statisztikus fizika gyakorlat - elte
TRANSCRIPT
Statisztikus Fizika Gyakorlat
2018. február 19.
Ludwig Boltzmann, who spent much of his life studying statistical mechanics, died in 1906, by his own hand.
Paul Ehrenfest, carrying on the work, died similarly in 1933.
Now it is our turn to study statistical mechanics.
DAVID L. GOODSTEIN
in
STATES OF MATTER
1
I. rész
Néhány hasznos matematikai formula
1. Gauss-integrál
Vezessük le a következ® integrált:
I =
∫ ∞−∞
e−x2
dx =√π. (1)
Célszer¶ a kifejezés négyzetét vizsgálni!
I2 =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
e−x2−y2
dxdy. (2)
Az integrált írjuk át polárkoordinátákba!
x = r cosϕ, (3)
y = r sinϕ,
dxdy = rdϕdr.
A keresett integrál a következ® alakot ölti:
I2 =
∫ ∞0
∫ 2π
0
e−r2
rdϕdr = 2π
∫ ∞0
e−r2
rdr. (4)
Megjegyzés: Vegyük észre, hogy míg a polárkoordinátáknál 0-tól∞-ig integráltunk, az eredeti integrálunk −∞-t®l∞-ig megy.Itt nem követtünk el semmilyen matematikai hibát ugyanis ezt a szögfüggéssel gyelembe vettük a polárkoordináták segítségével.Végezzünk el még egy változó cserét!
u = r2, (5)du
dr= 2r → dr =
du
2r.
Így már elemi integrációs szabályokkal kiértékelhet® összefüggésre jutunk:
I2 = 2π
∫ ∞0
e−u
2du = π
[−e−u
]∞0
= π. (6)
A keresett integrál tehát: ∫ ∞−∞
e−x2
dx =√π. (7)
Egy egyszer¶ változó cserével lássuk be a Gauss-integrál egyszer¶ általánosítását:
∫ ∞−∞
e−ax2
dx =
√π
a. (8)
ax2 = t2, (9)
dtdx
=√a→ dt =
√adx. (10)
2
Kapjuk tehát, hogy ∫ ∞−∞
e−ax2
dx =
∫ ∞−∞
e−t2 dt√
a=
√π
a. (11)
1. Gyakorlat. Lássuk be, hogy ha a > 0 valós szám akkor:
∫ ∞−∞
e−ax2+bx+cdx =
√π
aeb2
4a+c (12)
Útmutatás:
• Alakítsuk teljes négyzetté a kitev®ben szerepl® polinomot!
• A Gauss-integrál invariáns az integrandus eltolására!
• A négyzetes tag együtthatójától egy alkalmas változó cserével szabadulhatunk meg.
2. A Gamma-függvény néhány tulajdonsága
1. ábra. A Gamma függvény
A Gamma-függvény:
Γ(x) =
∫ ∞0
e−ttx−1dt, Re(x) > 0, (13)
A fenti deníció segítségével lássuk be, hogy
Γ(x+ 1) = xΓ(x). (14)
3
Γ(x+ 1) =
∫ ∞0
e−t︸︷︷︸v′
tx︸︷︷︸u
dt (15)
= [tx(−e−t)]∞0︸ ︷︷ ︸0
−∫ ∞
0
−e−t︸ ︷︷ ︸v
xtx−1︸ ︷︷ ︸u′
dt (16)
= x
∫ ∞0
e−ttx−1dt (17)
= xΓ(x) (18)
ahol kihasználtuk a parciális integrálás szabályát∫u(t)v′(t)dt = u(t)v(t)−
∫u′(t)v(t)dt (19)
és az alábbi két ismert összefüggést
∫eαtdt =
eαt
α, (20)
∂ttα = αtα−1. (21)
Lássuk be a következ® két összefüggést is!
Γ(1) = 1 (22)
Γ
(1
2
)=√π (23)
Γ(1) =
∫ ∞0
e−tt1−1dt (24)
=
∫ ∞0
e−tdt (25)
= [−e−t]∞0 = 1 (26)
Felhasználva a (14) és (22) összefüggéseket a Γ(x) függvényt tetsz®leges pozitív egész számokra meghatározhatjuk:
Γ(2) = 1Γ(1) = 1 (27)
Γ(3) = 2Γ(2) = 2 · 1 (28)
Γ(4) = 3Γ(3) = 3 · 2 · 1 (29)
Γ(n) = (n− 1)! n ∈ N (30)
Γ(1/2) =
∫ ∞0
e−tt1/2−1dt (31)
=
∫ ∞0
e−t
t1/2dt (32)
4
Hajtsuk végre a következ® változó cserét:
u = t1/2, (33)dudt
=1
2
1
t1/2. (34)
Így kapjuk, hogy
∫ ∞0
e−t
t1/2dt =
∫ ∞0
e−u2
2du, (35)
=
∫ ∞−∞
e−u2
du =√π. (36)
(a) A Stirling-formula levezetése során alkalmazott közelítés (b) A Stirling-formula és a Γ-függvény
2. ábra. Stirling közelítés
Termodinamikai határesetek vizsgálata során sokszor fogunk találkozni olyan esetekkel amikor a Γ(n) függvényt a n 1értékekre kell kiértékelnünk.
Lássuk be a következ® hasznos közelít® formulát:
Stirling-formula:
n! = nne−n√
2πn
(1 +O
(1
n
))(37)
n! = Γ(n+ 1) =
∫ ∞0
e−ttndt (38)
=
∫ ∞0
e−t+n ln tdt
=
∫ ∞0
e−fn(t)dt,
fn(t) = t− n ln t. (39)
Fejtsük sorba az fn(t) függvényt a minimuma körül!
∂tfn(t) = 1− n
t, (40)
∂tfn(t0) = 0→ t0 = n. (41)
5
Elegend® elvégezni a sorfejtést másod rendig. Azaz a következ® közelítéssel élünk:
fn(t) ≈ fn(t0) + ∂tfn(t0) (t− t0) +1
2∂2t fn(t0) (t− t0)
2, (42)
∂2t fn(t) =
n
t2→ ∂2
t fn(t0) =n
n2=
1
n, (43)
fn(t) ≈ n− n lnn+ ∂tfn(t0) (t− t0)︸ ︷︷ ︸by def=0
+1
2
(1
n
)(t− n)
2. (44)
Visszaírva ezt a (38) kifejezésbe:
n! =
∫ ∞0
e−ttndt (45)
=
∫ ∞0
e−fn(t)dt
≈ e−(n−n lnn)
∫ ∞0
e−(t−n)2
2n dt.
A kifejezésben szerepl® integrál alsó határát kiterjeszthetjük −∞-ig hiszen feltettük, hogy n 1:
n! ≈ e−(n−n lnn)
∫ ∞−∞
e−(t−n)2
2n dt (46)
= e−(n−n lnn)√
2πn.
Ahol felhasználtuk a Gauss-integrálra vonatkozó (8) azonosságot. A kapott eredmény pedig nem más mint maga a (37) Stirling-formula. Sokszor fogunk találkozni a Stirling-formula logaritmusával:
lnn! ≈ n lnn− n+1
2ln (2πn) (47)
ln Γ(n) ≈ n lnn− n+O (lnn) (48)
3. D-dimenziós gömb térfogata
Sokszor szükségünk lesz több dimenziós integrálok elvégzésére. Ezen integrálok elvégzésében rendszerint segítségünkre lesz azadott dimenzióbeli gömb térfogata. Vizsgáljuk meg hát, hogy hogyan függ a térfogat kifejezése a dimenziótól:
dimenzió VD(r) SD(r)dr1 2r 2dr2 πr2 2πrdr3 4
3πr3 4πr2dr
...D CDr
D CDDrD−1dr
Egy adott dimenzióban egy adott sugarú gömb térfogata VD(r) és a felülete között az alábbi általános összefüggés teremtkapcsolatot:
VD(r) =
∫ r
0
SD(%)d%, (49)
CDrD = CDD
∫ r
0
%D−1d% (50)
Határozzuk meg CDértékét! Induljunk ki D darab Gauss-integrál szorzatából:[∫ ∞−∞
e−x2
dx
]D= πD/2 (51)
6
Mivel az integrandus gömb szimmetrikus ezért elég csak a sugár irányú integrálra koncentrálnunk.
πD/2 =
∫e−(x2
1+x22+···+x2
D)︸ ︷︷ ︸e−r2
DCDrD−1dr︷ ︸︸ ︷
dx1dx1 . . . dxD (52)
= DCD
∫ ∞0
e−r2
rD−1dr
Alkalmazzunk egy változó cserét:
u = r2, (53)du
dr= 2r → du = 2rdr.
dr = u−12du2
(54)
πD/2 = DCD
∫ ∞0
e−uuD2 −1 du,
2(55)
πD/2 = CDD
2Γ
(D
2
)= CDΓ
(D
2+ 1
). (56)
A keresett együttható tehát:
CD =πD/2
Γ(D2 + 1
) . (57)
Kiértékelve ezt az összefüggést vissza kapjuk a már ismert együtthatókat:
D = 1→ C1 =π1/2
Γ(3/2)=
π1/2
12Γ(1/2)
= 2 (58)
D = 2→ C2 =π2/2
Γ (2)= π (59)
D = 3→ C3 =π3/2
Γ(
32 + 1
) =π3/2
32Γ(
32
) =π3/2
32 ×
12Γ(
12
) =π
32 ×
12
=4
3π (60)
4. Pauli mátrixok és 12-spin algebra
4.1. A ρ s¶r¶ségmátrix általános tulajdonságai
Kvantumos rendszerek statisztikus vizsgálatában kulcs szerep jut a ρ s¶r¶ségmátrixnak:
ρ =∑α
wα |α〉 〈α| , (61)
ahol |α〉 a rendszer valamely tiszta állapotát jelöli és a wα > 0 valószín¶ségi súlyok összege egységnyi:∑α
wα = 1. (62)
7
Ezekb®l
ρ = ρ†, (63)
Trρ = 1, (64)
Trρ2 ≤ 1. (65)
az utolsó esetében az egyenl®ség tiszta állapotokra áll fenn, azaz ha igaz, hogy
ρ = |ϕ〉 〈ϕ| . (66)
Megjegyzés: A legegyszer¶bb a 65. egyenletb®l megkapni hogy mennyire tiszta az állapot.
4.2. Két állapotú kvantum rendszerek
A legegyszer¶bb nem triviális kvantum rendszer két állapottal bír. Gondoljunk egy magányos elektron spin szabadsági fo-kára! Ebben az esetben a két dimenziós Hilbert-teret kifeszít® bázisvektorok választhatóak például a spin z komponenséneksajátvektorjaiként:
|↑〉 =
(10
), |↓〉 =
(01
). (67)
Egy általános tiszta állapot ezek lineárkombinációjaként áll el®:
|ϕ〉 = a |↑〉+ b |↓〉 =
(ab
). (68)
Az állapotok normáltsága megszorítja a két kifejtési együtthatót:
〈ϕ |ϕ〉 = 1,→ aa∗ + bb∗ = 1. (69)
Ezen a Hilbert-téren ható hermitikus operátorok, mint például a ρ s¶r¶ségmátrix, a Pauli-mátrixok σx,y,z és az egység mátrixσ0 segítségével kifejthet®ek.
Pauli-mátrixok:
σx =
(0 11 0
), σy =
(0 −ii 0
), σz =
(1 00 −1
)(70)
Identitás:
σ0 =
(1 00 1
)(71)
A teljesség igénye nélkül tekintsünk át néhány a Pauli-mátrixokra vonatkozó hasznos azonosságot! A Pauli-mátrixok négyzeteaz egység, illetve két Pauli-mátrix szorzata a harmadik mátrixszal arányos (sorrendt®l függ®en ±i faktorral):
σiσj = iεijkσk + δijσ0. (72)
Vezessük be a Pauli-mátrixokból alkotott ~σ vektort:
~σ =
σxσyσz
(73)
A (72) szorzat szabályokból következik, hogy:
(~a · ~σ)(~b · ~σ
)= apσpbqσq (74)
= iεpqkapbqσk + δpqapbqσ0 (75)
=(~a ·~b
)σ0 + i
(~a×~b
)· ~σ (76)
Mivel a Pauli-mátrixok nyoma elt¶nik ezért tetsz®leges lineár kombinációik nyoma is elt¶nik:
Tr ((~a · ~σ)) = 0. (77)
8
Szintén a szorzat szabályok és a nyomtalanság következménye, hogy
Tr ((~a · ~σ)σi) = 2ai. (78)
Pauli-mátrixok lineárkombinációjának determinánsa az együttható vektor hosszának négyzetével arányos:
det (~a · ~σ) = −~a · ~a = −a2, (79)
ahola =
√a2x + a2
y + a2z. (80)
A kvantummechanikai problémák megoldásakor számos alkalommal el®fordul, hogy egy operátor exponenciális függvényét kellkiértékelni. Két állapotú rendszer esetén az operátorok exponencializáltja zárt alakban meghatározható
exp(iα (~a · ~σ)) = σ0 cosα+ i (~a · ~σ) sin(α). (81)
2. Gyakorlat. Bizonyítsuk be (81)-t!
Vizsgáljuk meg, hogy egy általános 2 × 2-es hermitikus mátrix mikor lehet egy rendszer s¶r¶ség mátrixa! Induljunk alegáltalánosabb alakból:
ρ = d0σ0 + ~d · ~σ = d0σ0 + dxσx + dyσy + dzσz (82)
=
(d0 + dz dx − idydx + idy d0 − dz
)(83)
Mivel a Pauli-mátrixok nyoma zérus, ezért σ0 együtthatóját (64) egyértelm¶en meghatározza:
Trρ = 1→ d0 =1
2. (84)
A ρ2-re vonatkozó (65) kritérium a ~d vektor hosszára ró megszorítást:
Trρ2 = Tr((d0σ0 + ~d · ~σ
)(d0σ0 + ~d · ~σ
))(85)
= Tr((d2
0 + d2)σ0
)= 2
(d2
0 + d2). (86)
Trρ2 ≤ 1→ 0 ≤ d ≤ 1
2. (87)
4.3. Példák
a) Tiszta állapot:
A kétállapotú kvantumrendszer egy tetsz®leges állapotát szokás a Bloch-gömb θ és φ szögeivel paraméterezni:
|ϕ〉 = cos
(θ
2
)|↑〉+ eiφ sin
(θ
2
)|↓〉 . (88)
3. ábra. A Bloch-gömb
Számítsuk ki ebben a tiszta állapotban a s¶r¶ség mátrixot:
ρ = |ϕ〉 〈ϕ| (89)
ρ = cos2
(θ
2
)|↑〉 〈↑|+ e−iφ sin (θ)
2|↑〉 〈↓| (90)
+ eiφ sin (θ)
2|↓〉 〈↑|+ sin2
(θ
2
)|↓〉 〈↓| (91)
9
ρ =
(cos2
(θ2
)e−iφ sin(θ)
2
eiφ sin(θ)2 sin2
(θ2
) )=
1
2
(1 + cos (θ) e−iφ sin (θ)eiφ sin (θ) 1− cos (θ)
)(92)
ρ =1
2(σ0 + sin (θ) cos (φ)σx + sin (θ) sin (φ)σy + cos (θ)σz) (93)
d =1
2→ Trρ = 1, Trρ2 = 1 (94)
b) Teljesen kevert állapot:
Határozzuk meg a |↑〉 és |↓〉 állapotok 1/2 valószín¶séggel vett statisztikus keverékének s¶r¶ség mátrixát:
ρ =|↑〉 〈↑|+ |↓〉 〈↓|
2, (95)
=1
2
(1 00 1
)=σ0
2. (96)
d = 0→ Trρ = 1, Trρ2 =1
2(97)
c) Részlegesen kevert állapot
Határozzuk meg a |↑〉 és |↓〉 állapotok p valószín¶séggel vett statisztikus keverékének s¶r¶ség mátrixát:
ρ = p |↑〉 〈↑|+ (1− p) |↓〉 〈↓| (98)
=
(p 00 1− p
)=σ0
2+
(p− 1
2
)σz (99)
d =
(p− 1
2
)→ Trρ = 1, Trρ2 =
1
2+ 2
(p− 1
2
)2
(100)
3. Gyakorlat. Tekintsük egy két állapotú rendszer két (|α〉 és |β〉) nem ortogonális állapotából (〈α |β〉 = x) pvalószín¶séggel kevert állapotot. Határozzuk meg Trρ2-t !
