statistika 11.1

8/19/2019 Statistika 11.1

1/34

Penarik ankesimpu

lan

Populasi

SampelAcak

Sampel

yangrepresentat

if

Statistik

Parameter

menaksi

r

, s, Px

µ , σ, π

STATISTIKA INFERENSI


2/34

KSIRAN PARA

Penaksiran parameter digolongkanmenjadi dua bagian, yakni, penaksiran titik

dan penaksiran selang. Sedangkan caramelakukan penaksiran terdiri atas beberapamacam, yakni, dengan menggunakanmetode momen, metode kuadrat terkecil,

metode maksimum Likelihood ataupun sifatpenaksir tak bias linear yang terbaik (BestLinear Unbiased stimation or stimator,BLU!.

Secara umum, parameter populasidinotasikan dengan θ (dibaca" theta!,dimana θ dapat berupa rata#rata µ,

simpangan baku σ, proporsi π, koe$sien

&̂ &̂


3/34

Suatu penaksiran akan menghasilkan

bermacam#macam taksiran. 'iantara penaksir#

penaksir itu harus dipilih yang terbaik yang

dapat digunakan untuk menghampiri parameter

populasi. Untuk itu, harus diketahui ciri#ciri

penaksir yang baik dan yang tidak baik.Untuk mendapatkan penaksir yang baik,

maka kriteria berikut harus dipenuhi"

• ak bias

Penaksir dikatakan penaksir yang tak bias

jika rata#rata semua harga yang mungkin

akan sama dengan θ, atau dapat dinyatakan

sebagai

&!&( =ˆ&̂

&ˆ


4/34

!&(& ˆ

=

!&P(̂

&̂

Penaksir tak bias

!&(ˆ

!&P(̂

&̂

Penaksir bias

bias


5/34

Contoh:

Buktikan bah)a nilai rata#rata merupakan

suatu penaksir tak bias dari nilai rata#ratapopulasi µ*Bukti:

'engan demikian, statistik merupakan

penaksir tak bias parameter populasi µ

( ) ( )

(terbukti!+!x(

+xkarena +!(nn

-x

n

-

xn

-x

n

-!x(

i

n

i

n

i

n

i

-i

-i-i

=

=⋅⋅=⋅=

⋅=

=

∑

∑∑

=

==

x

x


6/34

riteria penaksir yang baik berikutnya adalah"

•/empunyai 0arians minimum

Penaksir ber0arians minimum ialah penaksirdengan 0arians terkecil di antara semua penaksirparameter yang sama, biasa juga disebutpenaksir yang e$sien.

&̂ -&ˆ

$sien

1&ˆ

&̂

!&P( -ˆ

!&P( 1ˆ

idak e$sien


7/34

Perhatikan gambar berikut,

Pada gambar tersebut, terdapat 1 penaksir tak bias

dan - penaksir bias. /enurut ketentuan, penaksiryang baik adalah penaksir yang e$sien dengan 0ariansyang minimum. Penaksir kurang memenuhi kriteriakarena biasnya sangat besar meskipun 0ariansnyapaling kecil, sebab 0arians kecil belumlah cukup

sebagai ciri penaksir yang diinginkan. Penaksirmerupakan suatu penaksir yang tidak bias, akan tetapipenaksir ini pun kurang cocok karena 0ariansnya cukupbesar. Pilihan berikutnya adalah penaksir θ .

Penaksir ini lebih e$sien karena mempunyai kombinasiterbaik, yakni, 0arians dan biasnya relaif kecil.

2&̂

1&̂

-&̂

Bias dalam -&̂

!&P( -ˆ

!&P( 1ˆ

!&P( 2ˆ

&̂Bias dalam 1&̂


8/34

'ari kesimpulan tersebut, diperoleh suatu

kriteria yang menyandingkan dua 0ariabel,yakni, 0arians dan bias. 'engan memilih0arians yang minimum atau mendekati nol,akan diperoleh penaksir yang sangat e$sien

tetapi tentu saja tidak berarti tidakmempunyai bias. etap saja ada kesalahan#kesalahan yang tidak bisa dihilangkan)alaupun seluruh populasi diamati.

