcemy pomnoy czwrk. Dla nas bdzie to 2. 7)Ustawiamy kresk okienka na drugim czynniku dziaania 8)Kreska wskazuje na podziace A miejsce wyniku z 9)Ustalamy miejsce dziesitne : USTALANIE MIEJSCA DZIESITNEGO W MNOENIU 1.Pierwszrzeczjakrobimybdzieustaleniesumyilocimiejscjak posiadaj oba czynniki : Liczby wiksze od jednoci posiadaj tyle miejsc dodatnich ile maj cyfr na lewo od przecinka (np. dla 253,3 trzy miejsca dodatnie) Liczbymniejszeodjednociposiadajtylemiejscujemnychilemajzerna prawoodprzecinkadopierwszejcyfryrnejodzera(np.dla0.003dwa miejsca ujemne) 2.Jeliprzesuwkawysuwamywprawstronodsumyilocimiejsc odejmujemy 1. 3.Jeeliprzesuwkwysuwamywlewstronniedodajemyaninie odejmujemy niczego od sumy iloci miejsc. Otrzymanasumailocimiejscwskazujeilomiejscdlaz,ktregomiejscena podziace ju obliczylimy. Rozpatrzmy spraw na przykadzie. 8. DZIELENIE(iloraz): 1)Jest to dziaanie odwrotne do mnoenia, wic wykonywane czynnoci bd analogiczne, przy czym zamiast dodawa bdziemy odejmowa. 2)Odnale skal A oraz skal B 3)Skal A oznaczymy jako nasz skal podstawow, 4)Naley ustali jakie liczby chcemy przez siebie podzieli. Wemy dzieln x=620 iy=23 5)Na podziace A znajdujemy liczb x. Ustawiamy na niej kresk okienka 6)Na podziace B znajdujemy liczb y. Za pomoc wysuwki ustawiamy j pod (lub nad) liczb x. 7)Pod liczb pierwsz wysuwki B znajdujemy miejsce wyniku z. 8)Ustalamy rzeczywist warto wyniku za pomoc ustalenia rnicy miejsc dziesitnych liczb w dziaaniu. USTALANIE MIEJSCA DZIESITNEGO W DZIELENIU 1.Warto ilorazu ustalamy odwrotnie ni w przypadku mnoenia, za pomoc rnicy iloci miejsc dzielnej i dzielnika. 2.Jeli wysuwk przesuwalimy w prawo, do rnicy dodajemy 1, 3.Jeli wysuwk przesuwalimy w lewo rnica pozostaje bez zmian. Jeliwyniksumowanianiemiecisinadolnejlinijce(asuwakniezawiera dodatkowejprzeduonejskaliwprawo),monagrnyodcinekodpowiadajcy mnonikowidodawawlewo.Naliczbmnonejnadolnejlinijcenastawinie lew,aleprawjedynk(jeliktowoli-to"dziesitk")grnejskali,awynik odczyta pod liczb mnonika grnej linijki dodajc odcinki w lewo. Podnoszenie do kwadratu: Podnoszenieliczbdokwadratunasuwakujestznacznieprostszeni jakiekolwiekinnedziaanie.PotrzebujemytylkoznalezieniaprzedziakiDorazA. WanzasadjesttakeprzytymdziaaniupodzieleniepodziakiDnapoow. Bdzietopotrzebneprzyustalaniumiejscliczbypotgowanejiuzyskaniu prawidowegowyniku.Jeliliczbaznajdujesipolewejstroniepodziaki,posiada ilo miejsc rwn (2n 1) czyli podwojona ilo miejsc liczby potgowanej minus jeden.Podajcprzykad:22(1miejsceliczbypotgowanej)wynikaztego,e n=1.Wynikto(2n-1)=>2x1-1=1.22=4.Liczba4ma1miejsce,std sprawdzilimyprawdziwotwierdzenia.Jeeliliczbapodnoszonadokwadratu znajduje si po prawej stronie podziaki D , ilo miejsc wyniku rwna jest 2n , czyli liczbamiejscliczbypotgowanejpomnoonaprzez2.Dlaprzykadu:52(jedno miejsce)wicn=1=>wynikbdzie2n,czylidwumiejscowy.52= 25iznw dowiedlimy suszno. Pierwiastek kwadratowy: To nic innego jak odwrotne uycie przedziaek ni podczas potgowania. W tym przypadku podziaka A bdzie suy do znalezienia liczby ktr mamy zamiar spierwiastkowa, za podziaka D posuy nam do odnalezienia wyniku. Ciekawostki: ROZMAITE ZASTOSOWANIA: *PosiadaczezegarkaCASIOEF-527D-1AVmajczasomierz wyposaony w suwak logarytmiczny. 1) Mnoenie [Przykad]12x15Wyrwnaj12nazewntrznejskaliz10nawewntrznejskali. Nastpnie, 15 na wewntrznejskaliodpowiada 18 nazewntrznejskali.We pod uwag pooenie przecinka dziesitnego i dodaj jedno zero do uzyskania 180. *Komputersamochodowytorwnieprosty,okrgy,suwak logarytmicznywykonanywpostacidwchznitowanychobrotowotarczz podziakami. Pozwala mnoy i dzieli dwie liczby.Przewanie suy do obliczenia redniego zuycia paliwa lub redniej prdkoci samochodu. *Tabelanawietlatoelementuatwiajcyustawieniewarunkw ekspozycjibezwiatomierza.Jakosuwakokrgystanowipodziakina przysonie i migawce aparatu fotograficznego. *Suwak ktry by na ksiycu SUWAK LOGARYTMICZNY JAKO ALTERNATYWA WOBEC INNYCH FORM ROZWIZYWANIA ZADA. Suwak jako narzdzie arytmetyczne to ju przeszo, przewysza on jednak wszelkiekalkulatory ikomputery w szacowaniu proporcji.Rolajakodegrajest nadaljeszczewikszaodzadakomputerw,ktregowypary.Stwierdzenieto jestmoeitrochprzesadne,alecikiewocenie,boniezaprzeczalnyi przygnbiajcyjest fakt,eobecnieju niewieleludziwiecototakiego, doczego takwrzeczywistocitenprzyrzdsuyijaksigostosowao.Komputery stanowiowieleszybszeiatwiejszerozwizywanieskomplikowanychzada matematycznych,chojakwiadomoopierajsionenalogarytmach,ktre dawniejstanowiypodstawrozwizywaniaproblemwprzyuyciusuwaka logarytmicznego.Nowetechnologietakiejak:kalkulatory,komputery,telefony komrkoweznacznieuatwiajycie,awtymliczenie.Wspczesnecywilizacje chtnieuywajatwiejszychform,apostpnaukowysiedotegoznacznie przyczynia,awicuywaniemyleniaodchodzinadalszyplan.Kalkulatorto jedynie bezmylne stosowanie przyciskw, za gdzie jest miejsce na MYLENIE? Welcome. We are students of second class In secondary school number 1 in Supsk .We Get a task to do a project