subespaco_vetorial_gerado

8/17/2019 Subespaco_Vetorial_Gerado

1/3

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

Faculdade de Matemática – Departamento de MatemáticaDisciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Professor Paulo Winterle

SUBESPAÇO VETORIAL GERADO

Sejam nvvv ,...,, 21 vetores de um espaço vetorial V. Então, o conjunto S de todas as CL de nvvv ,...,, 21 é um subespaçovetorial de V.

Demonstração – Vamos mostrar que S é fechado em relação às operações adição e multiplicação por escalar.

Se nnvavavau +++= ...2211

e nnvbvbvbv +++= ...2211

são vetores quaisquer se S, então( ) ( ) ( ) nnn vbavbavbavu ++++++=+ ...222111

( ) ( ) ( ) nn vavavau α α α α +++= ...2211 para todo α real.

Como vu + e uα são CL de nvvv ,...,, 21 , eles são vetores de S e, portanto, S é subespaço de V.

O subespaço S é denominado subespaço gerado pelos vetores nvvv ,...,, 21 ou gerado pelo conjunto { }nvvv A ,...,, 21= eindicado por

[ ] [ ] ( ) AG AvvvS n === ,...,, 21

O conjunto A, por sua vez, é chamado conjunto gerador de S.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1O subespaço do 2 R gerado por ( )0,11 =e e ( )1,02 =e é

[ ]21 , ee = ( ) ( ){ } Raaaa ∈+ 2121 ,;1,00,1 = ( ) ( ){ } Raaaa ∈+ 2121 ,;,00, = ( ){ } Raaaa ∈2121 ,;, = 2 R

Exemplo 2O subespaço do 3 R gerado por ( )1,1,21 −=v e ( )3,2,12 =v é

[ ]21 ,vv ={ } Raavava ∈+ 212211 ,/

Ora, se ( ) [ ]21 ,,, vv z y x ∈ , então existem Raa ∈21 , tal que ( ) 2211,, vava z y x += , equivale dizer que o sistema

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

z

y

x

3

2

1

1

1

2 ou

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−+

x z

x y

x

2

2

5

5

1

0

0

2

tem solução. Porém, isto só ocorre se x z x y −=+ 22

ou y x z +=


2/3


2

Portanto, só vetores do tipo ( ) y x y x +,, são CL de 1v e 2v , como por exemplo,(2, 3, 5), (5, -4, 1), (0, 0, 0), etc., onde em todos se tem y x z += .Logo,

[ ] ( ){ } R y x y x y xvv ∈+= ,;,,, 21

Graficamente este conjunto representa um plano que passa pela origem, conforme sugere a figura.

VETORES SUPÉRFLUOS

No intuito de simplificar a demonstração a seguir, trataremos de apenas três vetores. A generalização para n vetores é trivial.

Sejam 1v 2v e 3v vetores de um vetorial V . Se [ ]213 ,vvv ∈ , isto é, 22113v vava += , então [ ] [ ]32121 ,,, vvvvv = .

De fato, todo vetor de [ ]21 ,vv pertence a [ ]321 ,, vvv pois um vetor que é CL de 1v e 2v também o é de 1v 2v e 3v :322112211 .0 vvavavava ++=+

Por outro lado, seja X um vetor qualquer de [ ]321 ,, vvv , digamos 332211 vbvbvb X ++= .Como 22113v vava += , vem

( )221132211 vavabvbvb X +++= ou

( ) ( ) 23221311 vbabvbab X +++= e X é CL de 1v e 2v , isto é, [ ]21 ,vv X ∈ .

Em outras palavras: “todo vetor X que é CL de 1v 2v e 3v também o será de 1v e 2v desde que o 3º vetor 3v seja CL

destes dois”. Neste caso, pela natureza do 3v (ser CL de 1v e 2v ), fica claro ser ele um vetor supérfluo no sentido de que oseu acréscimo (ou sua presença) não altera o subespaço gerado.Com base nesta propriedade, apresentamos um exemplo.

Exemplo 3No exemplo 2 mostramos que o subespaço do 3 R gerado por ( )1,1,21 −=v e ( )3,2,12 =v é

[ ] ( ){ } R y x y x y xvv ∈+= ,;,,, 21 (plano pela origem)


3/3


3

Vamos acrescentar o vetor )9,1,8(23 213 =+= vvv e mostrar que [ ] [ ]21321 ,,, vvvvv =

De fato, se ( ) [ ]321 ,,,, vvv z y x ∈ , então ( ) 332211,, vavava z y x ++= e daí o sistema

⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

z

y x

9

18

3

21

1

12

ou⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−+

x z

x y x

2

2

10

108

5

51

0

02

que somente será possível caso tenhamos y x z += (mesma conclusão do Exemplo 2).Portanto [ ] [ ]21321 ,,, vvvvv =

Observação: O exemplo 2 mostrou que no 3 R , um plano pela origem é gerado por 2 vetores não paralelos, e o exemplo 3está dizendo que o mesmo plano pode também ser gerado por 3 vetores desde que o vetor 3v acrescentado seja CL de 1v e

2v , isto é, que 3v seja do mesmo plano de 1v e 2v . E, prosseguindo nesta linha de raciocínio, concluiríamos que estemesmo plano poderá ainda ser gerado por 4, 5,... vetores desde que todos sejam do plano de 1v e 2v . Com isso estamosafirmando:“Um plano no 3 R pode ser gerado por 2, 3, 4, 5,... vetores todos coplanares, porém, o número mínimo de vetores a gerarem oplano é 2, e, portanto, os demais são vetores supérfluos no conjunto gerador.”Esta mesma idéia estende-se a todo o subespaço gerado. Todavia, em nosso estudo, estaremos sempre interessados nomenor conjunto gerador de um subespaço.

Exemplo 4Os vetores ( )0,0,11 =v , ( )0,1,12 =v e ( )1,1,13 =v geram o 3 R pois para ( ) 3,, R z y x ∈∀ , o sistema

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

z

y x

1

11

0

11

0

01

sempre é possível, isto é, sempre Raaa ∈∃ 321 ,, , tal que ( ) 332211,, vavava z y x ++= .Portanto,

[ ] 3321 ,, Rvvv = Observemos que estes 3 vetores são não coplanares.Se a estes 3 acrescentarmos ,..., 54 vv , o sistema continua possível (porém, indeterminado) e, portanto,

[ ] [ ] [ ] 3514321321 ...,...,,,,,, Rvvvvvvvvv ==== Quer dizer, o 3 R pode ser gerado por 3, 4, 5, .... vetores, porém, o número mínimo de vetores que o geram é 3, sendo osdemais supérfluos.

Exemplo 5E qual o subespaço gerado por um só vetor 0≠v ?

Será o conjunto se seus múltiplos escalares, isto é, [ ] { } Rvv ∈= α α / .

Por exemplo, se 3 RV = e ( )3,2,1=v , tem-se [ ] ( ){ } Rv ∈= α α /3,2,1 que representa uma reta pela origem.

E se tivéssemos 2, 3, ... vetores todos paralelos a v , isto é, múltiplos de v , com raciocínio idêntico aos exemplos anteriores,todos geram a mesma reta.

subespaco_vetorial_gerado

Documents