sucesiones y series

C A P I T U L O

3 iones

y SEr iGS

Objetivos

A l f i n a l i z a r e l e s t u d i o d e e s t e captulo e l a l u m n o podr: E x p l i c a r qu es u n a sucesin y u n a s e r i e aritmtica y qu es u n a s u c e -sin y u n a s e r i e geomtrica.

P l a n t e a r y r e s o l v e r p r o b l e m a s d e s u c e s i o n e s y s e r i e s .

Cap . 3 S u c e s i o n e s y series

Introduccin

E l t e m a d e s u c e s i o n e s y s e r i e s t i e n e u n a g r a n a p l i c a b i l i d a d e n reas c o m o c i e n c i a s de l a computacin, ingeniera, fsica, economa y f i n a n z a s , e n t r e o t r a s . E s t e t e m a es l a ba se p a r a d e d u c i r v a r i a s frmulas u t i l i z a d a s e n matemticas f i n a n c i e r a s .

A l g u n a s p e r s o n a s s o s t i e n e n q u e es p o s i b l e u t i l i z a r l a s s u c e s i o n e s , e n e s p e c i a l l a sucesin d e F i b o n a c c i , ' p a r a l l e v a r a c a b o u n anlisis tcnico d e l M e r c a d o d e V a l o r e s . E l l e c t o r i n t e r e s a d o e n e s t e t e m a p u e d e v i s i t a r l a s pginas w w w . b a s e f i -n a n c i e r a . c o m / f i n a n z a s / p u b l i c o / a u l a / a t e c n i c o / a t _ h o m e . h t m y M r v v w . a r r a k i s . e s / ~ m c j / g a l l e g o . h t m

U n a sucesin se d e f i n e c o m o u n c o n j u n t o o r d e n a d o d e nmeros r e a l e s f o r -m a d o s d e a c u e r d o c o n u n a r e g l a . C a d a nmero d e l a sucesin r e c i b e e l n o m b r e d e trmino. E l c o n j u n t o 5 , 9 , 1 3 , 17, 2 1 , 2 5 , 2 9 , 3 3 , . . . es u n a sucesin c u y a r e -g l a es q u e c a d a trmino, despus d e l p r i m e r o , se o b t i e n e s u m a n d o 4 a l trmino a n t e r i o r . E l c o n j u n t o 5 , 1 0 , 2 0 , 4 0 , 8 0 , . . . es u n a sucesin c u y a r e g l a es que c a d a trmino, despus d e l p r i m e r o , se o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o p o r 2 e l trmino a n t e r i o r . Puede e l l e c t o r d e c i r cul es l a r e g l a u t i l i z a d a e n l a sucesin 1 5 , 2 0 , 2 6 , 3 3 , 4 1 , 5 0 , . . . y cul sera e l trmino q u e s i g u e ?

S i r e p r e s e n t a m o s c o n a , a l p r i m e r trmino d e u n a sucesin, c o n 2 a l s e g u n -d o trmino, c o n J, a l t e r c e r trmino, y as s u c e s i v a m e n t e , e n t o n c e s p o d e m o s de-n o t a r l a sucesin c o m o

1, fl,, 3' '

E l trmino a se l l a m a n-simo trmino. C o m o a c a d a nmero n a t u r a l n l e c o r r e s p o n d e u n nmero fl, se t i e n e q u e

u n a sucesin es u n a funcin c u y o d o m i n i o es e l c o n j u n t o d e l o s nmeros e n t e r o s p o s i t i v o s .

A m e n u d o l a s s u c e s i o n e s se d e s i g n a n m e d i a n t e u n a frmula q u e d a e l v a l o r d e a, p a r a c u a l q u i e r nmero e n t e r o n. As, l a frmula fl = 2 + 5 d e f i n e u n a s u -cesin c u y o s p r i m e r o s seis trminos s o n

fli = 2 ( 1 ) + 5 = 7

= 2 ( 2 ) + 5 = 9

fl3 = 2 ( 3 ) + 5 = 11

a, = 2 ( 4 ) + 5 = 13

a, = 2 ( 5 ) + 5 = 15

6 = 2 ( 6 ) + 5 = 17

E s c r i b i m o s l a sucesin c o m o 7, 9 , 1 1 , 1 3 , 1 5 , 1 7 , . . .

' Vanse E j e r c i c i o s 3 . 1 , p r o b l e m a 2 4 .

P a r a c a l c u l a r e l vigsimo s e x t o trmino d e e s t a sucesin se u s a n = 2 6 y se o b t i e n e

A., = 2 ( 2 6 ) + 5 = 5 7

Ejemplo

E s c r i b a l o s p r i m e r o s c i n c o trminos y e l vigsimo trmino d e l a sucesin d e f i n i -

d a p o r a = .

Solucin:

1 = p = - 1

2 - 2 ^ a , = = O

2

a-, =

a, =

2 0 -

L a sucesin l a e s c r i b i m o s c o m o

3 - 2 ^ l 3 3

4 - 2 ^ 2 ^ 1 4 4 2

5 - 2 _ 3 5 5

2 0 - 2 1 8 2 0 2 0 1 0

- 1 . 0 , 1 1 1 9 3 2 5 1 0

. O t r a m a n e r a d e d e f i n i r u n a sucesin es m e d i a n t e u n a frmula recursiva. E n e s t e c a s o se d a n l o s v a l o r e s d e u n o o v a r i o s trminos d e l a sucesin y e l tr-m i n o a se e x p r e s a e n funcin d e l o s trminos p r e c e d e n t e s .

Ejemplo

E s c r i b a l o s p r i m e r o s c i n c o trminos d e l a sucesin d e f i n i d a r e c u r s i v a m e n t e c o m o

1 8 , a = 4fl_i 1 0

Cap . 3 S u c e s i o n e s y series

Solucin:

E l p r i m e r trmino es a j = 8 . P a r a o b t e n e r e l s e g u n d o trmino, u s a m o s n = 2 e n l a frmula y o b t e n e m o s

= 4 Uj-i 1 0 = 4 a i

E l t e r c e r trmino ser

3 = 4 a 3 _ i - 1 0 = 4 2

E l c u a r t o y e l q u i n t o trminos s o n

4 = 4 a 4 _ i - 1 0 = 4 3 - 1 0 = 4 ( 7 8 ) - 1 0 = 3 0 2

5 = 4 a,_i - 1 0 = 4 4 - 1 0 = 4 ( 3 0 2 ) - 1 0 = 1 1 9 8

C o m o se o b s e r v a , p a r a o b t e n e r u n trmino c u a l q u i e r a , se r e q u i e r e q u e c o n o z -c a m o s e l v a l o r d e l trmino p r e c e d e n t e .

L a s u m a d e l o s p r i m e r o s n trminos d e u n a sucesin r e c i b e e l n o m b r e d e serie. S i n es u n e n t e r o p o s i t i v o , S simbolizar l a s u m a d e l o s p r i m e r o s n trmi-n o s d e u n a sucesin. As, p a r a l a sucesin a^, Uj, 3 , . . . , a , . . . , se t i e n e

S i = a i

5 2 = 1 + l2

5 3 = a j + 2 + 3

E n g e n e r a l , se t i e n e q u e

S = + a2 + + ... + a

ejemplo

C a l c u l e l a s u m a c o n l o s p r i m e r o s c u a t r o trminos d e l a sucesin d e f i n i d a p o r fl = ( - l ) " ^ ' 3 "

Solucin:

a i = ( - 1 ) ^ 3 ' = 3

2 = ( - 1 ) ^ 3 ^ = - 9

a 3 = ( - 1 ) ^ 3 ^ = 2 7

4 = ( - 1)5 3 4 = - 8 1

P o r t a n t o .

- 1 0 = 4 ( 8 ) - 1 0 = 2 2

- 1 0 = 4 ( 2 2 ) - 1 0 = 7 8

5 4 = 3 - 9 + 2 7 - 8 1 = - 6 0

Introduccin 91

ejercicios 3.1

E n l o s e j e r c i c i o s d e l 1 a l 5 e l patrn d a d o contina. E s c r i b a l o s s i g u i e n t e s t r e s trminos d e l a s s u c e s i o n e s .

1. 3 5 , 4 3 , 5 1 , 5 9 , . . .

2. 1 0 0 , 8 5 , 7 0 , 5 5 , . . .

