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Sumativo Nº 2.
Diego Guzmán1, Alexis Estévez2
1Universidad de las Fuerzas Armadas – ESPE, Departamento de Eléctrica y Electrónica. Av. General
Rumiñahui S/N, Sangolquí, Ecuador. [email protected], [email protected]
Introducción
El presente trabajo pretende estudiar sobre la Serie, Transformada de Fourier la cual es aplicada para
el respectivo estudio de señales y temas diversos referentes a lo que es ingeniería, en esta ocasión nos
basaremos para el estudio una aplicación de java, la cual pretende brindarnos una mayor facilidad y
una nueva técnica de manejar de las series y transformadas.
Tema
Series y Transformada de Fourier
Objetivos
Estudiar las series y transformada de
Fourier para cualquier señal mediante
Applets de Java para entender que
sucede en cada señal cuando
aplicamos Fourier.
Investigar todos los usos de la
transformada de Fourier así como la
descomposición y mejoramiento de la
señal para verificar si se obtiene ruido
o no y que ocurre cuando esto sucede.
Implementar el uso de MATLAB
para solucionar ejercicios o
problemas de transformada o
trasformada inversa de Fourier y
entender de mejor manera como se
producen ciertas señales.
Resumen y palabras claves
La Transformada de Fourier se encarga de
transformar una señal del dominio del tiempo, al
dominio de la frecuencia, de donde se puede
realizar su anti transformada y volver al dominio
temporal.
Las Transformadas de Fourier, propiedades. La
series de Fourier es una serie infinita que converge
puntualmente a una función continua y periódica.
Las series de Fourier constituyen la herramienta
matemática básica del análisis de Fourier empleado
para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma
infinitesimal de funciones senoidales mucho más
simples (como combinación de senos y cosenos
con frecuencias enteras). El nombre se debe al
matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier
que desarrolló la teoría cuando estudiaba la
ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales
series sistemáticamente, y publicando sus
resultados iniciales en 1807 y 1811.
Esta área de investigación se llama algunas veces
Análisis armónico
Ruido En comunicación, se denomina ruido a toda
señal no deseada que se mezcla con la señal útil que
se quiere transmitir. Es el resultado de diversos
tipos de perturbaciones que tiende a enmascarar la
información cuando se presenta en la banda de
frecuencias del espectro de la señal, es decir, dentro
de su ancho de banda.
Relación Señal Ruido La relación señal/ruido (en
inglés Signal to noise ratio SNR o S/N) se define
como la proporción existente entre la potencia de la
señal que se transmite y la potencia del ruido que la
corrompe. Este margen es medido en decibelios.
Ortogonalidad En matemáticas, el término
ortogonalidad (del griego orthos —recto— y gonía
—ángulo—) es una generalización de la noción
geométrica de perpendicularidad. En el espacio
euclídeo convencional el término ortogonal y el
término perpendicular son sinónimos. Sin
embargo, en espacios de dimensión finita y en
geometrías no euclídeas el concepto de
ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.
Materiales y métodos
Java Applet.
Computador.
MATLAB.
Fuentes de consulta.
Resultados y discusión
Usando el formato de presentación de proyectos
realizar la siguiente tarea.
1. Ingresar al link.
http://www.stat.ucla.edu/~dinov/course
s_students.dir/04/Spring/Stat233.dir/S
TAT233_notes.dir/JavaApplet.html
2. En la sección de materiales y métodos
traducir el texto presentado en la web
desde Description hasta Other things to
try. La traducción debe ser entendible
al lector de acuerdo a terminología
usada en clase, no será suficiente pasar
por un traductor web automático.
1 D Transformada De Fourier Java Applet
Descripción
Esta applet de Java es una simulación que
demuestra la serie de Fourier, que es un método de
expresar una función periódica arbitraria como una
suma de seno + coseno o términos de sólo coseno.
En otras palabras, la serie de Fourier se puede usar
para expresar una función en términos de las
frecuencias (armónicos) de los que se componen.
