subespaços vetoriais material para aula
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Subespaos Vetoriais
Seja V um espao vetorial e S um subconjunto, que fechado para as operaes de adio e
multiplicao por escalar em V, isto , se u e v S e a R, ento u + v S e av S, ento S
um subespao de V. Em particular, S um EV.
Propriedades:
1) O vetor nulo de V est em S.
2) Se u S e v S ento u + v S
3) Se u S e R ento S
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Exemplo 2:
Exemplo 3:
Seja S = {(x,y,z) R3/ x + y + z = 0}, S um subespao de R3?
Exerccios:
1. Verificar se W = {(x,y,z)/ y = ax e z = bx} um subespao de R3.
2. Considere os espaos vetoriais reais R2 e R3, verifique se os seguintes conjuntos so
subespaos vetoriais dos espaos vetoriais, onde esto definidos:
a) F = { (x,y) R2/ x= 2y}
b) G = {(a,b,c) R3/ b + c = 1}
c) M = {(x1, x2,x3) R3/ x1 = x2
2}
3. Sejam M(2,2) =
; , , , e S = 0 0
; , . Verifique se S um
subespao vetorial de M(2,2).
4. Verifique se o conjunto-soluo de um sistema linear homogneo a trs variveis
um subespao vetorial de M(3,1). Considerando o sistema homogneo:
3 + 4 2 = 0
2 + = 0 + 3 = 0
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Interseo de dois Subespaos Vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespaos vetoriais de V. A interseo S de S1 e S2, que se
representa por S = S1 S2, o conjunto de todos os vetores v V tais que v S1 e v S2.
Teorema
A interseo S de dois subespaos vetoriais S1 e S2 de V um subespao vetorial de V. De fato:
I) Se u, v S1, ento u + v S1
Se u, v S2, ento u + v S2. Logo:
u + v S = S1 S2 II) Para qualquer R:
Se v S1, ento v S1;
Se v S2, ento v S2. Logo:
v S = S1 S2
Exemplo:
2. Seja o espao vetorial R3 = {(a,b,c); a,b ,c R} e os subespaos
S 1 = { (a, b, c). a, b,c, R} e S2 = {(0,0,c} , c R}. A interseo S1 S2 o
subespao vetorial S = {(0,0,0)} = {0}
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Soma de dois subespaos vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespaos vetoriais de V. A soma S de S1 e S2, que se representa por
S = S1 +S2, o conjunto de todos os vetores u + v de V tais que u S1 e v S2.
Teorema
A soma S de dois subespaos vetoriais S1 e S2 de V um subespao vetorial de V.
De fato:
I) Se u1, u2 S1, ento u1 + u2 S1.
Se v1, v2 S2, ento v1 + v2 S2.
Por outro lado:
u1 + v1 S
u2 +v2 S
logo:
(u1 + v1) +(u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) S1 + S2 = S
II) Para qualquer R;
Se u1 S1, ento u1 S1.
Se v1 S2, ento v1 S2.
Por outro lado:
u1 + v1 S
logo:
(u1 + v1) = u1 + v1 S1 + S2 = S
Exemplo:
Sejam os subespaos vetoriais S1 = {(a,b,0); a,b R} e S2 = {(0,0,c); c R} do espao vetorial
R3 = {(a,b,c); a,b,c R}.
A soma S1 + S2 o subespao vetorial S = {(a,b,c); a,b,c R}, que no caso, o prprio R3.
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Soma Direta de dois Subespaos Vetoriais
Isto , se o nico vetor comum a ambos os subespaos S1 e S2 for o vetor nulo.
Os smbolos so utilizados para indicar que a adio e a multiplicao por
escalar no so as usuais.
Exerccios:
2. Se um sistema linear no for homogneo, o que acontece com seu conjunto soluo?
Considere o exemplo:
A = 2 + 4 + = 1 + + 2 = 1 + 3 = 0
Provar que a soma de dois vetores soluo nem sempre um vetor- soluo, e assim o
conjunto soluo no um subespao vetorial.