Fur die Berufspraxis - 7. Folge

Stromungswiderstand sowie stationarer und instationarer Stoff- und Warmeubergang an Kugeln

Prof. Dr.-lng. H. Brauer und Dr. Ing. D. Mewes, T.U. Berlin

Einleitung und technische Bedeutung

Der Stoff- und Warmeubergang an Kugeln ist fur alle jone verfahrensteehnische Prozesse, bei denen einzelne Partikeln oder auch Partikelschwarme auftreten, von grundsatzlichem Interesse. Die Kugel ist von allen denkbaren Partikeln der einfachste Korper. Die fur Kugeln geltenden Gesetze der Bewegung sowie des Stoff- und Warmeubergangs lassen sich mit um so groljerer Zuverlassigkeit auf andere Par- tikeln ubertragen, je kleiner diese sind.

Die Kugeln konnen sowohl feste als auch fluide Korper sein. Unter fluiden Korpern versteht man Blasen und Tropfen. Der Unterschied zwischen festen und fluiden Partikeln be- steht vor allem darin, dalj die fluiden Korper deformierbar und ihre Grenzflachen beweglich sind. Bei sehr kleinen Blasen und Tropfen erzwingt die im Vergleich zu den anderen Kraften u-irksame Oberflachenspannungskraft stets Kugel- form. Kugelformige Blasen und Tropfen sind daher form- stabile fluide Korper. Bul3en sie weiterhin noch die Beweg- lichkeit ihrer Phasengrenzflache ein, was unter dem Einflulj grenzflachenaktiver Stoffe der Fall sein kann, dann lassen sich die fiir feste Kugeln geltenden Gesetze auf fluide Kugeln ubertragen.

Die Zahl der in einem technischen Apparat auftretenden Partikeln ist immer sehr grolj. Man spricht daher auch von Partikelschwarmen. Beobachtet man das Verhalten einer im Schwarm befindlichen Partikel, so stellt man fest, dalj es von den benaehbarten Partikeln beeinfluRt wird. Bei sehr geringem Abstand zwischen den Partikeln ist die gegenseitige Beeinflussung sehr grolj ; es gelten die ,,Schwarm- gesetze" [I]. Mit zunehmendem Abstand zwischen benach- barten Partikeln nimmt die gegenseitige Beeinflussung ab. 1st der Abstand zwischen den Mittelpunkten benachbarter Partikeln groRer als etwa der sechsfache Partikeldurch- messer, dann darf man die gegenseitige Beeinflussung ver- nachlassigen; es gelten die ,,Gesetze fur Einzelpartikel". Diese Gesetze lassen sich als Grenzgesetze fur Partikel- schwarme ansehen

Die praktische Bedeutung der ,,Gesetze fur Einzelpartikel" last sich um so sicherer ermessen, je besser die Vorstellung vom Partikelschwarm fundiert ist. Zu dem Zweck sol1 fur den Schwarrn eine Partikelkonzentration eingcfuhrt werden. Sind innerhalb eines Fluids Partikeln von gleichem Durch- messer gleichmaljig verteilt, dann liiljt sich das Suspensions- volurnen in eine grolje Zahl wurfelformiger Elemente des Volumens V, unterteilen, in denen sich jeweils eine Partikel mit dem Volumen V, befindet. 1st die Kantenlange des Wurfels x iind der Partikeldurchmesser d,, dann ist die Volumenkonzentration c durch folgende Beziehung ge- geben :

Hierin ist xld, der bezogene Abstand der Partikelmittel- punkte, wie er in Richtung der drei Raumkoordinaten auf- tritt. In Tabelle 1 sind einige Werte fur c als Funktion von xld, angegeben.

Tabelle 1 . verhdtnis z/dp.

Abhangigkeit der Konzentration c vom Abstands-

c I 0,524 I 0,0645 I 0,00818 I 0,00242 I 0,000524

Bei einem Abstandsverhaltnis x/d, = 6 betragt die volume- trische Partikelkonzentration nur noch 0,00242, d. h. also nur noch etwa &'lo Wird in tochnischen Anlagen dieser Wert unterschritten, was z. B. in Zerstaubungstrocknern und ahnlichen Apparaten haufig der Fall ist, dann lassen sich die Gesetze fur Einzelpartikeln bedenkenlos anwenden.

