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1 Strömungsmechanische Grundlagen

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Fachgebiet Verfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. M. Kraume

ENERGIE-, IMPULS- UND STOFFTRANSPORT II SoSe 2009 24.02.2009

1 Strömungsmechanische Grundlagen 1 1.1 Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten 1

1.1.1 Fluide 1 1.1.2 Extensive und intensive Größen 2 1.1.3 Zähigkeit und Fließverhalten 4

1.2 Bilanzgleichungen 10 1.3 Hydrostatik 12

1.3.1 Eulersches Grundgesetz der Hydrostatik 12 1.3.2 Auftrieb 16 1.3.3 Gleichgewicht und Druckverteilung beim Vorhandensein allgemeiner

Volumenkräfte 17 1.4 Kinematik 20

1.4.1 Kinematische Grundbegriffe 21 1.4.2 Kontinuitätsgleichung 23 1.4.3 Eulersche und Bernoullische Gleichung für stationäre Strömungen 25 1.4.4 Einfache Anwendungen der Bernoullischen Gleichung 28 1.4.5 Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömungen 32 1.4.6 Impulssatz 33 1.4.7 Energieerhaltung 39

1.5 Zusammenfassung 42 1.6 Literatur 42 1.7 Index 43


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Learning Outcome

• Definition der Begriffe Fluid, Kontinuum, extensive und intensive Größen

• Fließverhalten von newtonschen, strukturviskosen und dilatanten Fluiden

• Methodik der Bilanzierung von Energie-, Impuls- und Stoffströmen

• Hydrostatik: Druck- und Auftriebskräfte aus einfachen Kräftebilanzen (Eulersches

Grundgesetz der Hydrostatik, Archimedisches Prinzip)

• Kinematik: Beschreibung der Bewegung eines Fluids, wobei der Ortsvektor eines Flui-

delements in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt wird

• Die Erhaltungssätze von Masse (Kontinuitäts-Gleichung), Impuls (Impulssatz) und

Energie (Energieerhaltung).

• Euler-Gleichung: Druck- und Geschwindigkeitsverläufe in einer reibungsfreien Strö-

mung, Vereinfachung für stationären Fall: Bernoulli-Gleichung


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Energie- und Stofftransportvorgänge können durch verschiedene Mechanismen erfolgen, so basieren Wärmeleitung bzw. Diffusion auf molekularem Transport. Energie kann weiterhin durch Strahlung übertragen werden. Für technische Anwendungen ist jedoch der konvektive Transport von weitaus größerer Bedeutung. Neben Energie und Stoff wird dann auch noch der Strömungsimpuls übertragen. Der konvektive Energie-, Impuls- und Stofftransport ist also an die Bewegung von Materie gebunden, wobei es sich nahezu ausschließlich um Flüssigkeiten oder Gase handelt. In diesem Kapitel werden deshalb zunächst wesentliche Eigenschaften von gasförmigen bzw. flüssigen Stoffen behandelt. Hieran schließt sich die Betrachtung von ruhen-den Fluiden an, bei der vor allem das Druckfeld innerhalb eines solchen hergeleitet wird. Den Abschluss des Kapitels bilden einige fundamentale Beziehungen der Kinematik reibungsfreier Fluide, die im Wesentlichen auf der eindimensionalen Stromfadentheorie beruhen.

1.1 Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten

Bei festen Körpern und Flüssigkeiten befinden sich die Moleküle alle ungefähr im sogenannten stabilen Abstand voneinander, so dass sie sowohl der Verringerung als auch der Vergrößerung des Molekülabstandes und damit ihres Volumens einen großen Widerstand entgegen setzen. Der Molekülabstand liegt dabei in der Größenordnung des Moleküldurchmessers von etwa 10-10 m. In Flüssigkeiten sind die Moleküle wie in amorphen Festkörpern unregelmäßig angeordnet, die Schwingungsamplituden sind allerdings größer und die Platzwechsel wesentlich häufiger. Die mittlere Lage der Moleküle zueinander ändert sich also permanent.

In einem Gas beträgt der mittlere Abstand der Moleküle bei normalem Druck und Umgebungs-temperatur etwa das Zehnfache des stabilen Molekülabstandes von 10-10 m. Die potenzielle Energie der Anziehungskraft der benachbarten Moleküle ist gegenüber der kinetischen Energie ihrer Bewegung zu vernachlässigen. Die Moleküle bewegen sich im Wesentlichen unbeeinflusst voneinander im Raum, wobei es allerdings zu Zusammenstößen zwischen Molekülen kommt. Die mittlere freie Weglänge zwischen zwei solchen Zusammenstöße beträgt unter Normbedin-gungen (1 bar, 20°C) ca. 10-7 m, also etwa das Hundertfache des Molekülabstands. Die Bewe-gungsgeschwindigkeit liegt dabei zwischen 50-70 m/s.

1.1.1 Fluide

Viele Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten lassen sich durch ein Modellmedium be-schreiben: das Fluid. Ein Fluid ist definitionsgemäß durch zwei Eigenschaften bestimmt:

− Es ist ein Kontinuum.

− Es kann in der Ruhe an der Oberfläche lediglich Druckkräfte, also weder Zug- noch Scher-kräfte (Kräfte tangential zur Oberfläche) aufnehmen.


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In der Literatur wird der Begriff Fluid abweichend von dieser strengen Definition häufig als bloßer Sammelbegriff für Flüssigkeiten und Gase verwendet.

Ein Kontinuum lässt sich mit ausreichender Präzision durch das folgende mathematische Modell erklären:

− Es besteht aus Teilchen, die wie Punkte keine Ausdehnung und keine Zwischenräume besitzen. Man kann deshalb jedem Teilchen X des Fluids (in einem bewegten Fluid: zu je-dem Zeitpunkt t) einen Punkt x

rdes Raumes zuordnen:

( )t,xXXr

= (1.1)

− Die charakteristischen physikalischen Größen wie Dichte, Geschwindigkeit, Druck, Tempe-ratur sind Eigenschaften der Teilchen und der Zeit. Wenn also ψ eine solche Größe ist, dann gilt unter Verwendung von Gl. (1.1):

( ) ( )( ) ( )t,xt,t,xXt,Xrr

ψ=ψ=ψ=ψ (1.2)

die Größe ψ lässt sich also wie das Teilchen X als Funktion von Ort und Zeit darstellen. Eine solche Größe wird als eine Feldgröße bezeichnet.

− Im Allgemeinen ändern sich die Feldgrößen von Teilchen zu Teilchen und damit auch von Punkt zu Punkt stetig; die Funktionen ψ (s. Gl. (1.2)) sind dann stetige Funktionen. Es ist aber auch zugelassen, dass Feldgrößen auf beiden Seiten einzelner Flächen verschiedene Werte annehmen; eine solche Fläche nennt man eine Diskontinuitätsfläche. Diese treten z.B. an Phasengrenzen auf.

Ein Fluid kann definitionsgemäß keine Schubspannungen aufnehmen. Noch so geringfügige Schubspannungen führen demzufolge zu einer Formänderung also einer Bewegung, welche die Schubspannung abbaut. Als Folge dieser Eigenschaft bedeckt eine ruhende Flüssigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft den waagerechten Boden eines Gefäßes stets vollständig. (Diese Betrachtung setzt eine ausreichende Flüssigkeitsmenge voraus, sodass z. B. keine Tropfenbil-dung aufgrund der Grenzflächenspannung auftritt.)

1.1.2 Extensive und intensive Größen

Eine wesentliche Eigenschaft eines Fluids besteht in dem möglichen Grenzübergang von der Masse M zur Massendichte (kurz: Dichte ρ ):

dVdM

≡ρ (1.3)

und somit auch

dVdM ρ= , ∫ρ= dVM (1.4)


1-3



dV wird als Volumenelement und dM als Massenelement bezeichnet.

Mit diesen Elementen können Rechnungen wie mit den Differenzialen der Infinitesimalrech-nung ausgeführt werden. Physikalisch charakterisiert ein Volumenelement dV nichts anderes als ein kleines Volumen, dessen Abmessungen allerdings wesentlich größer als atomare Größen-ordnungen sind.

Ein analoger Grenzübergang kann auch für die sog. Massen- oder Volumenkräfte durchgeführt werden unter Definition der Kraftdichte:

dVFd1

dMFdf VV

rrr

ρ=≡ (1.5)

Vereinbarung: Fr

bezeichnet, wenn nichts anderes ausdrücklich festgelegt, immer die von außen auf die betrachtete Fluidmenge ausgeübte Kraft.

Von ebenso großer Bedeutung sind die an Oberflächen bzw. Oberflächenelementen angreifen-den Kräfte. Wirkt auf ein Oberflächenelement dA die Oberflächenkraft OFd

r, dann ergibt sich

der Spannungsvektor τr durch:

dAFd O

rr≡τ (1.6)

Sowohl Kraftdichte als auch Spannungsvektor sind mit Ausnahme der Diskontinuitätsflächen stetige Funktionen des Ortes.

Grundsätzlich lassen sich zwei verschiedene Arten von physikalischen Größen unterscheiden: es gibt einerseits Größen wie die Dichte, das spezifische Volumen, die Kraftdichte und den Span-nungsvektor, die für jeden Punkt des Raumes definiert sind, und es gibt andererseits Größen wie das Volumen, die Fläche (offene Fläche oder Oberfläche), die Masse, die Volumenkraft, die Oberflächenkraft und die (Gesamt-)Kraft, die nur für einen räumlichen Bereich, d.h. ein Volu-men, eine Fläche oder (was hier nicht vorgekommen ist) eine Kurve definiert sind. Größen, die für den Punkt definiert und deshalb mathematisch Funktionen des Ortes sind, werden als inten-sive Größen bezeichnet; Größen, die für einen räumlichen Bereich definiert sind und die deshalb nicht Funktionen des Ortes sind, heißen extensive Größe. Dass extensive Größen keine Funkti-onen des Ortes sind, erkennt man auch daran, dass sie mit intensiven Größen über Bereichsin-tegrale (Volumen-, Flächen- oder Kurvenintegrale; vgl. Gl. (1.4)) zusammenhängen und solche Bereichsintegrale sind bestimmte Integrale über die Ortskoordinaten.

Intensive Größen wie die Dichte lassen sich nur in Kontinuen als stetige Funktionen definieren, sie sind sogar die für Kontinuen typischen Größen. Extensive Größen wie die Kraft sind sowohl für Kontinuen wie für diskontinuierliche Systeme (z.B. Massenpunkte, Systeme von Massen-punkten) sinnvoll. Aus der Definition von extensiven Größen als Bereichsintegralen resultiert die folgende wichtige Eigenschaft: Teilt man einen Bereich in mehrere Teilbereiche, so ist die


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extensive Größe für den Gesamtbereich gleich der Summe der extensiven Größen für die Teil-bereiche.

Intensive wie extensive Größen können Skalare (Dichte, spezifisches Volumen; Masse) oder Vektoren (Kraftdichte, Spannungsvektor, Kraft) oder Tensoren höherer Stufe sein.

1.1.3 Zähigkeit und Fließverhalten

Materie setzt der Verschiebung ihrer Moleküle gegeneinander einen Widerstand entgegen. Die einfachste Konfiguration zur Untersuchung dieser Eigenschaft ist die ebene Scherung: Man bringt die Materialprobe zwischen zwei parallele Platten und verschiebt z.B. die obere gegen die untere. Diese Verschiebung überträgt sich infolge der Wandhaftung auf die Materialprobe, und deren Widerstand gegen die Scherung lässt sich als Schubspannung an den Platten messen.

Bei Fluiden kann eine einmalige Verschiebung der einen Platte nicht zu einer Schubspannung führen: Sobald die Fluidteilchen ihre neue Lage eingenommen haben, ist das Fluid wieder in Ruhe und kann dann definitionsgemäß keine Schubspannung mehr übertragen. In einem Fluid kann eine Schubspannung also nur auftreten, solange sich die eine Platte bewegt und damit zwischen den Platten eine Scherströmung aufrechterhält wie in Abb. 1.1 dargestellt.

bewegt

y

x

L

F w = wx

fest

Abb. 1.1 : Ebene Schichtenströmung.

