statistic a economica unitatea ii
TRANSCRIPT
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 1/32
2. INDICATORII TENDINEI CENTRALE (MĂRIMILE
MEDII)
2.1. Indicatorii tendinei centrale (mărimile medii) 41
2.2. Mediana 48
2.3. Modul (Dominanta) 49
2.4. Analiza statistică a variaiei faă de tendina centrală 51
Obiectivele specifice unităii de învăare
Rezumat 67
Teste de autoevaluare 67
Bibliografie minimală 69
Obiective specifice:La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:
•
să explicai corect noile concepte;• să explicai noiunile de tendină centrală, medie, mediană şi
mod;• să explicai noiunile de variaie şi asimetrie;
• să determinai media aritmetica, geometrica, armonica şi
geometrica simple şi ponderate;• să determinai mediana în cazul seriilor simple şi în cazul
distribuiilor de frecvenă;• să determinai modul în cazul seriilor simple şi în cazul
distribuiilor de frecvenă;• să determinai indicatorii simpli şi sintetici ai variaiei.
Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 2/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 41
1.1. Indicatorii tendintei centrale (marimile medii)
1.1.1. Noiuni introductive
Indicatorii cei mai utilizai pentru caracterizarea tendinei centrale a uneivariabile statistice sunt: media aritmetică, mediana şi modul (dominanta).„Mediile sunt mărimi statistice care exprimă, în mod sintetic şi generalizat,ceea ce este normal, esenial, tipic pentru unităile unei colectivităi distribuitedupă o anumită caracteristică”1. Dacă media este reprezentativă pentru seriarespectivă, adică colectivitatea cercetată este omogenă, atunci prin înlocuireafiecărui termen al seriei cu valoarea mediei, suma termenilor va fi aceeaşi.
Media este o valoare reprezentativă pentru o serie de date; întotdeauna ea se vaafla în interiorul intervalului valorilor respective ordonate crescător saudescrescător (între min x şi max x ), motiv pentru care mai este denumită şi
indicator de poziie. Se pot defini diverse tipuri de medii, dar cele mai utilizatesunt: media aritmetică, media geometrică, media armonică, mediana şi modul.
Clasificare
La rândul lor, fiecare medie poate fi calculată sub formă de:
a) medie simplă, în cazul seriilor simple (în care variantele caracteristicii este înregistrată doar la nivelul unei unităi statistice);b) medie ponderată, în cazul seriilor de frecvene (în care variantelecaracteristicii sunt regăsite la nivelul mai multor unităi statistice, cu frecvenediferite).
1.1.2. Media aritmetică
Definiie
Media aritmetică este o medie fundamentală de calcul, simbolizată prin „ x ”pentru o distribuie empirică şi prin „ µ ” pentru o variabilă aleatoare. Media „
µ ” a unei variabile aleatoare discrete x, cu funcia de probabilitate P(X=x) se
calculează potrivit relaiei ( ) x P X x µ = ⋅ =∑ , în timp ce pentru o variabilă
aleatoare continuă „ X”, cu funcia de densitate f(x) se determină astfel:
( ) x f x dx µ = ⋅∫ . Media x a unei distribuii empirice „reprezintă valoarea pe
care ar purta-o fiecare unitate statistică dacă distribuia ar fi omogenă”2.Clasificare
Media aritmetică simplă se calculează cu ajutorul relaiei:
1
1 n
ii
x xn =
= ∑
Media aritmetică ponderată se calculează pe baza relaiei:
1 Jaba, E. – Op. cit., p. 103.2 Jaba, E. – Op. cit., p. 106
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 3/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 42
1
1
1 m
i imi
ii
x x nn =
=
= ∑∑
sau1
m
i ii
x x f =
= ∑ , unde1
1m
ii
f =
=∑
Exemplul 1: Să se determine media aritmetică a numerelor: 5, 6, 8, 11, 15.5 6 8 11 15
59 x
+ + + += =
Exemplul 2: Să se determine media aritmetică ponderată pentruurmătoarea distribuie de frecvene:
Determinarea mediei aritmetice ponderate
Profitul net annual
(mii lei)
Frecvena i f i x i i x f
0 – 2 40 1 402 – 4 50 3 1504 - 6 90 5 4506 – 8 15 7 1058 – 10 5 9 45TOTAL 200 - 790
200
7903,95i i
i
x f x
f
∑= = =
∑
mii lei
Deci, PN anual mediu al celor 200 firme este de 3,95 mii lei.Proprietăile mediei aritmetice
1. Pentru verificarea exactităii calculelor:
a) media aritmetică este cuprinsă între varianta minimă şi maximă acaracteristicii;
min max x x x≤ ≤
b) suma abaterilor valorilor individuale ale variabilei aleatoare faă de media
lor este egală cu zero, căci media aritmetică anihilează toate abaterile în plussau în minus de la nivelul său:
1( ) 0
n
ii
x x=
− =∑ pentru media aritmetică simplă;
1( ) 0
n
i ii
x x f =
− ⋅ =∑ pentru media aritmetică ponderată.
2. Pentru simplificarea calculului
a) media calculată din variantele caracteristicii micşorate cu o constantă „a”
este mai mică decât media variantelor caracteristicii cu acea constantă „a”.
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 4/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 43
1 1 1
1 1 1
( )( )
n n n
i i i i ii i i
i n n n
i i ii i i
x a f x f a f x a x a
f f f
= = =
= = =
=
−∑ ∑ ∑− = − = −
∑ ∑ ∑
b) media calculată din variantele caracteristicii micşorate prin împărire la oconstantă „k ” este mai mică decât media reală de „k ” ori.
( )1 1
1 1
1( )
( )
n ni
i i ii i i
n n
i ii i
x f x f x xk k
k k f f
= =
= =
⋅ ⋅∑ ∑= = =
∑ ∑
Combinând relaiile obinute la proprietăile 2 (a) şi (b) rezultă o formulă decalcul simplificată a mediei aritmetice.
1
1
n
i ii
n
ii
x a f k x k a f
=
=
−∑= ⋅ +
∑
c) dacă se micşorează frecvenele f 1 , f 2 , …, f n prin împărire la o constantă „c”aleasă arbitrar, media nu se schimbă
1 1 1
111
1
1
n n ni
i i i i ii i i
nnni
iiiii
f x x f x f
c c x f f f
cc
= = =
===
⋅∑ ∑ ∑= = =
∑∑∑
Combinând proprietăile 2 (a), (b) şi (c) se obine:
1
i i
n
i
x a f k c x k a f ic=
−⋅∑
= ⋅ +
∑
unde: k - mărimea intervalului de grupare;
a – centrul intervalului cu frecvena cea mai mare.