Besarnya kesalahan dapat diukurberdasarkan /ean S3uared rror (esalahanuadrat 4ata#4ata! sebagai berikut"

1

111

bias!&0ar(/S

&5!&6(!5&(&6&!&(/S

+=

−+−=−=ˆ

ˆˆˆˆ


9/34

riteria penaksir yang baik berikutnya adalah"

• Penaksir ak Bias Linear erbaik (BLU!

Penaksir bersifat BLU apabila penaksir θ merupakan fungsi linear, penaksir tak bias danmempunyai 0arians yang paling kecil.

Syarat linearitas berarti bah)a penarikan

sampel 7-, 71, …, 7n penaksir harus berbentuklinear atau a-7- 8 a171 8 … 8 an7n dengan a-,a1,…, an suatu konstanta. Sebagai contoh, nilai rata#rata hitung 7 merupakan penaksir linear karena

Selain itu juga, sebagai penaksir yang e$sien bagi

µ.

&ˆ

&ˆ

7

∑=

=n

i-i

7n

-7


10/34

riteria penaksir yang baik berikutnya

adalah"•onsisten

/isalkan penaksir untuk θ yang dihitungberdasarkan sampel acak berukuran n.

%ika ukuran sampel n makin besar

mendekati ukuran populasi menyebabkan

mendekati θ, maka disebut penaksir

konsisten.

&̂

&̂

&̂


11/34&ˆ

9n=-:n=

9:n=

1::n=!&P(̂

&̂

: bias

Perhatikan gambar di ba)ah ini, bila ukuransampel n semakin besar, penaksir akanmendekati titik tertentu (target θ!. 'engandemikian, penaksir θ adalah penaksir konsistenbagi parameter populasi.

&̂

&

ˆ


12/34

Selanjutnya, jika parameter θ harganyaditaksir oleh sebuah θ tertentu, makadinamakan penaksir, tepatnya penaksir titik.

;ilai statistik merupakan salah satu

penaksir titik bagi rata#rata populasi µ.'istribusi peluang untuk rata#rata taksiran

akan terkonsentrasi di sekitar µ dengan0arians paling kecil dibanding penaksir#

penaksir lainnya.


13/34

ernyata penaksir titik merupakan sebuah

nilai penaksir yang tidak terlalu meyakinkan.

eraguan ini terletak pada kenyataan bah)a

dalam distribusi sampling, yang diperoleh

adalah , bukanlah nilai x itu sendiri.

?al ini disebabkan adanya kesalahan#kesalahan(0arians! yang tidak bisa dihindari dalam setiap

pengamatan.

Selanjutnya, dengan mengambil sampel

yang besar (n ≥ 2:!, diharapkan penaksiryang dihasilkan akan mendekati parameter

populasi karena makin besar ukuran sampel

yang diambil maka makin kecil 0ariansnya.

x

x

++x =


14/34


15/34

Pada prakteknya, harus dicari inter0al

taksiran yang sempit dengan derajat

kepercayaan yang memuaskan. 'erajat

kepercayaan menaksir disebut koe$sien

kepercayaan, merupakan pernyataan dalam

bentuk peluang.

%ika koe$sien kepercayaan dinotasikan

dengan γ (dibaca" gamma!, maka : A γ A -.

?arga γ yang digunakan bergantung padapersoalan yang dihadapi dan berapa besar si

peneliti ingin yakin dalam membuat

pernyataannya. oe$sien kepercayaan yang


16/34

Untuk menentukan inter0al taksiran

parameter θ dengan koe$sien kepercayaan

γ , maka sebuah sampel acak diambil, laludihitung nilai#nilai statistik yang diperlukan.

Perumusan dalam bentuk peluang untuk

parameter θ antara < dan B adalah"P(< A θ A B! γ (-!

dimana < dan B fungsi#fungsi statistik dan

tidak bergantung pada θ.Persamaan (-! diartikan sebagai -::γ Dpercaya bah)a parameter θ akan ada pada

selang (


17/34

Biasanya, untuk menaksir batas#batas selang

dengan derajat kepercayaan yang diambil dari normal

baku E, akan dihitung P(#FGα A E A FGα! - H α γ

I-−

:1

E# α 1

Eα


18/34

Menaksir Nilai Rata-Rata

Statistik merupakan penaksir yang baik

bagi parameter populasi µ dengan ragamyang relatif kecil dibanding penaksir#penaksir yang lain.