3. 1 / 4 , 2 / 4 , 3 / 4 , 4 / 4 , . . .

4. 3 , 7 , 1 5 , 3 1 , 6 3 , . . .

5. X, X + a, X + 2a, X + 3a,...

E n l o s e j e r c i c i o s d e l 6 a l 1 1 , e n c u e n t r e l o s p r i m e r o s c i n c o trminos y e l v i -gsimo s e g u n d o trmino d e l a sucesin d e f i n i d a p o r l a frmula.

6. a = 5n- 1 2

7. a=n^ n

8. 3 n - 2 n + 1

9. a = l o g

10. fl=5 + ( - l ) " + '

11. a = 2 "

12. O b t e n g a e l trmino nmero c i e n d e l a sucesin r e p r e s e n t a d a p o r 2 n

" n-20

E n l o s e j e r c i c i o s d e l 13 a l 17 se d e f i n e u n a sucesin d e m a n e r a r e c u r s i v a . E s -c r i b a l o s p r i m e r o s c i n c o trminos.

.13. a i = 5 , fl = a_i + 3

14. 1 = - 1 0 , a+i = 7 - a

15. 1 = 2 , 2 = 4 , a+2 = aa+i

16. 12 = 8 4 , a^i = ( a j ^ / "

17. a = , c o m e n z a n d o c o n a^ = 5 0 0 " 1 0

C a p . 3 S u c e s i o n e s y series

18. C a l c u l e las s u m a s S , , S 3 y 5 4 u t i l i z a n d o l a sucesin 5 , 9 , 1 3 , 17, 2 1 , 2 5 , . . .

E n l o s e j e r c i c i o s d e l 1 9 a l 2 2 , o b t e n g a l a s u m a d e l o s p r i m e r o s seis trminos d e l a sucesin d e f i n i d a p o r l a frmula.

19. a = ^ n

20. a = ( - 3 } " - >

21. a= 1 . 5 ( 2 " )

22. a = a_i + 2 . 5 , c o m e n z a n d o c o n = O

23. O b s e r v e las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s :

1 = 1 ^

1 + 3 = 2 -

1 + 3 + 5 = 3 2

1 + 3 + 5 + 7 = 4 ^

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 ' y v e a q u e h a y u n patrn. D i g a cul sera l a s i g u i e n t e lnea y v e r i f i q u e e l r e s u l t a d o .

24. L a sucesin d e f i n i d a c o m o Ui = \, = 1, a = a _ 2 + ci-i, c o n n = 3 , 4 , 5 , . . . , se l l a m a sucesin de Fibonacci, e n h o n o r d e l matemtico i t a l i a n o L e o n a r d o d e P i s a ( 1 1 7 0 - 1 2 5 0 ) , m e j o r c o n o c i d o c o m o F i b o n a c c i ( q u e s i g n i f i c a hijo de Bonacci). E s t a sucesin p r e s e n t a m u c h o s p a t r o n e s i n t e r e s a n t e s y t i e n e m u c h a s a p l i c a c i o n e s , y a q u e e x i s t e n i n f i n i d a d d e fenmenos n a t u r a l e s q u e se c o m p o r t a n c o m o l a sucesin d e F i b o n a c c i . S i u s t e d desea p r o f u n d i z a r e n e s t e t e m a , v i s i t e l a s pginas h t t p : / / r e d e s c o l a r . i l c e . e d u . m x / r e d e s c o l a r / a c t _ p e r m a n e n t e s / m a t e / m a t e 3 q . h t m y w w w . a r r a k i s . e s / ~ m c j / f i b o n a c c . h t m .

L a Asociacin F i b o n a c c i es u n a organizacin q u e se d e d i c a a l e s t u d i o d e l a sucesin d e F i b o n a c c i . The Fibonacci Qiiarterly es l a publicacin o f i c i a l d e l a asociacin y s u s i t i o W e b se e n c u e n t r a e n www. m s c s . d a l . c a / F i b o n a c c i .

U t i l i z a n d o l a frmula d e r e c u r r e n c i a d a d a , o b t e n g a l o s p r i m e r o s d i e z trminos d e l a sucesin d e F i b o n a c c i .

S u c e s i o n e s aritmticas

5uc5on5 aritmticas

U n a sucesin aritmtica es u n a sucesin e n l a c u a l c a d a trmino, despus d e l p r i -m e r o , se o b t i e n e sumndole a l trmino a n t e r i o r u n a c a n t i d a d c o n s t a n t e l l a m a d a diferencia comn. P o r e j e m p l o , l a sucesin 4 , 1 0 , 1 6 , 2 2 , 2 8 , 3 4 , 4 0 , . . . es u n a s u -cesin aritmtica c u y a d i f e r e n c i a comn es 6 , y a q u e 4 - 1 - 6 = 1 0 , 1 0 - 1 - 6 = 1 6 , 1 6 - i - 6 = 2 2 , y as s u c e s i v a m e n t e . L a sucesin 3 5 , 2 5 , 1 5 , 5 , 5 , . . . es u n a sucesin aritmtica c o n d i f e r e n c i a comn d e 1 0 .

A p a r t i r d e l a definicin a n t e r i o r se t i e n e q u e , e n t o d a sucesin aritmtica l a d i -f e r e n c i a comn se o b t i e n e restndole a u n trmino c u a l q u i e r a e l trmino a n t e r i o r .

S e a 1, 2 / 3 , , a, . . . u n a sucesin aritmtica y sea d s u d i f e r e n c i a c o -mn. P o r definicin, es p o s i b l e e s c r i b i r

1 = fl]

= + d

= aj + d = + d) + d = + 2d

= + d = (a^ + Id) + d = a- + 3d

Ur = UA + d = [a, + 3d) + d = a, + 4d

a^ = a + (n \) d

E l M-simo trmino se o b t u v o a l o b s e r v a r q u e e l c o e f i c i e n t e numrico d e d e n c a d a trmino es u n o m e n o s q u e e l c o r r e s p o n d i e n t e nmero d e o r d e n d e l trmino. P o r t a n t o , e l n-simo trmino d e u n a sucesin aritmtica est d a d o p o r l a s i g u i e n t e ecuacin.

a = a^ + n- l)d ( 3 . 1 )

Ejemplo

E n c u e n t r e e l trigsimo q u i n t o trmino d e l a sucesin aritmtica 1 0 , 14 , 1 8 , 2 2 , . . .

Solucin:

L a d i f e r e n c i a comn es ( i = 14 1 0 = 4 . A l s u s t i t u i r = 1 0 , ci? = 4 y n = 3 5 e n l a ecuacin [ 3 . 1 ] , r e s u l t a

fl3s = 1 0 + ( 3 5 - 1 ) 4 = 1 4 6


Ejemplo 3.5

E l d e c i m o s e g u n d o trmino d e u n a sucesin aritmtica es 7 1 y s u d i f e r e n c i a comn es 5 . E n c u e n t r e e l p r i m e r trmino.

Solucin:

S e d e s p e j a d e l a frmula ( 3 . 1 ) :

a = Ui + n \)d

= (n \) d

A l s u s t i t u i r fl = J i2 = 7 1 , M = 1 2 y i = 5 , se t i e n e

fli = 7 1 - ( 1 2 - 1 ] 5 = 7 1 - ( 1 1 X 5 ) = 1 6

Ejemplo 3.6

E l p r i m e r trmino d e u n a sucesin aritmtica es O y e l vigsimo trmino es 1 9 0 . E n c u e n t r e l a d i f e r e n c i a comn.

Solucin:

S e d e s p e j a d d e l a ecuacin ( 3 . 1 ) :

a = 1 + ( n 1 ) i i

a - 1 = ( n - 1 ) c/

^ ^ ^ ^ n - 1

P o r t a n t o , a l s u s t i t u i r l o s d a t o s se t i e n e

2 0 - 1

Ejemplo 3.7

Cuntos trminos t i e n e l a sucesin aritmtica 7 , 3 , . . . , 2 9 ?

