Super�cies

M. Eugenia Rosado MaríaDepartamento de Matemática Aplicada

Escuela Técnica Superior de Arquitectura, UPMAvda. Juan de Herrera 4, 28040-Madrid, Spain

E-mail: eugenia.rosado@upm.es

Índice

1 Representación analítica de super�cies 21.1 Representación explícita o de Monge . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Estudio local de una super�cie 72.1 Plano tangente y recta normal en un punto de una super�cie. 72.2 Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Cálculo de la expresión analítica de la primera formafundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Curvatura normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Teorema de Meusnier (1779) . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Vector curvatura normal, vector curvatura tangencial

y cálculo de la curvatura normal. . . . . . . . . . . . . 182.5 Naturaleza de los puntos de una super�cie . . . . . . . . . . . 202.6 Curvaturas de una super�cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6.1 Direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6.2 Curvaturas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.3 Curvatura de Gauss y curvatura media . . . . . . . . . 23

2.7 Líneas de curvatura y líneas asintóticas . . . . . . . . . . . . . 262.8 Indicatriz de Dupin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9 Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

3 Super�cies regladas 343.1 Curvatura total de las super�cies regladas . . . . . . . . . . . 363.2 Clasi�cación de las super�cies regladas . . . . . . . . . . . . . 383.3 Puntos singulares de una super�cie reglada . . . . . . . . . . . 39

3.3.1 Puntos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2 Arista de retroceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Bibliografía 47

1 Representación analítica de super�cies

De�nición. Se dice que un subconjunto S � R3 es una super�cie parame-trizada si existe un dominio D � R2 y una aplicación

~r : D � R2 �! R3;~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ;

tal que Im~r = S.A la aplicación ~r la denominamos representación paramétrica de S.De�nición. Se dice que un punto P 2 S con �!OP = ~r(u; v), es un punto

regular para la parametrización ~r si se veri�ca: ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) 6= ~0 paratodo (u; v) 2 D, siendo

~ru(u; v) = (xu(u; v); yu(u; v); zu(u; v)) ;

~rv(u; v) = (xv(u; v); yv(u; v); zv(u; v)) :

La notación que utilizamos es: xu(u; v) = @x@u(u; v).

La condición ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v) 6= ~0 signi�ca que los vectores ~ru(u; v),~rv(u; v) son linealmente independientes; esto es,

rg

�xu(u; v) yu(u; v) zu(u; v)xv(u; v) yv(u; v) zv(u; v)

�= 2:

Si tenemos una aplicación diferenciable,

~r : D � R2 �! R3;~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ;

2

con Im~r = S � R3 diremos que un punto P 2 S con �!OP = ~r (u0; v0), es unpunto singular de S si ~ru(u0; v0) ^ ~rv(u0; v0) = ~0.Los puntos singulares pueden aparecer por la naturaleza de la super�cie

o por la elección de la parametrización.

Ejemplo 1 Consideramos la semiesfera superior de radio r y centrada enel origen; esto es, la semiesfera de ecuación cartesiana:

x2 + y2 + z2 = r2; con z � 0:

Consideramos la siguiente parametrización:

~r : [0; 2�)� (0; �=2) �! R3;~r(�; �) = (a cos� sin �; a sin� sin �; a cos �) ;

donde � mide la longitud y � la latitud. Se tiene:

~r�(�; �) = (�a sin� sin �; a cos� sin �; 0) ;~r�(�; �) = (a cos� cos �; a sin� cos �; � a sin �) ;

y

~r�(�; �) ^ ~r�(�; �) =��a2 cos� sin2 �; � a2 sin� sin2 �; � a2 sin � cos �

�= �a2 sin � (cos� sin �; sin� sin �; cos �) :

Por tanto, ~r�(�; �) ^ ~r�(�; �) = ~0 si y sólo si sin � = 0; esto es, si y sólo si� = 0. Luego, la parametrización que tenemos es regular.

Ejemplo 2 Consideramos el semicono circular de ecuación cartesiana:

x2 + y2 � z2 = 0; con z � 0:

Podemos considerar la siguiente parametrización:

~r : [0; 2�)� [0;+1) �! R3;~r(�; t) = (t cos�; t sin�; t) :

Se tiene:

~r�(�; t) = (�t sin�; t cos�; 0) ;~rt(�; t) = (cos�; sin�; 1) ;

3

y

~r�(�; t) ^ ~rt(�; t) =�t cos�; t sin�; � t sin2 �� t cos2 �

�= (t cos�; t sin�; � t) :

Por tanto, ~r�(�; t) ^ ~rt(�; t) = ~0 si y sólo si t = 0. En el punto P = (0; 0; 0)es un punto singular y no podemos de�nir el plano tangente al cono en dichopunto. Nótese también que el punto P es un punto múltiple para dichaparametrización ya que:

~r(�; 0) =�!OP; 8� 2 [0; 2�):

Ejemplo 3 Super�cie de revolución. Consideramos la supe�cie generadaal girar alrededor del eje OZ la curva de ecuación z = f(x), donde f esuna función continua con derivadas continuas de todo orden, contenida en elplano y = 0.Primero parametrizamos la curva que tenemos. En este caso una para-

metrización de la curva con ecuación z = f(x) es: ~s(u) = (u; 0; f(u)), conu 2 R. La matriz del giro de ángulo � alrededor del eje OZ es:0@ cos� � sin� 0

sin� cos� 00 0 1

1A :Al girar la curva dada alrededor del eje OZ obtenemos:0@ cos� � sin� 0

sin� cos� 00 0 1

1A0@ u0f(u)

1A =

0@ u cos�u sin�f(u)

1A , con � 2 [0; 2�):Por tanto, una representación paramétrica de dicha super�cie viene dada por:

~r : (0;+1)� [0; 2�) �! R3;~r(u; �) = (u cos�; u sin�; f(u)) :

Se tiene:

~ru(u; �) = (cos�; sin�; f 0(u)) ;

~r�(u; �) = (�u sin�; u cos�; 0) :

4

Por tanto,

~ru(u; �) ^ ~r�(u; �) = (�uf 0(u) cos�; uf 0(u) sin�; u) 6= ~0

pues u 6= 0. Luego el punto P con coordenadas (0; 0; f(0)) es un puntosingular. Nótese que el punto P es un punto múltiple para dicha parame-trización ya que:

~r(u; �) = (0; 0; f(0)) para todo � 2 [0; 2�):

Ejemplo 4 Toro. Super�cie generada al girar alrededor del eje OZ unacircunferencia de centro (0; b; 0) y radio a con a < b. Véase la siguiente�gura:

Por ejemplo, consideremos la circunferencia de centro C = (0; 2; 0) y radio 1.

­4 ­2 2 4

­4

­2

2

4

y

z

5

Parametrizamos primero dicha circunferencia. Un punto de la circunferenciaes de la forma: (0; 2 + cos�; sin�) con � 2 [0; 2�). Al girarlo alrededor deleje OZ obtenemos:0@ cos � � sin � 0

sin � cos � 00 0 1

1A0@ 02 + cos�sin�

1A =

0@ � sin � (cos�+ 2)cos � (cos�+ 2)

sin�

1A ,con � 2 [0; 2�). Hemos obtenido la siguiente parametrización del toro:

~r : [0; 2�)� [0; 2�) �! R3;~r(�; �) = (� sin � (cos�+ 2) ; cos � (cos�+ 2) ; sin�) :

Esto es,

x(�; �) = � sin � (cos�+ 2) ;y(�; �) = cos � (cos�+ 2) ;

z(�; �) = sin�:

Teniendo en cuenta: cos� =p1� sin2 � obtenemos:

x2 + y2 = (cos�+ 2)2 = cos2 �+ 4 cos�+ 4

= 1� sin2 �+ 4p1� sin2 �+ 4

= 5� z2 + 4p1� z2:

Por tanto, �x2 + y2 + z2 � 5

�2= 16

�1� z2

�es la ecuación implícita del toro.

1.1 Representación explícita o de Monge

Una super�cie S puede venir dada por una ecuación F (x; y; z) = 0 donde Fes una función diferenciable con derivadas parciales continuas de todo orden;esto es,

S =�(x; y; z) 2 R3 j F (x; y; z) = 0

:

Si Fz(x0; y0; z0) 6= 0 por el Teorema de la función implícita sabemos que existeun entorno del punto P = (x0; y0; z0) de manera que en ese entorno podemos

6

ver la super�cie como la grá�ca de una función f(x; y), con (x; y) 2 D. Estoes, tenemos una representación paramétrica de la super�cie de la siguienteforma:

~r : D � R2 �! R3;~r(x; y) = (x; y; f(x; y)) :

Dicha representación, en la que los parámetros son precisamenta las coorde-nadas cartesianas, se denomina carta de Monge o representación explícita deS.

2 Estudio local de una super�cie

Sea una super�cie S � R3 con representación paramétrica regular

~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ; con (u; v) 2 D � R2,

de clase mayor o igual a 3 y sea P 2 S con �!OP = ~r(u; v).