In vielen Fällen hängt die Schubspannung nur vom Verhältnis der Plattengeschwindigkeit w zum Plattenabstand L ab; dieses Verhältnis ist gleich der zeitlichen Änderung des Scherwin-kels, der sogenannten Schergeschwindigkeit oder Scherrate L/w=γ& :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=γ=τ

Lwff & . (1.7)

Grundsätzlich bezeichnet man Medien mit einem solchen Verhalten als viskos oder zäh. Im einfachsten Fall ist die Schubspannung proportional zur Schergeschwindigkeit; man führt dann im Allgemeinen die Querkoordinate y und die Geschwindigkeit ( )yw zwischen den Platten ein und schreibt


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dydw

η=τ . (1.8)

Solche Medien nennt man linear-viskos oder Newtonsche Fluide. Die Gleichung (1.8) bezeich-net man auch als den Newtonschen Schubspannungsansatz. Die Proportionalitätskonstante η heißt Viskosität oder Zähigkeit; zur Unterscheidung von der häufig verwendeten Größe

ρη

=ν , (1.9)

die man kinematische Zähigkeit nennt, heißt η auch dynamische oder absolute Zähigkeit. Auch der Ausdruck Scherviskosität ist gebräuchlich. η ist zunächst von Stoff zu Stoff verschieden, darüber hinaus aber auch eine Funktion der Temperatur. Genau genommen hängt η sogar noch vom Druck ab, die Druckabhängigkeit kann aber fast immer vernachlässigt werden. Die kinema-tische Viskosität ν lässt sich auch als massenspezifische Viskosität interpretieren.

Viskositäten werden in eindimensionalen Strömungen gemessen. Daher wird das Flüssigkeits-verhalten eingeteilt nach den Scherkräften, die unter eindimensionaler Beanspruchung entste-hen. Die entsprechenden grafischen Darstellungen (s. Abb. 1.2) werden als Fließkurven be-zeichnet.

Schu

bspa

nnun

gτ

Scherrate dwdy

struktu

rviskos

n < 1

dilatant n > 1

00

Bingham

τ0

Abb. 1.2 : Fließkurven für verschiedene Fluide

Newtonsche Fluide

Newtonsche Fluide zeigen keinerlei Veränderung der Viskosität unter verschiedenen Scherbe-anspruchungen, d. h. die entsprechenden Fließkurven stellen Geraden dar, deren Steigung der Viskosität η entspricht.

Abb. 1.3 enthält dynamische Viskositäten einer größeren Zahl von Stoffen als Funktion der reziproken Temperatur. Die Darstellung zeigt, dass die Zahlenwerte der Gasviskositäten alle etwa innerhalb einer Zehnerpotenz liegen. Dagegen unterscheiden sich diejenigen der Flüssig-


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keiten um mehr als 5 Zehnerpotenzen. Grundsätzlich ergibt sich die Viskosität als innerer Wi-derstand gegen eine Bewegung aufgrund der Molekularbewegung. Diese führt zu Zusammen-stößen von Molekülen unterschiedlicher mittlerer Geschwindigkeiten und demzufolge zu einem Impulsaustausch. Makroskopisch wird dies als Schubspannung erkennbar. Aufgrund der niedri-gen Dichte von Gasen ist die Zahl derartiger Molekülstöße gering und damit deren Viskosität klein. Wegen der hohen Dichte der Flüssigkeiten ist die Zahl der Molekülstöße und daher auch deren dynamische Viskosität verhältnismäßig groß. Während Gase mit steigender Temperatur zäher werden, fällt die Viskosität der Flüssigkeiten in aller Regel mit T ab. Dafür verantwortlich sind zwei unterschiedliche Mechanismen, von denen der eine in Flüssigkeiten, der andere in Gasen überwiegt. In Flüssigkeiten müssen bei einer Scherung die intermolekularen Anziehungs-kräfte überwunden werden. Diese Kräfte werden mit steigender Temperatur in der Regel schwä-cher, weil sich die Flüssigkeit ausdehnt und der mittlere Abstand wächst. Zusätzlich steigt die mittlere kinetische Energie der Moleküle und damit die Häufigkeit von Platzwechseln. Beides führt zu verringerter Zähigkeit bei steigender Temperatur. Da sich die Flüssigkeitsdichte kaum mit dem Druck ändert, kann die Druckabhängigkeit der Viskosität von Flüssigkeiten fast immer vernachlässigt werden.

0 0,002 0,004 0,0061/K

Blei

-500501002005001000 -100300

Temperatur in °C

reziproke Temperatur 1/T

Ethanol

Methan HeliumLuftWasser

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

102

kgm s

dyna

mis

che

Visk

ositä

tη

Wasserstoff

WasserDiphyl DT

Kohlendioxid

Quecksilber

n-Butanol

Methanol

Ammoniak

Schwefel

BenzinDiethylether

GaseFlüssigkeiten

Polyglykolether

Glyc

erin

Abb. 1.3 : Dynamische Viskosität von verschiedenen Gasen und Flüssigkeit abhängig von der Temperatur [Kraume 2004].

Der mittlere Molekülabstand bei Gasen ist um etwa eine Größenordnung höher als der von Flüssigkeiten. Daher können intermolekulare Kräfte zwischen ihnen häufig vernachlässigt werden (ideale Gase; die Viskosität ist deshalb für ideale Gase bis zu Drücken von 100 bar nahezu druckunabhängig, obwohl die Molekülabstände bei dieser Druckänderung stark abneh-


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men und damit die zwischen den Molekülen wirkenden Kräfte um Zehnerpotenzen anwachsen). Mit steigender Temperatur nimmt die Molekularbewegung und damit die Zahl der Molekülzu-sammenstöße und in der Konsequenz auch die Zähigkeit zu. Die kinetische Gastheorie führt zu einem Viskositätsanstieg mit 21T .

Die in Abb. 1.3 gewählte Auftragungsform zeigt, dass für viele Flüssigkeiten zumindest in erster Näherung eine Proportionalität

T1~ln η

besteht, da sich ein annähernd linearer Verlauf in dem Diagramm ergibt. Dieser Zusammenhang kann durch einfache Modellvorstellungen auf molekularer Ebene abgeleitet werden /Eyr 36/. Das reale Verhalten zeigt allerdings durchaus mehr oder weniger starke Abweichungen von der einfachen Proportionalität.

Tab. 1.1 unterstreicht nochmals, dass die Transportkoeffizienten von Flüssigkeiten in der Regel größer als die von Gasen sind.

Tabelle 1.1: Stoffdaten verschiedener Gase und Flüssigkeiten bei 20 ˚C und 1 bar

ρ [kg/m³]

η [mPas]

ν [10-6 m²/s]

λ [10-3 W/mK]

a [10-6 m²/s]

Luft 1,19 0,018 15,35 25,69 21,47 O2 1,33 0,020 15,26 26 21,43 N2 1,15 0,017 15,31 25,6 21,38 H2 0,08 0,008 106,19 179 149,22 CO2 1,95 0,0138 7,05 14,64 9,08 H2O 998,21 1,002 1,0 598,4 0,14 Ethanol 789 1,201 1,52 173 0,09 Glycerin 1260 1480 1174,6 286 0,10 Jodwasserstoff 5,39 636 ⋅ 103 118,0 6 4,93 Quecksilber 136001) 1,500 0,11 8330 4,9 Olivenöl 9101) 1 ⋅ 103 1100,0 15,2 0,01 Honig 50 ⋅ 103 1) 0 °C und 1 bar Nicht-Newtonsche Fluide

Im Gegensatz zu Newtonschen Fluiden resultiert bei nicht-Newtonschen Fluiden aus der Ände-rung der Scherbeanspruchung eine veränderte Viskosität. Die wesentlichen nicht-Newtonschen Fluide werden im Folgenden dargestellt.

Pseudoplastische oder strukturviskose Flüssigkeiten zeigen eine Viskositätsabnahme mit stei-gender Scherbeanspruchung dy/dw (Abb. 1.2). In Abb. 1.4 ist exemplarisch die Abhängigkeit der Viskosität einer Polyacrylamidlösung von der Scherrate direkt aufgetragen. Für kleine Scherraten ergibt sich ein konstanter Wert der Viskosität 0η , während bei sehr hohen Scherra-


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ten ebenfalls ein konstanter, aber geringerer Viskositätswert ∞η erreicht wird. Dieses Verhalten erklärt sich bei Polymerlösungen oder -schmelzen durch die Streckung der Molekülketten infol-ge der Scherung. Die Moleküle werden beweglicher und die Viskosität nimmt bis auf einen bestimmten Endwert ab. Geringe Scherraten führen zu keiner wesentlichen Veränderung der Molekülknäuel, die Viskosität bleibt zunächst unverändert. Völlig analoge Verhältnisse können in biologischen Systemen auftreten, wenn filamentöse (fädige) Bakterien zu Flockenstrukturen führen, die unter der Wirkung einer Scherbeanspruchung aufgelöst werden können. Auch in diesem Fall resultiert strukturviskoses Verhalten.

Einige Suspensionen zeigen bei hohen Feststoffkonzentrationen eine Zunahme der Viskosität mit der Scherrate. Abb. 1.5 veranschaulicht dies am Beispiel einer Titandioxid-Suspension. Bei der höchsten Feststoffkonzentration steigt die Viskosität ab einer kritischen Scherrate deutlich an. Dieses Verhalten lässt sich am Beispiel „nasser Sand“ gut erläutern:

Scherrate

s-110-2 100 10-2 104 106

Sche

inba

reVi

skos

ität

η

102

10-2

10-4

100

Pa.sη0

η∞

Polyacrylamid-Lösung

Abb. 1.4 : Viskosität als Funktion des Geschwindigkeitsgradienten für eine Polyacrylamid- Lösung (nach [Boger u. Yeow, 2002])

Scherrate dwdy

s-1101 102 103 104 105

Schu

bspa

nnun

gτ

103

101

100

102

Pa

42,5 %

20,8 % 8,3%30,0 %

Titandioxid-Lösung

Abb. 1.5 : Fließkurve für eine Titandioxid-Lösung (nach [Boger u. Yeow, 2002])


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Bei geringem Schergefälle, z. B. niedriger Rührerdrehzahl, existiert zwischen den Sandkörnern ein Wasserfilm, der wie ein Schmiermittel wirkt und die Reibung der Sandkörner aneinander vermindert. Bei steigenden Geschwindigkeitsgradienten reißt der Wasserfilm auf, und die Sand-körner reiben unmittelbar aneinander. Auch dilatante Flüssigkeiten verhalten sich bei sehr kleinen und sehr großen Geschwindigkeitsgradienten wie Newtonsche Fluide.

Die charakteristischen Formen der Fließkurven führen zu der Frage, wie der i. A. nichtlineare Verlauf am zweckmäßigsten analytisch beschrieben werden kann. Solche Ansätze sollen von möglichst einfacher mathematischer Form sein, um für die Lösung ingenieurmäßiger Aufgaben angewandt werden zu können. Allerdings müssen die Grenzen der Gültigkeit solcher Ansätze besonders sorgfältig beachtet werden.

Innerhalb bestimmter Grenzen des Geschwindigkeitsgradienten kann das Fließverhalten dilatan-ter und strukturviskoser Flüssigkeiten durch einen Potenzansatz beschrieben werden, der von Ostwald und de Waele aufgestellt wurde.

nx

ywk ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=τ (1.10)

k ist ein empirischer Zahlenwert, der Ostwaldfaktor genannt wird. n ist der Fließexponent. Flüssigkeiten, die sich durch diesen Ansatz näherungsweise beschreiben lassen, werden auch Ostwald-Flüssigkeiten, oder im angelsächsischen power-law-fluids genannt. Der Faktor k ist stark temperaturabhängig, jedoch im Gegensatz zur Viskosität unabhängig von der Scherrate. n ist üblicherweise unabhängig von der Temperatur.

Abb. 1.2 beinhaltet Fließkurven, die gemäß Gl. (1.10) berechnet werden. Für n = 1 geht der Ansatz von Ostwald - de Waele in den Newtonschen Schubspannungsansatz über, k ist dann mit der Viskosität η identisch. Für n > 1 erhält man eine Kurve für dilatante, für n < 1 für struktur-viskose Flüssigkeiten. Für das Beispiel der Polyacrylamid-Lösung in Abb. 1.4 ergibt sich ein Fließexponent von 41,0n = .

Die Fließkurve einer Bingham-Flüssigkeit ist ebenfalls in Abb. 1.2 dargestellt. Erst wenn eine Anfangsschubspannung τ0 überwunden ist, beginnt die Bingham-Flüssigkeit zu fließen. Der entsprechende Beschreibungsansatz lautet:

dydw x

B0 η+τ=τ (1.11)

Abb. 1.6 verdeutlicht dies am Beispiel des Fließverhaltens eines Fleischextraktes. Weitere Beispiele für Bingham-Flüssigkeiten sind Zahnpasta, Lacke (Vermeidung von „Lacknasen“) und Ketchup.


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Auf das außerordentlich komplizierte Verhalten thixotroper, rheopexer und anderer nicht-Newtonschen Fluide soll an dieser Stelle nicht weiter eingegangen werden. Hier tritt u. a. neben der Abhängigkeit der Viskosität von der Scherrate noch ein Einfluss der Zeit auf.