1.1.3. Media armonică
DefiniieSe foloseşte atunci când nu se cunosc frecvenele f 1 , f 2 , …, f n şi nici volumulgeneral al acestora.Clasificare
• Media armonică simplă - se foloseşte pentru seriile simple
11 2
1 1 1 1n
in i x x x x=
+ + + = ∑L .
Înlocuim xi = h x şi obinem:
1 1
1
1 1 1 11
n n
h N i ii ih h h
i i
n n x x x x x x
x= =
=
+ + = ⇒ = ⇒ =∑ ∑∑
L.
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 5/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 44
Exemplul3:
Media armonică a numărului de studeni în cazul grupelor anului Isecia Finane – Bănci este:grupa 1: 25 studeni;grupa 2: 30 studeni;
grupa 3: 20 studeni.
Media armonică va fi:
30
3 324,32
1 1 1 1125 20 100
h x = = =
+ +
studeni.
• Media armonică ponderată - se determină pornind de la mediaaritmetică inând cont de faptul că nu se cunosc frecvenele „fi”, dar se cunoscprodusele „xif i”. „Media armonică este o mărime definită ca inversă a medieiaritmetice calculată din inversele valorilor caracteristicii”3. Media armonică sefoloseşte îndeosebi pentru determinarea indicelui mediu armonic al preurilor.
Exemplul4:
Să se determine media armonică ponderată pentrudistribuia din tabelul următor
Media armonică
Grupe de firme
după PN anual
(mii lei)
xi xi f i 1/ xi 1
i i
i
x f x
⋅
0 – 2 1 40 1 40
2 – 4 3 15 1/3 504 – 6 5 450 1/5 906 – 8 7 105 1/7 158 – 10 9 45 1/9 5TOTAL - 790 200
1
1
7903,95
1 200
n
i ii
h n
i ii i
x f x
x f x
=
=
∑= = =
∑ mii lei.
2.1.4. Media pătratică
Definiie Se foloseşte când nivelul variabilei prezintă creşteri din ce în ce mai mari,modificându-se aproximativ după o funcie exponenială. „Media pătratică ridicată la pătrat este media aritmetică a pătratelor valorilor xi”
4.Clasificare
3 Jaba, E. – Op. cit., p. 1154 Ibidem, p. 116
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 6/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 45
• Media pătratică simplă
2 2 2 21 1 1
1
n
ii
x x x x=
+ + + = ∑L Înlocuim pi x x= şi obinem:
2
2 2 2 22 2 11
1 1
n
in ni
p p p p pii i
x x x x x nx x xn
=
= =
∑+ + + = ⇒ = ⇒ =∑ ∑L .
Exemplul 5: Să se determine media pătratică simplă pentru caracteristica„cifră de afaceri” în cazul a trei firme cercetate, şi anume:
CAx= 8 mii lei/lună;
CAy= 12 mii lei/lună;
CAz= 20 mii lei/lună.
2 2 28 12 2014,24
3 p x
+ += ≅ mii lei /lună
• Media pătratică ponderată
2 2 2 21 1 2 2
1
Înlocuim
n
n n i ii
i p
x f x f x f x f
x x
=
+ + + = ∑ ⇒
=
L 2 2 2
1 2 p p p n x f x f x f + + + =L2
1
n
i ii
x f =
∑
( )
2
2 22 2 11 2
1 1 1
1
n
i in n ni
p p pn i i i i i ni i i
ii
x f x f f f x f x f x f x f
=
= = =
=
∑⇒ + + + = ⇒ = ⇒ =∑ ∑ ∑∑
L
Exemplul 6: Să se determine media pătratică ponderată pentruurmătoarea distribuie de frecvene:
Media pătratică
Grupe de firme după CAlunară – mii lei -
Frecvena f i xi x 2i x 2
i f i
0 – 2 20 1 1 202 – 4 80 3 9 7204 – 6 160 5 25 4.0006 – 8 30 7 49 1.4708 – 10 10 9 81 810TOTAL 300 - - 7.020
4,847.020
300 p x ≅= mii lei.
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 7/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 46
2.1.5. Media geometrică
Definiie Acest tip de medie se utilizează pentru calculul indicelui mediu, căcifenomenele socio-economice în evoluia lor se caracterizează în general printr-
o încetinire de ritm, chiar dacă volumul absolut al creşterii este din ce în ce maimare. Media geometrică se calculează numai pentru numere pozitive. „Mediageometrică a „n” date pozitive se defineşte ca rădăcina de ordin „n” dinprodusul acestora”5.Clasificare
• Media geometrică simplă
∏=
=⋅⋅n
iin x x x x
121 K Înlocuim:
( )1 1 1" "
n n nn
ni g g g g i g i g ii i i
n ori
x x x x x x x x x x= = =
= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ =∏ ∏ ∏K
14243 . (1)
Logaritmăm expresia (1) şi obinem:
1
11 1
1 ln1 1ln ln ln ln
n
i
in n n
ni ig g
ii i
xn x x x x x ein n=
== =
∑= = = ⇒ =∑∏ ∏ .
• Media geometrică ponderată
1 2
1 21 21
1Înlocuim
n i
ni
n f f f f
n f f f n i f i g g g i
igi x
x x x x x x x x
x
=
=
⋅ ⋅ = ∏⇒ ⋅ ⋅ = ⇒∏
=
K
K
( ) 1
1 1
n
ii iii
n n f f f
g gi ii i
x x f
x x=
= =
∑∑⇒ = ⇒ =∏ ∏ (2)
Logaritmăm expresia (2) şi obinem:
( ) ( ) ( )1
1 1
1 1 1
1 1 1ln ln ln ln ln
n
ii i ii
n n f f f f
g i i i in n n ii i
i i i
i i i
x f
x x x f x f f
=
= =
= = =
∑⇒ = = = = ⇒∑ ∑∏ ∏
∑ ∑ ∑
( )
1
ln1
i in
i
i
f x
f
g x e =
∑∑
⇒ =
2.1.6. Relaia dintre media aritmetică, media geometrică, media armonică şi media
pătratică
Definiie Media geometrică a unei serii de numere pozitive x1, x2, …,xn este mai mică sau cel mult egală cu media lor aritmetică, dar este mai mare sau cel puin
5 Ibidem, p. 114
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 8/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 47
egală cu media lor armonică, în timp ce media aritmetică este mai mică decâtmedia pătratică h g a p x x x x≤ ≤ < .