2.1 Plano tangente y recta normal en un punto de unasuper�cie.

De�nición. Decimos que un vector ~w 2 R3 es tangente a la super�cie S enP si es tangente en P a una curva contenida en S.Sea C una curva contenida en la super�cie; C � S. Por tanto, una

representación paramétrica de C es:

~ (t) = ~r(u(t); v(t)) = (x(u(t); v(t)); y(u(t); v(t)); z(u(t); v(t))) :

Utilizando la regla de la cadena obtenemos:

~ 0(t) = ~ru(u(t); v(t))u0(t) + ~rv(u(t); v(t))v

0(t):

Por tanto, cualquier vector tangente a la super�cie S se escribe como com-binación lineal de los vectores ~ru(u; v), ~rv(u; v).NOTA: Si el punto P es regular los vectores ~ru(u; v), ~rv(u; v) son lineal-

mente independientes y forman una base del plano tangente a S en P .

7

Fijados los parámetros v = v0 (resp. u = u0), a las curvas con parame-trizaciones

~r(u; v0) = (x(u; v0); y(u; v0); z(u; v0)) ; u 2 I;(resp. ~r(u0; v) = (x(u0; v); y(u0; v); z(u0; v)) ; v 2 J),

las denominamos curvas paramétricas o coordenadas.De�nición. El plano tangente a S en P es el plano que contiene a P y

está generado por los vectores ~ru(u; v), ~rv(u; v).La ecuación cartesiana del plano tangente a S en P es

det(��!PX; ~ru(u; v); ~rv(u; v)) = 0:

De�nición. La recta normal a la super�cie en P es la recta ortogonal alplano tangente a S en P .El vector director de la recta normal en P es:

~ru(u; v) ^ ~rv(u; v):

De�nición. Llamamos vector normal unitario a la super�cie S en el puntoP al vector:

~N(u; v) =~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k

:

Nótese que la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto P decoordenadas (a; b; c) con ~N(u; v) = (N1; N2; N3) es

N1(x� a) +N2(y � b) +N3(z � c) = 0:

Si la super�cie S viene dada por una ecuación implícita F (x; y; z) = 0,con F 2 C1(R3), sabemos que el vector gradiente de F es ortogonal a lassuper�cies de nivel de F . Por tanto, el vector rF es un vector ortogonal alplano tangente de la super�cie. Por tanto, en este caso, la ecuación del planotangente en P se puede escribir como sigue:

0 = rF (a; b; c) � ��!PX= rF (a; b; c) � (x� a; y � b; z � c)= Fx(a; b; c) (x� a) + Fy(a; b; c) (y � b) + Fz(a; b; c) (z � c) :

Ejemplo. Vamos a hallar la ecuación del plano tangente de la super�cie conecuación implícita z = x2 � y2 en el punto (�1; 1; 0).

8

El vector gradiente de F (x; y; z) = z�f(x; y) es: rF (x; y; z) = (�2x; 2y; z).Por tanto, la ecuación del plano tangente a la super�cie z = x2 � y2 en elpunto (�1; 1; 0) es:

0 = rF (�1; 1; 0) � (x+ 1; y � 1; z)= (2; 2; 1) � (x+ 1; y � 1; z)= 2(x+ 1) + 2(y � 1) + z.

2.2 Primera forma fundamental

De�nición. Llamamos primera forma fundamental de S en P a la formabilineal simétrica de�nida positiva IP asociada al producto escalar inducidoen el plano tangente a S en P por el producto escalar en R3.

2.2.1 Cálculo de la expresión analítica de la primera forma fun-damental

Cualquier vector ~w 2 TPS se escribe de la siguiente manera:

~w = h(u; v) ~ru(u; v) + k(u; v) ~rv(u; v);

siendo h; k 2 C1(D). Por simplicidad, escribiremos: ~w = h ~ru + k ~rv.Tenemos:

~w1 � ~w2 = (h1~ru + k1~rv) � (h2~ru + k2~rv)= h1h2~ru � ~ru + (h1k2 + h2k1)~ru � ~rv + k1k2~rv � ~rv

= (h1; k1)

�E FF G

��h2k2

�;

donde

E = ~ru � ~ru = x2u + y2u + z2u > 0;F = ~ru � ~rv = xuxv + yuyv + zuzv;G = ~rv � ~rv = x2v + y2v + z2v > 0:

Esto es,

IP : TPS � TPS �! R;

IP (~w1; ~w2) = (h1; k1)

�E FF G

��h2k2

�;

9

siendo (h1; k1) (resp. (h2; k2)) las coordenadas de ~w1 (resp. ~w2) en la base(~ru; ~rv) de TPS. Nótese que IP es de�nida positiva pues teniendo en cuentalas expresiones de los vectores ~ru; ~rv y haciendo algunos cálculos se obtiene:

traza

�E FF G

�= E +G > 0;

det

�E FF G

�= EG� F 2 = k~ru ^ ~rvk2 > 0:

2.2.2 Aplicaciones

1. Cálculo de la longitud de una curva contenida en la super�cie.

Vamos a calcular la distancia entre dos puntos P = ~r(u0; v0) y Q =~r(u1; v1) de la super�cie. Consideramos una curva en la super�cie Scon parametrización

~ (t) = ~r(u(t); v(t)) = (x(u(t); v(t)); y(u(t); v(t)); z(u(t); v(t)))

tal que en t0 estemos en el punto P y en t1 estemos en el punto Q, estoes,

P = ~ (t0) = ~r(u(t0); v(t0));

Q = ~ (t1) = ~r(u(t1); v(t1)):

Llamamos L la longitud de curva entre los puntos P y Q. Se tiene:

L =

Z t1

t0

k~ 0(t)k dt:

Como:

k~ 0(t)k2 = (~ruu0(t) + ~rvv

0(t)) � (~ruu0(t) + ~rvv0(t))= (u0(t))

2~ru � ~ru + 2u0(t)v0(t)~ru � ~rv + (v0(t))2 ~rv � ~rv

= E (u0(t))2+ 2Fu0(t)v0(t) +G (v0(t))

2

= I~r(t)(~ 0(t); ~ 0(t));

se tiene:

L =

Z t1

t0

�I~ (t)(~

0(t); ~ 0(t))�1=2

dt:

10

2. Cálculo del ángulo que forman en P dos curvas C1 y C2 contenidas enla super�cie.

Sea ~w1 el vector tangente a C1 en P y sea ~w2 el vector tangente a C2en P . El ángulo � que forman las dos curvas C1; C2 es el ángulo queforman sus respectivos vectores tangentes en P . Por tanto,

cos � =~w1 � ~w2

k~w1k k~w2k=

IP (~w1; ~w2)

IP (~w1; ~w1)1=2IP (~w2; ~w2)1=2:

Las curvas C1 y C2 son ortogonales si � = �=2; esto es, si IP (~w1; ~w2) =0.

Si C1 y C2 son las curvas coordenadas; esto es, ~w1 = (1; 0) y ~w2 = (0; 1),entonces,

cos � =FpEG

:

Por tanto, las curvas coordenadas son ortogonales si y sólo si F = 0.

3. Cálculo del área de una región � de la super�cie.

Consideramos la región � de la super�cie limitada por las curvas coor-denadas

~r(u0; v); ~r(u0 +�u; v); ~r(u; v0); ~r(u; v0 +�v):

El incremento de área A de la región � viene dada por el producto delas longitudes de sus lados por el seno del ángulo que forman, esto es,

�A = k~ru(u0; v0)k k~rv(u0; v0)k sin��u�v= k~ru(u0; v0) ^ ~rv(u0; v0)k�u�v=

pEG� F 2�u�v:

Por tanto, el área de la región � puede calcularse mediante la siguienteintegral:

A =

Z Z�

pEG� F 2dudv:

11

Ejemplos

1. Esfera. Consideramos la siguiente parametrización de la esfera de radio1 y centro el origen de coordenadas:

~r(�; �) = (cos� cos �; cos� sin �; sin�) ; (�; �) 2 (��=2; �=2)�[0; 2�):

Se pide:

(a) Expresión de la primera forma fundamental.Se tiene:

~r�(�; �) = (� sin� cos �; � sin� sin �; cos�) ;~r�(�; �) = (� cos� sin �; cos� cos �; 0) :

Por tanto,

E(�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = sin2 ��cos2 � + sin2 �

�+ cos2 � = 1;

F (�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = sin� cos � cos� sin � � sin� sin� cos � cos � = 0;G(�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = cos2 �

�sin2 � + cos2 �

�= cos2 �:

La matriz asociada a la primera forma fundamental en un puntoarbitario P = ~r(�; �) de la super�cie es:�

1 00 cos2 �

�Como F = 0 las curvas coordenadas ~r(�0; �) (paralelo) y ~r(�; �0)(meridiano) son ortogonales entre si.

