Peti susret Hrvatskog društva za mehaniku Terme Jezerþica, Donja Stubica, 6.-7. lipnja 2013.

STÖRMER-VERLET INTEGRACIJSKA SHEMA DINAMIKE NA ROTACIJSKOJ GRUPI SO(3)

Terze, Z., Zlatar, D.

Sažetak: Störmer-Verlet integracijski algoritam, izvorno definiran kao integracijska shema za obiþne diferencijalne jednadžbe u linearnom vektorskom prostoru (s uþestalom primjenom u okviru zadaüa molekularne dinamike), ima više pogodnih znaþajki stabilne numeriþke integracije: shema je eksplicitna, drugog reda toþnosti, omoguüava oþuvanje integrala gibanja te je simplektiþna za Hamiltonove sustave. S polazištem u izvornom Störmer-Verlet algoritmu linearnog prostora, u ovom se radu predlaže konstrukcija Störmer-Verlet algoritma na Lievoj rotacijskoj grupi s ciljem njegove upotrebe za numeriþku integraciju dinamike mehaniþkih sustava. Opisan je izvod matematiþkog modela Störmer-Verlet algoritma na Lievoj grupi konfiguracijskog prostora krutog tijela te je prezentirano više numeriþkih primjera koji ukazuju na izvrsne numeriþke znaþajke predloženog algoritma. Kljuþne rijeþi: Störmer-Verlet integracijska shema, geometrijski integracijski algoritmi, Lieva rotacijska SO(3) grupa, mehaniþki sustavi više tijela

1 KONFIGURACIJSKI PROSTOR SUSTAVA VIŠE TIJELA

Konfiguracijski prostor mehaniþkog sustava više tijela može se modelirati kao Lieva grupa )3(...)3( 33 SOSOG uuuu RR s elementima oblika ) , ,...,,( 11 kkp RxRx . Svaki faktor )3(3 SOuR predstavlja konfiguracijski prostor jednog krutog tijela, izraženog pomoüu vektora položaja središta mase i matrice rotacije kojom se uvodi orijentacija tijela u globalnom koordinatnom sustavu ) ,( ii Rx . Lieva grupa G ima dimenziju

kn 6 gdje k predstavlja broj krutih tijela. Lijevo množenje na grupi je dano s pppGGLp �oo ,: , gdje je produkt operacije na G definiran kao

),,...,,( 1111 kkkkpp RRxxRRxx �� � . Primijenjeno je lijevo invarijantno vektorsko polje �����soiȦ~ , definirano kao iii tt ȦRR ~)()( � , tako da je kutna brzina tijela kao element Lieve algebre so(3), izražena u lokalnom koordinatnom sustavu tijela. Element Lieve algebre �����soiȦ~ može se poistovjetiti s 3R preko operatora koji preslikava vektor 3R�iȦ u matricu �����soiȦ~ . Brzina krutog tijela i može se izraziti preko parova )3()~ ,( 3 soii u�RȦv ili 33) ,( RR u�ii Ȧv . Tako definirana Lieva grupa G ima Lievu algebru oblika )3(...)3( 33 sosog uuuu RR s elementima oblika

)~,,...,~,( 11 kkv ȦvȦv . Takoÿer možemo definirati Lievu grupu prostora stanja koja, uz vektorske prostore

translacija i Lieve grupe rotacija, sadrži i vektorske prostore translacijskih brzina i Lieve algebre kutnih brzina. Prostor stanja mehaniþkog sustava dan je izrazom

195

TGsosoSOSO #uuuuuuuuu )3(...)3()3(...)3( 3333 RRRRS (S je lijeva trivializacija tangentnog svežnja TG ) s elementom )~ , ,...,~,, , ,...,,( 1111 kkkkq ȦvȦvRxRx . Lieva algebra s prostora stanja S dana je izrazom ...)3(3 uu soRs

33333 ...)3(... RRRRR uuuuuuu so s elementima oblika ,...,,~ , ,...,~,( 1111 ȦvȦvȦv ��kkz

), ..., kk Ȧv �� . Za formulaciju dinamiþkog modela sustava više tijela s holonomnim kinematiþkim ograniþenjima, uvodimo Boltzmann-Hamelove jednadžbe u obliku

) , ,()()( tppp T vQȜCvM �� )(vLp p

c � 0)( pĭ ,

(1)

gdje je M poopüena matrica inercije dimenzije nn u , a nR�v , > @Tkk ȦvȦvv , ,...,, 11 su brzine sustava k tijela. Q predstavlja vanjske i sve ostale sile koje djeluju na sustav,

mR�Ȝ je vektor Lagrangeovih multiplikatora dok je s C oznaþena nmu Jacobieva matrica kinematiþkih ograniþenja za koju vrijedi vCĭ )()( pv c (gdje je ĭc diferencijal mape kinematiþkih ograniþenja mG Ro :ĭ ). Uslijed djelovanja kinematiþkih veza, gibanje mehaniþkog sustava ograniþeno je na podmnogostrukost ^ `0)( : � pGp ĭN dimenzije mn � . Jednadžba )(vLp p

c � , gdje pLc predstavlja diferencijal mape pL , omoguüava kinematiþku rekonstrukciju gibanja iz vektorskog polja brzina v.

