strukture prvog reda - filozofski fakultet u...

Strukture prvog reda

27. oµzujka 2008.

() Semantiµcki pojmovi za logiku prvog reda 27. oµzujka 2008. 1 / 56

Strukture prvog reda Tautolo�ka posljedica

Ponavljanje

U propozicijskoj logici �iri pojam logiµcke posljedice bio je uvedenpreko jedne njegove vrste - tautolo�ke posljedice, posljedice koja ovisiznaµcenju istinitosno-funkcionalnih veznika.

Intuitivna ideja da je istinitost konkluzije posljedica znaµcenja veznikakoji se javljaju u premisama i konluziji, formalizirala se prekoistnitosnih tablica.

Kasnije smo uveli funkciju dodjelivanja istintosnih vrijednosti zaatomarne reµcenice, h koja je dovoljna za de�niranje funkcijedodjeljivanja istinitosnih vrijednosti za sve reµcenice, h.

ZadatakOdredite odnose izme�u pojmova �tautolo�ka posljedica�, �posljedica prvogreda�i �analitiµcka posljedica�!


Strukture prvog reda Posljedica prvoga reda

U predikatskoj se logici dalje razra�uje intuitivna ideja da je odnoslogiµcke posljedice ovisan iskljuµcivo o znaµcenju simbola koji se javljajuu premisama i konkluziji.

Popis logiµckih simbola µcije se znaµcenje analizira bio je pro�iren takoda su istinitosno-funkcionalnim veznicima dodali kvanti�katori, 8 i 9,te predikat identiteta, =.



Podsjetnik: metoda zamjene

Pojam o poslijedici prvoga reda bio je uveden na neformalan naµcin.

1 Za provjeriti je ostvaruje li se odnos posljedice prvoga reda ili zaprovjeriti je li neka reµcenica - valjana reµcenica prvoga reda, sustavnozamijenimo svaki predikat osim identiteta s novim simbolima zapredikate koji nemaju znaµcenja, pazeci pri tome da se zamjena izvr�i sistim novim predikatom na svakom mjestu na kojemu se javlja staripredikat.

1 Za provjeriti je li neka reµcenica S valjana reµcenica prvoga reda,poku�ajte opisati takve okolnosti i dati takvo tumaµcenje za imena,predikate i funkcije koje se javljaju u S da uµcinite tu reµcenicuneistinitom. Ako se takve okolnosti i tumaµcenje ne mogu saµciniti, S jevaljana reµcenica prvoga reda.

2 Za provjeriti je li S posljedica prvog reda premisa P1, ...,Pn , poku�ajtenaci okolnosti i tumaµcenje nelogiµckih simbola u kojem ce S bitineistinito a P1, ...,Pn istinito. Ako se takve okolnosti ne moguzamisliti, izvorni je zakljuµcak posljedica prvog reda.

Na�je zadatak predteorijske pojmove (tumaµcenje, saµcinjavanjeokolnosti, zamislivo) odrediti na strogi naµcin.

Za tu svrhu koristit cemo teoriju skupova.



Primjer

Ispitajmo sljedecu logiµcku istinu: ( Kocka(a) ^ Tetraedar(b))! :a = b.Svo�enje na istinitosno-funkcionalnu formu:

(Kocka(a)A^ Tetraedar(b)

B)! :a = bC

daje (A^ B)! :C , a to oµcigledno nije tautologija. Metoda zamjenepredikata i individualnih konstanti pokazuje da nije rijeµc ni o valjanojreµcenici prvoga reda.Prvi korak, svo�enje na (P(c1) ^Q(c2))! :c1 = c2.Drugi korak, pronalaµzenje okolnosti zajedno s tumaµcenjem nelogiµckihsimbola koje falsi�cira reµcenicu:

(Knji zevnik(lewis_carroll) ^ Logi car(charles_dodgson)) !:lewis_carroll = charles_dodgson



Slabosti neformalnog pristupa

Nedostatak preciznosti. Pote�koca s traµzenjem odgovora na pitanjeo postojanju odnosa posljedice prvoga reda putem �traµzenjaokolnosti� ili putem �zamjene jednih simbola s drugima (istesintaktiµcke vrste)� leµzi u tome �to nam ne daje dovoljno preciznosti.Zbog nedostaka preciznosti ne moµzemo ispitati ima li sustav kojegrazmatramo odre�ena svojstva, poput pouzdanosti ili poputpotpunosti..

Ako primjenimo sredstva za modeliranje koja pruµza teorija skupova,nedostatnu preciznost intuitivnih zamisli moµzemo lako ukloniti.



PodsjetnikNeformalne de�nicije

Neformalna i formalna semantika. Do sada smo se oslanjali naideju o "predmetnom podruµcju", "podruµcju rasprave", "domeni" pride�niranju istine i zadovoljavanja.

Neki predmet zadovoljava atomarnu ispravno sastavljenu formulu U(x)ako i samo ako taj predmet jest U. Opcenito za sve isf -e, predmet ozadovoljava isf -u P(x) ako i samo ako je n individualna konstanta kojaimenuje predmet o, x je jedina slobodna varijabla i P(n) je istinitareµcenica. Uoµcimo kako se nadopunjavaju pojmovi �zadovoljavanja�i�istine�.Kvanti�cirane reµcenice izraµzavaju tvrdnje o nekom intendiranompodruµcju rasprave.Reµcenica 8xS(x) je istinita ako i samo ako svaki predmet iz podruµcjarasprave zadovoljava isf-u S(x).Reµcenica 9xS(x) je istinita ako i samo ako neki predmet iz podruµcjarasprave zadovoljava isf-u S(x).


