ELEMENTOS DE MATEMATICA Publicación didáctico científica

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Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática

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Editorial £

La teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas - IV Parte Gregorio Klimovsky 5

Los Sistemas de numeración Prof. Roberto P. J. Hernández 12

Los problemas matemáticos en el aula Prof. María EstherS. de Hernández 23

La computación como recurso Prof. Elena García 28

Propuesta didáctica Lucrecia Del i a Iglesias 36

Noticias 39

Bibliografía 4G

ELEMENTOS DE MATEMATICA

PUBLICACION DIDACTICO CIENTIFICA de la UNIVERSIDAD CAECE

IV NUMERO XVI Jun io 1990

SUMARIO

ISSN 0326-8888

Editorial

En el presente número, el XVI del volumen IV, se continúa con las secciones fijas habituales, se incluye la IV parte del trabajo del Profesor Gregorio Klimovsky: "La Teoría de Conjuntos y los Fundamentos de las Matemáticas"y se completa el relativo a "Los Sistemas de Numeración" de quien suscribe esta nota de presentación.

Anticipamos que el próximo número se enriquecerá con dos importan-tes trabajos: uno del Dr. Luis Santalóy otro del Dr. Enzo Gentile.

Saben nuestros abnegados suscriptores que uno de los proyectos varias veces anticipado y no concretado hasta ahora, ha sido el de generar una red de corresponsales en todo el país, y aún en el exterior, de nuestra revista. Como no hemos recibido sugerencias al respecto, formulamos aquí, sin pretensiones de ser reglamentaristas, algunas condiciones de partida para lograr tal objetivo, insistiendo que existe total libertad para reajustar aquellas:

I. Actividades de los corresponsales. Se espera de los mismos:

1.1 Comprometerse a difundir los contenidos de nuestra revista entre todos los colegas que actúen en los establecimientos que existan en la zona de actividad del corresponsal.

1.2. Promover entre tales docentes la discusión de los distintos temas que se publican.

1.3. Intentar llevar al aula todas las formas de adaptación posible de tales temas.

1.4. Mantener un contactofluido y permanente con laDirección de la revista, comentando los resultados de las actividades que se encaren y toda experiencia que realice el corresponsal y sus colegas.

1.5. Proponer y realizar, de ser posible, reuniones académicas en sus lugares de trabajo, para lo que contarán con todo el apoyo de esta Dirección que podría incluir la visita de integrantes del grupo de colaboradores permanentes y de los distinguidos au-tores de trabajos publicados.

1.6. Colaborar con la redacción de trabajos para publicar.

1.7. Visitar esta Dirección toda vez que lo deseen y en particular cuando por cualquier razón viajen a la ciudad de Buenos Aires, en caso de no habitar en la misma.

II. Designación de corresponsales

Il.I.Se designará inicialmente un corresponsal por cada ciudad capital del país o ciudad donde actúe un número significativo de docentes de Matemática.

11.2. Los docentes que compartan, en principio, los enunciados pre-cedentes -que podrán reajustarse por las sugerencias que se formulen- podrán postularse para actuar como corresponsales para lo cual deberán remitir a esta Dirección, de ser posible antes del 20 de agosto próximo, la siguiente información:

a) Curriculum personal.

b) Detalle de los establecimientos de enseñanza existentes en su respectiva zona de actuación.

c) Cantidad de docentes de Matemática que actúan en esa zona.

11.3. Con la información que llegue hasta la fecha mencionada esta Dirección procederá a la designación de los corresponsales que considere pertinentes, publicándose la primera nómina en el número de Setiembre.

11.4. La nómina no quedará cerrada en esa oportunidad, la que podrá ampliarse en sucesivas publicaciones.

Ahora sólo nos queda esperar la respuesta de nuestros colegas. En eso estamos.

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La Teoría de Conjuntos y los Fundamentos de la Matemática

PARTE IV

Por Gregorio Klimovsky

En 1901, año en que Bertrand Russell descubre la célebre antinomia que lleva su nombre, la teoría de conjuntos, tal como la había fundamen-tado Frege, resulta ser contradictoria.

¿Qué importancia tuvo este hecho negativo, desde un punto de vista científico? Mucha y múltiple. En primer lugar, hay que tener en cuenta que esa rama de la matemática había aparecido muy recientemente, gracias a los trabajos del genial creador de esa disciplina, el matemático Georg Cantor. En ese momento, salvo un grupo reducido de entusiastas, la gran mayoría de los matemáticos desconfiaba de esta nueva temática. Hablar de números o de figuras geométricas, ello está bien y es lo natural. Pero aludir a conjuntos parecía algo misterioso y fantasmal, más "meta-físico" que científico. Además, algunos de los métodos de Cantor, especialmente los relacionados con la matemática del infinito, aparecían como sospechosos. No obstante, muchas personalidades comenzaron a convencerse, de modo que la flamante teoría aparentaba estar ganando la partida. Para desgracia del bando de los conjuntistas, en ese preciso instante aparecen las contradicciones y todo amenaza derrumbarse.

Curiosamente, es bueno observar aquí que, después de todo, Cantor triunfó. Las innegables ventajas de la teoría de conjuntos, como metodo-logía unificadora del lenguaje matemático y favorecedora del examen y análisis de las estructuras matemáticas, se hacen manifiestas a poco que examinemos cualquier texto actual, entre la inmensa mayoría de libros y trabajos que integran la producción científica contemporánea. Sin duda, en este sentido, el siglo XX es para la matemática el siglo de Cantor y de los métodos conjuntísticos. Pero el lector puede en este punto preguntar extrañado: ¿cómo es posible semejante triunfo si, después de todo, como acabamos de ver, la teoría de marras lleva a contradicción? Esto se relaciona con otro aspecto de la historia, que vamos a mencionar a continuación.

I .

Comencemos con una pregunta: ¿cómo reaccionaron los matemáticos de tipo tradicional frente a la catástrofe de la teoría de conjuntos? La respuesta es quizá sorprendente: salvo un grupo de científicos interesados en temas filosóficos o epistemológicos, prácticamente nadie hizo mucho caso de ese episodio. Pero, ¿cómo es posible quedar indiferente frente a la contradicción? Es bien claro que informaciones contradictorias indi-can que uno está en una pista falsa en materia de conocimiento. Para colmo, los lógicos nos enseñan que de dos proposiciones contradictorias se puede deducir cualquier cosa. Pues la proposición

A -4 (-A B)

es lógicamente válida (es una "tautología", en el lenguaje de la lógica proposicional), es decir, verdadera cualquiera sea el "valor de verdad que se asigne a las letras proposicionales A y B, como puede verse recordando que la negación invierte los valores de verdad y que el condicional A -> B ("si A entonces B") se hace falso únicamente cuando A es verdadero y B falso; la notación "—A" simbolízala negación de B. Pero si hay contradic-ción, es decir, si se tiene un teorema "A" y otro teorema "—A", entonces, utilizando la regla de razonamiento "modus ponens", que autoriza a pasar de las premisas j> y j> —> q a la conclusión a, podemos razonar así:

1. A (premisa teorema) 2. A - » ( - A - » B ) (ley lógica) 3. (-A —>B) (de 1. y 2. por modus ponens) 4. - A (premisa teorema) 5. B (de 4. y 3. por modus ponens)

Pero B es una proposición cualquiera. De modo que, y esto es lo importante, cuando se produce una contradicción en una teoría, es posible demostrar cualquier afirmación. El sistema que la teoría pretende estable-cer se vuelve un trivial caos, una mescolanza de afirmaciones verdaderas y falsas en la que todo vale, sea cierto o absurdo.

