strutture in cemento armato 2008 v1.5
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Corso diCorso di
TECNICA DELLE COSTRUZIONITECNICA DELLE COSTRUZIONI
POLITECNICO DI TORINO
II Facoltà d’IngegneriaII Facoltà d’Ingegneria
(Vercelli)
Docente:
Rosario Ceravolo
Dip. Ingegneria strutturale e geotecnica
PARTE 4:PARTE 4:
COSTRUZIONI IN CEMENTOCOSTRUZIONI IN CEMENTO
ARMATOARMATO
STATO LIMITE ULTIMO PER SFORZO STATO LIMITE ULTIMO PER SFORZO
NORMALE E MOMENTO FLETTENTENORMALE E MOMENTO FLETTENTEIdealizzazione del legame σ – ε per il conglomerato
cementizio (D.M.’96).
Si osserva che, in presenza del solo sforzo normale,
la deformazione non può superare il 2%o , in
quanto, in base al diagramma reale non è
possibile una ulteriore traslazione del
diagramma che porterebbe a instabilità (ad undiagramma che porterebbe a instabilità (ad un
aumento della deformazione media si avrebbe
una diminuzione della risposta).
Diagramma parabola – rettangolo (D.M.’96).
( )Rf
CK
CC
CK 83,085,085,0
⋅=γγ
per il D.M. è pari a 1,6
tiene conto della lunga
permanenza del caricopassaggio dalla
resistenza cubica a
quella cilindrica
Eurocodice 2:
Coefficiente 0.85: omesso
γc = 1.5
Il D.M. dà altresì la possibilità di considerare distribuzioni ulteriormente semplificate:
Idealizzazione del diagramma σ – ε per l’acciaio
da C.A. (D.M.’96).
mmE KNs
2/206tan ==α
γ s
yK
yd
ff = con γs = 1,15 da D.M.
Eurocodice 2 : i limiti dell’acciaio non esistono più
Ipotesi di base per l’analisi a rottura a Ipotesi di base per l’analisi a rottura a
momento e sforzo normalemomento e sforzo normale
� Mantenimento delle sezioni piane;
� Le armature subiscono le stesse deformazioni del calcestruzzo adiacente;
� Il conglomerato reagisce soltanto a compressione;
� Le massime deformazioni del calcestruzzo si assumono pari al 3,50/00 a flessione e presso
flessione, si assumono pari al 2 0/00 quando l’asse neutro tende all’infinito
� La massima deformazione dell’acciaio si assume pari a 100/00 nel caso di acciaio ordinario,
mentre nel caso di acciaio per calcestruzzo precompresso pari a εP50 + 0,010 essendo la
deformazione impressa preventivamente. (nell’Eurocodice 2 detti valori non sono
Si individuano 5
campi di possibile
rottura da cui il
diagramma di Rush.
deformazione impressa preventivamente. (nell’Eurocodice 2 detti valori non sono
specificati).
� Campo 1: trazione con debole eccentricità; è assente il contributo del
calcestruzzo;
� Campo 2: pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio;
� Campo 3: pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale di entrambi i
materiali;
� Campo 4: pressoflessione con sfruttamento incompleto dell’acciaio;
� Campo 5: compressione con debole eccentricità.
Si osserva come il campo, e dunque la qualità del collasso, sia individuato
univocamente dall’ordinata x che individua la posizione dell’asse neutro.univocamente dall’ordinata x che individua la posizione dell’asse neutro.
E’ possibile scrivendo le equazioni di equilibrio tipiche dei diversi campi, risalire alle
superfici di interazione nello spazio (N, M) o (N, Mx , My) nel caso generale di
flessione composta.
CAMPO 1
ove:
)'(111
ddAeNM RdRd−=⋅= σ
0111 >≤= σεσ conf ydsE
d
d
X
X
++
⋅='
010,01ε
112 σAfAN ydRd +=
CAMPI 2 - 3 - 4 - 4a
2 12 10,85
Rd s scdx bfN A Aα σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +
1 10,85 ( ) ( ')Rd Rd cd
e x xb d d df AM N α β σ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −
εc = εc(x) ⇒ α, β tabellati in
funzione di x/d = ξ.Nei campi 3 - 4 - 4a:
εc = 0.0035� ⇒ α, β cost.
