statyka kratownicy stalowej o 2 różnych przekrojach...
TRANSCRIPT
Statyka kratownicy stalowej o 2 różnych przekrojach prętów
ORIGIN 1:= - Ustawienie sposobu numeracji wierszy i kolumn macierzy
E 12GPa:= - Moduł Younga stali
a1 4cm:= a2 4cm:= ρ 700kg
m3:=
h1 7cm:= h2 6cm:=
A1 a1 h1⋅:= - Pole powierzchni przekroju elementów 2...7 A1 28.000 cm2⋅=
A2 a2 h2⋅:= - Pole powierzchni przekroju elementów 1,8...12 A2 24.000 cm2⋅=
Parametry pomocnicze:
Lss 2:= - Liczba stopni swobody węzła
Le 12:= - Liczba elementów
Lw 7:= - Liczba węzłów
Lr Lss Lw⋅:= - Liczba równań
KoLr Lr, 0:= Deklaracja globalnej macierzy sztywności i wypełnienie jej zerami
Funkcja LBM - Lokuj Blok Macierzy, używana przy agregacji macierzy sztywności i wektora obciążeń termicznych
LBM (A, B, w, k) ZNACZENIE PARAMETRÓW: A - nazwa macierzy B - nazwa bloku w - numer wiersza, od którego zostanie wprowadzony blokk - numer kolumny, od której zostanie wprowadzony blokUWAGA: Macierz B zostanie ulokowana w większej macierzy A,poczynając od elementu usytuowanego w wierszu o numerze "w"i kolumnie o numerze "k".
LBM A B, w, k, ( )
Aw i+ k j+, B1 i+ 1 j+, ←
j 0 cols B( ) 1−..∈for
i 0 rows B( ) 1−..∈for
A
:=
Współrzędne węzłów kratownicy Numery węzłów początkowych (Wp) i końcowych (Wk) elementów
Przekroje elementów
X
0
0
4
4
7
7
10
m:= Y
0
4
8−
10
4
14−
10
1
2−
m:=
Wp
1
2
4
6
1
3
5
2
1
3
3
5
:= Wk
2
4
6
7
3
5
7
3
4
4
6
6
:= A
A2
A1
A1
A1
A1
A1
A1
A2
A2
A2
A2
A2
:=
e 1 Le..:= Pętla po wszystkich elementach kratownicy
Rysunek elementów kratownicy pozwala kontrolować poprawność wprowadzonych danych
Exe
X Wpe( )X Wke( )
:= Eye
Y Wpe( )Y Wke( )
:= Ex, Ey - współrzędne węzłów elementów kratownicy
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2−
1−
1
2
3
4
Ey1
Ey2
Ey3
Ey4
Ey5
Ey6
Ey7
Ey8
Ey9
Ey10
Ey11
Ey12
Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Ex7, Ex8, Ex9, Ex10, Ex11, Ex12,
Macierze sztywności elementów kratownicy
Lxe X Wke( ) X Wpe( )−:= Lye Y Wke( ) Y Wpe( )−:= Le Lxe( )2 Lye( )2+:=
JeE Ae⋅
Le( )3Lxe( )2
Lxe Lye⋅
Lxe Lye⋅
Lye( )2
⋅:=
Lx
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.0004.000
3.000
3.000
4.000
3.000
3.000
4.000
4.000
0.000
3.000
0.000
m= Ly
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.0000.000
-3.000
-3.000
-0.800
-0.600
-0.600
-4.800
4.000
4.800
1.800
2.400
m= L
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.0004.000
4.243
4.243
4.079
3.059
3.059
6.248
5.657
4.800
3.499
2.400
m= A
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
24.00028.000
28.000
28.000
28.000
28.000
28.000
24.000
24.000
24.000
24.000
24.000
cm2⋅=
Objętość (V) i masa (G) kratownicy V
e
Ae Le⋅( )∑:= V 0.127 m3⋅= G ρ V⋅ 89.153kg=:=