2 INTEGRACIJSKA SHEMA DINAMIKE ROTACIJE KRUTOG TIJELA U HAMILTONOVOM KANONSKOM OBLIKU

Za ilustraciju primjene Störmer-Verlet algoritma za integraciju dinamiþkih jednadžbi mehaniþkog sustava na temelju Boltzman-Hamelovih jednadžbi (1) modelirana je dinamika rotacije krutog tijela, izvedena kao Hamiltonov mehaniþki sustav u kanonskom obliku.

Takav pristup vodi preinaþenoj RATTLE integracijskoj shemi [3] s izravnom rekonstrukcijom na rotacijskoj grupi SO(3) bez upotrebe lokalnih koordinata/parametara integracije, koja se može napisati u obliku:

),(2

)(2 00002/1 QPȁRRPP

hU

h��� ,

)exp( 12/1001

� DPRRR Th ,

1112/11 2)(

2ȁRRPP

hU

h��� , 0RPDDPR � ��

1111

11TT .

(2)

U (2), 0ȁ i 1ȁ predstavljaju simetriþne matrice Lagrangeovih multiplikatora kinematiþkih ograniþenja na nivou brzina uslijed konfiguracijskih ograniþenja rotacijske grupe SO(3), h je veliþina koraka integracije, a P je konjugirani moment prema jednadžbi DRRP �� ww /kE , gdje je kE kinetiþka energija rotacije krutog tijela dana izrazom )(trace)~~( trace2/1 TT

kE RDRȦDȦ �� . Za razliku od izvornog RATTLE algoritma koji ima implicitan karakter, integracijska shema oblikovana u (2) je potpuno eksplicitna i osigurava bez-koordinatnu rekonstrukciju prostornih rotacija (integracijsko rješenje ostaje bezuvjetno

196

na rotacijskoj mnogostrukosti SO(3) u domeni primijenjene numeriþke tolerancije). Iako joj eksplicitan karakter omoguüava poboljšanu primjenu u odnosu na izvornu RATTLE shemu, vidjet üemo da druge integracijske znaþajke izvedenog algoritma u smislu oþuvanja integrala gibanja nisu potpuno zadovoljavajuüe.

Kao numeriþki primjer upotrebe algoritma, prezentirana je rotacija slobodnog tijela s poþetnom kutnom brzinom > @T03476.082623.045549.00 Ȧ i tenzorom inercije

)661,0981,91440(diag . . . I . Na Slici 1 dana je usporedba komponente kinetiþkog momenta dobivene integracijom pomoüu preinaþene RATTLE sheme s rezultatima izraþunatim RK-MK2 algoritmom (Runge-Kutta-Munthe-Kaas algoritam drugog reda toþnosti) i jednim od algoritama drugog reda s istaknuto dobrim numeriþkim performansa (algoritam na Lievoj grupi temeljen na 'klasiþnoj' Newmark shemi linearnih prostora [2]). Iako je vidljivo da opisana RATTLE shema daje bolje rezultate od RK-MK2 algoritma u smislu oþuvanja kinetiþkog momenta, može se primijetiti da uvedeni algoritam uvodi znaþajnija odstupanja u usporedbi s Lie-Newmark shemom te analitiþkim rješenjem koje bi osiguravalo konstantnu vrijednost kinetiþkog momenta. Takoÿer, modificirana RATTLE shema daje lošije rezultate po pitanju oþuvanja