α = 0,8095 e β = 0,4160
da eq. congruenza
CAMPO 5
σα 221185,0
ssydscdRd AfAfhbN ++⋅= ⋅⋅⋅
)'()( 11185,0 ddfAhdfhbydscd
eNM RdRd−+−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= βα
( )dxhx
ε
ε
=
−=
−
2
1
002,0
'
7
3
002,0
( )
sssd E
dxhx
εσ
ε
⋅=
−=
−
2
7
3
002,0
α1 e β1 sono tabellati.
Diagrammi d’interazioneDiagrammi d’interazioneLe relazioni possono essere scritte in forma adimensionale, ponendo:
d
x
fdb
fA
fdb
fA
fdb
N
fdb
M
cd
yds
cd
yds
cdcd
=
⋅⋅
⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
ξ
ωω
νµ
''
2: momento e sforzo normale ridotti
: rapporti meccanici d’armatura
: posizione relativa asse neutrod
Si trovano così i diagrammi d’interazione:
Nel caso di flessione deviata (ν, µx, µy) spesso si
usano speciali diagrammi a rosetta che
informano per valori convenzionali prefissati di
ν e che favoriscono l’interpolazione.
µx
µ
µyµy
µ µ
µx
µx
ν=1 ν=0
.cos2
1
21
t
tot
=
+=
ωω
ωωω
Molto comodo risulta anche il 2° metodo di Bresle
(norme paesi dell’est):
M’yd e M’xd: valori sugli assi in corrispondenza di valori
prefissati di νd.
µyµy µx
νd
M'yd
M yd M xd
M'xd
ove α proviene dalla sperimentazione.
1''
≤
+
αα
xd
xd
yd
yd
M
M
M
M
Progetto: duttilità e sfruttamento dell’acciaioProgetto: duttilità e sfruttamento dell’acciaioNel caso di una sezione con armatura doppia (ω, ω’) soggetta a µ e ν assegnati, le incognite del
problema restano ξ, ω e ω‘. Avendo due equazioni di equilibrio, potrei imporre ω/ω‘ e
trovare ω e ω‘, oppure imporre ξ e trovare ω e ω‘.Il dimensionamento, nella sua accezione classica, consisterebbe nell’aggiunta di una
condizione di minimo di che permetterebbe di trovare ω, ω’, e ξ ottimi.
E’ tuttavia necessario fare alcune considerazioni sulla duttilità, con riferimento al
comportamento di una trave in calcestruzzo armato sollecitata sino al collasso per
flessione.
Trave da esperimenti
V
F
2
F
2
� Curva A: Sezione non armata o armatura molto debole, il collasso è duttile
ma repentino nel calcestruzzo dovuta ad una brusca diminuzione di ξ;� Curva B: Si sfrutta la capacità plastica dell’acciaio, non quella del
calcestruzzo;
� Curva C1: Si sfrutta sia l’acciaio che il calcestruzzo (campo 3) dove avviene
il collasso;
� Curva C2: Sezione bilanciata (limite campo 3);
� Curva D-E: Armature forti. ξ elevato, quindi la duttilità diminuisce.
L’abbassamento del baricentro delle compressioni diminuisce il braccio diL’abbassamento del baricentro delle compressioni diminuisce il braccio di
leva e l’efficienza della armatura. La situazione è migliorabile con
l’inserimento di armatura superiore ω’ che tende l’acciaio inferiore.
a) Duttilità della sezione;
b) Sfruttamento completo della capacità resistente dell’armatura.
Il dimensionamento delle armature deve dunque garantire:
1) Capacità di ridistribuzione , ad esempio per i cedimenti;
2) Collasso duttile;
3) Buon comportamento rispetto ad urti e azioni impulsive;
4) Buon comportamento sotto azioni sismiche.
