NOTAS DE AULAS DE ESTRUTURA DA MATÉRIA

Prof. Carlos R. A. Lima

CAPÍTULO 14

SUPERFLUIDEZ E SUPERCONDUTIVIDADE

Primeira Edição – junho de 2005

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CAPÍTULO 14 - SUPERFLUIDEZ E SUPERCONDUTIVIDADE

ÍNDICE 14.1- Introdução 14.2- Aspectos Experimentais de superfluidos 14.3- Condensação de Bose-Einstein 14.4- Formação de Condesados de Bose-Einstein por Resfriamento de Átomos a Laser 14.5- Aspectos Experimentais de Supercondutores 14.6- Pares de Cooper e a Teoria BCS 14.7- Junções Josephson e a Teoria de Ginzburg-Landau 14.8- Quantização do Fluxo Magnético 14.9- Fissão Fusão e Reatores Nucleares Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 4 aulas de quatro créditos.

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Lista de Exercícios 1- Pode-se identificar que um material está no estado de superfluido por meio de três efeitos característicos: efeito do filme migrante, efeito termomecânico e efeito fonte. Em poucas palavras, explique cada um desses efeitos. 2- O que é a condensação de Bose-Einstein? Por que átomos de 3 He podem formar condensados de Bose-Einstein, apesar de terem spins semi – inteiros? 3- Calcule a fração de átomos que se condensam no estado fundamental superfluido

( )3 20 1 cN N T T= − para, (a) 3 4cT T= , (b) 2cT T= , (c) 4cT T= , e (d) 8cT T=

4- Em que temperatura as quantidades de hélio superfluido e hélio normal são iguais? Justifique. Resp.: 1, 37K 5- O hidrogênio spin polarizado tem sido condensado a uma densidade de . Calcule a temperatura crítica para essa densidade assumindo-se que esse sistema comporta-se como um gás ideal.

24 35 10 atomos / mρ = ×

cT

Resp.: 47mK 6- Pode-se identificar que um material está no estado supercondutor por meio de dois efeitos característicos: efeito Meissner e efeito isótopo . Em poucas palavras, explique cada um desses efeitos. 7- Sabendo-se que a temperatura crítica do mercúrio é 4,2cT K= calcule, (a) a energia de gap gε à

, (b) o comprimento de onda 0T = λ do fóton cuja energia é apenas suficiente para desfazer pares de Cooper no mercúrio à . Em que região do espectro eletromagnético se encontra tais fótons? (c) O metal se comporta como um supercondutor quando exposto a uma radiação eletromagnética de comprimento de onda menor do que o determinado no item (b)? Justifique.

0T =

8- A função de onda de um par de Cooper é a soma de ondas que descrevem os dois elétrons que compõem o par, em que os números de onda k de cada elétron, diferem de um valor k∆ , centrado em

, correspondente a um intervalo de energia Fk gε ε∆ ∼ , centrado em Fε . Para um dos elétrons, de

massa efetiva , m∗2 2

2 2

2p km m

ε ∗= = ∗ e, 2 22

k km

ε ∗

∆∆ = , ou

2

2 2

2 2k k m k km k k k

εε

∗

∗

∆ ∆ ∆= = ∼ ∆

, ou

ainda, para Fε ε= , e Fk k= Fε ε∆ = , , g

F F

kk

εε

∆ ∼ . Tipicamente, 410g Fε ε −∼ e portanto, .

No topo da banda de energia , na primeira zona de Brillouin,

4~ 10 Fk k−∆

k aπ= , isto é, nas regiões intermediárias 1k ∼ a , onde a é a separação interatômica cujo valor é da ordem de . (a) Sabendo-se que, do

princípio da incerteza, , faça uma estimativa do tamanho de um par de Cooper de energia de ligação

~ 1 oa A~ 1x k∆ ∆

gε . (b) Sabendo-se que a densidade de elétrons livres num metal é , e que a

fração desses elétrons, que formará pares de Cooper num estado supercondutor, é da ordem de

22 3~ 10 / cmρ

Fk k∆ , determine a densidade sρ de pares de Cooper num supercondutor. (c) Calcule o volume de um par de

Cooper e mostre que, nesse volume, deve conter uma quantidade da ordem de pares de Cooper que superpõem.

6~ 10

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K9- Para o estado supercondutor do tungstênio a temperatura crítica é 12cT m= e o campo magnético

crítico é 410cB T−= . Para o tungstênio a densidade de massa é e a temperatura de Debye é .

319,3 /g cm310D KΘ =

(a) Calcule a energia do gap 2gε = ∆ . (b) Calcule a densidade numérica de partículas NV

ρ = e a

densidade de partículas por unidade de energia 032 F

R ρε

= . (c) Calcule a densidade de energia do

estado supercondutor usando a equação 2

002

cBWµ

= − . (d) Calcule a densidade de energia do estado

supercondutor usando a equação 2

00 2

RW ∆= − e compare o resultado com o obtido no item (c). (e)

Calcule a profundidade de penetração λ do campo magnético no tungstênio. 10- Para o alumínio a temperatura de transição supercondutora é 1,2cT K= , a temperatura de Debye é

, a densidade numérica de átomos é e 420D KΘ = 28 36 10 /atomos mρ = × 51,4 10F

B

Kkε

= × . (a) Calcule

a constante de interação adimensional 0R F de um par de Cooper nesse material. (b) Calcule a razão

2g

B Bk kε ∆

= para o alumínio. (c) Das relações da densidade de energia do estado supercondutor

2 20

002 2

cB RWµ

∆= − = − , e da densidade de partículas por unidade de energia 0

32 F

R ρε

= , encontra-se o

seguinte valor teórico para o campo magnético crítico 032c

F

B µ ρε

= ∆ . Usando essa equação, calcule o

campo magnético crítico no alumínio. Sabendo-se que o valor experimental é 310 10cB T−= × , o que se pode dizer sobre o modelo teórico. (d) Calcule a profundidade de penetração λ do campo magnético no alumínio. Resp.: (a) 0, , (b) , (c) (d) 11 17 4,2K 37 10 T−× nm

11- A equação de London da teoria BCS, 2 02 s

mB Jeρ

+ ∇× = , resulta no efeito Meissner, representado

pela equação . Mostre que para o caso do condutor perfeito, representado pela equação 2B λ= ∇B

2 02 s

mB Jt eρ⎛ ⎞∂

+ ∇× =⎜∂ ⎝ ⎠⎟ , a expressão correta, é 2B Bλ= ∇ , onde

BBt

∂=∂

.

12- O que é uma junção Josephson? Explique como essas junções podem ser utilizadas para construir um Dispositivo Supercondutor de Interferência Quântica (SQUID). Para que servem esses dispositivos? Cite um exemplo de sua utilidade.

13- O fluxo magnético através de um anel supercondutor é quantizado de valores 0 eπ

Φ = . A que valor

de campo magnético médio B esse fluxo magnético corresponde, se o anel tem um diâmetro de 2 ? mmResp.: 92 6 10, T−×