/isal dipunyai populasi berdistribusi

normal berukuran ; dengan rata#rata µ dansimpangan baku σ diketahui. 'aripopulasi tersebut, akan ditaksir harga rata#rataµ. Untuk keperluan itu, diambil sampel

acak berukuran n lalu dihitung statistik .'engan demikian, selang kepercayaanγ⋅-::D (- H α!⋅-::D populasi µ

dinyatakan dalam peluang berikut,

I-EJ+x

EP1-

1-

n

−==


19/34

(1.-!

Catatan"

%ika σ1 tidak diketahui, tetapi sampelberukuran besar (n K 2:!, σ1 dapat diganti

dengan s1.sehingga persamaan (1.-! menjadi"

(1.1!

Untuk populasi terbatas dan pengambilansampel tanpa pengembalian, sebaiknyadigunakan faktor koreksi, sehingga"

I-JEx+JExP nn 1

-1- −==

⋅+


20/34

an!utan" #MenaksirRata-Rata $

Pada penaksiran parameter populasi µ oleh

statistik sampel , umumnya %arianspopulasi tidak diketahui.


21/34


%ika ukuran sampel n relatif besar

dibandingkan dengan ukuran populasi,yakni, (n;! M 9D, atau sampel diambil padapopulasi yang terbatas atau pengambilansampel dengan tanpa pengembalian, maka

persamaan (2! menjadi"

(N!

γ=

−−⋅+


22/34


iii.Simpangan baku σ tidak diketahui dan

populasinya tidak berdistribusi normal'alam hal ini, jika ukuran sampel n tidakterlalu kecil dibandingan dengan ukuranpopulasinya ;, yakni (n;! ≤ 9D maka

teorema limit pusat dapat digunakan.Selanjutnya, persamaan (2! atau persamaan(N! dapat digunakan dengan kekeliruan yangsangat kecil.

%ika distribusi populasi sangat menyimpangdari distribusi normal dan ukuran sampelsangat kecil, maka harus mengikuti bentukdistribusi dari populasi tersebut.


23/34

Menaksir Nilai Proporsi

'iketahui bah)a adalah proporsi

untuk peristi)a < yang ada di dalam

populasi. Bilai p merupakan penaksir bagi

parameter π, maka penghampiran distribusiproporsi akan mengambilan nilai rata#rata

µp π dan simpangan baku .

'engan demikian, peluang proporsipopulasi dapat dinyatakan sebagai"

(1!

γ γ γ

=−=

<

−


24/34

(9!

Persamaan (9! agak membingungkan,

karena distribusi proporsi π telah digunakanuntuk menaksir parameter =dirinya sendiri

yang belum diketahui.

'engan menggunakan teorema limit pusat,

untuk ukuran populasi yang sangat besar

dimana (n;! ≤ 9D, nilai π dalam tanda akar

dapat disubstitusikan oleh nilai .

γ γ γ

=−=

+


25/34

@leh karena itu, persamaan (9! diganti

menjadi"

(Q!

I-FpOFpPnp!p(-

Inp!p(-

I1-

1- −=

+


26/34

&ontoh '(

-. Sebuah sampel acak QR murid diambil dari

populasi murid S/P yang hendak diukur beratbadannya. ?asil pengukuran menunjukkanberat badan rata#rata N9kg dengan simpanganbaku 9kg. Buatlah selang kepercayaan C:D

dan CCD bagi rata#rata seluruh murid S/P(bagaimana kesimpulan


27/34

Selanjutnya, jika dikehendaki inter0al taksiranrata#rata dengan koe$sien kepercayaan C:D,

maka diperoleh"

%adi, untuk selang kepercayaan C:D, diperoleh"

[ ] :,C:NQ+NNP

:,C:QR

9-,QN9N9+QR

9-,QN9N9P

C:DQR

9(:,C:!FN9+QR

9(:,C:!FN9P

I-n

sFx+n

sFxP

1-1-

1-

1-

=


28/34

Selanjutnya, jika dikehendaki inter0al taksiranrata#rata dengan koe$sien kepercayaan CCD,maka diperoleh"

%adi, untuk selang kepercayaan CCD, diperoleh"

'ari kedua hasil tersebut, nampak bah)a untukmenaksir µ dengan tingkat ketelitian yangtinggi, dibutuhkan selang kepercayaan yang

lebih panjang.