Schu

bspa

nnun

gτ

Pa

100

60

40

20

00 4 8 12s-1

Scherrate dwdy

τ0 = 17,0 Pa

Fleischextrakt

Abb. 1.6 : Fließkurve für Fleischextrakt (nach [Boger u. Yeow, 2002])

1.2 Bilanzgleichungen

Als Bilanzgleichungen bezeichnet man eine Gleichung von der Form:

Die zeitliche Änderung einer extensiven Größe ist gleich einer anderen extensiven Größe.

Eine Reihe von wichtigen Gleichungen der Physik sind Bilanzgleichungen. In der Strömungs-mechanik sind dies vor allem vier Grundgleichungen, die hier zunächst stichwortartig erwähnt werden. Im Laufe der Veranstaltung werden sie im Einzelnen behandelt. Es sind dies die Bi-lanzgleichungen für:

− Die Masse (Kontinuitätsgleichung): Die zeitliche Änderung der Masse eines materiellen Volumens ist null.

− Den Impuls (Impulssatz): Die zeitliche Änderung des Impulses eines materiellen Volumens ist gleich der am Volumen angreifenden äußeren Kraft.

− Den Drehimpuls (Drehimpulssatz): Die zeitliche Änderung des Drehimpulses eines mate-riellen Volumens ist gleich dem am Volumen angreifenden Drehmoment.

− Die Energie (Energiesatz, 1. Hauptsatz der Thermodynamik): Die zeitliche Änderung der inneren und der kinetischen Energie eines materiellen Volumens ist gleich der durch die äußeren Kräfte zugeführten Leistung und der Wärmezufuhr.


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Solche Bilanzgleichungen lassen sich für Kontinuen einerseits für ein endliches Volumen (in-tegrale Bilanzgleichung), andererseits für einen Punkt im Strömungsfeld (differenzielle Bilanz-gleichung) schreiben.

Reale Strömungen sind nicht reibungsfrei. Infolge der Reibung bildet sich ein Strömungsfeld aus, das im Allgemeinen lokal als auch zeitlich veränderliche Geschwindigkeiten aufweist. Temperatur- und Konzentrationsfelder ergeben sich demzufolge nicht nur durch molekularen Transport, also Wärmeleitung und Diffusion, sondern werden in starkem Maße durch die Strö-mung bestimmt. Geschwindigkeits-, Temperatur und Konzentrationsfelder ergeben sich als Lösung der Bilanzgleichungen für Impuls, Energie und Masse.

Die Basis zur Erstellung von Stoff-, Energie- (Wärme-) und Impulsbilanzen stellen die Erhal-tungssätze für Masse, Energie und Impuls dar. Differenzielle Bilanzgleichungen werden erstellt, wenn es gilt, einen Vorgang in einem differenziellen Volumenelement eines Apparates oder an der Grenzfläche zweier Phasen zu untersuchen. Dazu ist es notwendig, die entsprechenden Differenzialgleichungen sowie die dazugehörigen Randbedingungen aufzustellen und diese zu integrieren. Differenzielle Bilanzgleichungen werden unter anderem zur Berechnung der Geschwindigkeits-, Konzentrations- und Temperaturprofile in einem System bzw. an dessen Grenzflächen verwendet.

Integrale Bilanzgleichungen dienen zur Ermittlung der in ein System ein- bzw. austretenden Ströme. Unter System wird der endlich große Bilanzbereich verstanden, meist der dreidimensio-nale Raum vom Volumen V. Technisch kann es ein Apparat, ein Teilbereich (z.B. ein Katalysa-tor, ein Tropfen) eine Verfahrensstufe oder eine vollständige Produktionsanlage sein. Es interes-sieren in diesem Falle nicht die Vorgänge im Innern eines Apparates, sondern das betreffende System als Ganzes. Die Grenze des Systems (Bilanzgrenze) ist eine konkrete Wand bzw. Ober-fläche oder eine gedachte Grenze, die bei einem geometrisch dreidimensionalen System dann als eine Fläche gegeben ist, die das System vollständig einschließt.

Das betrachtete System steht i. a. mit der Umgebung (als Rest des Gesamtsystems) in stoffli-cher, energetischer sowie kräftemäßiger Wechselwirkung. Man unterscheidet Systeme in fol-gende Gruppen:

• abgeschlossenes System: die Transportströme sind null.

• geschlossene Systeme: alle Stofftransportströme sind null, Energieströme können auftreten.

• offene Systeme: Stoffströme treten über die Systemgrenzen.

Die allgemeine Bilanzgleichung der einzelnen Austauschgrößen lässt sich im Fall eines offenen Systems in nachstehender Weise formulieren, wobei unter einer Menge hierbei die Menge der betreffenden Austauschgröße verstanden wird. Austauschgrößen sind Energie, Impuls und


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Stoffmenge.

WZAS

Mengenngewandelte

Systemim

derSumme

Mengenretendeninte

Systemdasin

derSumme

Mengenenaustretend

Systemdemaus

derSumme

Mengentengespeicher

Systemim

derÄnderung

&&&&

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−+

(1.12)

Bei einem abgeschlossenen System entfällt der zweite und dritte Term.

1.3 Hydrostatik

1.3.1 Eulersches Grundgesetz der Hydrostatik

Die Hydrostatik betrachtet Fluide im Zustand der Ruhe. Hierbei ist insbesondere das Druckfeld in einem solchen Fluid aufgrund von Volumenkräften (z.B. des Schwerefelds) bedeutsam, das durch das sog. Eulersche Grundgesetz der Hydrostatik beschrieben wird. Hierbei geht man von dem Kräftegleichgewicht an einem sehr kleinen Quader gemäß Abb. 1.7 aus.

p(x,y,z+∆z)

p(x+∆x,y,z)

p(x,y

,z)

p(x,y,z)

p(x,y,z)

p(x,y

+y,z

)

f

x

yz

x x + ∆xy

y + ∆y

z

z + ∆zM

Abb. 1.7 : Kräftebilanz an einem sehr kleinen Quader

Im Mittelpunkt des Quaders wirkt der Druck p (x,y,z) und die Kraftdichte fr

(x,y,z) mit den drei Komponenten ( ) ( )z,y,xf,z,y,xf yx und ( )z,y,xfz :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )z,y,xfez,y,xfez,y,xfez,y,xfrf zzyyxxrrrrrr

++⋅== . (1.13)

Auf die Seitenflächen des Quaders wirkt der Druck p(x,y,z).

Das Kräftegleichgewicht bedeutet, dass die Summe aus der (von der Kraftdichte herrührenden) Volumenkraft und den (vom Druck herrührenden) Oberflächenkräften null sein muss. Da Kräfte Vektoren sind, muss diese Bedingung für alle Koordinatenrichtungen erfüllt sein. Die y-Koordinate der Volumenkraft ist:


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zyxfF yVy ∆∆∆⋅⋅ρ=∆ . (1.14)

Da die Druckkräfte auf den Flächen, an denen sie angreifen, senkrecht stehen, liefern nur die beiden Druckkräfte Beiträge zum Kräftegleichgewicht in y-Richtung, die normal auf der durch

x∆ und z∆ aufgespannten Fläche stehen. Die resultierenden Kräfte unterscheiden sich zwar nur um einen kleinen Betrag, da sie aber in unterschiedliche Richtungen wirken, also ihre Diffe-renz in das Kräftegleichgewicht eingeht, muss diese geringe Differenz ermittelt werden. Die Variation des Drucks innerhalb einer Fläche muss nicht berücksichtigt werden, sondern nur die Druckänderung bezüglich der gegenüberliegenden Flächen, d.h. man behandelt bei der betref-fenden Komponente die Querschnittsflächen als klein von höherer Ordnung gegenüber dem Flächenabstand. Für die Druckkräfte in y-Richtung gilt demzufolge

( ) ( ) ( ) ( )[ ] zxz,yy,xpzy,x,p yyFy F y00y ∆⋅∆∆+−=∆+− . (1.15)

(Anmerkung: Diese Gleichung stellt eine sehr einfache Form einer Impulsbilanz gemäß Gl. (1.12)dar, denn hier treten keinerlei Impulsströme sondern ausschließlich Kräfte auf.)

Da der Druck von allen Koordinatenrichtungen abhängen kann, muss der Taylorsche Satz wie folgt geschrieben werden:

( ) ( ) ...zzpy

ypx

xpz,y,xpzz,yy,xxp +∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+=∆+∆+∆+ . (1.16)

Für die y-Koordinate der Oberflächenkraft ergibt sich entsprechend:

( ) ( ) zx.....yypyyFyF y0y0 ∆∆⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+∆

∂∂

−=∆+− . (1.17)

Aus den Gln. (1.4) und (1.17) erhält man dann für die y-Koordinate der insgesamt auf das Fluidelement wirkenden Kraft

zx.....yypzyxfF yy ∆∆⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+∆

∂∂

−+∆∆∆⋅ρ=∆ .

Lässt man die Kantenlängen des Quaders nunmehr gegen null gehen, so entfallen bei der Tay-lor-ρReihenentwicklung alle Terme höherer Ordnung und yF∆ wird zu ydF bzw. das Produkt

yyx ∆∆∆ geht über in :dV

dVypfdF yy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−ρ= (1.18)

und eine entsprechende Betrachtung für die beiden anderen Koordinatenrichtungen führt aus Symmetriegründen auf die Beziehungen:


1-14



dVxpfdF xx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−ρ= (1.19)

dVzpfdF zz ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−ρ= . (1.20)

Diese drei Gleichungen lassen sich mit

pgradzpe

ype

xpe zyx =

∂∂

+∂∂

+∂∂ rrr

(1.21)

zu der Vektorgleichung

( )dVpgradfFd −ρ=rr

(1.22)

bzw.

dVxpfdF

iii ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−ρ= (1.23)

zusammenfassen.

Im Gleichgewicht muss diese Kraft verschwinden. Da dV nicht null ist, ergibt sich die Gleich-gewichtsbedingung

pgradf =ρr

(1.24)

bzw.

ii x

pf∂∂

=ρ (1.25)

Dies ist das Eulersche Grundgesetz der Hydrostatik. Man kann daraus ablesen, dass in einem ruhenden Fluid der Druckgradient in Richtung der Kraftdichte weist, also die Isobaren (die Flächen gleichen Druckes) überall auf dem Kraftfeld senkrecht stehen.

Druckverteilung in einer schweren Flüssigkeit

Im Folgenden wird ein inkompressibles Fluid betrachtet, d.h. ein Fluid, dessen Dichte ρ weder von der Temperatur noch vom Druck abhängt, also eine Materialkonstante ist: .const=ρ Das kann man im Allgemeinen bei Flüssigkeiten, aber mit oft ausreichender Näherung auch bei Gasen bei Höhenunterschieden unter 250 m voraussetzen. Dann lässt sich das Eulersche Grund-gesetz (1.24) in der Form

ρ=

pgradfr

. (1.26)


1-15



schreiben. Wenn in einem kartesischen Koordinatensystem die z-Achse entgegen der Schwer-kraft orientiert ist, gilt:

( )g,0,0f −=r

. (1.27)

Für den Spezialfall des Schwerefelds ergibt sich:

( ) 0ppzzg 1212 =

ρ−

+− . (1.28)

Als Beispiel sei die Zunahme des Druckes in einem Wasserbecken mit der Tiefe, die sog. hyd-rostatische Druckverteilung betrachtet. Dabei ist es üblich, den Ursprung des Koordinatensys-tems in die Wasseroberfläche zu legen und die z-Achse abweichend von den bisherigen Glei-chungen in Richtung der Schwerkraft zu orientieren. Mit 0121 pp,zz,0z === und

( )zpp2 = folgt dann aus Gl. (1.28)

( ) gzpzp 0 ρ+= . (1.29)

Eine Folge dieser Gleichung ist das Gesetz von den kommunizierenden Gefäßen: sind zwei mit einer Flüssigkeit gefüllte Gefäße durch eine Rohrleitung verbunden, so ist die Flüssigkeit in der Rohrleitung genau dann in Ruhe, wenn der Flüssigkeitsspiegel in beiden Gefäßen gleich hoch ist. Zum Beweis sei die Rohrleitung durch ein verschlossenes Ventil unterbrochen. Wenn jetzt, wie in Abb. 1.8 der Flüssigkeitsspiegel links die Höhe 1H und rechts die Höhe 12 HH < besitzt, herrscht nach Gl. (1.29) links vom Ventil der Druck 101 gHpp ρ+= und rechts vom Ventil der Druck 202 gHpp ρ+= , d.h. es ist 21 pp > . Öffnet man das Ventil strömt Flüssigkeit vom lin-ken Gefäß in das rechte, bis der Druckunterschied ausgeglichen, d.h. der Wasserspiegel in beiden Gefäßen gleich hoch ist.

