Statystyka i opracowanie danych W 5:

Odkrywanie i analiza zależności pomiędzy

zmiennymi losowymi (danymi empirycznymi)

Dr Anna ADRIANPaw B5, pok 407adan@agh.edu.pl

Odkrywanie i analiza zależności pomiędzy

zmiennymi ilościowymi (liczbowymi)

Przedmiotem kolejnych dwóch wykładów będą zależności dla– Zmiennych jednowymiarowych

• Korelacja liniowa– Korelacja liniowa– – test istotności współczynnika korelacji liniowej

• regresja prosta– Współczynniki regresji, wyznaczanie ich MNK– Ocena dopasowania modelu Współczynnik determinacji– Standardowy błąd estymacji– Współczynnik zmienności losowej

– Zmiennych wielowymiarowych• Macierz korelacji• Korelacje cząstkowe• regresja wieloraka

Metody statystyczne stosuje się do badania struktury zbiorowości i zależności pomiędzy jej cechami

• Metody statystyczne dotyczące analizy struktury zbiorowości opierały się na obserwacjach tylko jednej cechy, a jeśli brano pod uwagę kilka cech, to każdą analizowano oddzielnie.

• W wielu przypadkach, do poznania całokształtu zagadnienia potrzebna jest analiza zbiorowości z punktu widzenia kilku cech, pomiędzy którymi występują pewne zależności

• Odkrywanie postaci i siły zależności występujących pomiędzy cechami zbiorowości są przedmiotem analizy korelacji i regresji.

• Uwzględniając liczbę zmiennych (analizowanych cech zbiorowości) rozróżnia się następujące odmiany zależności

wiele zmiennychwielowymiarowa

jedna zmienna wielowymiarowa

wiele zmiennychjednowymiarowa

jedna zmienna jednowymiarowa

niezależna (objaśniająca)zależna (objaśniana)

Rodzaj zmiennej

Wprowadzenie do analizy zależności pomiędzy danymi statystycznymi

• Celem analizy jest stwierdzenie, czy między badanymi zmiennymi zachodzą jakieś zależności, jaka jest ich:– siła (współczynnik determinacji , współczynnik korelacji)

– postać ( dopasowanie funkcji reprezentujących zależność - aproksymacja)

– kierunek (monotoniczność)

• Współzależność między zmiennymi może być dwojakiego rodzaju: – funkcyjna

– stochastyczna (probabilistyczna).

Przykłady związków funkcyjnychi statystycznych

Rodzaje zależności pomiędzy danymi -zależność funkcyjna

• Istota zależności funkcyjnej polega na tym, że zmiana wartości jednej zmiennej powoduje ściśle określoną zmianę wartości drugiej zmiennej.

• W przypadku zależności funkcyjnej: y = f (x), każdej wartości zmiennej (X) odpowiada jedna i tylko jedna wartość zmiennej (Y).

• Symbolem X oznaczamy zmienną objaśniającą(niezależną), natomiast symbolem Y - zmiennąobjaśnianą (zależną ).

Rodzaje zależności pomiędzy danymi Zależność korelacyjna

• Zależność stochastyczna występuje wtedy, gdy wraz ze zmianą wartości jednej zmiennej zmienia się rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej

• Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest zależność korelacyjna (statystyczna).

• Zależność korelacyjna polega na tym, że określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej.

• Związki typu statystycznego są możliwe do wykrycia oraz ilościowego opisu w przypadku, kiedy mamy do czynienia z wieloma obserwacjami, opisującymi badane obiekty, zjawiska czy też procesy

Badanie zależności statystycznych pomiędzy danymi empirycznymi

• W badaniach statystycznych zależności pomiędzy cechami najczęściej sprowadza się do funkcji liniowych.

• Nieliniowe związki pomiędzy zmiennymi mogą byćopisywane przez wielomiany drugiego i wyższych stopni albo przez inne funkcje (wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne itp.) .

