Styrkelære - Formelsamling41501 Styrkelære 1

af

Simon Klint Bergh (s113393)

Danmarks Tekniske Universitetmaj. 2012

1 Symbolbeskrivelser

(som brugt i Styrkelære: Statik og bjælketeori og i denne formelsamling)

• I Fladeinertimomentet

• E Elasticitetsmodulet

• N Normalkraft

• M Moment

• MV Vridningsmoment

• T Tværkraft

• A Tværsnitsarealet

• W Bøjningsmodstanden (Modstandsmomentet)

• u Udbøjning

• q Fordelt last

• Q Kraft i punkt

• P Den aksiale kompressionskraft (buling afsnit 10)

• Pk Kritisk værdi for den aksiale kompressionskraft.

• γ tværtøjningsvinkel

• GK Vridningsstivheden (afsnit 11.4)

• K Vridningsstivhedens tværsnintsfaktor (afsnit 11.4)

• WV Vridnigsmodstanden (afsnit 11.4)

• γ Tværtøjning (vinkel) ved vridning

• β, ξ, α Dimensionsfri parametre i elementartilfælde

• τ Tøjning ell. tværspænding

• σ Normalspænding

• ε Tøjning - relativ forlængelse

• η Længdemal ved integration

• κ Krumning af bjælkeaksen (=1ρ)

• λ Slankhedstallet ell. egenværdier ved beregning pa søjler

• ν Tværkontraksionstallet eller Poisson’s forhold

• ρ Bjælkens krumningsradius (= 1κ)

1

2 Statikkens hovedsætning

For konstruktioner og delkonstruktioner i hvile, gælder det, at den resulterende kraft/momenti et punkt er nul.

R = 0 , Mo = 0 (2.1)

3 Fortegnskoncentioner

3.1 i planet

3.2 i rummet

4 Fordelt ydre belastning

5 Den numerisk maksimale spænding

|σ|max =|M | · |y|max

I=|M |W

, for N = 0 (5.2)

W er bøjningsmodstanden, eller modstandsmomentet.

W =I

|y|max(5.3)

6 Fladeinertimomenter

6.1 Rektangulært tværsnit

• A = bh

2

• I = 112Ah2

• W = 16Ah

6.2 Cirkulært tværsnit

(radius a)

• A = πa2

• I = 14Aa2

• W = 14Aa

6.3 I-profil (tyndfliget)

• Giver sig selv! regn pa det! :) Se side 33 i bogen.

6.4 T-profil

• Side 34

7 Den elastiske linjes ligning (s.35)

(udbøjning)

•d2u

dx2=M

EI(7.4)

For kendt M. 2 Randbetingelser.

•d2

dx2

(EI

d2u

dx2

)= (EIu′′)′′ = q = M ′′ (7.5)

Den elastiske linjes ligning 4 Randbetingelser.

3

8 Superpositionsprincippet

Summation af løsninger (fundet fx. ved elementartilfælde), er tilladt. Se pa krafternealene hver for sig. Brug elementartilfælde (s. 116-117. se afsnit 12)

9 Kompositbjælker (s.59-)

En kompositbjælke har varierende elasticitetsmodul hen over tværsnittet (i (y,z)+planen).Her bruges

H1 =

∫A

EdA , H2 =

∫A

−EydA , H3 =

∫A

Ey2dA (9.6)

til at bestemme tyngdepunktsbeliggenhed (e), i forhold til indlagt koordinatsystem,og et gennemsnitselasticitetsmodul (H∗3 ).

e = −H2

H1

(9.7)

H∗3 findes som

H∗1 = H1 , H∗2 = H2 + eH1 , H∗3 = H3 − e2H1 (9.8)

Hvor H∗3 bruges som bøjningsstivheden af kompositbjælken (Svarende til EI). Altsakan udbøjningen af kompositbjælken regnes vedUdbøjning:

d2

dx2

(H∗3

d2u

dx2

)= (H∗3u

′′)′′ = q (9.9)

4

10 Søjler - Buling / Eulers søjletilfælde (s.64-)

P er her den aksiale kompressionskraft

d2

dx2

(EI

d2u

dx2

)= −P d

2u

dx2(10.10)

Pk er den kritiske værdi for P. Denne findes ved Eulers søjletilfælde:

11 Vridning (s. 79-)

Tværspændinger τ samt tværtøjninger γ bliver nu indført. I det lineært elastiskeomrade er disse propertionale med tværmodulet G.

τ = Gγ (11.11)

hvor

G =E

2(1 + v)(11.12)

hvor v er materialets kontraksionstal (v ≈ 0, 3 for stal, kobber- og alluminiumslege-ringer).

5

11.1 Tyndvægget cylindrisk rør

Figur 11.1: Tyndvægget cylindrisk rør

aΘ = lγ (11.13)

τ =MV

2πa2t(11.14)

begge hvor a er rørvæggens tykkelse.

τ = Gγ = Gaθ

l(11.15)

θ

l=

MV

2Gπa3t(11.16)

’

11.2 Massiv cirkulær cylin-drisk stang

τr er intensiteten af tværspændingerne vin-kelret pa radien.

Figur 11.2: Massiv cirkulær cylindrisk stang

aΘ = lγr (11.17)

MV =

∫ a

0

τr2πr2dr (11.18)

τr = Gγr = Gθ

lr (11.19)

MV = Gθ

lπa4

2(11.20)

τr =2MV

πa4r (11.21)

11.3 Tykvægget rør

a er yderradius og b er inderradius

MV = Gθ

l

π

2(a4 − b4) (11.22)

τr =2MV

π(a4 − b4)r (11.23)

6

11.4 Vridningsstivhed

Vridningsstivheden betegnesGK, hvorKer vridningsstivhedens tværsnintsfaktor.

θ

l=MV

GK(11.24)

|τ |max =|MV |WV

(11.25)

hvor WV er vridningsmodstanden se ta-bel fra bogen for værdier.

7

12 Elementartilfælde

Figur 12.3: Fast indspændt i A

8

Figur 12.4: Simpelt understøttet i A

9