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MAMEMÁTICAS ITEÓRICO-PRÁCTICO

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HighNotes 2010

MAMEMÁTICAS ITEÓRICO-PRÁCTICO

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HighNotes: Matemáticas I, Número: 1.D.R. © Tercer Escalón EditorialSBN: 978-607-7911-005Consejo Editorial:

Lorena Marines CamargoJavier Meléndez PascacioAnnuar ValerdiCesar Omar Macías Collado

Corrección de estilo: ZXXXXXXDiseño de portada: CDiagramación: NNN. Primera edición 2010.

Indice(ADJUSTEN SU INDICE CON BASE EN SU TEMARIO)

1. Ángulos y relaciones métricas de los triángulos………………42. Congruencia de Triángulos……………………………………………..53. Teorema de Pitágoras y semejanza de triángulos…………..64. Propiedades de los polígonos…………………………………………75. Relaciones trigonometricas para resolver triángulos 6. rectángulos…………………………………………………………………….7-87. Aplicación de funciones trigonométricas……………………….9-108. Leyes de Senos y Cósenos……………………………………………..119. Estadística elemental…………………………………………….…..11-12

10. Conceptos elementales de la Probabilidad……………….13-15

Ejercicios………………………………………………………………..15

(ESPECIFICAR LOS TEMAS DE CADA EJERCICIO). EJ. EJERCICIO ECUACIONES LINEARES PG 26

Suma, resta y multiplicación de polinomios de una variable

Un polinomio es la suma de varios monomios, es una expresión algebraica formada por constantes y variables.Cuando se tiene un conjunto de monomios cuyos términos no son semejantes estos no se pueden sumar entre si y se convierte en una expresión de polinomios.

Los polinomios se expresan de la siguiente manera:

1) 7a3y6z + 6x5y + 7aby

2) 5y4 -7y3 + 2y2 – 2y + 5

Explicando los polinomios anteriores, en el primer caso tenemos una suma de tres monomios, con varias letras (variables) y números (coeficientes), el segundo ejemplo es un polinomio con una sola variable la cual es “y” elevada a diferentes potencias y antes de cada variable tenemos una constante. También en el segundo polinomio tenemos lo que se conoce como termino independiente, es cuando un termino no tiene variable.

Estudiando los polinomios del ejemplo anterior tenemos que pertenecen a diferente grado, estos se calculan sumando los exponentes de cada monomio y tomando el mayor para determinar su grado.En el primer polinomio tenemos tres monomios cuyos sumas de los exponentes de las letras son (10, 6, 3) por lo que el grado del primer polinomio es 10. En el segundo polinomio se determina el grado por el que tenga la mayor potencia; así obtenemos que

Suma y resta de polinomios

En la suma de polinomios solo se pueden agrupar o sumar lo que tengan términos semejantes,

Para empezar a estudiar este tema solo utilizaremos polinomios con una sola variable.

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Para calcular la suma de los polinomios siguientes, se identifican los términos semejantes, -5x3 y 2x3 la suma de estos resulta -3x3

(7x5 - 5x3 + 4x2 + 3x + 8) + (2x4 + 2x3 + x2 - x + 12)

Al haber agrupado todos los términos queda un polinomio de la siguiente forma:

(7x5 + 2x4 - 5x3 + 2x3 + 4x2 + x2 + 3x – x + 8 + 12)

Se reducen términos semejantes y el resultado de la operación es el siguiente:

(7x5 + 2x4 - 3x3 + 5x2 + 2x + 20)

Para entender mejor la suma la podemos acomodar:

7x5 ---- - 5x3 + 4x2 + 3x + 8+ --- 2x4 + 2x3 + x2 - x + 12____________________________ 7x5 +2x4 - 3x3 +5x2 +2x + 20

Para calcular el resultado de una resta de polinomios es el mismo procedimiento que con la suma, la única diferencia es que se invierte el signo de los monomiosPor ejemplo:

(4x2-2x+3 ) - ( -2x2 - 3x + 2 )

= (6x2+ x +1)

Producto de polinomios

Para obtener el producto de un polinomio por un monomio se multiplican todos los términos del polinomio por el único término del monomio. Para explicar esto de forma sencilla seguimos utilizando términos con una sola variable. Siempre empezando de derecha a izquierda.