4.4. Két kétállapotú kvantum rendszer
Vizsgáljuk meg hogy milyen állapotok írhatnak le egy olyan kvantum rendszert melyet két darab két állapotú rendszer alkot.Gondoljunk például itt két darab lokalizált elektron spin szabadsági fokára! Ekkor az els® két állapotú rendszer állapotait az|↑〉1,|↓〉1 állapotokkal jellemezhetjük míg a második rendszer leírására a|↑〉2,|↓〉2 állapotok szolgálnak bázisul. A két rendszeregyüttes leírására természetszer¶en adódik a következ® négy, teljes ortonormált rendszert alkotó bázis állapot:
|↑〉1 |↑〉2 , |↑〉1 |↓〉2 , (101)
|↓〉1 |↑〉2 , |↓〉1 |↓〉2 .
A |↑〉1 |↓〉2 állapotban például az els® spin felfelé míg a második lefelé áll. A
|Φ〉 = |~n〉1 |~m〉2 (102)
alakú állapotokon kívül, melyekben az összetev® rendszerek jól meghatározott állapotban vannak, a kvantummechanika meg-engedi hogy ezen állapotok tetsz®leges lineáris kombinációjában legyen a rendszer. Azaz lehetséges például a klasszikusan nemmegengedett
|Ψ〉 =|↑〉1 |↓〉2 + |↓〉1 |↑〉2√
2(103)
10
összefonódott állapot! Figyeljük meg hogy ebben az állapotban nem tehetünk biztos kijelentést a rendszer egyik rész részénekaz állapotáról, viszont a részrendszerek kölcsönös állapotáról van információnk!
Vizsgáljuk meg hogy a fent deniált két tiszta állapotot milyen s¶r¶ségmátrix írja le!
ρΦ = |Φ〉 〈Φ| = (|~n〉1 |~m〉2) (〈~n|1 〈~m|2) (104)
= |~n〉1 〈~n|1 ⊗ |~m〉2 〈~m|2 (105)
Ahol a ⊗ a két projektor tenzorszorzatát jelöli.
ρΨ =1
2(|↑〉1 |↓〉2 + |↓〉1 |↑〉2) (〈↑|1 〈↓|2 + 〈↓|1 〈↑|2) (106)
=1
2(|↑〉1 〈↑|1 ⊗ |↓〉2 〈↓|2 + |↑〉1 〈↓|1 ⊗ |↓〉2 〈↑|2 (107)
+ |↓〉1 〈↑|1 ⊗ |↑〉2 〈↓|2 + |↓〉1 〈↓|1 ⊗ |↑〉2 〈↑|2) (108)
A s¶r¶ségmátrix bevezetésénél láttuk, hogy egy mérés eredményének várhatóértékét, a mért mennyiség operátorának a s¶r¶ség-mátrixal vett szorzatának a nyoma adja.
A = Tr[ρA]
(109)
Ha egy több részrendszerb®l álló rendszeren végzünk méréseket akkor sokszor ezen mérés egy részrendszerre korlátozódik. Ekkorcélszer¶ bevezetni egy részrendszer s¶r¶ségmátrixát melyet a teljes s¶r¶ségmátrix részleges nyoma adja az alábbiak szerint.
ρ1 = Tr2 [ρ] , ρ2 = Tr1 [ρ] (110)
aholTr2
[A⊗ B
]= Tr
[B]A, Tr2
[A⊗ B
]= Tr
[A]B. (111)
Vizsgáljuk meg ρΦ-b®l és ρΨ -b®l el®álló az els® részrendszert leíró eektív s¶r¶ségmátrixokat.
ρΦ1 = Tr2 (|~n〉1 〈~n|1 ⊗ |~m〉2 〈~m|2) (112)
= |~n〉1 〈~n|1 Tr (|~m〉2 〈~m|2) (113)
= |~n〉1 〈~n|1 (114)
Ebben az esetben tehát a részrendszert leíró eektív s¶r¶ségmátrix egy tiszta rendszer s¶r¶ség mátrixa!
ρΨ1 =1
2Tr2 [|↑〉1 〈↑|1 ⊗ |↓〉2 〈↓|2 + |↓〉1 〈↓|1 ⊗ |↑〉2 〈↑|2] (115)
=1
2[|↑〉1 〈↑|1 + |↓〉1 〈↓|1] . (116)
ahol kihasználtuk hogy Tr [|↓〉 〈↑|] = 0. Vegyük észre hogy ebben az esetben a kapott redukált s¶r¶ségmátrix egy teljesen kevertrendszer s¶r¶ségmátrixa!
Az összefonódott tiszta állapotok ezen tulajdonságát, miszerint a bel®lük származtatott redukált s¶r¶ségmátrixok kevertrendszerek s¶r¶ségmátrixát adják szokás általában is az összefonódás mértékével kapcsolatba hozni.
Felmerül a kérdés, hogy lehetséges-e valamilyen módon összefonódott állapotokat el®állítani olyan állapotokból melyek ere-detileg nem voltak összefonódva. A válasz igen! Vizsgáljuk meg például az alábbi unitér operátort:
UCNOT = |↑〉1 〈↑|1 ⊗ |↑〉2 〈↑|2 + |↑〉1 〈↑|1 ⊗ |↓〉2 〈↓|2 (117)
+ |↓〉1 〈↓|1 ⊗ |↑〉2 〈↓|2 + |↓〉1 〈↓|1 ⊗ |↓〉2 〈↑|2
Ez az operátor az els® spin állapotától függ®en billenti a második állapotot. Ha az els® spin felfelé mutatott akkor a másodikatbékén hagyja, ellenkez® esetben a második spin fordul! Tekintsük ezen operátor hatását a következ® állapotra
|Φ〉xz =1√2
(|↑〉1 + |↓〉1) |↓〉2 . (118)
UCNOT |Φ〉xz =1√2
(|↑〉1 |↓〉2 + |↓〉1 |↑〉2) (119)
A kapott állapot éppen az a teljesen összefont állapot melyet korábban vizsgáltunk!
11
Összefonódott állapotokat a szorzat alakban el®álló állapotokhoz hasonlóan (például (101)) használhatunk két kétállapotúrendszert leíró Hilbert-tér bázisául is. ∣∣Φ±⟩ =
1√2
(|↑〉1 |↑〉2 ± |↓〉1 |↓〉2) (120)∣∣Ψ±⟩ =1√2
(|↑〉1 |↓〉2 ± |↓〉1 |↑〉2) (121)
4. Gyakorlat. Bizonyítsuk be a következ® algebrai összefüggést három darab kétállapotú rendszerre vonatkozólag:
(α |↑〉1 + β |↓〉1)∣∣Φ±⟩
23=
1
2
[∣∣Φ+⟩
12(α |↑〉3 + β |↓〉3) +
∣∣Φ−⟩12
(α |↑〉3 − β |↓〉3) (122)∣∣Ψ+⟩
12(β |↑〉3 + α |↓〉3) +
∣∣Ψ−⟩12
(β |↑〉3 − α |↓〉3)]
(123)
12
II. rész
Állapot számolás
Állapotok száma adott E energia alatt:
Klasszikus rendszer: Ω0(E) =1
hN
∫H(p,q)<E
(dpdq)N (124)
Kvantumos rendszer: Ω0(E) =∑En<E
1 =∑n
Θ (E − EN ) (125)
Állapotok száma E és E + δE között:
Ω(E, δE) = Ω0(E + δE)− Ω0(E) (126)
Állapots¶r¶ség:
ω (E) =dΩ0
dE= limδE→0
Ω(E, δE)
δE(127)
Fázis térfogat elem szabály:
h = dpdq (128)
Az alábbiakban három egyszer¶en számítható rendszer állapotainak számát határozzuk meg klasszikus és kvantumos módsze-rekkel.
5. Egy darab, dobozba zárt, egydimenziós részecske
5.1. Klasszikus
A Hamilton-függvény csak a kinetikus energiából származó tagot tartalmazza:
H =p2
2m. (129)
Egy adott E energia alatti állapotok a fázis térben egy téglalapot jelölnek ki, melynek felülete adja Ω0-t:
4. ábra. Klasszikus dobozba zárt ré-szecske fázistere
Ω0 (E) =
∫H<E
dpdq
h=
2a
h
√2mE. (130)
5.2. Kvantumos
A kvantummechanikai leírás a Schrödinger-egyenlet megoldásával kezd®dik.
− ~2
2m∂2xψ = Eψ, (131)
ψ∞k (x) = eikx, (132)
E =~2k2
2m, (133)
k =
√2mE
~. (134)
13
Itt feltettük, hogy egy végtelen rendszert vizsgálunk. A véges rendszer állapotait illetve spektrumát a végtelen rendszerb®l amegfelel® peremfeltételek kirovásával és azok teljesítésével kapjuk. Vizsgáljuk meg a két leggyakrabban tárgyalt peremfeltételt!
a) Zárt peremfeltétel
ψ (0) = ψ (a) = 0. (135)
5. ábra. Kvantumos dobozba zárt ré-szecske hullámszámtérben
Adott E energián a zárt peremfeltételt teljesít® hullámfüggvény el®áll mint a k és a−k hullámszámokhoz tatozó hullámfüggvények lineárkombinációja:
ψzártk (x) =
ψ∞k (x)− ψ∞−k (x)
2i= sin (kx) (136)
A peremfeltétel megköti a k hullámszám lehetséges értékét:
ψ(a) = 0→ k =nπ
a, n = 1, 2, . . . nmax, (137)
kmax =nmaxπ
a, (138)
Emax =~2
2m
(nmaxπa
)2
. (139)
Adott Eenergia alatt lév® állapotok száma tehát
Ω0 (E) = Int[ aπ~√
2mE]
= Int
[2a
h
√2mE
](140)
ahol bevezettük a Int [x] jelölést x valós szám egész részére.
6. ábra. Dobozba zárt részecske álla-potainak száma
b) Periodikus peremfeltétel
Ha periodikus peremfeltétellel élünk akkor a végtelen rendszer síkhullám megoldásaimegfelel® k hullámszámok mellett már kielégít® megoldásai a Schrödinger egyenletnek:
ψperiodikusk (x) = ψ∞k (x) = eikx, (141)
ψ (x+ a) = ψ (x) , (142)
→ eikx = eikx+ika (143)
→ ka = 2nπ (144)
n = −nmax . . . 0 . . . nmax (145)
Adott Eenergia alatt lév® állapotok száma tehát
Ω0 (E) = 2Int
[a
2π
√2mE
~
]+ 1 = 2Int
[ah
√2mE
]+ 1 (146)
Mindkét peremfeltétel esetén teljesül tehát, hogy nagy energiákra a klasszikus állapot-szám jó közelítése a kvantumos kifejezéseknek.
14
6. Rotátor
7. ábra. A rotátor fázisterének impul-zus altere
A rotátor egy egy térbeli tömegpont melynek r távolsága a koordináta rendszer közép-pontjától id®ben állandó, azaz
d
dtr = r = 0. (147)
6.1. Klasszikus
Fejezzük ki a pozíció és a sebesség vektorokat gömbi polárkoordináta rendszerben
~r =
xyz
= r
sinϑ cosϕsinϑ sinϕ
cosϑ
, ~r = r
ϑ cosϑ cosϕ− ϕ sinϑ sinϕ
ϑ cosϑ sinϕ+ ϕ sinϑ cosϕ
−ϑ sinϑ
(148)
A sebesség négyzete tehát
x2 = r2
(ϑ2 cos2 ϑ cos2 ϕ+ ϕ2 sin2 ϑ sin2 ϕ− ϑϕ sin (2ϑ) sin (2ϕ)
2
),
y2 = r2
(ϑ2 cos2 ϑ sin2 ϕ+ ϕ2 sin2 ϑ cos2 ϕ+
ϑϕ sin (2ϑ) sin (2ϕ)
2
), (149)
z2 = r2ϑ2 sin2 ϑ.
(x2 + y2 + z2
)= r2
ϑ2(cos2 ϑ cos2 ϕ+ cos2 ϑ sin2 ϕ+ sin2 ϑ
)︸ ︷︷ ︸1
+ϕ2
sin2 ϑ︷ ︸︸ ︷(sin2 ϑ sin2 ϕ+ sin2 ϑ cos2 ϕ
) . (150)
A kinetikus energia szögváltozókkal kifejezve a következ® alakot ölti
Ekin =1
2m(x2 + y2 + z2
), (151)
=1
2mr2
[ϑ2 + ϕ2 sin2 ϑ
], (152)
=1
2Θ[ϑ2 + ϕ2 sin2 ϑ
]. (153)
A Lagrange-függvény szokásos deriváltjaiból a szögváltozókhoz konjugált impulzusok
L = Ekin,→ pϑ =∂L∂ϑ
= Θϑ, pϕ =∂L∂ϕ
= Θ sin2 ϑϕ, (154)
és a Hamilton-függvény pedig
H = Ekin =1
2Θ
(p2ϑ +
p2ϕ
sin2 ϑ
). (155)
Adott E energia alatti állapotok száma az impulzus altérben egy ellipszis területének számításával illetve a koordinátákban egygömb felületének számításával kapható meg
Ω0(E) =1
h2
∫H<E
dϑdϕdpϑdpϕ, (156)
=1
h2π√
2EΘ√
2EΘ
∫ 2π
0
∫ π
0
sinϑdϑdϕ︸ ︷︷ ︸"térszög"=4π
, (157)
Ω0(E) =2ΘE
~2. (158)
15
6.2. Kvantumos
A kvantumos leíráshoz egy forgó test Hamilton-operátorából indulunk ki:
H =
(~r × ~p
)·(~r × ~p
)2Θ
=~L2
2Θ. (159)
8. ábra. A klasszikus és kvantumos ro-tátor állapotainak száma
Ennek az operátornak a spektruma
El =~2l(l + 1)
2Θ. (160)
Egy adott E energia és az alatta lév® legnagyobb impulzus momentum érték lmax kap-csolata tehát
lmax(lmax + 1) = Int
[2ΘE
~2
]. (161)
Mivel minden l állapot (2l + 1)-szeresen degenerált ezért az adott E energia alatti álla-potok összege el®áll páratlan számok összegeként:
Ω0(E) =
lmax∑l=0
(2l + 1) = (lmax + 1)2. (162)
A klasszikus kifejezést visszakapjuk ha lmax 1→ lmax(lmax + 1) ≈ (lmax + 1)2, ekkor
Ω0(E) ≈ 2ΘE
~2. (163)
7. Harmonikus oszcillátor
A harmonikus oszcillátor (és a hidrogén atom ...) sok szempontból az elméleti számítások állatorvosi lova. Határozzuk meg azállapotok számát ebben az egyszer¶ rendszerben is.
7.1. Klasszikus
A Hamilton-függvény alakjából
H =p2
2m+
1
2mω2q2, (164)
9. ábra. Az oszcillátor fázistere
jól látszik, hogy egy adott E energia egy ellipszist határoz meg, azaz az állapotok száma
Ω0(E) =1
h
∫H<E
dpdq =1
h
√2mE
√2E
mω2π, (165)
Ω0(E) =E
~ω. (166)
7.2. Kvantumos
A kvantumos állapotszámoláshoz induljunk ki a harmonikus oszcillátor spektrumából:
En = ~ω(n+
1
2
), n = 0, 1, 2 . . . (167)
Azaz egy adott E energia alatt az n index maximális értéke
nmax = Int
[E
~ω− 1
2
], (168)
amib®l
Ω0 (E) = Int[E~ω −
12
]+1 = Int
[E
~ω+
1
2
]. (169)
Itt is látjuk, hogy nagy energiákra vagy a ~→ 0 határesetben a klasszikus és a kvantumos állapotszám megegyezik.
16
7.3. Egy érdekes feladat
10. ábra. Az oszcillátor spektruma
Mikrokanonikus sokaságot feltételezve lássuk be, hogy annak a valószín¶sége, hogy egyklasszikus harmonikus oszcillátor helyzete x és x + δx között van, P (x, x + δx), meg-egyezik az oszcillátor ezen intervallumban eltöltött ideje, t(x, x+ δx), és a periódus id®,Tper = 2π
ω , hányadosával:
P (x, x+ δx) =t(x, x+ δx)
Tper(170)
A kérdéses tartományban töltött id® a tartomány hosszával egyenesen a tartományontörtén® áthaladás sebességével viszont fordítottan arányos. Az arányossági tényez® 2hiszen odafele és visszafele is id®zünk x közelében!
t(x, x+ δx) = 2δx
v(x). (171)
A vizsgált P (x, x+ δx) valószín¶ség a megfelel® fázistér térfogatok arányával kifejezve:
P (x, x+ δx) =2dp(x)δx/h
Ω (E, δE)=
2dp(x)dE δEδx/h
Ω (E, δE)(172)
Felhasználva Ω denícióját (124) és a harmonikus oszcillátor állapotainak számát (166) kapjuk, hogy
Ω (E, δE) =dΩ0
dEδE =
2π
hωδE. (173)
Felhasználva a harmonikus oszcillátor energiáját
E =p2
2m+
1
2mω2x2 =
mv2
2+
1
2mω2x2, (174)
adp/dE derivált (talán nem túl meglep® módon)1dpdE
=dE
dp=
p
m= v. (175)
A fentieket visszahelyettesítve (172)-be kapjuk, hogy
P (x, x+ δx) =2 1v δEδx/h
2πhω δE
= 2δxv
2πω
=t(x, x+ δx)
Tper. (176)
q.e.d (nem kvantum elektrodinamika...)5. Gyakorlat. Határozzuk meg a klasszikus állapotok Ω0 számát adott E energia alatt a következ® rendszerekre!
