struktur rangka batang -...
TRANSCRIPT
Getaran (Vibration)
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar.
Garpu tala,
Senar gitar yang sering anda mainkan,Sound system,
Ingat juga ketika anda tertawa terpingkal-pingkal tubuh anda juga bergetar
Demikian juga rumah anda yang bergetar dasyat hingga rusak ketika terjadi gempa bumi.
Getaran (Vibration)
Getaran adalah gerakan bolak-balik dalam suatu interval waktutertentu. Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling berkaitan. Baik itu gelombang air laut, gelombang gempa bumi, gelombang suara yang merambat di udara; semuanya bersumber pada getaran. Dengan kata lain, getaran adalah penyebab adanya gelombang.
Getaran Bebas (Free Vibration)
Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanyagaya yang ada dalam sistem itu sendiri .
Persamaan gerak secara umum :
)(tpkuucum
Kecepatan dan perpindahan saat t=0 :
00 )0(,)0( uuuu
Sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
)(2
22
tpk
uuu nnn
dimana
m
kn
2
dimana
n
ncr
kmc
22
crc
c
dan
k c
ωn adalah frekuensi alami sudut tak teredam (rad/s), ζ adalah faktor redamanliat dan ccr adalah koefisien redaman kritis.
Getaran bebas system SDOF
Respon total :
)()()( tututu cp
Di dalam istilah matematika, penyelesaian umum dari persamaandiferensial terdiri dari penyelesaian sesungguhnya up(t) danpenyelesaian komplemen/pelengkap uc(t).
up(t) = forced motion related p(t) uc(t) = natural motion
P(t)m
u
K
Ic
Getaran bebas system SDOF
Untuk getaran bebas → P(t)=0:
0 kuucum
022 uuu nn
Solusi umum, untuk menyelesaikan persamaan diatas :
tseCu
Maka….
substitusikan
Getaran bebas system SDOF
0)2(22 ts
nn eCss
Supaya dapat valid untuk semua nilai t , maka :
0222 nnss
Persamaan Karakteristik
(persamaan polynomial derajat n dalam besaran
yang mempunyai n buah harga )
2s2s
Getaran bebas system SDOF
SDOF Tak Teredam
(Undamped)
SDOF Teredam
(Damped)
Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah
0 kuum 02 uu natau
dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah
022 ns
akar dari persamaan diatas adalah
1-idimana2,1 nis
Sehingga penyelesaian umum :
titi nn eCeCu
21
dengan memperkenalkan persamaan Euler
sincos ie i
kita dapat menulis ulang persamaan dalam bentuk fungsi
trigonometri, yaitu
tAtAu nn sincos 21
dimana A1 dan A2 adalah konstanta real, ditentukan dari kondisi
awal perpindahan dan kecepatan,
jadi
tu
tuu n
n
n
sincos 0
0
adalah respon getaran bebas
dari sistem "undamped
SDOF".
Jika ů(0) = 0 , jadi
tuu ncos0
nAuu
Auu
20
10
)0(
)0(
Dapat dilihat bahwa respon merupakan gerakan harmonik
sederhana dengan amplitudo uo, dan periode dari "undamped
natural"
tuu ncos0
(s)2
n
nT
dan sebuah frekuensi dari "undamped natural"
(Hz)2
1
n
n
nT
f
n
nn tUtUtu
cos)cos()(
tu
tutu n
n
n
sincos)( 00
A
BtBAtBtAtu nnn
cos
sintan ),cos(sincos)( 22
F(t)
W8x24
200 lb/ft
15 ft
25 ft
Model Struktur :
E = 30.106 psi
I = 82,5 in4
W = 200 x 25 = 5000 lb
g = 386 in/s2
Contoh
Persamaan Gerak dan persamaan respons
getaran bebasnya (F(t)=0) ?