Precisamente por esto es que resulta sorprendente que la comunidad científica se haya mostrado insensible en relación con la aparición de contradicciones. Pero, como con razón observan el historiador de la matemática E.T. Bell y el lógico holandés E. Beth, las antinomias o contradicciones que los filósofos - o los científicos que investigan temas situados en las fronteras de la ciencia- encuentran, nunca asustan a los investigadores que realizan tareas ordinarias de indagación. Hay dos razones. La primera es la esperanza, bastante realista, de que un análisis

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más o menos cuidadoso de la dificultad terminará por hacerla desapare-cer. La otra es el hecho de que el fenómeno -muy repetido en la historia de la cultura- de la aparición de paradojas o antinomias ha resultado siempre una ocasión positiva para reexaminar los métodos o conceptos que usamos y reconstruirlos de una manera más útil para la ciencia. Las paradojas de Zenón -tales como la de Aquiles y la tortuga o la de la flecha- sirvieron para convencer a los matemáticos que había que admitir números irracionales. Las paradojas que encuentra Berkeley en el cálculo infinitesimal obligan a una reformulación más cuidadosa del concepto de "infinitésimo", lo cual se consigue de manera satisfactoria en el siglo pasado. Los matemáticos seguramente pensaron que con las contradic-ciones que Russell y otros estaban encontrando pasaría lo propio, y no se inquietaron.

Es interesante advertir que, entre los que no parecieron afligirse demasiado por estas dificultades, estaba precisamente Cantor. Cierto es que descubrió antinomias en su teoría aún antes que Russell, pero las mantuvo en reserva. Quizá no quiso ser él mismo quien hiciera pública una grave dificultad en sus propias ideas (hay que reconocer que seme-jante actitud es bastante humana, sin duda), pero en realidad parece que no le dio importancia, pensando en que todo se arreglaría de un modo u otro. Más aún, concibió soluciones que, pese a su falta de claridad, anticiparon algunos de los puntos de vista que más adelante resultarían adecuados y fructíferos para solucionar la crisis.

Quien no tomó las cosas por las buenas y quedó realmente afectado por el accidente fue Gottlob Frege. Comencemos por decir que, como lo reconocen casi unánimemente los historiadores de la lógica moderna, este pensador alemán fue el lógico más importante y profundo del siglo diecinueve. Si bien las notaciones de Giuseppe Peano eran más simples y menos engorrosas que las del pensador germano - y terminaron impo-niéndose, hasta el punto de ser casi umversalmente las que hoy se usan en la matemática moderna-, hay que admitir que las ideas de Frege acerca de la cuantificación, las funciones y la referencia provocaron una verda-dera revolución científica y conceptual en la epistemología de las ciencias' formales y en el desarrollo de la lógica. Pero en lo que concierne al fenómeno de las antinomias parece que fue víctima de una extraña mezcla de desazón y confusión. Expliquémonos.

Frege era "logicista", es decir, creía -como ya lo hicimos notar en una ocasión anterior-que la matemática es un capítulo de la lógica. O sea, que los conceptos matemáticos pueden definirse a partir de los conceptos lógicos y que las proposiciones de la matemática pueden deducirse a partir de los principios de la lógica. Pero con "lógica" él no se refería a la

lógica "clásica" aristotélica, la que culmina con la teoría del silogismo, que es a todas luces insuficiente para efectuar la reducción logicista en la que el investigador alemán creía. Para él la lógica es algo más amplio y complicado, y dedicó sus esfuerzos a desarrollarla explícitamente y a mostrar que efectivamente es posible extraer de ella la matemática o, dicho con más propiedad, la aritmética, que era la disciplina básica en la que tenía enfocada su atención.

El conocimiento, por medio de una carta que le envió el propio Bertrand Russell, de la contradicción implicada por la definición del "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento", lo sumió en una acentuada depresión. La primera confusión en que parece haber caído fue una declaración que hizo a sus allegados: "¡Qué desgracia! ¡La aritmética lleva a contradicción". Sin duda, esa es una apreciación errónea, que algunos escritores americanos denominan "la paradoja de Frege". No es la aritmética la que lleva a contradicción; es el sistema de lógica usado por Frege para tratar de deducirla. En este punto conviene recordar algo muy importante. Un razonamiento puede ser correcto de acuerdo con las leyes lógicas, y sin embargo tener premisas falsas y conclusión verdadera. Los alumnos de lógica siempre se sorprenden cuando advierten esto, pero terminan por comprender que lo que hace "válido" un razonamiento es el hecho de que exista garantía de "conservación de la verdad", en el sentido condicional de que "si las premisas llegan a ser ciertas, la conclusión debe ser cierta también". Pero no es necesario que las premisas sean ciertas. Tampoco lo es -y ello es una equivocación intuitiva muy frecuente- que si las premisas son falsas y el razonamiento es correcto, la conclusión debe ser falsa también. Como ejemplo, he aquí un silogismo correcto por tener la forma "Bárbara", ya reconocida por el propio Aristóteles como válida, y cuyas premisas son falsas y su conclusión verdadera:

Todos los africanos son americanos, Todos los argentinos son africanos, Por consiguiente, Todos los argentinos son americanos.

La equivocación de Frege reside en que la deducción de la aritmética a partir de su sistema lógico puede ser correcta (nadie niega que de hecho lo es), la aritmética ser verdadera (como todavía todos creemos que es) y, no obstante, el sistema lógico ser falso. Que esto último es lo que sucede, sale precisamente de que sea posible deducir de tal sistema la contradicción hallada por Russell. Y si todavía un lector no muy habitua-do a las sutilezas lógicas pregunta extrañado cómo es posible que de una teoría falsa como la de Frege se deduzca al mismo tiempo una verdad

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(como la aritmética) y una contradicción (como la de Russell), la respuesta es que ese fenómeno es muy natural. Tomemos como ejemplo la suposición - a todas luces falsa-de que 1=2 . Por un lado, si sumamos miembro a miembro esta igualdad con ella misma invertida (todo lo cual está autorizado por las leyes uniformes de la suma y reflexiva de la igualdad), obtendreos 1 + 2 = 2 + 1, o sea la proposición verdadera 3 = 3. Pero si a esa premisa 1 - 2 sumamos miembro a miembro 1 = 1, obtenemos la conclusión falsa 2 = 3.

De modo que el accidente no demuestra que la aritmética es falsa -más bien parece gozar de muy buena salud- El que está mal es el sistema de Frege. Lo que resultó lastimoso para el lógico alemán es la repercusión de todo esto sobre sus programa logicista. No parece posible seguir insistiendo en la reducción de la matemática a la lógica si eso que se ha tomado como lógica no existe. Si por prudencia uno quisiera refugiarse en la tradicional lógica aristotélica, el programa de Frege no puede llevarse a cabo; tal lógica es muy débil y no alcanza a dar cuenta de los más rudimentarios razonamientos matemáticos.

Es curioso que una de las justificaciones de la actitud reduccionista de Frege haya sido que, según él, la aritmética no posee principios del todo evidentes y seguros (piénsese en el axioma de inducción matemática de Peano, por ejemplo). La lógica, en cambio, sí tiene principios indubita-bles. Reducir la aritmética a la lógica daría a aquélla una seguridad y garantía que en sí misma no posee. Pero las buenas intenciones de Frege por lo visto terminaron en un fiasco; sin duda, debió sentirse un tanto en una posición ridicula. Ello le llevó a hacer declaraciones un tanto oportunistas, como la de que, en realidad, algunos de los axiomas de su sistema lógico nunca le habían parecido muy evidentes (el principio de existencia, especialmente). Pero esto lleva al problema de cómo hace uno para distinguir, frente a la propuesta de un determinado sistema de lógica, los axiomas auténticamente evidentes de aquéllos en que la evidencia es algo meramente ilusorio. La "evidencia" y la "intuición" han sido con frecuencia caminos hacia el error. Contemplando la historia de la ciencia, bien puede decirse que "el camino al infierno científico está sembrado de buenas intuiciones".

