statisztikai...
TRANSCRIPT
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 1
STATISZTIKAI ALAPOK
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 2
Pulzus példa
Egyetemista fiatalokból álló csoport minden tagjának (92 fő) megmérték a
pulzusát (PULSE1), majd kisorsolták ki fusson és ki nem (RAN). Futás után
újból mérték a pulzust (PULSE2).
A résztvevők néhány jellemzőjét (dohányzás, nem, magasság, testsúly stb.)
a pulzus adatokkal együtt táblázatos formában rögzítették. A táblázatban
egy sor egyazon személy adatait tartalmazza.
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 3
MÉRÉSI SKÁLÁK, VÁLTOZÓK TÍPUSAI
• névleges (nominal, categorical)
• sorrendi (ordered categorical)
Minőségi változók (attributes)
• intervallum (interval)
• arányos (proportional)
Mennyiségi változók (variables)
Minden változótípust a megfelelő statisztikai módszerrel kell elemezni!
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 4
LEÍRÓ STATISZTIKÁK
(számtani) átlag: az értékek számtani közepe
medián: sorba rendezve a „középső” érték
módusz: a leggyakoribb érték
Milyen mutatókkal jellemezhetjük az adatokat?
1. Helyzeti mutatók
N
i
ixN
x
1
1
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 5
terjedelem: a max. és a min. érték közti különbség
kvartilis, interkvartilis terjedelem (IQR) – ld. később
szórásnégyzet és szórás (SD):
2. Szóródási mutatók
RSD%: relatív szórás
átlagtól való átlagos négyzetes eltérés
𝑅𝑆𝐷% =𝑠
ҧ𝑥∗ 100
N
i
i xxN
s
1
22
1
1
LEÍRÓ STATISZTIKÁK
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 6
AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA
Yogi Berra: " You can observe a lot by watching "
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 7
Mérési adatok ábrázolása: Pont ábrázolás (Dotplot)
Sok adatra a dotplot nem elég informatív
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 8
kvartilis
IQR
Mérési adatok ábrázolása: Dobozos ábra (Box-plot)
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 9
Mérési adatok ábrázolása: hisztogram
Gyakorisági hisztogram
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 10
Mérési adatok ábrázolása: hisztogram
Kumulált gyakorisági hisztogram
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 11
rel. g y ak .
30
35
40
45
50
55
60
65
70
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%30
35
40
45
50
55
60
65
70
Max = 63 M in = 37
75% = 54.625% = 44.8
Median = 50.1
Dobozos ábra és hisztogram
szimmetrikus eloszlásból vett mintára
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 12
frequency
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0% 5% 10% 15% 20% 25%
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
M a x = 1 5 M in = 0 .
7 5 % = 7 . 62 5 % = 2 . 0
M e d ia n = 4 . 4
out l i e r
Dobozos ábra és hisztogram
aszimmetrikus eloszlásból vett mintára
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 13
Két változó együttes ábrázolása
1. Hasonlítsuk össze a futás előtti és utáni
pulzus értékeket!
2. Hasonlítsuk össze nemek szerint a
testmagasságokat!
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 14
3. Van-e összefüggés/kapcsolat a testmagasság
és a testsúly értékek között?
Két változó együttes ábrázolása
3/b. Készíthetünk informatívabb ábrát is?
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 15
Milyen típusú kérdéseket tehetünk fel az adatsor láttán?
Milyen érték körül ingadoznak a mért nyugalmi pulzus-értékek
(átlag, medián)?
Mekkora a mért nyugalmi pulzus-értékek ingadozása (szórás)?
Nőtt a vizsgált személyek pulzusa a futás után?
MINTA (92 hallgató)
Csak ez érdekel minket?
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 16
Milyen típusú kérdésekre keresünk majd választ a félév során?
Az egyetemista fiatalok (sokaságának) nyugalmi pulzus-értéke
milyen tartományban található adott (pl. 90%-os) valószínűséggel?
Az egyetemista fiatalok (sokaságának) nyugalmi pulzus-értéke
milyen határérték alatt található adott (pl. 95%-os)
valószínűséggel?
Milyen ingadozásra számíthatunk a pulzus értékekben, ha további
hallgatókat vonunk be a vizsgálatba?
Befolyásolja-e a futás a pulzus értékét? Várhatóan növekszik-e a
pulzus-érték a futás hatására?
Különbözik az egyetemisták testmagasságának várható értéke
nemek szerint?
