LABORATOR S

2Fig. 2

3Fig. 3

Transformata Fourier a lui fg(t) este:

20

Deoarece fg(t) am ales-o funcie para a rezultat Fg() reala, deci i toi coeficienii ck sunt reali, fiind dai de relaia:

21

Componenta continua a lui fT(t) este :

seq Equation \* Arabic \h22Vom particulariza semnalul periodic dreptunghiular considernd =

seq Equation \* Arabic \h23 i anulnd componenta continua. n aceasta situaie coeficienii ck vor fi dai de relaia:

24

ck=

Semnificaia fizica a SFR este aceea ca un semnal periodic poate fi vzut ca o suma (finita sau infinita) de sinusuri i cosinusuri (sau numai de cosinusuri, dar cu diferite faze iniiale), aa cum se arata n figura 4 pentru semnalul periodic dreptunghiular alternativ cu factor de umplere . n figura 4 au fost reprezentate numai primele 4 armonici impare (o data separate i apoi sumate), dar se observa ca suma acestora se apropie de-acum de forma semnalului dreptunghiular periodic.

4Fig. 4

Ca o dovada ca aceste armonici exista fizic, ele pot fi msurate cu ajutorul milivoltmetrului selectiv acordndu-l succesiv pe frecventa semnalului periodic dreptunghiular i pe multiplii ntregi ai acesteia.

Se observa de asemenea ca pentru semnalul periodic dreptunghiular alternativ cu factor de umplere este satisfcut relaia:

25deci amplitudinea armonicilor scade odat cu creterea ordinului lor, k.

Analiza armonica a unor semnale periodice remarcabile.

1.Semnalul periodic triunghiular. Forma n timp a acestui semnal este reprezentata n figura 5. Semnalul periodic triunghiular poate fi obinut prin integrarea semnalului periodic dreptunghiular cu componenta continua nula, altfel prin integrare semnalul rezultat ar tinde ctre (, n funcie de semnul componentei continue a semnalului dreptunghiular. Pe perioada (t1, t2), cnd semnalul dreptunghiular este negativ i de amplitudine -A1, prin integrare se obine un semnal descris de relaia -A1t, iar n perioada (t2, t3), cnd semnalul dreptunghiular are amplitudinea A2 pozitiva, prin integrare se obine A2t, s.a.m.d.

5Fig. 5

innd cont de acest lucru i bazndu-ne pe urmtoarea proprietate a transformatei Fourier:

daca

seq Equation \* Arabic \h26 atunci

seq Equation \* Arabic \h27rezulta ca spectrul semnalului periodic triunghiular este dat de:

28unde A=A1+A2.

Pentru cazul particular n care se pleac de la semnal periodic dreptunghiular cu factor de umplere se obine:

29

ck=

Se observa ca amplitudinile armonicilor impare, ck, scad cu k2. LABORATOR S.C.S.

LUCRAREA NR. PRIVATE

Titlul: Analiza armonica a semnalelor

Scopul lucrrii: Prezentarea conceptelor de serie Fourier complexa (SFC) i serie Fourier reala (SFR). Semnificaia fizica a SFR. Folosirea milivoltmetrului selectiv pentru msurarea spectrelor unor semnale periodice remarcabile. Msurarea factorului de distorsiuni armonice.

Rezumat teoretic:

Reprezentarea vectoriala a unui semnal se bazeaz pe dezvoltarea acestuia ntr-o combinaie liniar de funcii k(t), k=1,2,...n:

1unde n este dimensiunea spaiului vectorial (eventual n=(), iar setul de funcii k(t) formeaz o baz a spaiului vectorial respectiv. Cei n coeficieni k constituie o reprezentare discret a semnalului x(t) i formeaz ceea ce se numete spectrul semnalului x(t) relativ la setul de funcii k(t).

n orice spaiu vectorial se definete produsul scalar a doi vectori x i y, notat cu i pe baza acestuia norma unui vector

seq Equation \* Arabic \h2. Baza spaiului vectorial {k} se numete ortogonal dac =0, ( k,m, k(m. Baza {k} se numete ortonormat dac n plus mai este satisfacut condiia (k(=1, (k.