Por ejemplo:

1) (5y3 + 7y2 + 5y) * (3y2)

(15y5 + 21y4 + 15y3)

2) (2z2 – 3z4 – z3) * (z5)

(-3z9 – z8 + 2z7)

3) (2x2 - 4x – 8) * (-3x)

(-6x3 + 12x2 - 24x)

Cuando se quiera sacar el producto de dos polinomios, se multiplican los términos del primero por los del segundo, después se agrupan términos semejantes y se reduce a su mínima expresión.

Se multiplican todos los términos (2x3 - 2x + 3) * (3x2 + 2)

Se agrupan (6x5 + 4x3 - 6x3 - 4x + 9x2 + 6)

Se reduce a su mínima expresión: (6x5 - 2x3 + 9x2 – 4x + 6)

Otra forma de obtener el resultado de un producto de polinomios es expresándolo como una multiplicación:

5x3 + 2x2 - xX 2x + 3

- 3x - 2x2 + 6x2 + 4x3 +15x3 + 10x4

Reducción 10x4 +19x3+ 4x2 -3x

División de polinomios

Cuando se quiere dividir un polinomio se utiliza un procedimiento similar al de las divisiones de números.

Se ordenan el dividendo y el divisor en orden

Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor de esta forma se obtiene el primer termino del coeficiente


Se multiplica el primer término del coeficiente por el divisor y se coloca abajo del dividendo con el signo contrario, siempre ordenando por términos semejantes.

Como se muestra en la división que aparece a continuación

resultadodi 5x - 7v x+1 5x2 - 2x + 3 dividendoi - 5x2 - 5xs -7x + 3o 7x - 7r -4 residuo

Se obtuvo de cociente o resultado 5x - 7 y de residuo -4.

Productos notables

Son operaciones matemáticas cuyo resultado puede salir por simple inspección ya que cumplen con ciertas reglas fijas, la utilización de estas simplifica la resolución de muchas multiplicaciones.

Los más comunes son:

1) Cuadrado de un binomio:

a) suma (a + b)2

(5x + 3)2 = 25x2 + 30x + 9

b) diferencia (a - b)2

(2x2 – 4)2 = 4x4 – 16x2 + 16

Con la forma estandarizada de obtener un producto que estudiamos anteriormente los expresaríamos de la siguiente manera


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(a + b)2 =(a + b)*(a + b)= a2 + ab + ba + b2= a2 + 2ab + b2

(5x + 3)2 = (5x + 3) * (5x + 3) =25x2 + 15x + 15x + 9

= 25x2 + 30x + 9

" El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo "

Para la diferencia es el mismo procedimiento:

(a - b)2 = (a - b)*(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2

(2x2-4)2 = (2x2 – 4) * (2x2 – 4) = 4x4 - 8x2 – 8x2 + 16

= 4x4 – 16x2 + 16

2) Binomios conjugados:

La diferencia de cuadrados se refiere al producto de la suma de dos monomios por su diferencia

(a + b) * (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2

(2x +3) * (2x – 3) = 4x2 - 6x + 6x -9 = 4x2 – 9

(3y2 -3y) * (3y2 + 3y) = 9y4 + 9y3 – 9y3 – 9y2

= 9y4 – 9y2

3) Cubo de una suma:


(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3

(5x + 3) = 5x3 + 3(5x2)(3) + 3(5x)(32) + 33

= 5x3 + 45x2 + 135x + 27

4) Cuadrado de un trinomio:

(a + b + c)2 = a2+ b2 +c2 + 2ab+ 2ac + 2bc

(5x2 + 3x + 5)2

= 25x4 + 9x2 + 25 + 30x3 + 50x2 + 30x

= 25x4 + 30x3 + 59x2 + 30x + 25

Factor Comun

Cuando se utiliza el factor comun, es por que en la multiplicacion tenemos uno o mas variables semejantes.

