statika példatár jav03-szerkesztés alatt
TRANSCRIPT
1
1. Bevezetés, alapfogalmak ........................................................................................................ 2
1.1. Erő ................................................................................................................................... 2
1.2. Statika feladata ................................................................................................................ 2
1.3. Egyensúly ........................................................................................................................ 3
1.4. Alaptételek, axiómák ....................................................................................................... 3
1.5. Nyomaték fogalma (síkbeli erőrendszer esetén) ............................................................. 3
1.6. Vetületi és nyomatéki tétel (síkbeli erőrendszer esetén) ................................................. 4
1.7. Kényszerek, megtámasztási módok (síkbeli erőrendszer esetén) ................................... 4
2. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszerek ............................................................................ 7
2.1. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszer eredő (helyettesítő) erejének a meghatározása7
2.2. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása .......................................... 13
3. Síkbeli párhuzamos erőrendszerek ....................................................................................... 30
3.1. Síkbeli párhuzamos erőrendszer eredő erejének meghatározása .................................. 30
3.2. Síkbeli párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása ...................................................... 38
4. Síkbeli általános erőrendszerek ............................................................................................ 49
4.1. Síkbeli általános erőrendszer eredő (helyettesítő) erejének a meghatározása ............... 49
4.2. Síkbeli általános erőrendszer kiegyensúlyozása ........................................................... 58
5. Igénybevételek – rácsos tartók ............................................................................................. 65
6. Igénybevételek – kéttámaszú, egyenes tengelyű tartók........................................................ 84
6.1. Igénybevételi ábrák szerkesztési szabályai ................................................................... 84
7. Igénybevételek – merev befogású, egyenes tengelyű tartók .............................................. 100
8. Igénybevételek – tört tengelyű tartók ................................................................................. 106
9. Igénybevételek – Gerber tartók ......................................................................................... 128
10. Igénybevételek – háromcsuklós keretek .......................................................................... 137
11. Keresztmetszeti jellemzők meghatározása ....................................................................... 153
2
1. Bevezetés, alapfogalmak
1.1. Erő
Az erő nem definiálható, fizikai–tapasztalati alapfogalom. Az erő két különböző test egymásra
gyakorolt hatásaként tapasztalható, melynek során megváltozik vagy megváltozhat a test(ek)
mozgásállapota. (Például ha egy mozgásban lévő testet megállítunk vagy egy nyugalomban
lévő testet mozgásba hozunk, akkor erőt fejtünk ki.)
Az erő vektormennyiség, amit
- nagysága – ami az erőegységhez viszonyított abszolút szám,
- iránya – ami az erő hatásvonalával, egyenesével párhuzamos egyenes,
- értelme/irányítása – amit az erő irányában felvett nyíl határoz meg,
- támadáspontja,
jellemez. Az erő hatásvonala mentén tetszőlegesen eltolható. Az erő a hatásvonala mentén bár-
hol tetszőleges irányú vetületekre bontható fel.
Az erő mértékegysége: Newton [ ]
⋅=2s
mkgN .
1. ábra: Az erő jellemzői
Két test mindig egy felület mentén érintkezik egymással. Az egymásra kifejtett erőhatás e felü-
leten adódik át. Ha ez a felület kicsi, akkor jó közelítéssel pontnak, pontszerűnek tekinthető, és
az erőt koncentrált erőnek (F kN), ellenkező esetben megoszló erőnek (vonal (q kN/m), felület
(q kN/m2) vagy térfogat (q kN/m3) mentén megoszló) nevezzük. A műszaki, mérnöki gyakor-
latban a nehézségi erő a legfontosabb.
Ha egyidejűleg több erő is hat egy testre, akkor azt erőrendszernek nevezzük. Ha az erőrendszer
erői (hatásvonalai) egy síkba esnek, akkor síkbeli erőrendszerről beszélünk. Ha az erőrendszer
erőinek hatásvonalára nem lehet egy síkot ráfektetni, akkor térbeli erőrendszerről beszélünk.