La duttilità della sezione porta molteplici vantaggi:
Il progetto duttile si realizza collocando il collasso nei campi 2 o 3 (in modo che
l’acciaio raggiunga lo snervamento), ossia si deve verificare che:
s dxxε
ξξε +
=<⇒⋅+
=< 0
lim
0
lim,%5,3
%5,3
%5,3
%5,3
ysys
s dxxε
ξξε +
=<⇒⋅+
=<0
lim
0
lim,%5,3%5,3
Inoltre si osserva che, all’aumentare di
x, oltre all’aumento della risultante
di compressione, si fa sentire anche
la diminuzione del braccio de leva.
Si cerca xlim (con ω’ = 0) tale che:
hxxfxbdx
d
dx
dM Hcd ⋅=⇒=
−⋅⋅⋅⋅⇒= 601,0085,00 lim
2βα
massimo del momento rispetto al baricentro costante nel campo 3
Si individua dunque:
PROGETTO A FLESSIONE SEMPLICE
( ) xxx csoptx limlimlim ;min ==
Operativamente:
noti νd, µd, ω’=0ξ ≤ ξlim ⇒ progetto corretto
ξ > ξlim ⇒ si deve disporre ω’≠ 0
Equazioni nei campi 2 – 3 – 4 (per ora ω’ = 0):
=−ωαξ 085,0
=−
=−
µβξαξωαξ
)(
0
185,0
85,0
dove α e β sono funzioni note di ξ.Noto ξlim ⇒ µlim, ωlim
In sede di progetto:
µ ⇒ ξSe ξ ≤ ξlim ⇒ ω ovvero µ ≤ µlim ⇒ ω (da tabelle)
Se ξ > ξlim ⇒ è necessario servirsi di armatura superiore ω’ per mantenere ξ = ξlime riferendoci alle eq. in forma più generale con la ω’:
ove .
=−+−
=+−
µδωβξαξωωαξ
)'1(')(
0'
185,0
85,0
d
d ''=δ
Ponendo ξ = ξlim, si osserva che imponendo armatura inferiore ωlim+∆ω e superiore
∆ω, ξ rimane invariato uguale a ξlim.
=−∆+−
=∆+∆−−
µδωβξαξ
ωωωαξ
)'1()(85,0
085,0
limlim
limlim
1
)'1(lim
δωµµ −∆=−
)'1(lim
δµµ
ω−−
=∆
da cui:
=( )βξαξ −185.0 lim limµ
PROGETTO A PRESSOFLESSIONE - TENSOFLESSIONE
Se si aggiunge o si toglie un’armatura inferiore pari a ν per coprire lo sforzo
normale, il procedimento rimane uguale a quello per la flessione semplice, a patto
di considerare:
−= − '2
dh
NMM ddsd
M
MSd
Nd
Md
Nd
d'
d
αξ ω ω' v ν
αξ( βξ ) ω'( δ') µ
,
,
− + + =
− + − = 1
0 85
0 85 1
Cenni al metodo “n” (tensioni ammissibili)Cenni al metodo “n” (tensioni ammissibili)E’ un metodo classico per il progetto e verifica a flessione e pressoflessione delle
travi in C.A.
Il metodo ipotizza comportamento elastico lineare dei materiali e parzializzazione del
cls. E’ il metodo di solito più utilizzato per le verifiche alle tensioni ammissibili.