Función 1D
Para seleccionar una función, tu puedes presionar
uno de los siguientes botones: Seno, Triangular,
Diente de sierra, Cuadrada y Ruido. La función se
visualiza en blanco, con la aproximación de la serie
de Fourier en rojo. Si usted sólo ve un gráfico rojo,
eso significa que la aproximación de Fourier es casi
la misma que la función original. (El gráfico rojo
se redibuja en la parte superior de la blanca.)
1D FT
Por debajo de la función podrás ver una gráfica de
los coeficientes de Fourier. Cada uno representa
una frecuencia, o armónico. Existe dos conjuntos
de términos; en la parte superior son los términos
de magnitud, y en la parte inferior son los términos
de fase. Las bajas frecuencias son de la izquierda y
las frecuencias más altas están a la derecha. (Si sólo
está familiarizado con desarrollos en serie de
Fourier que involucran senos y cosenos, en lugar de
fases, revisar esta pagina.)
http://www.stat.ucla.edu/~dinov/courses_students.
dir/04/Spring/Stat233.dir/STAT233_notes.dir/Fou
rierSeries.html)
FT Función Aproximación
El número de términos deslizados se ajusta al
número de términos en el desarrollo de Fourier.
Para los términos más lejanos, será mejor la
aproximación. Deslizar el número de términos de
izquierda a derecha lentamente para ver los
términos de Fourier añadidos uno por uno.
Ajustando la señal (en el dominio del tiempo /
frecuencia)
Si mueve el cursor del mouse sobre uno de los
armónicos, este se tornara amarillo, y el término de
Fourier correspondiente (frecuencia) será dibujado
en la parte superior de la función en amarillo. Así
que si usted mueve el cursor del mouse sobre todos
los armónicos, se puede ver cada uno de los
términos de forma individual. Además, si hace clic
derecho con el mouse sobre uno de los armónicos,
el número de términos deslizados variara por lo que
se tomarán todos los términos de mayor frecuencia
de la serie. Se puede modificar la función de dos
maneras. Primero editar la función directamente
pulsando sobre ella; en este caso, se regenerarán
cuando haya terminado los coeficientes de Fourier.
Segundo, puede modificar los coeficientes de
Fourier, en cuyo caso la función se cambiará para
coincidir. Si desea crear una función desde cero,
presione el botón Borrar.
Sonidos
El botón Play reproducirá la función a 220 Hz. La
frecuencia es ajustable usando el control
deslizante de variación de frecuencias. Trate de
jugar con varias funciones para ver cómo suenan.
Pruebe también el aislamiento de cada armónico, o
la mezcla de dos o tres armónicos juntos. El número
de términos deslizados afectará cuántos armónicos
se juegan. (La tasa de muestreo utilizado para
medir es de 22 KHz, por lo que las frecuencias más
altas de 11.000 Hz se filtran afuera.)
Amplitud de la señal
El botón Clip puede ser usado para simular
recortes. Este aumentará la amplitud de la función,
pero recortará si se encuentra fuera de rango. Trate
de hacer esto con una función seno. El uso de este
botón generalmente resulta en bordes más afilados,
esto significa que los términos de más alta
frecuencia estarán involucrados en la expansión.
Algunas funciones, como la onda cuadrada, no se
ven afectados tanto por el recorte. Pruebe tocando
la señal de ruido y después haga clic en "Clip " un
par de veces para ver si esta varía.
Aliasing
El botón volver a muestrear se puede utilizar para
demostrar esto. Este es uno de los efectos que se
causa en el botón Reproducir para dar resultados
tan pobres. La función se reemplaza con muestras
a 12 puntos. Esto corresponde a una frecuencia de
muestreo de 2640 Hz (en la frecuencia de juego por
defecto de 220 Hz). En casi todos los casos, esto
hará que el aliasing, donde se introducirán nuevas
frecuencias, no deseados. Para frecuencias de más
de 1320 Hz, los alias serán más fuertes que la
frecuencia original. Por ejemplo, una frecuencia de
440 Hz, cuando se vuelve a muestrear, tendrá alias
a 2200 Hz (2640-440), 3080 Hz (2640 + 440), 4840
Hz (2640 * 2-440), 5720 Hz (2640 * 2 + 440),
etcétera.