Der Stoff- und Warmeubergang an Kugeln ist grundsatzlich instationlr. Die Kugeln lassen sich als geschlosscne Syst'eme ansehen, die keinen Massendurchflulj aufweisen. Die Kon- zentration der diffundierenden Komponente und die Tem- peratur der Kugel sind Funktionen der Zeit. Berechnet man den Konzentrations- und den Temperaturausgleich zwischen der Kugel und ihrer Umgebung unter Verwendung von Stoff- und Warmedurchgangskoeffizienten, so sind diese Koeffi- zienten zeitabhangig. Die Berechnung des instationaren Stoff- und Wiirmeubergangs ist bislang nur in Sonderfallen moglich [a]. Die Forschung ist vornehmlich noch mit der Kliirung des wesentlich einfacheren Falles, namlich mit dem stationaren Stoff- und Warmeubergang beschaftigt. In den folgenden Abschnitten wird daher der stationare Fall aus- fuhrlich behandelt. Die Ausfuhrungen uber den instationa- ren Fall bleiben luckenhaft. Sie enthalten aber einige fur die technische Praxis sehr wichtige Informationen. Den Ge- setzen fiir den Stoff- und Warmeubergang werden die fur die stationare Partikelbewegung vorausgeschickt.

Gesetze fur die stationare Bewegung von Kugeln

Behandelt wird die stationare Kugelbewegung auf gerader, vertikaler Bahn. Das dafur maogebende Grundgesetz fiihrt zusammen rnit dem Widerstandsgesetz zur Bercchnung der Schwebegeschwindigkeit von Kugeln.

Grundgesetz fiir die stationare Partikelbewegung

Bei stationarcr Bewegung auf einer linearen, vertikalen Bahn steht die Kugel unter der Wirkung der Widerstands- kraft W , der Massenkraft G und der Auftriebskraft A. Das Kraftegleichgewicht lautet :

W = - ( G - A ) . ( 2 )

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Dabei wurde vereinbart, daB senkrecht abwarts gerichtete GroBen ein positives und senkrecht aufwarts gerichtete GroBen ein negatives Vorzeichen erhalten. Fur die Wider- standskraft W gilt die Beziehung

(3)

und fur die um die Auftriebskraft verminderte Massenkraft :

(4)

Es bedeuten g die Erdbeschleunigung, e die Dichte des um- gebenden Fluids, e, die Dichte der Partikel, TI, das Volumen der Partikel, P, die groBte Querschnittsflache senkrecht zur Anstromrichtung der Partikel, 5' den Widerstandsbeiwert der Partikel und

W r = w - w,

die Relativgeschwindigkeit, die als Differenz aus der ab- soluten Fluidgeschwindigkeit w und der absoluten Partikel- geschwindigkeit wp gcbildet wird. Das Vorzeichen der Widerstandskraft W wird durch die nicht in Betragzeichen (senkrechte Striche) stehende Gerschwindigkeit wr festgelegt. Nach Einfuhren der Gln. (3) und (4) in GI. (2) und Urnformen erhalt man :

(5)

Diese Gleichung dient zur Berechnung der stationiiren Relativgeschwindigkeit wr fur beliebige Partikeln. Fur Kugeln erhalt man mit VQ/P, = d, 2/3 die folgende Glei- c hung :

(7)

Dabei wird rnit d, der Kugeldurchmesser bczeichnet. 1st zusatzlich die Fluidgeschwindigkeit w bekannt, dann liil3t sich mit G1. (5) die absolute Partikelgeschwindigkeit wp berechnen. Dazu mu13 jedoch der Widerstaadsbeiwert [ bekannt sein.

Widerstandsgesetze fiir die Kugel

Ein Widerstandsgesetz gibt die Abhangigkeit des Wider- standsbeiwertes 5 von den maBgebenden EinfluBgroBen an. 1st die Relativbewegung stationar und der Turbulenzgrad der Fluidstromung vernachlassigbar klein, dann ist der Widerstandsbeiwert 5' der Kugcl allein eine Funktion der Reynolds-Zahl Re. Die Definitionsgleichungen fur 5 und Re lauten:

(8, 9)

Mit F , = dpn/4 wird die grol3te Querschnittsflache der Kugel und mit Y die kinernatische Viskositiit bezeichnet.