S u c e s i o n e s aritmticas

Solucin:

L a d i f e r e n c i a comn es: ( 3 ] [ 7 ) = 4 . S e d e s p e j a n d e l a ecuacin ( 3 . 1 ) :

a = flj + Cn 1 }

a - 1 = ( n - 1 } i

a

n = ^ ^ ^ + l d

A l s u s t i t u i r l o s d a t o s r e s u l t a

4 L a s u m a d e l o s trminos d e u n a sucesin aritmtica r e c i b e e l n o m b r e d e

serie aritmtica. A continuacin se p r o c e d e a d e d u c i r u n a frmula p a r a e n c o n -t r a r l a s u m a d e l o s n p r i m e r o s trminos d e u n a sucesin aritmtica.

Sea fli, 2, 3, . . . , a, . . . u n a sucesin aritmtica c u y a d i f e r e n c i a comn es d, y sea

S = 1 + 2 + 3 + . . . + a

C o m o :

1 = a j

2 = 1 + /

a-^ = ai + 2d

= Ui + 3 d

a = + 4 d

' E n t o n c e s

S = a,+ U i +d) + (.a, + 2d) + ... + ia - 2d) + a - d) + a ( 1 )

E s c r i b i e n d o l o s trminos d e l s e g u n d o m i e m b r o d e ( 1 ) e n o r d e n i n v e r s o se o b t i e n e

S = fl + (a - ) + (fl - 2) + . . . + ( a i + 2d) + [a, + d) + a, ( 2 )

S u m a n d o l a s e c u a c i o n e s ( 1 ) y ( 2 ) se o b t i e n e

2S = ( f l , + flj + ( f l i + flj + ( f l i + flj + . . . + ( f l i + flj + ( f l i + aj + ( f l i + flj

9 6 C a p . 3 S u c e s i o n e s y series ^ ;

E s d e c i r 2S = na^ + a )

E n d o n d e n es e l nmero t o t a l d e b i n o m i o s e n l a s u m a . A l d e s p e j a r S se o b t i e n e l a frmula g e n e r a l p a r a c a l c u l a r l a s u m a d e l o s n p r i m e r o s trminos d e u n a sucesin aritmtica:

S = ^ [a, + aj ( 3 . 2 )

Ejemplo 3.8 _

E n c u e n t r e l a s u m a d e l o s p r i r r i e r o s 5 0 trminos d e l a sucesin aritmtica 5 , 1 2 , 1 9 , . . .

Solucin:

E n p r i m e r l u g a r es n e c e s a r i o c a l c u l a r s u d i f e r e n c i a comn, d = 7, y el trmino nmero c i n c u e n t a .

50 = 5 + ( 5 0 - 1 ) ( 7 ) = 3 4 8

A l s u s t i t u i r n = 5 0 , fl] = 5 y a^^ = 3 4 8 e n l a ecuacin ( 3 . 2 ) se t i e n e

S50 = ( 5 + 3 4 8 ) = 8 8 2 5

Ejemplo 3.9 _ _ _ _ _ _ _

E n c u e n t r e l a s u m a d e t o d o s l o s nmeros p a r e s d e l 1 0 0 a l 8 0 0 , i n c l u s i v e .

^0 Solucin:

E s t e p r o b l e m a c o n s i s t e e n h a l l a r l a s u m a d e l o s trminos d e l a sucesin aritmtica 1 0 0 , 1 0 2 , 1 0 4 , 1 0 6 , . . . , 8 0 0 . L a sucesin t i e n e u n a d i f e r e n c i a comn i g u a l a 2 .

E l nmero d e trminos q u e f o r m a n l a sucesin es

n = ^ ^ + i = ^ Q Q - ^ Q Q + i = 3 5 i

P o r t a n t o .

d

S351 = ( 1 0 0 + 8 0 0 ) = 1 5 7 9 5 0

S u c e s i o n e s aritmticas , 97

GjempI

E l ltimo trmino d e u n a sucesin aritmtica, q u e c o n s t a d e o n c e trminos, es 0 . S i l a s u m a d e l o s o n c e trminos es 1 1 0 0 0 , o b t e n g a e l p r i m e r trmino.

Solucin:

Se d e s p e j a d e l a frmula ( 3 . 2 ) :

S=^ (1 + aj

n

1 = a n

A l s u s t i t u i r l o s v a l o r e s numricos, se o b t i e n e

2S ( 2 ) 0 1 0 0 0 ) ai = - a = ~ - O = 2 0 0 0

' n " 1 1

Ejemplo 3 S u p o n g a q u e e l dlar a u m e n t a d e p r e c i o e n $ 0 . 0 0 5 p o r da. S i e l da d e h o y e l dlar se c o t i z a e n $ 1 0 . 9 0 a l a v e n t a , qu da estar a $ 1 1 . 5 9 5 ?

Solucin:

E l p r o b l e m a c o n s i s t e e n c a l c u l a r e l nmero d e trminos d e u n a sucesin aritm-t i c a , l a c u a l e s c r i b i m o s c o m o :

1 0 . 9 0 , 1 0 . 9 0 5 , 1 0 . 9 1 , 1 1 . 6 0

A l s u s t i t u i r l o s v a l o r e s numricos e n l a ecuacin ( 3 . 1 ) , se t i e n e

1 1 . 6 0 = 1 0 . 9 0 + ( n - 1 ) 0 . 0 0 5

D e s p e j a n d o n d e l a expresin a n t e r i o r , se t i e n e q u e

, = 1 1 - 6 0 - 1 0 . 9 0 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 0 . 0 0 5

E l dlar valdr $ 1 1 . 6 0 d e n t r o d e 1 4 1 das.


1. 1 ) e t e r m i n e s i l as s i g u i e n t e s s u c e s i o n e s s o n aritmticas, s u p o n i e n d o q u e e l patrn contina. a ) 2 , 1 0 , 1 8 , 2 6 , . . . b ) 3 , 6 , 1 2 , . . . c ) 4 2 , 3 7 , 3 2 , 2 7 , . . . d ) 5 0 , 5 8 , 5 3 , 6 1 , . . .

2. C a l c u l e e l trigsimo s e g u n d o trmino y l a s u m a d e l o s t r e i n t a y d o s p r i m e r o s trminos d e l a sucesin aritmtica d a d a . a ) 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 0 , . . . b ) 5 , 4 . 2 , 3 . 4 , 2 . 6 , . . . '

3. Cul es e l trmino nmero c i n c u e n t a d e u n a sucesin aritmtica, c u y o p r i m e r trmino es O y l a d i f e r e n c i a comn es 5?

4. E n c u e n t r e e l vigsimo trmino d e l a sucesin aritmtica 1 / 3 , 1 /3 , 1 , 5 / 3 , . . .

5. E n c u e n t r e e l trmino nmero s e t e n t a y se i s d e l a sucesin 0 . 2 0 , 0 . 2 5 , 0 . 3 0 , . . .

6. E l s e x t o trmino d e u n a sucesin aritmtica es 8 y s u d i f e r e n c i a comn es 8 . E n c u e n t r e e l p r i m e r trmino d e l a sucesin y l a s u m a d e l o s seis p r i m e r o s trminos.

7. S i = 4 4 y = 3 / 5 , e n c u e n t r e a.

8. E n c u e n t r e e l trmino nmero 1 0 0 d e u n a progresin aritmtica c u y o p r i m e r trmino es 8 y e l sptimo es 1 .

9. E l s e x t o trmino d e u n a sucesin aritmtica es 2 1 y e l o n c e a v o es 3 2 . C a l c u l e e l d e c i m o q u i n t o trmino y l a s u m a d e l o s q u i n c e p r i m e r o s trminos d e l a sucesin.

10. C a l c u l e e l dcimo trmino y l a s u m a d e l o s p r i m e r o s d i e z trminos d e l a sucesin [ x 1 5 ) , [ x 1 1 ) , {x 7 ) , Cx 3 ) , . . .

11. E n c u e n t r e e l s e x t o , e l d o c e a v o y e l n-simo trminos d e u n a sucesin aritmtica c o n = 1 0 y i = 3 / 5 .

12. L o s t r e s p r i m e r o s trminos d e u n a sucesin aritmtica s o n 1 5 , 2 0 . 5 y 2 6 . D e m u e s t r e q u e e l n-simo trmino d e l a sucesin est d a d o p o r l a frmula a = 5 . 5 n - l - 9 . 5 .