• Przy podejmowaniu decyzji o wyborze funkcji aproksymacyjnej, opisującej w przybliżeniu związek pomiędzy analizowanymi cechami, pomocne jest sporządzenie wykresu rozrzutu wartości badanych zmiennych.

• Jeśli okaże się, że pomiędzy zmiennymi widoczna jest zależność i nie jest ona liniowa, wówczas trzeba znaleźćodpowiednie rozwiązanie nieliniowe

Przykłady układów punktów przy różnych wartościach współczynnika korelacji liniowej

Miarą siły i kierunku zależności liniowej jest współczynnik korelacji liniowej

• Statystyką, która opisuje siłę liniowego związku pomiędzy dwiema zmiennymi jest współczynnik korelacji z próby (ρ∼r).

• Przyjmuje on wartości z przedziału domkniętego <-1; 1>.

• Wartość -1 oznacza występowanie doskonałej korelacji ujemnej (to znaczy sytuację, w której punkty leżądokładnie na prostej, skierowanej w dół), a wartość 1 oznacza doskonałą korelację dodatnią (punkty leżądokładnie na prostej, skierowanej w górę).

• Wartość 0 oznacza brak korelacji liniowej

)()(

),cov(

YDXD

YX=ρ

Wzór do obliczania empirycznego współczynnika korelacji ma postać

gdzie:• xi oraz yi oznaczają empiryczne wartości zmiennych,

odpowiednio, X i Y, natomiast• x oraz y oznaczają średnie wartości tych zmiennych.

Współczynnik korelacji daje też informację o kierunku zależności, bo jeśli małym wartościom X odpowiadają przeważnie małe wartości zmiennej Y, a dużym wartościom X duże wartości Y, to licznik wyrażenia dla r będzie dodatni, mianownik jest zawsze dodatni, zatem r>0 oznacza zależność rosnącą, r<0 –malejącą.

Test istotności współczynnika korelacji liniowej (Pearsona)

Badane zmienne (X, Y) mają dwuwymiarowy rozkład normalny, o nieznanym współczynniku korelacji ρ.

Z populacji wylosowano n – elementową próbę i wyliczono rZweryfikować hipotezę H0: ρ = 0 wobec jednej z hipotez alternatywnych

H1: ρ ≠ 0 lub H1: ρ < 0 albo H1: ρ > 0

Funkcja testowa ma postać:

a gdy n>100 to

zmienna t ma rozkład Studenta z n-2 stopniami swobody; u ma rozkład normalny. Hipotezę H 0 odrzucamy ilekroć wartość

obliczona funkcji testowej znajdzie się w obszarze krytycznym (zdefiniowanym przez hipotezę H1)

21 2

−−

= nr

rt n

r

ru

21−=

Niejednoznaczno ść informacji przekazywanej przez współczynnik korelacji - przykład

Zale żność pomi ędzy licz ą bocianow i liczb ą urodzin dzieci

y = 0,182x + 1,3015

R2 = 0,9654

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 20 40 60 80 100

Liczba bocianow

Licz

ba u

rodz

onyc

h dz

ieci

Interpretacja: przez analogię do filmu Seksmisja: jeśli bociany to miejsce wybrały musi to być „zdrowy” region –pomyśleli młodzi i postanowili się tu osiedlić

R=0.9825

Regresja prosta (regresja liniowa)

Analiza regresji stanowi w stosunku do analizy korelacji dalszy krok w zakresie ilościowego opisu powiązań zachodzących między zmiennymi.

• Model regresji liniowej prostej przyjmuje postać:

Y = β 0+ β1 x + εgdzie β 0 oznacza wyraz wolny, β1 współczynnik kierunkowy, a ε błąd.

• Zazwyczaj nie wszystkie punkty układają się dokładnie na prostej regresji. Źródłem błędu są wpływy innych nie uwzględnionych w modelu zmiennych, takich jak np. błędy pomiarowe.

• Zakłada się przy tym, że błędy mają średnią wartość równą zero i nieznaną wariancję oraz, że błędy nie są nawzajem skorelowane.

• Współczynniki regresji β 0 β1 można wyznaczyć korzystając z metody najmniejszych kwadratów.