1. Pattogó labda
H =p2
2m+ gx, x ≥ 0 (177)
2. Relativisztikus oszcillátor
H = c |p|+ 1
2αω2x2, (178)
3. Relativisztikus pattogó labdaH = c |p|+ gx, x ≥ 0 (179)
17
III. rész
Termodinamikai mennyiségek mikrokanonikus sokaságbólEbben a fejezetben a mikrokanonikus formalizmus segítségével néhány alapvet® modell rendszer termodinamikai mennyiségeinekszármaztatását fogjuk vizsgálni.
Entrópia:Ha a rendszer energiája E és E és E + δE között az állapotok száma Ω akkor a rendszer entrópiája:
S = kB ln Ω(E, δE) (180)
Termodinamikai határesetben használható feltevés:
S = kB ln Ω(E, δE) = kB lnω(E)δE = kB ln Ω0(E) (181)
Fundamentális egyenlet:
dE = TdS − pdV + µdN (182)
H®mérséklet:
1
T=
∂S
∂E
∣∣∣∣V,N
(183)
Nyomás:p
T=
∂S
∂V
∣∣∣∣E,N
(184)
Kémiai potenciál:µ
T= − ∂S
∂N
∣∣∣∣E,V
(185)
H®kapacitás:
C =∂E
∂T
∣∣∣∣V
(186)
8. N darab két állapotú rendszer
11. ábra. N darab két állapotú rend-szer
Vizsgáljunk egy olyan N részecskéb®l álló rendszert amelyben egy adott részecske ener-giája vagy ε vagy −ε. Gondolhatunk itt például egy klasszikus két állapotú spin rend-szerre, vagy valamilyen adattárolóban klasszikus bitekre! Jelölje N+az ε energiájú ré-szecskék számát illetve N− a −ε energiájú részecskék számát. Természetesen
N = N+ +N−. (187)
A rendszer teljes E energiája értelemszer¶en
E = (N+ −N−) ε = Mε, M = −N,−N + 2, . . . N (188)
Ahol bevezettük az M változót amire gondolhatunk úgy mint a rendszer mágnesezettsége.
N = N+ +N−, N+ =N +M
2(189)
M = N+ −N−, N− =N −M
2(190)
18
Hány olyan konguráció van amely energiája E = Mε? Másféleképpen hányféle módon tudunk kiválasztani N fels® szintb®lN+-at ?
Ω (E, δE) =
(NN+
)=
N !
N+! (N −N+)!=
N !
N+!N−!(191)
Az állapotok számának ismeretében az entrópia (181)-nak megfelel®en
S = kB ln Ω = kB (lnN !− lnN+!− lnN−!) . (192)
Termodinamikai határesetben N →∞, E/N = const. azaz M/N = const. Ebben a határesetben alkalmazhatjuk a (47) Stirling-formulát! Elhanyagolva a lnN -es járulékokat:
lnN ! ≈ N lnN −N (193)
S
kB= N lnN −N −N+ lnN+ +N+ −N− lnN− +N− (194)
= (N+ +N−) lnN −N+ lnN+ −N− lnN−
= −N+ lnN+
N−N− ln
N−N
= −N +M
2lnN +M
2N− N −M
2lnN −M
2N
S = −kBN
[1 +m
2ln
1 +m
2+
1−m2
ln1−m
2
], (195)
m =M
N=
E
εN
Ha m = 0 azaz azok az állapotok amelyekben ugyan annyi a+ε energiájú állapot mint a −ε energiájú állapot akkor
S = kBN ln 2 = kB ln 2N (196)
ami várható hiszen ekkor Ω = 2n. Érdemes megjegyezni, hogy az entrópia energia szerinti deriváltja csak negatív energiákrapozitív mennyiség! Pozitív energiákra viszont negatív azaz ezen a tartományon a h®mérséklet negatív! Ez a rendszer teháttermodinamikai értelemben nem normál rendszer! Hasonló viselkedést mutat minden olyan rendszer melynek lehetséges energiáikorlátos tartományra szorítkoznak.
12. ábra. N darab két állapotú rend-szer entrópiája és h®mérséklete
Az entrópia ismeretében a h®mérséklet
1
T=
∂S
∂E
∣∣∣∣V,N
=∂S
∂m
∂m
∂E=
1
εN
∂S
∂m. (197)
Felhasználva, hogy
∂
∂x(1 + px) ln(1 + px) = p [ln(1 + px) + 1] , (198)
1
T=
1
εN
∂S
∂m(199)
= −kB
ε
∂
∂m
[1 +m
2ln
1 +m
2+
1−m2
ln1−m
2
](200)
= −kB
2ε
∂
∂m[(1 +m) ln (1 +m) + (1−m) ln (1−m)− 2 ln 2] (201)
= −kB
2ε[ln (1 +m) + 1− ln (1−m)− 1] (202)
kapjuk, hogy
1
T=
kB
2εln
1−m1 +m
. (203)
19
A h®mérséklet, ahogy azt várjuk, intenzív mennyiség hiszen E/N függvénye. Érdemesmegjegyezni, hogy az entrópia deriváltja m = ±1 esetén tart ∓∞-hez. Ennek meg-felel®en a h®mérséklet mind két esetben zérushoz tart. Exponencializálva a fenti 203kifejezést
e2x =1−m1 +m
, x =ε
kBT. (204)
Kifejezve m-et
m =1− e2x
1 + e2x=
e−x − ex
e−x + ex= − tanh (x) , (205)
a h®mérséklet és a rendszer energiája között az alábbi kapcsolatot állapíthatjuk meg:
E = −εN tanh
(ε
kBT
). (206)
Hasonlóan a pozitív illetve negatív energiájú részecskék száma:
N+ =N +M
2= N
e−ε
kBT
e−ε
kBT + eε
kBT, (207)
N− =N −M
2= N
eε
kBT
e−ε
kBT + eε
kBT. (208)
A h®kapacitás a (186) szerint
C =∂E
∂T
∣∣∣∣V
=∂E
∂x
∂x
∂T= − ε
kBT 2
∂E
∂x(209)
=ε2N
kBT 2
∂ tanh (x)
∂x= kBN
x2
cosh2 x, (210)
= kBN
(ε
kBT
)2
cosh2(
εkBT
) . (211)
A h®kapacitás alacsony illetve magas h®mérséklet¶ viselkedésére a cosh függvény tulajdonságaiból következtethetünk. Alacsonyh®mérsékleten, azaz x→∞
coshx =ex + e−x
2=
x→∞
ex
2, (212)
míg magas h®mérsékleten azaz x→ 0limx→0
coshx = 1. (213)
Ezen összefüggések segítségével:
T → 0, x→∞, C → kBN
(2ε
kBT
)2
e−2εkBT , (214)
T → ∞, x→ 0, C → Nε2
kBT 2. (215)
Amint azt az ábra is mutatja a fajh® h®mérséklet függése maximális egy adott h®mérséklet értéknél. Határozzuk meg ezt aH®mérséklet értéket!
∂xC ∝ ∂x(
x2
cosh2 x
)=
2x
cosh2 x− x22 sinhx
cosh3 x=
2x (1− x tanhx)
cosh2 x(216)
A derivált két helyen válik zérussá x = 0-ban illetve x = xmax-nál ahol
1− xmax tanhxmax = 0. (217)
Az egyenletet numerikusan megoldva xmax ≈ 1.199, x−1max ≈ 0.8335.
20
13. ábra. N darab két állapotú rend-szer h®kapacitása
Vizsgáljuk meg most a rendszerb®l kiszemelt egy alrendszer statisztikáját. Mi avalószín¶sége, hogy az 1. rendszer a +ε állapotban van, ha a rendszer adott E = εMenergián van?
P+1 =
(N − 1)!
(N+ − 1)!N−!
N+!N−!
N !=N+
N=
e−ε
kBT
e−ε
kBT + eε
kBT. (218)
Hasonló megfontolások alapján annak a valószín¶sége, hogy az 1. rendszer a −ε álla-potban van:
P−1 =e
εkBT
e−ε
kBT + eε
kBT. (219)
A két valószín¶ség hányadosa
P+1
P−1= e−
2εkBT . (220)
Amint kés®bb látni fogjuk, a kanonikus sokaság terminológiáit használva pontosan ugyan ezek a valószín¶ségi súlyok fogjákjellemezni a rendszert.
9. N darab harmonikus oszcillátor
A második példában vizsgáljunk meg N darab harmonikus oszcillátort. A rendszer Hamilton-operátora:
H =
N∑i=1
p2i
2m+
1
2mω2x2
i (221)
14. ábra. N oszcillátor rendszer
A rendszer teljes energiája a részrendszerek energiájának összege, azaz
E =
N∑i=1
~ω(ni +
1
2
)=
1
2~ωN + ~ω
N∑i=1
ni︸ ︷︷ ︸M
(222)
Itt ismét érdemes bevezetni egy M paramétert:
E = ~ω(
1
2N +M
), M ⇔ E, (223)
most azonban azM az összes gerjesztések száma. Figyeljük meg, hogy az el®z® példávalellentétben az energia (adott N esetén) nem korlátos felülr®l hiszen az egyes ni tetsz®-leges nem negatív egész értéket felvehetnek. Az állapotok számának meghatározásáhozvegyük észre, hogy az állapotok száma adott M esetén megegyezik N − 1 darab feketeés M darab fehér golyó lehetséges permutációinak számával:
Ω(E, δE) =(M +N − 1)!
M ! (N − 1)!(224)
Alkalmazva a (47) Stirling-formulát termodinamikai határesetben (mindegy hogy Nvagy N − 1 oszcillátort vizsgálunk) kapjuk, hogy az entrópia
S
kB= ln Ω(E, δE) (225)
≈ (M +N) ln (M +N)− (M +N)−M lnM +M −N lnN −N (226)
= (M +N) ln (M +N)−M lnM −N lnN. (227)
21
15. ábra. N osz-cillátor energiája ésh®kapacitása
A h®mérsékletet (183)-nek megfelel®en számítva kapjuk, hogy
1
T=
∂S
∂E
∣∣∣∣V,N
=∂S
∂M
∣∣∣∣V,N
∂M
∂E
∣∣∣∣V,N︸ ︷︷ ︸
1/~ω
=kB
~ω[ln (M +N) + 1− lnM − 1] =
kB
~ωlnM +N
M(228)
=kB
~ωln
E~ω + N
2E~ω −
N2
=kB
~ωlnα+ 1
2
α− 12
, α =E
~ωN. (229)
A h®mérséklet tehát E/N függvénye azaz, talán nem túl meglep® módon, intenzív mennyiség! Exponenci-alizálva ezt a kifejezést kapjuk, hogy
α+ 12
α− 12
= e~ωkBT = ex, x =
~ωkBT
. (230)
Amelyb®l némi algebra után az energia a h®mérséklet függésére kapjuk, hogy
α =
(1
2+
1
ex − 1
)(231)
E = N~ω
(1
2+
1
e~ωkBT − 1
). (232)
Az energia alacsony h®mérsékleten jó közelítéssel
E ≈ N ~ω2. (233)
Magas h®mérsékleten, azaz x→ 0 esetén a következ® közelítés alkalmazható:
E
N~ω=
1
2+
(1
ex − 1
)≈ 1
2+
(1
1 + x+ x2
2 − 1
)=
1
2+
1
x
(1
1 + x2
)≈ 1
2+
1
x
(1− x
2
)=
1
x, (234)
tehát kBT ~ω eseténE ≈ NkBT. (235)
A h®kapacitás ezek után
C =∂E
∂T
∣∣∣∣V
=∂E
∂x
∂x
∂T= − ~ω
kBT 2
∂E
∂x(236)
= −NkB
(~ωkBT
)2∂
∂x
(1
2+
1
ex − 1
)= −NkBx
2
(−1
(ex − 1)2 ex
)
= NkB
(x/2
sinh (x/2)
)2
C = NkB
~ω2kBT
sinh(
~ω2kBT
)2
(237)
10. Ideális gáz
Vizsgáljunk meg most az ideális gáz esetét. A Hamilton-függvény a szokásos
H =
3N∑i=1
p2i
2m(238)
22
alakot ölti. Adott E energia alatt az állapotok Ω0 számát a Gibbs-paradoxon gyelembevételével (N ! a nevez®ben) az alábbiakszerint fejezhetjük ki
Ω0 =
∫H(p,q)<E
d3Npd3Nq
h3NN !=
V N
h3NN !
∫∑3Ni=1
p2i
2m<E
d3Np. (239)
Az impulzus térbeli integrál a (57) segítségével kiértékelhet® mint egy√
2mE sugarú 3N dimenziós gömb térfogata:
Ω0 =V N
h3NN !
π3N/2(3N2
)!
(√2mE
)3N
=1
N !
1(3N2
)!
(2πmEV
23
h2
) 32N
. (240)
Az entrópia meghatározásához Ω helyett (181) szerint termodinamikai határesetben Ω0-t is használhatjuk.
S/kB = ln Ω0 (241)
=3
2N ln
(2πmEV
23
h2
)− lnN !− ln
(3N
2
)!
Stirling-formula szerint ≈ 3
2N ln
(2πmEV
23
h2
)−N lnN +N −
(3N
2
)ln
(3N
2
)+
(3N
2
)
=3
2N ln
(2πmEV
23
h2
)− 3
2N lnN
23 +N −
(3N
2
)ln
(3N
2
)+
(3N
2
)
=5
2N +
3
2N ln
(2πmEV
23
h2
1
N23
2
3N
)
=5
2N +
3
2N ln
(4πm
3h2
(V
N
) 23 E
N
)
= N
[3
2ln
2
3
E
N+ ln
V
N+ ln
((2πm)
3/2
h3e5/2
)](242)
Kiindulva a h®mérsékletet (183) és a nyomást (184) deniáló összefüggésekb®l megkapjuk az ekvipartició-tételb®l ismert energiakifejezést
1
T=
∂S
∂E
∣∣∣∣V,N
=3
2NkB
1
E,⇒ E =
3
2NkBT, (243)
és az ideális gáz állapotegyenletétp
T=
∂S
∂V
∣∣∣∣E,N
=NkB
V,⇒ pV = NkBT. (244)
A kémiai potenciál (185) alapján
µ = −T ∂S
∂N
∣∣∣∣E,V
= −kBT
[3
2ln
2
3
E
N+ ln
V
N+ ln
((2πm)
3/2
h3e5/2
)− 3
2− 1
], (245)
= −kBT
[3
2ln
2
3
E
N+ ln
V
N+ ln
((2πm)
3/2
h3
)], (246)
= −kBT
[lnV
N+
3
2ln
(2πmkBT
h2
)]. (247)
Ahogy vártuk a kémiai potenciál is intenzív mennyiség.6. Gyakorlat. Határozzuk meg a h®mérséklet a nyomás és a kémiai potenciálra vonatkozó összefüggéseket aklasszikus relativisztikus foton gáz esetére! Azaz ha egy részecskére vonatkozó Hamilton-függvény
H = c |p| . (248)
23
IV. rész
Állapotösszegek kanonikus sokaságban
Állapotösszeg:
Klasszikus rendszer: Z =1
hN
∫(dpdq)N e−βH(p,q) (249)
=
∫ ∞0
ω (E) e−βEdE (250)
Kvantumos rendszer: Z =∑n
e−βEn (251)
β =1
kBT(252)
Az n-edik állapot betöltésének valószín¶sége:
Pn =e−βEn
Z(253)
Szabadenergia:F = −kBT lnZ (254)
F (T, V,N) = E − TS (255)
dF = −SdT − pdV + µdN (256)
Energia (átlagos):
E = − ∂
∂βlnZ = − 1
Z
∂Z
∂β=
∫∞0ω (E)Ee−βEdE∫∞
0ω (E) e−βEdE
(257)
Nyomás:
p = − ∂F
∂V
∣∣∣∣T,N
(258)
Entrópia:
S = − ∂F
∂T
∣∣∣∣V,N
(259)
11. Mikrokanonikus vs. Kanonikus formalizmus, két egyszer¶ példa
11.1. Fajh®
Legyen egy rendszer állapots¶r¶sége az energia hatványfüggvénye, azaz
ω (E) = A (N)EαN . (260)
Számítsuk ki mikrokanonikus és kanonikus formalizmusban a fajh®t!