1.2. Statika feladata
A statika feladata egyrészről megállapítani azt a legegyszerűbb erőrendszert, amivel egy adott
erőrendszer helyettesíthető – ez az eredő meghatározás. Másrészről az a feladat, hogy egy adott
3
testet kiegyensúlyozzunk, meghatározzuk azokat a feltételeket, amelyek mellett a test nyuga-
lomban marad.
1.3. Egyensúly
Ha egy nyugalomban lévő, merevnek tekintett test a rá működő erők hatására nyugalomban
marad, akkor azt mondjuk, hogy a testre ható erők egyensúlyban vannak, azaz a test egyensúly-
ban van.
1.4. Alaptételek, axiómák
I. Két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a két erő közös hatásvonalú, egyenlő
nagyságú és ellentétes értelmű.
II. Három erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik egy síkban vannak,
a hatásvonalaik egy közös pontban metszik egymást és a vektorháromszög folytonos
nyílfolyammal záródik.
III. Egyensúlyban lévő erőrendszer esetén nem változik meg az egyensúly, ha az adott erő-
rendszerhez(től) hozzáadunk vagy elveszünk egy önmagában egyensúlyban lévő erő-
rendszert.
IV. Két test egymásra kifejtett erőhatása párosával egyenlő nagyságú, közös hatásvonalú és
ellentétes értelmű (Newton féle akció–reakció, hatás–ellenhatás törvénye).
1.5. Nyomaték fogalma (síkbeli erőrendszer esetén)
Adott erő adott pontra vett nyomatéka alatt az erő nagyságának és az erőkarnak a szorzatát
értjük, ahol az erőkar alatt adott erő hatásvonalának (egyenesnek) adott ponttól mért távolságát
értjük. A nyomaték mértékegysége: [ ]mkN ⋅ vagy [ ]mN ⋅ . A nyomaték értelmezhető úgy is,
mint egy erőpár, ahol a két erő nagysága azonos, hatásvonalaik párhuzamosak, de ellentétes
értelműek és nem esnek egy egyenesbe. Ennek az erőpárnak így erőhatása nincs, csak forgató-
hatása.
A nyomaték meghatározásához szükséges erőkar leolvasása (2. ábra) a következő elgondolás
szerint történik: az adott pontból (amire a nyomatékot felírjuk) merőlegest állítunk az adott erő
hatásvonalára – a merőleges egyenes hossza az erőkar nagysága.
4
2. ábra: A nyomaték számításához szükséges erőkar fogalma, meghatározása
1.6. Vetületi és nyomatéki tétel (síkbeli erőrendszer esetén)
Vetületi tétel: egy erőrendszer egyes elemeinek tetszőleges irányra vett előjelhelyes vetületösz-
szege egyenlő ugyanazon erőrendszer helyettesítő (eredő) erejének ugyanazon irány szerinti
vetületével.
Nyomatéki tétel (síkbeli erőrendszerek esetére): egy erőrendszer egyes elemeinek adott pontra
vett előjelhelyes nyomatékösszege megegyezik ugyanazon erőrendszer helyettesítő (eredő) ere-
jének ugyanazon pontra vett nyomatékával.
1.7. Kényszerek, megtámasztási módok (síkbeli erőrendszer esetén)
A kényszerek olyan testek, amelyek korlátozzák vagy megakadályozzák a tartószerkezeti ele-
mek egymáshoz vagy a talajhoz viszonyított elmozdulását. A kényszerek a tartószerkezetre ható
külső erőkkel egyensúlyt tartó reakcióerőket, kényszererőket fejtenek ki. A kényszereket asze-
rint csoportosíthatjuk, hogy a tartószerkezetet milyen elmozdulásokban akadályozzák meg. Ez
alapján a kényszerek kinematikai szabadságfokkal és kötöttséggel rendelkeznek.
A síkban egy test, tartószerkezet x, y irányok mentén haladó vagy pont körüli forgó mozgást
tud végezni. Emiatt a síkbeli kényszerek kinematikai kötöttsége és szabadságfoka maximum
három lehet.