Exemplul 7: Fie numerele: 1, 3 şi 9.
3
2 2 21 3 92,08; 5,51
31 3 9
1 3 9 4,33; 1 3 9 3;3
31 1 1
a g
h p
x x
x x+ +
≅ ≅
+ += = = ⋅ ⋅ =
= =
+ +
Deci h g a p x x x x< < < . Adică 2,08 < 3 < 4,33 < 5,51.
2.2 Mediana
2.2.1. Consideratii generale
Definiie Mediana este acea valoare a caracteristicii care ocupă locul central în cadrulvariantelor seriei ordonate crescător sau descrescător, deci mediana împarteseria în două pări egale.
În cazul seriilor simple, pot apare două situaii:1. dacă seria are un număr impar de termeni, mediana este acea
variantă a caracteristicii cu rangul2
1+n, după ce în prealabil seria a fost
ordonată.Exemplul8:
Fie seria formată din cifra de afaceri a 5 firme(exprimată în mii lei): 4; 7,25; 2; 2,75; 4,25.Ordonare: 2; 2,75; 4; 4,25; 7,25.Locul Medianei este dat de rangul
1 5 13
2 2
n + += = ⇒ Termenul al III-lea este mediana
⇒ T3 = Me = 4 mii lei.
2. dacă seria are un număr par de termeni, mediana este dată de semisuma
termenilor centrali, după ce în prealabil seria a fost ordonată.
Exemplul 9: Fie seria din exemplul anterior la care se adaugă alte 3 firme (CA exprimată în mii lei): 8; 10; 2,50.Ordonare: 2; 2,50; 2,75; 4; 4,25; 7,25; 8; 10.
Me =4 4,25
8,1252
+= 4 mii lei.
2.2.2. Relaii de calcul
În cazul seriilor de distribuie, mediana se determină cu una din următoarelerelaii de calcul:
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 9/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 48
♦ 12e
e
icm
e M M
f f
M x k f
−−
= + ⋅
∑, dacă i f ∑ = nr. par sau
♦ 112 , când = nr. impare
e
i cm
e M i M
f f
M x k f f
−
+−
= + ⋅∑ ∑
unde:e M x - limita inferioară a intervalului median; intervalul median este
primul interval pentru care este respectată condiia:
♦ f cm ≥ 2
∑ i f , dacă i f ∑ = nr. par
sau
♦ f cm ≥ 2
1∑ +i f
, dacă i f ∑ = nr. impar;f i - frecvenele caracteristicii xi;f cm-1 - frecvenele cumulate până la intervalul median;k - mărimea intervalului;f Me - frecvena intervalului median;f cm – frecvena cumulată.
2.3. Modul (Dominanta)
DefiniieModul (dominanta) reprezintă valorile caracteristicii cu frecvena cea mai
mare. Dominanta (modul) se calculează rapid şi oferă o primă informaiecu privire la tendina centrală a unei distribuii.
2.3.1. Relaie de calcul
1
1 2oo M M x k
∆= + ⋅
∆ + ∆,
unde:o M x - limita inferioară a intervalului modal; intervalul modal
este intervalul cu frecvenă maximă;1 - diferena dintre frecvena intervalului modal şi frecvena intervaluluipremodal;2 - diferena dintre frecvena intervalului modal şi frecvena intervaluluipostmodal;k - mărimea intervalului modal.
Exemplul 10: Se dă distribuia de frecvene din tabelul urmator:
Profitul lunar mediu Nr. firme din
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 10/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 49
net (mii lei) eşantionul analizat
interval
modal
1 - 2 502 - 3 1203 - 4 20
4 - 5 65 - 6 2TOTAL 200
Modul: Intervalul modal (cu frecvena cea mai mare) este: (2,3) mii lei.
( ) ( )
120 50 302 1 2 1 2,23
120 50 120 20 30 100o M −
= + ⋅ = + ⋅ =− + − +
mii lei .
2.3.2. Relaia dintre mediană, mod şi media aritmetică
Metoda Pearson de determinare a modului se bazează pe relaia care există
între M o , M e şi a x în repartiiile moderat aritmetice, şi anume: M o= 3 M e - 2 a x În cazul unei distribuii unimodale simetrice, media aritmetică, mediana şimodul se găsesc în aceeaşi poziie, ca în figură.
0a e X M M = =
0e a M M X = =
În cazul distribuiilor unimodale asimetrice, valorile centrale ( M e , M o, a x ) numai coincid, ci se pot situa astfel:
0a e X M M ≤ ≤
a X
e M 0 M
0 e a M M X ≤ ≤
a X e
M 0
M
2.4. Analiza statistică a variaiei faă de tendina centrală
2.4.1. Noiuni introductive
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 11/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 50
Indicatorii dispersiei, asimetriei şi boltirii se calculează alături de indicatoriitendinei centrale pentru a caracteriza mai bine o distribuie, întrucât „se poateca două distribuii observate, relativ la aceeaşi variabilă, să aibă aceeaşi valoarea tendinei centrale dar să fie diferite prin dispersie sau concentrare”6.
Indicatorii dispersiei, asimetriei şi boltirii oferă informaii despre „modul încare termenii seriei se abat între ei sau de la medie. /…/ Media nu estesuficientă ca indicator de analiză deoarece ascunde structura colectivităii pegrupe şi nu se pot cunoaşte abaterile termenilor seriei faă de media lor,datorate aciunii cauzelor întâmplătoare”7.
Pentru caracterizarea variaiei fenomenelor se utilizează două grupe deindicatori:
1. indicatori simpli;
2. indicatori sintetici.