Mikrokanonikus
Kiindulva az entrópia számítására vonatkozó (181) praktikus összefüggésb®l kapjuk, hogy
S = kB lnω (E) δE = kB lnA (N)EαNδE = kBαN lnE + kB lnA (N) δE. (261)
24
A h®mérséklet (183) alapján1
T=
∂S
∂E
∣∣∣∣V,N
=kBαN
E. (262)
Az energia illetve a fajh® pedig
E = kBαNT,→ C =∂E
∂T= kBαN. (263)
Kanonikus
Az állapotösszeget (249) alapján
Z =
∫ ∞0
ω (E) e−βEdE =
∫ ∞0
A (N)EαNe−βEdE, (264)
egy változó csere végrehajtásával
u = βE, dE =duβ, (265)
kapjuk, hogy
Z =
∫ ∞0
A (N)
(u
β
)αNe−u
duβ
= A (N)β−(αN+1)
∫ ∞0
uαNe−udu︸ ︷︷ ︸Γ(αN+1)
, (266)
= A (N)β−(αN+1)Γ (αN + 1) . (267)
Véve ezen kifejezés logaritmusátlnZ = −(αN + 1) lnβ + lnA (N) Γ (αN + 1) , (268)
az energia
E = − ∂
∂βlnZ =
(αN + 1)
β= kBT (αN + 1), (269)
és a fajh®
C =∂E
∂T= kB(αN + 1). (270)
Jól látszik tehát, hogy N 1 esetén a két formalizmus ugyanazt adja.
11.2. Nyomás
Legyen egy rendszer állapots¶r¶sége az energia és a térfogat hatványfüggvénye, azaz
ω (E) = A
(αV
N
)N (E
N
)fN. (271)
Számítsuk ki mikrokanonikus és kanonikus formalizmusban a nyomást!
Mikrokanonikus
Az el®z® feladathoz hasonlóan az entrópia (181) alapján
S = kB lnω (E) δE = kBN lnV + kB lnA( αN
)N (EN
)fNδE. (272)
A nyomás pedig (184) alapjánp
T=
∂S
∂V
∣∣∣∣E,N
=kBN
V,→ p =
kBNT
V(273)
25
Kanonikus
Az állapotösszeg ismételten (249) szerint
Z =
∫ ∞0
ω (E) e−βEdE =
∫ ∞0
A
(αV
N
)N (E
N
)fNe−βEdE (274)
= V N × (...kutty-kurutty...) (275)
Melyb®l a szabadenergia az (254) összefüggésb®l
F = −kBT lnZ = −kBTN lnV + . . . (276)
és a nyomás a (258) kifejezésb®l
p = − ∂F
∂V
∣∣∣∣T,N
=kBTN
V(277)
adódik.
12. Rotátor
12.1. Klasszikus
Induljunk ki a (155) Hamilton-függvényb®l
H =1
2Θ
(p2ϑ +
p2ϕ
sin2 ϑ
). (278)
Az állapotösszeg klasszikus rendszerekre vonatkozó (249) alakját felhasználva kapjuk, hogy
Z =1
h2
∫ 2π
0
dϕ∫ π
0
dϑ∫ ∞−∞
dpϑ
∫ ∞−∞
dpϕe− β
2Θ
(p2ϑ+
p2ϕ
sin2 ϑ
)︸ ︷︷ ︸
2 db Gauss integrál!!
, (279)
=1
h2
∫ 2π
0
dϕ∫ π
0
dϑ sinϑ︸ ︷︷ ︸Térszög! 4π
√2Θπ
β
√2Θπ
β,
=2Θ
~2β.
Azaz
lnZ = ln2Θ
~2− lnβ, (280)
Melyb®l az energia a szokásos (257) módon
E = − ∂
∂βlnZ =
∂
∂βlnβ =
1
β= kBT. (281)
12.2. Kvantumos
A rotátor nívói (160) alapján adottak:
El =~2
2Θl(l + 1). (282)
Az állapotösszeg az egyes nívók ismert (2l + 1)-szeres degenerációját gyelembe véve
Z =
∞∑l=0
(2l + 1)︸ ︷︷ ︸degeneráció miatt
e−β~2
2Θ l(l+1). (283)
26
Alacsony h®mérsékleten β →∞ a legels® nem triviális járulékot akkor kapjuk ha a két legalsó energiaszintet gyelembe vesszük:
Z ≈T→0
1 + 3e−β~2
2Θ 2 (284)
Felhasználva az ln függvény közelítését az 1körül
ln (1 + x) ≈x1
x (285)
kapjuk egyszer¶en, hogy
lnZ ≈ 3e−β~2
Θ . (286)
Az energia és a fajh® (257) illetve (186) alapján
E = − ∂
∂βlnZ =
3~2
Θe−β
~2
Θ , (287)
C =∂E
∂T= 3
(~2
Θ
)21
kBT 2e− ~2
kBTΘ . (288)
Magas h®mérsékleten egy durva becslés, hogy csak azon tagokat vesszük melyeknek súlya legalább 1/e és ezeket úgy vesszükgyelembe, hogy mindegyiknek ugyanazt a súlyt adjuk! A feltevés matematikailag a legnagyobb l-re az alábbi becslést adja
β~2
2Θl2max = 1 (289)
Ezt felhasználva kapjuk, hogy
Z =
lmax∑l=0
(2l + 1) = (lmax + 1)2 ≈ l2max =
2Θ
~2β. (290)
13. N darab két állapotú rendszer némi degenerációval
Sok rendszerben (ahogy láttuk a rotátornál is) sokszor alacsony h®mérsékleten jó közelítéssel csak az els® gerjesztett állapotigtudjuk gerjeszteni a rendszert:
E0 = −ε, E1 = 0. (291)
Az E1nívó g-szeresen degenerált tehát az állapotösszeg
Z =(g + eβε
)N, (292)
melyb®l a szabadenergia és az energiaF = −kBT lnZ = −kBTN ln
(g + eβε
), (293)
E = − ∂
∂βlnZ = −N ∂
∂βln(g + eβε
)= −Nε eβε
(g + eβε), (294)
Alacsony h®mérsékleten kapjuk egyszer¶en, hogy
T → 0, β →∞, E = −Nε, (295)
illetve magas h®mérsékleten
T →∞, β → 0, E = −Nε 1
(g + 1). (296)
Az entrópiát (255) alapján
S =E − FT
= kBN ln(g + eβε
)− Nε
T
eβε
(g + eβε). (297)
27
Magas h®mérsékleten csak az els® tag játszik szerepet,
T →∞, β → 0, S = kBN ln (g + 1) , (298)
azaz minden állapot demokratikusan van betöltve. Alacsony h®mérsékleten pedig
T → 0, β →∞
S ≈ kBN ln eβε(ge−βε + 1
)− Nε
T
(1− ge−βε
), (299)
= kBN(βε+ ge−βε
)− Nε
T
(1− ge−βε
),
= ge− εkBT
(kBN +
Nε
T
).
7. Gyakorlat. Határozzuk meg az el®z® feladatban kiszámított entrópiát mikrokanonikus formalizmusban is!
Számítsuk ki a C fajh®t T = 0 környezetében F -en illetve E-n keresztül! Célszer¶ el®ször egy közelít® kifejezést keresnilnZ-re:
lnZ = N ln eβε(1 + ge−βε
)≈ Nge−βε +Nβε. (300)
Ebb®l a szabadenergia
F = −kBT lnZ = −kBT(Nge−βε +Nβε
), (301)
= −(kBTNge
− εkBT +Nε
).
Felhasználva (259)-t visszakapjuk az el®z® (299) kifejezést
S = −∂F∂T
= kBNge− εkBT + kBTNg
ε
kBT 2e− εkBT , (302)
= kBNge− εkBT +Ng
ε
Te− εkBT = ge
− εkBT
(kBN +
Nε
T
).
A fajh® a láncszabály használatával
C =∂E
∂T=∂E
∂S︸︷︷︸T
∂S
∂T= T
[ge− εkBT
ε
kBT 2
(kBN +
Nε
T
)− ge
− εkBT
Nε
T 2
], (303)
= ge− εkBT
(ε
kBT
(kBN +
Nε
T
)− Nε
T
)= ge
− εkBT
((εN
T+N
ε2
kBT 2
)− Nε
T
), (304)
= NgkB
(ε
kBT
)2
e− ε
kBT . (305)
Ha az energiából indulunk ki akkor némileg rövidebb úton célba érünk
E = − ∂
∂βlnZ = Ngεe−βε −Nε = Nε
(ge−βε − 1
)= Nε
(ge− εkBT − 1
), (306)
C =∂E
∂T= Nεge
− εkBT
(− ε
kB
)(− 1
T 2
)= NgkB
(ε
kBT
)2
e− ε
kBT . (307)
8. Gyakorlat. Egy rendszer fajh®je C = fkB határozzuk meg a rendszer állapots¶r¶ségét!
28
V. rész
Fizikai mennyiségek eloszlásai
Várható értékek:
Klasszikus rendszer: 〈A〉 =1
ZhN
∫(dpdq)N A(p, q)e−βH(p,q) (308)
Kvantumos rendszer: 〈A〉 =1
Z
∑n
⟨n∣∣∣A∣∣∣n⟩ e−βEn (309)
Deriváltak várható értéke (Hellmann-Feynman tétel):⟨∂
∂λH(λ)
⟩=
∂
∂λF (λ) (310)
Ekvipartició tételHa
H = λ1x21 + g(x2, x3, . . . ), (311)
akkor ⟨λ1x
21
⟩=
1
2kBT, (312)
általánosabban ⟨xi∂H
∂xj
⟩= kBTδij (313)
14. Kétállapotú rendszerek energia eloszlásai
Z1 = eβε + e−βε = 2 coshβε (314)
Z = ZN1 = (2 coshβε)N,→ lnZ = N ln 2 coshβε (315)
N+ =N +M
2=N
2+E
2ε(316)
E = ε (2N+ −N) (317)
〈E〉 = −∂β lnZ = −Nε 2 sinhβε
2 coshβε= −Nε tanhβε (318)
〈N+〉 =N
2[1− tanhβε] (319)
Mi a valószín¶sége, hogy n darab részecske a +ε energiájú állapotban van.
P (N+ = n) =
(Nn
)e−βE(n)
Z=
(Nn
)e−βε(2n−N)
Z(320)
A legvalószín¶bb állapotban∂n lnP = 0 (321)
Termodinamikai határesetben kihasználva a (47) Stirling-formulát
lnN !
n! (N − n)!e−βE(n) ≈ −βε (2n−N) +N lnN − n lnn− (N − n) ln (N − n) (322)
29
∂n lnP = −2βε− lnn− 1 + ln (N − n) + 1 (323)
= −2βε+ lnN − nn
(324)
kapjuk tehát, hogy a legvalószín¶bb állapotban a pozitív energiás részecskék száma
n = N1
e2βε + 1. (325)
Vizsgáljuk meg ennek az eloszlásnak a szórását, azaz határozzuk meg a következ® mennyiséget⟨N2
+
⟩− 〈N+〉2 =? (326)
Ez a mennyiség (317) alapján az energia és az energia négyzet várhatóértékkel fejezhet® ki. Az energia várhatóértékének négyzete
〈E〉 = 2ε 〈N+〉 −Nε,〈E〉2 = 4ε2 〈N+〉2 +N2ε2 − 4ε2 〈N+〉N, (327)
illetve az energia négyzetének várható értéke⟨E2⟩
=⟨
(2εN+ −Nε)2⟩, (328)
=⟨4ε2N2
+ +N2ε2 − 4ε2NN+
⟩,
= 4ε2⟨N2
+
⟩+N2ε2 − 4ε2 〈N+〉N,
amib®l ⟨E2⟩− 〈E〉2
4ε2=⟨N2
+
⟩− 〈N+〉2 . (329)
Az energia tetsz®leges hatványának várhatóértékét könny¶ szerrel meghatározhatjuk az állapotösszeg β szerinti derviáljaiból,hiszen
∂pβZ =∑j
(−Ej)p eβEj (330)
tehát
〈Ep〉 =(−1)
p
Z∂pβZ. (331)
A számunkra érdekes szórás ⟨E2⟩− 〈E〉2 =
1
Z∂2βZ − (∂β lnZ)
2. (332)
Felhasználva az állapotösszeg (315) kifejezését a konkrét problémánkra a releváns deriváltak:
∂β (2 coshβε)N
= 2Nε (2 coshβε)N−1
sinhβε (333)
∂2β (2 coshβε)
N= 2Nε
[2ε (N − 1) (2 coshβε)
N−2sinh2 βε+ 2N−1ε (coshβε)
N]
(334)
= ε2N(N − 1)2N sinh2 βε coshN−2 βε+N2Nε2 (coshβε)N
Az energia négyzet várható értéke tehát ⟨E2⟩
= ε2N(N − 1) tanh2 βε+Nε2. (335)
Az energia szórása ⟨E2⟩− 〈E〉2 = ε2N(N − 1) tanh2 βε+Nε2 −N2ε2 tanh2 βε (336)
= ε2N(1− tanh2 βε
)=
ε2N
cosh2 βε.
A betöltési számok keresett szórása tehát ⟨N2
+
⟩− 〈N+〉2 =
N
4 cosh2 βε. (337)
30
15. Rotátor elektromos térben
H = Ekin + Epot =1
2Θ
[p2ϑ +
p2ϕ
sin2 ϑ
]− ~E · ~d (338)
=1
2Θ
[p2ϑ +
p2ϕ
sin2 ϑ
]− Ed cosϑ
Állapotösszeg
Z =1
h2
∫ 2π
0
dϕ∫ π
0
dϑ∫ ∞−∞
dpϑ
∫ ∞−∞
dpϕe− β
2Θ
(p2ϑ+
p2ϕ
sin2 ϑ
)eβEd cosϑ, (339)
=1
h2
∫ 2π
0
dϕ∫ π
0
dϑeβEd cosϑ
√2Θπ
β
√2Θπ
βsinϑ
=1
h2
2πΘ2π
β
∫ π
0
dϑeβEd cosϑ sinϑ,
(változócsere:x = cosϑ,
dx
dϑ= − sinϑ
)=
Θ
~2β
∫ 1
−1
dxeβEdx =Θ
~2β
eβEd − e−βEd
βEd=
2Θ sinhβEd~2β2dE
Egy A(ϑ, ϕ) mennyiség várható értéke (308)-nek megfelel®en∫dϕdϑA(ϑ, ϕ)
∫dpϑdpϕh2
e−βH
Z=
∫dϕdϑA(ϑ, ϕ)P (ϑ, ϕ) (340)
Ahol bevezettük a P (ϑ, ϕ) valószín¶ségi s¶r¶séget.
P (ϑ, ϕ) =1
h2Z
∫ ∞−∞
dpϑdpϕe−βH (341)
=eβEd cosϑ
h2Z
∫ ∞−∞
dpϑdpϕe− β
2Θ
(p2ϑ+
p2ϕ
sin2 ϑ
)
=eβEd cosϑ
h2Z
2Θπ
βsinϑ
=eβEd cosϑ 2Θπ
β sinϑ
h2 2Θ sinh βEd~2β2dE
=1
4π
βdEsinhβEd
eβEd cosϑ sinϑ
Vegyük észre, hogy E = 0 esetén illetve magas h®mérsékleten amikor β = 0
P (ϑ, ϕ)dϕdϑ =sinϑdϕdϑ
4π=
dΩ
4π(342)
azaz, ahogy várjuk, ha a rendszerben nincs kitüntetett irány, vagy a termikus uktuációk mindent kiátlagolnak akkor a szögszerinti eloszlás egyenletes!
Ha a rendszer tulajdonságai függetlenek ϕ-t®l akkor érdemes bevezetni a
P (ϑ) =
∫ 2π
0
P (ϑ, ϕ)dϕ =1
2
βdEsinhβEd
eβEd cosϑ sinϑ (343)
átlagolt eloszlásfüggvényt.Határozzuk meg az energia várható értékét!
