sumário e objectivos - fe.up.ptldinis/aula22005.pdf · mecânica dos sólidos e das estruturas 2ª...
TRANSCRIPT
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
1
Sumário e Objectivos
SumSumáário:rio: Barra Traccionada. Conceito de Deformação. Conceito de Tensão. Tensor das Tensões. Casos Particulares. Simbologia. Unidades e Aplicações Elementares. Relações Tensões – Deformações na caso Uni axial. Revisão do Cálculo de Reacções em Vigas.
Objectivos:Objectivos: Apreensão de Alguns Conceitos Associados à Grandeza Deformação e á Grandeza Tensão de Cauchy e sua Simbologia e forma como se relacionam no caso uni - axial. Relembrar o processo de Cálculo de Reacções da Mecânica I.
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
3
L0 -Comprimento inicial
L - Comprimento Final
x
L0
L
Barra TraccionadaPP
P
Conceito de Deformação e Extensão
P
o
o
L LL−
ε =
Deformação usual em Engenharia- Extensão Deformação natural
oL LL−
ε =
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
4
Barra Traccionadax
L0
L
PP
PP
L0 -comprimento inicialL – Comprimento Final
Deformação de Lagrange
2 2o
2o
L L12 L
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠E
Deformação Logarítmica
o o
d nη = = =∫
( ) =+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+= ε1n1n
o
...41
31
21 432 +−+−= εεεε
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
5
x
y
z
1F
iF
nF
O
Sólido Genérico
Viga
1P 2P3P
xy
p
x
y
Torre
Sólidos no Espaço
Forma, Acções e Ligações ao Exterior e Forma de Representação
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
6
Exemplo 2.1
Considere o sólido representado na figura e determine as resultantes dos esforços que se desenvolvem na Secção A-A
P
P
A A A A P
Peça
M=Pa
Parte da Peça
Método das Secções
Equações de Equilíbrio Estático
a
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
7
Barra Prismática-1
P PA
A
Secção A-A
a
b
P P
A
A
Secção A-A
a
b
Barra Traccionada
Barra Comprimida
Tracção
Compressão
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
8
Ã
A
P P
Secção A -A
a
b
P σσ
σ = P/A
Secção A-A
Barra Traccionada
Grandezas
Força
TensãoAP dA= σ∫
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
9
P P
B
B
Secção A -A
a
b
x
y
x´
A´ = A/cos α
y´
O
y´ x´
xP´
P´´
P
P´ = P cos αP´´ = P sen α
Secção Inclinada
Barra Traccionada
α
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
10
Tensões na Secção Inclinada
x
y
x´
A´ = A/cos α
y´
O
y´ x´
xP´
P´´
P
P´ = P cos αP´´ = P sen α
Secção Inclinada
n
PA
PA
PAσ
αα
α=′′
= =cos/ cos
cos2
t
PA
PsenA
pA
senσα
αα α= −
′ ′′
= − = −/ cos
cos
Tensão Normal
Tensão Tangencial
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
11
Exemplo 2.2
P
P
β=30
Uma barra colada , como se representa na figura 2.5, tem secção rectangular de dimensões 1020 mm. O plano que corresponde ao plano de colagem faz um ângulo de com o eixo da barra , como se mostra na figura. Admitindo que a resistência ao corte da ligação colada controla o projecto e admitindo que a tensão de corte máxima admissível é de 10 Mpa, determine a carga axial P a aplicar à barra.
Resolução
Forças Normal e Tangencial 2
2
P Pcos( ) Pcos60º 0.5P
P ´ Psen( ) Psen60º 0.866025P
π
π
= −β = =
= −β = =Tensão Tangencial ou de Corte
2t
º2
P´ 0.866025P 0.00217PN / mmA´ 200 / cos( 30 )π−
= = − = −σ
P 10 / 0.00217 4608.3N∴ = =
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
12
Conceito de Tensão
Flim AA 0
Δσ =
ΔΔ →
AF
0Ayx
xΔΔ
Δ=τ lim
A
F
0Ayy
y
Δ
Δ
Δ=σ lim
AF
0Ayz
zΔΔ
Δ=τ lim
ΔA
ΔFΔF
O
xy
z
FxΔFyΔ
FzΔ
Tensão
Componentes da Tensão σ numa faceta perpendicular a y
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
13
Tensor das Tensões-1
yy yx yz; ;σ τ τ
xx xy xz; ;σ τ τ
zz zx zy; ;σ τ τ
Plano perpendicular ao Eixo dos xx:
Plano perpendicular ao Eixo dos zz:
yyσ Tensão Normal
yx yz;τ τ Tensões Tangenciais ou de Corte
Plano perpendicular ao Eixo dos yy:
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
14
Tensor das Tensões –2
yyσ
xy
zxxσ
zzσ
yzτ
zyτ
xyτ yxτ
zxτ
xzτ
xx xy xz 11 12 13
ij yx yy yz ij 21 22 23
zx zy zz 31 32 33
ou⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ σ σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ = = =σ τ σ τ σ σ σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ σ σ σ⎣ ⎦⎣ ⎦
O modo como se representam as tensões é tal que o primeiro índice representa a direcção da normal ao plano de intercepção e o segundo índice indica a direcção de actuação da tensão
Tensor das Tensões
Convenção de sinais: As tensões são consideradas Positivas se têm o sentido considerado positivo nas facetas do paralelepípedo mais próximas do observador e nas outras facetas são consideradas positivas se têm o sentido contrário. As Tensões representadas nas figuras estão a ser consideradas positivas.
