Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi In pratica

Classificazione Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera / fratta Funzione trascendente: logaritmica / esponenziale / goniometrica (elementare

/inversa) Funzione composta da una combinazione delle precedenti: specificare

Campo di Esistenza

Individua gli intervalli in cui la funzione assume valori reali; ovvero determina l'insieme dei punti xi in cui la funzione non è definita ed escludili. La classificazione può aiutarti: se è una funzione razionale intera il suo C.E. è costituito da tutto l'asse reale se la funzione è una razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da

zero. I punti che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo C.E., per tali punti xi la funzione non esiste; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva

se la funzione è irrazionale, guarda l'indice del radicale: » se è pari imponi che il radicando sia non negativo poiché la funzione è a va-lori reali, » se è dispari, non ci sono imposizioni

se la funzione è logaritmica imponi che l'argomento del logaritmo sia stretta-mente positivo

se la funzione è esponenziale non ci sono imposizioni se la funzione è goniometrica imponi che gli argomenti della funzione tangente

( o cotangente) siano diversi da multipli dispari di angoli retti ( o multipli interi di angoli 0 e ); per le funzioni seno e coseno non ci sono imposizioni

se la funzione è goniometrica inversa: per le funzioni arcsen e arccos imponi che gli argomenti siano compresi fra -1 e +1, per le funzioni arctg e arccotg non ci sono imposizioni

se la funzione è composta da funzioni di tipo diverso tutte le imposizioni do-vranno essere verificate contemporaneamente, ovvero le condizioni dovranno essere legate e condotte algebricamente come un sistema di equazioni.

Scrivi il C.E. come UNIONE dei diversi intervalli in cui la funzione assume valori reali. Segna graficamente gli intervalli(ombreggiandoli) o i punti(con linee continue) in cui la funzione non esiste.

Particolari Simme-trie

Stabilisci se la funzione presenta particolari simmetrie, calcolando f(-x): se f(-x)=f(x), la funzione è pari, cioè simmetrica rispetto all’asse y se f(-x)=-f(x), la funzione è dispari, cioè simmetrica rispetto all’origine degli

assi Nel caso in cui la funzione sia simmetrica, si può restringere lo studio della fun-zione ai soli valori positivi e dunque costruire il grafico nel solo semipiano x≥0; per ottenere il grafico completo basterà simmetrizzare la curva ottenuta rispetto all'asse y o all'origine.

Periodicità

Trova il minimo valore positivo di T per cui risulti f(x+T)=f(x) Le più importanti hanno i seguenti periodi: sinx, cosx, secx, cosecx: 2π tanx, cotanx: π In generale non si possono stabilire regole per determinare il periodo delle funzio-ni. Ci si può solo attenere alle indicazioni che seguono. Se una funzione f(x) è periodica di periodo T, allora la funzione f(kx), con k re-

ale diverso da zero, è periodica di periodo T/|k|. Se si hanno due funzioni periodiche con diverso periodo T1 e T2 e se esistono

multipli interi comuni dei due periodi, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.

Se si hanno due funzioni periodiche con lo stesso periodo T, allora le funzioni somma, prodotto, quoziente, hanno periodo minore o uguale al periodo comu-ne T.

Il grafico di una funzione periodica si può tracciare per ripetizione del grafico ot-tenuto restringendo il dominio ad un qualunque intervallo di ampiezza T

Intersezione con l’asse y

Ricerca l'eventuale intersezione con l'asse y Poni, se possibile, a sistema l'equazione della funzione con l'equazione dell'asse delle ordinate:

0)(

xxfy

ovvero calcola f(0). Rappresenta l’eventuale punto A(0;f(0))

Intersezione con l’asse x

Ricerca le eventuali intersezioni con l'asse x Poni a sistema l'equazione della funzione con l'equazione dell'asse delle ascisse:

0)(

yxfy

ovvero calcola le soluzioni dell’equazione f(x)=0. Se non è possibile determinare algebricamente gli zeri della funzione f(x), radici dell’equazione f(x)=0, si può utilizzare un metodo numerico che conduca a valori approssimati delle soluzioni cercate (vedi nota). Rappresenta gli eventuali punti.

Giacitura

Studia il segno della funzione. Risolvi la disequazione f(x)≥ 0 nel C.E. della funzione Scrivi gli intervalli in cui la funzione è positiva (I.P.) e quelli in cui è negativa

(I.N.) Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra

l'asse delle ascisse. Negli intervalli in cui la funzione risulta negativa, la curva sarà situata sotto

l'asse delle ascisse. Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.

Continuità Studia la continuità della funzione Generalmente internamente agli intervalli in cui è definita una funzione som-

ma/differenza/prodotto/quoziente/composizione di funzioni continue è conti-nua

Considera i valori xi estremi (inclusi ed esclusi) del C.E. Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti xi Classifica, in base ai risultati, le eventuali discontinuità della funzione e riporta con un segno grafico il comportamento della curva nell'intorno di tali punti.