1.7.1. Görgő (vagy támasz) Görgőnek, támasztásnak nevezzük a két test között közvetlen érintkezés által létrejött kapcso-
latot. A görgő szimbolikus jelét, piktogramját a 3. ábra mutatja be. A támasztás csak az érint-
kezési felületre merőleges irányú elmozdulást akadályozza meg, a támasszal párhuzamos el-
mozdulást és a támasztási pont körüli forgást megengedi. A fellépő reakció erő hatásvonala a
támaszra merőleges irányú lesz, nagysága és irányítása ismeretlen. A görgő szabadságfoka
kettő, kötöttsége egy.
5
3. ábra: Görgő, támasz
1.7.2. Csukló (vagy álló csukló) Síkbeli csuklónak nevezzük a két test között hengeres csappal létrehozott kapcsolatot. A csukló
szimbolikus jelét, piktogramját a 4. ábra mutatja be. A csukló a síkbeli elmozdulást nem engedi
meg a tartószerkezetnek, csak a csuklópont körüli elfordulást. A fellépő reakció erő hatásvona-
lának iránya, nagysága és irányítása ismeretlen. A csukló szabadságfoka egy, kötöttsége kettő.
4. ábra: Csukló, álló csukló
1.7.3. Kötél, rúd Kötélnek, rúdnak nevezzük azokat a kényszereket, amelyek mindkét végén csuklóval kapcso-
lódik valamilyen testhez, és csak a csuklóban vesznek fel erőhatást. A rúd, kötél az általa ösz-
szekapcsolt két test között olyan rúd– vagy kötélerő átadására képes, melynek hatásvonala a
két csukló középpontját összekötő egyenes. A kötél csak húzóerőt, a rúd csak húzó– és nyomó-
erőt képes felvenni.
5. ábra: Kötél, rúd
1.7.4. Merev befogás A merev befogás a befogási keresztmetszetben a tartószerkezet elmozdulását és elfordulását is
megakadályozza. Az ébredő ismeretlen hatásvonalú, irányítású és nagyságú reakcióerő mellett
reakciónyomaték is keletkezik.
6
6. ábra: Merev befogás piktogramja
7
2. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszerek A fejezetben olyan erőrendszerekkel foglalkozunk, ahol az erőrendszer valamennyi elemének
hatásvonala ugyanabban a pontban metszi egymást.
2.1. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszer eredő (helyettesítő) erejének a meghatáro-zása
E témakörben olyan eseteket vizsgálunk, amikor adott egy erőrendszer valamennyi eleme
(nagysága és iránya) és egy viszonyítási koordinátarendszer (ez a viszonyítási koordináta rend-
szer a példákban adott, de tudni kell, hogy tetszőlegesen felvehető bármilyen elhelyezkedéssel).
A feladat ilyenkor a következő: meghatározni az erőrendszer helyettesítő, azaz eredő erejét. Ki
kell számolni az eredő erő nagyságát, meg kell határozni az eredő erő hatásvonalának irányát a
viszonyítási koordinátarendszerhez képest. E két adat meghatározásából áll az eredő erő szá-
mítása közös metszéspontú erőrendszer esetében.
2.1.1. példa Adott a 7. ábra szerinti x–y viszonyítási koordináta rendszer, F1=60 N és F2 =100 N erők. A
viszonyítási koordináta rendszer középpontjához csatlakozik két rúd. Egyik rudat az F1, a másik
rudat F2 nagyságú és értelmű erő terheli. Határozzuk meg az erőrendszer eredőjét számítással
és szerkesztéssel.
7. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredője
Megoldás számítással – vetületi tétel alkalmazása
Egy x irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer min-
den olyan elemét, amelynek hatásvonala párhuzamos az x tengellyel:
4010060FF 21 −=−=−=∑ xF
Az egyenlőségben az F1 erő pozitív előjellel szerepel, mivel F1 iránya egybeesik a viszonyítási
koordinátarendszer pozitív irányával, míg az F2 erő negatív előjellel szerepel, mivel iránya el-
lentétes a viszonyítási koordinátarendszer pozitív irányával. Az eredmény szerint az erőrend-
szer eredőjének nagysága 40 N, hatásvonala egybeesik az egyes elemek hatásvonalával, míg
iránya ellentétes a viszonyítási koordinátarendszer pozitív irányával. Az eredmény feltüntetése
helyesen:
)N(40 ←=RF .