H2

H1

p1 p2

Abb. 1.8 : Kommunizierende Gefäße.

Dies entspricht der Feststellung, dass eine freie Flüssigkeitsoberfläche stets die Gestalt einer horizontalen Fläche aufweist. Dies gilt auch dann, wenn bei einem zusammenhängenden Volu-men die Oberflächen zwar keine zusammenhängende Fläche bilden, aber denselben Druck an der Oberfläche haben.


1-16



Eine weitere Konsequenz der Gl. (1.29) besteht in dem sog. hydrostatischen Paradoxon. Be-trachtet man die in Abb. 1.9 dargestellten Flüssigkeitsbehälter der gleichen Grundfläche und Höhe, so ist der Druck am Boden ghpp 0 ρ+= in allen drei Fällen identisch. Bei gleicher Bo-denfläche stimmt auch die Druckkraft überein, obwohl das Gewicht der Flüssigkeit in den drei Behältern verschieden ist. Allgemein besagt das hydrostatische Paradoxon, dass die Druckkraft auf einen Behälterboden wesentlich kleiner oder größer als die Gewichtskraft des Wassers im Behälter sein kann.

FFF

h

Abb. 1.9 : Hydrostatisches Paradoxon.

1.3.2 Auftrieb

Als Archimedisches Prinzip bekannt ist der Satz: Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper beliebiger Gestalt erfährt eine Gewichtsverminderung, die dem Gewicht der verdrängten Flüs-sigkeitsmenge gleich ist (Auftrieb).

Dieser Satz wird ohne jede Rechnung durch ein Gedankenexperiment einsichtig, indem man den betrachteten Körper vom Volumen V durch einen Körper mit der Dichte der umgebenden Flüs-sigkeit fρ ersetzt. Dieser Körper muss offensichtlich mit der umgebenden Flüssigkeit im Gleich-gewicht sein, denn für das statische Gleichgewicht ist die Dichte die einzige relevante Größe. Dann ist die resultierende Druckkraft AF

raber entgegengesetzt gleich der auf den Körper wir-

kenden Gewichtskraft, d.h.

zfA eVgFrr

ρ= . (1.30)

Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt des Körpers hindurch, der identisch ist mit dem Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeitsmenge V. Führt man nun wieder den ursprünglichen Körper mit der Dichte Kρ ein, so darf die Auftriebskraft AF

r, die nur vom Druck der umgebenden Flüssigkeit

herrührt, dadurch nicht geändert werden, es gilt also Gl. (1.30) unverändert.

Die Ableitung lässt sich aber auch leicht direkt führen, indem man den eingetauchten Körper in eine Folge von vertikalen Prismen zerlegt und für diese den Beitrag zur Auftriebskraft explizit berechnet (s.


1-17



Abb. 1.10). Da die Oberflächenelemente 1dA und 2dA in der folgenden Weise mit dem Querschnitt dA des Prismas zusammenhängen

dAdAcosdAcos 2211 =α=α , (1.31)

lässt sich die Auftriebskraft, d.h. die z-Komponente der Druckkraft, auf eine einfache Form bringen, wobei Gl. (1.29) benutzt wird:

( ) dVgdAhgdAppcosdApcosdApdF ff12111222A ρ=ρ=−=α−α=(1.32

)

Die Integration über sämtliche infinitesimale Prismen führt sofort zu

∫ ρ= fA gF VgdV fρ= (1.33)

Das ist die skalare Form von Gl. (1.30). Man zeigt leicht die Vollständigkeit der Übereinstimmung, indem man nachweist, dass die auf den Körper wirkenden Druckkräfte keine resultierende Horizontal-komponente besitzen.

dAh

p 1dA

1

p2 dA

2

α1

α2

Abb. 1.10 : Druckkräfte an einem eingetauchten Körper

Auf beide Weisen kann man einfach ableiten, dass für einen nur teilweise eintauchenden, also schwim-menden Körper das Archimedische Prinzip unverändert gilt. Da in diesem Fall die Auftriebskraft dem Gewicht entgegengesetzt gleich ist, muss das Gesamtgewicht des Körpers gleich dem Gewicht der ver-drängten Flüssigkeitsmenge sein.

1.3.3 Gleichgewicht und Druckverteilung beim Vorhandensein allgemeiner Volumen-kräfte

In diesem Abschnitt werden die Auswirkungen von beliebigen massebezogenen Volumenkräften

( ) ( ) ( ) ( )z,y,xfez,y,xfez,y,xferf zzyyxxrrrrr

++= (1.34)

auf eine dichtebeständige Flüssigkeit betrachtet.


1-18



Druckverteilung in rotierenden Flüssigkeiten

Bei der Rotationsbewegung einer Flüssigkeit handelt es sich im Allgemeinen nicht um ein statisches sondern um ein fluiddynamisches Problem. Erfolgt die Rotation aber stationär mit überall gleicher Win-kelgeschwindigkeit, so kann man sie - vom Standpunkt eines mitrotierenden Beobachters aus - als statis-tisches Problem auffassen. Zur Wirkung der Schwerkraft tritt dann diejenige der Zentrifugalkräfte dazu.

Erfolgt die Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die vertikale z-Achse (s. Abb. 1.11), so ist die Dichte der massenbezogenen Volumenkräfte gegeben durch

xf 2x ω= , yf 2

y ω= , gfz −= (1.35)

x

z

ω

p0

ρ ω2 r

ρ g

x

y

r

dV

ρ ω2 r dV

ρ ω2 x dV

ρ ω2 y dV

x

y

Abb. 1.11 : Kräfte auf ein rotierendes Volumenelement

Mit Gl. (1.24) ergibt sich durch Integration der drei Komponenten:

22x x

2p ω

ρ= , 22

y y2

p ωρ

= , gzpp 0z ρ−= (1.36)

Hieraus folgt die Druckverteilung:

( ) zgr2

pz,rp 220 ρ−ω

ρ+= (1.37)

Der Druck nimmt nicht nur von oben nach unten zu, sondern ebenso mit wachsendem Abstand von der Achse. Es seien 0r und 0z und die Koordinaten der Flüssigkeitsoberfläche für welche 0pp = gilt. Dann folgt aus Gl. (1.36) für die Oberfläche:

20

2

0 rg2

z ω= (1.38)

Sie hat also für Form eines Rotationsparaboloids. Das Gleiche gilt für alle Flächen konstanten Drucks 1pp = (Isobaren):

ρ−

−ω

=g

ppr

g2z 012

1

2

1 (1.39)


1-19



Man sieht dies anschaulich leicht folgendermaßen ein: Wenn pgradf =ρr

gilt, so muss diese Kraft auf den Niveauflächen von p, d.h. den Isobaren, senkrecht stehen. Dies ergibt für die Steigung einer Isoba-ren:

ρρω

=−=g

rff

drdz 2

z

r (1.40)

woraus durch Integration sofort G. (1.38), allerdings mit unbestimmter Konstante folgt.

Bei der gleichmäßig rotierenden Flüssigkeit ist die resultierende Druckkraft auf mitbewegte Festkörper - das Analogon zur Auftriebskraft - von Interesse. Entsprechend dem Gedankenexperiment zum Auftrieb (s. Abschn. 1.2.2) überlegt man hier, dass diese Kraft mit der Zentrifugalkraft, die auf die verdrängte Flüssigkeitsmenge ausgeübt wird, im Gleichgewicht stehen muss. Sie ist also nach innen gerichtet, und ihr Betrag ist S

2f rV ωρ , wobei Sr den Abstand des Schwerpunktes der verdrängten Flüssigkeitsmenge

bedeutet.

Hiermit ist die Wirkungsweise von Zentrifugen zu erklären. Die auf ein homogenes Teilchen mit der Dichte Kρ wirkende resultierende Radialkraft ist

( ) S2

fKR rVF ωρ−ρ= (1.41)

Für fK ρ>ρ ist sie nach außen, für fK ρ<ρ nach innen gerichtet. Der Erdbeschleunigung g in der Auftriebsgleichung entspricht hier das Produkt S

2 rω . Dieses kann in technischen Zentrifugen um mehrere Zehnerpotenzen größer realisiert werden als g, in den sog. Ultrazentrifugen sogar bis zu einem Faktor von der Größenordnung 106.

Der gleiche Effekt wird in sog. Zyklonen zur Staubabscheidung aus Gasen verwendet. Hier wird das Gas in einem zylinder- oder trichterförmigen Gefäß auf Schraubenbahnen geführt. Dabei schlägt sich der Staub an den Wänden nieder. Für die Druckverteilung in Zyklonen oder Gaszentrifugen kann allerdings Gl. (1.36) nicht angewendet werden, da diese die Bedingung der Dichtebeständigkeit zur Voraussetzung hat. Hier gelten allerdings die Gln. (1.34)unverändert, und man kann diese in Gl. (1.33) einsetzen. In Zylinderkoordinaten lauten diese dann:

rrp 2ωρ=∂∂ , ρ−=

∂∂ gzp . (1.42)

Für die Integration benötigt man Aussagen über den Zusammenhang zwischen Druck und Dichte. Wenn man den Schwereeinfluss vernachlässigen und isotherme Bedingungen voraussetzen kann, so folgt für ideale Gase meist TR/p m=ρ und anstelle der beiden partiellen Differenzialgleichungen die gewöhnli-che Differenzialgleichung

rTR

pdrdp 2

mω= , (1.43)

die durch Separation der Variablen gelöst wird. Auf diese Weise findet man für die Druckverteilung in einer Gaszentrifuge:

TR2rexpppm

22

0ω

= . (1.44)


1-20



wobei 0p den Druck auf der Achse bedeutet.

Druckverteilungen in einer gleichmäßig beschleunigten Flüssigkeit

Auf analoge Weise kann man die Druckverteilung und insbesondere die Neigung der freien Oberfläche bei einer in horizontaler Richtung gleichmäßig beschleunigten Flüssigkeit bestimmen, vgl. Abb. 1.12. Man fasst das Produkt aus Dichte und Beschleunigung a⋅ρ , mit negativem Vorzeichen versehen, als sog. d'Alembert-Kraft auf - sie stellt die Analogie zur Zentrifugalkraft dar. Dann folgt für die Neigung der freien Oberfläche, ebenso wir für diejenige der Isobaren:

ga

ga

ff

dxdztan

z

x =ρ−ρ−

==−=α . (1.45)

Die Neigung ist also durch das Verhältnis von Horizontal- und Vertikalbeschleunigung gegeben.

x

z

a

ααg ρ

a ρ

Abb. 1.12 : Spiegelneigung in einer horizontal beschleunigten Flüssigkeit

1.4 Kinematik

Die Kinematik einer Strömung beschreibt die Bewegung eines Fluids ohne Berücksichtigung der Kräfte, die diese Bewegung verursachen. Damit befindet sich die Kinematik in der Mitte zwi-schen Geometrie und Mechanik. Die Geometrie betrachtet räumliche Konfigurationen (Anord-nungen), die entweder als zeitlich unveränderlich oder nur zu einem bestimmten Zeitpunkt untersucht werden. Die Mechanik dagegen behandelt Bewegungen als Folge bestimmter Kräfte.

Das Ziel der Kinematik ist die Berechnung des Ortsvektors ( )txr

eines Fluidelements und damit die Bestimmung der Bewegung dieses Elements in Abhängigkeit von der Zeit t bezüglich eines festgelegten Koordinatensystems ( )z,y,x für ein vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld ( )zyx w,w,ww

r. Unter einem Fluidelement wird dabei eine abgeschlossene Flüssigkeitsmenge

sehr geringer Ausdehnung verstanden. Je kleiner dieses Fluidelement ist, desto näher kommt es einem Massenpunkt, für den allein die kinematischen Betrachtungen in strengem Sinn Gültig-keit besitzen.