Struktura prvoga reda

Svijet opisan u jeziku teorije skupova

Neformalno govoreci, struktura prvoga reda je opis jednog svijeta ujeziku teorije skupova.

Primjer

Neka su simboli u jeziku kojeg razmatramo:Predikati: Kocka, Tetraedar , Dodekaedar , VeceOd , =;Individualna konstanta: c .Svijet (okolnosti) koje modeliramo prikazane su slikom:

Na�je cilj konstruirati apstraktni predmet koji ce predstaviti sve ono �to jeu ovom svijetu relevantno za odre�ivanje istinitosne vrijednosti reµcenica ujeziku kojega razmatramo.



Modeliranje predmetnog podruµcja

Domena (podruµcje rasprave, predmetno podruµcje, univerzum...).Oµcigledno je da moramo predstaviti µcinjenicu da u tom svijetu imatoµcno µcetiri predmeta. To cemo uµciniti tako �to cemo konstruiratiµcetveroµclani skup D = fb1, b2, b3, b4g gdje b1 predstavlja (recimo)prvi predmet s lijeve strane, tj. c , te tako redom do b4 koji predstavljamali tetraedar. Za ovaj skup D kaµzemo da je podruµcje rasprave una�oj strukturi prvoga reda.



Modeliranje svojstava i odnosa

Predikati i ekstenzije u strukturi.. U tvorbi strukture prvoga redausmjeravamo se samo prema onim obiljeµzjima podruµcja rasprave kojasu relevantna za odre�ivanje istinitosti reµcenica. Za na�(pod)jezikmnoga su obiljeµzja �svijeta�na slici nevaµzna, poput poloµzajapredmeta ili njihove boje. S druge strane, oblik i veliµcina imajuvaµznost jer jezik govori o tim svojstvima: moµzemo reci je li nekipredmet kocka i je li veci od drugoga. Zbog toga µcinjenice o obliku iodnosu veliµcina moramo ugraditi u na�u strukturu.

To radimo tako �to predikatu Kocka dodijelimo odre�eni podskup Koiz podruµcja rasprave D. Ovaj skup nazivamo ekstenzijom predikataKocka u ovoj strukturi. Za modeliranje svijeta na slici, ekstenzijapredikata Kocka je skup Ko = fb1, b2, b3g. Ekstenziju predikataDodekaedar modeliramo kao prazan skup jer niti jedan predmet na slicinije dodekaedar.Na sliµcan naµcin postupamo i s dvomjesnim predikatom VeceOd ;kojemu dodjeljujemo skup ure�enih parova,

Ve = f< b2, b1 >,< b3, b1 >,< b3, b2 >,< b2, b4 >,< b3, b4 >g.Ve je ekstenzija predikata VeceOd u ovoj strukturi.() Semantiµcki pojmovi za logiku prvog reda 27. oµzujka 2008. 10 / 56


Modeliranje svojstava i odnosa

Identitet. Poseban sluµcaj predstavlja predikat identiteta, =. Ekstenzijapredikata identiteta odre�ena je µcim je zadana domena D. Predikat =uvijek se tumaµci kao identitet: njegova ekstenzija je uvijek skup parova< a, a > gdje a 2 D. U ovom primjeru, ekstenzija za = je skupf< b1, b1 >,< b2, b2 >,< b3, b3 >,< b4, b4 >g.



Tumaµcenje imena

Individualne konstante i referenti. Na kraju, za jezik kojegrazmatramo, preostaje jo�uµciniti jedno: povezati individualnukonstantu, c s predmetom kojega imenuje. Tehniµckim jezikom reµceno,moramo predstaviti µcinjenicu da je b1 referent individualne konstantec (tj. da c imenuje b1). Najjednostavniji naµcin da ostvarimo ovakvovezivanje jest da uvedemo funkciju koja svakom imenom dodjeljujeonaj predmet kojega to ime imenuje.



Svijet kao jedna funkcija

Jedan objekt za reprezentiranje svijeta. Da bismo s jednim jedinim(apstraktnim) predmetom reprezentirali cijeli svijet i relevantneµcinjenice o njemu, "upakirat" cemo domenu rasprave, ekstenzijepredikata i referente imena u jedan formalni (matematiµcki) predmet.

Postoje mnogi naµcin "pakiranja". Barwise i Etchemendynajelegantnijim smatraju pakiranje u jednu jedinu funkciju M. Slovo"M" upucuje na rijeµc "model" koja se µcesto koristi u istom znaµcanjuu kojem se ovdje koristi naziv "struktura".

U uµzem smislu, model je struktura koja zadovoljava neku reµcenicu ilinjihov skup; model je istinito tumaµcenje.



De�nicija strukture prvog reda

De�nicija

Funkcija M : struktura prvoga reda. Funkcija M je de�nirana za predikate,imena i kvanti�kator 8. Ta se funkcija, M naziva strukturom prvoga redaako su zadovoljeni sljedeci uvjeti.(i) M(8) je neprazan skup D, kojega nazivamo podruµcjem rasprave.(ii) Ako je P n-mjesni predikatski simbol u jeziku, onda je M(P) skupn-torki < x1, ..., xn > elemenata iz D. Taj se skup naziva ekstenzijom odP u M. Zahtijeva se da ekstenzija simbola identiteta sadrµzi sve parove< x , x > za x 2 D.(iii) Ako je c neko ime u jeziku, onda je M(c) element iz D, kojeganazivamo referentom od c u M.