Istota metody najmniejszych kwadratów -MNK

• Wprowadzona przez Legendre'a i Gaussa, jest najczęściej stosowaną w praktyce metodą statystyczną

• Jej istota jest następująca:– Wynik kolejnego pomiaru yi można przedstawić jako

sumę (nieznanej) wielkości mierzonej y oraz błędu pomiarowego εi ,

• Od wielkości oczekujemy, aby suma kwadratów była jak najmniejsza:

( ) minˆ 22 =−=∑∑i

iii

i yyε

Dopasowanie modelu matematycznegodo danych rzeczywistych

• Zasadniczy cel analizy regresji polega na ocenie nieznanych parametrów modelu regresji. Ocena ta jest dokonywana za pomocą metody najmniejszych kwadratów (MNK).

• MNK sprowadza się do minimalizacji sum kwadratów odchyleńwartości teoretycznych od wartości rzeczywistych (czyli tzw. reszt modelu).

• Dopasowany model regresji prostej, który daje punktową ocenęśredniej wartości y dla określonej wartości x przyjmuje postać:

(r r l)

• gdzie f(x) oznacza teoretyczną wartość zmiennej zależnej, • b 0 i b1 odpowiednio oceny wyrazu wolnego i współczynnika

kierunkowego, uzyskane na podstawie wyników z próby.

xbbxfy 10)(ˆ +==

Metoda Najmniejszych Kwadratów

( )∑ =+−−=∂∂

iii xbby

b

y0)(2 10

0

( ) ( ) min)(ˆ 210

2 →+−=− ∑∑i

iii

ii xbbyyy

Wyrażenie

Osiągnie min wtedy i tylko wtedy gdy

( )∑ =+−−=∂∂

iiii xbbyx

b

y0)(2 10

1

Współczynniki równania regresji liniowej

2

1

11

11

11

0

)(

))((

1

∑

∑

∑∑

=

=

==

−

−−=

−=

−=

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xx

yyxxb

xbyxbyn

b

Wykres ilustrujący zależność pomiędzy średnią temperaturą a zużyciem gazu

Interpretacja równania regresji (r r l)

• b0 jest punktem przecięcia prostej regresji z osia wartości y (rzędnych)

• b1 oznacza przyrost wartości prostej przy jednakowym przyroście argumentu

• Łatwo wyliczyć związek współczynnika b1 z wartościąwspółczynnika korelacji próbkowej

xx

xbbxbbb

−++−++=

)1(

)())1(( 10101

x

y

x

y

yx

n

iii

x

n

iii

n

ii

n

iii

s

sr

s

s

ssn

yyxx

sn

yyxx

xx

yyxxb =

−

−−=

−

−−=

−

−−=

∑∑

∑

∑==

=

=

)1(

))((

)1(

))((

)(

))((1

21

2

1

11

Interpretacja równania regresji (r r l)

• Prosta regresji przechodzi przez punkt o współrzędnych odpowiadającym średnim wartościom zmiennych X i Y

• Z faktu, że MNK minimalizuje sumę kwadratów różnic ei

• wynika, że

• Stąd wynika, że reszty nie mogą być dowolne, w szczególności nie mogą być jednakowego znaku

yxbxbyxbbxy =+−=+= 1110 )()(ˆ

iii yye ˆ−=

0)(()ˆ( 10111

=+−=−= ∑∑∑===

xbbyyye i

n

iii

n

i

n

ii

Analiza modelu regresji liniowej

Model regresji liniowej prostej przyjmuje postać:

Y = E(Y/X=x) = β 0+ β1 x + ε

gdzie:

• E(Y/X=x) oznacza wartość zmiennej Y oczekiwana przy warunku, że zmienna X przyjmie wartość x

• β 0, β1 są współczynnikami regresji liniowej,

• ε –oznacza składnik losowy (błąd).