Hay que reconocer que Frege, a semejanza de Cantor, también entrevio algunas de las soluciones que más adelante Russell y otros plantearían explícitamente. Pero en este punto parece oportuno señalar que el lógico germano fue víctima de otra confusión. Parece no haber advertido claramente que el sistema "lógico" al cual deseaba reducir la aritmética era en realidad la superposición de dos cosas muy distintas. Una, la teoría de la cuantificación y de las conectivas lógicas, sería la que propiamente

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merece el nombre de lógica; no hace presuposiciones acerca de la existencia de entidades ni de los tipos de objetos de los que la ciencia y la matemática en particular puede tratar. Es una disciplina formal que nos enseña cómo se construyen las afirmaciones y cómo se justifícala validez de las deducciones. La otra sería en realidad la teoría de conjuntos, pues se ocupa de extensiones, clases, y de la existencia o no de conjuntos especiales. La reducción de la aritmética es en realidad una reducción a una combinación de teoría lógica y de teoría de conjuntos, como ya lo hicimos notar en artículos anteriores. Según lo observa Quine, el impor-tante lógico norteamericano, la teoría de conjuntos no es exactamente lógica pura o formal: tiene un contenido "ontológico", nos habla de ciertas entidades y hace afirmaciones, repetimos, acerca de la existencia y propiedades de tales cosas. Pero entonces la teoría de conjuntos sería una teoría matemática, quizá más general y abstracta que la aritmética. De ahí el interés de reducir la aritmética a la conjuntística (idea que es la que verdaderamente sirve de guía a la metodología matemática contemporá-nea). Pero es no es verdaderamente logicismo; no es una reducción de la matemática a la lógica. Sin duda, esta afirmación es discutible, y son muchos los que trepidan en la actualidad en seguir sosteniendo que la teoría de conjuntos es parte de la lógica, e integra -junto a las "lógicas de orden superior a 1"-el tópico llamado "lógica superior". De manera que, de todos modos, el problema que verdaderamente interesa para la fundamentación de la matemática es el de cómo puede reconstruirse la formulación axiomática de la teoría de conjuntos sin que las antinomias o contradicciones reaparezcan.

Algunos matemáticos reaccionaron frente al episodio de las antino-mias de un modo bien distinto al de Frege. El gran Henri Poincaré, uno de los científicos más notables de Francia, tomó las cosas a la chacota. Es necesario decir aquí que desde un principio (es decir, desde las primeras publicaciones de Peano y de Russell), la lógica matemática, o la "logís-tica" -como entonces se la llamaba- le produjo la más franca de las antipatías. La veía como una innecesaria complicación, sin el menor efecto sobre la creatividad matemática. Para él, la lógica matemática era una pedantería inútil, era "estéril". Cuando Russell y otros se topan con las antinomias, no se perdió la oportunidad y dijo" "¡atención! ¡la logística ya no es más estéril! ¡ahora engendra la contradicción!" Ingenio-so. Pero al sabio galo le falló esta vez la perspicacia, y no entrevio todas las cosas importantes que sucedieron más adelante, como los teoremas de Godel sobre el alcance del razonamiento matemático, los resultados de Church sobre la no decidibilidad de los cálculos lógicos cuantificaciona-les, la teoría de Tarsky sobre la verdad o la aparición, gracias a las ideas

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de Robinson, del análisis no estándar, para tomar sólo algunos ejemplos impresionantes. Y agreguemos a esto lo que sucede en informática; según John McCarthy, "es razonable esperar que las relaciones entre computa-ción y lógica matemática sean tan fructíferas en el próximo siglo como lo han sido los vínculos entre análisis y física en el siglo pasado". En este punto, Poincaré es un buen ejemplo de lo que el epistemólogo Thomas Kuhn denomina "el conservadurismo y la resistencia de la comunidad científica para salirse del paradigma ofical".

La actitud de Bertrand Russell fue algo diferente a la de los personajes que hasta ahora hemos aludido. A su entender, no es necesario hablar de clases o conjuntos. El lenguaje de la teoría de conjuntos es, según su manera de pensar casi inmediata a la aparición de las paradojas, una abreviatura de un lenguaje más general que alude a propiedades y relaciones. Por ello es que el filósofo inglés está totalmente convencido de que la dificultad no pertenece a una teoría especial como "la teoría de conjuntos". Para él, las contradicciones por él encontradas son auténticas "antinomias lógicas". Sin detallar por el momento por qué cree él tal cosa, digamos desde ya que, aunque la razón estuviera de su parte, la naturaleza de la dificultad no cambiaría. Pues lo único que ocurriría sería un desplazamiento de nuestra atención desde las entidades conjuntísticas hacia otras entidades tales como "propiedades" y "relaciones". De inme-diato surgirían cuestiones tales como cuándo hay identidad y -sobre todo- existencia de tales entidades. Bien observa Quine que así, en cierto modo, salimos perdiendo y no ganando. Pues es muy fácil decir cuando dos conjuntos son iguales o, mejor dicho, idénticos: cuando cualquier elemento de uno es elemento del otro y viceversa. Pero no lo es tanto decir qué hace idénticas dos propiedades. Además, ¿qué sería exactamente un "principio de existencia de propiedades?" En verdad, la "teoría de las propiedades" sería muy parecida a la "teoría de conjuntos", sólo que faltaría el principio de extensionalidad. La cuestión de cómo se evitan las antinomias es casi igual, tanto si se prefiere hablar de conjuntos como si se quiere hablar de propiedades.

En la próxima parte de este trabajo vamos a discutir las soluciones que se han propuesto frente al problema de cómo evitar las antinomias.

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Los sistemas de numeración

(continuación)

Prof. Roberto P. J. Hernández

2. Propiedades de los sistemas de numeración

I. Toda potencia enésima de la base se expresa por el uno seguido de tantos ceros como indica el exponente.

T) mn= 10 ...n...O

D) La expresión polinómica de mn es:

mn = uno . m" + cero . mn"1 + ... + cero . m + cero

Luego la expresión formal inversa es: f

m n o lUnocerocero ... cero

Y la expresión cifrada:

mn = LJm£emeem cero(m

Y si el número uno tiene por símbolo : 1 y el número cero: 0, resulta:

m" = 1 0 0 ...n... 0,m (m

II. La base de un sistema, en el mismo sistema se expresa siempre por 10(m

T) m = 10(m

D) Es una simple consecuencia de la propiedad anterior para n = 1 m = 1 C L

(m Sise prefiere, puede obtenerse la expresión a través de las divisiones

sucesivas: m m Q 1 m

1 0

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Observación

El número que representamos por 10(m no debe leerse diez, salvo el único caso en que la base sea el natural diez, es decir en el sistema decimal.

III. La expresión cifrada del producto de un número natural p por una potencia natural k de la base del sistema, se obtiene agregando a la derecha de la expresión cifrada de p, k ceros.