Drukµcije iskazana de�nicijaStruktura kao funkcija

Podsjetnik. Za sve skupove a i b postoji skup svih ure�enih parova< x , y > takvih da x 2 a i y 2 b. Takav skup oznaµcavamo s a� b inazivamo ga Kartezijevim produktom od a i b. Kartezijev produkt semoµze dobiti iz veceg broja skupova. Za a� a korisiti se oznaka a2, zaa� a� a korisiti se oznaka a3, a za n-µclani produkt skupa a sa samimsobom - an, kao notacijska posebnost: a1 = a.

Funkcija M"Ulaz" "Izlaz"8 (univerzalni kvanti�kator) M(8) = D [domena, predmetno podruµcje]Pn (n-mjesni predikat) M(Pn) � f< x1, ..., xn >j x1 2 D, ..., xn 2 Dg [ekstenzija]

U drukµcijem zapisu: M(Pn) � Dn= M(=) = f< x , x >j x 2 Dgc (individualna konstanta) M(c) 2 D [referent]



Proizvoljnost?

Fiksiranje znaµcenja predikata i imena. Ako µzelimo da predikati imajuone ekstenzije koje inaµce imaju, onda postupamo sliµcno kao i usluµcaju identiteta i zahtijevamo da elementi domene i ekstenzijere�ektiraju stvarna svojstva. Na primjer, moµzemo traµziti da M (8)bude skup geometrijskih tijela, da ekstenzija predikata M (Kocka)obuhvaca sve one i samo one predmete iz M (8) koji jesu kocke, daekstenzija predikata M (VeceOd) obuhvaca sve one i samo oneparove predmeta iz M (8) kod kojih je prvi veci od drugoga.



Proizvoljnost tumaµcenja radi ciljaLogiµcka posljedica

"Zaboravljanje znaµcenja predikata i imena" Poku�avamokarakterizirati relaciju logiµcke posljedice prvoga reda. Popredteorijskom razumijevanju, ta relacija ne ovisi o znaµcenju predikata(osim predikata identiteta).U de�niciji semantiµckih pojmova za propozicijsku logiku kvanti�ciralismo nad odgovarajucim tumaµcenjima (nad "recima u istinitosnojtablici"; preciznije, nad funkcijama dodjeljivanja istinitosnihvrijednosti).Takav pristup dostatan je ocrtati odnose znaµcenja koji ovise oistinitosno funkcionalnim veznicima, ali ne uspijeva zahvatiti bogatijeodnose znaµcenja, koje susrecemo u logici prvog reda.Sada cemo "kvanti�cirati nad" odgovarajucim tumaµcenjima, nad"strukturama prvog reda". Buduci da nas ne zanimaju odnosiznaµcenja koji ovise o znaµcenju predikata (osim =), znemarujemo �topredikati znaµce.


Istina i zadovoljavanje

Do sada smo se za svrhu de�nicije istinitosti kvanti�ciranih reµcenicaoslanjali na pojam zadovoljavanja.

Podsjetnik. Neki predmet zadovoljava atomarnu ispravno sastavljenuformulu U(x) ako i samo ako taj predmet jest U. Opcenito za sve isf-e,predmet b zadovoljava isf-u P(x) ako i samo ako je n individualnakonstanta koja imenuje predmet b i P(n) je istinita reµcenica.

Uz pomoc pojma o strukturi prvoga reda, pojmove o istini izadovoljavanju moµzemo de�nirati na stroµzi naµcin.

Trebat ce nam jo�jedna funkcija da bismo zahvatili odnos izme�upredmeta i ispravno sastavljene formule s jednom slobodnomvarijablom.


Istina i zadovoljavanje Dodjeljivanje vrijednosti varijablama

Tumaµcenje" varijabli

"

Funkcija dodjeljivanja vrijednosti varijablama je pomocno sredstvozahvaljujuci kojemu cemo moci de�nirati odnos zadovoljavanja zakvanti�cirane reµcenice.

De�nicija

Neka je M struktura prvoga reda s domenom D. Dodjeljivanje vrijednostivarijablama u M je neka funkcija (moµzda parcijalna) g koja je de�niranaza skup varijabli i koja svoje vrijednosti dobiva u D (g : varijable �! D).

Funkcija dodjeljivanja vrijednosti"Ulaz" "Izlaz"varijabla predmet iz domene



Primjeri

Primjer

Neka je M struktura s domenom D = fa, b, cg. Poledajmo primjere nekihfunkcija dodjeljivanja vrijednosti varijablama:(i) g1 dodjeljuje b za x (tj. g1 = f< x , b >g, g1 je parcijalna funkcija akofx j 9y(y = g1(x))g 6= skup_varijabli),(ii) g2 dodjeljuje a, b, c za varijable x , y , z , tim redom,(iii) funkcija g3 dodjeluje svim varijablama u jeziku predmet b (totalnafunkcija s rangom fy j 9x(g3(x) = y)g = fbg),(iv) "prazna" funkcija g4 koja ne dodjeljuje vrijednost niti jednoj varijabli( dom (g4) = ∅, rang je u ovom sluµcaju fy j 9x(g4(x) = y)g = ∅).

Poseban sluµcaj je prazno dodjeljivanje vrijednosti varijablama.

Oznaka za prazno dodjeljivanje vrijednosti varijablama bit ce g∅.



Odgovarajuce dodjeljivanje vrijednosti varijablama

De�nicija

Za ispravno sastavljenu formula P dodjeljivanje vrijednosti varijablama gjest odgovarajuce ako su sve varijable koje su slobodne u P u domeni od g(tj. ako g dodjeljuje neki predmet svakoj slobodnoj varijabli koja se javljau P).

ZadatakKoja je varijabla slobodna ispravno sastavljenoj formuli8y [x 6= y ! (R (x , y) _ R (y , x))]?Je li dodjeljivanje vrijednostima varijabli g1=f< x , b >g odgovarajuce zatu formulu?Je li prazno dodjeljivanje vrijednostima varijabli g0 = ∅ odgovarajuce zatu formulu?