Az eredményül kapott erő előjele mindig az erő irányára utal a viszonyítási koordináta rendszer
adott pozitív irányához képest.
8
Megoldás szerkesztéssel
Először felvesszük a léptéket (8. ábra) – ezt mindig az erők nagyságának és elhelyezkedésének
a figyelembevételével tesszük meg. Ezután egy tetszőlegesen választott P pontból az F1 erő
hatásvonalával párhuzamost húzunk az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes
hossza a léptéknek megfelelően 6 cm (9. ábra).
8. ábra: Lépték felvétele – az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével
9. ábra: F1 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes
Ezt követően az F1 erő végpontjából az F2 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F2 erő
értelmével megegyező irányban (10. ábra).
10. ábra: F2 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes
Az eredő erő támadáspontja a P pont lesz, azaz az elsőnek felvett F1 erő támadáspontja. A
helyettesítő erő végpontja pedig az utolsónak felvett F2 végpontjával egyezik meg. Ezt a két
pontot összekötve kapjuk meg az erőrendszer eredőjét (11. ábra).
11. ábra: Eredő erő meghatározása – egyenes húzása P pontból F2 végpontjába
Az eredő erőnek megfelelő egyenes („P”, „F2 végpontja”) hosszát leolvassuk, és a léptéknek
megfelelően feltüntetjük az eredő erő nagyságát. Jelen esetben az egyenes hossza 4 cm, ami 40
N –nak felel meg. A szerkesztésből adódóan az eredő erő hatásvonala párhuzamos a viszonyí-
tási koordinátarendszer x tengelyével. Az eredő erő irányítása az ábráról leolvasható, a szer-
kesztésből adódik.
9
2.1.2. példa Adott (12. ábra) egy közös metszéspontú erőrendszer öt eleme, a nagyság és az irány. Adott
F1=18 kN, F2=16 kN, F3=11 kN, F4=25 kN, F5=19 kN és α1=22 °, α2=20 °, α3=28 °, α4=32 °,
α5=14 °. A közös metszéspont a viszonyítási koordináta rendszer középpontja. Határozzuk meg
az erőrendszer eredőjét számítással és szerkesztéssel.
Megoldás számítással – vetületi tétel alkalmazása
Felírjuk az x irányú vetületi egyenletet, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer minden
olyan elemét vagy elemeinek azon komponenseit (vetületeit), amelyek hatásvonala párhuzamos
az x tengellyel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN09,1114-90cos9132cos5228-90cos1120cos6122cos81
α-90cosFαcosFα-90cosFαcosFαcosF
FFFFF
5544332211
5x4x3x2x1x
=°°⋅−°⋅−°°⋅+°⋅+°⋅==°⋅−⋅−°⋅+⋅+⋅=
=−−++=∑ xF
12. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredőjének meghatározása
Az eredmény szerint az erőrendszer eredőjének x tengelyre vett vetületének nagysága 11,09
kN, hatásvonala párhuzamos az x tengellyel, irányítása megegyezik a viszonyítási koordináta-
tengely pozitív értelmével. Az eredmény feltüntetése helyesen:
)kN(09,11 →==∑ Rxx FF .
Felírjuk az y irányú vetületi egyenletet, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer minden
olyan elemét vagy elemeinek azon komponenseit (vetületeit), amelyek hatásvonala párhuzamos
az y tengellyel:
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN25,314-90sin9132sin5228-90sin1120sin6122sin81
α-90sinFαsinFα-90sinFαsinFαsinF
FFFFF
5544332211
5y4y3y2y1y
=°°⋅−°⋅+°°⋅+°⋅+°⋅−==°⋅−⋅+°⋅+⋅+⋅−=
=−+++−=∑ yF
Az eredmény szerint az erőrendszer eredőjének y tengelyre vett vetületének nagysága 3,25 kN,
párhuzamos az y tengellyel, irányítása megegyezik a viszonyítási koordinátatengely pozitív ér-
telmével. Az eredmény feltüntetése helyesen:
)kN(25,3 ↑==∑ Ryy FF .