H)p = u f lu lkJ...u f l (m;mbase;ke N

T) p . mk = u ^ ...k... cero ...cero(m

D) Escribiendo la forma polinómica de p en base m:

p = un mn + un., . mn"1 + ...+ u1 . m + u0

Multiplicando por mk:

p . mk = u n . mk+n + un.1 . mk+n"1 + ... +

+ u1. mk+1 + u 0 . mk

Forma polinómica que se puede completar:

p . mk = un . mk+n + un1 . mk+n"1 + ... +

+ u1 . mk+1 + u 0 . mk + cero . m M + ...k... cero . mCero

donde los términos agregados, de coeficientes cero, son k. Luego por significado de expresión cifrada:

P • = Moce ro ...k... cero(m

Observación

Las propiedades I, II y III, son a veces utilizadas para "demostrar" las "ventajas" del sistema de numeración decimal. Las demostraciones generales que se han desarrollado, cualquiera sea m, eliminan esa supuesta "ventaja" y por lo tanto el sistema decimal no tiene razones para ser "mejor" que los construidos con otras base. Por el contrario, desde el punto de vista matemático, hubiera sido preferible, para múltiples estudios, la elección de una base que contuviera más divi-sores, como por ejemplo el número doce.

La objeción formulada se refiere al sistema de numeración decimal y no al sistema métrico decimal, cuya característica importante no es la de escribir los números en base diez, sino la de que todos los múltiplos y submúltiplos de las diferentes unidades se hallan vinculados por po-

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tencias naturales de diez. De construirse un sistema de numeración duodecimal, por ejemplo, el sistema de medidas debiera utilizar las potencias naturales de doce para vincular múltiplos y submúltiplos y en tal caso sería tan sencillo y cómodo como el sistema métrico decimal.

Probablemente la única razón valedera que justifica la subsistencia del sistema de numeración decimal en todo el cálculo operativo, es que la más antigua, y todavía en uso, máquina de calcular, es la construida con los dedos de las dos manos.

3. Operaciones en los sistemas de numeración

Analizaremos los mecanismos operativos de la adición y la multipli-cación solamente, ya que las restantes operaciones no son más que consecuencia de ellas.

Adición

Sean:

u u . n n -1

ui3<m y ¥ ± , ••• v v

las expresiones cifradas en base m de dos números naturales q y r, respectivamente. Se desea encontrar la expresión cifrada, en la misma base, del número natural s = q + r.

Escribamos las correspondientes formas polinómicas:

q = u n . m" + un1 . m"'1 + ... + u1 . m + u0

r = v k . mk + vk1 . mk"1 + ... + v1 . m + v0

donde n^ k. Supongamos n > k. Si n < k, en virtud de la conmutavidad de la suma, bastaría hacer: s = q + r = r + q

Sumando esas expresiones polinómicas y reduciendo términos se-mejantes:

q + r = u n . mn + ... + (uk + vk) . mk + ... +

+ (u, + v,) . m + (u0 + v0) (1)

Y en consecuencia la expresión cifrada de s, es:

s = 3 ... (uk + vk) ... (u, + v1)(u0+v0)(m

De donde resulta la siguiente conclusión: "La expresión cifrada de la suma de dos números naturales expresa-

dos en un mismo sistema de numeración tiene por cifras las respectivas sumas de las cifras de igual ubicación, contadas de derecha a izquierda".

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ib.

Queda así justificado el clásico mecanismo utilizado en el sistema decimal - y que ahora resulta válido en cualquier sistema- de sumar las cifras "encolumnadas", de derecha a izquierda.

Observación

Las cifras u y v son menores que m, pero al sumarlas, si tomamos por ejemplo u0 y v0, su suma puede ser:

u0 + v0 | m

Si u0 + v0 < m, existe en el sistema una cifra para expresar tal suma. Pero si u0 + v0 ^ m, no existe tal cifra única. En tal caso:

u0 + v0 = 1 . m + u' donde u' < m

Reemplazando en (1):

q + r = u n . mn + ... + (uk + vk). mk + ... +

+ (u, + v j . m + 1 . m + u'

O sea: q + r = u n . mn + ... + (uk + vk). mk + ... +

+ (u1 + v1 + 1). m + u'

Luego:

s = u^... (uk + vk)... (u, +v, + 1)u'

Resultando la otra expresión clásica: Si u0 + v0 es mayor que m, (lo mismo para cualquier u¡ + v¡) es igual a a . m + u'; escribo u' y "me llevo a" para la suma subsiguiente de la izqierda.

Ejemplo

Si se desean sumar, en base diez, los números representados por

1234 y 899, se tendrá:

1234 = 1 103 + 2 102 + 3 . 10 + 4 y 899 = 8 102 + 9 . 10 + 9

Luego 1234 + 899 = 1 103 + (2 + 8) . 102 + (3 + 9). 10+ (4+ 9) = 1 103 + (2 + 8) . 102 + (3 + 9) . 10+ (10+ 3) = 1 103 + (2 + 8) . 102 + (3 + 9 + 1). 10 + 3 = 1 103 + (2 + 8) . 102 + (10 + 3) . 10 + 3 = 1 103 + (2 + 8) . 102 + 1 . 102 + 3 . 10 + 3 = 1 103 + (2 + 8 + 1) . 102 + 3 . 10 +3

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= 1 . 103 + (10 + 1). 102 + 3 . 10 + 3 = (1 + 1). 103 + 1 . 102 + 3 . 10 + 3 = 2.10 3 + 1 .102 + 3 . 1 0 + 3

Y en consecuencia:

1234 + 899 = 2133

Resultado al que se llega en la disposición práctica usual.

1234 + 899

2133

Multiplicación

Sin necesidad de detallar como antes cada paso, un planteo similar nos lleva a la clásica disposición operativa de la multiplicación.

Si q = u ^ U q

y r = v- iV

q = u2 m2 + u1 . m + u0

r = v1 . m + v0

Luego:

p = q . r = (u2. m2 + u1 . m + u0). (v, . m + v0)

p = u 2 . v1 . m3 + (u2. v0 + u1 . v.). m2 +

+ (u i • v0 + u 0 , v,). m + u0 .v0

O sea: p = ( u ¿ v , ) ( u 2 - v 0 + u { v , ) ( u { V q + U q V , ) ( u 0 - v n )

Resultado que coincide con el famoso mecanismo "escalera"

q = u2uiuo.

r = V 1 V 0

u2 • vo ^ • vo uo • V0 u , - v ^ -v.Un-v,

(u2 • v,) (u2 • v0+ u, • v,) (u1 • v0 + u0 • v,) (u0 • v0)

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Donde vale la misma observación anterior si alguno de los números representados entre paréntesis es mayor o igual que m.

4. Tablas de adición y multiplicación

Conociendo ya la disposición práctica de las dos operaciones funda-mentales es cómodo para el mecanismo operatorio construir las tablas de tales operaciones. Teniendo en cuenta que si se trabaja en base m, la cifra máxima con la que se debe operar corresponde a m - 1, tendremos así limitado el desarrollo a dar a cada tabla.

A título de ejemplo construiremos las tablas de adición y multiplica-ción en base seis, disponiendo entonces de las cifras ordenadas 0,1, 2, 3, 4, 5, que representan en ese orden a los números menores que seis, cifrándose este último 10(seis.

Tabla de adición

Disponemos las expresiones cifradas del cero ai cinco en una primera fila. Como segunda fila las expresiones cifradas de los números que resultan al sumar uno a cada uno de los anteriores y así sucesivamente hasta llegar a la sexta fila. Recordando el mecanismo operativo, si se desea cifrar el número siete, como es el siguiente de seis, es decir seis más uno, se tendrá 10 + 1 =11.

Resulta, con tal criterio la siguiente tabla de doble entrada:

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 10

2 3 4 5 10 11

3 4 5 10 11 12

4 5 10 11 12 13

5 10 11 12 13 14

Tabla de multiplicación

Disponemos en la primera fila los números del uno al cinco, descar-tando el cero, pues su producto por cualquier número es cero.

Como segunda fila escribimos el duplo de la primera o sea

2a F = 1a F + 1a F

lo que se calcula mediante la tabla de adición ya construida.