Izbjegavanje supstitucije

Bez supstitucije imena za varijable. U prethodnom izlaganju pojmovazadovoljavanja i istine oslonili smo se na uvr�tavanje imena na mjestuslobodnih varijabli. Zahvaljujuci uvo�enju funkcije g moci cemoizbjeci posredovanje supstitucije. Tako�er, koristeci ovakve funkcijemoci cemo postici µzeljenu opcenitost i de�nirati zadovoljavanje zan-mjesne predikate. Koristit cemo induktivnu de�niciju, gdje ce svakiposebni sluµcaj odgovarati jednom od naµcina izgradnje isf-a izatomarnih isf-a. Na kraju ce se problem postupno svesti na osnovnisluµcaj atomarne isf-e, gdje se izriµcito odre�uje �to zadovoljavanjeznaµci.



PodsjetnikIspravno sastavljena formula

De�nicija

Atomarna isf je niz simbola P(t1, ..., tn) gdje je P n-mjesni predikat asvaki pojedini ti je ili varijabla ili individualna konstanta.

De�nicija

[Osnovni uvjet] Atomarne ispravno sastavljene formule su ispravnosastavljene formule.[Induktivni uvjeti]Ako je P isf, onda je :P isf. Ako su P i Q isf-e, onda je(P ^Q) isf. Itd.Ako je P isf i v varijabla, onda su i 8vP i 9vP isf-e.[Zavr�ni uvjet] Ni�ta drugo osim onoga �to zadovoljava prethodne uvjetenije isf.



Primjedba

Izostavili smo funkcijske izraze.Njihovo izostavljanje nece umanjiti izraµzajnu moc jezika logike prvogreda.

Svakom n-mjesnom funkcijskom izrazu f (x1, ..., xn) moµzemo pridruµzitin+ 1-mjesni predikat R kojega de�niramo na sljedeci naµcin

8x1...8xn+1 [R (x1, ..., xn xn+1)$ f (x1, ..., xn) = xn+1 ]

Tada bilo koju formulu koja koristi funkcijske izraze

P (f (t1, ..., tn))

moµzemo zamijeniti s formulom u kojoj nema funkcijskih izraza

9x [R (t1, ..., tn , x) ^ 8y (R (t1, ..., tn , y) ^ y = x)]| {z }toµcno jedan takav-i-takav predmet

^8x [R (t1, ..., tn , x)! P (x)]| {z } .

jest P



Modi�ciranje dodjeljivanja vrijednosti varijablama

Da bismo mogli pokriti one sluµcajeve u kojima isf P zapoµcinje skvanti�katorima, potreban nam je naµcin modi�ciranja dodijeljivanjavrijednosti varijablama (dvv).

Primjer

Neka je g de�nirana za x . Da bismo kazali da g zadovoljava 8zVoli(x , z)moramo moci uzeti proizvoljni predmet b iz domene i ispitati dodjeljivanjevrijednosti varijablama koje je u svemu jednako s g osim po tome �to zavarijablu z dodjeljuje b. Kazat cemo da g zadovoljava 8zVoli(x , z) ako isamo ako svako modi�cirano dodjeljivanje g 0 zadovoljava 8zVoli(x , z).

Za oznaku modi�ciranog dvv g 0 koje se od izvornog g razlikuje samopo tome �to varijabli z dodjeluje predmet b koristimo "g [z/b]".Opcenito, g [v/b] je dodjeljivanje vrijednosti (i) µcija je domena istakao i domena za funkciju g uz dodatak varijable v i (ii) kojedodjeljuje iste vrijednosti kao g osim �to za v dodjeljuje b.

Citat

Odredite domenu i rang funkcije g [v/b]!



Privremena denotacija

Funkcije dodjeljivanja vrijednosti varijablamaomogucuja nam daslobodne varijable tretiramo kao da imaju privremenu denotaciju, neonu koju je zadana sa strukturom, vec onu koju su zadobile u svrhuizgradnje induktivne de�nicije zadovoljavanja.

Na taj naµcin, ako je dodjeljivanje vrijednosti g odgovarajuce za isf-uP, onda zahvaljujuci funkcijama M i g svi (singularni) termi(ni), bilioni konstante ili varijable, imaju svoju denotaciju (privremene ilistalne referente).



Proizvoljnost?

Fiksiranje znaµcenja predikata i imena. Ako µzelimo da predikati imajuone ekstenzije koje inaµce imaju, onda postupamo sliµcno kao i usluµcaju identiteta i zahtijevamo da elementi domene i ekstenzijere�ektiraju stvarna svojstva. Na primjer, moµzemo traµziti da M (8)bude skup geometrijskih tijela, da ekstenzija predikata M (Kocka)obuhvaca sve one i samo one predmete iz M (8) koji jesu kocke, daekstenzija predikata M (VeceOd) obuhvaca sve one i samo oneparove predmeta iz M (8) kod kojih je prvi veci od drugoga.



Proizvoljnost tumaµcenja radi ciljaLogiµcka posljedica

"Zaboravljanje znaµcenja predikata i imena" Poku�avamokarakterizirati relaciju logiµcke posljedice prvoga reda. Popredteorijskom razumijevanju, ta relacija ne ovisi o znaµcenju predikata(osim predikata identiteta).U de�niciji semantiµckih pojmova za propozicijsku logiku kvanti�ciralismo nad odgovarajucim tumaµcenjima (nad "recima u istinitosnojtablici"; preciznije, nad funkcijama dodjeljivanja istinitosnihvrijednosti).Takav pristup dostatan je ocrtati odnose znaµcenja koji ovise oistinitosno funkcionalnim veznicima, ali ne uspijeva zahvatiti bogatijeodnose znaµcenja, koje susrecemo u logici prvog reda.Sada cemo "kvanti�cirati nad" odgovarajucim tumaµcenjima, nad"strukturama prvog reda". Buduci da nas ne zanimaju odnosiznaµcenja koji ovise o znaµcenju predikata (osim =), znemarujemo �topredikati znaµce.