Mimo, że nie jest to potrzebne w dalczych obliczeniach, można pokazać bloki J macierzy sztywności wszystkich elementów
J10.0
0.0
0.0
7200.0
kNm
⋅= J28400.0
0.0
0.0
0.0
kNm
⋅= J33959.8
3959.8−
3959.8−
3959.8
kNm
⋅=
J43959.8
3959.8−
3959.8−
3959.8
kNm
⋅= J57920.1
1584.0−
1584.0−
316.8
kNm
⋅= J610560.1
2112.0−
2112.0−
422.4
kNm
⋅=
J710560.1
2112.0−
2112.0−
422.4
kNm
⋅= J81889.1
2266.9−
2266.9−
2720.3
kNm
⋅= J92545.6
2545.6
2545.6
2545.6
kNm
⋅=
J100.0
0.0
0.0
6000.0
kNm
⋅= J116052.9
3631.7
3631.7
2179.0
kNm
⋅= J120.0
0.0
0.0
12000.0
kNm
⋅=
Agregacja, czyli dodawanie bloków macierzy sztywności elementów do macierzy globalnej
ne Lss Wpe⋅ 1−:= ke Lss Wke⋅ 1−:= <--- numery stopni swobody węzłów początkowych (ne) i końcowych (ke)
K
e
LBM Ko Je, ne, ne, ( ) LBM Ko Je, ke, ke, ( )+ LBM Ko Je, ne, ke, ( )− LBM Ko Je, ke, ne, ( )−( )∑:=
K
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
3
4
5
6
7
8
9
10
10465.7 961.6 0.0 0.0 -7920.1 1584.0 -2545.6 -2545.6 0.0 0.0961.6 10062.4 0.0 -7200.0 1584.0 -316.8 -2545.6 -2545.6 0.0 0.0
0.0 0.0 10289.1 -2266.9 -1889.1 2266.9 -8400.0 0.0 0.0 0.0
0.0 -7200.0 -2266.9 9920.3 2266.9 -2720.3 0.0 0.0 0.0 0.0
-7920.1 1584.0 -1889.1 2266.9 26422.1 -2331.2 0.0 0.0 -10560.1 2112.0
1584.0 -316.8 2266.9 -2720.3 -2331.2 11638.5 0.0 -6000.0 2112.0 -422.4
-2545.6 -2545.6 -8400.0 0.0 0.0 0.0 14905.4 -1414.2 0.0 0.0
-2545.6 -2545.6 0.0 0.0 0.0 -6000.0 -1414.2 12505.4 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 -10560.1 2112.0 0.0 0.0 21120.2 -4224.0
0.0 0.0 0.0 0.0 2112.0 -422.4 0.0 0.0 -4224.0 ...
kNm
⋅=
Globalna macierz sztywności K bez uwzględnienia warunków brzegowych jest osobliwa tzn. |K|=0
Aby obliczyć wyznacznik macierzy, której elementy nie są liczbami bezwymiarowymimusimy macierz pomnożyć przez odwrotność jednostek aby doprowadzić elementy dopostaci bezwymiarowej - to jest wymóg MatCada.
Zamiast zera wyznacznik może być "bardzo małą" liczbą ze względu na niedostatecznądokładność wyrazów macierzy sztywności.
K1mkN
⋅ 2.614− 107
×=
Globalny wektor sił węzłowych Rzutowanie siły w węźle 3 na osie globalnego układu współrzędnych
Fx4 7− kN sin 25deg( )⋅ 2.958− kN⋅=:=
Fy4 7− kN cos 25deg( )⋅ 6.344− kN⋅=:=
p
0
0
0
0
0
0
Fx4
Fy4
0
0
6− kN
0
0
0
:=p
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.0000.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-2.958
-6.344
0.000
0.000
-6.000
0.000
0.000
0.000
kN⋅=
Kopiowanie Macierzy K i wektora p przed modyfikacją uwzględniającą warunki brzegowe
Ko K:= po p:=
Uwzględnienie warunków brzegowych
Lwb 4:= - liczba warunków brzegowych
s
1
2
13
14
:= - globalne numery przemieszczeń węzłówblokowanych na podporach
i 1 Lr..:= j 1 Lwb..:=
Kosj i, 0:= zerowanie wierszy
Koi sj, 0:= zerowanie kolumn - to nie jest konieczne!