E = −∂β lnZ = −∂β[ln
2Θ
~2dE+ ln (sinhβEd)− 2 lnβ
](344)
=2
β− EdcoshβEd
sinhβEd=
1
β− Ed
[cothβEd− 1
βEd
]= kBT − EdL (βEd)
31
16. ábra. A Langevin-függvény
ahol bevezettük a Langevin-függvényt:
L (x) = cothx− 1
x(345)
Határozzuk meg a rendszer dipólmomentumának várható értékét. A meghatározan-dó várhatóérték
〈dE〉 = 〈d cosϑ〉 (346)
Induljunk ki a HellmannFeynman-tételb®l (310):
〈d cosϑ〉 = −〈∂EH〉 =1
β∂E lnZ (347)
=1
β∂E
[ln
2Θ
~2β2d+ ln (sinhβEd)− ln E
]=
1
β
[βd
coshβEdsinhβEd
− 1
E
]= d
[coshβEdsinhβEd
− 1
βEd
]= dL (βEd) (348)
Vegyük észre, hogy ugyan erre a kifejezésre jutottunk volna ha a várható értékek egy-szer¶ denícióját használtuk volna:
〈d cosϑ〉 =
∫ π0
eβEd cosϑd cosϑ sinϑdϑ∫ π0
eβEd cosϑ sinϑdϑ= d
∫ 1
−1eβEdxxdx∫ 1
−1eβEdxdx
=1
β∂E lnZ. (349)
16. Független kvantumos mágneses momentum küls® mágneses térben
H = − ~M · ~B = −µB ~S · ~B = −µBSzB (350)
Sz sajátértékei : −j,−j + 1, . . . j ahol a j lehet egész vagy félegész szám. Az állapotösszeg
Z =
j∑m=−j
eβµBmB (351)
Vegyük észre, hogy ez egy mértani sorozat es® (2j + 1) tagjának összege
Z = e−βµBBjeβµBB(2j+1) − 1
eβµBB − 1, (352)
=eβµBB(j+1/2) − e−βµBB(j+1/2)
eβµBB/2 − e−βµBB/2,
=sinh (βµBB(j + 1/2))
sinh (βµBB/2)
Az állapotösszeg tehát βB mennyiség függvénye. Azaz a rendszerben jelenlev® két meghatározó energiaskála a termális energiaés a mágneses energia hányadosa a releváns paraméter. A rendszer energiája (257) szerint
E = −∂β lnZ = −∂β [ln sinh (βµBB(j + 1/2))− ln sinh (βµBB/2)] , (353)
= −[µBB(j + 1/2)
cosh (βµBB(j + 1/2))
sinh (βµBB(j + 1/2))− µBB/2
cosh (βµBB/2)
sinh (βµBB/2)
],
= µBB/2 coth (βµBB/2)− µBB(j + 1/2) coth (βµBB(j + 1/2)) .
A szabadenergiaF = −kBT lnZ, (354)
32
melyb®l a HellmannFeynman-tétel (310) segítségével megkapjuk a mágnesezettséget
M = −∂BF =1
β∂B lnZ =
Z=f(βB)−EB, (355)
M = µB(j + 1/2) coth (βµBB(j + 1/2))− µB/2 coth (βµBB/2) (356)
= µBjBj(x), x = µBβBj.
17. ábra. A Brillouin-függvény külön-böz® j-kre illetve a Langevin-függvény
Ahol bevezettük a Bj(x) Brillouin-függvényt
Bj(x) =2j + 1
2jcoth
(2j + 1
2jx
)− 1
2jcoth
(x
2j
)(357)
Vizsgáljuk meg a fenn kapott eredmények viselkedését nagy mágneses tér illetvealacsony h®mérséklet mellett azaz ha a Brillouin-függvény argumentuma nagy, vagyis
x = µBβBj 1. (358)
A coth(x) függvény ezen a tartományon jó közelítéssel coth (x) ≈ 1. A mágnesezett-ség tehát
M ≈ µB[
2j + 1
2− 1
2
]= µBj. (359)
Azaz ahogy várjuk csak a legkisebb energiájú álapot ad járulékot.Az ellentétes határesetben azaz nagy h®mérséklet vagy kicsi mágneses tér esetén az
vagyis
x = µBβBj 1 (360)
18. ábra. A coth(x) függ-vény és közelítései.
Ekkor
coth (x) ≈ 1
x+x
3, (361)
a Brillouin-függvény pedig
Bj(x) ≈x→0
2j + 1
2j
(2j
(2j + 1)x+
1
3× 2j + 1
2jx
)− 1
2j
(2j
x+
1
3
x
2j
), (362)
=1
x+x
3
(2j + 1
2j
)2
− 1
x− x
3
1
(2j)2 , (363)
=x
3
4j2 + 4j
(2j)2 =
x
3
j + 1
j. (364)
A mágnesezettség tehát
M ≈ µ2B
j (j + 1)
3kBTB. (365)
Magas h®mérsékleten tehát a Curie-törvénynek megfelel® viselkedést kapunk
χ = ∂BM = µ2B
j (j + 1)
3kBT. (366)
Vizsgáljuk meg a nagy impulzusmomentum j 1 határesetet, ez a klasszikus határeset. Vegyük észre, hogy ekkor aBrillouin-függvény a Langevin-függvényre egyszer¶södik
Bj(x) ≈j1
coth (x)− 1
2jcoth
(x
2j
)≈ coth (x)− 1
x= L(x), (367)
33
a mágnesezettség tehátM = µBjL(µBβBj). (368)
Érdemes összevetni ezt az eredményt a klasszikus rotátor vizsgálata során számolt dipól momentummal (348), ahol szinténhasonló viselkedést kaptunk.
Végül foglaljuk össze a kapott eredményeket feles spin azaz j = 1/2 esetére:
Z = 2 cosh
(βµBB
2
)(369)
E = −µBB2
tanh
(βµBB
2
)(370)
M =µB2
tanh
(βµBB
2
)(371)
17. 2D oszcillátor
H =p2x + p2
y
2m+
1
2mω2
(x2 + y2
)=~p · ~p2m
+1
2mω2~r · ~r (372)
Az állapotösszeg a klasszikus rendszerekre vonatkozó (249) kifejezésb®l
Z =1
h2
∫ ∞−∞
d~pd~re−β[p2
2m+ 12mω
2r2]
=1
h2
2πm
β
2π
βmω2=
1
(~βω)2 . (373)
Mennyi a kitérés négyzet várható értéke ?
⟨r2⟩
=1
Zh2
∫ ∞−∞
r2d~pd~re−β[p2
2m+ 12mω
2r2]
(374)
Vegyük észre, hogy
∂ω2Z =1
h2
∫ ∞−∞
(−1
2βmr2
)d~pd~re
−β[p2
2m+ 12mω
2r2]
(375)
tehát
− 2
mβ
1
Z∂ω2Z = − 2
mβ∂ω2 lnZ =
⟨r2⟩
(376)
azaz ⟨r2⟩
=2
mβ∂ω2 ln (~βω)
2=
2
mβω2(377)
átrendezve1
2mω2
⟨r2⟩
= 〈Epot〉 = kBT (378)
az ekvipartició tétel szellemének megfelel®en.Hasonló eredményre jutunk ha a Hellmann-Feynman tételt (310) alkalmazzuk:
∂ω2H =1
2mr2 (379)
〈∂ω2H〉 =1
2m⟨r2⟩
= − 1
β∂ω2 lnZ (380)
18. Síkinga
A síkinga Lagrange függvénye,
L =1
2ml2ϕ2 +mgl cosϕ−mgl. (381)
34
19. ábra. Síkinga
A ϕ-koordinátához konjugált kanonikus impulzus tehát
pϕ =∂L
∂ϕ= ml2ϕ. (382)
A Hamilton-függvény a következ® alakot ölti
H =p2ϕ
2ml2−mgl cosϕ+mgl. (383)
Az állapot összeg (249) alapján
Z =1
h
∫ π
−πdϕ
∫ ∞−∞
dpϕe−βp2ϕ
2ml2 eβmgl cosϕe−βmgl, (384)
=e−βmgl
h
√2πml2
β
∫ π
−πdϕeβmgl cosϕ,
=e−βmgl
~
√2πml2
βI0 (βmgl) .
A szög szerinti integrál egy módosított Bessel-függvény
I0 (x) =1
2π
∫ π
−πdϕex cosϕ. (385)
Hasznos közelít® formulák
I0(x) ≈x1
1 +x2
2+O
(x4)
(386)
I0(x) ≈x1
ex√2πx
(1 +O
(x−1
))(387)
Vizsgáljuk meg a rendszer alacsony és magas h®mérséklet¶ viselkedését! Alacsony h®mérsékleten azaz ha mgl kBT a (387)közelítést alkalmazva
Z ≈ e−βmgl
~
√2πml2
β
eβmgl√2πβmgl
=1
~β
√l
g. (388)
Az átlagenergia alacsony h®mérsékleten (257)-b®l
E = −∂β lnZ = −∂β ln1
β= kBT. (389)
Vegyük észre, hogy ez az eredmény összhangban van az ekvipartíció tétel kapcsán tanultakkal. Ebben a határesetben a rendszerúgy viselkedik mint egy harmonikus oszcillátor, a koordináta ϕ, és hozzárendelt kanonikus impulzus pϕ, ahogy várjuk, 1
2kBT -tad az energiához.
Magas h®mérsékleten mgl kBT alkalmazva a módosított Bessel-függvények kis argumentumaira vonatkozó (386) összefüg-gés els® járulékát (konstans 1) kapjuk, hogy
Z ≈ e−βmgl
~
√2πml2
β. (390)
Az energia szokás szerint:
E = −∂β lnZ = mgl +1
2kBT. (391)
Ebben a határesetben a koordináta szerinti energiajárulék tehát kiátlagolódik.
35
19. Negyedfokú potenciál
Vizsgáljuk meg a negyedfokú potenciálba zárt klasszikus részecske átlagos energiáját az általánosított ekvipartició tétel (313)illetve a már megszokott (257) formula segítségével.
A Hamilton-függvény
H =p2
2m+
1
4αx4. (392)
Vegyük észre, hogy
p∂pH =p2
m, (393)
x∂xH = αx4. (394)
Alkalmazva (313)-t ⟨p2
m
⟩= kBT, (395)⟨
αx4⟩
= kBT, (396)
azaz
〈H〉 = kBT/2 + kBT/4 =3
4kBT. (397)
Kicsit több számolást igényel ha az állapotösszegen keresztül végezzük el a számolást:
Z =1
h
∫ ∞−∞
dpdxe−β[p2
2m+ 14αx
4], (398)
=1
h
√π2m
β
∫ ∞−∞
dxe−β14αx
4
, u = x4,du = 4x3dx,
=1
h
√π2m
β2
∫ ∞0
du
4u−3/4e−
βα4 u, s = βαu/4,
=1
h
√π2m
β
1
2
(4
βα
)1/4 ∫ ∞0
s−3/4e−sds︸ ︷︷ ︸Γ( 1
4 )
,
azaz
Z =1
h
√π2m
β
1
2
(4
βα
)1/4
Γ
(1
4
). (399)
Képezve ennek a kifejezésnek a logaritmusát
lnZ = −3
4lnβ + . . . (400)
azaz az energia
E = −∂β lnZ =3
4kBT. (401)
36
20. Perturbációszámítás
Sokszor el®fordul, hogy valamilyen ismert rendszer tulajdonságait kívánjuk vizsgálni egy kis változtatás, vagy zavar jelenlétében.Ekkor a perturbáció számítás eszköztára nyújt számunkra jól használható közelít® kifejezéseket. Vizsgáljuk meg az alábbiakban,hogy általános esetben, kanonikus eloszlást feltételezve, milyen kapcsolatban van egy viszonyítási alapul szolgáló rendszer és egyt®le kicsi λV perturbációban különböz® rendszer állapotösszege és a szabadenergiája.
A klasszikus esetben a rendszer Hamilton-függvénye az eredeti H0 és a perturbáció λV összege:
H = H0 + λV. (402)
A teljes rendszer Z állapotösszege:
Z =
∫e−βHdΓ =
∫e−βH0e−βλV dΓ ≈
∫e−βH0 [1− βλV ] dΓ = Z0 (1− βλ 〈V 〉0) , (403)
ahol használtuk a mennyiségek átlagaira vonatkozó (308) klasszikus kifejezést.Kvantumos esetben a λV operátor hatására a perturbáció számítás els® rendjében az állapotok E0
n energiája az
En = E0n + λ 〈n| V |n〉 , (404)
szerint módosul. (Itt feltettük, hogy az esetleges degenerált alterekben egy megfelel® unitér transzformációt elvégezve a pertur-báció operátora diagonális. ) A pertubált rendszer állapotösszege tehát
Z =∑n
e−βEn =∑n
e−βE0ne−βλ〈n|V |n〉 ≈
∑n
e−βE0n
[1− βλ 〈n| V |n〉
]= Z0 (1− βλ 〈V 〉0) . (405)
Ahol az átlagok (309) kvantumos kifejezését használtuk. A szabadenergia tehát mind a két esetben
F = −kBT lnZ ≈ −kBT lnZ0 − kBT ln (1− βλ 〈V 〉0) . (406)
Kihasználva, hogyln(1− x) ≈
x1−x (407)
kapjuk a szabadenergia megváltozását els® rendben
F ≈ F0 + λ 〈V 〉0 . (408)
A deriváltakra vonatkozó (310) Hellmann-Feynman-tétel segítségével hasonló eredményre jutunk
∂λH = V → 〈∂λH〉 = 〈V 〉 = ∂λF, (409)
F = F |λ=0 +∂F
∂λ
∣∣∣∣λ=0
λ = F0 + λ 〈V 〉0 . (410)
Az energia várható értéke
E = −∂β lnZ = −∂β [lnZ0 (1− βλ 〈V 〉0)] ≈ −∂β [lnZ0 − βλ 〈V 〉0] , (411)
= E0 + ∂β [βλ 〈V 〉0] = E0 + λ 〈V 〉0 + βλ∂β 〈V 〉0 . (412)
A β szerinti derivált a perturbálatlan rendszer eloszlása szerinti átlagokkal kifejezhet®
∂β 〈V 〉0 = ∂β
∫V e−βH0dΓ∫e−βH0dΓ
=
(∫e−βH0dΓ
) (∫V [−H0] e−βH0dΓ
)−(∫V e−βH0dΓ
) (∫[−H0] e−βH0dΓ
)(∫e−βH0dΓ
)2 = 〈V 〉0 〈H0〉0 − 〈V H0〉0
(413)ahol a törtfüggvény deriváltjára vonatkozó ismert (
f
g
)′=f ′g − fg′
g2(414)
szabályt alkalmaztuk. Az energia várható értéke tehát a perturbáció számítás els® rendjében
37
E = 〈H〉0 + βλ (〈V 〉0 〈H0〉0 − 〈V H0〉0) (415)
21. Anharmonikus oszcillátor
Az el®z® fejezetben tárgyalt perturbációszámítás módszereit alkalmazzuk az anharmonikus inga esetére! Vizsgáljuk az alábbiHamilton-függvényt
H =p2
2m+
1
2mω2x2︸ ︷︷ ︸
H0
+λx4. (416)
A perturbálatlan rendszer állapotösszege a szokásos harmonikus oszcillátor állapotösszeg:
Z0 =1
~βω. (417)
A negyedfokú potenciál várhatóértéke a perturbálatlan rendszer eloszlása szerint
⟨x4⟩
0=
∫x4e−βH0dx∫e−βH0dx
=u= βmω2
2
∫x4e−ux
2
dx∫e−ux2dx
=∂2u
√π/u√π/u
=
√π∂2
uu−1/2√
π/u=
1
2× 3
2
u−5/2
u−1/2=
3
4
1
u2, (418)
=3
(βmω2)2 . (419)
Az energia tehát
E = −∂β lnZ ≈ −∂β(lnZ0 − βλ
⟨x4⟩
0
)= −∂β
(lnZ0 − βλ
3
(βmω2)2
)(420)
= kBT −3λ
m2ω4(kBT )
2. (421)
A h®kapacitás pedig
C = kB −6λ
m2ω4k2
BT. (422)
22. Ideális gáz forgó hengerben
Az alábbiakban egy olyan rendszert fogunk vizsgálni melyet célszer¶ nem inerciális rendszerben leírni. A vizsgálandó rendszeregy L hosszúságú és R sugarú tengelye körül ω szögsebességgel forgó henger alakú tartályba zárt ideális gáz.
Jelöljük a labor rendszerben egyetlen részecske koordinátáit ~r'-al. Ezen részecske Lagrange-függvénye a szokásos
L =1
2m(~r′)2
(423)
alakot ölti. A hengerrel együtt forgó koordináta rendszerben ez az
L =1
2m(~r + ~ω × ~r
)2
(424)
kifejezésre módosul. Az ~r koordinátához kanonikusan konjugált impulzus
~p =∂L
∂~r= m
(~r + ~ω × ~r
), (425)
azaz~r = ~p/m− ~ω × ~r. (426)
38
A Hamilton-függvényt a Lagrange-függvény Legendre-transzformációjából határozzuk meg:
H = ~r · ~p− L, (427)
= ~p · (~p/m− ~ω × ~r)− 1
2m (~p/m)
2, (428)
=(~p−m~ω × ~r)2
2m− 1
2m (~ω × ~r)2
. (429)
Vegyük észre, hogy a Coriolis-er®ért felel®s ~ω × ~r tag a kifejezés els® részében a statisztikus állapotösszegbe nem ad járulékothiszen az az impulzus integrál origóját tologatja csak! A kifejezés második része pedig egy harmonikus potenciál, a centrifugáliser®ért felel®s tag mely a henger palástjához igyekszik szorítani a részecskét. Az ~r és ~ω vektorokat vegyük fel az
~ω =
00ω
, ~r =
xyz
, (430)
alakban ahol az x, y és z koordinátákra a henger a következ® megszorításokat rója ki:
x2 + y2 < R2, z ∈ [0, L]. (431)
A Hamilton-függvény tehát
H =∑i
p2i
2m− 1
2mω2r2
2D,i, r22D,i = x2
i + y2i . (432)
Az állapotösszeg pedig
Z =ZN1N !