Die experimentell ermitteltcn Werte fur t, die von mehreren Autoren mitgeteilt wurden, lassen sich durch das folgende empirische Widerstandsgesetz gut annahern [l] :

24 4 0 Re Re112

< = - f- '-+0,40.

Der Gultigkeitsbereich ist durch 0 5 Re 5 3 . 105 gegeben. Bei Uberschreiten des oberen Grenzwertes der Reynolds- Zahl geht die Grcnzschichtstromung auf der Anstromseite der Kugel vom laminarcn in den turbulenten Zustand uber. In Abb. 1 wird G1. (10) durch Kurve b wiedergegeben. Die MeMwerte werden durch Kurve a ausgeglichen.

Im Bereich der schleichenden Umstromung 0 < Re 5 1, in dem die Tragheitskriifte im Vergleich zu den Reibungs-

kriiften vernachlassigbar klein sind, erhalt man aus Gl. (10) das von Stokes mitgeteilte theoretische Widerstandsgesetz :

24 Re

5 =

Es wird in Abb. 1 durch Kurve c wiedergegeben. Im Stokes- schen Bereich tritt noch keine Ablosung der St'romung von der Kugeloberfliiche auf der Ruckseite auf. Theoretischen und experimentellen Untersuchungen zufolge tritt eine Ab- Iosung erstmalig bei Re = 24 auf [3]. Dabei bildet sich ein mit Re groBer werdender stationiirer Ringwirbel, der bei Re x 130 instationar wird. Die im Bereich der stationaren Wirbelbewegung berechneten Widerstandsbeiwerte sind in Abb. 1 durch Doppelkreise gekennzeichnet. Sic stimnen rnit experimentell ermittelten Werten sehr gut uberein [3].

Im 13ereich 103 5 Re 5 3 . 105 darf man annehmen, daB die instationare Wirbelbewegung auf der Abstromseite der Kugel voll ausgebildet ist. Auf der Anstromseite liegt eine laminare Grenzschichtstromung vor. In diesem Bereich, der nach Newton benannt wird, ist der Widerstandsbeiwert niiherungsweise konstant :

5 = 0,44 . (12)

Das Widerstandsgesetz nach G1. (10) wurde unter dem Ge- sichtepunkt der bequemen Anwendung aufgestellt. Ab- weichungen von den MeDwerten im Bereich Re = 4 . 102 bis 3 . 105 werden bewul3t in Kauf genommen. Eine wesentlich bessere Anpassung an die MeBwerte auch im Bereich Re = 4 . 102 bis Re = 104 erzielt man rnit dem folgenden Gesetz [3]:

24 5,48

Re Reo.573 + 0,36 . 5' = ~ + ~~~

Sein Gultigkeitsbereich ist durch 0 2 Re 5 l o 4 gegaben. Fur groBere Werte von Re verwendet man im Newtonschen Bereich G1. (12). Zu beachten ist jedoch, da13 die Gln. (12) und (13) bei Re = 104 nicht ubereinstimmen.

Fo llve rsuche Wind knnolversuche +Arnold 0 Wieselsberger A tiebsier x Flachsbort

Reynolds-Zohl Re= l w r l d p l v m

Abb. 1. Widerstandsbeiwert fur Kugeln rnit glatter Oberfliiche bei turbulenzarmer Umstromung. a Ausgleichskurve durch Me& werte; b nach G1. (10). Durch Doppelkreise werden theoretische Werte gekennzeichnet.

Gesetz fur die Schwebegeschwindigkeit

Stellt man die Geschwindigkeit w eines Fluids so ein, daI3 eine in ihm befindliche Partikel die Absolutgeschwindigkeit w, = 0 hat, dann hat das Fluid die Schwebegeschwindigkeit ws . Die Schwebegeschwindigkeit ist betragmasig gleich der Sink- oder Steiggeschwindigkeit der Partikel in einem ruhenden Fluid. Schwebe-, Sink- und Steiggeschwindigkeit werden mit ws bezeichnet. Die Relativgeschwindigkeit wr ist betragmaoig irnmer gleich ws .