SOKASÁG (lehetséges értékek)
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 17
• Sokaság és minta
• Véletlen jelenség
• Valószínűségi változó
diszkrét vagy folytonos
• Sűrűség- és eloszlásfüggvény
• Statisztika és paraméter
• Véletlen és rendszeres hiba
ALAPFOGALMAK (Vázlat)
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 18
Sokaság (population) és minta (sample)
• egyetemista fiatalok nyugalmi pulzus-értéke
• a szennyezett vízminta nitrát-koncentrációja
• egy alkatrészről lekerülő csavarok átmérője
• a futószalagon gyártott konzervek töltőtömege
• a lehetséges mérési eredmények
• a lehetséges gyártott darabok sokasága
a sokaság érdekel,
de a minta van a kezünkben!
Példák a sokaságra, mi lehet a minta az egyes esetekben?
Sokaság
(population)
Minta
(sample)Véletlen
mintavétel!
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 19
Az ingadozás, bizonytalanság elkerülhetetlen:
• ha újra megmérjük ugyanannak a személynek a pulzusát, nem lesz
ugyanannyi
→ azaz az ismételt mérési eredmények nem lesznek azonosak
• ha másik napon / másik készüléken / másik személy mér, nem
kapunk ugyanolyan értéket
→ reprodukálhatósági ingadozás
• ha másik mintát veszünk a szennyezett vízből, nem lesz teljesen
azonos
• a gyártott termékpéldányok különböznek
• ha egy tételből többször veszünk mintát, a talált selejtarány változik
→ mintán belüli inhomogenitás
→ A mérési eredmények valószínűségi (véletlen) változók!
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 20
Azok a mennyiségek, amelyeknek az értéke nem állandó,
hanem esetről esetre más és más, azonban meghatározható,
hogy mekkora valószínűséggel esnek megadott határok közé.
Valószínűségi változó fogalma
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 21
Példák:
• pénzérme: fej/írás
• dobókocka dobás
x
p(x
)
0.00
0.08
0.16
0.24
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Diszkrét valószínűségi változó
Kísérlet: dobjuk föl a pénzérmét 10-szer, az eredmény (kimenetel) : k-szor fej
kxPkp
x
F(x
)0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
kx
i
i
xpkxPkF
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 22
a b x
b
a
dxxfbxaP
Sűrűségfüggvény
(density function)
Folytonos valószínűségi változó
Példák:
• testmagasság, pulzus
• vízminta koncentrációja
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 23
xi x
F(x)
F(xi)
ix
ii dxxfxxPxF
Eloszlásfüggvény
(distribution function)
Folytonos valószínűségi változó
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 24
Statisztika (jellemző)
• várható érték (expected value)• számtani átlag (sample mean)
• medián
dxxxfxE )(
N
i
ixN
x
1
1
dxxfxExxVar x22
N
i
i xxN
s
1
22
1
1
- a sokaságot jellemzik
- konstansok
• tapasztalati medián
• szórásnégyzet (mean square) • variancia (variance)
és paraméter
- a mintát jellemzik
- valószínűségi változók
(korrigált)
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 25
Várható értékre és a varianciára vonatkozó azonosságok /1
XcEcxE xVarccxVar 2
Példa
Egy lombikba töltött folyadék térfogatának várható értéke 10,05 cm3,
a térfogat varianciája 4*10-4 (cm3)2.
Mekkora a várható érték és a variancia mm3-ben?
Jelölje x a térfogatot cm3-ben.
05,10*10*1010 333 xExE
46233 104*10*1010 xVarxVar
A várható érték tehát 10050 mm3, a variancia pedig 400 (mm3)2.
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 26
Várható értékre és a varianciára vonatkozó azonosságok / 2
Példa azonos eloszlású független változókra: ismételt mérések
→ Független mérés (ismétlés) fogalma
321321 xExExExxxE
321321 xVarxVarxVarxxxVar
Ha mindegyik xi azonos eloszlású és független:
xnExxxE n ...21 xnVarxxxVar n ...21
csak független val. váltózókra!
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 27
Hiba: a mért érték és a valódi érték különbsége
Véletlen és rendszeres hiba
Véletlen hiba Rendszeres (és véletlen) hiba
mért értékek (x)
valódi érték (μ0)
A mérés
várható értéke [E(x)]
hol található
a két ábrán?
Torzítatlan mérés: Ha a mérés várható értéke megegyezik a valódi értékkel.