La regla dice: c (a + b) = ca + cb

5x (3y + 7z) = 15xy + 35xz

En el ejemplo anterior estamos aplicando la propiedad distributiva.

Se puede utilizar esta regla en ambos sentidos

25x2 +15x3 = 5x2 (5 + 3x)


Producto de dos binomios con un término común

Al sacar el producto de dos binomios que tienen un termino semejante se obtiene el cuadrado del termino común, finalmente se saca el producto de los términos diferentes.

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Por ejemplo:

(5x + 2) (5x – 4) = 25x2 + 5x(2 – 4) + (2 * - 4)

Resolviendo:

= 25x2 + (-10x) + (- 8)

Simplificando:

=25x2 – 10x – 8

Identidad de ArgandForma General(a2 + a + 1) (a2 – a + 1) = a4 + a2 + 1Ejemplos:

1) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 12) (x4 + x3 + x2) (x4 – x3 + x2) = x8 + x6 + x4

3) (y5 + y4 + y3) (y5 – y4 + y3) = y10 + y8 + y6


Identidades de GaussForma Generala3 + b3 + c3 -3abc =(a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)Ejemplo: x3 + y3 + z3 – 3xyz =(x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)

Identidades de LegendreFormas Generales1) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)2) (a+ b)2 – (a – b)2 = 4ab3) (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos:1) (5x + 3)2 + (5x – 3)2 = 2(25x2 + 9)2) (2x + 7)2 – (2x – 7)2 = 4(14x) = 56x3) (3x + 2)4 –(3x – 2)4= 8(6x)(9x2 + 4)=48x(9x2 + 4)

Identidades de LagrangeForma General1) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2

2) (a2 + b2 +c2)(x2 + y2 + z2) = = (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 +(az –cx)2 + (bz – cy)2

Ejemplo

1) (

Formulas


1. Binomio de Suma al Cuadrado

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

2. Binomio Diferencia al Cuadrado

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

3. Diferencia de Cuadrados

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

4. Binomio Suma al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

5. Binomio Diferencia al Cubo

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Factorización

Cuando en algebra hablamos de factorizar, nos referimos a expresar un numero como producto de otros objetos mas pequeños que cuando se multiplican todos resulta el objeto inicial. Empezando desde el principio factorizemos (24) obtenemos dos factores pequeños (6) y (4) ahora apliquemos el mismo procedimiento con un polinomio.

Factor Común

Ejemplo:

(5x + 5y + 5 z)

Obtenemos el factor común

5(x + y + z)

Pasamos a un ejemplo un poco más complejo

5x2 + 15x4 – 25x3 = 5x2(1 + 3x2 – 5x)

Utilizando múltiples variables obtenemos la siguiente factorización:

3xy + 5yz – 2y2 = y(3x + 5z – 2y)

Factorizando por agrupación de términos:

3xy + 6yz – 2a + 4b = 3y(x + 2z) + 2(- a + 2b)

TCP: Trinomio Cuadrado Perfecto

Recordando el procedimiento para obtener el cuadrado de un binomio.

(5x + 3) = 25x2 + 30x + 9

Para el encontrar la solución de un Trinomio Cuadrado Perfecto aplicamos lo opuesto al cuadrado de un binomio.

25x2 + 30x + 9 = (5x + 3)

El primer paso es ordenar los monomios de mayor grado a menor.

a2 + b2 + 2ab = a2 + 2ab + b2



El segundo paso obtener la raíz del primer y del último termino

a2 = a y b2 = b

Finalmente se acomodan en paréntesis y se elevan al cuadrado, para obtener el signo del polinomio nos fijamos en el término de en medio, este lo determina.