NAAxb
SSSS
C =⋅−⋅+⋅⋅
σσσ
''2
( ) MddAx
dxb
SS
C =−⋅⋅+
−⋅⋅⋅
'''32
σσ
Eq. equilibrio traslazione
Eq. equilibrio rotazione
C
S
SS
C
E
Endove
xd
n
dx
n
x=
−=
−=
σσσ
'
'
Eq. congruenza (ipotesi di Navier)
M
b
d
AS
N
A'S
x
d'
σC
σ'S
σS
ESEMPIO: PROGETTO A FLESSIONE A SLU
⇒ da tabella ω = 0,294 ⇒ ( )16781,13 φω =⋅⋅⋅=yd
cd
sf
fdbA
Rck 250 ⇒
Feb44k ⇒
Msd = 2⋅105 N ⋅ m ⇒
2130
6,1
25083,0
cm
Kgff cd ≅
⋅=
23826
15,1
4400
cm
Kgff yd ≅=
242,02
=⋅⋅
=cd
sd
fdb
Mµ
MSd
30
46
4
AS
SeMsd = 3⋅105 N ⋅ m: ⇒ ( ) 325,044363,0 lim2=>=
⋅⋅= kFeb
fdb
M
cd
µµ
Cominciamo a dimensionare sulla base di µlim ⇒ ωlim = 0,445
2
lim 86,20 cmf
fdbA
yd
cd
ottimale =⋅⋅⋅= ω
Per mantenere invariata la giacitura, ossia ξ = ξlim (valore ottimale) si aggiunge
superiormente ed inferiormente ∆ω, ove:
⇒=
−
−=
−
−= 04160
46
41
32503630
1
lim ,,,
δ')(
µµ∆ω
( )( )
=∆=
=∆+=2
2
lim
97,1''
83,22
cmAA
cmAA
ss
ss
ω
ωω
ESEMPIO: PROGETTO A PRESSOFLESSIONE
301,02
=⋅⋅
=cd
sd
fdb
Mµ
Rck 250 ⇒
Feb44k ⇒
Msd = Nd ⋅ (e+d) = 350000 ⋅ 0,71 = 2,485 ⋅ 105 N ⋅ m
2130
6,1
25083,0
cm
Kgffcd ≅
⋅=
23826
15,1
4400
cm
Kgff yd ≅=
f⇒ ω ≅ 0,395 ⇒ ( )1675,18 φω =⋅⋅⋅=
yd
cd
sf
fdbA
Acciaio per coprire lo sforzo normale (da aggiungere inferiormente):
23500009,15
38260d
s
yd
NA cm
f∆ = = =
* 218,5 9,15 9,35s yd
s s
cd
A fA A cm
b d f∆
⋅= − = − =
⋅ ⋅
ESEMPIO: PROGETTO A PRESSOFLESSIONE CON ARMATURA DOPPIA
Rck 250 ⇒
Feb44k ⇒
Msd = Nd ⋅ (h/2+e) = 50 ⋅ 0,50 = 25
2130
6,1
25083,0
cm
Kgffcd ≅
⋅=
23826
15,1
4400
cm
Kgff yd ≅=
425,0
256,02
=
=
⋅⋅=
ω
µcd
sd
fdb
M
425,0
256,0
=
=
⋅⋅=
ων
cd
d
fdb
N
66,21=⋅⋅⋅=yd
cd
totf
fdbA ω
( )18583,10 2
infsup φcmAA ==
ESEMPIO: PROGETTO A FLESSIONE COMPOSTA
50 Ma
30
Mb
db
Rck 250 ⇒
Feb44k ⇒
Nd = 400000 N Ac = 50 ⋅ 30 cm2
Mad = 2⋅ 105 N ⋅ m As,tot = 8 ⋅ AsMbd = 1⋅ 105 N ⋅ m da = 5 cm
db = 3 cm
2130
6,1
25083,0
cm
Kgffcd ≅
⋅=
23826
15,1
4400
cm
Kgff yd ≅=
8,0
228,0
211,0
253,0
2
2
=⇒⇒>⇒
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
ϖµµ
ν
µ
µ
rosettaadiagramma
fdb
N
fdb
M
fdb
M
ba
cd
d
cd
sdb
cd
sda
27,36 cmf
fdbA
yd
cdtot =⋅⋅⋅=ω ( )266,4
8
7,36 2 φcmA ==⇒
30db = 3 cm
TABELLA RELATIVA AGLI ESEMPI SVOLTI
Per comodità si riportano i valori di µopt,s ed i corrispondenti ωopt,s per gli acciai
italiani (fyk, fyd in Kgf/cm2):
Analogamente si mettono in evidenza i valori di µopt,s e ωopt,s per i valori di δ= 0,955Analogamente si mettono in evidenza i valori di µopt,s e ωopt,s per i valori di δ= 0,955
e 0,90:
In definitiva in Italia si può assumere come valore limite µopt,c = µopt,s il valore 0,31 a
cui corrisponde ω = 0,42 per qualunque acciaio con δ = 0,95.