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Znr Berechnung der Schwehegesohwindigkeit fuhrt inaii G1. (10) in GI. ( 7 ) ein uncl erhiilt,:

18 Re + 3 Re312 + 0,3 Re2 = J A r J . (14)

Mit /Ar \ mird der Betrag der Archimedes-Zahl hezeichnrt, die \vie folgt definiert ist, :

Die GI. (14) 1aBt sich nach Beianek, Sokol und If' i i ifevsteit i [4] durch die neseiitlicli einfacher auszuwertende Gleichtuig

sehr gut anniiherii. Ihr Giiltigkeitsbereich ist durcli 0 5 Re - < 3 . 105 bzw. 0 5 IArI 2 2,7 . 1010 gegebeii.

Fiir prakt,ische Anwendungen ist es haufig vorteilhaft. eine Gleichimg zii haben, in welcher die Sinkgescliwiridigkeit Z P ~ in keiner Kennzahl gemeinsain niit clein Partilreldurcli- messer d, auftritt,. Eine solche Gleichriiig l d B t sich a.us GI. (14) durch Umformung geu-iniien. Sie wird durrh die folgende Beziehuiig sehr gut a.iigeniiliert8 :

Ihr Gultiglreit,shereich ist durcli 10 5 Ar 5 2,7 . 1010 ge- gehen.

L u q e des i)istntioi,iipeie S i d - ode^ Ste igweges

Der in1 vorigen Ahschnitt berechnetm stationiireri Sink- oder Steiggeschnintligkeit n8.liert sicli die Partikel iininer erst, nach Durchlaufen eines mehr oder weniger langeri Weg- abschnittes init zeit,lich reranderlicher Gesclmiiirliglieit. Die Aiiiiiiherung an die statioiiiire Endgescli~~iiidiglieit er- folgt asyinpt,otisch. Tlieoretisch ist der init inst,atioiiiirtr Grschwindigkeit zuruckgelegte IVeg h iinincr uiiencllich lang. Eirien praktisch brauchhareii Wegabschiiitt berechnet Inan linter der Bedingung, darj die iiistat ionare Geschuindig- keit ZC; = 0,95 wr ist,.

Der miter dieser Bedingung instation8.r zuruckgelegte Weg uird hi5 hrzeichnet. Er ist fur den Fall berechnet worden, daB zur Zeit t = 0 die Relativgeschuiiidiglieit zur = 0 ist 111. 1111 Giiltiglieitsbereicli des St,olresschen Bereichrs, 0 < Re < 1 , erhiilt man die Bezeiclinmig:

Fur deli Ne\\ tonschen Bereicli, lo3 5 Re 2 3 . los, gilt. die Beziehung :

sirid die in selir grofiein Abstand voii der ICrigeloberfliiclir auftreteiide Partialdichte @.aTI u11d Tempcq-a.ttw T, zeit- iintibliiiiigig. Soinit, sind also die Partialtlicliteclifferenz e.4, - @.&= uiid die Teinperatrircliffereliz T,, - T , wiihrend der Daner der Tra,iisl~ort,pr(~zesse konsta.nt . Fiir den St,off- strom Ill 1 und deli \VQriiiestroin Q gelten die Gleichiingeii:

1% = / 9 A r I ( Q A l , - e.4.7) , (20)

Q = crA,,(T, - T P ) . (21)

illit, A , = d i 7c xvird die ICugeloberfliche bezeichnet. Ferrier bedeuteii /3 den iibw die gesainte Rrige1oherfl;iche geruittel- ten St,offubergarigskoeffizienteri und OL den entsprechenden \~arrneubergaiigslroeffizient en.

Die niittleren Stoff- und Wdrmeiibergangskoeffizienten lasseii sich nach dimensionsloseii Gleichungeii bcrechnen, in deneii folgende Kennzalilen ariftreten:

Sh = Pc7,jD (Sherwood-Zalil), (22)

Re Sc = 1 wr 1 d,,/D , (23)

Sc = v/D (Schmidt -Znhl), (24)

Nu = ar7,/A (NiiBelt.-Zahl), ( 2 5 )

R.e Pr = (zcr 1 d,Ju , (26)

P T V/a (Prandtl-Zahl) . (27)

Theoretisrlie uncl experiinentelle Uiit,ersiich~irigeii liaheii gezeigt, d a B die Sherwoocl-Zahl eiiie Flinktlioii cles Produktes Re Sc soaie d t r Schmidt-Znhl Sc iind die NuBrlt-Zahl Nu einc Funktion des Produktes Re Pr und der Praiidtl-Zalil Pr ist.

