Menentukan Sisa Pembagian suatu Sukubanyak oleh Pembagi berbentuk Kuadrat.Untuk menentukan sisa pembagian suatu sukubanyak oleh pembagi berbentuk kuadrat, dengan bentuk kuadratnya dapatdinyatakan dalam faktor-faktor linear,maka dapat digunakanTeorema sisa f(x) oleh (x-k) yaitu f(x) = (x-k). H(x) + S atauTeorema sisa f(x) oleh (ax+b) yaitu

Contoh :Diketahui sukubanyak f(x) = x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 dibagi dengan x2 – x – 2 Jawab :Pembagi x2 – x – 2 dapat difaktorkan menjadi (x+1)(x-2) karenaberderajat 2 , maka sisanya maksimum berderajat 1.misalkan sisanya S(x) = mx + n, sehingga diperoleh hubungan

f(x) = (ax+b) . H(x) a

+ S

f(x) = (x2-x-2). H(x) + S(X)X4-3x3-5x2+x-6 = (x+1)(x-2). H(x) + (mx+n)Untuk x = -1 diperolehf(-1) = (-1)4-3(-1)3-5(-1)2+(-1)-6 = 1+3-5-1-6 = -8S(x) = mx+n = m(-1) + n = f(-1) -m + n = -8 …………… (1)Untuk x = 2 diperolehF(2) = (2)4-3(2)3-5(2)2+2-6 = 16-24-20+2-6 = -32S(x) = m(x)+n = m(2)+n = f(2) 2m + n = -32 ………… (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh -m + n = -8 -m + n = -8 2m + n = -32 -(-8) + n = -8 -3m = 24 n = -16 m = -8 Jadi sisanya adalah S(x) = -8x -16

TEOREMA FAKTOR

Pengertian faktor dan teorema faktor.Misal :

f(x) = (x-2)(x2+1) = x3-2x2+x-2

Persamaan ini mengungkapkan fakta-fakta :

* x – 2 adalah faktor linear dari f(x)

* nilai f(2) = 0

Dari fakta diatas dapat diungkapkan dalam kalimat sbb:

Misalkan f(x) = (x-2)(x2+1) = x3-2x2+x-2

x – 2 adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(2) = 0

Sehingga secara umum dapat diatakan :

Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak,

(x-k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0

Contoh :Tunjukkan bahwa (x+2) adalah faktor sukubanyak f(x) = x4 +

3x3 + 4x2 + 8x + 8.

Jawab :

Untuk menunjukkan bahwa (x+2) adalah faktor dari f(x) = x4 +

3x3 + 4x2 + 8x + 8., cukup ditunjukan bahwa f(-2) = 0

f(-2) = (-2)4 + 3(-2)3 + 4(-2)2 + 8(-2) + 8

f(-2) = 16 – 24 + 16 – 16 + 8

f(-2) = 0

Karena f(-2) = 0 maka (x+2) terbukti merupakan faktor dari

f(x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 8x + 8

Menentukan Faktor-faktor Sukubanyak.Fakto-faktor dari suatu sukubanyak dapat ditentukan dengan

menggunakan beberapa langkah sbb:

Langkah 1.

Jika (x-k) adalah faktor dari sukubanyak f(x) = anxn + an-1xn-1 +...

….. + a2x2 + a1x + a0 , maka nilai-nilai k yang mungkin adalah

faktor bulat dari a0.

Langkah 2.

Dengan cara coba-coba subtitusikan nilai x = k sehingga diper-

oleh f(x) = 0. jika demikian maka (x-k) adalah faktor dari f(x).

Tetapi jika f(x) ≠ 0 maka (x-k) bukan faktor dari f(x).

Langkah 3.

Setelah diperoleh sebuah faktor (x-k), faktor-faktor yang lain

dapat ditentukan dari sukubanyak hasil bagi f(x) oleh (x-k).

ContohCarilah faktor-faktor dari sukubanyak f(x) = x3 – 13x + 12, kemudian tuliskan sukubanyak itu dalam bentuk perkalian darifaktor-faktornya.Jawab :

f(x) = x3 – 13x + 12, maka suku tetapan a0 = 12 nilai-nilai k yang mungkin adalah : ±1, ±2, ±3,±4, ±6, dan

±12 subtitusi nilai x= k sehingga diperoleh f(k) untuk k = -1 diperoleh : f(-1) = (-1)3 – 13(-1) + 12 = 24 ≠ 0 , bukan faktor. untuk k = 1 diperoleh : f(1) = (1)3 – 13(1) + 12 = 0, merupakan faktor

Hasil bagi f(x) = x3 – 13x + 12 oleh (x-1) ditentukan dengan

cara Horner

1 1 0 -13 12

1 1 -12

1 1 -12 0

Hasil baginya adalah : x2 + x -12 dan dapat difktorkan menjadi

(x-3)(x+4)

Jadi sukubanyak f(x) dalam bentuk perkalian adalah :

f(x) = (x-1)(x-3)(x+4).

Soal.1. Sukubanyak f(x) jika dibagi dengan (x-1) sisanya 3 dan jika dibagi (x+2) sisanya 6. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi dengan (x2+x-2)2. Sukubanyak f(x) dibagi x2-1 sisanya 2x-5 dan jika f(x) dibagi x2-4 sisanya x+3. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi x2+3x+23. Jika f(x) dibagi (x-1) sisanya 4. jika f(x) dibagi (x+1) sisanya -3, dan jika f(x) dibagi (x-2) sisanya 2. Tentukan sisanya jika f(x) dibagi (x-1)(x+1)(x-2).4. Dengan menggunakan teorema faktor, tunjukkan bahwa: a. (2x-3) adalah faktor dari 2x3+5x2-6x-9 b. (x+y) adalah faktor dari x3+4x2y+4xy2+y3+x+y5. Tentukan faktor linear dari sukubanyak f(x) = 2x3+7x2+2x-3.