Sezioni a T sollecitate a flessione o Sezioni a T sollecitate a flessione o
pressoflessione rettapressoflessione rettaPer il progetto di una sezione a T si possono usare le tabelle di seguito riportate, il
metodo approssimato o quello generale. Si fa riferimento alla figura.
La lunghezza bef ammissibile nei calcoli vale:
bl
bb wef ≤+=5
0
dove l0 è la distanza fra i punti di
METODO GENERALE
Si calcola il momento Msd rispetto alle armature tese:
0
momento nullo, e b è la larghezza reale.
sddsd yNMM ⋅−=cd
d
cd
sd
fdb
N
fdb
M
⋅⋅=
⋅⋅= νµ
2
Se non necessitano di armature compresse (µsd < µlim), la percentuale ω relativa
all’armatura tesa si legge da tabelle in funzione di µsd (Nd negativo se di
compressione):
yd
d
yd
cd
sl
w
f
f
N
f
fdbAViene
b
be
d
h+
⋅⋅⋅=
ω.
Se necessitano di armature compresse (µsd > µlim), si calcola:
limµµµ −=∆ sd
yd
d
yd
cd
slf
N
f
fdb
d
dA +⋅
−
−+=
2
limlim
1
µµω
L’armatura tesa necessaria risulta:
L’armatura compressa necessaria invece risulta:L’armatura compressa necessaria invece risulta:
yd
cd
slf
fdb
d
dA ⋅⋅⋅
−
−=
2
lim
1
µµ
METODO APPROSSIMATO
L’ipotesi di base è la trave snella, ossia:
S’ipotizza che la sola piattabanda sopporti tutto lo sforzo di compressione interno.
Occorre peraltro adottare, se b è molto grande, il valore beff prima indicato.
Con le premesse fatte risulta As2 = 0.
M 1
5≥wb
b
Deve inoltre esse verificato che risulti:
ydf
sds
fN
hd
MA
1
2
1 ⋅
+
−
=
cd
f
f
sd
cd f
hbh
d
M⋅≤
⋅⋅
−
= 85,0
2
σ
METODO TABULATO
STATO LIMITE ULTIMO PER TAGLIOSTATO LIMITE ULTIMO PER TAGLIOLo studio non può esser confinato in una sezione ma deve essere esteso ad un tratto di trave;
quindi lo studio è assai complesso.
Parametri determinare il comportamento a taglio della trave:
- La disposizione delle armature longitudinali e trasversali;
- L’aderenza acciaio-calcestruzzo;
- Il tipo e la posizione dei carichi;
- Il tipo di appoggi;
- La forma della sezione.
Prima della fessurazione si fa un’analisi elastica lineare per determinare lo stato tensionale.Prima della fessurazione si fa un’analisi elastica lineare per determinare lo stato tensionale.
Dopo la fessurazione si ha un comportamento non lineare ed evolutivo fino alla rottura.
La rottura a taglio è estremamente pericolosa perché ha spesso carattere di fragilità,
con modestissime deformazioni e dunque senza segni premonitori.
Tipi di rottura nelle travi con armatura a taglio osservati sperimentalmente:
- Rottura per flessione pura (1): duttile o fragile (travi molto resistenti a- Rottura per flessione pura (1): duttile o fragile (travi molto resistenti a
taglio);
- Rottura per taglio dovuta a fessura obliqua (2): in presenza di insufficiente
armatura d’anima; duttile o fragile se l’armatura a taglio è al di sotto delle
percentuali minime;
- Rottura per taglio-flessione (3): la fessura di flessione è inclinata dall’effetto
di taglio e penetra nella zona compressa riducendone l’efficacia;
- Rottura per compressione d’anima (4): per compressione obliqua nel caso
di travi a T ad anima stretta; fragile;
- Rottura per scorrimento dell’armatura (5): scorrimento dell’ancoraggio
delle armature tese in prossimità dell’appoggio; fragile.