S u c e s i o n e s aritmticas 99

13. E l p r i m e r trmino d e u n a sucesin aritmtica es 1 y l a d i f e r e n c i a c o -mn es 7. E n c u e n t r e u n a frmula q u e p r o p o r c i o n e l a s u m a d e l o s n p r i m e r o s trminos d e l a sucesin. U t i l i c e l a frmula p a r a o b t e n e r l a s u m a c u a n d o w = 1 3 .

14. Cuntos trminos t i e n e c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s s u c e s i o n e s ? a ) 2, 8 , 1 4 , . . . , 3 5 0 b ) 17, 2 1 , 2 5 , . . . , 5 3

15. H a l l e l a s u m a d e l a s s u c e s i o n e s d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r .

16. E n c u e n t r e l a s u m a d e t o d o s l o s nmeros p a r e s d e l 1 0 0 a l 1 0 0 0 0 , i n -c l u s i v e .

17. E l p r i m e r trmino d e u n a sucesin aritmtica es 2 0 y e l ltimo tr-m i n o es 7 4 . S i l a s u m a d e l o s trminos es 4 7 0 , c a l c u l e : a ) E l nmero d e trminos e n l a sucesin. b ) L a d i f e r e n c i a comn. c ) E s c r i b a l a sucesin c o m p l e t a .

18. H a l l e l a s u m a 1 0 + 15 + 2 0 + . . . + 1 3 0 .

19. L a s u m a d e l o s 2 6 trminos d e u n a sucesin aritmtica es 7 6 0 5 . S i e l ltimo trmino es 4 8 0 , cul es e l p r i m e r trmino?

20. E l g r o s o r y l a l o n g i t u d d e l c a b e l l o h u m a n o estn s u j e t o s a estmulos h o r m o n a l e s , p e r o e n p r o m e d i o , e l c r e c i m i e n t o es d e 0 . 4 m m p o r da y s u dimetro p r o m e d i o es d e 0 . 0 8 m m . S i P e d r o se rap t o t a l m e n t e , en cuntos das tendr s u c a b e l l o u n l a r g o d e 6 c m ?

21. U n e s t u d i a n t e a h o r r a p a r a d a r e l e n g a n c h e d e u n a m o t o c i c l e t a . L a p r i -m e r a s e m a n a g u a r d a $ 8 0 ; l a s e g u n d a , $ 1 0 0 ; l a t e r c e r a , $ 1 2 0 , y as s u -c e s i v a m e n t e , d u r a n t e 5 2 s e m a n a s . Cunto d i n e r o tendr a l f i n a l d e la s 5 2 s e m a n a s ?

22. P a t r i c i a p e s a 1 0 5 k g y m e d i a n t e u n a d i e t a , s u p e r v i s a d a p o r s u mdico, r e d u c e 2 1 0 g r a m o s c a d a da, cuntos das tardar p a r a l o g r a r s u p e s o i d e a l d e 6 3 k g ?

23. A l f i n a l d e s u p r i m e r m e s d e t r a b a j o , J a i m e a h o r r a $ 3 0 0 . A p a r t i r d e e n t o n c e s c a d a m e s g u a r d a $ 5 0 ms q u e e l m e s a n t e r i o r . Cunto habr a h o r r a d o a l c a b o d e u n ao? Cundo sern m a y o r e s d e $ 3 1 0 0 s u s a h o r r o s ?

100 C a p . 3 S u c e s i o n e s y series

24. U n s u p e r m e r c a d o p o n e e n o f e r t a c i e r t a m a r c a d e r e f r e s c o e n l a t a : $ 6 . 0 0 p o r l a p r i m e r a l a t a ; $ 5 . 6 0 p o r l a s e g u n d a l a t a ; $ 5 . 2 0 p o r l a t e r c e r a y as s u c e s i v a m e n t e h a s t a l l e g a r a u n mximo d e 1 0 l a t a s p o r p e r s o n a . Cul ser e l c o s t o d e c o m p r a r 1 0 l a t a s d e r e f r e s c o ?

25. U n g r u p o d e a l u m n o s d e l a l i c e n c i a t u r a e n f i n a n z a s efectan u n a r i f a c o n e l f i n d e o b t e n e r f o n d o s p a r a s u graduacin, d e l a s i g u i e n t e f o r -m a : se h a c e n 1 0 0 0 b o l e t o s n u m e r a d o s d e l 0 0 0 a l 9 9 9 y c a d a u n o se m e t e e n u n s o b r e y se c i e r r a . L a p e r s o n a q u e d e s e e c o m p r a r u n b o l e t o escoge u n s o b r e , y e l nmero d e l b o l e t o c o r r e s p o n d e a l a c a n t i d a d d e d i n e r o q u e tendr q u e p a g a r e n p e s o s . P o r e j e m p l o , s i a l a b r i r e l s o b r e e l b o l e t o m a r c a e l nmero 6 5 , se tendr q u e p a g a r $ 6 5 p o r l. Cunto d i n e r o se obtendr a l v e n d e r t o d o s l o s b o l e t o s ?

26. U n i n g e n i e r o es r e q u e r i d o p o r d o s compaas. L a compaa X l e o f r e -ce u n s u e l d o i n i c i a l d e $ 1 2 4 0 0 a l m e s y a u m e n t o s m e n s u a l e s d e $ 2 9 0 d u r a n t e u n ao. L a compaa Y l e o f r e c e u n s u e l d o i n i c i a l d e $ 1 3 5 0 0 a l m e s y a u m e n t o s m e n s u a l e s d e $ 1 5 0 d u r a n t e u n ao. D e s d e u n p u n -t o d e v i s t a e s t r i c t a m e n t e m o n e t a r i o , cul compaa l e c o n v i e n e ms?

27. L n u n a fbrica h a y u n montn d e t u b o s d e a c e r o a c o m o d a d o s e n f o r -m a t r i a n g u l a r , t a l c o m o se m u e s t r a e n l a f i g u r a . S i e n l a h i l e r a i n f e r i o r h a y 3 5 t u b o s , cuntos t u b o s h a y e n t o t a l ?

O O O

O O O O O O O

OOOOOOOOOOOOO

28. Cunto d i n e r o habr a h o r r a d o l a seorita S a u c e d o , s i n t o m a r e n c u e n -t a e l inters g a n a d o , s i r e a l i z a depsitos q u i n c e n a l e s e n u n a c u e n t a d e a h o r r o s , d u r a n t e 2 4 m e s e s , c o m e n z a n d o c o n $ 3 0 0 d e p o s i t a d o s a l f i -n a l d e l a p r i m e r a q u i n c e n a e i n c r e m e n t a n d o l o s s i g u i e n t e s depsitos e n $ 1 0 0 despus d e c a d a 4 depsitos q u i n c e n a l e s ?

29. U n a p e r s o n a e n f e r m a recibi d e s u mdico l a s i g u i e n t e r e c e t a : deber t o m a r u n a p a s t i l l a d i a r i a d e 5 0 0 m g d e c i e r t o m e d i c a m e n t o d u r a n t e l a p r i m e r a s e m a n a ; e n l a s e x t a s e m a n a , deber t o m a r u n a p a s t i l l a d i a r i a d e 2 2 0 m g , d e l m i s m o m e d i c a m e n t o . S i l a d o s i s d i s m i n u y e e n f o r m a aritmtica c a d a s e m a n a , d e t e r m i n e l a d o s i s d e l a p a s t i l l a d i a r i a p a r a l a s e g u n d a , t e r c e r a , c u a r t a y q u i n t a s e m a n a s .

S u c e s i o n e s aritmticas 101

Tema especial

Gauss y las sucesiones

"Prncipe d e l a s matemticas", es l a f r a s e q u e e l r e y J o r g e V d e H a n n o v e r mand g r a b a r e n las m o n e d a s acuadas e n 1 8 5 5 , e n m e m o r i a d e u n o d e l o s ms g r a n d e s matemticos q u e h a d a d o e l gnero h u m a n o : C a r i F r i e d r i c h G a u s s .

G a u s s naci e n B r u n s w i c k , A l e m a n i a , e l 3 0 d e a b r i l d e 1 7 7 7 e n e l s e n o d e u n a f a m i l i a p o b r e , y d e s d e sus p r i m e r o s aos d e v i d a d i o m u e s t r a s d e s u g r a n g e n i o . Aprendi a l e e r l s o l o , a n t e s d e i r a l a e s c u e l a , y s u c a p a c i d a d p a r a l a s matemticas e r a t a n g r a n d e q u e despert l a atencin d e s u s p a d r e s y l a c u r i o s i d a d d e l o s p a r i e n t e s y a m i g o s . l m i s m o sola d e c i r b r o m e a n d o q u e haba a p r e n d i d o a c a l c u l a r a n t e s q u e a e s c r i b i r .