2.4.2. Indicatorii simpli ai variaiei
DefiniieIndicatorii simpli ai variaiei arată gradul de împrăştiere a unităilorcolectivităii supusă cercetării faă de media aritmetică a valorilor serieirespective. Aceşti indicatori pot fi exprimai atât prin mărimi absolute, cât şiprin mărimi relative.Clasificare
Indicatorii simpli ai variaiei sunt:
- amplitudinea variaiei - absolută
- relativă
- abaterea fiecărei variante de la medie: - abatere absolută
- abatere relativă
DefiniieAmplitudinea variaiei sau câmpul de variaie este diferena dintre valoarea
maximă şi valoarea minimă; aceasta se mai numeşte şi amplitudine absolută.A = xmax - xmin
Exemplul 1: Amplitudinea variaiei pentru cifra de afaceri obinută de ofirmă pe ultimele 4 luni (exprimată în mii lei) + 4; + 4,8; +1,5;+1,75 esteA = 4,8 – 1,5 = 3,3 mii lei sau câmpul de variaie se poateindica simplu, doar precizând cea mai mică şi respectiv, cea
6 Jaba, E. – Op. cit., p. 1457 Balei, T.; Anghelache, C.; ian, E. – Op. cit., p. 70
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 12/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 51
mai mare valoare. În acest exemplu, câmpul de variaie poate fiindicat astfel: (1,5 mii lei – 4,8 mii lei).
DefiniieAmplitudinea relativă (Ar) este raportul dintre amplitudinea absolută şimedia aritmetică a valorilor seriei cercetate.
max min100 100r
a a
x x A A
x x
−= ⋅ = ⋅
Clasificare
Abaterea fiecărei variante de la medie poate fi:
• abatere absolut ă (d i) se determină ca diferenă între fiecare variantă
înregistrată şi media aritmetică a valorilor seriei respective. Se determină curelaia: ai id x x= −
• abatere individuală relativă se determină ca raport între fiecare abatereindividuală absolută şi media aritmetică a seriei, cu ajutorul relaiei:
100 100 1 100i i a ir r
a a a
d x x xd d
x x x
−= ⋅ = ⋅ ⇒ = − ⋅
2.4.3. Indicatorii sintetici ai variaiei
DefiniieIndicatorii sintetici ai variaiei se calculează întrucât indicatorii simpli aivariaiei nu cuantifică toată variaia caracteristicii analizate; indicatorii sinteticiai variaiei arată gradul de variaie al tuturor termenilor seriei.Clasificare
Indicatorii sintetici ai variaiei sunt:
1. abaterea medie liniară;
2. dispersia;
3. abaterea medie pătratică;4. coeficientul de variaie.
DefiniieAbaterea medie liniară ( d ) se determină ca o medie aritmetică simplă sauponderată a abaterilor termenilor seriei faă de medie ( x ), dar în valoareabsolută.Se determină cu relaia:
1)i x x
d
n
−=
∑pentru o serie simplă;
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 13/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 52
2)∑
∑ ⋅−=
i
ii
f
f x xd , pentru o serie de frecvene.
Exemplul 2: Determinai abaterea medie liniară a variaieinumărului de salariai ai unei firme pe ultimii şase ani,ştiind că numărul salariailor a fost: 57; 80; 100; 90;110; 115. Calculăm media aritmetică:
75 80 100 90 110 11595
6i
a
x x
n
+ + + + += = =
∑ salariai.
Abaterea medie liniarăi a x x
d n
−= ⇒
∑
75 95 80 95 100 95 90 95 110 95 115
6
d − + − + − + − + − +
=
13,33d =
Exemplul 3: Determinai abaterea medie liniară a variaiei cifrei deafaceri anuale pentru 150 de firme analizate. Se daudatele din tabelul următor:
Date statistice
Grupe defirme în
funcie de CA
(mii lei)
0 – 4 40 2 -1 -40 4,13 165,24 – 8 80 6 0 0 0,13 10,48 – 12 20 10 +1 20 3,87 77,412 – 16 5 14 +2 10 7,87 39,3516 – 20 5 18 +3 15 11,87 59,35TOTAL 150 - +5 +5 27,87 351,7
Se alege ca origine arbitrară o valoare „a” care se determină ca fiind centrulintervalului care are frecvena maximă; astfel, se observă că intervalul cufrecvena maximă este intervalul (4 - 8), iar centrul acestui interval este a = 6.
6
4
a
k
=
=
( )
13.664150
5=+⋅=+⋅
−
=∑
∑ak
f
f k
a x
xi
ii
mii lei
k
a xi −i
i f k
a x⋅
−ai x x − iai f x x −
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 14/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 53
351,72,345
150i a i
i
d x x f
f ≅
−∑= =
∑.
Abaterea medie liniară arată cu cât se abat în medie, termenii unei serii faă
de media lor; acest indicator este relevant doar pentru seriile omogene.
Dispersia ( )2∇ se calculează ca medie aritmetică simplă sau ponderată a
pătratelor abaterilor termenilor faă de media lor:
• pentru serii simple :( )
2
2ai x x
n
−∇ =
∑;
• pentru serii de distribuie :( )
2
2ai i
i
x x f
f
−∇ =
∑∑
.
Abaterea medie pătratică (abaterea standard) sau deviaia standard ( )∇ se
calculează ca medie pătratică din abaterile variantelor seriei de la media
lor aritmetică, astfel:
• pentru serii simple:( )
2
ai x x
n
−∇ =
∑ ;
• pentru serii de distribuie:( )
2
ai i
i
x x f
f
−∇ =
∑∑
.
Metoda simplificată de calcul a dispersiei (metoda originii arbitrare)
Calcularea dispersiei pentru seriile de distribuie cu ajutorul formulei:
( )2
2ai i
i
x x f
f
−∇ =
∑∑
este dificilă, fapt pentru care se foloseşte următoarea
formulă: ( )
2
22 2
ii
a
i
x a f
k k x a
f
−
∇ = ⋅ − −
∑
∑,
unde: a – centrul intervalului care are frecvena maximă;
k - mărimea intervalului de grupare.
Coeficientul de variaie (v) se calculează ca raport procentual între abaterea
medie pătratică şi media aritmetică a seriei, 100a
v x
∇= ⋅ , sau ca raport
procentual între abaterea medie liniară şi media aritmetică a seriei:
100d a
d v
x= ⋅ .
Semnifica ia coeficientului de varia ie
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 15/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 54
Coeficientul de variaie ia valori cuprinse între 0 şi 100 %. Cu cât valoarea saeste mai apropiată de 0, cu atât variaia este mai slabă, seria este mai omogenă şi media este mai reprezentativă. Dacă valoarea coeficientului de variaie estemai mare de 30 - 35 - 40 % se apreciază că media nu este suficient de
reprezentativă şi „datele trebuie să fie separate în serii componente, pe grupe, în funcie de variaia unei alte caracteristici de grupare”8, fapt pentru careacesta se foloseşte ca test de verificare în aplicarea metodei grupării.