1-21



1.4.1 Kinematische Grundbegriffe

Verfolgt man wie in Abb. 1.13 die Bahn eines Fluidelements bzw. die Teilchenbahn eines der Strömung beigefügten Teilchens mit fortschreitender Zeit, so wird der Ausgangsort der Teil-chenbewegung zur Zeit 0t = mit dem Ortsvektor ( )000 zyxx =

r festgelegt. Zum Zeitpunkt

0t1 > hat sich das Teilchen entlang der skizzierten Bahnkurve an den Ort ( )1txr

bewegt und zum Zeitpunkt 12 tt > zum Ort ( )2tx

r usw. Die momentane Position x

r des betrachteten Teil-

chens ist also ein Funktion des Ausgangsortes 0x und der Zeit t . Die Teilchenbahn oder Bahn-linie schreibt sich damit:

( )t,xfx 0rrr

= . (1.46)

Die gewöhnliche Differenzialgleichung für die Berechnung der Teilchenbahn lautet für ein vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld ( )zyx w,w,ww

r:

( )t,xwdtxd rrr

= . (1.47)

Dies ist nichts anderes als die wohlbekannte Definitionsgleichung der Geschwindigkeit. Für die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten lauten die Differenzialgleichungen

( )t,z,y,xwdtdx

x= , ( )t,z,y,xwdtdy

y= , ( )t,z,y,xwdtdz

z= . (1.48)

Es handelt sich um ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen 1. Ordnung. Die Teil-chenbahn berechnet sich durch Integration dieser Differenzialgleichungen mit der Anfangsbe-dingung ( )0txx0 ==

rr.

Für eine stationäre Strömung ist das Geschwindigkeitsfeld ( )xwrr

unabhängig von der Zeit t

( )xwdtxd rrr

= (1.49)

x

yz

t = 0

t1 > 0

t2 > t1t3 > t2

Teilchenbahn

x0

x(t1)

x(t2)

x(t3)

Abb. 1.13 : Teilchenbahn


1-22



Im Allgemeinen ist nicht die Bewegung in Form von Gl. (1.46), sondern das Geschwindigkeits-feld ( )t,xww

rrr= gegeben. Die Teilchenbahn x

r ergibt sich dann durch Integration der Gl.

(1.49). Eine weitere Möglichkeit Strömungen zu beschreiben sind Stromlinien (s. Abb. 1.14). Diese zeigen zu einem bestimmten Zeitpunkt nt das Richtungsfeld des Geschwindigkeitsvektors wr

an. Da die Tangenten an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt parallel zum Geschwindigkeits-vektor gerichtet sind, lautet die Bestimmungsgleichung für die Stromlinie

0xdw =×rr

(1.50)

Daraus folgt das Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung für die Stromlinie:

yx wdy

wdx

= =zw

dz (1.51)

t = tnStromlinie

w

x

y

z

wywz

ds = w dt

Abb. 1.14 : Stromlinie

Die Stromlinien berechnen sich wiederum durch Integration nach Trennung der Variablen. Damit sind sie die Integralkurven des Richtungsfeldes des vorgegebenen Geschwindigkeitsvek-tors w

r.

Bei stationärer Strömung fallen Strom- und Bahnlinien zusammen: ein Teilchen entfernt sich nie von der Stromlinie, auf der es sich einmal befindet. Andersfalls müsste sich nämlich das Teil-chen quer zu den Stromlinien bewegen. Dann würde aber seine Geschwindigkeitsrichtung nicht mit der Stromlinienrichtung übereinstimmen, was der Definition der Stromlinien widerspricht.

Für instationäre Strömungen unterscheiden sich die Teilchenbahnen von den Stromlinien, was die Interpretation instationärer Strömungen schwierig gestaltet. Ein einfaches Strömungsbeispiel soll dies veranschaulichen. In Abb. 1.15 wird ein Zylinder mit konstanter Geschwindigkeit

∞w durch ein ruhendes Fluid bewegt. Die Teilchenbahn durchläuft beim Vorbeibewegen des Zylinders eine Schleife, während die Momentaufnahme der Stromlinien geschlossene Kurven zeigen. Dies ist das Strömungsfeld, das ein außenstehender, ruhender Beobachter sieht. Ganz anders sieht das Strömungsbild aus, wenn man sich mit dem Zylinder mitbewegt. Man sieht dann die konstante Anströmung ∞w auf sich zukommen, und die Strömung wird zeitunabhän-gig. Statt der geschlossenen Stromlinien bilden sich stationäre Stromlinien von links nach rechts


1-23



verlaufend aus, die mit den Bahnlinien zusammenfallen. Je nachdem in welchem Bezugssystem man sich befindet, kann das Strömungsfeld also völlig anders aussehen. Physikalisch ausge-drückt, heißt dies, Stromlinien und Teilchenbahnen sind nicht invariant beim Wechsel des Inertialsystems (Ortstransformation mit konstanter Translationsgeschwindigkeit).

w∞w∞ w∞

Teilchen ruhenderBeobachter

Stromlinen ruhenderBeobachter

Stromlinen mitbewegterBeobachter

Abb. 1.15 : Zylinderumströmung; ruhender und mitbewegter Beobachter

1.4.2 Kontinuitätsgleichung

Vor der Ableitung der strömungsmechanischen Grundgleichungen für allgemein dreidimen-sionale und zeitabhängige Strömungsprobleme mit ( )t,z,y,xw

r, ( )t,z,y,xp , ( )t,z,y,xρ ,

( )t,z,y,xe wird in diesem Abschnitt die eindimensionale Stromfadentheorie zunächst für in-

kompressible Strömungen abgeleitet. Die Grundlagen und Methoden der eindimensionalen Stromfadentheorie werden auch heute noch in der Industrie für den Vorentwurf neuer Produkte eingesetzt. Neben dem grundsätzlichen Verständnis für Strömungsvorgänge ist es deshalb auch aus praktischen Gründen bedeutsam, die eindimensionale Stromfadentheorie als Einstieg in die theoretische Behandlung von Strömungen abzuleiten.

Die eindimensionale Geschwindigkeitskomponente ( )sw ist ausschließlich eine Funktion einer

Koordinate s , die als Stromfadenkoordinate bezeichnet wird. Zur Einführung dieser eindimen-sionalen Stromfadenkoordinate s ist es nützlich den Begriff der Stromröhre zu definieren. Bil-den die Stromlinien eine geschlossene Fläche, wie dies in Abb. 1.16 dargestellt ist, nennt man diese Mantelfläche Stromröhre.

Abb. 1.16 : Stromröhre


1-24



Da die Stromlinien per Definition die Tangenten der Geschwindigkeitsvektoren sind, tritt durch den Mantel der Stromröhre keine Fluidmasse. Das bedeutet, dass durchströmte Kanäle mit festen Wänden Stromröhren bilden. Sind die Änderungen der Strömungsgrößen über den Quer-schnitt der Stromröhre klein gegenüber den Änderungen längs der Stromröhre, lassen sich die näherungsweise eindimensionalen Änderungen der Strömungsgrößen entlang des abstrahierten Stromfadens berechnen. Das Bild eines Strömungsfeldes wird umso genauer durch Stromfäden dargestellt, je kleiner deren Querschnitte sind. Strömungen durch Rohre und in Gerinnen kön-nen als einziger Stromfaden behandelt werden, wenn man über den Querschnitt gemittelte Wer-te der Strömungsgrößen benutzt. Hierin liegt die Bedeutung der Stromfadentheorie in der Tech-nik: Es ist mit ihrer Hilfe oft möglich, zwei- oder gar dreidimensionale Strömungen näherungs-weise eindimensional zu behandeln.

Für einen solchen Stromfaden wird die Kontinuitätsgleichung im Folgenden hergeleitet. Es sei s die Bogenlänge längs der Mittellinie des Stromfadens, dann sind alle Strömungsgrößen im Stromfaden nur Funktionen von s und t, und für das Volumenelement gilt:

( )dst,sAdV = (1.52)

Es werde jetzt ein materielles Volumen betrachtet, das zum Zeitpunkt t das Stück eines Stromfadens zwischen den Querschnitten ( )( )t,tsA 11 und ( )( )t,tsA 22 und zum Zeitpunkt tt ∆+ das Stück zwi-schen den Querschnitten ( )( )tt,ttsA 11 ∆+∆+ und ( )( )tt,ttsA 22 ∆+∆+ ausfüllt (vgl. Abb. 1.17). Die Skizze ist für einen raumfesten Mantel gezeichnet, um sie nicht unübersichtlicher als nötig zu ma-chen; die Überlegungen gelten aber auch für einen bewegten Mantel, also eine nicht richtungsstationäre Strömung.

s2(t+∆t)

s

s2(t)

s1(t+∆t)

s1(t) Abb. 1.17 : Stromfaden in einer Stromröhre

Da die Masse eines materiellen Volumens konstant bleibt, gilt für ein solches materielles Stück eines Stromfadens:

( )( )

( )( ) 0dst,sAt,s

dtd ts

ts

2

1

=ρ∫ (1.53)

Für die Ableitung eines Integrals nach der Zeit, dessen Integrand und dessen Grenzen von der Zeit ab-hängen, gilt die Leibnizsche Regel:


1-25



( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

dtdst,sF

dtdst,sFds

tt,sFdst,sF

dtd 1

12

2

ts

ts

ts

ts

2

1

2

1

−+∂

∂= ∫∫ (1.54)

Damit wird aus Gl. (1.52)

( )

( )0

dtdsA

dtdsAds

tA 2

112

22

ts

ts

1

1

=ρ−ρ+∂ρ∂

∫ (1.55)

und mit wdt/ds = erhält man schließlich

0AwAwdstA

111222

s

s

2

1

=ρ−ρ+∂ρ∂

∫ (1.56)

(Anmerkung: Zu dieser Gleichung gelangt man auch durch Anwendung der allgemeinen Bilanzgleichung (1.12), indem das als Menge die Masse bilanziert wird.)

Sowohl in Gl. (1.55) als auch (1.56) ist jedes Glied ausschließlich eine Funktion der Zeit. Die Gleichung gilt also zwischen zwei beliebigen Querschnitten eines Stromfadens zum selben Zeitpunkt. Wie man sich das durch den Stromfaden und diese beiden Querschnitte gebildete Volumen zeitlich fortgesetzt denkt, ob man es also als ein mit der Strömung mitbewegtes oder als ein raumfestes Volumen betrachtet, ist für die Anwendung der Gleichung ohne Bedeutung.

Für die stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluids durch einen Stromfaden folgt:

2211 AwAw = , .constwA = , 0AdwwdA =+ . (1.57)

In einem Stromfaden ist wA gerade der Volumenstrom durch einen Querschnitt des Stromfa-dens

wAV =& . (1.58)

Für die stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluids ist demnach der Volumenstrom durch einen Stromfaden und wie sich leicht zeigen lässt auch durch eine Stromröhre in jedem Quer-schnitt gleich:

21 VV && = , .constV =& , 0Vd =& . (1.59)

1.4.3 Eulersche und Bernoullische Gleichung für stationäre Strömungen

In einer strömenden Flüssigkeit treten außer dem Druck im Allgemeinen Schubspannungen auf (vgl. Abschnitt 1.1). Dies ist immer dann der Fall, wenn sich die Flüssigkeit bei der Bewegung "deformiert", d.h. wenn sie nicht wie ein starrer Körper als Ganzes bewegt (z.B. rotiert). Man kann diese Schubspannungen aber oft gegenüber dem Druck vernachlässigen. Dann spricht man von reibungsfreier Strömung; das Auftreten der Schubspannungen bezeichnet man auch als


1-26



innere Reibung der Flüssigkeit. Nur einige Erfahrung lehrt, ob eine Strömung als reibungsfrei angesehen werden kann oder nicht. Derartige Erfahrungen ergeben sich durch die Beschäftigung mit konkreten Strömungsvorgängen.

Bei reibungsfreien Strömungen kann man mit den Schubspannungen eine Erscheinung vernach-lässigen, die in einer realen Strömung immer auftritt: das Haften der Flüssigkeit an festen Wän-den. Bei einer reibungsfreien Strömung darf man daher annehmen, dass die Flüssigkeit an festen Wänden tangential mit endlicher Geschwindigkeit entlang strömt. In Wirklichkeit sinkt aller-dings die Geschwindigkeit nahe einer ruhenden Wand in einer Grenzschicht auf null ab, wie dies Abb. 1.18 zeigt. (In Abschn. 2.2 und 2.3 werden Grenzschichtströmungen genauer behan-delt.) Man kann deshalb die Bedingung dafür, dass eine Strömung als reibungsfrei betrachtet werden darf, meistens auch so formulieren: Die Grenzschichten an festen Wänden müssen so dünn bleiben, dass ihre Dicke gegen die übrigen Abmessungen des Strömungsfeldes vernachläs-sigt werden kann. Die Grenzschichten bleiben im Allgemeinen dann dünn, wenn eine bestimmte den Strömungsvorgang charakterisierende dimensionslose Zahl, die sog. Reynoldszahl, groß ist.