E x i s t e n m u c h a s ancdotas s o b r e G a u s s ; u n a d e stas, r e l a c i o n a d a c o n las s u c e s i o n e s , es l a s i g u i e n t e : se c u e n t a q u e u n da, c u a n d o G a u s s tena a l r e -d e d o r d e 8 aos y asista a l a e s c u e l a p r i m a r i a , e l p r o f e s o r , p o r a l g u n a razn, q u i s o q u e s u s a l u m n o s d e j a s e n d e m o l e s t a r l o d u r a n t e u n b u e n r a t o . As q u e se l e ocurri p l a n t e a r l e s u n s e n c i l l o p e r o l a b o r i o s o p r o b l e m a : q u e s u m a r a n l o s 1 0 0 p r i m e r o s nmeros n a t u r a l e s , e s t o e s l - i - 2 - l - 3 - l - 4 - l - . . . + 1 0 0 . C o n est t a r e a , e l p r o f e s o r s u p u s o q u e l o s pequeos quedaran e n t r e t e n i d o s u n b u e n r a t o . S i n e m b a r g o , m i e n t r a s s u s compaeros se e s f o r z a b a n e n h a -l l a r l a solucin, e l nio G a u s s se levant d e s u a s i e n t o a l o s c i n c o m i n u t o s y l e entreg a s u p r o f e s o r l a r e s p u e s t a . E l p r o f e s o r , s o r p r e n d i d o , l e pregunt cmo l o haba h e c h o ; e l nio l e explic q u e e n l u g a r d e s u m a r l o s nmeros, u n o p o r u n o , se p u s o a r e f l e x i o n a r a t e n t a m e n t e s o b r e e l p r o b l e m a , y se d i o c u e n t a d e l o s i g u i e n t e : s i se s u m a e l p r i m e r nmero c o n e l ltimo, e s t o es 1 y 1 0 0 , se o b t i e n e 1 0 1 ; s i despus se s u m a e l s e g u n d o nmero c o n e l penl-t i m o , 2 y 9 9 , se o b t i e n e 1 0 1 , y l o m i s m o ocurrir a l s u m a r e l t e r c e r o c o n e l antepenltimo, es d e c i r , s i S es e l r e s u l t a d o d e l a s u m a , e n t o n c e s se p u e -d e e s c r i b i r :

5 = 1 + 2 + 3 + . . . + 9 8 + 9 9 + 1 0 0

L a s u m a a n t e r i o r se p u e d e e s c r i b i r d e l a s i g u i e n t e f o r m a :

S = 1 0 0 + 9 9 + 9 8 + . . . + 3 + 2 + 1

S u m a n d o las i g u a l d a d e s a n t e r i o r e s :

2 S = C l + 1 0 0 ) + ( 2 + 9 9 ) + ( 3 + 9 8 ) + . . . + ( 9 8 + 3 ) + ( 9 9 + 2 ) + ( 1 0 0 + 1 )

2 S = 1 0 1 + 1 0 1 + 1 0 1 + . . . + 1 0 1 + 1 0 1 + 1 0 1

P o r t a n t o ,

2 S = ( 1 0 0 ) ( 1 0 1 )

C a p . 3 S u c e s i o n e s y serles

E s d e c i r ,

L a s i n v e s t i g a c i o n e s d e G a u s s a b a r c a r o n t o d a s las reas d e l a matemtica. E n s u t e s i s d o c t o r a l , e s c r i t a a l o s 2 2 aos, demostr e l T e o r e m a F u n d a m e n t a l d e l lgebra, escribi u n t r a t a d o s o b r e l a teora d e l o s nmeros, ide e l m-t o d o d e mnimos c u a d r a d o s , h i z o a p o r t a c i o n e s n o t a b l e s e n e l c a m p o d e l a s c u r v a s y desarroll u n mtodo g e n e r a l d e resolucin d e e c u a c i o n e s b i n o m i a s . Adems, realiz i m p o r t a n t e s c o n t r i b u c i o n e s a l o s c a m p o s d e l a astronoma y l a fsica y f u e d i r e c t o r d e l o b s e r v a t o r i o d e Gttingen. S u o b r a p r i n c i p a l f u e Disquisitione Arithmeticae, p u b l i c a d a e n 1 8 0 1 . G a u s s muri, m i e n t r a s dorma, e l 2 3 d e f e b r e r o d e 1 8 5 5 .

U t i l i c e e l mtodo e m p l e a d o p o r G a u s s p a r a d e t e r m i n a r l a s s i g u i e n t e s s u m a s

a ) 1 + 2 + 3 + . . . + 5 0 0 0 b ) l + 2 + 3 + . . . + n

^ Sucesiones geomtricas

U n a sucesin geomtrica es u n a sucesin e n l a c u a l c a d a trmino, despus d e l p r i -m e r o , se o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o e l trmino a n t e r i o r p o r u n a c a n t i d a d c o n s t a n t e l l a -m a d a razn comn. P o r e j e m p l o , l a sucesin 1, 5 , 2 5 , 1 2 5 , 6 2 5 , . . . es u n a sucesin geomtrica c u y a razn comn es 5 , y a q u e 1 X 5 = 5 , 5 X 5 = 2 5 , 2 5 X 5 = 1 2 5 y 1 2 5 X 5 = 6 2 5 . L a sucesin 3 0 0 , 1 5 0 , 7 5 , 3 7 . 5 , 1 8 . 7 5 , . . . es u n a sucesin geomtrica c o n razn comn i g u a l a 0 . 5 .

E n t o d a sucesin geomtrica l a razn comn es i g u a l a l a divisin d e u n tr-m i n o c u a l q u i e r a e n t r e e l trmino a n t e r i o r .

Sea 1 , 2 , 3 , . . . , a , . . . u n a sucesin geomtrica, c o n a j ^ O y sea r s u razn comn, d o n d e r i= 0. P o r definicin.

S u c e s i o n e s geomtricas 103

E l n-simo trmino se o b t u v o a l o b s e r v a r q u e e l e x p o n e n t e d e r e n c a d a trmi-n o es u n o m e n o s q u e e l c o r r e s p o n d i e n t e nmero d e o r d e n d e l trmino. P o r t a n t o , e l M-simo trmino d e u n a sucesin geomtrica est d a d o p o r l a s i g u i e n t e ecuacin.

a = f l , r " - ' ( 3 . 3 )

Ejemplo

E n c u e n t r e e l d e c i m o q u i n t o trmino d e l a sucesin geomtrica 7, 14 , 2 8 , 5 6 , . . .

Solucin:

L a razn comn es r = 1 4 / 7 = 2 . A l s u s t i t u i r a-^ = 1, d = 2y n = 15 e n l a e c u a -cin ( 3 . 3 ) , r e s u l t a

15 = ( 7 ) ( 2 ' 5 - ' ) = ( 7 ) ( 2 " ) = ( 7 ) ( 1 6 3 8 4 ) = 114 6 8 8

L a elevacin a p o t e n c i a se llev a c a b o u t i l i z a n d o u n a c a l c u l a d o r a , tambin se ^ ^ j p u e d e h a c e r u t i l i z a n d o l o g a r i t m o s . '

Ejemplo 3 E n c u e n t r e e l nmero d e trminos q u e h a y e n l a sucesin 5, 2 , 4 / 5 , . . . , 6 4 / 3 1 2 5 ,

Solucin:

S e d e s p e j a n d e l a ecuacin ( 3 . 3 ) :

l o g a = l o g 1 + ( n - 1 ) l o g r

l o g a - l o g a , = ( M - 1 ) l o g r

l o g a ^ - l o ^ f l i ^ ^ _ ^

P o r t a n t o .