Slika 1. Usporedba metoda. Globalna

komponenta kinetiþkog momenta slobodnog rotirajuüeg tijela-komponenta 2ʌ

Slika 2. Usporedba metoda. Globalna komponenta kinetiþkog momenta

slobodnog rotirajuüeg tijela-komponenta 2ʌ kinetiþkog momenta i od 'izvornog' RATTLE algoritma koji dokazano omoguüava oþuvanje navedene znaþajke. Uzrok tome može se tražiti u postupku diferenciranja izraza 0RPDPDR � �� TT 11 prilikom eliminacije 0ȁ iz prve jednadžbe izraza (2). Ta je operacija identiþna postupku reduciranja indeksa diferencijalno-algebarskih jednadžbi gibanja mehaniþkog sustava i može imati izravnog utjecaja na njegovu Hamiltonovu strukturu [1]. Kako bi se projektirala integracijska shema koja üe omoguüiti oþuvanje integrala gibanja (u prvom redu kinetiþkog momenta ali moguüe i drugih integrala, kao npr. Casimirovih funkcija ili oþuvanje kinetiþke energije sustava) uz istodobnu bez-koordinatnu integraciju rotacija krutog tijela, u nastavku je oblikovana Störmer-Verlet shema na Lievoj algebri i rotacijskoj grupi SO(3), koja vodi jednadžbama dinamike u ne-kanonskoj formi.

197

3 NE-KANONSKI STÖRMER-VERLET ALGORITAM ZA INTEGRACIJU DINAMIKE NA ROTACIJSKOJ GRUPI SO(3) 3.1 Polazna shema Uzevši za polazište izvornu Störmer-Verlet integracijsku shemu na linearnom vektorskom prostoru, uvodimo integracijsku shemu na Lievoj grupi za slobodno rotirajuüe tijelo u obliku

)~(2

121

nn-nn h

IȦȦIȦȦ � �

,

)~exp( 21

1 �� n

nn hȦRR ,

)~(2

11121

1 ���� � nn-n

n hIȦȦIȦȦ .

(3)

To je ne-kanonska integracijska shema s izravnom rekonstrukcijom stanja rotacije na SO(3) grupi preko eksponencijalne mape )3()3(:exp SOso o . Prva i treüa jednadžba izraza (3) operiraju na Lievoj algebri (izražena u vektorskoj formi 3R�Ȧ ) i napredovanje koraka integracije ostvaruje se po istom uzorku kao i pri 'izvornoj' Störmer-Verlet integracijskoj shemi na linearnom vektorskom prostoru.

Ovako oblikovan algoritam omoguüio je dobro oþuvanje kinetiþkog momenta slobodno rotirajuüeg tijela. Kao što se vidi na Slici 2, postignuti rezultati nešto su bolji od rezultata Lie-Newmark algoritma, usprkos þinjenici da sustav (3) ima eksplicitan numeriþki karakter (u usporedbi s implicitnim Lie-Newmark algoritmom). Ipak, rezultati oþuvanja Casimirovih funkcija pri integriranju dinamike trodimenzijskog 'zvrka' (što je drugi numeriþki primjer opisan u nastavku), nisu bili potpuno zadovoljavajuüi. 3.2 Preinaþena shema Da bi se unaprijedila svojstva predloženog Lie-Störmer algoritma, dio matematiþkog modela (3) koji operira na Lievoj algebri zamijenjen je algoritmom integracije na Lievoj grupi temeljenom na izravnoj integraciji kinetiþkog momenta, þime se omoguüava dodatno oþuvanje geometrijske strukture dinamiþkog sustava. U tom se smislu rješenje jednadžbe integracije kinetiþkog momenta za slobodno tijelo YȦY ~� � (Lie-Poissonova jednadžba gdje Y predstavlja kinetiþki moment u lokalnim koordinatama tijela), može izraziti u svakom koraku integracije kao operacija SO(3) na

3R . Zamjenom treüe jednadžbe izraza (3) jednadžbom nn t YQY )(1 � i dodavanjem izraza za uzbudni moment T , oblikovane su dvije inaþice preureÿene Lie-Störmer sheme na Lievoj grupi (razlikuju se po algoritmu uvoÿenja uzbudnog momenta unutar intervala integracije)

n-nn-nn hh

TIIȦȦIȦȦ 1121

2)~(

2��

�,

)~exp( 21

1 �� n

nn hȦRR ,

� ������������������������������������� ))(~exp( 21

1 nnn

n hh TYȦY �� �� ,

� ��������������������������� ))~exp()(~exp( 121

21

1 ���� �� nn

nn

n hhh TȦYȦY .