Asintoti Verticali

Ricerca gli eventuali asintoti verticali Considera i valori xi estremi (stavolta solo gli esclusi) del C.E. Calcola i limiti, sinistro e destro, della funzione nell'intorno dei punti xi Se tali limiti sono infiniti, le rette x=xi sono asintoti verticali (dx, sx, sup, inf) Rappresenta le rette e riporta i risultati sul grafico

Asintoti Orizzontali

Ricerca gli eventuali asintoti orizzontali Calcola i limiti per x tendente a della funzione Se tali limiti sono finiti e uguali a l, le rette y=l sono asintoti orizzontali (dx,

sx, sup, inf) Se tali limiti sono infiniti ricerca gli asintoti obliqui Rappresenta le rette e riporta i risultati sul grafico

Asintoti Obliqui

Ricerca gli eventuali asintoti obliqui

Calcola il limite per x tendente a di xxf )(

Se tale valore è finito fornisce l’eventuale coefficiente angolare m dell’asintoto Calcola il limite per x tendente a di [f(x) – mx] Se tale valore è finito fornisce il valore del termine noto q In questo caso y = mx + q è l’equazione dell’asintoto dx Ripetere tutto per l’asintoto sx, con i limiti per x tendente a Rappresenta le rette e riporta i risultati sul grafico

Altre intersezioni Se necessario, determina le eventuali intersezioni con Asintoti orizzontali e/o obliqui Riporta i risultati sul grafico

Derivata Prima Calcola y’ = f’(x)= ………

Derivabilità Determina il C.E. della derivata prima Se questo coincide con quello della f(x), allora essa è derivabile nel suo C.E. Se x0 è un punto appartenente al C.E. della f(x), ma non a quello della f ’(x), la

funzione non è derivabile in x0: o Calcola i limiti sinistro e destro della f ’(x) (oppure quelli dei corrispon-

denti rapporti incrementali): Se almeno uno è finito oppure sono entrambi finiti e distinti, allora

avrai un punto angoloso Se il sinistro tende a +∞ e il destro a - ∞ ( o viceversa), allora avrai

una cuspide verso l’alto (o verso il basso) Se entrambi tendono a +∞ (oppure a - ∞), allora avrai un flesso a

tangente verticale o Calcola le ordinate corrispondenti sostituendo le x0 in y = f(x) o Determina le equazioni delle tangenti nei punti trovati

Rappresenta i punti trovati e le rispettive tangenti

Punti Stazionari Determina gli eventuali punti stazionari Imponi f ’(x) = 0 Risolvi l’equazione nel C.E. della funzione Se non è possibile determinare algebricamente gli zeri della funzione f ’(x),

radici dell’equazione f ’(x)=0, si può utilizzare un metodo numerico che con-duca a valori approssimati delle soluzioni cercate (vedi nota).

Monotònia

Determina gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce Risolvi la disequazione f ’(x) ≥ 0 nel C.E. della funzione Rappresenta (nel C.E. della funzione) gli intervalli in cui la derivata prima è

positiva e quelli in cui è negativa Negli intervalli in cui la derivata risulta positiva, la funzione sarà crescente Negli intervalli in cui la derivata risulta negativa, la funzione sarà decrescente

Max e Min Relativi

Determina gli eventuali punti di max e/o min relativo Essi vanno cercati fra i punti stazionari, quelli angolosi e le cuspidi Ricorda che per essere un max (o min) relativo la funzione deve essere cre-

scente a sx e decrescente a dx (o viceversa) Calcola le ordinate corrispondenti sostituendo in y = f(x) Rappresenta i punti trovati

Metodo delle deri-vate successive (1)

Se f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in x0 e risulta f ’(x0)= f ’’(x0)= f ’’’(x0)=…… f n-1(x0)=0 e f n(x0)≠0, allora: Se n è pari e f n(x0)>0, x0 è un punto di minimo relativo Se n è pari e f n(x0)<0, x0 è un punto di massimo relativo

Max e Min Assoluti Determina gli eventuali punti di max e/o min assoluti Essi vanno cercati fra i max (min) relativi e i valori assunti dalla funzione agli

estremi del C.E. Confronta le ordinate I valori delle ordinate max (min) corrispondono ai punti di max (min) assoluto Rappresenta i punti trovati

Derivata Seconda Calcola y’’ = f ’’(x)= ………

Concavità e Convessità

Determina gli intervalli in cui la curva è concava o convessa Imponi f ’’(x) = 0 Risolvi l’equazione nel C.E. della funzione, trovando le ascisse degli eventuali

punti di flesso Se non è possibile determinare algebricamente gli zeri della funzione f ’’(x),

radici dell’equazione f ’’(x)=0, si può utilizzare un metodo numerico che con-duca a valori approssimati delle soluzioni cercate (vedi nota).