^ Vase e l captulo 1 .

l o g r

^ ^ l o g - l o g fl] _^ j l o g r


L o s d a t o s a s u s t i t u i r e n l a ecuacin a n t e r i o r s o n :

1 = 5

a = 6 4 / 3 1 2 5

r = 2 / 5

S u s t i t u y e n d o , se t i e n e

1 6 4 _ , r ^3125 ^ + ^ = - 1 . 6 8 8 6 7 0 0 4 8 - 0 . 6 9 8 9 7 0 0 0 4 ^ ^

" , 2 - 0 . 3 9 7 9 4 0 0 0 8 5

n 7 trminos

L a s u m a d e l o s trminos d e u n a sucesin geomtrica se l l a m a serie geomtrica. A continuacin, se proceder a d e d u c i r u n a frmula p a r a o b t e n e r l a s u m a d e l o s n p r i m e r o s trminos d e u n a sucesin geomtrica.

Sea 1 , 2 , 3 , . . . , , . . . u n a sucesin geomtrica c u y a razn comn es r , y sea

C o m o :

S = 1 + 2 + 3 + . . . +

a , = fl,

3 = 1 r '

4 = 1

E n t o n c e s :

S = 1 + i r + i r ^ + i r ^ + . . . + a^r"'^ + a.r"'^ ( 1 )

M u l t i p l i c a n d o p o r r a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d a n t e r i o r ,

r5 = i r + i r ' + i r ' + i r ' * + . . . + i r " " ' + a^r" ( 2 )

R e s t a n d o l a ecuacin ( 2 ) d e l a ( 1 ) , se o b t i e n e

S - rS = 1 - a^r"

F a c t o r i z a n d o a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d a n t e r i o r ,

S[l - r ) = fli(l - r " ]

D e s p e j a n d o S,

S = ^ ^ l ^ i ^ ( 3 . 4 ) 1 - r

S u c e s i o n e s geomtricas

ejemplo

E n c u e n t r e l a s u m a d e l o s d o c e p r i m e r o s trminos d e l a sucesin geomtrica 3 , 9 , 11, 8 1 , . . .

Solucin:

E l p r i m e r trmino es 3 y l a razn comn tambin es 3 . S u s t i t u y e n d o e n l a e c u a -cin ( 3 . 4 ) se o b t i e n e

S i , = ^ ^ 1 ^ = ^ ^ ^ = 7 9 7 1 6 0 1 - 3 - 2

ejemplo 3.15

L a s u m a d e l o s se i s p r i m e r o s trminos d e u n a sucesin geomtrica es 1 9 6 8 . 7 5 . S i l a razn comn es 0 . 5 , e n c u e n t r e e l p r i m e r trmino.

^ Solucin:

Se d e s p e j a d e l a ecuacin ( 3 . 4 ) :

1 = ^ ^ 1 - r "

S u s t i t u y e n d o l o s d a t o s , se o b t i e n e

( 1 9 6 8 . 7 5 ) ( l - 0 . 5 ) 9 8 4 . 3 7 5 , a , = = = 1 0 0 0

l - ( 0 . 5 ) ^ 1 - 0 . 0 1 5 6 2 5

ejemplo 1 ^

A n t o n i o a c a ba d e ser c o n t r a t a d o c o n u n s a l a r i o a n u a l d e $ 1 7 2 2 0 0 . S i l a e m p r e s a l e prometi a u m e n t o s a n u a l e s d e 8%, d u r a n t e 1 0 aos, cul ser e l s a l a r i o d e A n t o n i o a l i n i c i o d e l s e x t o ao?

Solucin: ,

A l i n i c i o d e l ao 1 e l s u e l d o es d e $ 1 7 2 2 0 0 .

106 C a p . 3 S u c e s i o n e s y series

A l i n i c i o d e l ao d o s e l s u e l d o ser 8% ms a l t o , e s t o es

1 7 2 2 0 0 + ( 0 . 0 8 X 1 7 2 2 0 0 ) = 172 2 0 0 ( 1 . 0 8 ) = 185 9 7 6

A l i n i c i o d e l t e r c e r ao se tendr u n s u e l d o q u e es 8% ms a l t o q u e e l d e l ao p a s a d o , e s t o es

185 9 7 6 + ( 0 . 0 8 X 1 8 5 9 7 6 ) = 185 9 7 6 ( 1 . 0 8 ) = 2 0 0 8 5 4 . 0 8

C o m o se o b s e r v a , l o s s u e l d o s f o r m a n u n a sucesin geomtrica c u y a razn comn es 1.08; p o r t a n t o , a l i n i c i o d e l ao seis se tendr u n s u e l d o d e

6 = ( 1 7 2 2 0 0 X 1 . 0 8 ^ - 0 = ( 1 7 2 2 0 0 X 1 . 0 6 0 = 2 5 3 0 1 8 . 2 9

1. I n d i q u e cules d e l a s s i g u i e n t e s s u c e s i o n e s s o n geomtricas, s u p o n i e n -d o q u e e l patrn contina. a ) 1, 1.35, 1 . 8 2 2 5 , 2 . 4 6 0 3 7 5 , . . . b ) 18, 2 1 , 2 5 , 3 0 , . . . c ) 3, 6 , 12, 3 6 , 1 0 8 , . . . d ) 7 5 , 37.5 , 1 8 . 7 5 , 9 . 3 7 5 , . . .

2. E n c u e n t r e e l trmino nmero 6 6 d e l a sucesin geomtrica 10 , 9 , 8 . 1 , . . .

3. E n c u e n t r e e l trmino nmero 1 0 0 d e l a sucesin 1 / 3 2 , 1 /16, - 1 / 8 , 1 / 4 , . . .

4. C a l c u l e e l o c t a v o trmino y l a s u m a d e l o s o c h o p r i m e r o s trminos d e l a sucesin 6, 24 , 9 6 , . . .

5. C a l c u l e l a s u m a d e l o s p r i m e r o s 10 trminos d e l a sucesin

1 - 1 \_ ' 1 .05 ' ( 1 . 0 5 ) 2 ' Q . o 5 ) 3 " "

6. E n c u e n t r e l a s u m a d e l o s p r i m e r o s v e i n t e trminos d e l a s i g u i e n t e s e r i e geomtrica: 5 - 1 5 / 4 + 4 5 / 1 6 - 1 3 5 / 6 4 + . . .

7. Cuntos trminos h a y e n c a d a u n a d e las s i g u i e n t e s s u c e s i o n e s ? a ) 2 , 3 , 4 . 5 , . . . , 3 8 9 . 2 3 9 0 1 3 7 b ) 1/3, 1, 3, 9 , . . . , 5 9 0 4 9

8. L a sucesin geomtrica 1, . . . , 14 3 4 8 9 0 7 c o n s t a d e 16 trminos; c a l c u l e l a razn comn.

9. E n c u e n t r e l a s u m a d e l o s p r i m e r o s 7 trminos d e l a s i g u i e n t e sucesin geomtrica: 1 / 8 , . . . , 8 .


10. E l dcimo trmino y l a razn comn d e u n a sucesin geomtrica s o n 1 5 3 6 y 2 , r e s p e c t i v a m e n t e . E n c u e n t r e e l p r i m e r trmino.

11. E l c u a r t o trmino d e u n a sucesin geomtrica es 4 y e l sptimo trmi-n o es 3 2 . C a l c u l e SiQ.

12. A l c o n s t r u i r u n e d i f i c i o se e s t i m a q u e e l c o s t o d e c a d a p i s o es 1 . 4 2 v e -ces e l c o s t o d e l p i s o a n t e r i o r . S i l a p l a n t a b a j a d e u n e d i f i c i o d e s t i n a d o a o f i c i n a s se e s t i m a e n $ 2 1 5 0 0 0 0 , cul ser e l c o s t o t o t a l d e l e d i f i c i o , q u e tendr 4 p i s o s ?

13. E l g e r e n t e d e u n a e m p r e s a realiz 3 0 depsitos c a d a m e s e n u n a c u e n -t a d e a h o r r o s , e l p r i m e r o p o r $ 2 0 0 0 0 , e l s e g u n d o p o r $ 2 2 0 0 0 , e l t e r -c e r o p o r $ 2 4 2 0 0 , e l c u a r t o p o r $ 2 6 6 2 0 , y as s u c e s i v a m e n t e . Cunto deposit e n t o t a l ?