Le sperimentazioni su questo tipo di trave hanno mostrato che esse forniscono una
buona resistenza al taglio. Si è visto inoltre che, dopo la formazione delle fessure
sub-verticali, il funzionamento della trave non segue lo schema arco-tirante, ma i
regimi di sollecitazione della fase elastica vengono approssimativamente
mantenuti grazie ad effetti supplementari (effetto ingranamento, effetto spinotto
o effetto DOWEL , ecc…).
ELEMENTI STRUTTURALI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALE A TAGLIO
La rottura avviene quando si
innesca una fessura inclinata
che s’insinua nella zonache s’insinua nella zona
compressa, per cui gli effetti
supplementari diminuiscono, lo
sforzo nel tirante aumenta e si
determina il collasso.
In presenza della fessura inclinata:
Gli esperimenti hanno mostrato che
il valore di τu al quale s’innesca
la fessura obliqua dipende:
- Dall’armatura longitudinale
( )d
axMN l
S ⋅
+≅
9,0
( )etraslaziondellaregola
daSe l ⋅≅⇒°≅ 5,130θ
M(x+al) è il momento relativo alla posizione
(x+al). Per conoscere Ns in x non mi rifaccio
al momento M in x ma ad M in (x+al).
- Dall’armatura longitudinale
As1, specie se ben ancorata e
di piccolo diametro;
- Dalle dimensioni dell’inerte
(inerti di grossa dimensione
migliorano l’ingranamento);
- Dall’altezza della trave, in
quanto al crescere di d
diminuisce l’ingranamento
(denti più flessibili);
- Dal rapporto a/l (vicino gli appoggi si ha un effetto arco). db
Vuu ⋅⋅=
9,0τ
La verifica di sicurezza di travi senza armatura trasversale si traduce dunque in un a
verifica a taglio sul conglomerato e in una verifica a flessione con la regola della
traslazione del diagramma dei momenti.
- VERIFICAARMATURALONGITUDINALE
Tale armatura dovrà essere preferibilmente continua su tutta la luce e dimensionata
con:
( )( )momentodiagrammaetraslaziondellaregola
dVMVM ddd ⋅⋅+= 5,1
- VERIFICADEL CONGLOMERATO- VERIFICADEL CONGLOMERATO
In base a considerazioni sperimentali si assume che la
fessura che porta al collasso si verifiche quando:
( )..9,025,0 0
0
rettsezdhconfhb
Tctd ⋅=⋅=
⋅=τ
( ) δρ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=≤ dbrfVV wlctdRSd 50125,0
bw
h0d
( )lρ⋅+501 Effetto spinotto
δ Effetto ingranamento
Ove:
d = altezza utile;
bw = larghezza membratura resistente al taglio;
fctd = resistenza di calcolo del calcestruzzo a trazione;
d ≤ 0,6 m (espressa in metri);( )dr −= 6,1
in presenza di sforzo normale di trazione; 0
02,0≤⋅
=db
A
w
Sl
lρ Percentuale armatura tesa
ASl = area armatura longitudinale di trazione ancorata al di là dell’intersezione
con la fessura a 45°;
M0 = momento di decompressione riferito alla fibra estrema su cui agisceMsdu;
MSd = momento agente massimo di calcolo nella regione ove si effettua la
verifica a taglio (MSd ≥ M0).
in presenza di sforzo normale di trazione;
in presenza di sforzo normale di compressione;
in assenza di sforzo normale;
+=
1
1
0
0
SdM
Mδ
)cot(cot βα ggs
zm +⋅=
Teoria classica del traliccio di MTeoria classica del traliccio di MöörschrschE’ la teoria di riferimento per il progetto e verifica alle tensioni ammissibili.
ed il rapporto tra armatura ed unità
di volume:
αρ
sensb
ASww ⋅⋅
=
Si definisce molteplicità del traliccio:
Facendo gli equilibri:
αsensbww ⋅⋅
( )( ) ββσ
ασ
sensbAconTsenAm
TsenAm
wCwCwMCw
SwMSw
⋅⋅==⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
,
,
ove:
� σSw,M = tensione nell’armatura trasversale;
� σCw,M = tensione nella biella di cls;
� ASw = area dell’armatura trasversale;
� ACw = area della biella di cls.