, Z1 =1
h3
∫d3p
∫henger
d3re−β[p2
2m−12mω
2r22D
]. (433)
Egy részecske járuléka
Z1 =1
h3
(π2m
β
)3/2
L2π
∫ R
0
dr2Dr2Deβ12mω
2r22D , (434)
u =βmω2r2
2D
2,
du
βmω2r2D= dr2D, (435)
Z1 =1
h3
(π2m
β
)3/2L2π
βmω2
∫ βmω2R2
2
0
dueu, (436)
=1
h3
(π2m
β
)3/2L2π
βmω2
[eβmω2R2
2 − 1
]. (437)
Az energia várható értéke:
E = −∂β lnZ = −∂βN[ln
(eβmω2R2
2 − 1
)− 5
2lnβ
], (438)
=5
2NkBT −N
mω2R2
2
eβmω2R2
2
eβmω2R2
2 − 1. (439)
Veteked® energia skálák: kBT és βmω2R2
2 . Ha mω2R2
2 kBT lassú forgás vagy nagy h®mérséklet esetén, alkalmazva az ismert
ex ≈x≈0
1 + x (440)
közelítést az energia várhatóértéke az
E ≈ 5
2NkBT −N
mω2R2
2
1 + βmω2R2
2βmω2R2
2
(441)
=5
2NkBT −NkBT
[1 +
βmω2R2
2
]=
3
2NkBT −N
mω2R2
2
39
kifejezéssel becsülhet®.Ha mω2R2
2 kBT azaz gyors forgás illetve kicsi h®mérséklet akkor a (439) képletben az els® tagot elhanyagolhatjuk és amásodik tag pedig az
E ≈ −Nmω2R2
2(442)
alakra egyszer¶södik. Azaz minden részecske a henger palástjára simul!Vizsgáljuk meg a rendszerben uralkodó nyomásviszonyokat. Ehhez el®ször határozzuk meg a szabad energiát termodinamikai
határesetben a Stirling-formula (47) segítségével kapjuk, hogy
F = −kBT lnZ ≈ −kBTN lnZ1 +NkBT (lnN − 1) . (443)
A tet®lapra ható er®
− ∂LF = −∂L [−kBTN lnL] =kBTN
L(444)
A palástra ható nyomás ppalást a szabadenergia sugár szerinti deriváltjával hozható kapcsolatba:
ppalást2RπL = −∂RF = −∂R[−kBTN ln
(eβmω2R2
2 − 1
)]= Nmω2R
eβmω2R2
2
eβmω2R2
2 − 1(445)
ppalást =Nmω2
2πL
eβmω2R2
2
eβmω2R2
2 − 1. (446)
A részecskék radiális s¶r¶ségeloszlása a (433)-ben szerepl® integrálok részleges elvégzéséb®l
n(r) = Neβ
12mω
2r22D∫
hengerd3reβ
12mω
2r22D
=Neβ
12mω
2r22D
2πL∫ R
0dr2Dr2Deβ
12mω
2r22D
(447)
=N
2πL
βmω2eβ12mω
2r22D(
eβmω2R2
2 − 1) .
Összevetve ezt a kifejezés a palástot ér® nyomás (446) kifejezésével kapjuk, hogy
p(r) = n(r)kBT. (448)
Felintegrálva a nyomást a henger tet®lapjára
2πkBT
∫ R
0
drrn(r) =NkBT
L(449)
nem meglep® módon, visszakapjuk a tet®lapra ható er® (444) kifejezését.
23. Súlyos dugattyú
Vizsgáljunk egy súlyos dugattyúszelep által kordában tartott ideális gázt! A gázrészecskéinek súlya a szelep súlyához képestelhanyagolható ezért tekintsünk el a nehézségi er®nek a gáz részecskékre gyakorolt hatásától! Határozzuk meg a rendszerenergiáját illetve a dugattyú pozíciójának várható értékét!
A rendszer Hamilton-függvénye:
H =P 2
2M+MgX +
∑i
p2i
2m, (450)
A koordináták az alábbi határok között változhatnak
0 < xi < X, 0 < yi,zi < L, L2 = A. (451)
Az állapotösszeg tehát
Z =1
h3NN !
1
h
∫e−βH
(∏i
d~pid~ri
)dPdX,
=1
h3NN !AN
(√2mπ
β
)3N(√
2Mπ
β
)∫ ∞0
XNe−βMgXdX. (452)
40
Végrehajtva az
u = βMgX,du
dX= βMg (453)
változó cserét kapjuk, hogy
Z =1
h3NN !AN
(√2mπ
β
)3N(√
2Mπ
β
)∫ ∞0
(u
βMg
)Ne−u
du
βMg, (454)
=1
h3NN !AN
(√2mπ
β
)3N(√
2Mπ
β
)Γ (N + 1)
(βMg)N+1
,
=1
h3NAN
(√2mπ
)3N √2Mπ
1
(Mg)N+1
β−(N+1+3N/2+1/2).
Ebb®l az átlagos energia:
E = −∂β lnZ = (N + 1 + 3N/2 + 1/2)kBT ≈N1
5N
2kBT (455)
Kapjuk tehát, hogy az állandó nyomáson az ideális gáz h®kapacitása nagyobb mint állandó térfogaton:
Cp = CV +NkB (456)
A dugattyú átlagos helyzetét〈X〉 háromféle módon fogjuk meghatározni. El®ször is az ideális gáztörvényb®l egy durvának t¶n®de intelligens becslés alapján kapjuk, hogy:
pV = NkBT (457)Mg
AA 〈X〉 = NkBT (458)
〈X〉 =NkBT
Mg(459)
Az ekvipartíció tétel (312) és a fent számolt átlagos energia (455) segítségével kapjuk, hogy:
E =
⟨p2
2M
⟩︸ ︷︷ ︸
12kBT
+Mg 〈X〉+
⟨∑i
p2i
2m
⟩︸ ︷︷ ︸
32NkBT
= (N + 1 + 3N/2 + 1/2)kBT (460)
azaz
〈X〉 =(N + 1)kBT
Mg. (461)
Hasonló eredményre jutunk ha az átlag értékét direkt módon számítjuk:
〈X〉 =
∫Xe−βHdΓ∫e−βHdΓ
= − 1
βM
1
Z
∂
∂g
∫e−βHdΓ = − 1
βM∂g lnZ =
1
M∂gF (462)
lnZ = − (N + 1) ln g + . . . (463)
〈X〉 =(N + 1)kBT
Mg. (464)
41
VI. rész
Nagykanonikus és egyéb sokaságok
Nagykanonikus állapotösszeg:
Z =
∞∑N=0
∑n
e−βEn(N)−αN (465)
Z =
∞∑N=0
∫dΓe−βH(p,q,N)−αN (466)
α = − µ
kBT(467)
Nagykanonikus potenciál:Φ(T, V, µ) = −kBT lnZ (468)
Φ(T, V, µ) = E − TS − µN (469)
= −pV (470)
dΦ = −SdT − pdV −Ndµ (471)
Részecskeszám (átlagos):
〈N〉 = −∂α lnZ|V,β (472)⟨∆N2
⟩= −∂α 〈N〉|V,β (473)
24. Óriás abszorbens molekula ideális gázban
Vizsgáljunk egy óriás abszorbens molekula és egy adott p nyomású és T h®mérséklet¶ ideális gáz kölcsönhatását. A molekulalegfeljebb két atomot tud megkötni a gázmolekulákból. Ha egy atom van megkötve a molekulán akkor a kötési energia −u hakét atom van megkötve a molekulán akkor a kötési energia −2v.
Határozzuk meg, hogy átlagosan hány részecske van a molekulára kötve az ideális gáz nyomásának és h®mérsékleténekfüggvényében. Vizsgáljuk a p→ 0 és p→∞ határeseteket!
Határozzuk meg el®ször is a gáz molekula nagykanonikus állapotösszegét! Az 1. táblázat segítségével az állapotösszeg
energia 0 −u −2vrészecskeszám 0 1 2degeneráció 0 2 1
1. táblázat. Abszorbens molekula energia-részecskeszám-degeneráció térképe
Zmol =
N=0︷︸︸︷1 + 2e−β(−u−µ)︸ ︷︷ ︸
N=1
+
N=2︷ ︸︸ ︷e−β(−2v−µ2) (474)
Melyb®l a nagykanonikus potenciál (468) segítségével
Φ = −kBT lnZmol, (475)
az átlagos abszorbeált gázmolekulák számára (472) alapján kapjuk, hogy
〈Nabsz〉 = −∂µΦ =2eβ(u+µ) + 2e2β(v+µ)
1 + 2eβ(u+µ) + e2β(v+µ). (476)
42
A µ kémiai potenciált itt a környezet, azaz az ideális gáz határozza meg (intenzív paraméterek egyenl®sége egyensúlyban)! Vegyükészre hogy a releváns meghatározandó paraméter eβµ. Vegyük észre, hogy azonos részecskékb®l álló rendszer nagykanonikusállapotösszege Z és egy alrendszer kanonikus állapotösszege Z1 között fennáll az alábbi egyszer¶ összefüggés:
Z =
∞∑N=0
1
N !ZN1 eβµN = e(Z1eβµ), (477)
ahol az exponenciális függvény Taylor-sorát felismerve értékeltük ki az összegzést. Ideális gáz esetén tehát kapjuk, hogy
Zid.gáz = e(Z1eβµ), (478)
ahol
Z1 =1
h3
∫d3pd3re−β
p2
2m = V
(2πm
βh
)3/2
. (479)
egy gáz atom kanonikus állapotösszege. A gázfázisban lév® atomok átlagos száma tehát (472) segítségével
〈Nid.gáz〉 = −∂α lnZid.gáz =1
β∂µ lnZid.gáz = −∂µ ln Φid.gáz (480)
=1
β∂µ(Z1eβµ
)= Z1eβµ
Kapjuk tehát, hogy
eβµ =〈Nid.gáz〉Z1
=〈Nid.gáz〉
V
(2πm
βh2
)−3/2
. (481)
kihasználva az ideális gáz állapotegyenletét
pV =〈Nid.gáz〉
β, (482)
kapjuk, hogy
eβµ = pβ
(2πm
βh2
)−3/2
. (483)
Ezt a kifejezést visszahelyettesítve (476) megkapjuk, hogy a környezet nyomásától és h®mérsékletét®l függ®en hány atom van amolekulához kötve. Vizsgáljuk most meg nagy és kis nyomás határesetekben hogy alakul ez a kifejezés!
Kis nyomáson p → 0, azaz eβµ → 0 a nevez®ben elhanyagolhatjuk az 1-es melletti tagokat a számlálóban pedig az e2βµ-stagokat
limp→0〈Nabsz〉 = lim
p→0
2eβ(u+µ) + 2e2β(v+µ)
1 + 2eβ(u+µ) + e2β(v+µ)≈ 2e
ukBT
p
kBT
(2πmkBT
h
)−3/2
. (484)
Nagy nyomáson p→∞, azaz eβµ →∞
limp→∞
〈Nabsz〉 = limx→∞
2x+ 2x2
1 + 2x+ x2= 2, (485)
tehát mindenki be van töltve.9. Gyakorlat. Vezessük le (481)-t kanonikus formalizmusban.
43
25. Tapadós falú bögre
Vizsgáljuk meg kanonikus és nagykanonikus formalizmusban egy tapadós falú edénybe helyezett ideális gáz az edény faláhozkötött atomjainak számát! Az edény falának B számú kötési helye van melyekre tapadva a gáz egy részecskéje −ε kötésienergiával bír. Tegyük fel, hogy a gáz részecskéinek száma N sokkal nagyobb mint a kötési helyek száma, azaz ahol szükséges,élhetünk a B N feltevéssel.
KanonikusA teljes rendszer (kötött és kötetlen atomok) állapotösszege
Z =
B∑n=0
kötött︷ ︸︸ ︷(Bn
)eβεn
ZN−n1
(N − n)!︸ ︷︷ ︸nem kötött
. (486)
Megjegyzés: A kombinatorikai faktor átírása(Bn
)1
(N − n)!=
(Bn
)1
(N − n)!
n!
n!
N !
N !(487)
=1
N !︸︷︷︸Gibbs
×(Nn
)︸ ︷︷ ︸
atomok kiválasztás
× n!︸︷︷︸kötési kongurációk száma
×(Bn
)︸ ︷︷ ︸
kötési hely kiválasztása
(488)
egy másik megközelítésb®l világít rá az állapot összeg struktúrájára.A kötött részecskék számának direkt meghatározása a kanonikus átlagok (308) deníciója alapján
〈n〉 =
∑Bn=0 n
(Bn
)eβεn
ZN−n1
(N−n)!∑Bn=0
(Bn
)eβεn
ZN−n1
(N−n)!
=
∑Bn=0 n
(Bn
)eβεn
ZN−n1
(N−n)!N !
∑Bn=0
(Bn
)eβεn
ZN−n1
(N−n)!N !
. (489)
Kihasználva, hogy N B azaz N n:
N !
(N − n)!= N(N − 1) . . . (N − n+ 1) ≈
nNNn, (490)
A kötött részecskék száma
〈n〉 =
∑Bn=0 n
(Bn
)(Neβε
Z1
)n∑Bn=0
(Bn
)(Neβε
Z1
)n =
∑Bn=0 n
(Bn
)(Neβε
Z1
)n[1 +
(Neβε
Z1
)]B (491)
=
∑Bn=1
B!(n−1)!(B−n)!
(Neβε
Z1
)n[1 +
(Neβε
Z1
)]B =
Neβε
Z1B∑Bn=1
(B−1)!(n−1)!(B−n)!
(Neβε
Z1
)n−1
[1 +
(Neβε
Z1
)]B (492)
=
Neβε
Z1B[1 +
(Neβε
Z1
)]B−1
[1 +
(Neβε
Z1
)]B =NZ1
eβεB
1 + NZ1
eβε. (493)
NagykanonikusA kötött atomok nagykanonikus állapotösszege (465) szerint
Zkötött =
B∑n=0
(Bn
)e−β(−ε−µ)n =
[1 + eβ(ε+µ)
]B. (494)
A nagykanonikus termodinamikai potenciál
Φ = − lnZkötöttβ
(495)
44
kémiai potenciál szerinti deriváltja (472) adja meg a kötött részecskék várható értékét:
〈n〉 = −∂µΦ, (496)
=1
β∂µB ln
[1 + eβ(ε+µ)
],
= Beβ(ε+µ)
1 + eβ(ε+µ). (497)
Az el®z® feladatban láttuk, hogy a µ kémiai potenciál kifejezhet® a gáz fázisban lev® részecskék számával és a egy gázrészecskekanonikus állapotösszegével (481), azaz:
eβµ =N
Z1= pβ
(2πm
βh
)−3/2
. (498)
Megjegyzés: Itt is támaszkodunk a termodinamikai határeseteben érvényes N n közelítésre!Kapjuk tehát, a várakozásainknak megfelel®en, hogy (497) és (493) megegyeznek!
26. Féligátereszt® tartály
Vizsgáljunk egy V térfogatú vegyes gázt félig átereszt® tartályban, A típusú atomok átmennek B típusúak nem. A környezetbenA atomok vannak T h®mérsékleten és p0 nyomáson. Átlagosan mennyi A atom van a tartályban és mekkora nyomást képviselnek?
Vegyes sokasággalTekinthetünk a tartályra mint az A atomok szempontjából nagykanonikus, a B atomok szempontjából kanonikus eloszlás
szerint viselked® rendszerre. Ekkor bevezethetjük a vegyes állapotösszeget:
Z =1
NB !ZNB1B e(Z1AeβµA) (499)
Ahol egy A illetve B részecske állapot összege, a szokásos
Z1A/B = V
(2πmA/B
βh
)3/2
= V zA/B , (500)
alakot ölti. A vegyes termodinamikai potenciál, a kanonikus és a nagykanonikussal analóg módon:
F(T, V,NB , µA) = −kBT lnZ (501)
dF = −SdT − pdV + µBdNB −NAdµA (502)
A releváns zikai mennyiségek várható értékei a megfelel® paraméter szerinti deriváltakkal állíthatóak el®:
〈NA〉 = −∂µAF, µB = ∂NBF, (503)
p = −∂V F. (504)
Az A részecskék számának várható értéke a tartályban tehát
〈NA〉 =1
β∂µA ln
1
NB !ZNB1B e(Z1AeβµA) =
1
β∂µA
(Z1AeβµA
), (505)
= Z1AeβµA , (506)
= V zAeβµA . (507)
A tartályban uralkodó nyomás
p = −∂V F =1
β∂V ln (V )
NB e((zAV )eβµA) =1
β∂V
[ln (V )
NB +((zAV ) eβµA
)](508)
=1
β
NBV
+1
βeβµAzA =
1
β
NBV
+1
βeβµA
Z1A
V=NB + 〈NA〉
βV.