Istina i zadovoljavanje

Do sada smo se za svrhu de�nicije istinitosti kvanti�ciranih reµcenicaoslanjali na pojam zadovoljavanja.

Podsjetnik. Neki predmet zadovoljava atomarnu ispravno sastavljenuformulu U(x) ako i samo ako taj predmet jest U. Opcenito za sve isf-e,predmet b zadovoljava isf-u P(x) ako i samo ako je n individualnakonstanta koja imenuje predmet b i P(n) je istinita reµcenica.

Uz pomoc pojma o strukturi prvoga reda, pojmove o istini izadovoljavanju moµzemo de�nirati na stroµzi naµcin.

Trebat ce nam jo�jedna funkcija da bismo zahvatili odnos izme�upredmeta i ispravno sastavljene formule s jednom slobodnomvarijablom.



Tumaµcenje" varijabli

"

Funkcija dodjeljivanja vrijednosti varijablama je pomocno sredstvozahvaljujuci kojemu cemo moci de�nirati odnos zadovoljavanja zakvanti�cirane reµcenice.

De�nicija

Neka je M struktura prvoga reda s domenom D. Dodjeljivanje vrijednostivarijablama u M je neka funkcija (moµzda parcijalna) g koja je de�niranaza skup varijabli i koja svoje vrijednosti dobiva u D (g : varijable �! D).

Funkcija dodjeljivanja vrijednosti"Ulaz" "Izlaz"varijabla predmet iz domene



Primjeri

Primjer

Neka je M struktura s domenom D = fa, b, cg. Poledajmo primjere nekihfunkcija dodjeljivanja vrijednosti varijablama:(i) g1 dodjeljuje b za x (tj. g1 = f< x , b >g, g1 je parcijalna funkcija akofx j 9y(y = g1(x))g 6= skup_varijabli),(ii) g2 dodjeljuje a, b, c za varijable x , y , z , tim redom,(iii) funkcija g3 dodjeluje svim varijablama u jeziku predmet b (totalnafunkcija s rangom fy j 9x(g3(x) = y)g = fbg),(iv) "prazna" funkcija g4 koja ne dodjeljuje vrijednost niti jednoj varijabli( dom (g4) = ∅, rang je u ovom sluµcaju fy j 9x(g4(x) = y)g = ∅).

Poseban sluµcaj je prazno dodjeljivanje vrijednosti varijablama.

Oznaka za prazno dodjeljivanje vrijednosti varijablama bit ce g∅.



Odgovarajuce dodjeljivanje vrijednosti varijablama

De�nicija

Za ispravno sastavljenu formula P dodjeljivanje vrijednosti varijablama gjest odgovarajuce ako su sve varijable koje su slobodne u P u domeni od g(tj. ako g dodjeljuje neki predmet svakoj slobodnoj varijabli koja se javljau P).

ZadatakKoja je varijabla slobodna ispravno sastavljenoj formuli8y [x 6= y ! (R (x , y) _ R (y , x))]?Je li dodjeljivanje vrijednostima varijabli g1=f< x , b >g odgovarajuce zatu formulu?Je li prazno dodjeljivanje vrijednostima varijabli g0 = ∅ odgovarajuce zatu formulu?



Izbjegavanje supstitucije

Bez supstitucije imena za varijable. U prethodnom izlaganju pojmovazadovoljavanja i istine oslonili smo se na uvr�tavanje imena na mjestuslobodnih varijabli. Zahvaljujuci uvo�enju funkcije g moci cemoizbjeci posredovanje supstitucije. Tako�er, koristeci ovakve funkcijemoci cemo postici µzeljenu opcenitost i de�nirati zadovoljavanje zan-mjesne predikate. Koristit cemo induktivnu de�niciju, gdje ce svakiposebni sluµcaj odgovarati jednom od naµcina izgradnje isf-a izatomarnih isf-a. Na kraju ce se problem postupno svesti na osnovnisluµcaj atomarne isf-e, gdje se izriµcito odre�uje �to zadovoljavanjeznaµci.



PodsjetnikIspravno sastavljena formula

De�nicija

Atomarna isf je niz simbola P(t1, ..., tn) gdje je P n-mjesni predikat asvaki pojedini ti je ili varijabla ili individualna konstanta.

De�nicija

[Osnovni uvjet] Atomarne ispravno sastavljene formule su ispravnosastavljene formule.[Induktivni uvjeti]Ako je P isf, onda je :P isf. Ako su P i Q isf-e, onda je(P ^Q) isf. Itd.Ako je P isf i v varijabla, onda su i 8vP i 9vP isf-e.[Zavr�ni uvjet] Ni�ta drugo osim onoga �to zadovoljava prethodne uvjetenije isf.



Primjedba

Izostavili smo funkcijske izraze.Njihovo izostavljanje nece umanjiti izraµzajnu moc jezika logike prvogreda.