Da cui, sostituendo m e ACw:
( )
( ) ( ) ααβρτ
ααβαα
τ
ααβασ
2
,
cotcotcotcot
cotcot
senggsengg
sensb
senA
senggAs
z
T
senAm
T
w
w
Sw
SwSw
MSw
⋅+⋅=
⋅+⋅⋅⋅
⋅
=⋅+⋅⋅
=⋅⋅
=
avendo definito l’indicatore di sollecitazione a tagliozb
T
w ⋅=τ
zbw ⋅
( )
( )
( ) βαβτ
βαββ
βαββσ
2
,
cotcot
cotcot
cotcot
sengg
senggsenzbz
s
T
senggAs
z
T
senAm
T
w
CwCw
MCw
⋅+=
=⋅+⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅⋅
=⋅⋅
=
Usualmente si può porre:
z ≅ 0,9⋅d e β = 45°
Nel caso specifico delle staffe con α = 90°, dunque:
( )..9,0
ATverificadiformula
staffeareaA
staffebraccin
staffepassos
doveAnd
sT
st
st
Sw
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
=σ
9,0 And ⋅⋅⋅⋅ σ
( )..
9,0
9,0
ATprogettodiformule
nd
sTA
T
Ands
S
st
Sst
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅=
σ
σ
L’attendibilità dello schema di Mörsch è stata studiata mediante una serie di campagne
sperimentali condotte presso diverse università ed istituti di ricerca.
Esse hanno riguardato diverse problematiche:
- Efficacia differenti armature d’anima:
- Barre rialzate (fenomeno negativo dello splitting; poco efficaci);
- Staffe verticali chiuse (mediamente efficaci);
- Staffe inclinate chiuse (molto efficaci);
- Influenza della larghezza d’anima (Vd = Vωs,M + ∆, con ∆ che decresce col rapporto
b/bw);
- Inclinazione delle fessure d’anima (varia col rapporto b/bw);
- Armatura necessaria per la resistenza a taglio;- Armatura necessaria per la resistenza a taglio;
Nel caso di travi con poca armatura trasversale si osserva una diminuzione di β (da
40° ÷ 45° ⇒ 30° ÷ 35°): si rileva dunque come la struttura poco armata riduce gli
sforzi d’anima caricando ulteriormente le armature del corrente teso.
- Inclinazione del corrente compresso;
Una quota di taglio viene trasferita sull’appoggio direttamente da tale effetto, essendo
sottratta allo schema di Mörsch. Ne consegue una diminuzione del braccio di leva
ed un aumento dello sforzo nel corrente inferiore ⇒ regola della traslazione.
Vd : taglio assorbito
Vws,M: taglio assorbito secondo il modello di MORSCH
- Sforzi nelle bielle compresse;
Esse risultano superiori a quelle previste dallo schema di Mörsch. Il traliccio
reale è iperstatico; le bielle compresse sono più rigide e si caricano di più;
le bielle tese si scaricano, anche a causa degli effetti supplementari.
( )
( )
0,5 45
0,9 30
S
S
S
MV con trave molto armata a taglio
zN
MV con trave poco armata a taglio
z
β
β
+ ⋅ ≅ °
≅ + ⋅ ≅ °
Eurocodice 2: applico metodo con β variabile
le bielle tese si scaricano, anche a causa degli effetti supplementari.
- I carichi prossimi agli appoggi si scaricano direttamente riducendo
drasticamente gli sforzi sulle armature trasversali.