A környezetben az A atomok ideális gázt alkotnak tehát érvényes rájuk az ideális gázokra vonatkozó állapotegyenlet
〈Nk〉Vk
= βp0, (509)
45
illetve a nagykanonikus sokaságokra jellemz® (507) összefüggés is:
〈Nk〉Vk
= zAeβµA (510)
Kapjuk tehát hogy azA atomok s¶r¶sége a teljes rendszerre vonatkozóan homogén, a tartályon kívül és belül egyaránt megegyezik.
〈NA〉V
= βp0. (511)
Össze vetve ez (508)-el kapjuk, hogy a tartályban uralkodó nyomás, a parciális nyomások törvényének megfelel®en
p =NBkBT
V+ p0. (512)
A kémiai potenciál egyensúlyábólAz A atomok egyensúlyi eloszlását a rájuk vonatkozó kémiai potenciálok azonosságából is megkaphatjuk. El®ször is vegyük
észre, hogy a tartályban a két komponens¶ ideális gáz állapotegyenlete egyszer¶en
pV = (〈NA〉+NB) kBT. (513)
MivelµbennA = µkinnA = µA, β
benn = βkinn, (514)
βp0 =〈Nk〉Vk
= zAeβµA =〈NA〉V
(515)
vissza helyettesítve ezt a tartály gáztörvényébe vissza kapjuk (512)-t.
46
VII. rész
Gyakorló példák - I
10. Gyakorlat. Vizsgáljunk feles spin¶ részecskék inkoherens szuperpozícióját! Legyen t = 0-ban a rendszer az Sz = ~2 σz
operátor +~2 sajátérték¶ állapotának és a Sx = ~
2 σx operátor −~2 sajátérték¶ állapotának 60%-40% keveréke. Hasson a rendszerre
T ideig egy y irányú mágneses tér azaz a Hamilton-operátor H = µ~2Bσy. Számítsuk ki
1. t = 0-ban Sz sajátbázisában a s¶r¶ségmátrixot
2. t = T -ben Sz sajátbázisában a s¶r¶ségmátrixot
3. t = T -ben⟨Sz
⟩-t
Útmutatás: Hasznos lehet a Pauli-mátrixokra vonatkozó
eiα~n·~σ = σ0 cosα+ i~n · ~σ sinα, (516)
ahol ~n egy egység hosszúságú vektor.
11. Gyakorlat. Egy pont részecske két dimenziós mozgást végez. A rendszer Hamilton-operátora
H =p2x + p2
y
2m+ U(x, y), (517)
U(x, y) = A(x2 − xy + 3y2)2. (518)
Határozzuk meg a potenciális energia várható értékét ha a részecske egy véges h®mérséklet¶ h®tartállyal van kapcsolatban!
Útmutatás: Vegyük észre, hogy a potenciál a koordináták homogén függvénye!
12. Gyakorlat. Lássuk be Von Leeuwen tételét: klasszikus zikában nincs diamágnesség!
Legyen egy N töltött részecskéb®l álló rendszer Hamilton-operátora mágneses tér nélkül H(~r1, ~p1, ~r2, ~p2, . . . , ~rN , ~pN ) mely a~B = ~∇× ~A tér hatására H(~r1, ~p1−e1
~A1, ~r2, ~p2−e2~A2, . . . , ~rN , ~pN−eN ~AN ) alakot ölti ahol értelem szer¶en ei az i−edik részecske
töltése és ~Ai a vektor potenciál értéke az i−edik részecske helyén, ~Ai = ~A(~ri). Határozzuk meg a rendszer M mágnesezettségét
M = 〈−∂BH〉 = kBT∂B lnZ. (519)
13. Gyakorlat. Vizsgáljunk N darab két atomos molekula ideális gázát V térfogaton és T h®mérsékleten. Egy molekulaHamilton-operátora legyen
H =p2
1 + p22
2m+
1
2K(~r1 − ~r2)2 (520)
Határozzuk meg a
1. szabad energiát
2. a fajh®t
3. a molekulák méretére jellemz®⟨(~r1 − ~r2)2
⟩várható értéket
14. Gyakorlat. Átlagosan milyen magasságban helyezkedik el egy relativisztikus pattogó labda ha Th®mérséklet¶ h®fürd®velvan kapcsolatban?
47
VIII. rész
Ideális kvantumgázok
27. Kvantumgázok nagykanonikus vizsgálata
Az állapots¶r¶ség
Határozzuk meg az állapotok számát Ω0(E) egy adott Eenergia alatt egy d dimenziós rendszerre ha a diszperziós reláció
ε(~k) = α∣∣∣~~k∣∣∣ν (521)
alakú.
Ω0(E) =∑
~k,ε(~k)<E
1 = gLd
(2π)d
∫ε(~k)<E
ddk (522)
Itt g az a szabadsági fokok esetleges degenerációjának felel meg. Például 1/2 -es spin esetén g = 2. A kiszámítandó integrál nem
más mint egy d dimenziós gömb térfogata melynek a sugara (E/α)1/ν
~ !
Ω0(E) = gLd
(2π)d
πd/2
Γ (d/2 + 1)
(E/α)d/ν
~d(523)
Az állapot s¶r¶ség
%(E) = ∂EΩ0(E) = gLd
hdπd/2
Γ (d/2 + 1)αd/νd
νEdν−1 = AE
dν−1 (524)
Határozzuk meg az általános diszperziós relációval rendelkez® kvantumgázban a részecskék számát és az energia várhatóértékét! Vegyük el®ször észre, hogy a kvantumos eloszlás függvényeket felírhatjuk mértani sor alakjában:
1
eβ(E−µ) ± 1= e−β(E−µ) 1
1± e−β(E−µ)= e−β(E−µ)
∑l=0
(∓1)le−βl(E−µ). (525)
A részecskék száma
N =
∫ ∞0
% (E)
eβ(E−µ) ± 1dE = A
∫ ∞0
Edν−1e−β(E−µ)
∑l=0
(∓1)le−βl(E−µ)dE, (526)
= A∑l=0
(∓1)leβµ(l+1)
∫ ∞0
Edν−1e−βE(l+1)dE, u = βE(l + 1), dE =
du
β(l + 1), (527)
= A∑l=0
(∓1)leβµ(l+1)
(1
β(l + 1)
) dν∫ ∞
0
udν−1e−udu︸ ︷︷ ︸Γ( dν )
,
= AΓ
(d
ν
)eβµ
βdν
∑l=0
(∓1)l eβµl
(l + 1)dν
≈ AΓ
(d
ν
)eβµ
βdν
(1∓ eβµ
2dν
. . .
).
Az energia várható értékének kiszámítása a részecskék számának kiszámításával analóg módon történik. Vegyük észre, hogy haa fenti kifejezésben elvégezzük a d
ν →dν + 1 helyettesítést akkor épp az energia várhatóértékét kapjuk:
〈E〉 =
∫ ∞0
E% (E)
eβ(E−µ) ± 1dE (528)
= AΓ
(d
ν+ 1
)eβµ
βdν+1
∑l=0
(∓1)l eβµl
(l + 1)dν+1≈ AΓ
(d
ν+ 1
)eβµ
βdν+1
(1∓ eβµ
2dν+1± . . .
)
48
Az egy részecskére jutó energia tehát
〈E〉N
=
AΓ( dν+1)eβµ
βdν
+1
(1∓ eβµ
2dν
+1± . . .
)AΓ( dν )eβµ
βdν
(1∓ eβµ
2dν± . . .
) , (529)
≈ d
νkBT
(1± eβµ
2dν+1
. . .
). (530)
azaz a nem relativisztikus és az ultrarelativisztikus gázok esetén a következ® kvantum korrekciókat kapjuk
nem relativisztikus: d = 3, ν = 2→ 〈E〉N
=3
2kBT
(1± eβµ
252
. . .
)(531)
ultrarelativisztikus: d = 3, ν = 1→ 〈E〉N
= 3kBT
(1± eβµ
24. . .
)(532)
Határozzuk meg most a fenn tárgyalt általánosított ideális kvantumgáz nagykanonikus állapotösszegét és a nagykanonikus po-tenciált!
Z =∑ni
e−∑i β(εi−µ)ni =
∏i
∑ni=0
e−β(εi−µ)ni (533)
fermion:Z =∏i
(1 + e−β(εi−µ)
)(534)
bozon:Z =∏i
(1− e−β(εi−µ)
)−1
(535)
a nagykanonikus potenciál tehát:Φ = −pV = −kBT lnZ (536)
Φ = ∓kBT∑i
ln[1± e−β(εi−µ)
](537)
= ∓kBT
∫ ∞0
%(ε) ln[1± e−β(ε−µ)
]dε (538)
a korábban tárgyalt (524) általános állapots¶r¶séget felhasználva
Φ = ∓kBTA
∫ ∞0
εdν−1 ln
(1± e−β(ε−µ)
)dε (539)
= ∓kBTA
[εdν
dν
ln(
1± e−β(ε−µ))]∞
0︸ ︷︷ ︸=0
±β νd
∫ ∞0
εdν e−β(ε−µ)
1± e−β(ε−µ)dε
(540)
= − ν
d
∫ ∞0
Aεdν e−β(ε−µ)
1± e−β(ε−µ)dε (541)
ahol a második lépésben a parciális integrálás∫u′v = uv −
∫uv′ ismert szabályát alkalmaztuk. Összevetve ezt a kifejezést az
energiának (528)-ban számolt átlagával kapjuk, hogy
pV =ν
d〈E〉 . (542)
49
azaz
nem relativisztikus:d = 3, ν = 2→ pV =2
3〈E〉 (543)
ultrarelativisztikus:d = 3, ν = 1→ pV =1
3〈E〉 (544)
28. Ideális Fermi-gáz
Fermi-rendszereket jellemz® betöltésszám eloszlás a Fermi-Dirac eloszlás:
〈n〉 = f(ε) =1
eβ(ε−µ) + 1(545)
20. ábra. Fermi-Dirac el-oszlás
Zérus h®mérséklet
Határozzuk meg egy három dimenziós Fermi-gáz részecskéinek és energiájának átlagát ha a rendszerzérus h®mérsékleten van. Tegyük fel, hogy a diszperziós reláció
ε(~k) =
∣∣∣~~k∣∣∣22m
, (546)
alakú tehát az állapots¶r¶ség
% (E) = (2s+ 1)V 2π
(2m
h2
)3/2√E = αV
√E. (547)
A részecskék számának várható értéke zérus h®mérsékleten tehát
N =
∫ ∞0
% (E)
eβ(E−µ) + 1dE =
T→0
∫ µ
0
% (E) dE, (548)
= αV
∫ µ
0
√EdE = αV
2
3µ3/2,
azaz a kémiai potenciál:
µ =
(3
2
N
V
1
α
)2/3
. (549)
Hasonló meggondolásokból az energia várható értéke
〈E〉 =
∫ ∞0
E% (E)
eβ(E−µ) + 1dE =
T→0
∫ µ
0
E% (E) dE (550)
= αV
∫ µ
0
E3/2dE = αV2
5µ5/2.
Felhasználva a fenti két összefüggést az energiára és a kémiai potenciálra és a (542) állapotegyenletet kapjuk, hogy
p =2
3
〈E〉V
=2
3× 2
5α
(3
2
N
V
1
α
)5/3
. (551)
50
Véges h®mérséklet két dimenzióban
Véges h®mérsékleten általában nem tudjuk elvégezni azokat az integrálokat melyekben a Fermi-függvény szerepel. Ha viszontkét dimenziós nem relativisztikus rendszert vizsgálunk akkor a részecskék számát zárt alakra tudjuk hozni!
Vegyük észre, hogy két dimenzióban d = 2 egy nem relativisztikus rendszer állapots¶r¶sége nem függ az energiától!
%2D (E) = 2D. (552)
Ekkor a részecskék száma
N =
∫ ∞0
% (E)
eβ(E−µ) + 1dE (553)
= 2D
∫ ∞0
1
eβ(E−µ) + 1dE, x = eβ(E−µ), dE =
dx
βx
=2D
β
∫ ∞e−βµ
1
x
1
x+ 1dx =
2D
β
[∫ ∞e−βµ
1
x− 1
x+ 1dx
]=
2D
β
[ln
x
x+ 1
]∞e−βµ
=2D
βln(1 + eβµ
)kapjuk tehát, hogy
eβµ = eβN2D − 1, (554)
melyb®l a kémiai potenciál kifejezhet® a h®mérséklet függvényében
µ =ln(
eβN2D − 1
)β
. (555)
Az energia várhatóértékét már nem tudjuk zárt alakra hozni. A felmerül® integrál
Fj(x) =1
Γ (j + 1)
∫ ∞0
tj
et−x + 1dt (556)
alakú melyet Fermi-Dirac integrálnak hívnak.Láttuk, hogy a kvantumos eloszlásfüggvényeket értelmezhetjük mértani összegként (525).
1
eβ(E−µ) + 1= e−β(E−µ)
∑l=0
(−1)le−βl(E−µ). (557)
Határozzuk meg az fent vizsgált kétdimenziós rendszer részecskeszámát és energia várható értékét magas h®mérsékleten, azazamikor a mértani sor helyett csak az els® két tagot vesszük gyelembe!
N = 2D
∫ ∞0
1
eβ(E−µ) + 1dE ≈ 2D
∫ ∞0
e−β(E−µ)[1− e−β(E−µ) + . . .
]dE =
2D
βeβµ
[1− eβµ
2+ . . .
](558)
Ebb®l megtartva az els® két tagot (l = 0, 1)Nβ
2D
(1 +
eβµ
2+ . . .
)= eβµ (559)
Az energia hasonlóan
〈E〉 ≈ 2D
∫ ∞0
Ee−β(E−µ)[1− e−β(E−µ) + . . .
]dE =
2D
β2eβµ
[1− eβµ
4+ . . .
](560)
Vezet® rendben vissza írva eβµ ≈ Nβ2D -t:
〈E〉 ≈ N
β
[1− Nβ
8D+ . . .
](561)
Vegyük észre, hogy mivel D ∝ V (azaz extenzív mennyiség) a zárójelben megjelen® tag intenzív!
51
Kvantumkorrekciók magas h®mérsékleten a három dimenziós ultrarelativisztikus Fermi-gázban
E(~k) = c∣∣∣~~k∣∣∣ , d = 3, ν = 1 (562)
%(E) = g4πV
(hc)3E
2 = AE2 (563)
A részecskék N száma és az energia E várható értéke az (527) és (528) alapján
N =
∫ ∞0
% (E)
eβ(E−µ) + 1dE ≈ AΓ (3)
eβµ
β3
(1− eβµ
23+ . . .
)= g
4πV
(hc)3
eβµ2
β3
(1− eβµ
8+ . . .
), (564)
illetve
〈E〉 =
∫ ∞0
E% (E)
eβ(E−µ) + 1dE ≈ g 4πV
(hc)3
eβµ6
β4
(1− eβµ
24+ . . .
). (565)
Az egy részecskére jutó átlagos energia
〈E〉N
=
3β
(1− eβµ
24 + . . .)
(1− eβµ
8 + . . .) ≈ 3
β
(1 +
eβµ
24. . .
)(566)
Vezet® rendben eβµ-t kifejezve (564)-b®l kapjuk, hogy
eβµ ≈ N
V
(βhc)3
g8π, (567)
Vissza helyettesítve (566)-be
〈E〉N≈ 3
β
(1 +
N
V
(βhc)3
128gπ. . .
). (568)
Érdemes a klasszikus esetb®l kapott eredménnyel összehasonlítani:
〈E〉 = 3NkBT. (569)
A (542) kifejezés szerint az ideális kvantumgáz energiája kifejezhet® a nyomás és a térfogat szorzatával
pV =1
3〈E〉 . (570)
Kapjuk tehát, hogy az ultrarelativisztikus ideális gáz állapotegyenlete magas h®mérsékleten:
pV = NkBT
(1 +
N
V
(βhc)3
128gπ. . .