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 28
2
2
1exp
2
1
xxf
Két paramétere van: és 2
xx
f(x)
különböző különböző
NORMÁLIS ELOSZLÁS
xE 2xVar
f(x)
Rövid jelölése: 2,N
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 29
1,0~ Nz
A normális eloszlás eloszlásfüggvényét (F(x)) numerikus integrálással
számíthatjuk, azonban ehhez háromdimenziós táblázatra lenne szükség.
Célszerű tehát transzformációt keresnünk.
Normalizált (standardizált) normális eloszlás
xz 0zE 1zVar
2exp
2
1 2zzf
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 30
Normalizált (standardizált) normális eloszlás
xz
0zE 1zVar
2exp
2
1 2zzf
z-táblázat használata
→ Nem szerepel benne egyetlen
paraméter sem
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 31
Mire jó nekünk a z-táblázat?
azaahol
azzPaxP
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 32
1. példa
Tegyük fel, hogy ismerjük az egyetemista fiatalok nyugalmi pulzus-
értékének eloszlását.
Kérdés: A fiatalok 90%-ának pulzusa milyen érték alatt található?
(Vagy egy véletlenszerűen kiválasztott fiatal pulzusa 90%-os
valószínűsége milyen érték alatt lesz?)
2. példa
Határozzuk meg azt a szimmetrikus intervallumot, melyben egy 10 g
tömegű súly (egyszeri) lemérésekor kapott érték 95%-os valószínűséggel
lesz, ha a mérés torzítatlan és varianciája 0,25 g2!
Példák a normális eloszlás alkalmazására
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 33
0,05 0,01
1- 0,95 0,99
1-/2 0,975 0,995
z 1,96 2,58
xalsó xfölsõ
0z
z-z
/2/2
Mi változik a számításban,
ha 99%-os valószínűségi
intervallumot kérdezünk?
12/2/ zxzP
1fa xxxP
1fa zzzP
1fa zxzP
xz
α jelölést bevezetve:
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 34
(Pl. azt kérdezzük, hogy milyen valószínűséggel esik a 10±0,5 intervallumba,
ha =10, =0,5)
3. példa
Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az x normális eloszlású
valószínűségi változó a (-σ , +σ ) intervallumba eső értéket vesz fel!
FFxP
alsóx felsőx
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 35
x
0-1 1
P(x )
P(x)
z
xz
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 36
1
alsóz 1
fölsőz
Intervallum
szélessége
±𝜎 ±2𝜎 ±3𝜎
z
P
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 37
4. példa
Egy próbatest átmérőjére vonatkozó specifikáció: 9,6 cm±0,5 cm.
Sok (száz) darabot megvizsgálva azt találták, hogy az átlagos átmérő 9,5 cm,
a méret-ingadozás szórásnégyzete pedig 0,05cm2.
A próbatestek mekkora hányada nem felel meg a specifikációnak, azaz
mekkora lesz a selejtarány?
5. példa (2. példa módosítva)
A 10 g-os súlyt most ötször mérjük le. Milyen szimmetrikus intervallumban
lesz a mintaelemek átlaga 95%-os valószínűséggel? (A mérés torzítatlan és
varianciája 0,25 g2.)
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 38
n
i
in xn
x...xxn
x11
21
xExEnn
xExExEn
xn
ExE n
n
i
i *1
...1
]1
[ 21
nn
xVarxVarn
nxVar
nx
nVarxVar x
n
i
i
n
i
ix
2
22
2 **111
A számtani középérték (átlag)
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 39
Bármilyen eloszlású sokaságból vett minták számtani
középértéke közelítőleg normális eloszlást követ az eredeti
eloszlás várható értéke körül, varianciájuk pedig 2/n; tehát
N(, 2/n) eloszlású.
Centrális határeloszlási tétel
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 40
x
f(x)
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
8 9 10 11 12
egyedi (x)xalsó xfölsõ
x
f(x)
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
8 9 10 11 12
átlag
átlagalsó átlag
fölsõ
95,055,096,11055,096,110 xP
95,05,096,1105,096,110 xP
12/2/ nzxnzP
xz
n
xz
12/2/ zxzP
Szűkebb intervallum!
2. példa 5. példa
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 41
x
f(x)
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0
átlag
egyedi
xalsó xfölsõ
átlagalsó átlagfö lsõ
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0 5 10 15 20 25
2
f(2
) =4
=7
=10
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 42
n
i
iz1
22
2E
2- (khi-négyzet-) eloszlás
22 Var
Egy paramétere van: ν
ami négyzetösszeg szabadsági foka
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 43
f(2
)
2
2
2- táblázat használata
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 44
A normális eloszlású sokaságból vett minta
tapasztalati szórásnégyzetének eloszlása
n
i
i xxn
s1
22
1
1
22
1
2
n
i
i xx
s2
2 2
(Részletes levezetése a Fisher-Cochran tétel felhasználásával az
előadáson.)