(a + b)2

Ejemplo:

48x3 + 9x4 + 64x2 = 9x4 + 48x3 + 64x2

9x4 = 3x2 y 64x2 = 8x

(3x2 + 8x)2

Factorizacion por diferencia de cuadrados

Cuando se tienen dos monomios elevados al cuadrado y se están restando, la forma mas simple de factorizar es utilizar el método de diferencia de cuadrados.

(a2 – b2) = (a + b) (a - b)

Ejemplo:

25x2 – 9y2 = (5x – 3y) (5x + 3y)

Siempre que se vaya a obtener el resultado, en uno de los dos paréntesis en los que se exprese habrá un signo negativo (nunca en ambos).

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Tiene tres términos, contiene una literal con exponente al cuadrado un término independiente. Este tipo de factorización se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada obtenida de la variable, y después de buscan dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados el término de en medio.

Ejemplo:

x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

x4 + 8x2 + 15 = (x2 + 5)(x2 + 3)

y2 – 2y – 8 = (y – 4)(y + 2)

z2 – 8z + 15 = (z – 3)(z – 5)

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Este caso es parecido al anterior y contiene tres terminos solo que en el encontramos un coeficiente en la primera literal lo que complica un poco mas la factorización: El segundo termino contiene una literal con un exponente del valor de la mitad del primer termino y el tercero es el termino independiente.

Para conseguir el resultado de esta factorizacion, se multiplica el término independiente, (el que no tiene literal) por el coeficiente del término que tenga en exponente mayor (4x2)

4x2 + 12x + (9 * 4)

4x2 + 12x + 36

El siguiente paso es encontrar dos números que cuando los multipliquemos entre si den como resultado el termino independiente (36) y que sumados o restados den un resultado igual al del coeficiente del termino de x.

6* 6 = 36

6 + 6 = 12



A continuación se acomoda el primer coeficiente en cada paréntesis sin elevar la variable al cuadrado, también colocamos los últimos términos descubiertos en el paso anterior.

(4x + 6) (4x + 6)

El último paso es dividir ambos paréntesis entre el coeficiente del primer término, ya sea por el mismo o por una multiplicación que resulte en ese termino

(4 x+6 )(4 x+6)4

( 4 x+6 )2

∗(4 x+6)

2

Obtenemos el resultado de la factorización

(2x + 3)(2x + 3)

(2x + 3)2

Ejemplo:

20y2 + 7y – 6

Paso 1) 20y2 + 7y – 120

Paso 2) (20y + 15)(20y – 8)

Paso 3) (20 y+15 )(20 y – 8)

20

Resultado (4x + 3)(5x – 2)

EJERCICIOS

1) Suma y Resta de Polinomios

2) Multiplicación de Polinomios

3) Division de Polinomios

4) Productos Notables

5) Binomios Conjugados

6) Binomio al Cubo y Trinomio al Cuadrado

7) Factorización

8) Factorización TCP

9) Factorización Diferencia de Cuadrados

10) Factorización de la Forma x2 + bx + c

11) Factorización de la forma ax2 + bx + c

Suma y Resta de Polinomios

1) (2x4 + 5x2 + 8x – 9) + (4x5 – 3x3 + 2x2 – 1)

2) (4y2 – 3y3 – 5y) – (3y4 + 5y2 + 8)

3) (z5 + z3 + z) + (z4 + z2 + 1)

4) (5x2y3 + 3y4 – 5x5) + (x2y3 + 7x5 – 7y4)

5) (2t3 + 5t2 – 3t – t3) – (- 5t3 + 7t2 +5t + 8)

6) (20xy – 5xz + 35zy) + (2yz – 4zx + 13xy)

7) (5x4 – 2x3 + 3x – 8) + (15x3 – 12x2 + 8x) – (13x4 + 8x2 + 15)

8) (2y2 – 15y) – (5y2 + 3y) + (12y2 – 5y) – (5y + 3y2)