Cuantificación Distorsión
Cuando se presiona el botón de cuantificación, los
valores de la función se redondean al múltiplo más
cercano de 1/2. El error de redondeo resultante
provoca nuevas frecuencias para ser introducidas;
estos pueden ser escuchados cuando se reproduce
la función. Esto se conoce como distorsión de
cuantificación.
Señales positivas
El botón Rectificar hará cero a la función siempre
que sea negativo. El botón completar Rectificar
tomará el valor absoluto de la función en todos los
puntos. Intente esto con la función seno o de diente
de sierra.
Otras cosas para probar
• Dibujar una onda sinusoidal que varía
rápidamente (lo mejor que pueda), y observe a los
coeficientes de Fourier para ver si la frecuencia es
recogida por la descomposición de Fourier. Una de
las magnitudes debería ser mucho más alta que las
otras.
• Comience con una función y elimine
términos de Fourier uno a uno mediante el
establecimiento de los coeficientes a cero.
• Comience con una onda sinusoidal, y
después haga clic en el botón Clip repetidamente.
Observe cómo la de mayor frecuencia en términos
se vuelve más y más prominente.
• Hit Borrar y luego añadir dos frecuencias
a la función haciendo clic en las magnitudes.
Observe cómo las frecuencias interactúan. Si las
frecuencias son bastante próximas entre sí, se
debería ver latidos; la amplitud de la función
general oscilará a una frecuencia que es igual a la
diferencia de las dos frecuencias originales.
3. Estudiante 1
a. Abrir la aplicación JAVA.
Cada integrante del grupo
escogerá una señal para
analizar e identificará su
aporte en la sección de
resultados y discusión
respondiendo el siguiente
cuestionario.
b. ¿Qué sucede al reducir y
aumentar el número de
coeficientes hasta cero y hasta
su valor máximo? Desplace el
slider number of terms.
En el caso de aumentar el numero de coeficientes
da la serie de fourier teniendo como señal evaluada
una señal cuadrada en cuanto a su señal
transformada tenemos que tiende a tomar la misma
forma de la señal cuadrada con cieras puntas en sus
esquinas.
Encuanto a la señal de la magnitud tiende a irse a
un valor de cero cada que se acerca al infinito, a
diferencia de su fase que siempre tiende a ser la
misma pero con una pequeña perdida de su valor
pico mientras se acerca al infinito.
Para el caso en que la señal reduce sus terminos de
los coeficientes nuestra señal tiende a ser senoidal
en el minimo numero de tereminos posibles hasta
llegar a 0 donde se vuelve una señal nula.
En cuanto a su fase y magnitud muestra el valor
pico de la señal en cada una de ellas
c. Establezca el número de
términos en 25 coeficientes.
¿Qué observa al colocar el
cursor del mouse sobre los
coeficientes?
Podemos observar que en cada coeficiente tenemos
una señal senoidal con una frecuencia mayor cada
que avanza el número de términos, con lo que
podemos entender cómo se forma cada
aproximación según el número de sus coeficientes
y como se empieza a formar la señal final de la serie
de Fourier
d. ¿Cuál es fenómeno de Gibbs?.
Muestre el enunciado del
fenómeno de Gibbs usando la
aplicación y capturas de
pantalla.
El fenómeno de Gibbs ocurre cada vez que las
señales tienen discontinuidades de salto
(generalmente en los extremos), y siempre estarán
presentes cuando la señal tiene oscilaciones fuertes
como en este caso de uno a menos uno. Como se
puede apreciar, a medida que se adhieren más
términos a las series, ésta se va aproximando a la
onda cuadrada dado que las oscilaciones se vuelven
más rápidas y más pequeñas, pero los picos no
disminuyen. Estos picos en la series de Fourier de
la función cuadrada nunca desaparecen; son
llamados el fenómeno de Gibbs.
Como veremos en las gráficas este fenómeno se
encuentra presente siempre así el número de
coeficientes tienda al infinito.
e. Presione el botón rectify.
Compare los resultados de
obtenidos entre la señal
original y la obtenida después
de presionar el botón rectify.
Al presionar el botón rectify la señal se corta en
magnitud a la mitad es decir para ser más claro su
señal no tiene valores negativos, por lo cual solo
tomaría valores positivos desde 0.