(b) La longitud de la curva parámetro � = �0.La curva parámetro � = �0 (meridiano � = �0) tiene la siguienteparametrización:

~r(�) = ~r(�; �0) = (cos� cos �0; cos� sin �0; sin�) ; � 2 [0; 2�):

Se tiene:

~r 0(�) = ~ru(�; �0) = 1 � ~ru(�; �0) + 0 � ~r�(�; �0);

12

por tanto (1; 0) son las coordenadas del vector tangente ~r 0(�) enla base f~r�(�; �0); ~r�(�; �0)g y

I~r(�)(~r0(�); ~r 0(�)) = (1; 0)

�1 00 cos2 �

��10

�= 1:

Por tanto,

L =

Z �=2

��=21dt = �:

(c) La longitud de la curva parámetro � = �0.La curva parámetro � = �0 (paralelo � = �0) tiene la siguienteparametrización:

~r(�) = ~r(�0; �) = (cos�0 cos �; cos�0 sin �; sin�0) ; � 2 [��=2; �=2]:Se tiene:

~r 0(�) = ~r�(�0; �) = 0 � ~r�(�0; �) + 1 � ~r�(�0; �);por tanto (0; 1) son las coordenadas del vector tangente ~r 0(�) enla base f~r�(�0; �); ~r�(u0; �)g y

I~r(�)(~r0(�); ~r 0(�)) = (0; 1)

�1 00 cos2 �0

��01

�= cos2 �0:

Por tanto,

L =

Z 2�

0

cos2 �0dt = 2� cos2 �0:

2. Se considera la super�cie formada por las rectas que se apoyan en lahélice de ecuación ~�(u) = (cosu; sinu; u), u � 0, paralelas al planoz = 0 y que se apoyan en el eje OZ. Véase la siguiente grá�ca:

13

(a) Vamos a hallar una parametrización de dicha super�cie.Un punto X de la super�cie satisface la siguiente ecuación:

��!OX =

��!OP 0 + �

��!P 0P

donde P 0 es el punto del eje OZ y P , P 0 están en la recta quese apoya en la hélice y en el eje OZ y que es paralela al planoz = 0. Por tanto si P es el punto de la hélice con coordenadas(cosu; sinu; u), las coordenadas de P 0 son (0; 0; u). se tiene:

~r(u; �) = (0; 0; u) + � (cosu; sinu; 0)

= (� cosu; � sinu; u) , con u � 0 y � 2 [0; 1].

(b) Veamos que ~r(u; �) es una parametrización regular. Se tiene:

~ru(u; �) = (�� sinu; � cosu; 1) ;~r�(u; �) = (cosu; sinu; 0) ;

~ru(u; �) ^ ~r�(u; �) = (� sinu; cosu; � �) ;k~ru(u; �) ^ ~r�(u; �)k =

p1 + �2 6= 0;

por tanto, la parametrización es regular.

(c) Primera forma fundamental. Se tiene:

E(u; �) = ~ru(u; �) � ~ru(u; �) = (�� sinu; � cosu; 1) � (�� sinu; � cosu; 1)= �2 + 1;

F (u; �) = ~ru(u; �) � ~r�(u; �) = (�� sinu; � cosu; 1) � (cosu; sinu; 0)= 0;

G(u; �) = ~r�(u; �) � ~r�(u; �) = (cosu; sinu; 0) � (cosu; sinu; 0)= 1:

Por tanto,

IP : TPS � TPS �! R;

IP (~w1; ~w2) = (a1; b1)

��2 + 1 00 1

��a2b2

�;

con ~w1 = (a1; b1) y ~w2 = (a2; b2).

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2.3 Segunda forma fundamental

En el estudio de curvas, la curvatura medía la tasa de variación de la rectatangente en el entorno de un punto de la curva. Extendemos esta idea alestudio de super�cies. Vamos a medir la distancia entre la super�cie y elplano tangente a la super�cie en un punto P 2 S, en puntos de la super�ciepróximos al punto P . Para ello vamos a estudiar cómo varía el campo normalunitario ~N en un entorno del punto P .Sea una super�cie S � R3 con representación paramétrica regular

~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) , con (u; v) 2 D � R2,

de clase mayor o igual a 3. El campo normal unitario ~N asigna a cada puntoP de la super�cie, con

�!OP = ~r(u; v), su vector normal unitario; esto es,

~N : D �! R3; ~N(u; v) =~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)k

:

Usaremos la notación ~N(u; v), ~NP indistintamente. Y denotaremos D ~NP (~w)a la derivada direccional de la aplicación ~N en el punto P y en la direccióndel vector unitario ~w tangente a la super�cie en el punto P .Derivando la identidad ~NP � ~NP = 1 en la dirección de un vector unitario

~w tangente a la super�cie en el punto P , obtenemos:

0 = 2D ~NP (~w) � ~NP ; con ~w 2 TPS, k~wk = 1:

De donde se concluye que el vector D ~NP (~w) es ortogonal al vector normal~NP , luego,

D ~NP (~w) 2 TPS;

esto es, ImD ~NP = TPS.De�nición. Llamamos segunda forma fundamental de S en P a la forma

cuadrática IIP de�nida en TPS de la siguiente manera:

IIP : TPS �! R; IIP (~w) = �D ~NP (~w) � ~w:

Vamos a calcular la expresión analítica de la segunda forma fundamental enla base f~ru(u; v); ~rv(u; v)g de TPS. Cualquier vector ~w 2 TPS se escribe dela siguiente manera:

~w = h(u; v) ~ru(u; v) + k(u; v) ~rv(u; v);

15

y

D ~NP (~w) = r ~NP � ~w=

�~Nu(u; v); ~Nv(u; v)

�� (h(u; v); k(u; v))

= h(u; v) ~Nu(u; v) + k(u; v) ~Nv(u; v):

Por simplicidad, escribiremos: ~w = h ~ru + k ~rv y D ~NP (~w) = h ~Nu + k ~Nv.Tenemos:

IIP (~w) = �D ~NP (~w) � ~w= �

�h ~Nu + k ~Nv

�� (h ~ru + k ~rv)

= �h2 ~Nu � ~ru � hk�~Nu � ~rv + ~Nv � ~ru

�� k2 ~Nv � ~rv

= Lh2 + 2Mhk +Nk2;

donde

L = �~ru � ~Nu = ~ruu � ~N;2M = �

�~ru � ~Nv + ~rv � ~Nu

�= 2~ruv � ~N;

N = �~rv � ~Nv = ~rvv � ~N:

Las fórmulas anteriores se obtienen teniendo en cuenta: ~ru� ~N = 0 y ~rv � ~N = 0,pues ~ru; ~rv 2 TPS. Por tanto, derivando estas igualdades tenemos:

0 = @@u

�~ru � ~N

�= ~ruu � ~N + ~ru � ~Nu

0 = @@v

�~ru � ~N

�= ~ruv � ~N + ~ru � ~Nv

0 = @@u

�~rv � ~N

�= ~rvu � ~N + ~rv � ~Nu

0 = @@v

�~rv � ~N

�= ~rvv � ~N + ~rv � ~Nv

=)�~ru � ~Nu = ~ruu � ~N;��~ru � ~Nv + ~rv � ~Nu

�= 2~ruv � ~N;

�~rv � ~Nv = ~rvv � ~N:

Ejemplo Hallar la segunda forma fundamental del toro con parametrización:

~r : [0; 2�)� [0; 2�) �! R3;~r(�; �) = ((cos�+ 2) cos �; (cos�+ 2) sin �; sin�) :

16

Solución. Se tiene:

~r�(�; �) = (� sin� cos �; � sin� sin �; cos�) ;~r�(�; �) = (� (cos�+ 2) sin �; (cos�+ 2) cos �; 0) ;

~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)= (� cos� (cos�+ 2) cos �; � cos� (cos�+ 2) sin �; � sin� (cos�+ 2)) ;

k~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)k = cos�+ 2;luego

~N(�; �) =~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)k~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)k

= (� cos� cos �; � cos� sin �; � sin�) :

Y

~r��(�; �) = (� cos� cos �; � cos� sin �; � sin�) ;~r��(�; �) = (sin� sin �; � sin� cos �; 0) ;~r��(�; �) = (� (cos�+ 2) cos �; � (cos�+ 2) sin �; 0) ;

por tanto,

L(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = 1;M(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = 0;N(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = cos� (cos�+ 2) :

Luego,IIP (h; k) = h

2 + cos� (cos�+ 2) k2:

2.4 Curvatura normal

Se tiene el siguiente resultado:

2.4.1 Teorema de Meusnier (1779)

Sea C una curva sobre una supericie S y sea P un punto de la curva. Entoncesla curvatura k de C en P y la curvatura kN de la sección normal de lasuper�cie con el plano � que contiene al punto P y tiene como vectores

17

directores el vector normal a la super�cie y el vector tangente a en P ,satisfacen la siguiente relación:

kN = k cos�

donde � es el ángulo que forma el plano osculador de en P y e plano �.Se denomina curvatura normal en un punto P de la super�cie en la di-

rección de la curva C con parametrización natural ~ (s) a

kN(s) = ~k(s) � ~NP = k(s)~n(s) � ~NP :

Nota. Todas las curvas sobre la super�cie que tienen la misma rectatangente en el punto P , tienen la misma curvatura normal en P .

2.4.2 Vector curvatura normal, vector curvatura tangencial y cál-culo de la curvatura normal.

Sea S una super�cie con parametrización ~r(u; v) y sea C una curva contenidaen la super�cie con parametrización natural:

~ (s) = ~r(u (s) ; v (s)), con s 2 I � R,

y sea P un punto arbitrario de la curva; esto es,�!OP = ~ (s).