2.4.4. Media, dispersia şi ali indicatori ai variaiei unei caracteristici alternative
Caracteristica alternativă este cea care are doar două variante posibile. Deexemplu, din punct de vedere calitativ produsele pot fi bune calitativ sau celecare nu corespund din punct de vedere al calităii (rebuturile); de asemenearezultatul la examenul de obinere a permisului auto poate fi: admis sau
respins, ş.a.m.d. Cele două variante ale unei caracteristici alternative seexprimă după cum s-a observat, prin cuvinte, şi nu numeric. Din această cauză se atribuie variantei afirmative valoarea convenională „1” şi varianteineafirmative valoarea convenională „0”.
Variantele
caracteristicii
Frecvena
Absolută relativă
x1 = 1 n1 1n p
n=
x2 = 0 n2 2nq
n=
TOTAL n1 + n 2 = n p + q = 1
unde: p = frecvena relativă a variantei afirmative a caracteristicii;
q = frecvena relativă a variantei neafirmative a caracteristicii;
n1 = frecvena absolută a variantei afirmative a caracteristicii;
n2 = frecvena absolută a variantei neafirmative a caracteristicii.
Demonstraii
Media caracteristicii alternative se determină pe baza relaiei mediei aritmeticeponderate, astfel:
8 Biji, E., Balei, T., „Statistică teoretică şi economică”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1991, p. 95 -96
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 16/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 55
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
1 1
1 2
1 0i i
i
x f x f x f n n x
f n n n n
n n x p
n n n
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = = ⇒
+ +
= = =+
∑∑
Deci, x p= , adică media aritmetică a caracteristicii alternative este chiar „ p” -
frecvena relativă a variantei afirmative a caracteristicii.
Dispersia (variana) caracteristicii alternative se determină pornind de larelaia de calcul a dispersiei pentru o serie de frecvene, după cum urmează:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 221 0
i i i i i i
i i
x x f x p f x p p x p q
f f p q
p p p q pq q pq p p q pq
p q p q p q
− − − + −∇ = = = =
+
− + − ++= ⇒ ∇ = = =
+ + +
∑ ∑∑ ∑
Deci, ( )2 1 pq p p∇ = = − , adică se determină ca produs între frecvena relativă a
variantei afirmative ( p) şi frecvena relativă a variantei neafirmative (q).
Abaterea medie pătratică ( ∇ ) se determină pe baza relaiei:
( )2 1 pq p p∇ = ∇ = = −
Atunci când colectivitatea supusă cercetării este împărită în grupe omogene,se pot determina varianele de grupă ( 2
p∇ ), media varianelor de grupă ( 2 p∇ ),
precum şi variana mediilor de grupă faă de media generală ( 2 pδ ); de asemenea
este valabilă şi regula adunării dispersiilor.
2.4.5. Indicatorii asimetriei şi boltirii
DefiniieSe defineşte noiunea de asimetrie absolută ( a s), adică diferena dintre nivelulmediu şi mod, astfel:
0sa x M = −
Pentru cuantificarea gradului de asimetrie se folosesc mai multe metode:1. Metoda Pearson - presupune determinarea coeficientului:
a oasp
x M C
−=
∇,
unde: M0 = modul;∇ = abaterea medie pătratică;
a x = media aritmetică.Observa ie
• 1 1aspC − ≤ ≤ ;
• Dacă 0 aasp oC x M < ⇒ < şi distribuia prezintă o asimetrie stângă;
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 17/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 56
• Dacă 0 aasp oC x M = ⇒ = , distribuia este simetrică;
• Dacă >0 >aasp oC x M ⇒ şi distribuia prezintă o asimetrie dreaptă;
• Dacă 1aspC = ± seria are o asimetrie pronunată;
• Pentru distribuiile moderat asimetrice 0,3 0,3aspC − ≤ ≤ .
2. Metoda Fisher - presupune calcularea coeficientului:
( )3 a e
asF
x M C
−=
∇,
unde: M e = medianaC asF ia valori între -3 şi +3 şi cu cât se apropie de zero seria este mai simetrică.Toate celelalte observaii cu excepia ultimei observaii de la CasP rămânvalabile.
Exemple:
1. Pentru acordarea unui credit unei firme, banca ia în calcul mai mul iindicatori, printre care şi solvabilitatea firmei respective pe ultimele 12 luni.
Firma are urmă toarele valori ale solvabilit ă ii pe ultimele 12 luni:
ianuarie ⇒ S = 0,60
februarie ⇒S = 0,55
martie ⇒ S = 0,70
aprilie ⇒ S = 0,75
mai ⇒ S = 0,60
iunie ⇒ S = 0,60
iulie ⇒S = 0,80
august ⇒S = 0,80
septembrie ⇒S = 0,75
octombrie ⇒S = 0,75
noiembrie ⇒S = 0,70
decembrie ⇒S = 0,68
Banca acord ă creditul dacă solvabilitatea firmei pe ultimele 12 luni este maimare de 70%.
Se cere să se determine dacă firma ob ine creditul.
Solutie:
( )1
0,6 0,55 0,70 0,75 0,60 0,60 0,80 0,80 0,75 0,75 0,70 0,68 0,6912
iSS
n= = + + + + + + + + + + + =
∑
0,69S = .
Deoarece 69%S = < 70% ⇒ firma respectivă nu va ob ine creditul solicitat.
2. În urma unei analize statistice generale, la o firmă , s-au ob inut urmă toarele
date, cu privire la salaria ii din cadrul firmei.
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 18/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 57
Nr.
crt.
Vechime
- ani -
Salariul lunar
(sute lei)
1 10 7
2 8 7
3 7 6
4 2 3,5
5 1 36 10 7,5
7 6 5
8 5 4
9 7 6
10 5 4,5
11 4 4
12 2 3
Se cere:1. Să se calculeze mediana pentru vechime şi pentru salariu;2. Să se grupeze cei 12 salaria i în func ie de vechimea în muncă , respectivmă rimea salariului pe 3 grupe cu intervale egale;3. Să se calculeze mediana şi modulul pentru seria de frecven e de la punctul2.Solutie:
1a. - Pentru vechime:
Ordonare: 1; 2; 2; 4; 5; 5; 6; 7; 7; 10, 10;
Locul medianei este dat de rangul1 12 1
6,52 2
n + += = ⇒ Me =
276 T T + , adică
M e=5 6
5,52
+= ani
1b. - Pentru salariu:Ordonare: 3; 3; 3,5; 4; 4; 4,5; 5; 6; 6; 7; 7; 7,5.