Grenzschicht

w

Abb. 1.18 : Geschwindigkeitsprofil bei der Umströmung eines festen Körpers

Es soll zunächst die Bewegungsgleichung für einen Stromfaden formuliert werden, der in eine reibungsfreie Außenströmung bzw. reibungsfreie Kernströmung eines Kanals gelegt wird. Diese Bewegungsgleichung stellt erneut eine Form der allgemeinen Bilanzgleichung (1.12)dar, in der als zu bilanzierende Menge der Impuls eingesetzt wird. Bei der Kräftebilanz entlang eines aus-gewählten Stromfadenelements dV (s. Abb. 1.19) kann in erster Näherung die Querschnittsän-derung entlang des Stromfadens vernachlässigt werden. Die Bewegungsgleichung lautet Masse · Beschleunigung = Summe aller angreifenden Kräfte. Für das Volumenelement dV gilt also


1-27



ds

Abb. 1.19 : Kräftebilanz am Stromfadenelement dV

∑=⋅i

iFadM . (1.60)

Allgemein gilt für die Beschleunigung a eines Strömungsfeldes:

( )wwtw

zww

yww

xww

tw

dtwda zyx

rrrrrrrr

r∇⋅+

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

== (1.61)

mit dem Skalarprodukt ( )∇⋅wr

aus dem Geschwindigkeitsvektor wr

und dem Nabla-Operator ( )z/,y/,x/ ∂∂∂∂∂∂=∇ .

Für den eindimensionalen Stromfaden schreibt sich Gl. (1.61):

sww

tw

dtdwa

∂∂⋅+

∂∂

== . (1.62)

für die angenommene stationäre Strömung gilt ( )ds/dwwb ⋅= . Die Masse des in Abb. 1.19 betrachteten Volumenelements dV ist dsdAdM ⋅ρ= . Die am Volumenelement angreifenden Kräfte sind die Druckkräfte und die Gravitation, deren Komponenten entlang der Stromfaden-koordinate ins Gleichgewicht gesetzt werden. Damit ergibt sich:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂⋅+

∂∂

⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅ρsww

twdsdA

dtdwdsdA

( )ϕ⋅⋅⋅⋅ρ−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+−⋅= cosdsdAgdAdssppdAp ,

(1.63)

( ) ds/dzcos =ϕ und Division durch dsdA ⋅⋅ρ liefert die Euler-Gleichung für den Stromfaden

dsdzg

sp1

sww

tw

dtdw

⋅−∂∂⋅

ρ−=

∂∂⋅+

∂∂

= . (1.64)

Für stationäre Strömungen sind alle Größen nur Funktionen von s und es folgt:

dsdzg

dsdp1

2w

dsd

dsdww

2⋅−⋅

ρ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅ . (1.65)


1-28



Die Integration längs des Stromfadens s vom Ort 1 mit 11 p,w und 11 z,s zum Ort 2 mit

22 p,w und 22 z,s liefert:

( ) ( ) 0zzgdp1ww21

12

p

p

21

22

2

1

=−⋅+⋅ρ

+− ∫ . (1.66)

Für die betrachtete inkompressible Strömung ist .const=ρ , so dass der Faktor ρ1 vor das Integral gezogen wird, und man erhält die Bernoulli-Gleichung für inkompressible stationäre reibungsfreie Strömungen. Die Dimension ist Energie pro Masse:

=⋅+ρ

+ 22

22 zgp

2w .konstzgp

2w

11

21 =⋅+

ρ+ (1.67)

Alternativ dazu wird häufig auch die Bernoulli-Gleichung der Dimension Energie pro Volumen angewandt:

=⋅⋅ρ+⋅ρ⋅+ 2222 zgw

21p .konstzgw

21p 1

211 =⋅⋅ρ+⋅ρ⋅+ (1.68)

An einem beliebigen Ort lautet die Bernoulli-Gleichung für stationäre Strömungen:

.konstzgw21p 2 =⋅⋅ρ+⋅ρ⋅+ oder .konstzg

2wp 2

=⋅++ρ

(1.69)

Die Konstante fasst dabei die drei bekannten Terme an einem Ausgangszustand zusammen. Sie hat für alle Punkte längs s eines Stromfadens den gleichen Wert, kann sich jedoch von Stromfa-den zu Stromfaden ändern. Die Bernoulli-Gleichung ist eine algebraische Gleichung und liefert den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Druck.

1.4.4 Einfache Anwendungen der Bernoullischen Gleichung

Torricellische Ausflussformel

An einem großen, nach oben offenen Flüssigkeitsreservoir sei, wie in Abb. 1.20 dargestellt, ein Ablaufrohr angeschlossen. Hierbei sei der Querschnitt 2A der Ausflussöffnung so klein gegen den des Behälters 1A , dass die Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels und damit die Geschwindigkeit der Flüssigkeit unmittelbar am Spiegel vernachlässigt werden kann. Wendet man die Bernoullische Gleichung (1.69) auf einen vom Spiegel bis in die Ausflussöffnung führenden Stromfaden an (Abb. 1.20), so erhält man wegen 021 ppp == (=Atmosphärendruck) und ww,0w 21 ==

0gw2

pgh02

p 20

20 ρ+

ρ+=ρ+

ρ+ (1.70)

oder


1-29



gh2w;gh2w 2 == (1.71)

Die Ausflussgeschwindigkeit w hängt also nur von der Höhendifferenz h zwischen Ausflussöff-nung und Flüssigkeitsspiegel im Behälter ab und ist gerade so groß, als fielen die Flüssigkeits-teilchen die Höhe h frei herab.

a) b)

wp0

1 p0

2

1 p0

p0 2w

h

Abb. 1.20 : Flüssigkeitsbehälter mit Ablaufrohr

Man kann mit Hilfe des Resultats (1.71) die Zeit t∆ berechnen, die für die Leerung des Behälters von einer Anfangshöhe ah auf eine Endhöhe eh benötigt wird: Im Zeitintervall dt strömt aus der Austritts-öffnung das Flüssigkeitsvolumen dtAw 2 aus. Um dieses Volumen vermindert sich der Inhalt des Behälters; bei einer Spiegelsenkung von h auf dhh + (mit 0dh < ) in der Zeit dt ist die Inhaltsver-ringerung dhA1− . Also gilt:

dtwAdhA 21 =− (1.72)

Setzt man w nach Gl. (1.71) ein, so ergibt sich:

hdh

AA

g21dt

2

1 ⋅⋅−= (1.73)

Die Integration mit der Anfangsbedingung ahh = für 0t = liefert den folgenden Zusammenhang zwischen Entleerungszeit t∆ und Spiegelhöhe eh :

( )ea2

1h

h2

1t

0

hhAA

g2

hdh

AA

g21dtt

e

a

−⋅=⋅−==∆ ∫∫∆

(1.74)

Prandtlrohr und Staurohr

Zur Messung des Gesamtdrucks und des statischen Drucks eines strömenden Mediums werden schlanke, zylindrische Strömungssonden eingesetzt, mit denen auch die Strömungsgeschwin-


1-30



digkeit bestimmt werden kann. Auf der Oberfläche eines ruhenden, von einem Fluid umström-ten festen Körpers gibt es mindestens einen Punkt den Staupunkt, in dem die Strömungsge-schwindigkeit null ist (s. Abb. 1.21). Die auf den Staupunkt führende Stromlinie heißt Stau-stromlinie. Bei vielen technisch wichtigen Strömungsvorgängen spielen Höhenunterschiede im Strömungsfeld keine große Rolle. Druckunterschiede in verschiedenen Punkten einer Stromlinie gehen dann im Wesentlichen auf Geschwindigkeitsunterschiede und nicht auf Höhenunterschie-de zurück. Anstelle von Gl. (1.68) kann man dann die einfachere Form

Abb. 1.21 : Umströmung eines festen Körpers

Cw2

p 2 =ρ

+ (1.75)

der Bernoullischen Gleichung benutzen. Die Druckunterschiede in einer Strömung infolge von Geschwindigkeitsunterschieden sind im Allgemeinen von der Größenordnung eines charakteris-tischen Staudrucks 2

cw2ρ , wobei cw eine charakteristische Geschwindigkeit ist. Die auf Hö-

henunterschiede zurückgehenden Druckunterschiede sind von der Größenordnung zg ∆ρ , wobei z∆ ein charakteristischer Höhenunterschied im Strömungsfeld ist. Gl. (1.76) ist daher im Allgemeinen anwendbar, wenn zgw

22c ∆ρ>>

ρ oder zg2w 2c ∆>> ist. – In der folgenden

Herleitung wird vorausgesetzt, dass Gl. (1.76)angewandt werden darf; die durch Höhenunter-schiede hervorgerufenen Druckunterschiede werden vernachlässigt.

Führt man in eine homogene Parallelströmung die Geschwindigkeit ∞w eine sogenannte Stau-drucksonde oder Pitotrohr, wie in Abb. 1.22 dargestellt, ein, so kann man damit den Gesamt-druck gesp messen. Dabei wird das Staurohr nicht vom Medium durchströmt. Nach Gl. (1.75) ist der Gesamtdruck 2wpp 2

ges ρ+= längs einer Stromlinie konstant. Im Staupunkt eines umströmten Körpers stimmt aber der Druck staup mit dem Gesamtdruck gesp auf der Stau-stromlinie überein:

ges2

stau pw2

pp =ρ

+= (1.76)


1-31



Abb. 1.22 : Staudrucksonde oder Pitotrohr zur Messung des Gesamtdrucks

Das angeschlossene Manometer zeigt die Differenz

02

0ges pw2

ppp −ρ

+=− ∞∞ (1.77)

an. 0p ist hierbei z.B. der Umgebungs- oder auch ein anderer Referenzdruck.

Die Messung des statischen Drucks kann mit einer Drucksonde (s. Abb. 1.23) erfolgen. Hierbei handelt es sich wie beim Staurohr um ein rundes, vorn gut abgerundetes Rohr, das genau in Strömungsrichtung gebracht wird. In einiger Entfernung vom vorderen Staupunkt werden kleine Bohrungen bzw. ein Ringschlitz angebracht. Im Innern der Sonde stellt sich dann der statische Druck der Strömung ein. Wichtig ist, dass die Bohrungen nicht zu weit vorn liegen, da sich die Strömung dort noch nicht an die Sonde angelegt hat und demzufolge noch ein Unterdruckgebiet besteht.

w

ρf

Abb. 1.23 : Drucksonde

Die Kombination eines Staurohrs mit einer Drucksonde stellt das sog. Prandtlrohr (s. Abb. 1.24) dar, mit dem die Geschwindigkeit eines strömenden Mediums gemessen werden kann. An der seitlichen Druckanbohrung in der schlanken zylindrischen Sonde hat die Strömungsge-schwindigkeit den Wert ∞w (die von dem stumpfen Sondenkopf verursachte Störung


1-32



w∞

w = 0

w∞

Abb. 1.24 : Prandtlrohr. Links: schematische Darstellung, rechts: Anwendung in der Luftfahrt.

der Parallelströmung ist dort abgeklungen). An der Druckanbohrung im Staupunkt ist die Strö-mungsgeschwindigkeit null (man beachte, dass kein Fluid durch die Druckanbohrungen strömt, da das Manometer nicht durchströmt werden kann).

Aus der Bernoullischen Gleichung folgt, dass das Manometer die Differenz der an den beiden Bohrungen vorhandenen Staudrücke anzeigt, hier also die Größe ( ) 2w2 ∞ρ . Aus der Manome-teranzeige lässt sich somit ∞w ermitteln.

1.4.5 Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömungen Für instationäre Strömungen muss die partielle zeitliche Ableitung t/w ∂∂ der Euler-Gleichung (1.64) ebenfalls längs des Stromfadens s integriert werden. Dabei ist die Integration bei fester Zeit t von 1s bis

2s durchzuführen. Es ergibt sich die Bernoulli-Gleichung für instationäre eindimensionale Strömungen:

( ) .0zzgpp2

wwdstw

1212

21

22

s

s

2

1

=−+ρ−

+−

+∂∂∫ (1.78)

Der Wert des Integrals gibt die spezifische Beschleunigungsarbeit wieder.

Flüssigkeitsschwingung in einem gekrümmten Rohr

Als Anwendungsbeispiel für Gl. (1.78) werden die Flüssigkeitsschwingungen in einem Rohr der in Abb. 1.25 skizzierten Gestalt betrachtet. Das Rohr besitze einen konstanten Querschnitt. In der Ruhelage stehen die Flüssigkeitsspiegel in beiden Rohrschenkeln gleich hoch. Die Auslenkung x der Spiegel aus der Ruhelage ist in beiden Schenkeln gleich groß, weil sich die Länge 1 des Flüssigkeitsfadens wegen der Konstanz des Rohrquerschnitts bei der Schwingung nicht ändert. Wendet man Gl. (1.78) auf die gestrichelt skizzierte von Punkt 1 nach Punkt 2 führende Stromlinie an und beachtet dabei, dass

021 ppp == (Atmosphärendruck) und xw &= sowie xt/w &&=∂∂ , so erhält man dann:

αρ−ρ

+=βρ+ρ

++ρ singxx2

psingxx2

pxl 20

20 &&&& (1.79)


1-33



Hieraus ergibt sich die Schwingungsgleichung:

( ) 0xsinsinlgx =β+α+&& (1.80)

Die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung ist nach Gl. (1.79):

( )β+α=ω sinsinlg (1.81)

Die Schwingungsdauer ist ωπ= /2t . Für o90=β=α ist das Rohr ein U-Rohr mit parallelen, vertika-len Schenkeln und es ist

2/lg

=ω (1.82)

Hier stimmt also die Schwingungsdauer mit derjenigen eines mathematischen Pendels (Punktpendels) der Länge l/2 überein.