(4)

198

Slike 3 i 4 predstavljaju rezultate integracije dinamike 'Lagrangeovog zvrka' (3D dinamika rotirajuüeg tijela s jednom uporišnom toþkom - primjer koji je u literaturi usvojen kao testni 'benchmark' primjer integracijskih algoritama s oþuvanjem dinamiþke strukture gibanja) pomoüu obje inaþice Lie-Störmer sheme. Na Slikama 3 i 4 prikazana je usporedba dva 'integrala gibanja' (globalna projekcija kinetiþkog momenta na vektor gravitacije i na os rotirajuüeg tijela) za polaznu shemu i dvije inaþice preureÿene sheme. Iz Slike 3 vidljivo je da obje inaþice prilagoÿene sheme omoguüavaju bolje integracijske rezultate. Ipak, Slika 4 pokazuje njihovo suprotno ponašanje u smislu vrijednosti globalne projekcije kinetiþkog momenta na os rotirajuüeg tijela. Prema analogiji odstupanja, njezinom se ispravljanju pristupilo kroz prilagodbu treüe jednadžbe izraza (4)

Slika 3. Usporedba metoda. Globalna

projekcija kinetiþkog momenta na vektor gravitacije

Slika 4. Usporedba metoda. Globalna projekcija kinetiþkog momenta na os

rotirajuüeg tijela

nadopunjavanjem prilagoÿenih dijelova modela u obliku n-nn-n

n hhTIIȦȦIȦȦ 112

1

2)~(

2��

�,

)~exp( 21

1 �� n

nn hȦRR ,

))~2

exp(2

)2

)(~2

)(exp(~2

exp( 121

21

21

1 ����� ���� nn

nnnn

n hhhhhTȦTYȦȦY .

(5)

Osim navedenog oblika, izvedena je i konaþna inaþica algoritma (5) u kojoj je dio koji operira na Lievoj algebri zamijenjen modelom integracije na Lievoj grupi temeljenom na integraciji kinetiþkog momenta

)2

)(~2

exp(21

nnnn hh

TYȦY �� �

,

21

121

��

n-

n

YIȦ , )~exp( 2

11 ��

nnn hȦRR ,

))~2

exp(2

)2

)(~2

)(exp(~2

exp( 121

21

21

1 ����� ���� nn

nnnn

n hhhhhTȦTYȦȦY .

(6)

Usporedbom postignutih rezultata, vidljivo je da konaþan oblik izvedenog Störmer- Verlet algoritma na Lievoj grupi postiže bolje rezultate integracije u usporedbi s Lie-

199

Newmark i RK-MK4 integracijskom shemom u smislu oþuvanja globalne projekcije kinetiþkog momenta na os rotirajuüeg tijela, vidi Sliku 5 i 6.

Slika 5. Usporedba metoda. Globalna projekcija kinetiþkog momenta na os

rotirajuüeg tijela

Slika 6. Usporedba metoda. Globalna projekcija kinetiþkog momenta na vektor

gravitacije

4 ZAKLJUýAK

U radu je predstavljena Störmer-Verlet integracijska shema na Lievoj grupi za numeriþku integraciju dinamike rotacije krutog tijela. Opisani algoritam omoguüava oþuvanje kinetiþkog momenta i ne uvodi nestabilnost u energetsku ravnotežu dinamike sustava. Osim navedenih znaþajki, metoda se zasniva na potpuno eksplicitnom matematiþkom modelu što doprinosi numeriþkoj efikasnosti njezine primjene. U okviru obraÿenih testnih primjera predloženi algoritam pokazao je bolje raþunalne performanse u smislu oþuvanja integrala gibanja od usporedbenih integracijskih shema opisanih u literaturi (implicitni Lie-Newmark algoritam drugog reda toþnosti i eksplicitna RK-MK4 shema þetvrtog reda).

Literatura:

[1] Hairer, E., Lubich, C. and Wanner, G., “Geometric Numerical Integration”, Springer, 2006. [2] Krysl, P., Endres, L., “Explicit Newmark/Verlet algorithm for time integration of the rotational dynamics of rigid bodies”, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 62., 2005, str. 2154-2177. [3] Leimkuhler, B., Reich, S., “Simulating Hamiltonian Dynamics”, Cambridge University Press, United Kingdom, 2004. [4] Reich, S., “Symplectic methods for conservative multibody systems”, Integration Algorithms and Classical Mechanics, Vol. 10., 1996, str. 181-192. [5] Terze, Z., Mueller, A., Zlatar, D., “Lie-Group integration method for constrained multibody systems in stabilized DAE-index-1 form”, Multibody System Dynamics, 2012, Submitted.

Autori: Zdravko Terze, Dario Zlatar, Sveuþilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zavod za zrakoplovstvo, Ivana Luþiüa 5, 10002 Zagreb, tel. +385 1 6168 476, +385 1 6168 518, fax +385 1 6156 940, e-mail: zdravko.terze@fsb.hr, dario.zlatar@fsb.hr, web stranica: www.fsb.hr/aero/zterze.htm

200