Svakom n-mjesnom funkcijskom izrazu f (x1, ..., xn) moµzemo pridruµzitin+ 1-mjesni predikat R kojega de�niramo na sljedeci naµcin

8x1...8xn+1 [R (x1, ..., xn xn+1)$ f (x1, ..., xn) = xn+1 ]

Tada bilo koju formulu koja koristi funkcijske izraze

P (f (t1, ..., tn))

moµzemo zamijeniti s formulom u kojoj nema funkcijskih izraza

9x [R (t1, ..., tn , x) ^ 8y (R (t1, ..., tn , y) ^ y = x)]| {z }toµcno jedan takav-i-takav predmet

^8x [R (t1, ..., tn , x)! P (x)]| {z } .

jest P



Modi�ciranje dodjeljivanja vrijednosti varijablama

Da bismo mogli pokriti one sluµcajeve u kojima isf P zapoµcinje skvanti�katorima, potreban nam je naµcin modi�ciranja dodijeljivanjavrijednosti varijablama (dvv).

Primjer

Neka je g de�nirana za x . Da bismo kazali da g zadovoljava 8zVoli(x , z)moramo moci uzeti proizvoljni predmet b iz domene i ispitati dodjeljivanjevrijednosti varijablama koje je u svemu jednako s g osim po tome �to zavarijablu z dodjeljuje b. Kazat cemo da g zadovoljava 8zVoli(x , z) ako isamo ako svako modi�cirano dodjeljivanje g 0 zadovoljava 8zVoli(x , z).

Za oznaku modi�ciranog dvv g 0 koje se od izvornog g razlikuje samopo tome �to varijabli z dodjeluje predmet b koristimo "g [z/b]".Opcenito, g [v/b] je dodjeljivanje vrijednosti (i) µcija je domena istakao i domena za funkciju g uz dodatak varijable v i (ii) kojedodjeljuje iste vrijednosti kao g osim �to za v dodjeljuje b.

Citat

Odredite domenu i rang funkcije g [v/b]!



Privremena i stalna denotacija

Funkcije dodjeljivanja vrijednosti varijablamaomogucuja nam daslobodne varijable tretiramo kao da imaju privremenu denotaciju, neonu koju je zadana sa strukturom, vec onu koju su zadobile u svrhuizgradnje induktivne de�nicije zadovoljavanja.Na taj naµcin, ako je dodjeljivanje vrijednosti g odgovarajuce za isf-uP, onda zahvaljujuci funkcijama M i g svi (singularni) termi(ni), bilioni konstante ili varijable, imaju svoju denotaciju (privremene ilistalne referente).Denotacija

[[t]]Mg = M (t)

singularnih termina:

[[t]]Mg = M (t)

ako je t konstanta.

[[t]]Mg = g (t)

ako je t varijabla.() Semantiµcki pojmovi za logiku prvog reda 27. oµzujka 2008. 37 / 56

Zadovoljavanje

De�nicija zadovoljavanja

Sada moµzemo de�nirati �to to znaµci da dodjeljivanje vrijednosti gzadovoljava isf P u strukturi M.

Prvo, g mora biti odgovarajuce za P.

Drugo, de�nicija nece donijeti nikakvih iznena�enja, zapravo je rijeµcsamo o formalizaciji jedne intuitivne ideje.


Zadovoljavanje

De�nicija zadovoljavanja

De�nicija

Neka je P isf i g dodjeljivanje vrijednosti varijablama u M koje jeodgovarajuce za P.Atomarni sluµcaj. Pretpostavimo da je P isf R(t1, ..., tn), gdje je Rn-mjesni predikat. Tada g zadovoljava P u M ako i samo ako n-torka< [[t1]]

Mg , ..., [[tn ]]

Mg > jest u RM (tj. < [[t1]]

Mg , ..., [[tn ]]

Mg >2 M(R)).

Negacija. Pretpostavimo da je P: - :Q. Tada g zadovoljava P u M ako isamo ako g ne zadovoljava Q.Konjunkcija. Pretpostavimo da je P - Q ^ R. Tada g zadovoljava Q ^ R uM ako i samo ako g zadovoljava i Q i R.Disjunkcija. Pretpostavimo da je P - Q _ R. Tada g zadovoljava Q _ R uM ako i samo ako g zadovoljava ili Q ili R. (ili oboje).Kondicional. Pretpostavimo da je P - Q ! R. Tada g zadovoljavaQ ! R u M ako i samo ako g ne zadovoljava Q ili g zadovoljava R. (ilioboje).Bikondicional. Pretpostavimo da je P - Q $ R. Tada g zadovoljavaQ $ R u M ako i samo ako g zadovoljava oboje, i Q i R. ili nezadovoljava ni jedno ni drugo.


Zadovoljavanje

De�nicija zadovoljavanja: NASTAVAK

De�nicija

Univerzalna kvanti�kacija. Pretpostavimo da je P - 8vQ. Tada gzadovoljava 8vQ u M ako i samo ako za svaki d 2 M (8), g [v/d ]zadovoljava Q.Egzistencijalna kvanti�kacija. Pretpostavimo da je P - 9vQ. Tada gzadovoljava 9vQ u M ako i samo ako za neki d 2 M (8), g [v/d ]zadovoljava Q.