[ ] :,CCNQ,Q+N2,NP

:,CCQR91,99N9+

QR91,99N9P

CCDQR

9(:,CC!FN9+QR

9(:,CC!FN9P

I-n

sFx+n

sFxP

1-

1-

1-

1-

=


29/34

1. elah dilakukan penelitian kadar nikotinrokok $lter yang beredar di pasaran.

Selanjutnya dilakukan uji terhadap 9bungkus rokok dengan kadar nikotinmasing#masing -,9 1,- -, 1,1 dan1,9mg. entukan selang kepercayaanC9D rata#rata kadar nikotin sebenarnya*

Jawab"mg1

9

1,91,1-,1,--,9x =

++++=

mg:,N

-n

xnx

s

11n

-ii

=

−

⋅−=∑=


30/34

Selanjutnya, jika dikehendaki inter0altaksiran rata#rata dengan koe$sien

kepercayaan C9D (α :,:9! dengan n 9,maka diperoleh"

%adi, untuk selang kepercayaan sebenarnyakadar nikotin adalah"

[ ]

[ ][ ] :,C91,9+-,9P

:,C91,R1+1,R1P

C9t1+t1P

I-tx+txP

9

:,N

9

:,N

9

:,N

(:,:9!-9

:,N

(:,:9!-

n

sp

n

sp

1-1-

=


31/34

2. Seorang ahli giFi tertarik pada proporsi

penduduk yang menderita penyakit gondok.

'ari sampel acak 1:: orang yang diperiksaternyata diperoleh 2: orang yang

menderita gondok. entukan selang

kepercayaan CD bagi proporsi

sesungguhnya orang yang menderita

penyakit gondok*

Jawab"

;ilai taksiran titik bagi proporsi π adalah

dengan simpangan baku

:,-91::

2:p ==

:,:1

1::

:,-9!(-:,-9Jp =

−⋅=


32/34

Selanjutnya, jika dikehendaki inter0al taksiranproporsi dengan koe$sien kepercayaan CD (α

:,:2!, maka diperoleh"

%adi, untuk selang kepercayaan sebenarnyakadar nikotin adalah"

:,:11,-1O ⋅±=

[ ]

[ ] :,C:,1:9O:,:C9P

:,C:,:191,-:,-9O:,:191,-:,-9P

C:,:19F:,-9O:,:19F:,-9P

I-FpOFpP

(:,C!(:,C!

np!p(-

Tnp!p(-

T

1-

1-

1-

1-

=


33/34

N. ?asil suatu penelitian menyimpulkan bah)a

-ND mahasis)i di kota < gemar merokok.

Beberapa minggu kemudian ada tim lainmelakukan studi yang sama yang

menyimpulkan hanya -9 dari -9: mahasis)i

yang gemar merokok. 'engan tingkat

kepercayaan C1D, apakah publikasipenelitian pertama dapat dipercaya>

Jawab"

Pada penelitian pertama, p- :,-NPada penelitian kedua, p1 -9-9: :,-: (n

-9:!, maka:,:1

-9:

:,-:!(-:,-:J1 =

−⋅=


34/34

selanjutnya, untuk γ C1D ⇒ F G(:,C1! -,9-

'engan demikian, selang taksiran untuk

proporsi pada penelitian kedua adalah

dengan kata lain,

Proporsi penelitian kedua antara :,:9 A π1 A:,-N1, sedangkan hasil penelitian sebelumnya

sebesar -ND. ;ilai penaksir titik untuk proporsi

pada penelitian kedua tercakup dalam selang

kepercayaan proporsi pada penelitian kedua.

%adi, penelitian pertama dapat dipercaya.

:,:N:,-::,:1N-,9-:,-:O1 ±=⋅±=

:,-NO:,:9 1

statistika 11.1

Documents