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
15
Estado Uni axial de Tensão
0 00 0 00 0 0
σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0 00 00 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0 0 00 0 00 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦
Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxyz
ou ou
σ
σ
xy
z
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
16
Corte Puro
x
y
O
y
z
x
z
y x
z
xy
yx
0 00 0
0 0 0
⎡ ⎤τ⎢ ⎥τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
yz
zy
0 0 00 00 0
⎡ ⎤⎢ ⎥
τ⎢ ⎥⎢ ⎥τ⎣ ⎦
xz
zx
0 00 0 0
0 0
⎡ ⎤τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥τ⎣ ⎦
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
17
Tensões Normais
x
y
zzzσ
xxσ
yyσ
xx
yy
zz
0 00 00 0
⎡ ⎤σ⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
18
Estado Plano de Tensão
x
y
x
y
z
yyσ
yyσ
xxσ
xxσ
xyτxyτ
yxτyxτ
xx xyxx xy
yx yyyx yy
00 ou
0 0 0
⎡ ⎤σ τ⎡ ⎤σ τ⎢ ⎥τ σ ⎢ ⎥⎢ ⎥ τ σ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
19
Unidades
Unidade S.I. S. Métrico U.K.Comprimento metro(m) metro(m) polegada(in)Tempo segundo (s) segundo(s) segundo(s)Massa Kilograma(Kg) Kilograma(Kg) Libra Massa (lb)Força Newton(N) Kilogramo(Kg) Libra Peso (lb)Tensão Pascal(Pa) Kg/m2 lb/in2
T G M k m μ n p
1210 910 610 310 −310 −610 −910 −1210
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
20
Problema 2.3Num plano perpendicular ao eixo dos yy a tensão resultante é T={0 10 5}MPa. Determine as componentes das tensões no referido plano.
x
{ }
{ }
{ }
yx 1
yy 2
yz 1
1T.e 0 10 5 0 0MPa
0
0T.e 0 10 5 1 10MPa
0
0T.e 0 10 5 0 5MPa
1
⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪σ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
21
Problema 2.3
xy
z T
σyy
τyz
τyx
{ }
{ }
{ }
yx 1
yy 2
yz 1
1T.e 0 10 5 0 0MPa
0
0T.e 0 10 5 1 10MPa
0
0T.e 0 10 5 0 5MPa
1
⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪σ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
22
Exemplo 2.4
O tensor das tensões num ponto é:
Desenhe um paralelepípedo
centrado no ponto e sobre cada
uma das faces represente as tensões que sobre ela actuam.
10 20 3020 20 30 MPa30 30 10
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
23
Exemplo 2.4
y
x
z
10
2020 10
10
10
20302020
3030
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
24
Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão
Vigas Isostáticas – Cálculo das Reacções de Apoio
a)
pkN/m
b)
y6pkN
L L/2
pkN/m
B45º
L L/2
x
45º
A
6pkN
A
B CC
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
25
6pkN
L L/2
pkN/m
B45º
x
a)
A
Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão
As reacções de apoio possíveis na viga da figura a) são: uma reacção segundo y em B e duas reacções em A, uma reacção segundo x e uma reacção segundo y. As equações de equilíbrio são duas equações de equilíbrio de forças, uma segundo x e outra segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos na direcção normal ao plano Oxy, por exemplo em A.
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
26
Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão
n
xi Axi 1n
yi Ay Byi
A
1
x0 6p cos 45 0 a)F R
0 pL 3 2p
3 2pR
b)F R R
=
=
= =− =∑
= + = +∑
Equilíbrio de Forças
( )2n m
yi i xi zj By Byii 1 j 1
9 L 9L0 L p 2pL =p + 2p yF x F M R R2 2 2 2= =− + = = +∑ ∑
Equilíbrio de Momentos
By AyL 9 L 3 =p + 2p e =p - 2pR R2 2 2 2
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
27
b) pkN/my
L L/2
45º
A
6pkN
As reacções de apoio possíveis na viga da figura são: uma reacção segundo y em A, uma reacção segundo x em A e um momento em A. As equações de equilíbrio são duas equações de equilíbrio de forças, uma segundo x e outra segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos na direcção normal ao plano Oxy, por exemplo em A
Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
28
n
xi Axi 1n
yi
A
Ayi 1
x0 6pcos 45 0 a)F R
0
3 2p R
pL 3 2p )R bF
=
=
= + =∑
=∑
=−
= +
Cálculo das Reacções em Vigas -Revisão
Equações de Equilíbrio de Forças
Equação de Equilíbrio de Momentos
( )2n m
yi i xi zj Azii 1 j 1
2
Az9L0 p 2pL =0 yF x F M M
9L=-p - 2pL M2 2 2 2= =− + = + +∑ ∑
Lúcia M.J.S. Dinis2005/2006
Mecânica dos Sólidos e das Estruturas2ª Aula
29
Problemas Propostos para Resolução
6m 4m 4m
10kN/m
20kN
A BO
x
OBA
2m 3m2m 2m
15kN/m 10kN/m
xy
xy
L=1m
M=1500N.m
P=3000NM=1500Nm
0,60m 0,40m
Calcule as Reacções de Apoio para as vigas isostáticas representadas na figura.
a) b)
c) d)