Abb. 1.25 : Schwingende Flüssigkeit in einem gekrümmten Rohr.

1.4.6 Impulssatz

Die Berechnung der Bewegung eines Fluids als Folge bestimmter Kräfte erfolgt, wie bereits in Abschn. 1.4.3 praktiziert, mit Hilfe der Bilanzgleichung für den Impuls. Hierbei sind zwei grundsätzliche Formen zu unterscheiden. Die differenzielle Form, wie sie für reibungsfreie Strömungen als Euler-Gleichung vorliegt, wird als Bewegungsgleichung bezeichnet. Dagegen wird die integrale Form Impulssatz genannt.

Die Bilanzgleichung für den Impuls lautet für ein materielles Volumen:

Die Zunahme an Impuls in einem materiellen Volumen ist gleich der daran von außen angrei-fenden Kraft.

Ein Volumenelement dV mit der Dichte ρ und der Geschwindigkeit wr

besitzt den Impuls dVwId

rrρ= . Der Impuls eines endlichen Volumens ist demnach:


1-34



∫ρ= dVwIrr

(1.83)

Die an einem endlichen Volumen angreifenden Kräfte setzen sich aus Volumen- und Oberflächenkräften zusammen (s. Abschn. 1.1.2). Für die insgesamt an einem Volumen angreifende Kraft gilt:

4342143421

rr

r0v FF

dAdVfF ∫∫ σ+ρ= (1.84)

Der Impulssatz lautet demnach für ein materielles Volumen

∫∫∫ σ+ρ=ρA,A~V,V~V~

dAdVfdVwdtd rr

(1.85)

Dabei ist V~ ein beliebig gewähltes materielles Volumen in dem betrachteten bewegten Kontinuum und A~ seine Oberfläche; V ist das raumfeste Volumen, das sich zum betrachteten Zeitpunkt mit V~ gerade deckt, und A seine Oberfläche. Nach dem Impulssatz ist zunächst auch auf der rechten Seite über V~ und A~ zu integrieren; solange aber von einem Integral keine zeitliche Ableitung gebildet wird, ist es offen-bar gleich, welchen der beiden Bereiche man nimmt. Zu dem betrachteten Zeitpunkt stimmen beide Volumina (und alle ihre Eigenschaften wir ihre Masse, ihr Impuls oder die auf die Volumina ausgeübte Kraft) definitionsgemäß überein, nur ihre zeitlichen Ableitungen sind verschieden. Zukünftig wird bei allen Integralen, von denen keine zeitliche Ableitung zu bilden ist, auf die Angabe, ob der Integrations-bereich materiell oder raumfest ist, verzichtet.

Wendet man den Impulssatz (1.85) allein für reibungsfreie Fluide an, so entfallen sämtliche Schubspan-nungen. Als Oberflächenkräfte treten nur noch Druckkräfte auf. Der Impulssatz lautet dann:

∫∫∫ −ρ=ρ dApdVfdVwdtd

V~

rr (1.86)

Um den Impulssatz im Weiteren auf einen Stromfaden zu spezialisieren, wird auf der linken Seite nach

Gl. (1.52) dsAdV = eingesetzt, so dass sich folgender Zusammenhang ergibt:

( )

( )

dtdsAw

dtdsAwds

tAwdsAw

dtddVw

dtd 1

1112

222

s

s

ts

tsV~

2

1

2

1

rrr

rrρ−ρ+

∂ρ∂

=ρ=ρ ∫∫∫ .

Mit wdtdsundMAw,eww ==ρ⋅= &rr

folgt:

111222

s

sV~ewMewMds

teMdVw

dtd 2

1

r&r&r&r

−+∂⋅∂

=ρ ∫∫ (1.87)


1-35



Auf der rechten Seite wird für die Volumenkraft VFr

eingesetzt (sie ist im Schwerefeld gleich dem Pro-dukt aus dem Gewicht des Fluids im betrachteten Volumen und der Erdbeschleunigung und wird deshalb häufig GF

rgenannt). Die Oberflächenkraft wird in die Kraft MF

rauf den Mantel des Stromfadens und in

die Kraft EFr

auf die Endflächen des Stromfadens zerlegt. In der Regel kann man die in den Endflächen wirkenden Reibungskräfte gegenüber den Druckkräften in den Endflächen und den Kräften auf den Mantel vernachlässigen. Dann kann man für die Kraft auf die Endflächen

222111E eApeApFrrr

−= (1.88)

schreiben.

Der Impulssatz (1.85) lautet:

222111MV111222

s

s

eApeApFFewMewMdsteM2

1

rrrrr&r&r&

−++=−+∂∂∫ (1.89)

In dieser Form ist der Impulssatz für den Stromfaden leicht anschaulich interpretierbar: In Gl. (1.89) steht wie in Gl. (1.85) links die Änderung des Impulses in dem betrachteten Stromfaden-abschnitt und rechts die daran von außen angreifende Kraft. Auf der linken Seite stellt der erste Term, das sogenannte instationäre Glied, die lokale Impulsänderung dar, die beiden anderen zusammen bilden die konvektive Impulsänderung, d.h. die Differenz aus dem aus dem Stromfa-den austretenden und dem in ihn eintretenden Impulsstrom. Auf der rechten Seite stellt der erste Term die Volumenkraft und der Rest die Oberflächenkraft dar; sie zerfällt in die Mantelkraft und die Kraft auf die beiden Endflächen des Stromfadenabschnitts.

Statt der von außen auf den Mantel ausgeübten Kraft MFr

verwendet man häufig die vom Fluid auf den Mantel ausgeübte Reaktionskraft

MM FRrr

−= (1.90)

Löst man den Impulssatz nach MRr

auf, so lautet er:

[ ] [ ] dsteMeApwMeApwMFR

2

1

s

s2222211111VM ∫ ∂

∂−+−++=

r&r&r&rr

(1.91)

Bei vielen technischen Anwendungen wird der Mantel des Stromfadens von einer festen Wand gebildet, auf die von innen die Reaktionskraft MR

rund von außen die vom äußeren Luftdruck

0p herrührende Kraft ∫−= AdpF 00M

rrwirkt; dabei sind die Flächenelemente Ad

r wieder nach

außen orientiert, und die Integration ist über den ganzen Mantel des Stromfadenabschnitts zu erstrecken. Technisch wichtig ist dann häufig die Resultierende

0MMW FRRrrr

+= (1.92)

dieser beiden Kräfte, die im Unterschied zur Reaktionskraft MRr

als Reaktionswandkraft WRr

be-zeichnet wird. Um im Impulssatz die Reaktionswandkraft einzuführen, berücksichtigt man, dass


1-36



die vom äußeren Luftdruck (unter Vernachlässigung des Schwerefeldes) auf einen beliebigen Körper, also auch auf die gesamte Oberfläche des Stromfadenabschnitts, ausgeübte Kraft null ist (anderenfalls müsste aus dem Druck auf einen Körper eine resultierende Kraft entstehen):

0eApeApF 2201100M =−+

rrr

Dann erhält man

( )[ ] ( )[ ] dsteMeAppwMeAppwMFR

2

1

s

s220222110111VW ∫ ∂

∂−−+−−++=

r&r&r&rr

. (1.93)

Alle bis jetzt hergeleiteten Formen des Impulssatzes gelten für:

− stationäre und instationäre Strömungen,

− kompressible und inkompressible Fluide,

− reibungsfreie Fluide,

− nur einen Stromfadenabschnitt.

Stationäre Strömungen

Wendet man den Impulssatz auf stationäre Strömungen an, so ist der Massenstrom nach Gl. (1.57) unabhängig vom Querschnitt, und Gl. (1.93) vereinfacht sich zu

21VW JJFRrrrr

−+= (1.94)

mit dem sogenannten erweiterten Impulsstrom (ν steht für die verschiedenen Querschnitte):

( )[ ] ννννν ⋅−+⋅= eAppwMJ 0r&

r (1.95)

Beispielhaft für die Anwendung des Impulssatzes sei zunächst die stationäre Strömung eines inkompressiblen, reibungsfreien Fluids, das in einem horizontalen Krümmer um den Winkel α umgelenkt wird, betrachtet (s. Abb. 1.26). Die Reaktionswandkraft soll nach Größe und Rich-tung berechnet werden.


1-37



Abb. 1.26 : Durchströmung eines liegenden Krümmers.

Zwischen den Querschnitten 1 und 2 des Krümmers werden die Kontinuitätsgleichung (1.57), die Bernoullische Gleichung (1.67) und der Impulssatz (1.93) angesetzt:

2211 AwAw = (1.96)

ρ+=

ρ+ 2

p2

wp2

w 221

21 (1.97)

und

( )[ ] ( )[ ] 2202211011VW eAppwMeAppwMFRr&r&

rr−+⋅−−+⋅+= (1.98)

Die Volumenkraft VFr

resultiert aus dem Gewicht des Fluids im Krümmer:

zV eVgFrr

⋅⋅ρ−= (1.99)

Für das eingezeichnete Koordinatensystem haben 1er

und 2er

die Komponenten

( )0,1,0e1 =r

( )0,cos,sine2 αα=r

(1.100)

Es seien 11 p,w und 0p bekannt, dann ergeben sich die drei Koordinaten der Reaktionswandkraft

(1.98) unter Verwendung von (1.96), (1.97), (1.99) und (1.100) zu

( ) α⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ−= sinApp

AA1w

2R 2012

2

212

1xW ,

( )[ ] ( ) α⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ−−+ρ= cosApp

AA1w

2AppwR 2012

2

212

110121yW

und

gVR zW ρ−=

Die Größe der Reaktionskraft ergibt sich aus der Beziehung


1-38



2Wz

2Wy

2WxW RRRR ++=

und die Richtung der Kraftangriffslinie in der x, y -Ebene aus:

( )xWyW R/Rtan −=β (1.101)

Als weitere Anwendung des Impulssatzes wird das Verhalten von Freistrahlen betrachtet. Ein Strahl tritt mit der Geschwindigkeit w aus einer rechteckigen Düse aus (Abb. 1.27; Strahlbreite h und -tiefe b senkrecht zur Zeichenebene). Der Strahl trifft auf eine Schaufel, die ihn symmetrisch nach zwei Seiten um den Winkel β−o180 umlenkt. Zu berechnen ist die von der Flüssigkeit auf die Schaufel ausgeübte Kraft. Zunächst eine Vorbemerkung: Die Flüssigkeit ist von der ruhenden Atmosphäre mit dem Druck

0p umgeben. Bei Abschalten des Strahls übt der Druck 0p auf die Innenseite der Schaufel, die bei

eingeschaltetem Strahl von diesem benetzt wird, eine Kraft aus. Diese Kraft wird aber gerade von der Kraft kompensiert, die auf der nicht benetzten Schaufelrückseite vom Atmosphärendruck 0p erzeugt

wird, denn ein allseits auf die Oberfläche eines beliebigen Körpers wirkender konstanter Druck erzeugt keine resultierende Kraft. Wird der Impulssatz unter Benutzung des gestrichelt umrandeten Kontrollvo-lumens (Abb. 1.27) angewendet und die vom Strahl auf die Innenseite der Schaufel ausgeübte Kraft ausgerechnet, erhält man auch einen Kraftanteil, der auf den Atmosphärendruck 0p zurückgeht und auch

ohne Strahl vorhanden ist. Da dieser Kraftanteil durch den Druck auf der Rückseite kompensiert wird und daher zur resultierenden Kraft auf die Schaufel nichts beiträgt, ist er bedeutungslos. Dieser Kraftan-teil tritt bei der Rechnung gar nicht auf, wenn man einfach 0p gleich null setzt. In diesem Fall ergibt der

Impulssatz als Kraft auf die Schaufelinnenseite nur die von der Strömung erzeugte Kraft. Diese Kraft stimmt aber auch für 0p0 ≠ mit der auf die Schaufel wirkenden resultierenden Druckkraft überein.