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Análogamente la tercera fila se obtiene triplicando la 1s, o lo que es lo mismo:

3a F = 1a F + 2a F

Y con idéntico criterio se obtienen la A- y 5- filas.

1 2 3 4 5

2 4 10 12 14

3 10 13 20 23

4 12 20 24 32

5 14 23 32 41

Ejemplos

Construidas las tablas y demostrados los mecanismos operativos, podemos realizar cualquier cálculo en el sistema de base seis.

a) Sea sumar: 1034 + 4542 + 355

Dispongamos en columna y efectuemos:

1034 4 + 2 + 5 = 10 + 5 = 15 Se escribe 5 y pasa 1 a 28 Col.

4542 1 + 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 5 = 12 + 5 = 23

Queda 3 y pasa 2

355 2 + 0 + 5 + 3 = 2 + 5 + 3 = 11+3 = 14

Queda 4 y pasa 1

10435 1 + 1 + 4 + 0 = 2 + 4 = 10

b) Sea multiplicar 345 x 123 345 123

1523 3x 5 = 23; ( 3 x 4 ) + 2 = 20 + 2 = 22; ( 3 x 3 ) + 2 = 13+ 2 = 15

18

1134 2 x 5 = 14; ( 2 x 4 ) + 1 =12 + 1 =13; (2x3) +1 =10 + 1 = 11

345

52203

5. Pasaje entre sistemas

El problema que nos proponemos analizar es el de encontrar la expresión cifrada de un número en un sistema de base m, cuando se conoce su expresión cifrada en otra base n y recíprocamente.

Puesto que el sistema decimal es bien conocido, así como todas las operaciones en el mismo, desdoblaremos el problema general enun-ciado, en los siguientes casos:

a) Pasaje del sistema decimal a otro de base m.

b) Pasaje de un sistema de base m al decimal.

c) Caso general: pasaje de base m a base n.

a) Decimal a base m.

El teorema fundamental nos da la solución. En efecto, bastará realizar las divisiones reiteradas del número p dado, por m (operando en base 10).

Los restos son las cifras de p en base m.

Ejemplo

Sea p = 10435 en base diez. Expresarlo en base siete.

10435 7

5 1490 7

ñ 212 7

2 30 7

2 4 7

i 0

Luego:

10435(Dlez = 42265(s¡ele

19

b) Base m a decimal

Sea p = u„u„, ...u.un,m ' n n - 1 1 0 ( m

Luego

p = u n . mn + un-1 . m""1 + ... + u, . m + u0

Realizando todas las operaciones del segundo miembro en base diez, se obtendrá p en esa base, esto es, bastará calcular ei valor numérico de la forma polinómica, cuando se reemplace m por su expresión en base diez.

Ejemplo

sea p = 42265(siele

p = 4x 74 + 2x 73 + 2x 72 + 6 x 7 + 5(d¡e2

p = 9404 + 686 + 98 + 42 + 5(diez

P= 10435(Die2

c) Base m a base n

De acuerdo con los casos resueltos bastará realizar los siguientes pasajes:

1.- Base m a base diez.

2 - Base diez a base n.

Ejemplo

Sea p = 42265(siete Expresarlo en base seis.

1-" 42265(siete = 10435(D¡ez

2 -

20

10435 6

1 1739 6

1 289 6

1 48 6

Q 8 6

2 1 6

1 0

Luego: 10435(Diez =120111

O sea:

(seis

42265(siete = 120111(sejs

Observación

De todo ¡o expuesto surge que e! sistema de numeración más simple es el de base mínima dos, para construir el cual se necesitan las dos únicas cifras 0 y 1.

Las tablas de operación se reducen sencillamente a:

1 + 0 = 0 + 1 = 1 1 + 1 = 1 0

1 . 0 = 0 . 1 = 0 1 . 1 = 1

La elementaiidad operatoria y esa única alternativa 0, 1 para sus cifras ha hecho que el sistema binario, pese ai abundante número de cifras que requiere un número no muy grande, sea de fundamental aplicación en equipos electrónicos de cómputos, donde puede intro-ducirse una correspondencia entre 0 y 1 con circuito abierto y cerrado, respectivamente.

Ejercicios

1.- Verificar la adición realizada en la pág. 19 efectuando el pasaje ai sistema decimal.

2.- La misma cuestión para la multiplicación de pág. 19.

3.- Expresar en el sistema decimal los números:

21

a = 1 1 ( d o s b = 1 1 1 (dos c=1111 (dos

d = 6460 s¡ete 3 = 69 A # 4(doce

4.- Expresar los siguientes números cifrados en base seis, en base ocho.

a = 4502 b = 3412 c = 543

5.- Realizar el pasaje del ejercicio 4 sin utilizar el sistema decimal.

6.- Indicar si existe algún sistema de numeración y en tal caso determinar su base, en el cual:

3 V 13(x = 443(x

7.- Construir las tablas de adición y multiplicación en base cinco.

8.- Estudiar la sustracción en base cinco.

9.- Calcular en base cinco: x = (a - b - c). d, para

a = 342, b = 312, c = 214 y d = 103

10.- Aplicando la operatoria del sistema decimal, deducir el meca-nismo de la división en base cinco.

22

Los problemas matemáticos en el aula

Prof. María Esther S. de Hernández

Divisibilidad en Z

1 -Probar que dos enteros consecutivos son coprimos.

2 - Sean a y b dos enteros primos entre sí. Probar que: 19) Cada uno de ellos es coprimo con la suma de ambos; 25) a • b y a + b son coprimos; 32) utilizando las propiedades 19) y 22) verificar que

2 n + 5 es irreducible, cualquiera sea n e Z y n* 0. (n+ 2) ( n+ 3)

3 - Probar que JL±_1_es irreducible, cualquiera sea ne Z. 2n+ 3

Trigonometría

4 - Resolver y discutir condición de posibilidad, según el pará-r _ n_

metro m, el s istema J x + y ~ 3 [ senx + sen y = m

5 - Probarque: si el triángulo ABC es rectángulo en A, entonces tgB = sen2 B tgC ~ sen2 C

Ecuaciones cié segundo grado

6 - a) Demostrar que la suma de una fracción cualquiera de términos positivos y su inversa, es siempre mayor o igual a 2.

b) Hallar la fracción, en el caso de que la suma precedente sea

2 + 7 5

23

Numeración

7 - ¿Existe un sistema de numeración de base b, en el cual

31 . x 13.h = 443,. ? (b (b (b

8 - Sean los números naturales n = du y m = ud escritos en el sistema de numeración decimal. 1 -) Probar que n - m = 9 (d - u); 29) determinar n sabiendo que d + u = 15 y que n - m = 37.

9 - Hallar un número natural a = cdu escrito en el sistema de numeración decimal, sabiendo que c + d + u = ud + 1 y que 10 c + cu = dü.

Soluciones de problemas del número anterior 1 - Sabiendo que la suma de los cubos de tres enteros es

divisible por 7, hay que probarque el producto de los tres números es divisible también por 7.

A partir de los restos posibles 0, 1, ..., 6 de la división de un entero x por 7, surge que los restos de la división de x2 por 7 son 0.1, 2 ,4 y consiguientemente los de la división por 7 de x3 son 0, 1,6. Entonces, si a3 + b3 + c3 es divisible por 7 o sea a 3 + b3 + c3

s 0 mód 7, lo mismo ocurre con la suma de sus restos. Por lo tanto, los tres restos no pueden ser todos iguales a 6, ni todos iguales a 1, ni dos de ellos ¡guales a 1 (ó a 6) y el tercero igual a 6 (ó a 1). Necesariamente, uno, al menos, debe serO.