Locul medianei este dat de rangul 1 12 1 6,52 2
n + += = ⇒ Me =2
76 T T + , adică M e
=2
55.4 += 4,75 sute lei
2.Gruparea datelor:
Tabelul 4. 10. Prezentare tabelară
Grupe de muncitori după
vechime
- ani -
Frecven a
Frecven a
cumulată
fcm
[1 – 4) 3 3
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 19/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 58
[4 – 7) 4 7
[7 – 10] 5 12
TOTAL 12
Grupe de muncitori după salariul
lunar
- sute LEI -
Frecven a
Frecven a
cumulată
fcm
[3 – 4,5) 5 5
[4,5 – 6) 2 7
[6 – 7,5] 5 12
TOTAL 12
3. a) Mediana: M e = x Me+12
icm
Me
f
f k f
−−⋅
∑
- pentru vechime, intervalul median este [4 - 7) întrucât acesta este primul
interval care îndepline şte condi ia ca f cm ≥ 2
∑ i f = 12/2 = 6, deci:
Me = 4+ 34
32
12
⋅
−
= 6,25 ani.
- pentru salariu, intervalul median este [4,5 - 6) întrucât acesta este primul
interval care îndepline şte condi ia ca f cm ≥ 2
∑ i f = 12/2 = 6, deci:
125
24,5 1,5 5,252e M −
= + ⋅ = sute lei.
b) Modul: 1
1 2o Mo M x k
∆= + ⋅
∆ + ∆
- pentru vechime intervalul modal este [7 - 10):
( ) ( )
5 47 3 7,5
5 4 5 0o
M −
= + ⋅ =− + −
ani
- pentru salariu intervalele modale sunt două , şi anume: [3 – 4,5), respectiv [6 – 7,5), astfel vor avea două module relative, şi anume:
( )
( ) ( )1
5 03 1,5 3,9375
5 0 5 2o M −
= + ⋅ =− + −
sute lei
( )
( ) ( )2
5 26 1,5 6,5625
5 2 5 0o M −
= + ⋅ =− + −
sute lei
2. Determina i amplitudinea absolut ă şi relativă pentru varia ia profitului brut încazul a 6 firme, cunoscând datele din tabelul urmă tor:
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 20/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 59
Firma PB
- mii lei-
A B 4
C 16
D 2
E 18
F 20
Solutie:
A = xmax - xmin = 20 - 2 = 18
18100 100 150%
12r a
A A
x= ⋅ = ⋅ =
12 4 16 2 18 2012
6i
a
x x
n
+ + + + += = =
∑
4. Pe baza datelor din problema 3 calcula i abaterea fiecă rei variante de la
medie.
Solutie:
a) abaterea absolut ă : i i ad x x= −
b) abaterea relativă : 100i
r a
d
d x= ⋅
Determinarea abaterilor
Firma PB
- mii lei
A 12 0 0
B 4 -8 -66,67 C 16 4 33,33
aii x xd −= 100⋅=a
ir
x
d d
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 21/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 60
D 2 -10 -83,33
E 18 6 50
F 20 8 66,67
12 4 16 2 18 2012
6i
a
x x
n
+ + + + += = =
∑ mii lei
5. Pentru cazul celor 5 firme din problema 3 calcula i abaterea medie liniar ă pentru profitul brut.
Solutie:
i a x x
d n
−
=
∑
Abaterea medie liniară
Firma PB
- mii lei -
A 12 0
B 4 8
C 16 4
D 2 10
E 18 6 F 20 8
TOTAL 72 36
366
6
i a x xd
n
−= = =
∑mii LEI
6. Calcula i coeficientul de asimetrie după metoda Pearson şi Fisher pentruurmă toarea serie de distribu ie:
Grupe de firme în func ie de mă rimea
salariului mediu
- sute lei -
Frecven a
f i
700 – 900 20
900 – 1100 30
1100 – 1300 55
1300 – 1500 35
1500 – 1700 10
TOTAL 150
ai x x −
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 22/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 61
Solutie:
a) Metoda Pearson
a oasp
x M C
−=
∇(1)
Coeficien ii deasimetrieGrup
e de firme în
func ie de
mă rimea
salariului
mediu
- sute lei-
F r e c v e n a
f i xi
i x a
k
− i
i
x a f
k
−
2
i x a
k
−
2
ii
x a f
k
−
700 – 900 20 800 -2 -40 4 80
900 – 1100 30 1000 -1 -30 1 301100 – 1300 55 1200 0 0 0 0
1300 – 1500 35 1400 1 35 1 35
1500 – 1700 10 1600 2 20 4 40
TOTAL 150 0 -15 10 185
ii
a
i
x a f
k x k a f
−
= ⋅ +∑
∑ ,
1200
200
a
k
=
=
15200 1200 1180 1180
150a a x x
−⇒ = ⋅ + = ⇒ = (2)
0
10
1 2
, 200 M M x k k ∆
= + ⋅ =∆ + ∆
( ) ( )
( )
55 30 251100 200 1100 200
55 30 55 35 25 20
51100 200 1211,11 1211,11 3
9
o
o
M
M
−= + ⋅ = + ⋅ =
− + − +
= + ⋅ = ⇒ =
( ) ( ) ( )
2
2 2 22
2 2
185200 1180 1200
150
37 37 370200 200 20 20 200 20 20 1
30 3 3
ii
a
i
x a f
k k x a
f
−
∇ = ⋅ − − = − − =
⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − = − =
∑
∑
20 122,33 221,208 221,208≅ ⇒ ∇ = (4)
Înlocuim rezultatele (2), (3) şi (4) în (1) şi ob inem:
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 23/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 62
1180 1211,11 31,110,14
221,208 221,208aspC −
= = − = − → distribu ia este moderat asimetrică
şi reprezint ă o asimetrie stângă , deoarece 0,14 0.aspC = − <
b) Metoda Fisher
( )3 a e
asF
x M C
−=
∇(5)
Pe baza calculelor de la punctul a), cunoa ştem media aritmetică şi abatereastandard:
1180
221,208
a x =
∇ =
Calculă m mediana:1
2e
e
icm
e M
M
f f
M x k f
−−
= + ⋅∑
15050 25 100021100 200 1100 200 1100 11909,90
55 55 11e M −
= + ⋅ = + ⋅ = + = (6)
Înlocuim rezultatele (2), (4) şi (6) în (5) şi ob inem:
( )3 1180 1190,900,14
221,208asF C −
= = − ⇒ distribu ia prezint ă o asimetrie stângă .