Zadovoljavanje

ZapisTvrdnju da dodjeljivanje vrijednosti varijablama g zadovoljava isf-u P ustrukturi M zapisujemo na sljedeci naµcin:

M j= P [g ]


Zadovoljavanje

Vjeµzba

Primjer

Struktura M s domenom D = fa, b, cg. Jezik sadrµzi binarni predikat Voliµcija je ekstenzija u strukturi VoliM = f< a, a >,< a, b >,< c , a >g.Promatramo isf: 9y(Voli(x , y) ^ :Voli(y , y)). Dodjeljivanje gzadovoljava isf-u ako i samo ako ono dodjeljuje a za x (naime jedino a volinekoga koji ne voli samoga sebe). Ispitajmo primjer koristeci gornjude�niciju. Prvo, g mora dodjeljivati neku vrijednost za x da bi g biloodgovarajuce za formulu. Ta vrijednost mora biti jedan me�u a, b i c ;nazovimo je e. Drugo, po klauzuli za 9, g zadovoljava ovu isf akko postojid 2 D takav da g [y/d ] zadovoljava Voli(x , y) ^ :Voli(y , y). Poklauzulama za konjunkciju i negaciju, g [y/d ] tada zadovoljava Voli(x , y) ine zadovoljava Voli(y , y). Gledajuci na atomarni sluµcaj, tada < e, d >mora biti u ekstenziji VoliM , a < d , d > ne smije biti u toj ekstenziji.Ispitajmo sluµcajeve (i) e = d = a otpada, (ii) e = b i d = a otpada, itd.Jedina mogucnost je e = a i d = b. Zato je jedini naµcin da g zadovoljizadanu isf-u u M onaj u kome g dodjeljuje a za x .


Zadovoljavanje

U prethodnom smo primjeru analizirali isf-u s jednom slobodnomvarijablom, ali za tu smo svrhu morali razmotriti isf-e s dvije slobodnevarijable.

Zapravo, traµzimo naµcin za de�nirati istinitost reµcenica, a to znaµci isf-abez slobodnih varijabli.

No za tu svrhu, morali smo ici do vi�eg stupnja opcenitosti i de�niratizadovoljavanje za isf-e sa slobodnim varijablama. Kada smo jednomde�nirali zadovoljavanje za isf-e, moµzemo prijeci na poseban sluµcajisf-a bez slobodnih varijabli i de�nirati istinu.

Dodatno uvodimo jo�jedan pojam o odnosu. Kaµzemo da struktura Mjest struktura za jezik L ako M jest de�nirano za svaki simbol koji sejavlja u L.


Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanju vrijednosti

De�nicija istine za logiku prvog reda

De�nicija (Istina)

Neka je L neki jezik prvoga reda i neka je M stuktura za L.Reµcenica P je istinita u M ako i samo ako prazno dodjeljivanje vrijednostig∅ zadovoljava P u M.U protivnom, P je laµzna u M.

Zapis. Ako je reµcenica P istinita u M pi�emo:

M j= P



Analiza primjera

Pogledajmo ovaj primjer:http://www.¤st.hr/~logika/pilot/applet/strukture/istina.htm



Tvrdnja

Neka su M1 i M2 strukture koje imaju istu domenu i koje dodjeljuju istuinterpretaciju za predikate i konstante u isf P, te neka su g1 i g2dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja dodjeljuju iste vrijednosti(predmete) za slobodne varijable u isf-i P.Tada,M1 j= P [g1] ako i samo ako M2 j= P [g2]



DokazOsnovni korak

Dokaz.Dokaz treba izraditi koristeci indukciju nad isf-ama.Osnovni korak: Pretpostavimo da je P - R(t1, ..., tn), gdje je R n-mjesnipredikat. Po de�niciji, g1 zadovoljava P u M1 ako i samo akoD[[t1]]

M1g1 , ..., [[tn ]]

M1g1

E2 M1(R), a g2 zadovoljava P u M2 ako i samo akoD

[[t1]]M2g2 , ..., [[tn ]]

M2g2

E2 M2(R). Buduci da se dvije strukture i dva

dodjeljivanja vrijednosti podudaraju u pogledu interpretacije svakogsimbola koji se javlja u P, vrijedit ce za svaki term ti da [[ti ]]

M1g1 = [[ti ]]

M2g2

te za predikat R da M1(R) = M2(R). Uz potrebne primjene eliminacijeidentiteta dobivamo: M1 j= P [g1] ako i samo ako M2 j= P [g2] .



DokazInduktivni korak

Dokaz.U induktivnom cemo koraku razmotrit samo jedan sluµcaja od mogucihsedam sluµcajeva: egzistencijalnu isf-u.Dokazujemo izravno kondicionalnim dokazom (! Intro). Najprijepostavimo induktivnu hipotezu: M1 j= Q [g1] ako i samo akoM2 j= Q [g2].Trebamo dokazati da tada treba vrijediti:[NADOPUNITE!].Pretpostavimo suprotno od traµzenog, to jest [pretpostavka za reductio] (i)M1 2 9vQ [g1] i M2 j= 9vQ [g2] ili (ii) M1 j= 9vQ [g1] iM2 2 9vQ [g2]. Ispitajmo sluµcajeve [_Elim]! Ako (i), onda ne postojid 2 M1 (8) takav da g1[v/d ] zadovoljava Q, ali postoji e 2 M1 (8) takavda g2[v/e] zadovoljava Q. Buduci su domene identiµcne, iz prethodnogslijedi da neki e M1 2 Q [g1[v/e ]] i M2 j= Q [g2[v/e ]]. Buduci da se g1 ig2 poklapaju s obzirom na v , prethodno je moguce samo ako postojirazlika ili u domeni ili u interpretaciji predikata ili u dodjeljivanjuvrijednosti za ostale slobodne varijable u Q. To znaµci da mora vrijeditiM1 2 Q [g1] i M2 j= Q [g2]. No ta je mogucnost iskljuµcenainduktivnom hipotezom. Drugi sluµcaj je sliµcan.



Semantiµcke de�nicije

Kada na raspolaganju pojam o istini, moµze de�nirati druge vaµznepojmove poput posljedice prvoga reda ili valjane reµcenice prvoga reda.