Dallo schema di Mörsch si trovano i seguenti tagli resistenti di calcolo:
( )
( ) compressebiellesenggfdbV
tesebiellesenggfds
AV
cdMdS
ydSw
MdS
ββα
αβα
ω
ω
2
,2
,1
)(cot)(cot9,0
)(cot)(cot9,0
⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅+⋅⋅⋅⋅=
Influenza della larghezza d’anima:
Lo schema modificato deve tener conto dei risultati sperimentali, ed in particolare:
- La sottostima degli sforzi nelle bielle compresse e la sovrastima in quelle tese;
- Le resistenza al taglio supplementare offerta dall’inclinazione del corrente
compresso ed altri effetti;
- L’aumento di sforzo nei correnti tesi (regola di traslazione dei diagrammi
momento);
- Verifica del conglomerato (normativa Italiana):
( )( )splittingtimorepiegatiferriestaffedbfV
inclinatestaffegbdfV
wcdd
wcdd
⋅⋅⋅≤
+⋅⋅⋅⋅≤
30,0
1cot30,0 α
Derivano direttamente da Vcωd2,M imponendo β = 45° e limitandosi ad una
resistenza del cls a compressione pari a 2/3 fcd (tiene conto della sottostima
operata dallo schema di Mörsch);
- Verifica armatura trasversale (normativa Italiana):
( )
δ
αα
⋅⋅⋅⋅=
+⋅⋅
⋅⋅=
+≤
dbfV
sens
dfAV
VVV
wCtdCd
ydSSd
CdSdd
60,0
cos90,0
- Almeno il 40% di VSd deve essere affidato alle staffe;
- Verifica dell’armatura longitudinale:
- Traslazione del diagramma dei momenti flettenti nel verso che dà luogo ad
un aumento del valore assoluto del momento della quantità:
( ) dgda ⋅≥−⋅⋅= 2,0cot19,01 α
( ))(cot1 αg− dalla teoria di MORSCH
STRUTTURE DI FONDAZIONE IN C.A.STRUTTURE DI FONDAZIONE IN C.A.- Fondazioni isolate – plinti;
- Travi o reticoli di fondazione;
- Platee;
- Pozzi di fondazione;
- Fondazioni su pali.
PlintiPlintiDistribuzione delle tensioni: a) su sabbia b) su argilla
In generale la situazione è
intermedia e non facilmente
prevedibile.
a) su sabbia
rifluimento plasticizzazione
b) su argilla
h
l
SNELLI l/h ≥ 2PLINTI MEDI O TOZZI 0,5 < l/h < 2
NONARMATI l/h ≤ 0,5
Modelli di calcolo:
PLINTO SNELLO
c
⇐ Modello a 4 mensole se c/b > 0,2
b
c
0,15 c
⇐ Modello a 2 mensole se c/b ≤ 0,2 (a favore di stabilità)
Andamento delle sollecitazioni flettenti:
Il momento si concentra sulla linea del pilastro, dove sarà consigliabile un
infittimento dell’armatura.
circa 45°
⇐ Punzonamento (verifica al taglio):
Si suppone 45° anche se nella realtà è
circa 33°
perimetrowcondw
TC =≤
⋅= 0ττ
circa 70% ATot
h/2
N
Se la verifica precedente non è soddisfatta conviene aumentare l’altezza del plinto (più
economico). Solo in ultima istanza si prevedono ferri piegati: in tal caso il plinto
sarà più deformabile e soggetto a fessurazioni.
ARMATURE
30 cm
almeno 3
staffe
todini φ12
hI
10 cm
Copr.
5 cm
Staffoni
Staffoni e ferri
piegati
PLINTO MEDIO
b
Il colletto va di circa 5 cm per poter casserare il
pilastro.
Trazione: necessaria armatura.
b
b
N2
βN2
Si calcola T, (tiro nell’armatura) da cui la verifica.
Sono automaticamente soddisfatte le verifiche a
punzonamento o taglio.
N2
β
T
C
PLINTO NON ARMATO
Non è necessaria armatura specificatamente progettata per assorbire le sollecitazioni.
Tuttavia è necessario predisporre 30÷40 Kg d’armatura al m3 di cls, per assorbire
fessurazioni dovute al ritiro.
N2
b
α 50°
trazione
nel cls
Reticoli di fondazione e travi rovesceReticoli di fondazione e travi rovesceTelai deformabili (esempio edifici tozzi)
Sforzi provenienti dal telaio
Modello di riferimento: trave su
appoggio elastico
Telai rigidi (esempio zona sismica)
La fondazione si muove rigidamente
Nei casi intermedi: inviluppo delle sollecitazioni provenienti
dai 2 modelli.