7. În urma unei anchete statistice cu privire la profitul net lunar realizat decă tre 200 de firme s-au ob inut datele din tabelul urmă tor:
Grupe de firme după Profitul Net - mii lei -
Frecven e relative (%)
f r = 100⋅∑ i
i
f
f
(0 – 2](2 – 4]
(4 – 6](6 – 8](8 – 10]
2040
15205
TOTAL 100
Se cere:a) Să se reprezinte poligonul frecven elor relative şi histograma pentruseria de frecven eb) Determina i valoarea centrală pentru fiecare grupă ;c) Stabili i clasa cu frecven a relativă maximă (intervalul modal);d) Determina i frecven ele absolute;e) Determina i frecven ele cumulate: ascendent şi descendent atât pentru
frecven ele absolute cât şi pentru frecven ele relative;
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 24/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 63
f) Determina i media aritmetică a Profitului Net prin cele două metode:direct ă şi simplificat ă ;g) Determina i media pă tratică şi geometrică ;h) Calcula i mediana şi modulul.
Solutie:
a)
Poligonul frecven elor relative şi histograma PN
b)
Grupe de firme după PN
– mld. -
Valoarea central ă a
clasei (X i )
(0 – 2]
(2 – 4](4 – 6](6 – 8](8 – 10]
1
357 9
c) Intervalul modal este (2 – 4] şi are frecven a relativă 40%, iar frecven aabsolut ă :
40100 200 80
100i
r i r ii
f f f f f
f = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =∑∑
firme
d)
Grupe de firme după PN Frecven e relative
(%)
f r = 100⋅∑ i
i
f
f
Frecven e absolute
f i= r i f f ⋅ ∑
(0 – 2](2 – 4]
(4 – 6](6 – 8]
2040
1520
4080
3040
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 25/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 64
(8 – 10] 5 10
TOTAL 100 200
e)
PN
Frecv.
absolut
e
f i
Frecv. absolute cumulate Frecv.
relative
100⋅∑ i
i
f
f
(%)
Frecv. relative cumulate
Ascendant Descendent ascendent descendent
0 – 2 40 40 200 20 20 100
2 – 4 0 120 160 40 60 80
4 – 6 30 150 80 15 75 40
6 – 8 40 190 50 20 95 258 – 10 10 200 10 5 100 5
Total 200 - 0 100 0
f) Metoda direct ă :∑
∑=
i
ii
f
f x x
Metoda simplificat ă : ,
ii
a
i
x a f
k x k a f
−
= ⋅ +∑
∑
„a” poate fi orice constant ă , dar pt. simplificarea calculelor îl vom alege ca
fiind centrul intervalului cu frecven a maximă , adică în acest exemplu a = 3 şik = 2
PN xi f i xi f i i x a
k
− i
i
x a f
k
−⋅
ii f x ⋅2
0 – 22 – 44 – 6 6 – 88 – 10
1357 9
4080304010
4024015028090
-10123
-400308030
407207501960810
TOTAL 200 800 5 100 4.280
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 26/32
Rodica Pripoaie
Statistica economică
Metoda direct ă
Metoda simplif
g) Media pă tra
Media geometr
PN xi
0 – 2 1
2 – 4 3
4 – 6 5
6 – 8 7
8 – 10 9TOTAL
g x =991.235
200
1⋅
e
h) Intervalul m
100 , deci, inter
2i
e Me
f
M x= +
∑
M e = 3,5
1
1o Mo M x
∆= +
∆ +
adică tot interv
(2
80o M = +−
Rezumat
Indicatoriivariabile s
Indicatorii tendin ei cent
:800
4200
i ia
i
x f x
f = = =
∑∑
icat ă :100
2 3 4200
ii
a
i
x a f
k x k a f
−
= ⋅ + = ⋅ + =
∑
∑
tică :2
4.2804,63
200i i
p pi
x f x x
f = ⇒ = ≅
∑∑
ică :( )
1lni i
i
f x f
g x e∑∑=
f i xi
2 f i ln xi f i ln xi
40 40 0 0
80 720 1,099 87,900
0 0 1,603 48,283
40 1.960 1,946 77,836
710 810 2,197 21,972 200 4. 280 6,845 235,991
18.1e =3,254
edian este cel care con ine mediana, iar locuvalul (2 – 4 ] este intervalul median.
1
20040
22 2
80
cm
Me
f k
f
−− −
⋅ = + ⋅
2
k ⋅∆
, intervalul modal este intervalul cu
alul (2 – 4 ]:
) ( )
80 402 2,89
0 80 30
−⋅ ≅
+ −mii LEI
c
ei mai utilizai pentru caracterizarea tendinatistice sunt: media aritmetică, mediana şi m
ale (mă rimile medii)
65
Frecven a
cumulată
f cm
40
120
150
190
200
l medianei este
frecven ă maximă ,
ei centrale a uneiodul (dominanta).
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 27/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 66
T
e
s
t
d
e
a
Media este o valoare reprezentativă pentru o serie de date; întotdeauna ease va afla în interiorul intervalului valorilor respective ordonate crescătorsau descrescător (între min x şi max x ), motiv pentru care mai este denumită şi
indicator de poziie. Se pot defini diverse tipuri de medii, dar cele maiutilizate sunt: media aritmetică, media geometrică, media armonică,mediana şi modul.
Indicatorii dispersiei, asimetriei şi boltirii se calculează alături deindicatorii tendinei centrale pentru a caracteriza mai bine o distribuie.Indicatorii dispersiei, asimetriei şi boltirii oferă informaii despre felul încare termenii seriei se abat între ei sau de la medie.
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 28/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 67
Sarcina de lucru 2
1. O întreprindere a realizat în primele şase luni ale anului trecut următoarele
valori ale ratei rentabilităii economice, şi anume:
LunaRata rentabilităiieconomice
Ianuarie 13 %Februarie 10 %Martie 9 %Aprilie 12 %Mai 12 %Iunie 15 %
Să se determine media ratei rentabilităii economice pentru semestrul I al anuluiprecedent.