F(t)
W8x24
200 lb/ft
15 ft
F(t)
Model SDOF
Model Matematis
F(t)m
K
y
FBD
fsm F(t)
I
Penyelesaian :
tFfsI fsm F(t)
I
tFykym ..
spsf
sTsradm
k
inslbg
Wm
inlbL
IEK
n
n
nn
46.45000
386.10185
2
1
2
224.02
/04.285000
386.10185
/.953.12386
5000
/1018512.15
5,82.210.30.12212
2
3
6
3
010185953.12 yy Persamaan Gerak
tu
tutu n
n
n
sincos)( 00
Persamaan Respons Getaran Bebas :
tu
tutu 04.28sin04.28
04.28cos)( 00
Latihan
Jika: Simpangan awalKecepatan awal
Gambarkan Respons Struktur!!(Masukan nila t=0 sampai t=5, dengan intervalwaktu 0.2)
ft001,00 y
ft/dt1,00 y
tu
tutu n
n
n
sincos)( 00
tu
tutu 04.28sin04.28
04.28cos)( 00
-0.0015
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0 1 2 3 4 5 6
u(t)
t(time)
Respon Getaran Bebas SDOF Tak Teredam
Tuned Mass Damper
0 kuucum 022 uuu nn
Persamaan gerakan untuk sistem "Undamped SDOF" adalah
atau
dan persamaan karakteristik yang sesuai adalah
0222 nnss
dimana akar-akarnya , s1 dan s2 diberikan oleh
12
2,1 nns
Besarnya faktor "damping" ( ) , dapat digunakan untuk
membedakan 3 kasus, yaitu:
underdamped (0 < < 1)
critically damped ( = 1 )
overdamped ( 1 )
Kasus critically damped ( = 1 )
Ketika ζ=1 maka persamaan
12
2,1 nns
menjadi
ns 2,1
maka respon dari sistem redaman kritis adalah:
Solusinya menjadi:
tnetCCtu
)()( 21
t
onoonetuuutu
])([)(
Kasus overdamped ( > 1 )
12
2,1 nns ( > 1)
*
2,1 ns
Persamaan diatas dapat ditulis
dimana
12* n
Kasus Underdamped ( 0 < < 1)
12
2,1 nns ( 0 < < 1)
dn is 2,1
Lebih mudah bila menulis persamaan diatas
dalam bentuk
dimana d adalah frekuensi alami " damped circular "
yang diberikan oleh
21 nd
yang sesuai dengan periode damped , Td , yang
diberikan oleh
d
dT
2
Dengan bantuan dari formula Euler, penyelesaian umum, u
(t), dapat ditulis dalam bentuk
)sincos()( 21 tAtAetu dd
tn
dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2
, dengan hasil:
)sincos)( 00
0 tuu
tuetu d
d
nd
tn
)cos()(
tUetu d
tn
A
BtBAtBtAtu nnn
cos
sintan ),cos(sincos)( 22
Gambar diatas menunjukkan perbandingan antara respon-respon
dari sistem-sistem SDOF mempunyai level-level yang berbeda
dalam subcritical damping. Dalam tiap kasus, karena uo = 0
, respon yang didapat
teu
tu d
t
d
n
sin0
Penyelesaian umum, u (t), dapat ditulis dalam bentuk
)sinhcosh()( *
2
*
1 tAtAetutn
dan juga, uo dan ůo digunakan untuk mengevaluasi A1 dan A2
, dengan hasil:
)sinhcosh)( *
*
00*
0 tuu
tuetu ntn
)sinhcosh)( *
*
00*
0 tuu
tuetu ntn
0
0.8
1.6
0 0.8 1.6 2.4 3.2
1
1.5
2
sinu
sradn
/20
/5
0
Eksperimen Penentuan dari
Frekuensi Alami Dasar dan
Faktor Damping dari sebuah
sistem SDOF
Faktor damping , , umumnya diukur, dan bila
diinginkan, nilai efektif dari c dapat dihitung dari
persamaan
Frekuensi alami undamped dari sebuah sistem SDOF
sederhana dapat ditentukan dari pengukuran statis.
crc
c
Contoh
Tentukan frekuensi alami dari sebuah sistem pegas
sederhana dengan menggunakan pengukuran statis.