14. S i se c o l o c a $ 1 e n e l p r i m e r c u a d r o d e u n t a b l e r o d e a j e d r e z , $ 2 e n e l s e g u n d o c u a d r o , $ 4 e n e l t e r c e r o , $ 8 e n e l c u a r t o y as s u c e s i v a m e n t e , d u p l i c a n d o c a d a v e z l a c a n t i d a d h a s t a c u b r i r l o s 6 4 c u a d r o s , cunto d i n e r o se tendr q u e c o l o c a r e n t o d o e l t a b l e r o ? ( V e a e l t e m a e s p e c i a l " L e y e n d a s o b r e e l t a b l e r o d e l a j e d r e z " . )

15. L a poblacin d e Canad a f i n e s d e l 2 0 0 2 e r a d e 3 1 . 3 m i l l o n e s d e p e r -s o n a s , c o n u n a t a s a m e d i a d e c r e c i m i e n t o d e 0 . 8 % a n u a l . S u p o n i e n d o c o n s t a n t e e s t a t a s a d e c r e c i m i e n t o demogrfico, cul ser l a poblacin e s t i m a d a a l f i n a l d e l 2 0 0 6 ?

16. L a s g a n a n c i a s d e u n a compaa h a n i d o a u m e n t a n d o 1 0 % a n u a l e n p r o m e d i o e n t r e 1 9 9 5 y 2 0 0 0 . E n e l ao 2 0 0 0 , l a s g a n a n c i a s f u e r o n d e 7 . 6 m i l l o n e s d e dlares. S u p o n i e n d o q u e l a t a s a d e c r e c i m i e n t o contine, e n c u e n t r e l a s g a n a n c i a s p a r a e l ao 2 0 0 7 .

17. E l p r e c i o d e u n a cmara fotogrfica d e s e c h a b l e aument u n c i e r t o p o r -c e n t a j e e l da p r i m e r o d e c a d a m e s , d u r a n t e t o d o e l 2 0 0 2 . E l p r i m e r o d e e n e r o d e l 2 0 0 2 , l a cmara c o s t a b a $ 9 7 . 5 0 y e l p r i m e r o d e d i c i e m b r e c o s t a b a $ 1 9 6 . 9 4 . C a l c u l e e l p o r c e n t a j e d e i n c r e m e n t o m e n s u a l .

18. L a poblacin d e u n a c i u d a d a u m e n t a d e 2 3 0 0 0 0 a 2 9 5 0 0 0 h a b i t a n t e s e n 5 aos. Cul es e l p o r c e n t a j e a n u a l p r o m e d i o d e c r e c i m i e n t o ?

19. L a circulacin d e u n peridico est c r e c i e n d o a razn d e 4 % c a d a m e s . S i l a circulacin a c t u a l es d e 2 0 4 0 0 0 e j e m p l a r e s p o r da, en cunto t i e m p o se tendr u n a circulacin d e 3 0 0 0 0 0 e j e m p l a r e s p o r da?

20. L a exportacin d e s a r a p e s d e T e o c a l t i c h e , J a l i s c o , h a c i a E s t a d o s U n i d o s , f u e d e 5 4 6 0 0 s a r a p e s e n e l ao 2 0 0 0 y d e 8 7 4 5 0 e n e l 2 0 0 3 . Qu c a n -t i d a d d e s a r a p e s se estarn e x p o r t a n d o e n e l ao 2 0 0 7 , s i se m a n t i e n e l a t a s a d e c r e c i m i e n t o a n u a l ?


Tema especial

Leyenda sobre el tablero del ajedrez^

E l a j e d r e z es u n j u e g o antiqusimo, c u e n t a c o n m u c h o s s i g l o s d e e x i s t e n c i a y p o r e so n o es extrao q u e estn l i g a d a s a l l e y e n d a s c u y a v e r a c i d a d es dif-c i l d e c o m p r o b a r d e b i d o a s u antigedad. P r e c i s a m e n t e q u i e r o c o n t a r u n a d e stas. P a r a c o m p r e n d e r l a n o h a c e f a l t a s a b e r j u g a r a l a j e d r e z ; b a s t a s i m -p l e m e n t e s a b e r q u e e l t a b l e r o d o n d e se j u e g a est d i v i d i d o e n 6 4 c a s i l l a s , 3 2 b l a n c a s a l t e r n a d a s c o n 3 2 n e g r a s .

E l j u e g o d e l a j e d r e z f u e i n v e n t a d o e n l a I n d i a . C u a n d o e l r e y hind S h e r a m l o conoci, qued m a r a v i l l a d o d e l o i n g e n i o s o q u e e r a y d e l a v a r i e -d a d d e p o s i c i o n e s q u e s o n p o s i b l e s . A l e n t e r a r s e d e q u e e l i n v e n t o r e r a u n o d e s u s s u b d i t o s e l r e y l o mand l l a m a r c o n o b j e t o d e r e c o m p e n s a r l e p e r -s o n a l m e n t e p o r s u a c e r t a d o i n v e n t o .

E l i n v e n t o r l l a m a d o S e t a , se present a n t e e l s o b e r a n o ; e r a u n s a b i o v e s -t i d o c o n m o d e s t i a q u e viva g r a c i a s a l o s m e d i o s q u e l e p r o p o r c i o n a b a n s u s discpulos.

Se ta , q u i e r o r e c o m p e n s a r t e d i g n a m e n t e p o r e l i n g e n i o s o j u e g o q u e h a s i n v e n t a d o d i j o e l r e y .

E l s a b i o contest c o n u n a inclinacin. S o y b a s t a n t e r i c o c o m o p a r a p o d e r c u m p l i r t u d e s e o ms e l e v a d o

continu d i c i e n d o e l r e y . D i l a r e c o m p e n s a q u e t e s a t i s f aga y l a recibirs. S e t a continu c a l l a d o . N o seas tmido l e anim e l r e y . E x p r e s a t u d e s e o , n o escatimar

n a d a p a r a s a t i s f a c e r l o . G r a n d e es t u m a g n a n i m i d a d , s o b e r a n o . P e r o concdeme u n c o r t o

p l a z o p a r a m e d i t a r l a r e s p u e s t a . Maana, t r a s m a d u r a s r e f l e x i o n e s , t e c o -municar m i peticin.

C u a n d o a l da s i g u i e n t e S e t a se present d e n u e v o a n t e e l t r o n o , dej m a r a v i l l a d o a l r e y c o n s u peticin s i n p r e c e d e n t e p o r s u m o d e s t i a .

S o b e r a n o d i j o Se ta, m a n d a q u e m e e n t r e g u e n u n g r a n o d e t r i g o p o r l a p r i m e r a c a s i l l a d e l t a b l e r o d e l a j e d r e z .

Un s i m p l e g r a n o d e t r i g o ? contest a d m i r a d o e l r e y . S i , s o b e r a n o ; p o r l a s e g u n d a c a s i l l a , o r d e n a q u e m e d e n d o s g r a n o s ;

p o r l a t e r c e r a , 4 ; p o r l a c u a r t a , 8 ; p o r l a q u i n t a , 1 6 ; p o r l a s e x t a , 3 2 . . . B a s t a le interrumpi i r r i t a d o e l r ey . Recibirs e l t r i g o c o r r e s p o n -

d i e n t e a las 6 4 c a s i l l a s d e l t a b l e r o d e a c u e r d o c o n t u d e s e o ; p o r c a d a c a s i l l a d o b l e c a n t i d a d q u e p o r l a p r e c e d e n t e ; p e r o h a s d e s a b e r q u e t u peticin es i n d i g n a d e m i g e n e r o s i d a d , a l p e d i r m e t a n msera r e c o m p e n s a m e n o s p r e c i a s

O , T o m a d o d e l l i b r o Matemticas Recreativas d e Ykov Perelmn. E d i t o r i a l M i r , Mosc, 1982.


i r r e v e r e n t e m i b e n e v o l e n c i a . E n v e r d a d q u e , c o m o s a b i o q u e e res , deberas h a b e r d a d o m a y o r p r u e b a d e r e s p e t o a n t e l a b o n d a d d e t u s o b e r a n o . Retrate; m i s s e r v i d o r e s t e sacarn u n saco c o n e l t r i g o q u e s o l i c i t a s .

S e t a sonri, abandon l a sa la y qued e s p e r a n d o a l a p u e r t a d e l p a l a c i o . D u r a n t e l a c o m i d a e l r e y se acord d e l i n v e n t o r d e l a j e d r e z y envi p a r a

q u e l e e n t e r a r a n d e s i haban e n t r e g a d o y a a l i r r e f l e x i v o S e t a s u m e z q u i n a r e c o m p e n s a .