Risolvi la disequazione f ’’(x) ≥ 0 nel C.E. della funzione Rappresenta (nel C.E. della funzione) gli intervalli in cui la derivata seconda è

positiva e quelli in cui è negativa Negli intervalli in cui la derivata risulta positiva, la funzione rivolgerà la con-

cavità verso l’alto Negli intervalli in cui la derivata risulta negativa, la funzione rivolgerà la con-

cavità verso il basso

Punti di Flesso

Determina gli eventuali punti di flesso I punti xF in cui si annulla la derivata seconda, corrispondenti ad un cambio di

concavità/convessità della curva sono punti di flesso Classifica i flessi ( a tg orizzontale/obliqua, ascendente/discendente) Sostituisci in y = f(x) e ricava le ordinate yF Rappresenta i punti trovati

Metodo delle deri-vate successive (2)

Se f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in x0 e risulta f ’(x0)= f ’’(x0)= f ’’’(x0)=…… f n-1(x0)=0 e f n(x0)≠0, allora: Se n è dispari e f n(x0)>0, x0 è un punto di flesso orizzontale ascendente Se n è dispari e f n(x0)<0, x0 è un punto di flesso orizzontale discendente

Metodo delle deri-vate successive (3)

Se f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in x0 e risulta f ’(x0)≠0, f ’’(x0)= f ’’’(x0)=…… f n-1(x0)=0 e f n(x0)≠0, allora: Se n è dispari e f n(x0)>0, x0 è un punto di flesso obliquo ascendente Se n è dispari e f n(x0)<0, x0 è un punto di flesso obliquo discendente Se n è pari e f n(x0)>0, in x0 f(x) rivolge la concavità verso l’alto Se n è pari e f n(x0)<0, in x0 f(x) rivolge la concavità verso il basso

Tangenti inflessio-nali

Determina le tangenti inflessionali Sostituisci le ascisse dei punti di flesso in y ’ = f ’(x) e ricava i coefficienti an-

golari delle tg inflessionali Determina le equazioni delle tg inflessionali con y-yF=f ’(xF) (x-xF)

Grafico Rappresenta graficamente la funzione Usa le matite colorate Assegna sempre un nome a punti e/o rette significative Controlla che il grafico sia coerente con le informazioni analitiche trovate

Altre simmetrie Se devi dimostrare che f(x) è simmetrica rispetto ad un punto C(α;β) Verifica che f(2α-x)+f(x)=2β Spesso i centri di simmetria sono anche flessi Se devi dimostrare che f(x) è simmetrica rispetto ad una retta x=h Verifica che f(2h-x)=f(x) Spesso gli assi di simmetria sono asintoti verticali o rette verticali passanti per e-stremi relativi

Nota

Soluzione approssimata di un’equazione

Se non è possibile determinare algebricamente gli zeri di una funzione f (x), radici dell’equazione f(x)=0, si può utilizzare un metodo numerico che conduca a valori approssimati delle soluzioni cercate. La ricerca delle soluzioni avviene in tre fasi: Fase 1 isola la radice:

Riscrivi l’equazione f(x)=0 come uguaglianza di altre due funzioni g(x)=h(x), almeno una di esse nota, per cui la ricerca è ricondotta alla

risoluzione del sistema

)()(

xhyxgy

Rappresenta graficamente le funzioni g(x) e h(x) Determina approssimativamente gli intervalli [a;b] in cui cadono le

soluzioni da trovare

Fase 2 ricerca gli intervalli in cui compare una e una sola radice: Dimostra che esiste almeno una radice, ovvero che f(x) è continua in

[a;b] e che f(a)f(b)<0 Dimostra che essa è unica, ovvero che f ’(x)≠0 in [a;b], oppure f ’’(x)

di segno costante in [a;b]

Fase 3 determina la soluzione approssimata (metodo di bisezione): Posto a0=a e b0=b, calcola x0=(a0+b0)/2 e f(x0)

Se f(x0) = 0 allora x0 è lo zero cercato Se f(a0) f(x0)>0 si pone a1=x0 e b1=b0 Se f(a0) f(x0)<0 si pone a1=a0 e b1=x0 Si ripete il procedimento all’intervallo [a1;b1] …e così via

Risulta utile avvalersi del seguente schema:

n an bn f(an) f(bn) xn f(xn) nn ab 0 1 2 …

Il procedimento si arresta quando:

nn ab <, con indicato dal testo o scelto a piacere, oppure

)( nxf 0, oppure entrambe le condizioni