Bei der Bewegrmg fest.er Pa.rtikeln in Luft ist der IVeg hh5 iini etxva 3 Zehnerpnt,eiizen langer als bei der Bewegiing in Wasser .

Gesetze fur den stationaren Stoff- und Warmeubergang

Bei stationtirein Stoff- und V\'iirmeiiherga.ng ist, die inner- lialh cler Kugel auftret,ende Partialdichte der diffundieren- den Koinponcnte A uncl die Teinperat,ur T ort,s- u i d zeit- unabhdngig. Die Partialdiclite innerhalb der ICuge1 ist gleich den1 Wert @ A p an der Part.ilceloberfldche ; eiitsprechend ist, die Temperatur gleich cler Oberfliichent emperatur Ti,. Ferner

Fur deli Stoffubergaug sind die Ergehnisse in Ahb. 2 dar- grstellt, [3] . Die ausgezogeiien ICurveniist,e geheii berechnete Wert,e wieder. Die gest.richelt,en Kurveiiiist,e stellen Estra- polstioiieil dnr, die unter Beruclcsichtigung beliannter Ltisiingrn der Grciizscliiclit.gleic1i~iiigeii angeiionimen n-erden. Verfiigbare MelJwertr werdeii durch die arigegeberien ICur- \-en gut u4edergegeberi. Fiir Sc = oi) gilt:

0.333 (Re Sc)O,SJO

1 + 0,331 ( R F S C ) " , ~ ~ ~ S h = 2 +

FLIT alle anderen \Verte der Schmidt-Z,xhl, also Sc < w ,

laBt iich die imttlere Shern nod-Zahl nach folgcndrr Glei- chung berechnen :

C'hemie- ln~. -Tec l ,n . 4 4 . Ju lwg . 1972 / N r . 13 867

Mit dem Faktor zk wird eine reine Funktion der Schmidt- Zahl Sc bezeichnet. Diese Funktion lautet :

0,66 So 0,79 zk = + ~~~ --1/6 .

1 + Sc 2,4 + Sc Sc

Fur Sc = 0 wird zk = 0,66. Damit wird Sh fur groBe Werte von Re Sc proportional Scliz. Fur sehr groBe Werte der Schmidt-Zahl wird zk = 0,79 Sc-1/6. Damit wird Sh fur groBe Werte von Re Sc proportional 3~113. Das heifit also, daR der EinfluR der Schmidt-Zahl mit zunehmenden Werten der Schmidt-Zahl abnimmt.

Die Gleichungen fur Sh gelten fur alle W-erte von Re 3 . lo5 und fur den Fall der reinen erzwungenen Stromung. Der EinfluB einer uberlagerten freien Stromung ist ausgeschlos- sen. Ferner gelten die Gleichungen fur den Fall der aquimo- laren zweisoitigen Diffusion. Liegt hingegen die nichtaqui- molare einseitige Diffusion vor, was fur die Verdunstung bei Trocknungsprozessen der Fall ist, dann ist die Sherwood- Zahl Sh durch den Ausdruck Sh(p - pAp)/p zii ersetzen. Es bedeuten p den Gesamtdruck und p~~ den Partialdruok der Komponente A an der Partikeloberfliiche.

Die fur den Stoffubergang mitgeteilten Gleichungen lassen sich auch ziir Berechnung des Warmeubergangs verwenden, wenn man Sh durch Nu, Re Sc durch Re Pr und Sc durch Pr ersetzt.

Hinweise auf den instationaren Stoff- und Warmeubergang

Aus den vorliegenden theoretischen Untersuchungen erhlilt man den Hinweis, daB der instationare Stoffubergang und Warmeubergang auBerordentlich komplexe Transportpro- zesse sind [2]. Ein erster Einblick in die Vorgange wird wesentlich erleichtert, wenn man beachtet, daB in den Be- reichen sehr kurzer und sehr langer Zeiten der ZeiteinfluB uber den StromungseinfluB dominiert. Nur in einem mittle- ren Bereich der Zeit kommt der StromungseinfluB zur Geltung. Aus diesem Grunde ist es also gerechtfertigt, fur eine Niiherungsrechnung den StromungseinfluB zu vernach- lassigen und den Stoff- und Warmeubergang in einem ruhen- den System zu betrachten [4].