4. Estudiante 1
a. Abrir la aplicación JAVA.
Cada integrante del grupo
escogerá una señal para
analizar e identificará su
aporte en la sección de
resultados y discusión
respondiendo el siguiente
cuestionario.
b. ¿Qué sucede al reducir y
aumentar el número de
coeficientes hasta cero y hasta
su valor máximo? Desplace el
slider number of terms.
Min number of terms
El momento de evaluar en el número
mínimo de términos podemos visualizar
en la gráfica con facilidad que esta posee
la línea roja es decir, la que sería la Serie
de Fourier está ubicada en el origen y es
nula, al igual que la gráfica de su
magnitud y fase.
Si ubicamos el término en 1 podemos
visualizar la senoidal de la que está basada
nuestra serie de Fourier además de su
respectiva fase y magnitud.
Al aumentar el número de términos vemos
como esta empezará a comportarse tanto
en magnitud, fase y la serie como se
explicara detalladamente al mencionar el
número máximo de términos.
Max number of terms.
Siendo el caso de empezar a realizar el análisis de
nuestra serie de Fourier con el número máximo de
términos es decir 138 según la cantidad que nos
brindó el app de java, podemos visualizar como se
encuentra esta gráfica, posee básicamente la misma
estructura, ambas tienen en su comportamiento la
diente de sierra con la gran diferencia que la serie
de Fourier presenta picos al final e inicio de cada
diente como podremos ver a continuación
En cuanto a las grafica correspondiente a la
magnitud podemos visualizar con facilidad que
existe en un comienzo es decir de 0 a 1 según la app
de java un cambio brusco de estar en 0 hasta su
máxima magnitud, y mientras avanza hacia el más
infinito, empieza tener un tendencia hacia cero
La grafica de fase similar a la de magnitud tiene su
inicio en cero y varia primeramente hacia su valor
maximo negativo y esta a su vez a su minimo
positivo, avanzando sucesivamente con cada
interaccion de numero de terminos, ademas
podemos observar que esta tiene su tendencia
variante mientras mas se acerca al infito.
c. Establezca el número de
términos en 25 coeficientes.
¿Qué observa al colocar el
cursor del mouse sobre los
coeficientes?
Se puede observar que al colocar el cursor sobre los
coeficientes se visualiza una gráfica senoidal con
una frecuencia es decir para el primer coeficiente
se pudo observar que la frecuencia es de 27 Hz con
una amplitud alta, mientras que para el coeficiente
25 la amplitud de la senoidal disminuyó
considerablemente y la frecuencia aumento
tomando el valor de 675 Hz
Con esta relación podemos entender de una manera
más sencilla como empieza a modelarse cada serie
de Fourier basada en sus coeficientes.
d. ¿Cuál es fenómeno de Gibbs?.
Muestre el enunciado del
fenómeno de Gibbs usando la
aplicación y capturas de
pantalla.
Fenómeno de Gibbs.- Cuando una función tiene
una discontinuidad de salto en un punto, su serie de
Fourier tiene un comportamiento especial en dicho
punto. Este comportamiento se llama fenómeno de
Gibbs. Este fenómeno consiste en que cerca del
punto las sumas parciales de la serie de Fourier
mantienen unas oscilaciones que no se hacen
pequeñas. Este fenómeno fue observado por el
físico experimental Albert Michelson, quien en
1898 construyó una máquina para sumar series de
Fourier. Alrededor de las discontinuidades de las
funciones siempre aparecían saltos, que no se
hacían pequeños por mucho que se aumentara el
número de sumandos de la serie. El fenómeno fue
explicado en 1899 por J. Williard Gibbs, y puede
cuantificarse con precisión. Aquí tan sólo
ilustramos el fenómeno considerando la función
que vale 1 entre 0 y pi y -1 entre -pi y 0. Las sumas
parciales de la serie de Fourier de esta función son
A continuación visualizaremos el fenómeno de
Gibss en la diente de sierra, además este fenómeno
siempre estará presente en cualquier tipo de grafica
así el valor de coeficientes sea infinitos.
e. Presione el botón rectify.