Bizonyítható, hogy:
Ezt felhasználva:
1 neloszlású szab. fokkal
eloszlású 1 n szab. fokkal
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 45
6.a példa (5. példa szövege, de új kérdéssel)
Egy 10 g tömegű súlyt (etalont) ötször mérünk le.
Milyen szimmetrikus intervallumban lesz a minta szórásnégyzete 95%-os
valószínűséggel? (Az adatok normális eloszlásúak, varianciájuk 0,25 g2.)
2
f(2)
2
alsó 2
fölsõ
0.025
0.025
95,0222 fölsőalsó
sssP
4
4844,02975,0
2 alsó
143,112025,0
2 fölső
95,0222 fölsőalsóP
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 46
95,0222 fölsőalsó
sssP
95,04
25,0143,11
4
25,04844,0 2
222
22222
sP
sPPfölsőalsó
fölsőalsó
95,022 fölső
ssP
6.b példa
Határozzuk meg azt az értéket, amelyet s2 95%-os valószínűséggel nem
halad meg!
488,9205,0
2 fölső
egyoldali!
95,0
222
fölső
sP
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 47
7. példa
Egy oldat koncentrációját háromszor megmérve az alábbi adatokat kapták:
8,2; 8,3 és 8,5 mg/cm3.
a) Jellemezzük a mintát!
- statisztikák számítása (átlag, szórásnégyzet)
- valószínűségi/ingadozási tartomány számítása az átlagra és a
szórásnégyzetre (ha ismerjük a várható értéket és a varianciát)
Csak a minta érdekel minket?
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 48
Paraméterbecslés
Konfidencia-intervallum
Becslésnél a sokaság tulajdonságaira (paramétereire)
következtetünk a minta adatai (jellemzői/statisztikái) alapján.
A becslés kivitelezése:
• Pontbecslés (egyetlen értéket ad meg)
• Intervallumbecslés: konfidencia-intervallum, amely bizonyos
valószínűséggel magában foglalja a paraméter igazi értékét
– kétoldali megbízhatósági intervallum
– egyoldali megbízhatósági intervallum
(alsó vagy felső határérték)
STATISZTIKAI ALAPOK 49
1ULP
1LP
1UP
Pl. a várható értékre:
• egy L és U határolta (kétoldali) intervallum:
• A 100(1-α)%-os alsó L határ:
• A 100(1-α)%-os fölső U határ:
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 50
b) Adjunk becslést a minta mögött álló sokaság varianciájára!
- pontbecslés
- intervallumbecslés (pl. 90%-os valószínűséggel)
1222fölsőalsó
P
22ˆ s
12
22
2
2
felsőalsó
ssP
7. példa folytatása
12
2
22
felsőalsó
sP
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 51
c) Adjunk becslést a sokaság várható értékére!
- pontbecslés
- intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen ismert
x
1felsőalsóP
Akkor számolhatunk z-eloszlással,
ha a varianciára van előzetes becslésünk!
És ha nincs? → t-eloszlással számolunk
7. példa folytatása
12/2/
nzx
nzxP
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 52
Sokszor elvégezve a mintavételt a
számított konfidencia-intervallumok
adott %-ra lesz igaz, hogy tartalmazzák
a valódi paraméterértéket.
Tehát a konfidencia-intervallum határai
lesznek valószínűségi változók.
Konfidencia-intervallum szemlélete
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 53
t
f(t)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 0 1 2 3
s
Ezt
2
E t 0
ns
xt=
pl.
t-eloszlás (Student-eloszlás)
Egy paramétere van: ν
ami a nevezőben szereplő
szórás szabadsági foka (n-1)
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 54
t-táblázat használata
/2 /2
-t/2 t
/20
f(t)fejlécben:
α a kétoldali kritikus értékhez
láblécben:
α az egyoldali kritikus értékhez
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 55
c) Adjunk becslést a sokaság várható értékére!
- pontbecslés ✓
- intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen ismert ✓
- intervallumbecslés, ha a variancia előzetesen nem ismert
7. példa folytatása
122 tttP
122 nstxnstxP
1felsőalsóP
ns
xt=
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 56
8. (gyakorló) példa
10 ismételt mérés eredménye a következő:
24,46; 23,93; 25,79; 25,17; 23,82; 25,39; 26,54; 23,85; 24,19; 25,50.