S o b e r a n o , t u o r d e n se est c u m p l i e n d o f u e l a r e s p u e s t a . L o s m a t e -mticos d e l a c o r t e c a l c u l a n e l nmero d e g r a n o s q u e l e c o r r e s p o n d e n .

E l r e y frunci e l ceo. N o e s t a b a a c o s t u m b r a d o a q u e t a r d a r a n t a n t o e n c u m p l i r s u s rdenes. P o r l a n o c h e , a l r e t i r a r s e a descansa r , e l r e y p r e g u n -t d e n u e v o cunto t i e m p o haca q u e S e t a haba a b a n d o n a d o e l p a l a c i o c o n s u saco d e t r i g o .

S o b e r a n o l e c o n t e s t a r o n , t u s matemticos t r a b a j a n s i n d e s c a n s o y e s p e r a n t e r m i n a r l o s clculos a l a m a n e c e r .

Por qu v a t a n d e s p a c i o e s t e a s u n t o ? grit i r a c u n d o e l r e y . Q u e m a -ana a n t e s d e q u e m e d e s p i e r t e h a y a n e n t r e g a d o a S e t a h a s t a e l ltimo g r a n o d e t r i g o . N o a c o s t u m b r o a d a r d o s veces u n a m i s m a o r d e n .

P o r l a maana c o m u n i c a r o n a l r e y q u e e l matemtico m a y o r d e l a c o r t e s o l i c i t a b a a u d i e n c i a p a r a p r e s e n t a r l e u n i n f o r m e m u y i m p o r t a n t e . E l r e y mand q u e l e h i c i e r a n e n t r a r .

A n t e s d e c o m e n z a r t u i n f o r m e le d i j o S h e r a m , q u i e r o s a b e r s i se h a e n t r e g a d o p o r f i n a S e t a l a msera r e c o m p e n s a q u e h a s o l i c i t a d o .

P r e c i s a m e n t e p a r a e so m e h e a t r e v i d o a p r e s e n t a r m e t a n t e m p r a n o contest e l a n c i a n o . H e m o s c a l c u l a d o e s c r u p u l o s a m e n t e l a c a n t i d a d t o t a l d e g r a n o s q u e desea r e c i b i r S e t a . R e s u l t a u n a c i f r a t a n e n o r m e . . .

Sea c u a l f u e r e s u m a g n i t u d l e interrumpi c o n a l t i v e z e l r ey m i s g r a n e r o s n o empobrecern. H e p r o m e t i d o d a r l e e sa r e c o m p e n s a y , p o r t a n t o , h a y q u e entregrsela.

S o b e r a n o , n o d e p e n d e d e t u v o l u n t a d c u m p l i r s e m e j a n t e d e s e o , e n t o d o s t u s g r a n e r o s n o e x i s t e l a c a n t i d a d d e t r i g o q u e e x i g e S e t a ; t a m p o c o e x i s t e e n l o s g r a n e r o s d e t o d o e l r e i n o , h a s t a l o s g r a n e r o s d e l m u n d o e n -t e r o s o n i n s u f i c i e n t e s . S i deseas e n t r e g a r s i n f a l t a l a r e c o m p e n s a p r o m e t i d a , o r d e n a q u e t o d o s l o s r e i n o s d e l a T i e r r a se c o n v i e r t a n e n labrantos, m a n d a d e s e c a r l o s m a r e s y ocanos, o r d e n a f u n d i r e l h i e l o y l a n i e v e q u e c u b r e n l o s l e j a n o s d e s i e r t o s d e l N o r t e , q u e t o d o e l e s p a c i o sea t o t a l m e n t e s e m b r a d o d e t r i g o y o r d e n a q u e t o d a l a c o s e c h a o b t e n i d a e n e s t o s c a m p o s sea e n t r e -g a d a a S e t a ; slo e n t o n c e s recibir s u r e c o m p e n s a .

E l r e y e s c u c h a b a l l e n o d e a s o m b r o l a s p a l a b r a s d e l a n c i a n o s a b i o . D i m e , cul es esa c i f r a t a n m o n s t r u o s a d i j o r e f l e x i o n a n d o . l O h , s o b e r a n o ] D i e c i o c h o t r i l l o n e s c u a t r o c i e n t o s c u a r e n t a y seis m i l se-

t e c i e n t o s c u a r e n t a y c u a t r o b i l l o n e s s e t e n t a y t r e s m i l s e t e c i e n t o s n u e v e m i l l o -nes q u i n i e n t o s c i n c u e n t a y u n m i l se i sc ien tos q u i n c e ( 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 5 ) .


E s t a es l a l e y e n d a . N o p o d e m o s a s e g u r a r q u e h a y a s u c e d i d o e n r e a l i d a d l o q u e h e m o s c o n t a d o ; s i n e m b a r g o , l a r e c o m p e n s a d e q u e h a b l a l a l e y e n d a d e b e e x p r e s a r s e p o r ese nmero; d e e l l o p u e d e n c o n v e n c e r s e h a c i e n d o u s -t e d e s m i s m o s e l clculo. S i se c o m i e n z a p o r l a u n i d a d h a y q u e s u m a r l a s s i -g u i e n t e s c i f r a s : 1 , 2 , 4 , 8 , e t c . , e l r e s u l t a d o o b t e n i d o t r a s 6 3 d u p l i c a c i o n e s s u c e s i v a s n o s mostrar l a c a n t i d a d c o r r e s p o n d i e n t e a l a c a s i l l a 6 4 , q u e d e -ber r e c i b i r e l i n v e n t o r .

P a r a h a c e r n o s u n a i d e a d e l a i n m e n s i d a d d e e s t a c i f r a , c a l c u l e m o s a p r o x i -m a d a m e n t e l a m a g n i t u d q u e debera t e n e r e l g r a n e r o c a p a z d e a l m a c e n a r s e m e j a n t e c a n t i d a d d e t r i g o . E s s a b i d o q u e u n m e t r o cbico d e t r i g o c o n t i e n e c e r c a d e 15 m i l l o n e s d e g r a n o s . E n ese caso , l a r e c o m p e n s a d e l i n v e n t o r d e l a j e d r e z debera o c u p a r u n v o l u m e n a p r o x i m a d o d e 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m ^ , o l o q u e es l o m i s m o , 1 2 0 0 0 k m l S i e l g r a n e r o t u v i e r a 4 m d e a l t o y 1 0 m d e a n c h o , s u l o n g i t u d debera d e se r d e 3 0 0 0 0 0 0 0 0 k m , o sea, e l d o b l e d e l a d i s t a n c i a q u e s e p a r a l a T i e r r a d e l S o l .

E l r e y hind, n a t u r a l m e n t e n o poda e n t r e g a r s e m e j a n t e r e c o m p e n s a . S i n e m b a r g o , c o n u n c o n o c i m i e n t o slido e n matemticas, h u b i e r a p o d i d o l i b r a r s e d e e s t a d e u d a t a n g r a v o s a ; p a r a e l l o l e habra b a s t a d o s i m p l e m e n t e p r o p o n e r a S e t a q u e l m i s m o c o n t a r a , g r a n o a g r a n o e l t r i g o q u e l e c o r r e s -ponda.

E f e c t i v a m e n t e , s i S e t a , p u e s t o a c o n t a r , h u b i e r a t r a b a j a d o da y n o c h e c o n t a n d o u n g r a n o p o r s e g u n d o e n e l p r i m e r da habra c o n t a d o 8 6 4 0 0 g ra -n o s , p a r a c o n t a r u n milln d e g r a n o s habra n e c e s i t a d o c o m o mnimo 1 0 das d e c o n t i n u o t r a b a j o ; u n m e t r o cbico d e t r i g o l o habra c o n t a d o a p r o x i -m a d a m e n t e e n m e d i o ao. P o r c o n s i g u i e n t e , a u n q u e S e t a h u b i e r a c o n s a g r a -d a e l r e s t o d e s u v i d a a c o n t a r l o s g r a n o s d e t r i g o q u e l e correspondan habra r e c i b i d o slo u n a p a r t e nfima d e l a r e c o m p e n s a e x i g i d a .

sucesiones y series

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