stteereoomme ettrriie...do kužele, jehož strana svírá s rovinou podstavy úhel 60 , je vepsaná...
TRANSCRIPT
1/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
SSTTEERREEOOMMEETTRRIIEE
Základní pojmy:
Objemy a povrchy těles
Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin
Opakování:
Obsahy a obvody rovinných útvarů
Stereometrie - geometrie v prostoru
- zabývá se vzájemnou polohou přímek, rovin, jejich zobrazením a
objemy a povrchy prostorových útvarů
1. Opakování – obsahy rovinných útvarů
Vypočtěte obsah vyšrafované plochy:
Výsledky:
242,8 cm2; 449,5 cm
2; 9,3 cm
2; 3,7 cm
2; 25,5 cm
2
1 2 3
4 5
Stereometrie 2/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
2. Objemy a povrchy těles
Krychle: Kvádr: Hranoly:
S = S = S =
V = V = V=
Tělesová úhlopříčka Tělesová úhlopříčka
Jehlan:
S =
V =
Válec: Kužel:
S =
V =
Příklad:
1. Vypočtěte objem těchto těles:
Stereometrie 3/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
2. Je dána krychle o hraně a. Jak velká musí být hrana krychle, jejíž povrch (objem)
má být 2x větší, než povrch (objem) původní krychle?
3. Kolik pytlů cementu se spotřebuje na vybetonování sloupu 3,5 m vysokého, který
má průřez pravidelného 6-úhelníku o délce hrany 18 cm? Poměr mísení je 350 kg
cementu na 1 m3 betonu.
4. Ze železné tyče ve tvaru hranolu o rozměrech 5,6 cm, 4,8 cm a 7,2 cm je třeba
vyrobit co největší rotační kužel. Vypočtěte jeho objem a procento odpadu.
5. Kolik m2 pozinkovaného plechu se spotřebuje na pokrytí střechy věže, která má tvar
pravidelného 4-bokého jehlanu? Hrana podstavy je 6 m, výška věže 9 m. Při
pokrývání se počítá s 5 % odpadem plechu.
6. Kolik metrů měděného drátu o průměru 3 mm se vyrobí ze 60 kg měděného šrotu,
je-li hustota mědi 900 kg.m-3
?
7. Vypočtěte povrch rotačního kužele, je-li obvod podstavy 9,42 m a výška 2 m.
3. Objemy a povrchy komolých těles, koule a jejích částí
Komolý kužel: Komolý jehlan: Koule:
S = S = S =
V = V = V =
Kulová výseč: Kulová úseč: Kulový vrstva:
V= V = V =
Kulový vrchlík: Kulový pás:
S = S =
Stereometrie 4/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
Příklad:
1. Vědro na vodu je z plechu a má tvar komolého kužele. Průměr dna je 24 cm, horní
okraje 32 cm a délka strany je 30 cm. Kolik l vody se vejde do vědra? Jakou
hmotnost má prázdné vědro, když 1 m2 plechu má hmotnost 10,5 kg?
2. Vypočtěte objem pravidelného 6-bokého komolého jehlanu, je-li délka hrany dolní
podstavy 30 cm, horní podstavy 12 cm a délka boční hrany je 41 cm.
3. Povrch koule je 1 km2. Vypočtěte objem.
4. Vypočtěte objem kulové vrstvy 18 cm vysoké, je-li průměr dolní podstavy 80 cm,
horní podstavy 60 cm.
5. Vypočti objem a povrch koule, jsou-li dány poloměry 2 rovnoběžných řezů r1 = 7
cm, r2 = 5 cm a jejich vzdálenost v = 2 cm.
6. Čtyři pingpongové míčky jsou uloženy ve válcovém pouzdře tak, že se navzájem
dotýkají a dotýkají se i stěn pouzdra. Poměr objemů všech míčků a objemu pouzdra
je A)1 : 4 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D) 3 : 4 E) 3 : 5
7. Ze tří kovových koulí s poloměry r1 = 3 cm, r2 = 4 cm, r3 = 5 cm byla zhotovena
jediná koule. Její poloměr je (zaokrouhlen na desetiny) A) 5,5 cm B) 6 cm
C) 6,5 cm D) 7 cm E) 7,5 cm
8. Z kmene stromu tvaru rotačního komolého kužele s danými průměry podstav 90 cm
a 60 cm a výškou 2,5 m byl zhotoven hranol s maximálním čtvercovým průměrem.