1) (3x4 + 2x2) * (5x)

2) (4x2 + 3x) * (7x)

3) (12x) * ( 5y2 + 3z2)

4) (5x2 + 7x2) * (3x – 2x3)

5) (3y2 + 2y – 1) * (5y + 3)

6) (7z3 – 7z2 – 7z) * (5z2 + 5z - 3)

7) (3yz2 +5x2z) * (z3 + 5xy2)

8) (y + 4y2 + 3z) * (5x2)

Multiplicación de Polinomios

1) 4x2 + 3x ÷ 2x + 1

2) 15x3 – 4x2 + 3x – 2 ÷ 5x – 2

3) 6y2 – 2y + 4 ÷ 3y + 2

4) 12z4 + 4z2 – 2z + 1 ÷ 3z + 6

5) 4t2 + 2t ÷ t + 1

6) 3y4 + 3y3 – 3y2 – 3y + 4 ÷ y2 + y – 1

7) z2 + 3z + 1 ÷ z

8) 7u4 – 5u2 – 3u ÷ 7u -3

División de Polinomios

1) (x + 3)2

2) (4y – 2)2

3) (5x2 + 5)2

4) (7z3 + 2x)2

5) (4t – 9)2

6) (2u2 – 3u)2

7) (8y2 – 6y3)2

8) (yx2 + 2z)2

Productos Notables

1) (5x – 3)(5x + 3)

2) (4y2 + 5)(-4y2 + 5)

3) (7z2 + 4y)(7z2 – 4y)

4) (12x + z)(12x – z)

5) (5h2 – 4h)(5h2 + 4h)

6) (u2 + 2)(u2 - 2)

7) (y2 + y)(y2 – y)

8) (t3 – 5t)(t3 + 5t)

Binomios Conjugados

1) (5x + 3)3

2) (3y – 2)3

3) (5x + 3y – 2z)2

4) (2t2 – 5y)3

5) (6z2 + 2x2 – 3y)2

6) (3t3 + 2t2)3

7) (5y4 + 2y2 + 3y)2

8) (2z + 2y2 – 2x)2

Binomio al Cubo y Trinomio al Cubo

1) 3y2 +5y – 2y3

2) 4z + 2z2 + 6z3

3) 7x2y + 7xy - 7x3y2

4) 2h2 + h + 5h3

5) 3x + 2y – 5xy + 18x – 25xy

6) 4z + 2xz + 8yz + 12z2

7) 4x3 + 12x4 + 24x2

8) 75x6 + 60x4 + 30x2

Factor Común

1) 25x2 – 30x + 9

2) 4y4 + 2y2 + 1

3) 16x6 – 20x3 + 25

4) 4x2y2 + 32xyz + 4z2

5) 9t4 + 18t2u2 + 9u4

6) 25y2 + 30y + 9

7) 81z4 – 72z2x2 + 16x4

8) 49a2 – 98ab + 49b2

Factorización TCP

1) (49x4 – 49x2)

2) (36y2 - 4y)

3) (4z2 - y2)

4) (25u2 – 36)

5) (4x2 – 16z2)

6) (81t4 – 36t2)

7) (x2y2z2 – t2)

8) (a4 – a2)

Factorización Diferencia de Cuadrados

1) (x2 – 5x + 6)

2) (y2 + 2y + 1)

3) (x2 – 2x – 1)

4) (x2 – 3x – 3)

5) (x2 – 2x – 8)

6) (x2 + 7x + 12)

7) (x2 – 5x – 14)

8) (x2 + 11x + 28)

Factorización de la Forma x2 + bx + c

1) (2x2 + 11x + 5)

2) (10u2 – u - 2)

3) (3t2 + 7t – 6)

4) (7x2 – 23x + 6)

5) (30y2 + 13y – 10)

6) (44z + 20z2 – 15)

7) (8a2 – 14a – 15)

8) (3 + 11x + 10x2)

Factorización de la Forma ax2 + bx + c

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