Penyelesaian :
k Lo k
w
ust
fs=kust
w
n
2= k/m
keseimbangan berat dari massa yang tergantung pada
pegas ditunjukkan pada
0F
atau
0 sfW
dari persamaan gaya yang menyebabkan perpanjangan
pada pegas
sts kuf
2
1
3
4
persamaan 3 dan 4 digabungkan mendapatsts kumgf 5
k Lo k
w
ust
fs=kust
w
jadi, dari persamaan 1 dan 5
st
nu
g
2
6
Contoh
Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massalumped (terpusat) bergerak dinamis. Massa bergerakdengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakanyang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangatkecil. Hitung frekuensi natural dalam radian per detikdan hertz. Berapa periodenya?
Penyelesaian :
Pada titik a, beban telah bergerak 1¼ putaran
Hzputaran
125.34.0
25.1
sfn
rad/s6.19)125.3)(28.6(2 nn f
sf
Tn
n 32.0125.3
11
Terdapat dua metode yang hampir sama untuk
menentukan the damping factor, , dengan
menggunakan rekaman melemahnya getaran bebas
dari sebuah sistem SDOF : metoda logarithmic
decrement dan metoda setengah amplitudo.
Dalam metoda logarithmic decrement , amplitudo
gerakan, UP, pada permulaan dari putaran dan
amplitudonya, UQ, pada akhir.
Didapat persamaan
dnT
Q
P eu
u
the logarithmic decrement dijelaskan sebagai berikut :
dn
Q
P Tu
u
ln
dimana Td
adalah periode natural damped , dijelaskan
sebagai berikut :
21
22
nd
dT
jadi, kita mendapatkan
21
2
dnT
Untuk damping kecil ( < 0.2 ) , perkiraannya :
2dapat diterima, memungkinkan faktor damping untuk
didapat dari persamaan :
Q
P
U
Uln
2
1
Prosedur yang sama juga diterapkan pada metoda
setengah amplitudo, dimana hasilnya merupakan
perhitungan yang sederhana untuk faktor damping.
Metoda setengah amplitudo berdasarkan pada
amplitudo dari envelope curve (kurva envelope).
tnUetu
)(ˆ
2
ˆˆ P
R
uu
Titik-titik tersebut adalah N periode damped yang
terpisah, dimana N tidak harus sebuah bilangan bulat.
Kemudian,
2ˆ
ˆ dnNT
R
P eu
u
pada dua titik P dan R,
dimana :
Sehingga diperoleh persamaan
)2ln(1
2
2
N
Grafik hubungan antara dan N .
Tetapi, untuk nilai damping yang kecil, 2<<
1, menghasilkan:
)2ln(2 N
atau
N
11.0
Persamaan diatas menyediakan cara yang mudah
untuk memperkirakan the damping dalam sebuah
sistem yang damped secara ringan ( < 0.1, misal N >
1 )
Contoh
Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegasdengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat)sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85.
a). Frekuensi natural tak teredam (ωn)
b). Pengurangan logaritmis
c). Rasio redaman(ζ)
d). Koefisien redaman(c)
e). Frekuensi natural redaman (ωn)
)(
Penyelesaian :
a). Frekuensi natural tak teredam (ωn)
m
Kn
2in/sec 386
lb 10
g
WmK = 20 lb/in ,
secrad 78,27
38610
20n sps 42,4
2
78,27
2
fatau
b). Pengurangan logaritmis
2
1lny
y y1 = 1,00
y2 = 0,85
165,085,0
0,1ln
c). Rasio redaman(ζ)
2 026,0
2
163,0
d). Koefisien redaman(c)
crc
c
386201022 mkccr
crcc
386
20102026,0
in
dtlb 037,0
e). Frekuensi natural redaman (ωD)
,1 2 D
rad/det 77.27)026.0(178.27 2 D
Contoh
Gunakan metode setengah amplitudo untuk
memperkirakan the damping dari sebuah sistem yang
gerakannya terekam dalam gambar berikut,
Penyelesaian :
049.025.2
11.0
• Gambar sketsa dari the envelope curve ( terdapat
pada gambar)
• Ambil titik P pada puncak dan ukur uP; u
P= 0.44 in.
• Cari titik R , dimana amplitudo dari the envelope
curve adalah uP/2 = 0.22 in.
• Perkirakan jumlah putaran antara P dan R : N =
2.25 putaran
• Gunakan persamaan dibawah ini untuk
memperkirakan :
N
11.0