Se tiene:

~t(s) = ~ 0(s);

~k(s) = ~t 0(s) = k(s)~n(s); vector curvatura de C en P:

Descomponemos el vector curvatura de la siguiente manera:

~k(s) = ~kN(s) + ~kg(s) donde

(~kN(s) =

�~k(s) � ~NP

�~NP ;

~kg(s) = ~k(s)� ~kN(s):

Llamamos vector curvatura normal a la proyección del vector curvatura sobreel vector curvatura normal ~NP de la super�cie; esto es,

~kN(s) =�~k(s) � ~NP

�~NP :

Y llamamos vector curvatura tangencial o geodésica al vector ~kg(s). Derivandola identidad ~t(s) � ~NP = 0 obtenemos:

0 = ~t 0(s) � ~NP + ~t(s) �d ~NPds

= kN(s) + ~t(s) �d ~NPds

;

18

donde d ~NP=ds es la derivada del campo ~N en el punto P en la dirección delvector ~r 0(s); esto es,

d ~NPds

= D ~NP (~ 0(s))

con~ 0(s) = ~ru(u (s) ; v (s))u

0(s) + ~rv(u (s) ; v (s))v0(s):

Por tanto,

kN(s) = �d~NPds

� ~t(s)

= �D ~NP (~ 0(s)) � ~ 0(s) = IIP (~ 0(s)) :

Si~�(t) = ~r(u (t) ; v (t)), con t 2 J � R,

es una parametrización arbitraria de la curva C, entonces, el vector ~ 0(t) noes unitario y se veri�ca la siguiente igualdad:

kN(t) =IIP

�~� 0(t)

�IP

�~� 0(t); ~� 0(t)

� :Obsérvese que kN(t) sólo depende de la dirección del vector tangente a lacurva en el punto P .Se puede hablar de curvatura normal a una super�cie en un punto P en

la dirección de un vector ~w 2 TPS; esto es,

kN (~w) =IIP (~w)

IP (~w; ~w):

Nota. Si las coordenadas del vector ~w 2 TPS en la base f~ru(u; v); ~rv(u; v)gde TPS son (h(u; v); k(u; v)) entonces usaremos también la notación:

kN (h; k) =IIP ((h; k))

IP ((h; k));

donde h = h(u; v), k = k(u; v).

19

2.5 Naturaleza de los puntos de una super�cie

Vamos a estudiar la posición de la super�cie con respecto a su plano tangente.El vector ~kN(u; v) = kN(u; v) ~NP tiene la dirección del vector normal a lasuper�cie en el punto P con

�!OP = ~r(u; v) y su sentido depende del signo de

la curvatura normal. Teniendo en cuenta la primera forma fundamental esde�nida positiva, el signo de la curvatura normal depende únicamente de lasegunda forma fundamental. La matriz de la segunda forma fundamental es:�

L MM N

�y su determinante es: � = LN �M2. Se tiene:

� > 0 Entonces IIP es de�nida (o positiva o negativa). Por lo tanto no hayninguna dirección en la que kN se anule (todos los autovalores de lamatriz de IIP tienen el mismo signo). La curvatura normal tiene signoconstante en un entorno del punto P . En un entorno de P la super�cieestá en uno de los semiespacios que determina el plano tangente a S enP . El punto P se dice que es un punto elíptico.

� = 0 Y suponemos que L;M;N no se anulan simultáneamente. Por tanto,� = LN �M2 = 0 nos indica que la matriz de IIP tiene un autovalor� = 0; esto es, existe una dirección a lo largo de la cual kN = 0. Eneste caso el punto de contacto de la super�cie con el plano tangente sedice que es un punto parabólico.

� < 0 Entonces IIP es inde�nida. Por lo tanto la matriz de IIP tiene unautovalor positivo y otro negativo; esto es, existe una dirección a lolargo de la cual kN > 0 y otra a lo largo de la cual kN < 0. El planotangente a S en P interseca a la super�cie en dos direcciones. El puntoP se dice que es un punto hiperbólico.

Ejemplo Clasi�car los puntos del toro con parametrización:

~r : [0; 2�)� [0; 2�) �! R3;~r(�; �) = ((cos�+ 2) cos �; (cos�+ 2) sin �; sin�) :

20

Solución. Teniendo en cuenta que la matriz de la segunda forma funda-mental de S en un punto P , con

�!OP = ~r(�; �), es:�

1 00 cos� (cos�+ 2)

�se tiene:

� = det

�1 00 cos� (cos�+ 2)

�= cos� (cos�+ 2) :

Como cos�+ 2 > 0, el signo de � depende del signo de cos�.Si � 2 [0; �=2) [ (3�=2; 2�], entonces � > 0 y los puntos son elípticos.Si � 2 f�=2; 3�=2g, entonces � = 0 y los puntos son parabólicos.Si � 2 (�=2; 3�=2) entonces � < 0 y los puntos son hiperbólicos.

2.6 Curvaturas de una super�cie

De todas las direcciones del plano tangente a la super�cie S en un punto P ,es interesante determinar aquellas en las que la curvatura normal en el puntoalcanza sus valores extremos.

2.6.1 Direcciones principales

De�nición. Se llaman direcciones principales de S en P a las direcciones delplano tangente a S en P en las que la curvatura normal toma sus valoresextremos. A las curvaturas coorespondientes las denominaremos curvaturasprincipales.Vamos a hallar las direcciones principales de una super�cie S en un punto

P con curvatura normal:

kN ((h; k)) =IIP ((h; k))

IP ((h; k))=Lh2 + 2Mhk +Nk2

Eh2 + 2Fhk +Gk2:

En las direcciones ~v = (h; k) 2 TPS principales se debe cumplir:

0 =@kN@h

(h; k) =2

IP ((h; k))((Lh+Mk)� kN (Eh+ Fk)) ;

0 =@kN@k

(h; k) =2

IP ((h; k))((Mh+Nk)� kN (Fh+Gk)) :

21

Por tanto las direcciones principales (h; k) 2 TPS deben satisfacer el siguientesistema de ecuaciones:�

(L� kNE)h+ (M � kNF ) k = 0;(M � kNF )h+ (N � kNG) k = 0:

(1)

El sistema (1) se puede escribir de la siguiente forma:�Lh+Mk = kN (Eh+ Fk) ;Mh+Nk = kN (Fh+Gk) :

Por tanto,

kN =Lh+Mk

Eh+ Fk=Mh+Nk

Fh+Gk;

equivalentemente,

0 = (FN �GM) k2 � (GL�NE)hk + (EM � FL)h2

esto es,

0 =

������k2 �hk h2

E F GL M N

������Tomando la dirección (1; � = h=k) tenemos:

0 = (FN �GM)�2 � (GL�NE)�+ (EM � FL) :

Si FN � GM 6= 0, las soluciones �1; �2 de esta ecuación de segundo gradoen � nos da las dos direcciones principales: (1; �1), (1; �2). Se demuestra quelos vectores (1; �1), (1; �2) son ortogonales; esto es,

IP ((1; �1); (1; �2)) = E + F (�1 + �2) +G�1�2

= E + FGL�NEFN �GM +G

EM � FLFN �GM

= 0:

De�nición. Un punto P 2 S se dice umbilical si las formas fundamentalesen él son proporcionales; equivalentemente, si

kN =L

E=M

F=N

G:

En los puntos umbilicales todas las direcciones se pueden considerar princi-pales. Un caso particular de punto umbilical es un punto plano, en el quese anula la segunda forma fundamental y, por tanto, kN = 0 en cualquierdirección.

22

2.6.2 Curvaturas principales

Vamos a hallar las curvaturas principales de una super�cie S en un punto P .Tomando la dirección (1; �) la ecuación

kN (h; k) =Lh+Mk

Eh+ Fk=Mh+Nk

Fh+Gk;

se escribe:

kN (1; �) =L+M�

E + F�=M +N�

F +G�()

�(L+M�)� kN (E + F�) = 0(M +N�)� kN (F +G�) = 0

y eliminando � en el sistema anterior obtenemos:�EG� F 2

�k2N � (EN +GL� 2FM) kN + LN �M2 = 0

esto es,���� E FF G

���� k2N ������ E MF N

����+ ���� L FM G

����� kN + ���� L MM N

���� = 0cuyas soluciones k1, k2 son las curvaturas principales.El discriminante de la ecuación anterior es siempre mayor o igual que

cero, y por tanto, las soluciones de dicha ecuación siempre son reales.

2.6.3 Curvatura de Gauss y curvatura media

De�nición. Se denomina curvatura de Gauss o total de una super�cie S enun punto P 2 S al producto de las curvaturas principales; esto es,

K = k1k2 =LN �M2

EG� F 2 :

Teniendo en cuenta EG�F 2 > 0 se deduce que el signo de la curvatura totaldepende del signo de LN �M2. Se tiene:

1. Un punto P de la super�cie es elíptico si y sólo si K > 0.

2. Un punto P de la super�cie es parabólico si y sólo si K = 0.

3. Un punto P de la super�cie es hiperbólico si y sólo si K < 0.

De�nición. Se denomina curvatura media de una super�cie S en un puntoP 2 S a la media aritmética de las curvaturas principales; esto es,

km =k1 + k22

=1

2

EN +GL� 2FMEG� F 2 :

23

Ejemplo Se considera la siguiente parametrización del toro:

~r : [0; 2�)� [0; 2�) �! R3;~r(�; �) = ((cos�+ 2) cos �; (cos�+ 2) sin �; sin�) :

Se pide:

1. Curvatura normal en el punto P de coordenadas (2; 0; 1).

2. Direcciones principales en el punto P .

3. Curvaturas principales en el punto P .

4. Curvatura de Gauss en el punto P .

5. Curvatura media en el punto P .

Solución.El punto P se alcanza para los valores de los parámetros � = �=2 y � = 0.