Założenia modelu liniowego

• Estymatory b0 i b1 współczynników regresji β 0 β1 wyznaczone metodą najmniejszych kwadratów mająpożądane własności (efektywność, nieobciążoność) jeśli spełnione są warunki:– Model jest liniowy względem parametrów,

tzn. ∀ i: yi= β 0+ β1 xi

– Liczba obserwacji n musi większa lub równa liczbie szacowanych parametrów (współczynników regresji)

– Składnik losowy ei ma wartość oczekiwaną równą zero dla wszystkich i=1,..,n , tzn. E(ei) =0

– Wariancja składnika losowego ei (wariancja reszt) jest taka sama dla wszystkich obserwacji War (ei) =2σ dla wszystkich i=1,…,n

– Składniki losowe są nieskorelowane, czyli ei oraz ej sąod siebie niezależne ∀ i ≠j i każdy ze składników losowych ma rozkład normalny

Interpretacja wyników obliczeń dla regresji liniowej

Weryfikacja modelu

• Najważniejsze etapy weryfikacji modelu to:– weryfikacja merytoryczna– weryfikacja statystyczna

• W trakcie weryfikacji merytorycznej sprawdzamy zgodność wyników uzyskanych z modelu z wiedząteoretyczną.

• Jeśli weryfikacja statystyczna wskazuje na niedopasowanie modelu, zwykle potwierdza się to podczas weryfikacji mertorycznej

Analiza reszt

• Wariancja resztowa będąca oceną wariancji składnika losowego wyraża się wzorem

Pierwiastek z wariancji resztowej, czyli odchylenie standardowe reszt Se

, zwane standardowym błędem estymacji jest najczęściej stosowanąmiarą zgodności modelu z danymi empirycznymi.

iii yye ˆ−=

21

2

2

−−=∑

=

mn

eS

n

ii

e

Weryfikacja statystyczna modelu

64385,02

1

2

2 =⇒−

=∑

=e

n

ii

e sn

eS

Średnie zużycie paliwa obliczane z równania regresji różnią się od wartościempirycznych średnio biorąc o 0,64385 l

Obliczone estymatory współczynników regresji odchylają się od parametru b0= 3,830 421 o wartość Sb0= 0,450851, tj.o około 12 % b1=0,002386 o wartość Sb1= 0,000311, tj. o około 13%

Można zweryfikować dopasowanie modelu na podstawie funkcji testowej tt= bi/Sbi , tb0= 8,495987 tb1= 7,668 242

Najbardziej popularną i miarodajną oceną dopasowania modelu do danych empirycznych jest współczynnik determinacji R2

0,450851 3,830421 0,117703

0,000311 0,002386 0,130344

Współczynnik zmienności losowej

• Wielkość Se2 wskazuje na przeciętną różnicę między

zaobserwowanymi wartościami zmiennej objaśnianej i wartościami teoretycznymi obliczonymi z prostej regresji.

• Współczynnik W , obliczany według wzoru

informuje o tym jaką część średniej wartości zmiennej objaśnianej stanowi błąd standardowy estymacji.

• Po wyznaczeniu równania regresji ( modelu) należy sprawdzićhipotezę o istotności otrzymanych współczynników regresji,

• W tym celu przeprowadzamy testy istotności t .

%90902.0138.7

64385.0 ≈===y

SW e

Interpretacja współczynnika determinacji R2

∑∑∑===

+−=−n

iii

n

ii

n

i

eyyyy1

22

1

2

1

)ˆ()(

Można pokazać, że

Całkowita sumakwadratów - CSK

Wyjaśniona przez modelsuma kwadratów - WSK

Resztkowa sumakwadratów RSKZmienność niewyjaśnionaprzez model

yi

CSKRSK

WSK

y=b1x +b0xi

iy

y

Interpretacja współczynnika determinacji R2

R2=0,7277 oznacza, że 72,77% ogólnej zmienności zmiennej zależnej,zużycia paliwa, jest objaśniona przez równanie regresji, w którym zmienną objaśniającą jest pojemność silnika.Uwagi: wspólczynnik determinacji w pewnych okolicznościach możedawać błędne wyjaśnieni zmienności Y, np:

– gdy n=2 wtedy zawsze R2=1– gdy n jest niewiele większe od 2 lepiej stosować tzw poprawiony R2

poprawione R2, mówi jak dobrze byłoby dopasowane nasze równaniedo innej próby z tej samej populacji, zawsze jest mniejsze od R2 z próby.