- Adjunk 95%-os konfidencia-intervallumot a várható értékre!
- Adjuk meg a várható érték alsó 95%-os konfidencia-intervallumát!
Konfidencia-intervallum_1
Variable
Mean Std.Dv. N Confidence
-95,000%
Confidence
+95,000%
x 24,8640 0,94571 10 24,1875 25,5405
Konfidencia-intervallum_2
Variable
Mean Std.Dv. N Confidence
-95,0%
x 24,8640 0,94571 10 24,3158
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 57
9. (gyakorló) példa
Egy nyolc elemű mintából számolt szórásnégyzet értéke 0,023.
- Adjunk 90%-os konfidencia-intervallumot a varianciára!
- Milyen határérték felett van a sokaság varianciája 90%-os valószínűséggel!
90,0222 fölsőalsó
P
90,00743,00114,0 2 P
167,2)7(2
95,0
)7(2 alsó
067,14)7(2
05,0
)7(2 felső
90,022 alsó
P
90,02
22
2
2
felsőalsó
ssP
90,0
2
22
felső
sP
017,12)7(2
1,0
)7(2 felső
90,00134,0 2 P
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 58
Legyen és két, egymástól független, 2-eloszlású valószínűségi változó
1, ill. 2 szabadsági fokkal.
Az alábbi kifejezés F-eloszlású, ahol a számláló szabadsági fokainak száma
1 , a nevezőé 2 :
1
2 2
2
22
22
21
21
/
/
s
sF
, akkor 1
2
2
2ha22
21
s
sF
F-eloszlás
F
1
2
1
2
2
2
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 59
F-táblázat használata
f(F)
F F
121
21,
1,
F
F
21,
1205,0
2195,0,
1,
FF pl.
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 60
Minthogy azonos módszerről van szó, a variancia változatlan:2
2
2
1
9. példa
2 analitikus azonos analitikai módszerrel egy-egy méréssorozatot végez,
amelyek 4 ill. 7 mérésből állnak. Milyen intervallumban lesz 90 %
valószínűséggel a két minta szórásnégyzetének aránya?
0,90=22
21
fölsőalsó F
s
sFP
76,46,305,0 FF felső
112,094,8
1
3,6
16,3
05,095,0
FFFalsó
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 61
Paraméterbecslés (folytatás)
a
b
c
f
paraméterbecslés
A becslés valószínűségi változó!
- a jobb becslés mint b,
mert kisebb a várható
érték körüli ingadozása
- c becslésnél a várható
érték nem a paraméter
- a és b becslés torzítatlan
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 62
Torzítatlan becslés: nE ˆ
torzítás: nE ˆ
korrekció: nE ˆ
Aszimptotikusan torzítatlan becslés:
nn
E ˆlim
A becslések tulajdonságai
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 63
Torzítatlan becslés nE ˆ
Példák:
4xE
n
x
x i
i
i
i
i
i
i xExEnn
xEn
xE11
4ˆ x
- A számtani átlag torzítatlan becslése a várható értéknek
- Az n-edik mért érték torzítatlan becslése a várható értéknek
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 64
A becslés hatásosságának mértéke a varianciája.
Minél kisebb a variancia, annál hatásosabb (efficiensebb) a becslés.
x n
xVar2
4ˆ x 2
4 xVar
hatásosabb
kevésbé hatásos
A becslés hatásossága:
Példák:
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 65
Konzisztens becslés: 0ˆlim
nn
P
A minta elemszámának növelésével a becslés a paraméter igazi
értékéhez tart, pontosabban n növelésével egyre csökken annak
valószínűsége, hogy -tól jelentősen eltérjen.
nn
x
4ˆ x
konzisztens
nem konzisztens
Példák:
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 66
Közepes négyzetes hiba (Mean square error)
22ˆˆˆˆ EEEEMSE
22
ˆˆˆ EEE
2ˆ biasVar
A becslések általánosabb minősítése
bias = torzítás
Statisztikai alapok_Eloszlások_Becslések 67
• legkisebb négyzetek módszere:
a mért adatok és a becslés közötti eltérések négyzetösszegét
minimalizálja,
pl.
• maximum-likelihood módszer:
azt a sűrűségfüggvényt, illetve paramétereit fogadjuk el becslésként,
amelyből a legnagyobb valószínűséggel kapnánk a ténylegesen
kapott mérési adatokat.
xii
n
min2
1
Becslési módszerek