Tenemos:

~r�(�; �) = (� sin� cos �; � sin� sin �; cos�) ;~r�(�; �) = (� (cos�+ 2) sin �; (cos�+ 2) cos �; 0) ;

y

~N(�; �) =~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)k~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)k

= (� cos� cos �; � cos� sin �; � sin�) :

Por tanto,

E(�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = 1;F (�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = 0;G(�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = (cos�+ 2)2 ;

y

L(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = 1;M(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = 0;N(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = cos� (cos�+ 2) :

24

Por tanto, la matriz de la primera forma fundamental de S en un puntoP es: �

E (�=2; 0) F (�=2; 0)F (�=2; 0) G (�=2; 0)

�=

�1 00 4

�y la matriz de la segunda forma fundamental de S en un punto P es:�

L (�=2; 0) M (�=2; 0)M (�=2; 0) N (�=2; 0)

�=

�1 00 0

�:

La curvatura normal en la dirección del vector ~w 2 TPS con coordenadas(h; k) es:

kN(h; k) =IIP (h; k)

IP (h; k)=

h2

h2 + 4k2:

Las direcciones principales (1; �) en P son las soluciones de la ecuación:

0 =

�������2 �� 11 0 41 0 0

������ = �4� =) � = 0.

Si tomamos el vector de coordenadas (�; 1), entonces la ecuación se escribe:

0 =

������1 �� �2

1 0 41 0 0

������ = �4� =) � = 0.

Por tanto, las direcciones principales son las de los vectores de coordenadas(1; 0) y (0; 1).Las curvaturas principales son:

kN(1; 0) =IIP (1; 0)

IP (1; 0)= 1;

kN(0; 1) =IIP (0; 1)

IP (0; 1)= 0:

Si consideramos la ecuación de las curvaturas principales:���� 1 00 4

���� k2N ������ 1 00 0

����+ ���� 1 00 4

����� kN + ���� 1 00 0

���� = 0obtenemos:

4 (kN � 1) kN = 0 =)�kN = 1kN = 0

La curvatura de Gauss es el producto de las curvaturas principales: k1k2 = 0y la curvatura media es (k1 + k2) =2 = 1=2.

25

2.7 Líneas de curvatura y líneas asintóticas

De�nición. Una curva C contenida en una super�cie S se denomina líneade curvatura si la dirección del vector tangente en cada uno de sus puntoscoincide con la dirección principal en ese punto.Véase el siguiente grá�co en el que se muestran las líneas de curvatura en

el punto (0; 0; 0) de la super�cie con ecuación z = x2 � y2:

Sea S una super�cie con parametrización ~r(u; v) y sea C una curva con-tenida en la super�cie con parametrización:

~ (t) = ~r(u (t) ; v (t)), con t 2 I � R,

y sea P un punto arbitrario de la curva; esto es,�!OP = ~ (t). La curva C es

una línea de curvatura si las coordenadas (u0 (t) ; v0(t)) del vector ~ 0(t) enla base f~ru(u (t) ; v (t)), ~rv(u (t) ; v (t))g de TPS son solución de la siguienteecuación diferencial:

0 = (FN �GM) (v0(t))2 � (GL�NE)u0 (t) v0(t) + (EM � FL) (u0 (t))2

esto es,

0 =

������(v0(t))2 �u0 (t) v0(t) (u0 (t))2

E F GL M N

������De�nición. Una dirección se denomina asintótica respecto a un punto P deS si se anula en ella la segunda forma fundamental en P ; esto es, la direccióndel vector ~w = (h; k) es asintótica si

IIP (h; k) = 0:

26

De�nición. Una curva C contenida en una super�cie S se denominalínea asintótica si la dirección del vector tangente en cada uno de sus puntoscoincide con una dirección asintótica.La curva C es una línea asintótica si las coordenadas (u0 (t) ; v0(t)) del

vector ~ 0(t) en la base f~ru(u (t) ; v (t)), ~rv(u (t) ; v (t))g de TPS son soluciónde la siguiente ecuación diferencial:

0 = L (u0(t))2+ 2Mu0(t)v0(t) +N (v0(t))

2:

Ejemplo Se considera la super�cie con parametrización:

~r : R2 �! R3; ~r(u; v) =�u; v; u2 � v2

�:

Se pide:

1. Clasi�car los puntos de la super�cie.

2. Curvatura normal y curvaturas principales en el punto P de coorde-nadas (0; 0; 0).

3. Líneas de curvatura en el punto P .

4. Líneas asintóticas en el punto P .

Solución. Tenemos:

~ru(u; v) = (1; 0; 2u) ;

~rv(u; v) = (0; 1; � 2v) ;~N(u; v) =

~ru(u; v) ^ ~ru(u; v)k~ru(u; v) ^ ~ru(u; v)k

=1p

4u2 + 4v2 + 1(�2u; 2v; 1)

~ruu(u; v) = (0; 0; 2) ;

~ruv(u; v) = (0; 0; 0) ;

~rvv(u; v) = (0; 0; � 2) :

27

Por tanto,

E(u; v) = ~ru(u; v) � ~ru(u; v) = 1 + 4u2;F (u; v) = ~ru(u; v) � ~rv(u; v) = �4uv;G(u; v) = ~rv(u; v) � ~rv(u; v) = 1 + 4v2;

L(u; v) = ~ruu(u; v) � ~N(u; v) =2p

4u2 + 4v2 + 1;

M(u; v) = ~ruv(u; v) � ~N(u; v) = 0;

N(u; v) = ~rvv(u; v) � ~N(u; v) =�2p

4u2 + 4v2 + 1:

La matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P de lasuper�cie es: �

1 + 4u2 �4uv�4uv 1 + 4v2

�:

La matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P de lasuper�cie es:

2p4u2+4v2+1

0

0 �2p4u2+4v2+1

!:

El determinante L(u; v)N(u; v) �M(u; v)2 < 0, por tanto, todos los puntosde la super�cie son puntos hiperbólicos.La curvatura normal en el punto P = ~r(0; 0) en la dirección de un vector

(h; k) es:

kN(h; k) =2h2 � 2k2h2 + k2

Si suponemos (h; k) = (cos�; sin�) tenemos:

kN(cos�; sin�) = 2�cos2 �� sin2 �

�= 2 cos 2�:

Por tanto, kN toma el valor máximo 2 para � = 0; �, en la dirección de losvectores (1; 0) y (�1; 0), y kN toma el valor mínimo �2 para � = �=2; 3�=2,en la dirección de los vectores (0; 1) y (0;�1).Para � 2 (��=4; �=4) [ (3�=4; 5�=4), la curvatura normal es positiva.Para � 2 (�=4; 3�=4) [ (5�=4; 7�=4), la curvatura normal es negativa.Para � = �=4; 3�=4, la curvatura normal es cero. Por tanto, las direc-

ciones asintóticas son:

(cos�=4; sin �=4) = (p2=2;

p2=2);

(cos 3�=4; sin 3�=4) = (�p2=2;

p2=2):

28

La ecuación diferencial de las líneas de curvatura en P es:

0 =

������(v0(t))2 �u0(t)v0(t) (u0(t))2

1 0 12 0 �2

������ = �4u0(t)v0(t)Esto es, u0(t) = 0 ó v0(t) = 0. Por tanto, las líneas de curvatura son u(t) = u0ó v(t) = v0, con u0 y v0 constantes. Como estamos en el punto P = ~r(0; 0),tenemos u(0) = 0 y v(0) = 0, por tanto, las líneas de curvatura son:

~r(0; v) =�0; v; � v2

�;

~r(u; 0) =�u; 0; u2

�:

La ecuación diferencial de las líneas asintóticas en P es:

0 = 2 (u0(t))2 � 2 (v0(t))2 =) 0 = u0(t) + v0(t) ó 0 = u0(t)� v0(t)

Integrando obtenemos: u(t) = �v(t) + k. Como u(0) = v(0) = 0, se tiene:u = �v. Las líneas asintóticas son:

~r(u; u) = (u; u; 0)

~r(u;�u) = (u; � u; 0)

2.8 Indicatriz de Dupin

Vamos a estudiar la curvatura normal de una super�cie en un punto P dela super�cie. Supongamos que en un entorno del punto P tenemos unaparametrización de Monge de la super�cie de la forma:

~r(u; v) = (u; v; f(u; v)) ;

con fu(u; v) = fv(u; v) = 0. En este caso se tiene:

~ru(u; v) = (1; 0; 0) ;

~rv(u; v) = (0; 1; 0) ;

~N(u; v) = (0; 0; 1) :

Estamos suponiendo que la super�cie está situada de manera que el punto Psea el origen de coordenadas y el plano tangente a la super�cie en el puntoP sea el plano z = 0. Se tiene: E = 1;, F = 0, G = 0 y

kN(h; k) =Lh2 + 2Mhk +Nk2

h2 + k2:

29

Tomamos h2 + k2 = 1 (la curvatura normal sobre un vector unitario); estoes, h = cos �, k = sin �, entonces:

kN(�) = L cos2 � + 2M cos � sin � +N sin2 �:

Tomamos jkN(�)j = 1=r2 x1 = r cos �, x2 = r sin �, entonces:

�1 = Lx21 + 2Mx1x2 +Nx22:

La ecuación anterior determina una sección cónica en el plano tangente quese denomina Indicatriz de Dupin.Si P es elíptico (LN �M2 > 0), la indicatriz es una elipse.