U sljedecim de�nicijama pretpostavljamo da nam je zadan neki jezikprvoga reda i da sve reµcenice o kojima je rijeµc pripadaju tom jeziku.Pod nazivom struktura misli se na bilo koju strukturu prvoga redakoja daje interpretaciju za sve predikate i individualne konstante togajezika.



De�nicija (Posljedica prvoga reda)

Reµcenica Q je posljedica prvoga reda skupa reµcenica T = fP1, ...g ako isamo ako svaka struktura prvog reda koja µcini sve reµcenice iz T istinitima,µcini i Q istinitom.

Ova de�nicija je sliµcna de�niciji tautolo�ke posljedice.

Razlika leµzi u tome �to se umjesto dodjeljivanja istinitosnihvrijednosti, ovdje koristimo strukture prvoga reda.

Pi�emo T j= Q kao skraceni zapis za svaki M vrijedi M j= Q kad godza svaku reµcenicu P vrijedi M j= P.



Valjana reµcenica prvog reda

Vrsta logiµcke istine: istina logike prvog reda.

De�nicija (Valjana reµcenica prvoga reda)

Reµcenica P je valjana reµcenica prvoga reda ako i samo ako je P istinito usvakoj strukturi prvoga reda.

Pi�emo j= P ako za svaku strukturu prvog reda M vrijedi M j= P.



Zadovoljivost

Na sliµcan naµcin idemo i prema ostalim semantiµckim pojmovima.

De�nicija

Neka reµcenica je zadovoljiva u logici prvoga reda ako i samo ako postojistruktura prvoga reda koja tu reµcenicu µcini istinitom.

De�nicija

Skup reµcenica je zadovoljiv u logici prvoga reda ako i samo ako postojistruktura prvoga reda koja µcini istinitom svaku reµcenicu iz tog skupa.



Za zapamtiti

1 Strukture prvoga reda su apstraktni (ili formalni) modeli domene okojoj izruiµcemo tvrdnje koristeci logiku prvoga reda.

2 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama je funkcija koja preslikavavarijable u domenu neke strukture prvoga reda.

3 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama zadovoljava isf-u ako (uintuitivnom smislu) predmeti dodjeljeni varijablama µcine isf-uistinitom u strukturi.

4 Pomocu pojma zadovoljavanja moµzemo formalno de�nirati �to znaµciistinitost reµcenice u strukturi.

5 Kada na raspolaganju imamo pojam istinitosti u strukturi, moµzemode�nirati pojmove o posljedici, valjanosti i zadovoljivosti u smislulogike prvoga reda.


Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanju vrijednostiPrimjeri drukµcijeg (ali istovrijednog) de�niranja semantiµckih

pojmova

Citat

Semantiµcka interpretacija koristi strukture D = (D,O;P), gdje je Ddomena predmeta, O skup razlikovanih predmeta, a P skup predikata.Funkcija interpretacije I pridruµzuje individualnim konstantama crazlikovane predmete I (c) 2 O, a k�mjesnim predikatnim simbolimapridruµzuje k�mjesne predikate I (P) 2 P. Dodjeljivanje vrijednostivarijablama a pridruµzuje individualnim varijablama x predmete a(x) 2 D.Ovdje je I trajnija veza a a lokalnija i �dinamiµcna�. Dalje dolaze vrijednostiterma:

vrijednost(x ,D, I , a) = a(x)

vrijednost(c ,D, I , a) = I (c)



pojmova

Nastavak citata

CitatDalje, Tarskijeva de�nicija istine de�nira sredi�nju ideju "φ je istinito u Dpod I i a":

D, I , a � φ

putem sljedecih induktivnih klauzula (atomarni sluµcaj je dan u oblikuprimjera):D, I , a � Rt1t2 akko I (R)(vrijednost(t1,D, I , a), vrijednost(t2,D, I , a))D, I , a � t1 = t2 akko vrijednost(t1,D, I , a) = vrijednost(t2,D, I , a)D, I , a � :φ akko nije sluµcaj da D, I , a � φD, I , a � φ ^ ψ akko D, I , a � φ i D, I , a � ψi na sliµcan naµcin za ostale propozicijske veznikeD, I , a � 9xφ akko postoji neki d 2 D takav da D, I , axd � φi na sliµcan naµcin za univerzalni kvanti�katorOvdje je axd dodjeljivanje vrijednosti b koje je po svemu jednako s a osim smogucom razlikom u tome da ono dodjeljuje predmet d za varijablu x .Johan van Benthem. Exploring Logical Dynamics. CSLI Publications.Stanford, 1996.

str. 48



pojmova

Citat

Statiµcna semantika sastoji se od trojke L,K ,�, gdje je L jezik, K skupmodela, a � relacija korespondencije izme�u M 2 K i φ 2 L. Ako M � φonda kaµzemo da je φ istinito u M. Ako Γ � L onda M � φ znaµci da svakareµcenica ψ 2 L jest istinita u M. Ako Γ � L, φ 2 L kaµzemo da jeargument Γ/φ klasiµcno valjan u K pod uvjetom da za svaki model M 2 Kgdje M � Γ tako�er vrijedi M � φ; zapis Γ �cK φ.Willem Groenenveld. Logical Investigations into Dynamic Semantics.ILLC, Amsterdam, 1995. str. 39.



pojmova

Vjeµzba modeliranja

ZadatakKoristeci logiµcko modeliranje izradite eksplikaciju pojma okomunikacijskom nesporazumu!Opi�ite situaciju u kojoj se sugovornici A i B ne slaµzu u pogledu teme okojoj imaju isto mi�ljenje!Opi�ite situaciju u kojoj se sugovornici A i B slaµzu u pogledu teme o kojojnemaju isto mi�ljenje!


strukture prvog reda - filozofski fakultet u...

Documents