Dřevěný odpad byl pak přibližně A) 40% B) 50% C) 60% D) 65% E) 70%
9. Kouli o poloměru r je jedna krychle opsána, druhá vepsána. Rozdíl povrchů těchto
krychlí (opsané a vepsané) je A) 18 r2 B) 16 r
2 C) 15 r
2 D) 12 r
2 E) 10 r
2
10. Do kužele, jehož strana svírá s rovinou podstavy úhel 60°, je vepsaná koule s
objemem 4 cm3. Určete objem kužele.
11. Pravidelný komolý čtyřboký jehlan má hrany podstav dlouhé 14 cm, 10 cm. Boční
stěny mají sklon 45°. Vypočítejte povrch tělesa.
4. Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin v prostoru
a) Vzájemná poloha 2 přímek
Různoběžné přímky leží
v jedné rovině; mají právě
jeden společný bod –
průsečík.
Různé rovnoběžné
přímky leží v jedné
rovině; nemají žádný
společný bod.
Mimoběžné přímky neleží v jedné rovině;
nemají žádný společný
bod.
Stereometrie 5/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
b) Vzájemná poloha přímky a roviny
Přímka a rovina s ní
různoběžná mají právě
jeden společný bod –
průsečík.
Rovina a přímka s ní
rovnoběžná, která v ní
neleží, nemají žádný
společný bod.
Přímka leží v rovině;
všechny body přímky leží
v dané rovině.
c) Vzájemná poloha dvou rovin
Dvě různoběžné roviny
mají společnou přímku -
průsečnici
Dvě rovnoběžné různé
roviny nemají žádný
společný bod
Totožné rovnoběžné
roviny mají všechny body
společné
Dvě roviny jsou rovnoběžné, jestliže jedna z nich obsahuje alespoň dvě různoběžky, které jsou
rovnoběžné s některou přímkou v druhé rovině.
d) Pravidla pro konstrukci řezů těles
Pravidlo 1: Leží-li dva body v rovině některé stěny, leží v této rovině i jejich spojnice.
Pravidlo 2: Průsečnice roviny řezu s rovinami dvou rovnoběžných stěn jsou rovnoběžné.
Pravidlo 3: Průsečnice roviny řezu s rovinami dvou různoběžných stěn a přímka, v níž leží
společná hrana těchto stěn, jsou buď rovnoběžné, nebo se protínají v jediném bodě.
Příklad:
1. Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou:
2.36 a) PQR, Q ... střed BC;
2.36 c) KLM,
;2:1:; PBAPABP 3:1:; RGFRFGR
3:1:; KEAKAEK 1:4:; LFBLBFL 2:1:; MGCMCGM
Stereometrie 6/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
2.35 a) MCH,
2.35 b) BPQ, P ... střed FG;
2.35 c) TRS, T ... střed FG;
2.36 b) AUV,
2.36 d) XYZ, X ... střed hrany AB, D ... střed CZ
ADMADAM2
1;
EFQFFEQ3
4;
ABARABR4
5;;
2
3; AEASAES
;2
3; DHDUDHU BCCVCBV
4
5;
1:2:; YHGYGHY ;CDZ
Stereometrie 7/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
2.40 a) HKP, K ... střed hrany AB,
2.40 b) LMN, L ... střed hrany AD; M .. střed hrany AE; N .. střed hrany GH
5. Metrické vlastnosti přímek a rovin v prostoru
a) Odchylka přímek
Odchylkou různoběžek rozumíme velikost menšího
z obou úhlů,které spolu
svírají. Pokud jsou oba úhly
stejné, je odchylka 90°.
Odchylka dvou rovnoběžek je 0°.
Odchylkou dvou mimoběžek p,q rozumíme
odchylku p od přímky r
rovnoběžné s q, která je s p
různoběžná (prochází jejím
libovolným bodem A).
PCBPBCP2
1;
Stereometrie 8/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
b) Kolmost přímek a rovin
Dvě přímky (různoběžné
nebo mimoběžné) jsou
kolmé, jestliže jejich
odchylka je 90°.