Si P es hiperbólico (LN � M2 < 0), la indicatriz consiste en un par dehipérbolas conjugadas. A lo largo de una de las hipérbolas kN > 0 y a lolargo de la otra kN < 0. Las asíntotas de las hipérbolas corresponden a lasdirecciones en las que kN = 0.Si P es parabólico (LN �M2 = 0, L2 +M2 + N2 6= 0), la indicatriz es unpar de rectas paralelas.Si la indicatriz existe y no es una circunferencia, entonces kN toma sus

valores extremos en dos direcciones ortogonales que son las direcciones de losejes de la indicatriz.En los puntos elípticos en los que kN = constante 6= 0, todas las direc-

ciones se dicen principales. En los puntos planos kN = 0, también todas lasdirecciones son principales.

Ejemplo 1 Vamos a calcular la curvatura normal de la esfera de radio r ycentrada en el origen; esto es, la esfera de ecuación cartesiana:

x2 + y2 + z2 = r2:

Podemos considerar la siguiente parametrización:

~r : [0; 2�)� (0; �) �! R3;~r(�; �) = (a cos� sin �; a sin� sin �; a cos �) :

Se tiene:

~r�(�; �) = (�a sin� sin �; a cos� sin �; 0) ;~r�(�; �) = (a cos� cos �; a sin� cos �; � a sin �) ;

30

y

~r�(�; �) ^ ~r�(�; �) =��a2 cos� sin2 �; � a2 sin� sin2 �; � a2 sin � cos �

�;

k~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)k2 = a4 cos2 � sin4 � + a4 sin2 � sin4 � + a4 sin2 � cos2 �

= a4 sin4 ��cos2 �+ sin2 �

�+ a4 sin2 � cos2 �

= a4 sin4 � + a4 sin2 � cos2 �

= a4 sin2 ��sin2 � + cos2 �

�= a4 sin2 �;

Por tanto,

~N(�; �) =~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)k~r�(�; �) ^ ~r�(�; �)k

= (� cos� sin �; � sin� sin �; � cos �) :

Y

~r��(�; �) = (�a cos� sin �; � a sin� sin �; 0) ;~r��(�; �) = (�a sin� cos �; a cos� cos �; 0) ;~r��(�; �) = (�a cos� sin �; � a sin� sin �; � a cos �) ;

luego

E(�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = a2 sin2 � sin2 � + a2 cos2 � sin2 �= a2 sin2 �;

F (�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = 0;G(�; �) = ~r�(�; �) � ~r�(�; �) = a2 cos2 � cos2 � + a2 sin2 � cos2 � + a2 sin2 �

= a2;

L(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = a cos2 � sin2 � + a sin2 � sin2 � = a sin2 �;M(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = 0;N(�; �) = ~r��(�; �) � ~N(�; �) = a cos2 � sin2 � + a sin2 � sin2 � + a cos2 �

= a sin2 � + a cos2 � = a:

Por tanto,

kN((h; k)) =Lh2 + 2Mhk +Nk2

Eh2 + 2Fhk +Gk2=

a sin2 �h2 + ak2

a2 sin2 �h2 + a2k2=1

a:

Luego la curvatura normal es constante en cada punto de la super�cie y encada dirección del plano tangente. La indicatriz de Dupin en cada punto dela esfera es:

a2 = x2 + y2:

31

Ejemplo 2 Vamos a hallar la indicatriz de Dupin de la super�cie conecuación cartesiana z = x2 � y2 en el punto P de coordenadas (0; 0; 0).La super�cie es:

Una parametrización de dicha super�cie es:

~r(u; v) =�u; v; u2 � v2

�que es una parametrización de Monge con f(u; v) = u2 � v2. Tenemos:

E(u; v) = ~ru(u; v) � ~ru(u; v) = 1 + 4u2;F (u; v) = ~ru(u; v) � ~rv(u; v) = �4uv;G(u; v) = ~rv(u; v) � ~rv(u; v) = 1 + 4v2;

L(u; v) = ~ruu(u; v) � ~N(u; v) =2p

4u2 + 4v2 + 1;

M(u; v) = ~ruv(u; v) � ~N(u; v) = 0;

N(u; v) = ~rvv(u; v) � ~N(u; v) =�2p

4u2 + 4v2 + 1:

En el punto P tenemos

E(0; 0) = 1; F (0; 0) = 0; G(0; 0) = 1;

L(0; 0) = 2; M(0; 0) = 0; N(0; 0) = �2:

32

Por tanto,

kN (�) =2 cos2 � � 2 sin2 �cos2 � + sin2 �

= 2 cos2 � � 2 sin2 �:

Tomando jkN (�) j = 1=r2 y x = r cos � y y = r sin � entonces la ecuaciónanterior se escribe:

�1 = 2x2 � 2y2:Luego la indicatriz de Dupin es el par de hipérbolas de ecuaciones 1 = 2x2�2y2 y �1 = 2x2 � 2y2. El valor máximo de la curvatura es k1 = 2 y sealcanza en la dirección (cos 0; sin 0) = (1; 0) y el valor mínimo de la curvaturaes k2 = �2 y se alcanza en la dirección (cos�=2; sin �=2) = (0; 1). Lasdirecciones asintóticas de la super�cie en el punto P son las direcciones delas asíntotas de la indicatriz de Dupin; esto es, las direcciones de las rectasde ecuaciones x = y y x = �y. Las líneas asintóticas de la super�cie en elpunto P son:

~r(u; u) = (u; u; 0) ;

~r(u;�u) = (u; � u; 0) :

2.9 Fórmula de Euler

Vamos a expresar la curvatura normal en una dirección que forme un ángulo� con respecto a una de las direcciones principales en función de ese ángulo� y de las curvaturas principales.Consideramos una representación paramétrica regular en las que las líneas

de curvatura sean las líneas paramétricas; esto es, ~r(u0; v) y ~r(u; v0) son laslíneas de curvatura en el punto ~r(u0; v0). Por tanto, las direcciones (1; 0),(0; 1) son las direcciones principales. Y las curvaturas principales son:

k1 =IIP ((1; 0))

IP ((1; 0))=L

E; k1 =

IIP ((0; 1))

IIP ((0; 1))=N

G:

El coe�ciente F = 0 es cero pues las líneas de curvatura son ortogonales.La ecuación de las direcciones principales es:

0 =

������(v0(t))2 �u0(t)v0(t) (u0(t))2

E F GL M N

������ :33

Como (1; 0) es una dirección principal y F = 0, se tiene:

0 =

������0 0 1E 0 GL M N

������ = EMy como (0; 1) es una dirección principal y F = 0, se tiene:

0 =

������1 0 0E 0 GL M N

������ = �GMComo GE 6= 0 pues la primera forma fundamental es de�nida positiva, en-tonces de las dos ecuaciones anteriores se deduce: M = 0. Por tanto, lacurvatura normal en la dirección de un vector (h; k) es:

kN(h; k) =IIP ((h; k))

IP ((h; k))=Lh2 +Nk2

Eh2 +Gk2

=L

E

Eh2

Eh2 +Gk2+N

G

Gk2

Eh2 +Gk2

y teniendo en cuenta que el ángulo � que forma el el vector (h; k) y el vector(1; 0) satisface:

cos2 � =IP ((h; k); (1; 0))

IP ((h; k)) IP ((1; 0))=

Eh2

Eh2 +Gk2;

sin2 � = 1� cos2 � = Gk2

Eh2 +Gk2;

se deduce:kN(h; k) = k1 cos

2 �+ k2 sin2 �

que es la fórmula de Euler.

3 Super�cies regladas

De�nición. Una super�cie S se dice reglada si por cada punto P 2 S existeuna recta contenida en la super�cie y que contiene al punto P .Toda super�cie reglada S puede venir determinada por una curva C y un

vector ~wP asociado a cada punto P de la curva. La super�cie está formada

34

por las rectas rP , con P 2 C, que contienen al punto P y tienen vectordirector ~wP . Por tanto, un punto X de la super�cie satisface:

��!OX =

�!OP + t~wP con P 2 C, t 2 R:

Si consideramos una parametrización ~ (u), u 2 I, de la curva C, un puntoarbitrario X de la recta que contiene al punto P 2 C con

�!OP = ~ (u0) y

tiene la dirección del vector ~wP se escribe de la siguiente forma:

��!OX = ~ (u0) + t~wP ; t 2 R:

Por tanto, una parametrización de la super�cie es la siguiente:

~r(u; t) = ~ (u) + t~w(u); (u; t) 2 I � R:

Para cada u0 2 I obtenemos una recta con parametrización:

~r(u0; t) = ~ (u0) + t~w(u0); t 2 R:

A dicha recta la llamamos generatriz de la super�cie reglada.Para cada t0 2 R obtenemos una curva con parametrización:

~r(u; t0) = ~ (u) + t0 ~w(u); u 2 I:

A dicha curva la llamamos directriz de la super�cie reglada.