Un exemplu de baza ortonormat pe spaiul vectorial L2(T) l constituie setul de funcii periodice de perioada T de tip exponenial complex:

3unde

seq Equation \* Arabic \h4=, pulsaia semnalului periodic de perioada T. Se poate arata ca =0 i ca (k(t)(=1, cu produsul scalar definit n L2(T):

5i cu norma indusa de acesta.

Seria Fourier complexa. Un semnal periodic de perioada T, fT(t), se poate descompune n serie Fourier complexa conform relaiei:

6Coeficienii ck formeaz spectrul semnalului fT(t) n raport cu setul de funcii k(t) i se calculeaz cu relaia:

2.Semnal periodic format din impulsuri Dirac alternative. Acest semnal se obine prin derivarea semnalului periodic dreptunghiular i are forma reprezentata n figura 6. Amplitudinea impulsurilor Dirac este egala cu amplitudinea A a saltului din cadrul semnalului dreptunghiular.

6Fig. 6

Bazndu-ne acum pe urmtoarea proprietate a transformatei Fourier:

daca

seq Equation \* Arabic \h30 atunci

seq Equation \* Arabic \h31rezulta ca:

32iar pentru cazul particular al factorului de umplere rezulta:

33

ck=

Se observa ca amplitudinile armonicilor impare sunt constante, indiferent de ordinul k al armonicii.

Coeficientul de distorsiuni armonice. De multe ori ne intereseaz cit de mult difer un semnal periodic nesinusoidal de semnalul periodic sinusoidal pur. O astfel de situaie se ntlnete de exemplu la testarea amplificatoarelor cnd se dorete sa se determine n ce msur amplificatorul respectiv distorsioneaz (modifica) forma unui semnal periodic sinusoidal aplicat la intrare, distorsiuni datorate neliniaritilor inerente existente n circuit. Ca o msur a acestor distorsiuni s-a introdus mrimea numita coeficient de distorsiuni armonice , definita astfel:

34

Modul de lucru:

1. Se genereaz un semnal dreptunghiular periodic folosind generatorul de joasa frecventa i se vizualizeaz forma acestui semnal n timp pe ecranul osciloscopului. Se msoar frecventa i amplitudinea semnalului dreptunghiular periodic. Se calculeaz pe baza acestor msurtori valorile modulurilor coeficienilor ck. Ce semnificaie fizica au aceste valori?

2. Se aplica semnalul periodic dreptunghiular i la intrarea milivoltmetrului selectiv. tiind ca acest aparat indica valorile efective ale componentelor armonice ale semnalului aplicat la intrare determinai pe baza calculelor anterioare ce indicaii ar trebui sa va dea milivoltmetrul selectiv. Atenie! Daca valoarea efectiva corespunztoare primei armonici a rezultat mai mare de 1V micorai nivelul semnalului dreptunghiular la o astfel de valoare incit valoarea efectiva a primei armonici sa fie mai mica de 1V (aceasta reprezint valoarea maxima ce poate fi msurat cu milivoltmetrul selectiv) i reluai msurtorile de la punctul 1.

3. Msurai cu milivoltmetrul selectiv nivelul armonicilor semnalului dreptunghiular periodic i comparai aceste valori cu cele calculate. Respecta valorile msurate relaia

seq Equation \* Arabic \h35 pentru k impar? Daca nu explicai de ce. Completai urmtorul tabel:

PRIVATE

k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7

ck

Valori efective calculate

Valori efective msurate

4. Realizai un circuit integrator i obinei plecnd de la semnalul dreptunghiular periodic un semnal triunghiular periodic. Msurai cu milivoltmetrul selectiv spectrul acestui semnal. Respecta valorile msurate relaia

seq Equation \* Arabic \h36 pentru k impar?