– gdy w modelu nie uwzględniliśmy wyrazu wolnego tzn y=b1x– gdy model jest nieliniowy– gdy zastosowano inną metodę niż MNK

CSK

WSK

yy

yyR

n

ii

n

ii

=−

−=

∑

∑

=

=

1

2

1

2

2

)(

)ˆ(

Inne wskaźniki dopasowania modelu

• Współczynnik zmiennej zależnej względem zmiennej niezależnej beta

• Wyliczonych wartości współczynników regresji nie można porównywać ze względu na inne jednostki miary. Normalizujemy równanie regresji i otrzymujemy

• Jeśli β = 0,853 oznacza to, że zmiana zmiennej niezależnej o jedno odchylenie standardowe powoduje zmianę wartości zależnej zmiennej o 0,853 jej odchylenia standardowego.

• Zaletą tej interpretacji jest niezależność od jednostek miary• Zauważmy, że β = 0,853070 = r (współczynnikowi korelacji

liniowej.

ix

i

y

i es

xx

s

yy +−=− β

Inne wskaźniki dopasowania modelu

• Obliczanie elastyczności Y względem X według wzoru

• Pokazuje o ile procent zmienia się wartość Y gdy wartość X zmieni się o 1%

• 0,002386 * 1385,917/7,138 = 0,463• oznacza to, że w otoczeniu średnich zmiana

pojemności silnika o 1% powoduje zmianęzużycia paliwa o około 0,5%

Y

Xb1

Weryfikacja hipotez

Należy zbadać• istotność współczynnika kierunkowego; Nieodrzucenie hipotezy o braku

wpływu x na y świadczy o wadliwości modelu• istotność współczynnika determinacji • istotność liniowego związku pomiędzy analizowanymi zmiennymi

Regresja wieloraka

Regresja wieloraka

W celu wykonania wykresu należy prawym przyciskiem myszy kliknąć w obrębie zmiennej x -średnia temperatura dobowa

Wykres rozrzutu z dopasowan ą lini ą regresji

Postać związków – przykłady dlajednowymiarowej zmiennej objaśnianej (y), gdy jedna jest zmienna objaśniająca (x)

y=2x+1

0

1

2

3

4

5

6

0 0,5 1 1,5 2 2,5

y=1+xcos(x)

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

0 1 2 3 4

x

y= EXP(x)

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x

a b

c d

y=log x

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Linearyzacja funkcji nieliniowych

bxayaby x logloglog +==

bxayaey bx +== lnln

xbayaxy b lnlnln +==

22121

2 xxxxgdziecxbxaycxbxay ==++=++=

Regresja wielomianowa dla n=2

( ) ( ) minˆ22

2102 →−−−=− ∑∑

iiii

iii xbxbbyyy

2210)(ˆ xbxbbxfy ++==

Współczynniki b0, b1 i b2 wyznaczymy z układu trzech równań utworzonych z trzech pochodnych obliczonych względem zmiennych b0 , b1 i b2 i przyrównanych do zera

Regresja wielomianowa

Typowanie postaci zależności-Statistica/wykresy/ wykresy rozrzutu 2W

Analiza zbioru danych

Odkrywanie i analiza zale żności

Odkrywanie i analiza zale żności

Interpretacja wykresów powierzchniowych

Macierz korelacji

Korelacje cz ąstkowe

)1)(1( 223

213

2313123.12

rr

rrrr

−−

−=

Związek korelacyjny pomiędzy zmiennymi X1 i X2, z wyłączeniem działania zmiennej X3

Gdy interesuje nas związek pomiędzy dwiema wybranymi zmiennymi przy wyłączeniu wpływu pozostałych zmiennych – liczymy współczynnik korelacji cząstkowej

Analiza wpływu wybranych zmiennychna zużycie paliwa