Ejemplo Vamos a obtener una representación paramétrica regular de lasuper�cie formada por las rectas que se apoyan en la elipse de ecuacionescartesianas: 4x2+2y2 = 3, z = 0 y que son paralelas a la recta de ecuacionesx+ y + z = 1 y x� 2y = 0.Una parametrización de la elipse es:

~ (s) =�p

32cos s;

p3p2sin s; 0

�; s 2 [0; 2�):

La recta de ecuaciones x+y+z = 1 y x�2y = 0 tiene la dirección del vector~w = (2; 1;�3). Por tanto, una parametrización de dicha super�cie es:

~r(s; t) = ~ (s) + t~w

=�p

32cos s;

p3p2sin s; 0

�+ t (2; 1;�3)

=�2t+

p32cos s; t+

p3p2sin s; � 3t

�; (s; t) 2 [0; 2�)� R:

35

La ecuación implícita de la super�cie es:

4(x+ 23z)2 + (y + 1

3z)2 = 3:

De�nición. Una super�cie reglada S se dice desarrollable, si el planotangente a la super�cie en cada punto de una generatriz es el mismo. Encaso contrario se dice que la super�cie S no es desarrollable.De�nición. Una super�cie reglada S se dice que es cónica si todas sus

generatrices contienen a un mismo punto Q al que se denomina vértice de lasuper�cie.Una parametrización de una super�cie cónica con vértice Q es:

~r(u; t) =�!OQ+ t

�~ (u)��!OQ

�; (u; t) 2 D � R2;

siendo ~ (u) una parametrización de una curva C contenida en la super�cie.Las generatrices de dicha super�cie tienen la dirección del vector ~w(u) =~ (u)��!OQ. Se tiene: ~w 0(u) = ~ 0(u).

De�nición. Una super�cie reglada S se dice que es cilíndrica si el vectorasociado a cada punto P de la super�cie es proporcional a un vector �jo ~w.Una parametrización de una super�cie cilíndrica es:

~r(u; t) = ~ (u) + t~w; (u; t) 2 D � R2;

siendo ~ (u) una parametrización de una curva C contenida en la super�cie.Se tiene: ~w 0 = ~0.De�nición. Una super�cie reglada S se dice que es desarrollable tangen-

cial si cada punto de la curva directriz C con representación paramétrica~ (u) tiene asociado el vector tangente a la curva en dicho punto.

Una parametrización de una super�cie desarrollable tangencial es:

~r(u; t) = ~ (u) + t~ 0(u); (u; t) 2 D � R2;

siendo ~ (u) una parametrización de la curva directriz C.

3.1 Curvatura total de las super�cies regladas

Vamos a comprobar que la curvatura de Gauss o total de una super�ciereglada es siempre menor o igual que cero.

36

Sea S una super�cie reglada con parametrización:

~r(u; t) = ~ (u) + t~w(u); (u; t) 2 D:Supongamos además que todos los puntos de la super�cie son regulares; estoes, ~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) 6= ~0, para todo (u; t) 2 D. Se tiene:

~ru(u; t) = ~ 0(u) + t~w 0(u);

~rt(u; t) = ~w(u);

~N(u; t) =1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)

=1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k(~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u);

~ruu(u; t) = ~ 00(u) + t~w 00(u);

~rut(u; t) = ~w 0(u);

~rtt(u; t) = ~0:

Por tanto, el determinante de la matriz de la segunda forma fundamental enun punto arbitrario P con

�!OP = ~r(u; t) es:���� ~ruu(u; t) � ~N(u; t) ~rut(u; t) � ~N(u; t)

~rut(u; t) � ~N(u; t) ~0 � ~N(u; t)

���� = ��~rut(u; t) � ~N(u; t)�2 � 0:Teniendo en cuenta las expresiones de ~rut(u; t) y ~N(u; t) obtenemos:

~rut(u; t) � ~N(u; t) = ~w 0(u) � 1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k((~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u))

=1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k[~w 0(u); ~ 0(u) + t~w 0(u); ~w(u)]

=1

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k[~w 0(u); ~ 0(u); ~w(u)] :

Por tanto,���� ~ruu(u; t) � ~N(u; t) ~rut(u; t) � ~N(u; t)~rut(u; t) � ~N(u; t) ~0 � ~N(u; t)

���� = � [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2:

Teniendo en cuenta

det

�E(u; t) F (u; t)F (u; t) G(u; t)

�= k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2 ;

det

�L(u; t) M(u; t)M(u; t) N(u; t)

�= � [~

0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2;

37

la curvatura total de una super�cie reglada es:

KT (u; t) = �[~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k4� 0:

Por tanto, los puntos de las super�cies regladas son hiperbólicos, parabólicoso planos.Llamamos parámetro de distribución y lo denotamos p(u) al valor del

producto mixto:p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)] :

Si p(u) = 0 entonces KT (u; t) = 0 y el punto P con�!OP = ~r(u; t) es un

punto parabólico o plano. Una de las curvaturas principales es cero y portanto, las líneas asintóticas son líneas de curvatura.Si p(u) 6= 0 entonces KT (u; t) < 0 y el punto P con

�!OP = ~r(u; t) es un

punto hiperbólico. Una de las curvaturas principales es negativa y la otra espositiva.

3.2 Clasi�cación de las super�cies regladas

1. Si p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)] = 0 para todo valor del parámetro ula super�cie es desarrollable. Se tienen los siguientes casos:

(a) Si ~w 0(u) = ~0 entonces ~w(u) = ~w es un vector constante y lasuper�cie es una super�cie cilíndrica. En este caso, se tiene:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = (~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u)= ~ 0(u) ^ ~w:

Si ~ 0(u)^ ~w 6= ~0 (esto es, los vectores ~ 0(u) y ~w no son paralelos)entonces el vector normal es

~N(u; t) =~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k

=~ 0(u) ^ ~wk~ 0(u) ^ ~wk :

Nótese que es constante a lo largo de cada generatriz ya que nodepende del parámetro t.

38

(b) Si ~ 0(u) = ~0 entonces ~ (u) es constante; esto es, consiste en unúnico punto. La super�cie es una super�cie cónica. En este caso,se tiene:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = (~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u)= t~w 0(u) ^ ~w(u):

Si ~w 0(u) ^ ~w(u) 6= ~0 (esto es, los vectores ~w 0(u) y ~w(u) no sonparalelos) entonces el vector normal es

~N(u; t) =t~w 0(u) ^ ~w(u)kt~w 0(u) ^ ~w(u)k =

~w 0(u) ^ ~w(u)k~w 0(u) ^ ~w(u)k :

Nótese que es constante a lo largo de cada generatriz ya que nodepende del parámetro t.

(c) Si ~w 0(u) 6= ~0, ~ 0(u) 6= ~0 entonces la condición p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)] =0 nos indica que los vectores ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios.Se tiene:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = ~ 0(u) ^ ~w(u) + t~w 0(u) ^ ~w(u):

Como ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios los vectores ~ 0(u) ^~w(u) y ~w 0(u)^ ~w(u) son paralelos y por tanto, ~ru(u; t)^~rt(u; t) esproporcional al vector ~w 0(u)^ ~w(u) que no depende del parámetrot. Luego, el plano tangente es el mismo en todos los puntos de lageneratriz. Veremos más adelante que en este caso la super�cie esuna super�cie desarrollable tangencial.

2. Si p(u) 6= 0 para todo valor del parámetro u la super�cie es no desar-rollable o alabeada.

3.3 Puntos singulares de una super�cie reglada

Los puntos singulares de una super�cie con parametrización ~r(u; t) = ~ (u)+t~w(u) son aquellos puntos P con

�!OP = ~r(u; t), que veri�can:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = (~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u) = ~0:

39

Vamos a hallar los valores del parámetro t para los cuales se cumple la condi-ción anterior. Para ello, multiplicamos escalarmente la expresión anteriorpor ~w 0(u) ^ ~w(u), suponiendo ~w 0(u) ^ ~w(u) 6= ~0. Se tiene:

0 = (~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))= ((~ 0(u) + t~w 0(u)) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))= (~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u)) + t k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

de donde, se obtiene:

t = �(~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2;

Por tanto, los puntos singulares de la super�cie se encuentran en la curvacon parametrización:

~�(u) = ~ (u)� (~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2~w(u);

que llamamos línea de estricción. Llamamos puntos centrales a los puntosregulares de la línea de estricción. Nótese que en la línea de estricción ademásde los puntos singulares se encuentran los puntos de la super�cie tales que elvector ~w 0(u) ^ ~w(u) es ortogonal al vector ~ru(u; t) ^ ~rt(u; t).