Compare los resultados de
obtenidos entre la señal
original y la obtenida después
de presionar el botón rectify.
Al utiliza la opción Rectify la serie se corta
ubicándolos en cero para toda parte negativa, la
magnitud toma valor medio con respecto a la
anterior por el hecho de ya no existe parte negativa,
y la fase empieza un poco más negativa que la
primera gráfica.
5. Entre los integrantes del grupo
responder. Como se obtiene la serie de
Fourier del Ruido (Noise).
La Serie de Fourier del Ruido tiene su
representación en series ortogonales de señales y
ruido, estas tienen muchas aplicaciones
significativas en problemas de comunicación.
Para la presente explicación realizaremos las
debidas aclaraciones sobre los términos y fórmulas
para un claro entendimiento.
Funciones ortogonales.
Antes de estudiar la serie ortogonal, es necesario
definir las series ortogonales.
Definición. Se dice que las funciones 𝜑𝑛(𝑡) y
𝜑𝑚(𝑡) son ortogonales entre sí en el intervalo a
< t < b si satisface la condición
∫ 𝜑𝑛(𝑡)𝑏
𝑎
𝜑𝑚(𝑡)𝑑𝑡 = 0; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ≠ 𝑚
Además, si las funciones en el conjunto son
ortogonales, entonces también satisfacen la
relación
∫ 𝜑𝑛(𝑡)𝑏
𝑎
𝜑𝑚(𝑡)𝑑𝑡 = {0, 𝑛 ≠ 𝑚
𝑘𝑛 , 𝑛 = 𝑚} = 𝑘𝑛𝛿𝑛𝑚
Donde
𝛿𝑛𝑚 ≡ {0, 𝑛 ≠ 𝑚 1, 𝑛 ≠ 𝑚
}
𝛿𝑛𝑚 es la función delta de Kronecker. Si todas las
constantes Kn son iguales a 1, se dice que las
funciones 𝜑𝑛(𝑡) son funciones ortonormales.
Es decir, que la primera ecuación se utiliza para
probar pares de funciones para ver si son
ortogonales. Son ortogonales en el intervalo (a,b) si
la integral de su producto es cero. El resultado cero
implica que son funciones "independientes" o que
están en "desacuerdo". Si el resultado no es cero,
no son ortogonales, y en consecuencia, las dos
funciones tienen una cierta "dependencia" o
"similitud" entre sí.
Serie Ortogonal
Supóngase que w(t) es una forma de onda práctica
(señal, ruido, o una combinación de señal y ruido)
que se desea representar en el intervalo a < t < b.
En seguida se obtiene una representación de serie
ortogonal equivalente por medio del teorema
siguiente.
𝑤(𝑡) = ∑ 𝑎𝑛
𝑛
𝜑𝑛(𝑡)
donde los coeficientes ortogonales están dados por
𝑎𝑛 =1
𝑘𝑛
∫ 𝑤(𝑡)𝑏
𝑎
𝜑𝑛(𝑡)𝑑𝑡
y el intervalo de n queda sobre los valores enteros
que corresponden a los subíndices utilizados para
denotar las funciones ortogonales en el conjunto
ortogonal completo.
Para que la fórmula de 𝑤(𝑡) sea una representación
válida de cualquier señal física (es decir, una con
energía finita), el conjunto ortogonal tiene que estar
completo. Esto implica que se puede utilizar el
conjunto para representar cualquier función con un
error arbitrariamente pequeño [Wylie, 1960].
En la práctica, por lo general es difícil probar que
un conjunto dado de funciones está completo
La serie ortogonal es muy útil para representar una
señal, ruido o una combinación de señal y ruido.
Las funciones 𝜑𝑖(𝑡) son determinísticas.
Además, si la forma de onda 𝑤(𝑡) es
determinística, las constantes también lo son y se
evalúan con 𝑤(𝑡).
También es posible utilizar la expresión 𝑤(𝑡) para
generar las funciones 𝑤(𝑡) a partir de las funciones
𝜑𝑖(𝑡)y los coeficientes 𝑎𝑖. En este caso 𝑤(𝑡) se
aproxima utilizando un número razonable de las
funciones 𝜑𝑖(𝑡).
