str, otr i kosmologijapoincare.matf.bg.ac.rs/~vladimir_djosovic/opa/opa11.pdf · specijalna teorija...

STR, OTR i Kosmologija

Vladimir Ðošović

Matematički fakultet, Univerziteta u Beogradu

[email protected]

Decembar, 2018.

Vladimir Ðošović (MATF) STR, OTR i Kosmologija Decembar, 2018. 1 / 29

Sadržaj

1 Specijalna teorija relativnosti (STR)Lorencove transformacijeProstor MinkovskogParadoks blizanaca

2 Opšta teorija relativiteta (OTR)Osnovni postulatiPrincip ekvivalencijeProstor-vreme u OTRPotvrde OTRCrne rupe - Švarcšildov radijus

3 KosmologijaHablov zakon - Hablova parametarFridmanove jednačine


Specijalna teorija relativnosti (STR)

Princip relativnosti- Zakoni fizike imaju isti oblik u svim inercijalnim sistemima- Brzina svetlosti je maksimalna i konstantna i iznosi c = 3 · 108 m/s

PoslediceRelativnost istovremenosti- Više ne važi apsolutno vreme- Dva istovremena događaja u sistemu S ne moraju biti istovremeni usistemu S ′


Specijalna teorija relativnosti (STR)Lorencove transformacije

Ukoliko imamo neki događaj koji se dogodio u referentnom sistemu S ′,zanima nas koje će koordinate taj isti događaj imati u referentnom sistemuS , u odnosu na koji se sistem S ′ kreće brzinama bliskim brzinama svetlostiu ∼ c (c = 3 ·108 m/s):

x =x ′ + ut ′√1− u2

c2

; y = y ′; z = z ′; t =t ′ + ux ′

c2√1− u2

c2

Objekatu se menja samo x koordinata iz razloga što izbor koordinatnogsistema je upravo takav da bude u smeru kretanja referentnog sistema. Udaljem tekstu uvedimo oznaku:

γ =1√

1− u2

c2


Specijalna teorija relativnosti (STR)Lorencove transformacije

Ukoliko u pokretnom sistemu, koji se kreće brzinama bliskim brzinisvetlosti, izvor svetlosti naspram kojeg stoji ogledalo. Za posmatrača u tomsistemu izgledaće da svetlost prelazi 2 puta visinu izmađu poda na kome senalazi izvor svetlosti i plafona na kome se nalazi ogledalo. To se ne dešavaza posmatrača u nepokretnom sistemu, za njega svetlost prelazi nesto dužiput, a kako je brzina svetlosti konačna onda dolazi do tzv. efekta dilatacijevremena:

τ = γτ0


Specijalna teorija relativnosti (STR)Prostor Minkovskog

Zadatak 1Pokazati da li su Lorencove transformacije invarijantne u odnosu nametriku u E4.

- U prostoru Minkovskog (4D prostor - vremenski kontnuum) događaj jedefinisan sa (x , y , z , ct)- Prostorno-vremenski interval ((x1, y1, z1, ct1) − (x2, y2, z2, ct2)) određenje metrikom:

s12 =√

c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2

Zadatak 2Pokazati da su Lorencove transformacije invarijantne u odnosu naprotorno-vremenski interval.



Doplerov efekatI u slučaju STR kada se izvor i prijemnik talasa međusobno kreću dolazi doprividne promene frekvencije tih talasa izazvanih Doplerovim efektom.

ν = ν ′

√1 + u

c

1− uc

Tipovi intervala1 vremenskog tipa s2 > 0 c∆t > ∆l

2 prostornog tipa s2 < 0 c∆t < ∆l

3 nultog tipa s2 = 0 c∆t = ∆l

Dva događaja razdvojena interalom vremenskog tipa ne mogu se dešavatiistovremeno ni u jednom inercijalnom sistemu, a dva razdvojena interalomprostornog tipa ne mogu se dešavati u istom mestu.



Zadatak 3U ravni x vs ct odrediti rastojanja između događaja definisanihkoordinatama oblika (ct, x): A(4, 1), B(4, 6), C(7,6).


Specijalna teorija relativnosti (STR)Paradoks blizanaca


Opšta teorija relativiteta (OTR)


Opšta teorija relativiteta (OTR)Osnovni postulati

Dva problema STR:1 STR razmatra fizičke zakone i njihove relacije samo u inercijalnim

sistemima referencije2 Ne razmatra se gravitaciona iterakcija među telima

Po Njutnovoj gravitaciji sila je obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja,što zna vi da se prenosi trenutno (kosi se sa postulatima STR)Slično kao i u STR i ovde se zakoni Njutnove gravitacije javljaju kadaimamo slaba gravitaciona polja


Opšta teorija relativiteta (OTR)Princip ekvivalencije

U nekoj tački u prostoru efekti gravitacije i ubrzanog kretanja suekvivalentni i ne mogu se razlikovati.