2 - a) Se ha visto, en situaciones anteriores, como pueden hallarse los restos de las sucesivas potencias de un entero, esto es, formando la sucesión de restos potenciales por recurrencia. Se tiene entonces que, para:

5o = 1 51 52 53 54 55 56, los restos de la división por 7 son 1 5 4 6 2 3 1 . A partir de aquí los restos se repiten

cíclicamente y dos restos son iguales cuando los exponentes difieren en un múltiplo de 6.

b) Para hallar los enteros positivos n tales que 19n dé resto 2 al dividir por 7 basta considerar que 19 = 5 mód 7 pues 1 9 - 5 = 2-7. Entonces 19" = 5n mód 7 y por lo tanto

será 19n = 2 mód 7 si 5 ^ 2 mód 7. De lo visto en la parte a, se tiene que 54 = 54 + 6 ' k = 2 mód 7. Por lo tanto debe ser n = 4 + 6k c o n k e z . c) El resto de la división de 1964 por 7 se determina en base a lo

anterior pues 64 = 4 + 6 • 10 1964 = 2 mód. 7.

3 - Para determinar la forma general de los enteros positivos n tales que n3 - n + 1=0 (mód 7), consideremos los restos posibles de n en la división por 7 y los respectivos restos de n3.

24

n = O 1 ( 2 ) 3 4 5 6 mód. 7.

n2 = O 1 4 2 2 4 1 mód. 7.

n3 = O 1 0 6 1 6 6 mód. 7.

El único caso en el que se cumple la relación propuesta es aquél en que el resto de dividir a n por 7 es 2, o sea; debe ser:

n= 2 mód. 7, o bien n - 2= 0 (7) lo cual equivale a afirmar que n = k7 + 2.

4 - Hay que hallar la progresión geométrica a1 a2 a3 a4 a5 de cinco 35

términos positivos tales que a1 a5 = 25 (1) y a2 + a3 + a4 (2) .

Reemplazando a5 = a, q4 en (1) resulta a12q4 = 25 lo cual da las

posibilidades a, q2 = 5 ó a ^ 2 = - 5 ; esta última se elimina por la positividad de a1 y de q2. Se sustituye en (2) cada término en función de a1 y de q.

a1 q + a 1 q2 + a1 q3 = — que puede escribirse

2 a i H 2 2 35 y de acuerdo con el valor hallado —q— + a, cf + a 1 q • q - -g- antes:

5 35 — + 5 + 5 q = — Simplificando y reduciendo el

denominador se tiene la ecuación de segundo grado

q2 + q + 1 = - |q o sea q2 - - | q + 1 = 0 con raíces 2 y .

Puede verificarse que en las dos progresiones que se obtienen, sus términos satisfacen las condiciones dadas.

5. Para calcular eos y sen basta considerar que ~ = osea ^ = y aplicar las fórmulas del coseno del doble de

un ángulo, esto es eos 2 a = 2 eos2 a - 1, o sea:

COS —r = 2 COS2 "7T - 1 4 8

71 \ / 2 7C Sabiendo que = —r¡-, se despeja cos-g y se obtiene que :

c o s ^ = ± ^ V V 2 + 2 (1)

25

K El seno de-g- se puede calcular a partir de la relación pitagórica

y resulta:

sen 2 - s/2 (2)

Con estos resultados puede calcularse, como se pide,

( V 2 7 a / 2 + i a / 2 - a / 2 ) 8 reemplazando según (1) y (2) y aplicar la fórmula correspondiente de De Moivre pues resulta el cálculo de la 8a potencia dei complejo de módulo 2 y argumento K_ 8 '

6 - a) Para expresar A = cos2x + (2+ a / 3 ) sen2x + sen x •v/3

cos x - 1 - en base a eos 2x y sen 2x, se despeja sen2 x de la fórmula que expresa el cos 2x en función de x y, se despeja sen x cos x de la fórmula correspondiente para sen 2x. Resulta:

? 1 - c o s 2 x sen2x serf x = y sen x cos x = — - —

Reemplazando en la expresión dada y efectuando operaciones se obtiene:

1 A / 3 A = sen2x - cos 2x

b) Se hallan los arcos x tales que 0 < x < 27i y A = 0, considerando que A = 0 implica que sen 2x = A /3 COS 2X, O sea:

Entonces 2x = 60a

x = 309

tg 2x = -v/3

ó 2x = 2409

ó x = 1209. , es decir

8 - De acuerdo con los datos: C y D pertenecen a la semirrecta DA;

long AB = long BC = long CD = a

Además P B l AD y long. PB = a; C H l DP y HeDP.

19) Los cuatro puntos B, C, H, P, pertenecen a una misma circunferencia pues:

A

PHC es recto, entonces A

PHC inscripto en la circun-ferencia de diámetro PC y lo mismo ocurre con PBC.

p

/ v v / \ \ H

/ a \ X /

/

26

22) La recia AP es tangente a la circunferencia anterior, de diámetro PC pues: A, P y C equidistan de B, o sea pertenecen a la circunferencia de centro B y radio a, en la cual AC es diámetro; por lo tanto APC es recto y entonces AP es perpendicular a la recta dei diámetro PC de la primera circunferencia.

Además, la semirrecta HB es bisectriz del ángulo PHC pues forma, con los lados de éste, ángulos inscriptos en la circunferen-cia de diámetro PC que abarcan las cuerdas PB y BC de igual longitud.

39) La longitud de DP se calcula aplicando el Teorema de Pitágoras en el triángulo PBD.

La longitud de CH se puede obtener a partir de la semejanza entre los triángulos PBD y CHD que son rectángulos y con el ángulo común D.

Naturalmente la longitud de PH se obtiene conocidas las longi-

tudes HC y también la de PC, cateto e hipotenusa del PHC .(PC A

se calcula fácilmente por ser hipotenusa del PBC cuyos catetos tienen ambos longitud a).

GRAGEA Dr. Enzo Gentile

Continúa Pág. 35

27

Prof. Elena García

Arreglos multidimensionales

El trabajo con arreglos multidimensionales en la escuela media no presenta mayores inconvenientes a partir de su definición como arreglos de arreglos. Presentamos en este número una serie de problemas en cuya resolución resulta conveniente usar esta estructura de datos y son una alternativa diferente a los tradicionales ejercicios de Algebra Matricial.

Ejercicio 1 - "Subíndices"

Considere el arreglo bidimensional

3 2 -n 1 1 2 3 3 V

a) Simule la ejecución de la siguiente acción.

acción "A1" es comienzo

para i desde 1 a 3 para j desde 1 a 3

C ( i , j ) M A (i, j), A (j, i)) fpara

fpara fin.

b) Simule la ejecución de

acción "B1" es comienzo

para j desde 1 a 3

28

para i desde 1 a 3 C(I , ] )«-(A (i, j), A (j, i))

fpara fpara

fin.

c) Reemplace la variable C por la variable A en las acciones anteriores.

d) Compare resultados.

Ejercicio 2 - "El problema de las reinas"

Trate de colocar 4 reinas en un mini-tablero de ajedrez de 4 x 4, de modo tal que no se "coman" entre sí.

Ejercicio 3 - "Grafos"

Un grafo G de N vértices es representado mediante una matriz binaria A de N x N elementos donde:

A (i, j) = 1 si existe una arista entre los vértices i y j y

A (i, j) = 0 si no existe arista entre los vértices i y j

con 1 < i < N 1 < j < N

Desarrolle un algoritmo que permita determinar si existe al menos un camino entre dos vértices cualesquiera del grafo.