2. În urma unei anchete statistice cu privire la valoarea CA în cadrul a 500 defirme s-au obinut următoarele date:
Grupe de firme după CA
- sute mii lei -
Frecvena f i
0 – 4 100
4 – 8 1208- 12 18012 -16 7516 -20 25TOTAL 500
Să se determine:
• CA medie a celor 500 de firme (metoda directă şi metoda simplificată);
• Media armonică ponderată, media pătratică şi media geometrică
ponderată;• Mediana și modul.
Observa ie: Sarcina de lucru va fi verificat ă de că tre tutore în cadrulîntâlnirilor tutoriale.
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 29/32
Rodica Pripoaie
Statistica economică
Test de auto
1. Să se deta)
b)
c)
2. Să se determine media
a) 24b) 15c) 20
3. Să se determine mediaa trei firme cercetate, ş
CAx= 2 mii lei/lună;
CAy= 4 mii lei/lună;
CAz= 5 mii lei/lună.a) 3,87b) 7,99c) 24,87
4. Fie seria formată din c24; 25. Să se determin
a) 18b) 19
c) 16
5. Se dă distribuia de fre
Să se determine modul
Indicatorii tendin ei cent
evaluare 2
ermine media aritmetică a numerelor: 2, 6, 8,121020
aritmetică ponderată pentru următoarea distrrofitul net anual
(mii lei)Frecvena i f
10 - 20 320 - 30 530 - 40 2
TOTAL 10
pătratică simplă pentru caracteristica „cifră i anume:
ifra de afaceri a 6 firme (exprimată în mii leimediana.
cvene din tabelul urmator:rofitul lunar
ediu net (mii
lei)
Nr. firme din
eşantionul
analizat
10 - 20 320 - 30 530 - 40 2
TOTAL 10(dominanta).
ale (mă rimile medii)
68
14, 20.
ibuie de frecvene:
d
e afaceri” în cazul
: 14; 17; 18; 20;
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 30/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 69
a) 28b) 19c) 24
6. Media este acea valoarea care:
a. sintetizează tot ceea ce este esenial şi obiectiv în apariia, manifestarea şidezvoltarea unei variabile;
b. este reprezentativă pentru un grup de date;c. exprimă abaterile nivelurilor individuale ale variabilei respective.
7. Media armonică se foloseşte atunci când:a. nu se cunosc frecvenele f i , dar se cunoaşte produsul xifi;b. nu se cunosc frecvenele f i şi nici volumul general al acestora;c. se cunosc frecvenele f i .
8. Media geometrică este foarte utilizată pentru că fenomenele socio-economice, înesena lor, se caracterizează în general prin:a. încetinirea ritmului, în timp ce volumul absolut al creşterii este din ce în ce mai mic;b. creşterea ritmului, în timp ce volumul absolut al creşterii este din ce în ce mai mic;c. încetinirea ritmului, chiar dacă volumul absolut al creşterii este din ce în ce mai
mare.
9. Mediana este acea valoare a caracteristicii care:
a. împarte seria în două pări egale;b. împarte seria în patru pări egale;c. ocupă locul central în cadrul variantelor seriei ordonate crescător sau descrescător.
10. Media geometrică ponderată se poate calcula cu formula:
a. ( )1 1 1
" "
n n nnn
i g g g g i g i g ii i i
n ori
x x x x x x x x x x= = =
= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ =∏ ∏ ∏K14243
b. 1
11 1
1 ln1 1ln ln ln ln
n
ii
n n nn
i ig gii i
xn x x x x x ein n=
== =
∑= = = ⇒ =∑∏ ∏ ;
c.
( )
1
ln1
i in
i
i
f x
f
g x e =
∑∑
⇒ =
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 31/32
Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)
Statistica economică 70
Tema de control 1
Se cercetează d.p.d.v. statistic un eşantion format din 8 firme cu privire la nivelul
Profitului net realizat în cursul anului 2010 şi se obin următoarele date statistice:
FIRMA Profit net
(mii lei)
Xi
A 2
B 9
C 14
D 8
E 9
F 10
G 5H 7
TOTAL 64
∑ Xi
Se cere să se determine:
1. media aritmetică simplă
2. media pătratică simplă
3. abaterea individuală faă de medie
4.
abaterea medie liniară 5. dispersia pt. seria simplă
6. abaterea medie pătratică (abaterea standard)
7. coeficienii de variaie
8. mediana
9. să se grupeze datele iniiale în trei intervale egale şi să se calculeze centrul fiecărui
interval şi frecvena acestora
10. media aritmetică ponderată prin met. directă
11. media aritmetică ponderată prin met. de calcul simplificat
12. abaterea individuală faă de medie pt. seria de frecvene de la pc. 9
13. abaterea medie liniară pt. seria de frecvene de la pc. 9
14. dispersia pt. seria de frecvene de la pc. 9 prin met. directă
15. dispersia pt. seria de frecvene de la pc. 9 prin met. de calcul simplificat
16. abaterea medie pătratică (abaterea standard) pt. seria de frecvene de la pc. 9
17. coeficienii de variaie pt. seria de frecvene de la pc. 9
18. mediana pt. seria de frecvene de la pc. 9
5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 32/32
Rodica Pripoaie
Statistica economică
19. modul ( dominanta) pt
20. coeficienii de asimetri
Bibliografie
• Balei,T.; Biji
D. – „Statistică t
Bucureşti, 1996,
• Baron Tudo
Didactică şi Ped
• Mitruț C., Isaic-Maniu Al.,
București, 2004, p. 20-25.
• Jaba Elisabeta – Statistic
58.• Pripoaie Rodica – Statisti
10 – 30.
Indicatorii tendin ei cent
. seria de frecvene de la pc. 9
e PEARSON şi FISHER
minimală , E.; Tövissi, L.; Wagner, P.; Isaic-Maniu, Al.;
eoretică şi economică”, Editura Didactică şi
p. 70 - 75.
r, Biji Elena şi colab. – Statistică teoretică şi
agogică, Bucureşti, 1996, p. 12- 43.
Voineagu V.: Statistică, Ediția a II-a, Ed. Uni
, Ed. Economică, Ediția a IV-a, Bucureşti, 20
ă Economică, Ed. Didactică şi Pedagogică, B
ale (mă rimile medii)
71
K
orka, M.; Porojan,
edagogică,
economică, Ed.
ersitară,
7, p. 22 – 34; 49 -
ucureşti, 2008, p.