Opšta teorija relativiteta (OTR)Prostor-vreme u OTR

Najkraće rastojanje u nehomogenom prostoru:


Opšta teorija relativiteta (OTR)Potvrde OTR

1 Precesija Merkurove orbite2 Skretanje svetlosti u blizini masivnih objekata (Edington 1919

posmatrao pomračenje Sunca)

3 Usporavanje toka vremena u jakom gravitacionom polju

4 Gravitacioni talasiVladimir Ðošović (MATF) STR, OTR i Kosmologija Decembar, 2018. 15 / 29

Opšta teorija relativiteta (OTR)Crne rupe - Švarcšildov radijus

- Crne rupe predstavljaju objekte čije gravitaciono polje toliko jako da senikakav vid materije (pa ni sami fotoni) ne mogu napustiti njenogravitaciono polje.- Smatra se da su jedan od mogućih krajnjih stadijuma evolucije zvezda- Sa stanovišta OTR ovakvi objekti zakrivljuju prostor-vreme dobeskonačnosti- Pošto postoji granica do koje možemo prići crnoj rupi, a da ne ostanemozauvek zarobljeni u njenog gravitacionom polju, tu granicu zovemo"Horizontom događaja"- Horizont događaja definisan je u odnosu na referentni sistem posmatrača,iz čije perspektive svetlost emitovana unutar horizonta događaja nikad nedolazi do posmatrača- Poluprečnik sfere horizonta događaja definisan je Švarcšildovim radijusom:

Rs =2GMc2


Opšta teorija relativiteta (OTR)Crne rupe - Švarcšildov radijus

Zadatak 4Odrediti Švarcšildov radijus za super-masivnu crnu rupu u središtuAndromedine galaksije čija je masa 3.4 · 1038 kg. Isto to uraditi za Sunce.


Kosmologija

Kosmologija je grana astronomije koja pokušava da objasni nastanak ievoluciju svemira


Kosmologija

Penzijas i Vilson su 1964. godine posmatranjem u radio domenu na 7.35cm otkrili zračenje za koje se pretpostavlja da potiče od zračenja iz ranefaza svemira nakon "Velikog praska" i da temperatura ovog zračenjaodgovara temperaturi od 2.7 K


Kosmologija

Pretpostavljamo da se svemir širi zbog jako velikog broja objekata sacrvenim pomakom u spektru, a da je uzrok plavog pomaka gravitacionodejstvo među relativno bliskim strukturama u svemiru


Kosmologija


Kosmologija

Kako znamo da tamna materija postoji?


Kosmologija

Metoda gravitacionog sočiva pogodna za mapiranje tamne materije


KosmologijaHablov zakon - Hablova parametar

U skladu sa teorijom o svemiru koji se širi Edvin Habl je došao do jednačinekoja povezuje udaljenost objekata u svemiru i njihove brzine, a njihovu vezuomogućava Hablov parametar H0 (U literaturi ćete često sretati terminHablova konstanta ali ovo zapravo nije konstanta zato ćemo ga preciznijezvati parametar)

v = H0D

H0 =1t


KosmologijaHablov zakon - Hablova parametar

Zadatak 5Prihvatajući teoriju širenja svemira, odrediti starost svemira ako znamo dase galaksija M100 nalazi na udaljenosti 19.85 Mpc od nas i da joj je crvenipomak u spektru takav da se iz njega može izračunati da se ova galaksijaod nas udaljava brzinom od 1400 km/s.


KosmologijaFridmanove jednačine

Jednačine kojima se može opisati ekspanzija svemira, pa samim timpredstavljaju najvažnije jednačine u kosmologiji su Fridmanove jednačine:(

a

a

)2

=8πG3ρ− kc2

a2

ρ+ 3a

a

(ρ+

p

c2

)= 0



Zadatak 6Izračunati iz Fridmanove jednačine stopu ubrzanja širenja svemira.



Zadatak 7Rešiti Fridmanove jednačine za slučaj materije.

Zadatak 8Rešiti Fridmanove jednačine za slučaj zračenja.

Zadatak 9Rešiti Fridmanove jednačine za slučaj zračenja i materije zajedno.


str, otr i kosmologijapoincare.matf.bg.ac.rs/~vladimir_djosovic/opa/opa11.pdf · specijalna teorija...

Documents