sub grup
DESCRIPTION
SUB GRUP. Definisi. Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup. Lemma 2.4.1. Suatu sub himpunan tak kosong H dari grup G adalah sub grup dari G jika dan hanya jika Jika a, b H maka ab H - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
SUB GRUP
Definisi.
Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup.
LEMMA 2.4.1
Suatu sub himpunan tak kosong H dari grup G adalah sub grup dari G jika dan hanya jika
1.Jika a, b H maka ab H2.Jika a H maka H1a
LEMMA 2.4.2
Jika H adalah sub himpunan tak kosong hingga dari grup G dan H tertutup terhadap operasi perkalian, maka H adalah Sub Grup dari G.
CONTOH1. Misalkan G grup bilangan bulat
dengan operasi penjumlahan, H sub himpunan yang terdiri dari kelipatan 5. Tunjukan bahwa H sub grup dari G.
2. Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. H(n) sub himpunan dari G yang terdiri kelipatan n. H(n) sub grup untuk setiap n. Apa yang dapat dikatakan dengan H(n)H(m)?
CONTOH3. Misalkan S sembarang himpunan, A(S)
himpunan dari pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada dari S pada S. Jika x0 S, misalkan H(x0)={A(S): (x0)=x0}. H(x0) adalah sub grup dari A(S). Jika x1 x0 S kita definisikan dengan cara yang sama H(x1), H(x0) H(x1) sub grup dari A(S)
4. Misalkan G grup, aG. Misalkan (a)={ai:i bilangan bulat}. (a) adalah sub grup dari G
5. Misalkan G grup bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian, dan misalkan H sub himpunan dari bilangan rasional positif. Maka H sub grup dari G
CONTOH6. Misalkan G grup dari matriks bilangan
real 2x2, dengan ad-bc 0 dibawah operasi perkalian matriks. Misalkan maka H adalah sub grup dari G.
7. Misalkan H Grup seperti pada contoh 6, dan
maka K sub grup dari H.8. Misalkan G grup dari semua bilangan
kompleks tak nol a+bi (a,b bilangan real tidak keduanya nol) dibawah operasi perkalian, dan misalkan H={a+biG:a2 + b2 =1}. Tunjukan bahwa H sub grup dari G
d
b
c
a
0:
d 0
b adG
aH
1 0
b 1K
DEFINISI
Misalkan G grup, H sub grup dari G; untuk a,bG kita katakan a kongruen b mod H, ditulis ab mod H jika ab-1H
LEMMA
Relasi ab mod H adalah relasi ekivalen
DEFINISI
Jika H adalah sub grup dari G, aG, maka Ha={ha:hH}. Ha disebut koset kanan dari H dalam G.
LEMMA1. Untuk setiap aG, Ha={xG:ax
mod H}. 2. Terdapat korespondensi satu-
satu diantara dua koset kanan dari H dalam G.
3. Jika G adalah Grup Hingga dan H sub grup dari G, maka (H) adalah membagi (G).
DEFINISI1. Jika H adalah sub grup dari G,
maka index dari H dalam G adalah banyak koset kanan yang berbeda dari H dalam G. (notasi iG(H))
2. Jika G grup dan aG, maka order (atau periode) dari a adalah bilangan positif terkecil m sedemikian sehingga am=e.
AKIBAT1. Jika G adalah grup hingga dan aG, maka
(a)(G).2. Jika G adalah grup hingga dan aG, maka
a(G)=e3. Jika n bilangan bulat positif dan a adalah
relatif prim ke n, maka a(n) 1 mod n4. Jika p bilangan prima dan a sembarang
bilangan bulat, maka ap a mod p.5. Jika G grup hingga yang mempunyai
orde suatu bilangan prima, maka G adalah grup siklis.
A COUNTING PRINCIPLE1. Misalakan H, K subgrup dari G. HK adalah
subgrup dari G jika dan hanya jika HK=KH2. Jika H, K adalah subgrup dari grup
komutatif, maka HK adalah subgrup dari G.
3. Jika H dan K subgrup hingga dari G dengan orde (H) dan (K) masing-masing, maka
4. Jika H dan K adalah subgrup dari G dan (H)> , (K)> , maka
KH
KHHK
G G eKH
SUBGRUP NORMAL DAN GRUP HASIL BAGI
DEFINISISubgrup N dari G dikatakan subgrup
normal dari G jika untuk setiap gG dan nN, gng-1N
LEMMA1. N adalah sub grup normal dari G jika dan
hanya jika gNg-1=N untuk setiap gG.2. Subgrup N dari G adalah subgrup
normal dari G jika dan hanya jika setiap koset kiri dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G.
3. Suatu subgrup N dari G adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika perkalian dari dua koset kanan dari N dalam G adalah juga koset kanan dari N dalam G
TEOREMA
Jika G adalah grup, N subgrup normal dari G, Maka G/N adalah juga grup. Grup seperti ini disebut grup hasil bagi atau grup faktor
LEMMA
Jika G adalah grup hingga dan N adalah subgrup Normal dari G, maka (G/N)=(G)/(N).