Přímka je kolmá k rovině,
jestliže je kolmá alespoň ke
dvěma různoběžkám
ležícím v této rovině.
Dvě roviny jsou navzájem
kolmé, jestliže jedna z nich
obsahuje alespoň jednu
přímku kolmou ke druhé
rovině.
Přímka kolmá k rovině je kolmá ke všem přímkám ležícím v této rovině.
c) Odchylka přímek a rovin
Odchylkou přímky p od roviny r rozumíme odchylku přímky p od jejího
pravoúhlého průmětu do roviny r.
Odchylka dvou rovin r a s je odchylka
průsečnic těchto rovin s rovinou, která je
kolmá k r i s.
d) Vzdálenosti
Vzdálenost bodu A od přímky p je délka
úsečky AP, kde P je pata kolmice vedené z
bodu A k přímce p v rovině Ap.
Vzdálenost bodu A od roviny r je délka
úsečky AP, kde P je kolmý průmět bodu A
do roviny r.
Stereometrie 9/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
Vzdálenost bodu A od přímky p je nejmenší
ze všech vzdáleností bodu A od různých
bodů přímky p.
Vzdálenost bodu A od roviny r je nejmenší
ze všech vzdáleností bodu A od různých
bodů roviny r.
Vzdálenost dvou rovnoběžek p a q je
vzdálenost libovolného bodu přímky p od q
Vzdálenost přímky p od roviny r, která je
s ní rovnoběžná, je vzdálenost libovolného
bodu přímky p od roviny r.
Vzdálenost rovnoběžek p,q je nejmenší ze
všech vzdáleností dvojic bodů, z nichž
jeden leží na p a druhý na q.
Vzdálenost přímky p od roviny r, je
nejmenší ze všech vzdáleností dvojic bodů,
z nichž jeden leží na p a druhý v r.
Vzdálenost rovnoběžných rovin r a s je
vzdálenost libovolného bodu roviny r od
roviny s
Vzdálenost mimoběžek p a q je délka
jejich příčky, která je k oběma
mimoběžkám kolmá.
Vzdálenost rovnoběžných rovin r a s je
nejmenší ze všech vzdáleností dvojic bodů,
z nichž jeden leží v r a druhý v s
Příčka mimoběžek p a q je úsečka, která je
různoběžná s p i q
Stereometrie 10/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
Příklad:
1. Určete odchylku:
3.2 a) Dvou stěnových úhlopříček krychle
3.2 b) Dvou tělesových úhlopříček krychle
3.2 c) Jedné stěnové a jedné tělesové úhlopříčky krychle
Stereometrie 11/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
2. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, jehož stěny jsou rovnostranné
trojúhelníky, určete odchylku přímek:
3.3 a) BC a SV; S ... střed podstavy 3.3 b) AB a CV
3.3 c) AD a CV 3.3 d) BV a CP; P .. střed hrany AV
3. Je dána krychle ABCDEFGH. Rozhodněte, zda jsou kolmé
3.10 a) přímky HM a EF; M ... střed AE 3.10 b) přímky MN a BH;M ... střed
AE; N ... střed CG
4. V krychli ABCDEFGH určete odchylku:
3.26 a) rovin ABC a BDH 3.26 b) rovin ABE a ABH
Stereometrie 12/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
3.26 c) rovin ABC a BEG 3.27 a) rovin ABC a MNG;
M...střed BC;N...střed CD
3.35 a) roviny ABC a přímky XY; X ... střed EH; Y ... v jedné čtvrtině BF blíže k B
5. V krychli ABCDEFGH určete vzdálenost:
3.46 a) bodu A od přímky DH 3.46 b) bodu A od přímky FG
3.46 c) bodu A od přímky F 3.46 d) bodu A od přímky B
Stereometrie 13/13
PRACOVNÍ LISTY 3. ROČNÍK
6. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV, kde a = 8 cm, v = 10 cm, určete:
3.47 a) odchylku boční hrany od roviny podstavy.
3.47 b) odchylku roviny boční stěny od roviny podstavy.
3.47c) odchylku roviny BCV a ADV.