5. Realizai un circuit derivator i obinei plecnd de la semnalul periodic dreptunghiular un semnal periodic alternativ format din impulsuri foarte nguste. Msurai cu milivoltmetrul selectiv spectrul acestui semnal. Se respecta faptul ca toate liniile spectrale sunt egale? Explicai de ce nu se respecta acest lucru. Completai tabelul de mai jos:

PRIVATE

k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7

Semnal triunghiular

Semnal cu impulsuri

6. Aplicai de la generatorul de joasa frecventa la intrarea milivoltmetrului selectiv un semnal periodic sinusoidal cu amplitudine mai mica de 1,41V. Msurai spectrul acestui semnal i calculai indicele de distorsiuni armonice lund n considerare numai primele 7 armonici.

ntrebri suplimentare:

1. Se aplica la intrarea unui circuit liniar caracterizat de funcia de transfer H(s) un semnal periodic de perioada T. Cum este semnalul de la ieirea circuitului? Rmne el periodic sau nu, iar daca rmne care este perioada sa?

2. Daca semnalul periodic de mai sus are spectrul {ck}, care este spectrul semnalului de la ieirea circuitului liniar H(s)?

3. Liniile spectrale ale semnalului de la ieirea unui circuit liniar excitat cu un semnal periodic sunt n raport cu liniile spectrale ale semnalului de la intrare:

a) mai multe ca numr;

b) mai multe sau acelai numr;

c) strict acelai numr;

d) mai puine sau acelai numr;

e) mai puine.

4. Fie

seq Equation \* Arabic \h37, unde P(j0)(0 i e(t)=A+Bcos0t. Semnalul e(t) este periodic sau nu? Care este spectrul sau? Cte linii spectrale are acest spectru? Care este spectrul semnalului de la ieirea circuitului caracterizat de H(s)? Cte linii spectrale conine?

5. Dai exemplu de un semnal neperiodic7 oarecare. Integrala din relaia de mai sus se face pe o singura perioada a semnalului periodic, deci se mai poate scrie:

8unde cu fg(t) s-a notat pulsul generator al semnalului periodic fT(t), adic o funcie de tipul:

9

fg(t)=

Observaie: Semnalul fg(t) definit astfel nu este unic. Exista o infinitate de semnale absolut integrabile care prin periodizare cu perioada T dau un acelai semnal periodic fT(t).

Semnalul fg(t) este un semnal cu suport finit n timp, deci admite transformata Fourier Fg()=_{fg(t)} definita prin relaia:

10Comparndu-se ultimele doua relaii se observa ca:

11

1Fig. 1

Coeficienii ck sunt mrimi complexe:

12

O interpretare intuitiva a semnificaiei coeficienilor ck este data n figura 1 unde se observa ca Tck reprezint modulul lui Fg() n punctele k, iar arg(ck)=argFg()=k.

Seria Fourier reala. Plecnd de la seria Fourier complexa i observnd ca pentru un semnal fg(t) real

seq Equation \* Arabic \h13, rezulta ca

seq Equation \* Arabic \h14, deci SFC se poate rescrie astfel:

15Ultima relaie obinut constituie o forma de scriere a seriei Fourier reale. O alta forma a seriei Fourier reale o constituie descompunerea semnalului periodic fT(t) n armonici de sinusuri i cosinusuri:

16Coeficienii ak i bk se pot calcula i cu relaiile:

17n particular, limitele de integrare n relaiile de mai sus pot fi

seq Equation \* Arabic \h18 i

seq Equation \* Arabic \h19. n aceasta situaie, pentru o funcie para fg(t)=fg(-t) rezulta ca bk=0, (k, iar pentru o funcie impara fg(t)=-fg(-t) toi coeficienii ak=0, inclusiv pentru k=0.

Semnificaia fizica a SFR. Vom considera cazul semnalului periodic dreptunghiular, reprezentat n figura 2. Ca puls generator al acestui semnal periodic vom considera semnalul reprezentat n figura 3.

dar care are un spectru discret.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1026890206.doc

_1026890497.doc

_1026890235.doc