Abb. 1.27 : Umlenkung eines rechteckigen Freistrahls an einer Schaufel (links); Peltonturbine (rechts)

Da der Druck am Strahlrand konstant ist (= 0p ), muss die Geschwindigkeit dort auch konstant und somit gleich der Ausströmungsgeschwindigkeit w sein. Es ist plausibel, dass in einiger Entfernung vom Umlenkgebiet die Stromlinien in beiden Teilstrahlen wieder parallel geworden sind. Dann ist der Druck über den Strahlquerschnitt konstant (= 0p ). Damit hat dort die Geschwindigkeit auf allen Stromlinien den selben Wert w ; man sieht dies ein, indem man die Bernoullische-Gleichung auf eine Stromlinie anwen-det, die von einem Punkt im ankommenden Parallelstrahl zu einem Punkt im abgehenden Parallelstrahl


1-39



führt. Die Impulsgleichung (für den Impuls in x-Richtung) ergibt nun mit Einführung des Massenstroms hbwM ⋅⋅⋅ρ=& (aus den oben erläuterten Gründen wird 0p0 = gesetzt):

( ) { wRwMcosβwM =+−− &44 344 21

& (1.102)

ausfließender einfließender x-Impuls

wR ist die in x - Richtung auf die Schaufel ausgeübte Kraft. Sie ergibt sich aus Gl. (1.102) zu:

( ) ( )β+⋅⋅⋅ρ=β+⋅= cos1hbwcos1wMR 2W

& (1.103)

Zusätzlich soll sich die Schaufel nun mit der Geschwindigkeit 0w von der Düse fortbewegen. Die Strömung ist für einen mit der Schaufel bewegten Beobachter stationär. Für diesen Beobachter trifft der Strahl mit der Geschwindigkeit 0ww − auf die Schaufel, wenn w wie bisher die Austrittsgeschwindig-keit aus der feststehenden Düse bezeichnet. Als Kraft auf die Schaufel ergibt sich somit aus Gleichung (1.102):

( ) ( )β+⋅−⋅ρ= cos1hbwwR 20W (1.104)

Die Leistung P dieser Kraft, d.h. die von ihr pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit, ist 0W wRP ⋅= , d.h.:

( ) ( )β+⋅⋅−⋅ρ= cos1hbwwwP 02

0 (1.105)

Die Leistung wird 0 für ww0 = und 0w0 = . Dazwischen muss es einen Wert ∗0w geben, für den sie

ein Maximum, maxP , annimmt. Man findet ∗0w , indem man den Ausdruck ( )d für P nach 0w diffe-

renziert und

null setzt. Es ergibt sich 3ww0 =∗ und ( )β+⋅⋅⋅ρ= cos1whb

274P 3

max .

Überlegungen dieser Art sind u. a. bei der Auslegung von Peltonturbinen von Bedeutung. In einer Pel-tonturbine trifft ein Flüssigkeitsstrahl auf die auf den Umfang eines Laufrades angeordneten Schaufeln von der in Abb. 1.27 skizzierten Form. Da ständig neue Schaufeln in den Strahl eintauchen, sind die obigen Überlegungen über das Maximum der Leistung allerdings etwas zu ändern; es ergibt sich hier eine Leistungsmaximum für 2ww0 = .

1.4.7 Energieerhaltung Eine weitere Grundgleichung (s. Abschn. 1.3), die für die vollständige mathematische Beschreibung der Strömungen mit Energietransport oder bei der Berücksichtigung der Arbeitsleistung von Strömungsma-schinen zu behandeln ist, ist die Energieerhaltung. Für die Ableitung der Energiebilanz ergänzen wir die Prinzipskizze der betrachteten Stromröhre und des Stromfadens der Abb. 1.17 um einen zusätzlichen Wärmestrom Q& (s. Abb. 1.28).


1-40



Abb. 1.28 : Stromröhre und Stromfaden mit Wärmestrom

Allgemein gilt für die Energieerhaltung einer stationären und reibungsfreien Strömung, dass die Ände-rung des Energiestroms im betrachteten Volumenelement dV gleich der Leistungen der angreifenden Kräfte und der Leistung des Wärmestroms ist. Damit berechnet sich der EnergiestromΕ& in der Einheit Watt [W] = [J/s] zu:

Aw2

wuM2

wuE22

⋅⋅ρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= && (1.106)

Mit der auf das Massenelement dVdM ⋅ρ= bezogenen inneren Energie u und der massenspezifischen

kinetischen Energie 2w2 . Für die beiden Querschnitte 1A und 2A der betrachteten Stromröhre folgt

mit der Kontinuität .constM =& :

111

21

1

21

11 Aw2

wuM2

wuE ⋅⋅ρ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= && (1.107)

222

22

2

22

22 Aw2

wuM2

wuE ⋅⋅ρ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= &&

(1.108)

Die Leistungen der angreifenden Kräfte (Druckkräfte und Schwerkraft) sowie der Leistung des Wärme-stroms Q& führen bei Vernachlässigung der Reibung zu einer Änderung des Energiestromes von 1 nach 2 gemäß der folgenden Bilanzgleichungen:

( ) QMzzgwApwApEE 2122211112&&&& +−⋅+⋅⋅−⋅⋅=− (1.109)

( ) QMzzgwApwApM2

wuM2

wu 21222111

21

1

22

2&&&& +⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

(1.110)

Nach Division durch 222111 AwAwM ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ=& folgt:

=⋅+⋅+ρ

+ 222

2

22 zgw

21pu M/Qzgw

21pu 1

21

1

11

&&+⋅+⋅+ρ

+ (1.111)


1-41



Mit der Definition der massenspezifischen Enthalpie ρ+= /puh ergibt sich:

M/Qzgw21hzgw

21h 1

2112

222

&&+⋅+⋅+=⋅+⋅+ (1.112)

Fasst man darin die drei Größen 1h , 1w und 1zg ⋅ am Querschnitt 1A als gegebene Größen gemäß ( ) .constzgw21h 1

211 =⋅+⋅+ zu einer Konstanten zusammen und betrachtet die Größen am Quer-

schnitt A , so erhält man:

const.zgw21h 2 =⋅+⋅+ (1.113)

Wird keine Wärme zu- oder abgeführt und damit die innere Energie nicht verändert, so sind der Energie-satz und die Bernoulli-Gleichung identisch. Dies gilt ausschließlich für die in diesem Abschnitt betrach-tete inkompressible Strömung.


1-42



1.5 Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird nach einigen wesentlichen Definitionen, u.a. die des Kontinuums, das Fließverhalten von Gasen und Flüssigkeiten erläutert. Insbesondere der Begriff des Newton-schen Fluids wird ebenso dargestellt wie der Potenzansatz von Ostwald-de Waele für struktur-viskose und dilatante Flüssigkeiten.

Die allgemeine Bilanzgleichung für die Austauschgrößen Masse, Impuls und Energie wird zusammen mit dem Begriff des Systems als Bilanzbereich eingeführt.

Im Bereich der Hydrostatik werden das Eulersche Grundgesetz und der Auftrieb hergeleitet und anhand einiger typischer Beispiele erläutert.

Der Abschnitt Kinematik basiert auf der Anwendung der eindimensionalen Stromfadentheorie. Nach Ableitung der Kontinuitätsgleichung wird die Bewegungsgleichung für einen Stromfaden in einer reibungsfreien Strömung formuliert. Hieraus ergeben sich die Euler- und Bernoulli-Gleichung als wesentliche Ergebnisse. Einige charakteristische Beispiele für Anwendungen der Bernoulli-Gleichung werden vorgestellt.

Als integrale Form der Kräftebilanz an einem Fluidelement wird der Impulssatz hergeleitet und an zwei typischen Beispielen erläutert.

Den Abschluss des Kapitels bildet die Energiebilanz für einen Stromfaden.

1.6 Literatur

Allgemein

Becker, E. (1986): Technische Strömungslehre. 6., überarb. Aufl. / bearb. von Eckart Piltz , Teubner, Stuttgart

Eck, B. (1978): Technische Strömungslehre. 8. Aufl., Springer, Berlin Heidelberg New York

Oertel, H. (1999): Strömungsmechanik. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig Wiesbaden

Schade, H; Kunz, E. (1989): Strömungslehre. 2. Aufl., Walter de Gruyter, Berlin New York

Siekmann, H. E. (2000): Strömungslehre: Grundlagen. Springer, Berlin [u.a.]

Speziell

Boger, D. V.; Yeow, Y. L. (1992): Fluid Mechanics; in: Ullmann's Encyclopedia of industrial chemistry, Vol. B 1, S. 5-1/5-50.

Kraume, M. (2004): Transportvorgänge in der Verfahrenstechnik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg


1-43



1.7 Index Abgeschlossenes System (self-contained system) 1- 12 Allgemeine Bilanzgleichung (general property balance equation) 1- 12 Archimedisches Prinzip (Archimedes principle) 1- 17 Auftrieb (buoyant force) 1- 17 Bahnlinie (path line) 1- 22 Bernoulli-Gleichung (Bernoulli equation) 1- 29 Bingham-Flüssigkeit (Bingham fluid) 1- 10 d'Alembert-Kraft (d’Alembert force) 1- 21 Differenzielle Bilanzgleichung (differential balance equation) 1- 11 Dilatante Flüssigkeiten (shear thickening fluids) 1- 9 Diskontinuitätsfläche (discontinuity surface) 1- 2 Drehimpulssatz (angular momentum equation) 1- 11 Drucksonde (pressure probe) 1- 32 Eindimensionale Stromfadentheorie (one dimensional streamline theory) 1- 24 Energiesatz (energy equation) 1- 11 Euler-Gleichung (Euler equation) 1- 29 Eulersches Grundgesetz (Eulerian fundamental principle) 1- 15 Extensive Größe (extensive property) 1- 3 Feldgröße 1- 2 Fließexponent (flow behaviour index) 1- 10 Fließkurven (flow curve) 1- 5 Fluid (fluid) 1- 1 Fluidelement (fluid element) 1- 21 Flüssigkeiten (liquid) 1- 1 Freistrahlen (free jets) 1- 39 Gas (gas) 1- 1 Geschlossenes System (closed system) 1- 12 Grenzschicht (boundary layer) 1- 27 Hydrostatische Druckverteilung (hydrostatic pressure distribution) 1- 16 Hydrostatisches Paradoxon (hydrostatic paradox) 1- 17 Impulssatz (momentum equation) 1- 11 Innere Reibung (internal friction) 1- 27 Instationäre Strömungen (unsteady flow) 1- 24 Integrale Bilanzgleichung (integral balance equation) 1- 11 Intensive Größen (intensive property) 1- 3 Intermolekulare Anziehungskraft (intermolecular attractive force) 1- 6 Kinematik (kinematics) 1- 21 Kommunizierende Gefäße (communicating vessels) 1- 16 Kontinuitätsgleichung (continuity equation) 1- 11 Kontinuum (continuum) 1- 2 Kraftdichte (body force) 1- 3 Massenelement (mass element) 1- 3 Massenkraft (mass force) 1- 3 Newtonsche Fluide (Newtonian fluid) 1- 5 Newtonscher Schubspannungsansatz (Newton’s law of viscosity) 1- 5 Nicht-Newtonsche Fluide (non-Newtonian fluid) 1- 8 Offenes System (open system) 1- 12 Ostwald und de Waele Ansatz (power-law fluid model) 1- 10


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Ostwaldfaktor (Ostwald factor/ consistency index) 1- 10 Peltonturbine (Pelton turbine) 1- 41 Prandtlrohr (Prandtl tube) 1- 33 Pseudoplastische Flüssigkeiten (shear thinning fluids) 1- 8 Reaktionskraft (reaction force) 1- 37 Reaktionswandkraft 1- 37 Reibungsfreie Strömung (inviscid flow) 1- 27 Schergeschwindigkeit (shear rate) 1- 4 Scherrate (shear rate) 1- 4 Schubspannung (shear stress) 1- 4 Spannungsvektor (stress vector) 1- 3 Stationäre Strömung (steady flow) 1- 22 Staupunkt (stagnation point) 1- 31 Staurohr (Pitot tube) 1- 32 Stromlinie (streamline) 1- 23 Stromröhre (streamtube) 1- 25 Strukturviskose Flüssigkeiten (shear thinning fluids) 1- 8 Teilchenbahn (path line) 1- 22 Viskosität (viscosity) 1- 5 Volumenelement (volume element) 1- 3 Volumenkraft (body force) 1- 3 Zähigkeit (viscosity) 1- 5 Zentrifuge (centrifuge) 1- 20 Zyklone (cyclone) 1- 20

strömungsmechanische grundlagen 1 · fachgebiet verfahrenstechnik prof. dr.-ing. m. kraume...

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