wstawianie jedności na przekątnąmacierzy sztywności
Kosj sj, 1kNm
:=
po sj( ) 0:= zerowanie wartości w wektorze "prawej strony"
Ko
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 10289.1 -2266.9 -1889.1 2266.9 -8400.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 -2266.9 9920.3 2266.9 -2720.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 -1889.1 2266.9 26422.1 -2331.2 0.0 0.0 -10560.1 2112.0 -6052.9 -3631.7
0.0 0.0 2266.9 -2720.3 -2331.2 11638.5 0.0 -6000.0 2112.0 -422.4 -3631.7 -2179.0
0.0 0.0 -8400.0 0.0 0.0 0.0 14905.4 -1414.2 0.0 0.0 -3959.8 3959.8
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -6000.0 -1414.2 12505.4 0.0 0.0 3959.8 -3959.8
0.0 0.0 0.0 0.0 -10560.1 2112.0 0.0 0.0 21120.2 -4224.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 2112.0 -422.4 0.0 0.0 -4224.0 12844.8 0.0 -12000.0
0.0 0.0 0.0 0.0 -6052.9 -3631.7 -3959.8 3959.8 0.0 0.0 13972.5 -4287.9
0.0 0.0 0.0 0.0 -3631.7 -2179.0 3959.8 -3959.8 0.0 -12000.0 -4287.9 22098.6
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 ...
kNm
⋅=
Ko 1⋅mkN
8.418 1039
×= - wyznacznik macierzy Ko jest zawsze większy od zera, |Ko|> 0
Rozwiązanie układu równań: u lsolve Ko po, ( ):=
u - wektor przemieszczeń węzłowych
uT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0.0000 0.0000 -0.1263 -0.2957 -0.7357 -1.5863 -0.3375 -1.3820 -0.5274 -1.5907 -1.3526 ...mm⋅=
Rysunek przemieszczeń kratownicy pozwala kontrolować poprawność otrzymanych wyników
skala 100:=Dxe Exe skala
u 2 Wpe⋅ 1−( )u 2 Wke⋅ 1−( )
⋅+:= Dye Eye skalau 2 Wpe⋅( )u 2 Wke⋅( )
⋅+:=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2−
1−
1
2
3
4
Ey1
Ey2
Ey3
Ey4
Ey5
Ey6
Ey7
Dy2
Dy3
Dy4
Dy5
Dy6
Dy7
Dy12
Dy11
Dy10
Ex1 Ex2, Ex3, Ex4, Ex5, Ex6, Ex7, Dx2, Dx3, Dx4, Dx5, Dx6, Dx7, Dx12, Dx11, Dx10,
Obliczenie reakcji podpór
r K u⋅ p−:=
rT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 7.692 5.843 0.000 0.000 -0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 1.267 0.501kN⋅=
Obliczenie sił wewnętrznych
NeE Ae⋅
Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+
⋅:=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 137−
6−
5−
4−
3−
2−
1−
0
1
2
3
NekN
e
N
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-2.129-1.774
-4.515
-1.333
-3.38
2.253
2.253
2.771
-6.19
1.226
-4.373
0
kN⋅=
Obliczenie naprężeńσe E
Le( )2u2 Wke⋅ 1− u2 Wpe⋅ 1−−( ) Lxe⋅ u2 Wke⋅ u2 Wpe⋅−( ) Lye⋅+
⋅:=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 133−
2−
1−
0
1
2
σeMPa
e
σ
1
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-0.887-0.634
-1.613
-0.476
-1.207
0.805
0.805
1.155
-2.579
0.511
-1.822
0.000
MPa⋅=