Zur Boschreibung des Ausgleiches von Konzentration und Temperatur zwischen Kugel und Umgebung dienen die be- zogene mittlere Partialdichte & und die bezogene mittlere Temperatur 81. Diese bezogmen GroBen sind wie folgt definiert :

In groBem Abstand von der Phasengrenzflache herrschen in der umgebenden Phase 2 die zeitunabhiingige Partial- dichte @AZm und Temperatur T2. In der die Kugel bildenden Phase 1 herrschen zur Zeit t = 0 die ortsunabhangige Partialdichte @A10 und Temperatur Tlo. Mit CAI und TI werden die uber das Kugelvolumen gemittelten zeitlich veranderlichen Werte dor Partialdichte und der Temperatur bezeichnet. Ferner bedeutet

H* @Alp/@AZp (33)

die Henry-Zahl, wobei der Index p andeutet, daB fur die Partialdichten die Werte in der Phasengrenze zu nehmen sind. Zur Zeit t = 0 gilt & = 0 und 61 = 0; fur t --f 00 gilt

+ 0 und 81 + 0.

Von besonderem technischen Interesse ist die Zeit, nach welcher der Ausgleich der Konzentrationen und der Tem- peraturen weitgehend abgeschlossen ist. Fur den vollstandi- gen Ausgleich ist stets eine unendlich lange Zeit erforderlich. Um zu endlich langen Zeiten zu kommen, berechnet man die Zeit t g g , bei der der Konzentrations- und der Temperatur- ausgleich zu 95% abgeschlossen ist. Daher lauten die Be- dingungen zur Berechnung von t s ~ :

= 0,05 , 61 = 0,05 . Fur zwei Grenzfalle last sich t95 sehr leicht berechnen. Die Widerstande gegen die Transportprozesse liegen im ersten Grerizfall in der kugelformigen und im zweiten Grenzfall in der umgebenden Phase. Die Widerstande liegen in der Kugel, wenn

Di/Dz >> 1 und I1lJ.z >> 1 .

Dann gilt zur Berechnung von ~ Q E , die Gleichung:

(34)

Die Widerstande liegen in der umgebenden Phase, wenn D1/Dz < 1 und << 1 .

Hierfur ergibt sich zur Berechnung von t y 5 die Reziehung:

( 3 5 )

Es bedeuten DI und 21 Diffusionskoeffizient und Warme- leitkoeffizient in der kugelformigen Phase 1, DZ und 12 die entsprechenden Werte in der umgebenden Phase 2, a1 und uz die Ternperaturleitkoeffizienten in den Phason 1 und 2 und R den Kugelradius. Ferner wird mit

tssDz 1 tgsaz 1 ~ = l . ~~ __.__ - ~~~~ -

Rz H* 1P E*

die thermische Bedingung in der Phasengrenze festgelegt. Mit el und ez werden die niittleren Dichten sowie mit cpl und cPz die mittleren spezifischen Wiirmekapazitaten bei konstantem Druck in den beiden Phasen bezeichnet.

Programme zur Berechnung des Stromungs- widerstandes sowie des Stoff- und Warmeubergangs an Kugeln

Die Programme sind in der Programmiersprache ,,Fortran" geschrieben. Programmkopien mit ausfiihrlicher Benutzer- anleitung sirid gegen Erstattung der Verviolfaltigungskosten vcn der Universitatsbibliothek der Technischen Universitat Berlin unter dem Titel H . Brauer und D. Mewes: Programm zur Berechnung des Stromungswiderstandes sowie des statio- naren und instationliren Stoff- und Wiirmeubrrgangs an Kugeln, 1972, 34 Seiten, erhaltlich.

Literatur

[l] H . Brauer: Gruncllagen der Einphasen- und Mehrphasen- stromungen; Verlag Sauerliinder, Aarau-Frankfurt M. 197 1.

[2] H . Brauer u. D. Mewes: Stoffaustausch einschliel3lich chemi- scher Reaktionen ; Verlag Sauerlander, Aarau-Frankfurt &I. 1971.

[3] P. Ihme, H . Schmidt-Traub u. H . Brauer diese Zeitschr. 44, 306 13 [1972].

[4] U . J. Plncker u. H . Schmidt-Traub diese Zeitschr. 44, 313/19 [ 1 9721.

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