Conclusiones
El estudio de las series y transformadas de
fourier, desde el uso de un aplicación nos
brinda con mayor facilidad el
entendimiento de cada concecpto
aprendido durante las horas impartidas
por el docente a cargo de la materia en
clases, ademas de las investigaciones
realizadas por el alumno.
Una señal analizada mediante la
respresentacion de la serie de fourier, nos
indica que mientras esta posea mas
componentes relacionados hacia la
frecuencia esta serie converge hacia la
señal original empezando a tener una
similitud llamandola asi que realiza una
funcion de espejo.
El fenomeno de Gibbs pudo ser entendido
mediante el aumento de terminos que nos
brindo la applet de java con las diferentes
señales visualizando las oscilaciones que
eran presentes en los diferentes picos o
fines de rectas, esto siempre ocurrira sin
importar el numero de terminos a los que
aumente nuestra serie.
Algo que se vuelve importante en el
estudio de señales y su tranformada de
Fourier es tomar en cuenta que mientras
mas rapido varie en el tiempo su ancho de
banda tendera a ser mayor.
En la tranformada de Fourier algo que hay
que tomar mucho en cuenta es si la señal
es par, impar o no cumple con ningunas de
las dos , ya que esto nos ayudara a
entender mejor si la señal es real,
imaginaria o compleja, respectivamente.
Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/Ortog
onalidad_%28matem%C3%A1tic
as%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Ruido
_(comunicaci%C3%B3n)
http://es.slideshare.net/Telecomun
efasenales/peresentacion-
transformada-y-serie-de-fourier-e-
transformada-de-laplace
http://datateca.unad.edu.co/conten
idos/208016/contLinea/leccin_cato
rce__representacin_en_series_orto
gonales_de_seales__y_ruido.html
Anexos
Ejercicios de Kamen
3.20 Calcular la transformada de Fourier de
las señales que aparecen en la figura. Graficar
la magnitud y fase de la transformada.
Literal a.
𝑥(𝑡) = 𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)
𝑋(𝜔) = 𝑋1(𝜔) + 𝑋2(𝜔)
𝑋(𝜔) = ∫(𝑡 + 1)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
0
−1
+ 𝑋2(𝜔)
Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo y
la transformación de un pulso tenemos
𝑋2(𝜔) = 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔
2𝜋) 𝑒−𝑗
𝜔2
𝑋(𝜔) = ∫(𝑡 + 1)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
0
−1
+ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔
2𝜋) 𝑒−𝑗
𝜔2
Usando la aplicación Web de integración de
Wolfram Mathemática tenemos que la integral es
𝑋(𝜔) =−𝑗𝜔 + 𝑒𝑗𝜔 − 1
𝑗2𝜔2+ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔
2𝜋) 𝑒−𝑗
𝜔2
𝑋(𝜔) = 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔
2𝜋) 𝑒−𝑗
𝜔2 −
1
𝜔2 𝑐𝑜𝑠(𝜔) +
1
𝜔2
+ 𝑗 (1
𝜔−
1
𝜔𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝜔
𝜋))
Literal d.
𝑥(𝑡) = 2 𝛬(𝑡) − 𝛬(𝑡)
Aplicando propiedades inversas de pulso
triangular tenemos
𝑋(𝑡) = 4 𝑠𝑖𝑛𝑐2 (𝜔
𝜋) − 𝑠𝑖𝑛𝑐2 (
𝜔
2𝜋)
3.21 Calcular la transformada inversa de
Fourier de las funciones de frecuencia 𝑿(𝝎) que se
muestra en las figuras
Literal a.
𝑋(𝜔) = 𝜌(𝜔) − Λ(𝜔)
𝑋(𝜔) = 2 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔
𝜋) − 𝑠𝑖𝑛𝑐2 (
𝜔
2𝜋)
Aplicando propiedades de pulso rectangular, pulso
triangular y dualidad tenemos
𝑥(𝑡) =1
𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑐 (
𝑡
𝜋) −
1
2𝜋𝑠𝑖𝑛𝑐2 (
𝑡
2𝜋)
Literal d.