Ejercicio 4 - "Cuadrados mágicos"

Se llaman cuadrados mágicos a los arreglos bidimensionales de enteros donde las sumas de las distintas filas y columnas, así como la suma de los elementos de las diagonales principales dan el mismo resultado.

Desarrollar un algoritmo que permita la generación de cuadra-dos mágicos de orden impar. Esto es asignar a los elementos de un arreglo A de N x N elementos (N impar) los números 1 ,2 ,3 , . . .N2

de modo tal que:

1) la suma por filas N

X A (i,j) paral < i < N i - 1

29

2) la suma por columnas N

X A (i,j) paral < j < N ¡ = 1

3) la suma de ias diagonales principales

¿ A (i,i) ¿ A (i, N + 1 - i ) ¡ = 1 ¡ = 1

den todas (N/2) (N2+ 1).

Ejercicio 5 - "Simulación"

Se trata de simular la evolución de un sistema integrado por ciertos organismos que "viven" sobre una cuadrícula.

Cada casilla de la cuadrícula puede estar vacía u ocupada por uno solo de estos organismos y cada organismo ocupa una sola casilla. Dos organismos se llaman "vecinos" si sus casillas son contiguas en sentido horizontal, vertical o diagonal; por lo tanto un organismo puede tener hasta 8 vecinos sino está en los bordes de la cuadrícula; en este último caso podrá tener hasta 3 vecinos si está en uno de los cuatro vértices o hasta 5 vecinos en los casos restantes.

Ejemplo:

B

A D

C

E

El organismo A tiene 3 vecinos: B, C y D. B tiene 2 vecinos: A y D. C tiene 1 vecino: A E no tiene vecinos.

La disposición de una generación sobre la cuadrícula se deter-minará considerando la disposición de la generación anterior y las siguientes leyes de evolución:

a) Para sobrevivir un organismo tiene que tener por lo menos dos vecinos, pero no más de tres, en caso contrario muere.

30

b) En una celda vacía "nacerá" un nuevo organismo si esa celda está rodeada por exactamente tres vecinos.

Se pretende desarrollar un algoritmo que nos muestre en pantalla la evolución del sistema a través de varias generaciones. Los datos de entrada serán la cantidad de generaciones a consi-derar y la disposición sobre la cuadrícula de la generación inicial.

Antes de diseñar el algoritmo analicemos algunos casos parti-culares. En una cuadrícula de 5 x 5 consideremos qué pasa si la generación inicial se distribuye así.

CASO I:

Estado Inicial = Generación 1 Generación 2

El sistema está ahora en un estado tal que las nuevas genera-ciones tendrán la misma disposición sobre la cuadrícula que la generación 2.

CASO II: Analice qué sucede si el estado inicial es:

Verá que los organismos se extinguen en la 3er- Generación.

Estrategia general:

Necesitamos elegir una estructura de datos adecuada para representarel sistemay su evolución. Necesitamostambién saber cómo:

31

a) Configurar la disposición de la generación inicial sobre la cuadrícula.

b) Simular la evolución de una generación a la siguiente. c) Detectar la extinción de los organismos y los estados de

equilibrio.

Trabajemos con una cuadrícula de 10 x 10.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Si usamos para su representación computacional una matriz binaria A de 10 x 10 elementos podemos indicar con 1 ó 0 si la celda está o no ocupada.

A fj ¡\ = / 1 si la celda i - j está ocupada. L 0 si la celda i - j está vacía.

1 < i < 10 1 < j < 1 0

Para saber qué pasará en la celda i - j en la próxima generación habrá que considerar si ahora en ella hay un organismo y qué pasa en las celdas contiguas.

32

1er- Caso: Hay un organismo en la celda i - j por lo tanto A (i, j) = 1. Este

organismo puede sobrevivir o morir. Sobrevive si tiene 2 ó 3 vecinos y muere en caso contrario. Tenemos entonces que contar cuántos vecinos tiene y esto lo conseguimos sumando los ele-mentos "contiguos" a A (i, j). K = A (i—1, j-1) + A (i-1 ,j) + A (i—1, j +1) +/ (vecinos fila superior)

+ A (i, j-1) + A (i, j + 1) + / (vecinos misma fila) + A (i+1, j-1) + A (i+1, j) + A (i+1, j+1) / (vecinos fila inferior) Si K = 2 ó K = 3, la celda i - j seguirá ocupada la próxima

generación, caso contrario aparecerá vacía. La expresión para calcular K sólo puede aplicarse para celdas

del interior de la cuadrícula pero no es válida para las de los bordes. Tenemos entonces dos posibilidades: encontrar otra expresión válida en los bordes o elegir otra representación, por ejemplo una matriz también binaria pero de 12 x 12 elementos.

0 1 2 3 10 11

0 0 0 0 0 0

1 2 3

10

0

0

0

0

11 0 0 0 0 0

En las filas y columnas agregadas los elementos serán siempre nulos. Observe que esto no perturba nuestro sistema pues no va-riamos la cantidad de vecinos. Podemos ahora usar la expresión dada para K para todas las celdas con subíndices entre 1 y 10.

22 Caso:

No hay organismos en la celda i - j , por lo tanto A (i, j) = 0. En la próxima generación la celda puede permanecer vacía o ser ocupada por un nuevo organismo; ésto sólo si la cantidad de celdas contiguas ocupadas es exactamente 3.

33

Descripción del Proceso

Acción "Simulación" es Comienzo

Preparar variables de trabajo; Ingresar datos, Simular evolución

Fin.

Sólo describiremos con detalle la acción "simular evolución". Consideremos el siguiente léxico: A: Matriz binaria de 12 x 12 elementos con subíndices de 0 a 11;

donde representaremos la disposición de la generación actual sobre \a cuadrícula.

B: Matriz del mismo tipo que A donde representaremos la disposición de la generación siguiente.

N: Cantidad de generaciones a simular. I, J, K, L, M, VECINOS: Variables enteras auxiliares.

Acción "simular evolución" es Comienzo

Para K desde 1 a N hacer Emitir A; Calcular B; A f - B

Fpara Fin.

Acción "calcular B" es Comienzo

Para I desde 1 a 10 hacer Para J desde 1 a 10 hacer

Calcular VECINOS de A (i, j); Determinar B (i, j)

Fpara Fpara

Fin.

Acción "calcular vecinos de A (i, j)" es Comienzo

VECINOS*- 0; Para L desde - 1 a 1 hacer

Para M desde - 1 a 1 hacer VECINOS VECINOS + A (i + L, j + M)

Fpara Fpara VECINOS*- VECINOS - A (I, J)

Fin.

34

¡mi ÍÉl¡

Acción "Determinar B (i, j)" es Comienzo

Si A (i, j) = 1 Entonces si VECINOS = 2 ó VECINOS = 3.

Entonces B (i, j) 1. sino B (i, j) «- 0.

Sino si VECINOS = 3. Entonces B (i, 1. Sino B (i, 0.

Fin.

Continuación de la Gragea

Sobre las rectas de los lados del rectángulo ABCD, se realizan las construcciones geométricas elementales que indica la figura. Demostrar que el cuadrado de lado BX, "cuadra" al rectángulo dado, es decir que ambos tienen la misma superficie.

i-

35

Propuesta Didáctica

Lic. Lucrecia Delia Iglesias

La propuesta anterior consistió en una aproximación intuitiva a fenómenos probabilísticos. Hoy retomamos ese orden de ideas para continuarlo.