3.3.1 Puntos centrales

Veamos que en una super�cie reglada no desarrollable la curvatura de Gaussalcanza su valor máximo en los puntos centrales. Supongamos p(u) 6= 0,teniendo en cuenta la expresión de la curvatura de Gauss:

KT (u; t) = �[~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]2

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k4< 0;

se deduce que el valor absoluto de la curvatura de Gauss, jKT (u; t)j, es máx-imo cuando el valor de

k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2

es mínimo. Llamamos ~v(u; t) = ~ru(u; t) ^ ~rt(u; t). Teniendo en cuenta lasiguiente expresión:

~ru(u; t) ^ ~rt(u; t) = ~ 0(u) ^ ~w(u) + t~w 0(u) ^ ~w(u);

40

se tiene:

0 =d

dtk~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2

=d

dt(~v(u; t) � ~v(u; t)) = 2 d

dt~v(u; t) � ~v(u; t)

= 2 (~w 0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u) + t~w 0(u) ^ ~w(u))= 2

�(~w 0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u)) + t k~w 0(u) ^ ~w(u)k2

�:

Por tanto, el valor máximo de k~ru(u; t) ^ ~rt(u; t)k2 se alcanza para el siguientevalor de t:

t = �(~w0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2;

que coincide con el valor del parámetro t de los puntos centrales de la super-�cie. Por tanto, en los puntos centrales el valor absoluto de la curvatura deGauss es máximo.

3.3.2 Arista de retroceso

Si la super�cie es desarrollable entonces los vectores ~ 0(u), ~w(u), ~w 0(u) soncoplanarios y el vector ~w 0(u)^ ~w(u) no es ortogonal al vector ~ru(u; t)^~rt(u; t).Por tanto, todos los puntos de la línea de estricción son puntos singulares yen este caso, a la curva con parametrización:

~�(u) = ~ (u)� (~w0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2~w(u);

la llamaremos arista de retroceso. A lo largo de la arista de retroceso lasuper�cie se desdobla en dos hojas.Como ~w 0(u), ~ 0(u) y ~w(u) son coplanarios, el vector ~ 0(u) se puede

escribir como combinación lineal de los vectores ~w 0(u) y ~w(u):

~ 0(u) = �(u)~w(u) + �(u)~w 0(u):

Por tanto,

~ 0(u) ^ ~w(u) = (�(u)~w(u) + �(u)~w 0(u)) ^ ~w(u)= �(u)~w 0(u) ^ ~w(u):

41

Multiplicando escalarmente la expresión anterior por el vector ~w 0(u)^ ~w(u)obtenemos:

(~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u)) = �(u) k~w 0(u) ^ ~w(u)k2 ;

de donde

�(u) =(~ 0(u) ^ ~w(u)) � (~w 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2;

y la arista de retroceso se puede parametrizar como sigue:

~�(u) = ~ (u)� �(u)~w(u):

Por tanto, ~ (u) = ~�(u) + �(u)~w(u) y podemos parametrizar la super�cie enfunción de la arista de restroceso como sigue:

~r(u; t) = ~�(u) + �(u)~w(u) + t~w(u)

= ~�(u) + (�(u) + t) ~w(u):

Derivando ~�(u) = ~ (u)��(u)~w(u) y teniendo en cuenta ~ 0(u) = �(u)~w(u)+�(u)~w 0(u), se tiene:

~� 0(u) = ~ 0(u)� �0(u)~w(u)� �(u)~w 0(u)

= �(u)~w(u) + �(u)~w 0(u)� �0(u)~w(u)� �(u)~w 0(u)

= (�(u)� �0(u)) ~w(u):

Por tanto:

1. Si �(u) = �0(u) entonces ~� 0(u) = ~0 y la super�cie es una super�ciecónica.

2. Si �(u) 6= �0(u), el vector ~w(u) es proporcional a ~� 0(u) y a super�ciees una super�ce desarrollable tangencial y puede parametrizarse comosigue:

~r(u; t) = ~�(u) +t

�(u)� �0(u)~� 0(u); (u; t) 2 I � R;

en función de su arista de retroceso.

42

3.4 Ejemplos y ejercicios

Ejemplo 1 Dar una parametrización de la super�cie engendrada porlas rectas tangentes a la curva ~ (u) = (eu; e�u; u).El vector director de la recta generatriz que se apoya en el punto ~ (u) de

la curva directriz es:~ 0(u) = (eu;�e�u; 1):

Por tanto, una parametrización de la super�cie es:

~r(u; t) = ~ (u) + t~ 0(u)

= (eu + teu; e�u � te�u; u+ t):

Dicha super�cie es una super�cie desarrollable tangencial con arista de retro-ceso ~ (u).

Ejemplo 2 Vamos a clasi�car la super�cie con parametrización:

~r(u; v) =�u+ v cosu; u2 + v sinu; u3

�:

La parametrización anterior es lineal en el parámetro v. Por tanto, lapodemos escribir como sigue:

~r(u; v) =�u; u2; u3

�+ v (cosu; sinu; 0)

= ~ (u) + v ~w(u);

con

~ (u) =�u; u2; u3

�;

~w(u) = (cosu; sinu; 0) :

Tenemos:

~ 0(u) =�1; 2u; 3u2

�;

~w 0(u) = (� sinu; cosu; 0) :

Por tanto, el parámetro de distribución es:

p(u) = [~ 0(u); ~w(u); ~w 0(u)]

= det

0@ 1 2u 3u2

cosu sinu 0� sinu cosu 0

1A= 3u2 6= 0 si u 6= 0.

43

La super�cie es una super�cie alabeada.Los puntos singulares de la super�cie son los que satisfacen la siguiente

condición:

~0 = ~ru(u; v) ^ ~rv(u; v)=

�1� v sinu; 2u+ v cosu; 3u2

�^ (cosu; sinu; 0)

=��3u2 sinu; 3u2 cosu; sinu� 2u cosu� v

�;

esto es, 8<:0 = u2 sinu;0 = u2 cosu;0 = sinu� 2u cosu� v;

=) u = 0 y v = 0:

El único punto singular de la super�cie es el punto

~r(0; 0) = (0; 0; 0) :

Los puntos centrales de la super�cie se alcanzan en el siguiente valor delparámetro v:

v = �(~w0(u) ^ ~w(u)) � (~ 0(u) ^ ~w(u))

k~w 0(u) ^ ~w(u)k2:

Teniendo en cuenta:

~ 0(u) ^ ~w(u) =�1; 2u; 3u2

�^ (cosu; sinu; 0)

= (�3u2 sinu; 3u2 cosu; sinu� 2u cosu);~w 0(u) ^ ~w(u) = (� sinu; cosu; 0) ^ (cosu; sinu; 0)

= (0; 0;�1);

obtenemos:v = sinu� 2u cosu;

y una paraetrización de la línea de estricción es:

~�(u) = ~ (u)� (sinu� 2u cosu) ~w(u)=

�u; u2; u3

�� (sinu� 2u cosu) (cosu; sinu; 0)

=�u� (sinu� 2u cosu) cos u; u2 � (sinu� 2u cosu) sinu; u3

�:

Dicha curva contiene al punto singular y a los puntos centrales.

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Ejemplo 3 Obtener una parametrización de la super�cie formada porsegmentos que se apoyan en el arco de circunferencia x2 + y2 = 1, z = 0, delprimer octante y el segmento de la recta x+ y = 1, z = 0 del primer octante.Primero vamos a obtener parametrizaciones del arco de circunferencia y

del segmento respectivamente. El arco de circunferencia lo parametrizamoscomo sigue:

�1 : [0; �=2] �! R3;�1(�) = (cos�; sin�; 0):

Parametrizamos el segmento con el mismo parámetro con el que hemos para-metrizado el arco de circunferencia. Teniendo en cuenta el siguiente dibujo:

obtenemos:1� r = 1

cos�+ sin�;

por tanto, podemos parametrizar el segmento como sigue:

�2 : [0; �=2] �! R3;

�2(�) =

�cos�

cos�+ sin�; 1� cos�

cos�+ sin�; 4

�:

Consideramos ahora el vector director de la recta que se apoya en el arco decircunferencia y en el segmento:

w(�) = �2(�)� �1(�)

=

�cos�

cos�+ sin�� cos�; 1� cos�

cos�+ sin�� sin�; 4

�:

Por tanto, una parametrización de la super�cie considerada es:

~r(�; t) = �1(�) + tw(�)

= (cos�; sin�; 0) + t

�cos�

cos�+ sin�� cos�; 1� cos�

cos�+ sin�� sin�; 4

�;

con � 2 [0; �=2] y t 2 [0; 1].

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Ejercicio 1 Parametrizar la super�cie formada por rectas forman unángulo de 45o con el eje OZ y que se apoyan en la elipse de ecuacionesx2

4+ y2

3= 1, z = 0 y en la circunferencia contenida en el plano z = 20, de

ecuación x2 + y2 = 1. Véase la siguiente �gura:

Ejercicio 2 Parametrizar la super�cie formada por rectas que se apoyanen el segmento de ecuación x+y = 1, contenido en el plano z = 4, y en el arcode circunferencia del primer cuadrante del plano z = 0, de la circunferenciacentrada en el origen y de radio unidad Véase la siguiente �gura:

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4 Bibliografía

1. A. F. Costa, M. Gamboa, A. M. Porto, Ejercicios de Geometría Difer-encial de curvas y super�cies, Sanz y Torres, 1998.

2. Manfredo P. do Carmo, Di¤erential geometry of curves and surfaces,Englewood Cli¤s, New Jersey: Prentice Hall, 1976.

3. Dirk J. Struik, Lectures on Classical Di¤erential Geometry, Dover Pub-lications, Inc., N.Y., 1961.

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