𝑋(𝜔) = 2 Λ(𝜔) − Λ(𝜔)
Aplicando propiedades inversas de pulso
triangular tenemos
𝑥(𝑡) =2
𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑐2 (
𝑡
𝜋) −
1
2𝜋𝑠𝑖𝑛𝑐2 (
𝑡
2𝜋)
Grafique la magnitud y fase de los
resultados usando Matlab.
3.20 Literal a. syms t X omega X=simplify(int((t+1)*exp(-
1i*omega*t),t,-1,0)+int(exp(-
1i*omega*t),t,0,1)); ezplot(abs(X),0,20) axis([0 20 0 2]) ylabel ('Magnitud X(w)') grid on
syms t X omega X=simplify(int((t+1)*exp(-
1i*omega*t),t,-1,0)+int(exp(-
1i*omega*t),t,0,1)); w=0.1:.50:20; angX=180*subs(X,w)/pi; plot(w,angX) ylabel ('Fase X(w)') grid on
Literal d. syms t X omega X=simplify(int((t+2)*exp(-
1i*omega*t),t,-2,-1)+int(exp(-
1i*omega*t),t,-1,1)+int((-t+2)*exp(-
1i*omega*t),t,1,2)); ezplot(abs(X),0,20) axis([0 20 0 3.1]) ylabel ('Magnitud X(w)') grid on
syms t X omega X=simplify(int((t+2)*exp(-
1i*omega*t),t,-2,-1)+int(exp(-
1i*omega*t),t,-1,1)+int((-t+2)*exp(-
1i*omega*t),t,1,2));
w=0.1:.01:20; angX=180*subs(X,w)/pi; plot(w,angX) ylabel ('Fase X(w)') grid on
3.21 Literal a. syms t X omega X=1/pi*(sinc(t/pi))-
1/(2*pi)*(sinc(t/(2*pi)))^2; ezplot(abs(X),0,20) axis([0 20 0 0.2]) title(' '); xlabel (' ') ylabel ('Magnitud x(t)') grid on
syms t X omega X=1/pi*(sinc(t/pi))-
1/(2*pi)*(sinc(t/(2*pi)))^2; w=0.1:.01:20; angX=180*subs(X,w)/pi;
plot(w,angX) title(' '); xlabel (' ') ylabel ('Fase x(t)') grid on
Literal d.
syms t X omega X=2/pi*(sinc(t/pi))^2-
1/(2*pi)*(sinc(t/(2*pi)))^2; ezplot(abs(X),0,20) axis([0 10 0 0.5]) title(' '); xlabel (' ') ylabel ('Magnitud x(t)') grid on
syms t X omega X=2/pi*(sinc(t/pi))^2-
1/(2*pi)*(sinc(t/(2*pi)))^2; w=0.1:.01:20; angX=180*subs(X,w)/pi; plot(w,angX) title(' '); xlabel (' ') ylabel ('Fase x(t)') grid on
Comente resultados relacionando con
contenido espectral y ancho de banda.
Tomando en cuenta que la transformada de Fourier
de una función no sólo permite hacer una
descomposición espectral de los formantes de una
señal, sino que con el espectro generado por el
análisis de Fourier incluso se puede reconstruir
(sintetizar) la función original mediante la
transformada inversa, podemos gracias a este
separar la función en varias para sumarlas o
restarlas y obtener la señal total y obtener mar
fácilmente la transformada o transformada inversa
de Fourier de la función, que es lo que
implementamos en varios de los ejercicios
resueltos.
En cuanto al ancho de banda siempre tenemos en
cuenta que mientras la señal varía más rápido en el
tiempo mayor será su ancho de banda, así como nos
podemos dar cuenta la diferencia entre los literales
a y d de cada ejercicio como su ancho de banda en
el literal d se reduce gracias a que la frecuencia es
más grande.
¿Qué sucede con las señales complejas
en el tiempo?
Al ser una señal compleja al obtener su
transformada esta no tiende a ser simétrica es decir
no es par, ni impar, ya que las señales pares tiende
a tener una transformada puramente real, si es
impar su transferencia será imaginaria y ya que no
cumple con ninguna de las dos tiene a ser
puramente compleja.