Supongamos que los alumnos de una clase hayan realizado ciertas experiencias como las que siguen:

• tirar 200 veces un dado hasta obtener experimentalmente valores para la frecuencia relativa de la aparición de cada una de sus caras; (*)

• lo mismo con perinolas de 3, 4, 5 lados del polígono regular que la compone; (*)

• lo mismo con una botella de muestreo con bolillas idénticas salvo el color. (*)

Estos alumnos habrán podido comprobar que las frecuencias relativas experimentales se aproximan a valores que podían haberse previsto a partir de consideraciones acerca de la simetría de los sucesos:

• al tirar un dado hay las mismas razones para esperar que salga una cara u otra; si se lo tira 240 veces podemos esperar u ñas 40 apariciones en cada cara; esto es, 1 del total de tiros;

6 • en 150 tiros de una perinola triangular se puede esperar que

— de ellos (esto es, unos 50) correspondan a cada número; 3

• si se trata de u^na botella con n bolillas idénticas salvo el color, esperamos que -p¡ del número de lances corresponda a cada color.

¿Cómo diferencian los alumnos estos puntos de vista? ¿Qué hipótesis pueden formular, antes de realizar las experiencias? ¿Cómo las consideran: simples adivinanzas sobre hechos fortui-tos o predicciones fundadas en razonamientos que tienen en cuenta la simetría de las configuraciones?

(*) Ver Propuesta Didáctica en el número anterior.

36

Estas son las cuestiones sobre !as que el profesor puede proponer a los alumnos un debate en grupos pequeños para dar lugar a las argumentaciones y contraargumentaciones.

i_a subsiguiente puesta en común le permitirá institucionalizar las nociones que se vinculan con los modelos probabilísticos construidos sobre experimentos idealizados:

sucesos igualmente probables frecuencia absoluta esperada frecuencia relativa esperada

Para poner en evidencia los vínculos entre estos modelos y I? realidad experimental, se puede proponer una actividad como la que sigue: formar grupos de alumnos de modo que cada grupo produzca 20 series de 12 tiros de dados, anotando la frecuencia del 3 en cada serie y registrando los resultados en una tabla como la que sigue (*):

n: cantidad total de tiros. f: número de veces que sale 3 í n : l

n

Si cada grupo representa gráfica-mente cómo varía f en relación a n y cómo varía fn en relación a n, de la comparación de las representacio-nes gráficas puede intentarse una generalización de los comporta-mientos experimentales de:

frecuencias absolutas frecuencias relativas.

Una propuesta que surge de las observaciones anteriores consiste en construir tablas que registren para cada serie, junto a n:

• el valor absoluto de la diferen-cia entre la frecuencia absoluta esperada y la frecuencia absoluta registrada experimentalmente; y también.

• el valor absoluto de la diferencia entre la frecuencia relativa espera-da y la frecuencia relativa registra-da experimentalmente.

(*) GUZMAN, M.; COLERA, J.; SALVADOR, A.: Matemáticas - Bachillerato 1. Anaya. Madrid, 1988.

Serie n f fn 1 12 3 0,250 2 24 4 0,167 3 36 6 0,167 4 48 9 0,188 5 60 10 0,167 6 72 10 0,139 7 84 11 0,131 8 96 12 0,125 9 108 13 0,120

10 120 14 0,117 11 132 15 0,114 12 144 17 0,118 13 156 18 0,115 14 168 22 0,131 15 180 25 0,139 16 192 25 0,130 17 204 26 0,137 18 216 29 0,134 19 228 31 0,135 20 240 34 0,142

37

En forma similar, podemos proponer actividades que muestren el vínculo entre el modelo probabilístico construido sobre el experimento idealizado correspondiente a los tiros de una perinola o los lances de una botella de muestreo. En todos los casos importará hacer el registro progresivo de las experiencias en tablas como la expuesta, representar los resultados gráficamente y analizar las tendencias de las tablas de diferencias. Se trata de lograr una imagen clara de las leyes de ios grandes números:

Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa del suceso asociado se va acercando más y más hacia un cierto valor.

Este valor se llama probabi l idad del suceso.

Cuanto mayor es el número de observaciones, mayor tiende a ser la diferencia entre la frecuencia absoluta de un suceso y su frecuencia absoluta esperada.

A continuación proponemos que se presente el siguiente jue-go o .

Oeste - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Este

Tomar una ficha y ubicarla en 0. Tirar una moneda: si sale cara se avanza un lugar hacia el Este; si sale cruz se avanza un lugar hacia el Oeste. El juego termina al llegar la ficha a uno u otro de los puntos cardinales e importa saber cuántos tiros de monedase realizaron para lograrlo, cuántos fueron cara y cuántos fueron cruz. Se trata de calcular:

número de caras número de cruces número de tiros número de tiros

comparar los resultados de distintos alumnos. ¿En qué medida acuerdan con los enunciados de las leyes de los grandes núme-ros? ¿Qué anticipaciones pueden llegar a hacer los alumnos con relación a un juego similar que tenga 10 pasos para llegar a cada punto cardinal? ¿y si el número de pasos es 20? ¿y si es 50? ¿Creen que basta prolongar convenientemente el juego para que por muy alejadas que estén las metas se llegue a alguna de ellas? ¿creen que las frecuencias relativas de cara y de cruz se acercarán a un va lor -¿cuál?-a medidaque el juego requiera más tiros para arribar a una meta? Creemos que vale la pena ponerlo en práctica.

O GUZMAN, M.; COLERA, J.; SALVADOR, A.: O citada.

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NOTICIAS

En Santo Domingo durante el desarrollo de la VII Conferencia Interamericana de Educación Matemática se tomó el acuerdo de organizaren Sevilla el 12Congreso Iberoamericano de Educación Matemática del cual ya hemos informado en números anteriores. El estado actual de organización del mismo es el siguiente:

FECHA DE CELEBRACION: 24 al 30 de setiembre de 1990.

Estructura

1. Conferencias Plenarias. Prof. C. Alsina Prof. U. D'Ambrosio Prof. E. Luna Prof. J. Ponte Prof. L. Santaló

2. Paneles Renovación y reformas. Informática y enseñanza. Formación del Profesorado. Educación matemática en grupos culturalmente diferenciados. Investigación en educación matemática. Estadística y enseñanza. Geometría en las enseñanzas primaria y secundaria. Resolución de problemas.

Idiomas oficiales: Español y Portugués.

Inscripción

Se establecen dostipos de cuota: ordinariay especial. Se podrá acogera la segunda modalidad cualquiersocio de las Sociedades Españolas Federadas, de la Asociación de Profesores de Mate-máticas de Portugal y los participantes de países iberoamericanos.

Plazos Cuotas Ordinaria Especial

Hasta 30-8-90 18.000 Ptas./160 u$s 14.000 Ptas./125 u$s en el Congreso 21.000 Ptas./185 u$s 17.000 Ptas./150 u$s

Dirección: I.CIBEM S.A.E.M. "THALES"

Facultad de Matemáticas Apartado 1160

41.080 Sevilla (España)

BIBLIOGRAFIA

GEOMETRIA ANALÍTICA de Peter Selby Editorial Harcourt Brace Jovanovich 1988

Si bien concebido para ei nivel universitario se trata de un compendio sumamente útil para el Profesorde Enseñanza Media; los temas, desarrollados en dos partes bien diferenciadas: Geo-metría Analítica Plana y Geometría Analítica del Espacio pueden aplicarse perfectamente al nivel medio de enseñanza, especial-mente la Geometría Analítica del plano: Ecuaciones y lugares geométricos, recta, círculo, parábola, elipse o hipérbola.

La organización del texto es la de un compendio en el cual se de-sarrollan 347 ejemplos y problemas, se plantean 164 ejercicios complementarios con respuestas y además se presentan 5 unida-des de examen. Cada capítulo se presenta indicando los temas que lo componen y se desarrollan con abundancia de ejemplos y problemas resueltos, finalizando con un útil resumen de lo tratado y problemas propuestos.

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