)(571)
Határozzuk most meg az entrópia kvantumos korrekcióit magas h®mérsékleten! Célszer¶ a Gibbs-Duhem-relációt segítségül hívni
E = TS − pV + µN (572)
S =N
T
(4
3
E
N− µ
)(573)
Szükségünk lesz tehát a kémiai potenciál magas h®mérséklet¶ közelítésére is! Induljunk ki (564)-ból! Kihasználva, hogy eβµ kicsikapjuk, hogy
eβµ ≈ N (hc)3β3
g8πV
(1 +
eβµ
8+ . . .
)(574)
a jobboldalon eβµ-t a vezet®rendjével helyettesítve (567)
eβµ ≈ N(hc)
3β3
g8πV
(1 +
N (hc)3β3
g64πV+ . . .
)(575)
µ ≈ 1
βln
(N (hc)
3β3
g8πV
)+N (hc)
3β2
g64πV(576)
52
visszahelyettesítve (566)-t és a fenti kifejezést (573)-be kapjuk, hogy
S =N
T
(4
β
(1 +
N
V
(βhc)3
128gπ
)− 1
βln
(N (hc)
3β3
g8πV
)− N (hc)
3β2
g64πV
)
S =N
T
(4
β− 1
βln
(N (hc)
3β3
g8πV
)+
(4N
V
(hc)3β2
128gπ
)− N (hc)
3β2
g64πV
)
S =N
T
(4
β− 1
βln
(N (hc)
3β3
g8πV
)+
(N
V
(hc)3β2
64gπ
))
S = NkB
(4− ln
(1
8π
N
gV
(hc
kBT
)3)
+1
64π
N
gV
(hc
kBT
)3)
(577)
A fenti kifejezés els® két tagja megegyezik a klasszikus ultrarelativisztikus ideális gáz entrópiájával.Határozzunk meg végül két mérhet® mennyiség, az állandó térfogaton CV mért fajh® illetve a κT izoterm kompresszibilitás
magash®mérséklet¶ viselkedését is! Kezdjük CV -vel! Kiindulva (568)-b®l kapjuk, hogy
CV = ∂TE|V = (578)
= ∂T 3N (kBT )
(1 +
N
V
(hc)3
128gπ (kBT )3 . . .
)
= 3kBN
(1− N
V
1
64gπ
(hc
kBT
)3)
A kompresszibilitás
κT = − 1
V∂pV |T,N (579)
meghatározásához induljunk ki az (571) állapot egyenletb®l.
V =NkBT
p
(1 +
N
V
(βhc)3
128gπ. . .
)(580)
≈ NkBT
p
(1 +
p
kBT
(βhc)3
128gπ. . .
)(581)
=NkBT
p+N
(βhc)3
128gπ(582)
ahol NV -t ismét az els® rendbeli értékével közelítettük a második tagban.
− 1
V∂pV = − 1
V
(−NkBT
p2
)(583)
=p
NkBT
(1− p
kBT
(βhc)3
128gπ. . .
)NkBT
p2(584)
κT =1
p
(1− p
kBT
(βhc)3
128gπ. . .
)(585)
15. Gyakorlat. Határozzuk meg az állandó nyomáson vett fajh® magash®mérséklet¶ kvantum korrekcióit ultrarelativisztikusFermi-gáz esetében.
16. Gyakorlat. Határozzuk meg az ultrarelativsztikus Bose-gáz magas h®mérséklet¶ korrekcióit! Vizsgáljuk meg a Fermi-gáztárgyalásánál kiszámolt mennyiségeket!
53
Alacsony h®mérséklet¶ ultrarelativisztikus Fermi-gáz
Sommerfeld sorfejtés: ∫ ∞0
ϕ(E)f(E)dE ≈∫ µ
0
ϕ(E)dE +π2
6(kBT )
2ϕ′(µ) + . . . (586)
%(E) = g4πV
(hc)3E
2 = AE2 (587)
Határozzuk meg el®ször az energia és a részecskeszám értékét zérus h®mérsékleten!
N =
∫ µ
0
% (E) dE = g4πV
3 (hc)3µ
3 (588)
A kémiai potenciál tehát zérus h®mérsékleten
µ0 =
(N3
g4πV
)1/3
(hc) . (589)
Az energia
〈E〉 =
∫ µ
0
E% (E) dE = gπV
(hc)3µ
4 (590)
= gπV hc
(N3
g4πV
)4/3
Határozzuk most meg az alacsony h®mérséklet¶ viselkedést!
N =
∫ ∞0
% (E) f(E)dE =
∫ µ
0
% (E) dE +π2
6(kBT )
2%′ (µ) + . . . (591)
= g4πV
3 (hc)3µ
3 +π2
6(kBT )
2g
8πV
(hc)3µ
= g4πV
(hc)3
(µ3
3+π2
3(kBT )
2µ
)ebb®l
N (hc)3
3
g4πV= µ3 + π2 (kBT )
2µ (592)
µ30 = µ3 + π2 (kBT )
2µ (593)
≈ µ3
(1 + π2
(kBT
µ0
)2)
(594)
A kémiai potenciál els® véges h®mérséklet¶ korrekciója tehát
µ ≈ µ0
(1− π2
3
(kBT
µ0
)2). (595)
Az energia várható értéke
〈E〉 =
∫ ∞0
E% (E) f(E)dE =
∫ µ
0
E% (E) dE +π2
6(kBT )
2(E%)
′(µ) (596)
= g4πV
(hc)3
(µ4
4+π2
6(kBT )
23µ2 + . . .
)(597)
54
Egy részecskére jutó energia
〈E〉N
=
(µ4
4 + π2
6 (kBT )2
3µ2 + . . .)
(µ3
3 + π2
6 (kBT )2
2µ+ . . .) (598)
=
µ4
4
(1 + 2π2
(kBTµ
)2
+ . . .
)µ3
3
(1 + π2
(kBTµ
)2
+ . . .
)≈ 3
4µ
(1 + π2
(kBT
µ0
)2
+ . . .
)
≈ 3
4µ0
(1− π2
3
(kBT
µ0
)2)(
1 + π2
(kBT
µ0
)2
+ . . .
)〈E〉N
≈ 3
4µ0
(1 +
2
3π2
(kBT
µ0
)2)
(599)
Ennek ismeretében és felhasználva az (542) összefüggést, az állapot egyenletre vonatkozó alacsony h®mérséklet¶ korrekciókmeghatározhatóak:
pV =1
3〈E〉 =
1
4µ0N
(1 +
2
3π2
(kBT
µ0
)2)
(600)
A fajh® pedig
CV = ∂T 〈E〉 = π2kBN
(kBT
µ0
). (601)
Milyen h®mérsékleten t¶nik el a kémiai potenciál?
Határozzuk meg azt a kritikus h®mérsékletet ahol egy ideális nem reativisztikus Fermi-gáz kémiai potenciálja elt¶nik!
%(E) = αV√E. (602)
Keressük tehát azt a T1 h®mérsékletet ahol
N =
∫ ∞0
% (E)
eβ1E + 1dE =
∫ ∞0
αV√E
eβ1E + 1dE. (603)
Legyen
β1E = x2,√Eβ1 = x, (604)
β1dE = 2xdx, (605)
ekkor
N =αV√β1
∫ ∞0
x
ex2 + 1
2xdx
β1, (606)
= 2αV (kBT1)3/2∫ ∞
0
x2
ex2 + 1dx. (607)
Természetesen zérus h®mérsékleten a kémiai potenciál véges és ekkor
N =
∫ µ
0
αV√EdE =
α2V
3µ3/2 =
α2V
3(kBTF )
3/2. (608)
A (607) és (608) kifejezések hányadosából kapjuk tehát, hogy
1 =2αV (kBT1)
3/2
α2V3 (kBTF )
3/2
∫ ∞0
x2
ex2 + 1dx, (609)
1 =1
3
(T1
TF
)∫ ∞0
x2
ex2 + 1dx︸ ︷︷ ︸
≈0.339
→(TFT1
)≈ 1.01139. (610)
55
29. Ideális Bose-gáz
Foton gáz részecskeszáma
21. ábra. Riemann-féle ζ−függvény
Határozzuk meg egy T h®mérséklet¶ üregben lév® fotonok N számát! A foton gázratekinthetünk úgy mint egy utrarelativisztikus kvantum gázra melyet µ = 0 kémiai po-tenciállal rendelkez® Bose-Einstein-statisztikát követ® részecskék alkotnak, melynek apolarizációból származó degenerációfoka g = 2 ! A diszperziós reláció tehát ismét (562)míg az állapots¶r¶séget újfent (563) adja:
E(~k) = c∣∣∣h~k∣∣∣ , (611)
%(E) = g4πV
(hc)3E
2 = AE2. (612)
Az általános ideális Bose-gáz részecskeszám várhatóértéke (527) szerint
〈N〉 = AΓ
(d
ν
)eβµ
βdν
∑l=0
eβµl
(l + 1)dν
(613)
A mi esetünkben d = 3, ν = 1 és µ = 0 tehát a részecskeszám várhatóérték az
〈N〉 = AΓ (3)
β3
∞∑l=1
1
l3(614)
alakot ölti. Az összegben felismerhetjük a Riemann-féle ζ(z)-függvényt.
z ζ(z)
−1 − 112
0 − 12
1 ∞2 π2
6
3 1.202
4 π4
90
3/2 2.6125/2 1.314
2. táblázat. Riemann-féleζ-függvény néhány értéke
Riemann-Zeta-függvény
ζ (z) =
∞∑n=1
1
nz(615)
=1
Γ (z)
∫ ∞0
xz−1
ex − 1dx (616)
A ζ-függvény segítségével a részecskeszám várható értéke tehát:
〈N〉 = 24πV
(hc)3
Γ (3) ζ (3)
β3=
16πV
(hcβ)3 ζ (3) (617)
= V2ζ (3)
π2
(kBT
~c
)3
(618)
56
A kémiai potenciál viselkedése a kritikus h®mérséklet közelében
Tudjuk, hogy a kondenzációs h®mérséklet alatt a µ kémiai potenciál értéke zérus. Vizsgáljuk meg,hogy miként viselkedik a kémiai potenciál a kritikus h®mérséklet felett de ahhoz közeli h®mérsékleten!A vizsgálódás során szükségünk lesz a Bose-Einstein integrálok néhány tulajdonságára. Foglaljuk azalábbiakban össze ezeket.
Bose-Einstein- és Fermi-Dirac-integrálok:
F± (s, α) =1
Γ (s)
∫ ∞0
xs−1dx
ex+α ± 1
+ : Fermi-Dirac
− : Bose-Einstein, Re(s) > 1, α > 0(619)
Deriváltak α-szerint:∂nF± (s, α)
∂αn= (−1)
nF± (s− n, α) (620)
Bose-Einstein-integrálok közelítése:
F− (s, α) ≈ ζ (s) + Γ (1− s)αs−1 . . . ,ha s nem pozitív egész és α1 (621)
Vizsgáljuk meg most a három dimenziós nem relativisztikus Bose-gáz kémiai potenciáljának viselkedését a kritikus h®mér-séklet közelében. A Bose-gáz részecskeszáma általános esetben az alábbiak szerint fejezhet® ki a fenn deniált Bose-Einsteinintegrálokkal
N =
∫ ∞0
% (E) dE
eβ(E−µ) − 1= A
∫ ∞0
Edν−1dE
eβ(E−µ) − 1, E =
x
β,
dE
dx=
1
β, α = −βµ (622)
= A
∫ ∞0
(xβ
) dν−1
dxβ
ex+α − 1=
A
βd/ν
∫ ∞0
xdν−1dx
ex+α − 1
=A
βd/νΓ
(d
ν
)F−
(d
ν, α
)Esetünkben d = 3, ν = 2. Vegyük a részecskeszám kifejezések hányadosát Tc-n és kicsivel Tc felett! Bevezetve a βc = 1
kBTcjelölést
1 =
A
β32
Γ(
32
)F−
(32 , α
)A
β32c
Γ(
32
)F−
(32 , 0) (623)
(TcT
) 32
=F−
(32 , α
)F−
(32 , 0) ≈ ζ
(32
)+ Γ
(− 1
2
)α
12c
ζ(
32
) (624)
(TcT
)=
(1− 2
√π
ζ(
32
)α 12c
) 23
≈ 1− 4
3
√π
ζ(
32
)α 12c (625)
Ahol kihasználtuk hogy Γ(−1/2) = −2√π és bevezettük αc = −βcµ-t. Kifejezve a fenti kifejezésb®l µ-t kapjuk, hogy
µ = −kBTc
[3ζ(
32
)4√π
(1− Tc
T
)]2
≈ −kBTc
[3ζ(
32
)4√π
]2(T
Tc− 1
)2
(626)
ahol felhasználtuk az 1 − 1/x ≈ x − 1 közelítést mely x ≈ 1 esetén igaz. Kapjuk tehát, hogy a kémiai potenciál Tc felettkvadratikusan csökken!
Alacsony dimenziós Bose-gáz nem kondenzál
A három dimenziós nem relativisztikus Bose-gáz esetén a részecskeszám zérus kémiai potenciál esetén egy véges értékhez tart.Az ebb®l adódó koncepcionális paradoxon magyarázata, hogy egy kritikus h®mérséklet alatt a részecskék jelent®s hányada azérus impulzusú állapotba kondenzál.
57
Vizsgáljuk meg az N(µ) kifejezés viselkedését általánosabb esetben! Korábban (613) láttuk, hogy általános Bose-gáz eseténa részecskeszám
N = AΓ
(d
ν
)eβµ
βdν
∑l=0
eβµl
(l + 1)dν
(627)
alakot ölti. A kondenzációhoz szükséges általános feltétel tehát, hogy az összeg véges legyen zérus kémiai potenciál esetére! Eza feltétel nyilván valóan teljesül ha d
ν > 1! Egy illetve két dimenziós nem relativisztikus gáz esetén dν = 1 illetve d
ν = 12 ! Azaz
ezekben az esetekben az összeg µ = 0 -ra minden határon túl n®! Azaz alacsony dimenziós nem relativisztikus rendszerekbennincs Bose-kondenzáció.
58
IX. rész
Kölcsönható rendszerek
30. Egy dimenziós Ising-model
Vizsgáljunk két állapotú klasszikus spinek Si = ±1 egy dimenziós rendszerét. Legyen a rendszer véges és rendelkezzen szabadperemfeltétellel.
H = −J∑〈ij〉
SiSj (628)
A kanonikus állapotösszegZ =
∑Si
eκS1S2 . . . eκSN−1SN , κ = βJ (629)
Vegyük észre, hogy ha az egyik végen lév® spin-re elvégezzük az összeget akkor az a mellette lév® spin értékét®l függetlenül ugyanazt a járulékot fogja adni! ∑
SN=±1
eκSN−1SN = 2 coshκ. (630)
Kapjuk tehát, hogyZN = 2 coshκZN−1. (631)
Figyelembe véve, hogyZ1 = 2, (632)
a teljes rendszer állapotösszegeZN = 2 (2 coshκ)
N−1. (633)
Határozzuk meg a rendszer korrelációs függvényét! Azaz az 〈SiSj〉 várhatóértéket! Ehhez el®ször tegyük fel, hogy a κ csatolásnem homogén hanem minden párra külön külön értékeket vehet fel! Ekkor
Z = 2NN∏p=1
coshκp. (634)
Az állapotösszeg deníciójából nyilvánvaló, hogy
1
Z
∂nZ
∂κi∂κi+1 . . . ∂κi+n−1=
⟨Si
1︷ ︸︸ ︷Si+1Si+1 Si+2Si+2︸ ︷︷ ︸
1
Si+3 . . . Si+n−1Si+n
⟩= 〈SiSi+n〉 (635)
Vegyük észre, hogy tetsz®leges két spin korrelációs függvénye tehát kifejezhet® a fenti derivált segítségével! A deriváltat viszontközvetlenül is elvégezhetjük az állapotösszeg (634) kifejezésén!
1(2N∏Np=1 coshκi
) ∂n
∂κi∂κi+1 . . . ∂κi+n−1
(2N
N∏p=1
coshκi
)=
i+n−1∏p=i
sinhκicoshκi
=
i+n−1∏p=i
tanhκi. (636)
Visszaállítva a rendszer homogenitását, azaz κi = κ esetén,
〈SiSi+n〉 = tanhn κ = en ln tanhκ. (637)
Mivel tanhκ < 1ezért a logaritmus el®jele mindig negatív!
〈SiSi+n〉 = e−an|ln tanhκ|
a = e−anξ (638)
Ahol bevezettük a korrelációs hosszt mintξ =
a
|ln tanhκ|, (639)
illetve a egy a rendszerre jellemz® hossz mennyiség (pl. a spinek közötti távolság a valós térben). Ha az alacsony h®mérséklet¶viselkedést vizsgáljuk akkor β →∞, κ→∞, tanhκ→ 1, ln tanhκ→ 0 tehát ξ →∞.
59