Az eredő erő nagyságát a 13. ábra szerint, a Pithagorasz tétel alkalmazásával kapjuk meg:
kN11,5625,309,11 2222 =+=+= RyRxR FFF .
13. ábra: Az eredő erő nagysága és helyzete a viszonyítási koordináta rendszerben
A következő lépés az eredő erő, helyzetének megadása a viszonyítási koordináta rendszerben
– hogyan helyezkedik el az eredő erő a viszonyítási koordináta rendszer tengelyeihez képest.
Azt szeretnénk megtudni, hogy az eredő erő hatásvonala mekkora szöget zár be a viszonyítási
koordinátarendszer tengelyeivel. A 13. ábra jelöléseit használva a vízszintessel bezárt szög le-
gyen α. Meghatározása valamely szögfüggvény alkalmazásával történik.
°=
=
=
=
=
=
=
=
33,1611,09
3,25arctan
11,56
11,09arccos
11,56
3,25arcsin
arctanarccosarcsinRx
Ry
R
Rx
R
Ry
F
F
F
F
F
Fα
.
A harmadik lépés az eredő erő helyének a meghatározása, azonban közös metszéspontú erő-
rendszereknél ez egyértelmű, mindig az erőrendszer közös metszéspontján megy át az eredő
erő hatásvonala.
Megoldás szerkesztéssel
1. lépés: felvesszük a léptéket (14. ábra) – ezt mindig az erők nagyságának és elhelyezkedésé-
nek a figyelembevételével tesszük meg.
14. ábra: Lépték felvétele – az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével
11
2. lépés: egy tetszőlegesen választott P pontból az F1 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk
az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes hossza a léptéknek megfelelően 3,6
cm (15. ábra).
15. ábra: F1 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes
3. lépés: az F1 erő végpontjából az F2 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F2 erő értel-
mével megegyező irányban (16. ábra).
16. ábra: F2 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes
4. lépés: az F2 erő végpontjából az F3 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F3 erő értel-
mével megegyező irányban (17. ábra).
17. ábra: F3 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes
5. lépés: az F3 erő végpontjából az F4 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F4 erő értel-
mével megegyező irányban (18. ábra).
12
18. ábra: F4 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes
6. lépés: az F4 erő végpontjából az F5 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F5 erő értel-
mével megegyező irányban (19. ábra).
19. ábra: F5 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes
Az eredő erő támadáspontja a P pont lesz, azaz az elsőnek felvett F1 erő támadáspontja. A
helyettesítő erő végpontja pedig az utolsónak felvett F5 erő végpontjával egyezik meg. Ezt a
két pontot összekötve kapjuk meg az erőrendszer eredőjét (20. ábra). Az eredő erőnek megfe-
lelő egyenes („P”, „ F5 végpontja”) hosszát leolvassuk, és a léptéknek megfelelően feltüntetjük
az eredő erő nagyságát. Jelen esetben az egyenes hossza 2,31 cm, ami 11,55 kN –nak felel meg.
Az eredő erő iránya leolvasható (20. ábra), a szerkesztésből adódik. A 21. ábra mutatja meg
pontosan az eredőnek a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel bezárt szögét.
13
20. ábra: Eredő erő meghatározása – egyenes húzása P pontból F5 végpontjába
21. ábra: Az eredő erő helyzete a viszonyítási koordinátarendszerben
Az eredő erő helye pedig egyértelmű, a támadáspont a közös metszéspontban lesz.
2.2. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása
Kiegyensúlyozási feladatok esetében a tartószerkezetekre ható erőrendszer eredője nullának
kell lennie – máskülönben nem lenne egyensúlyban. Az erőrendszert a megadott külső erők és
a kényszereknél ébredő ismeretlen kényszer (reakció vagy támasz) erők alkotják. A kénysze-
reknél ébredő reakcióerők tartják egyensúlyban az adott szerkezetet. Ezért hívjuk kiegyensú-
lyozásnak ezt a típusú feladatot, mert kiszámoljuk, hogy a támaszoknál fellépő erőknek, mek-
kora nagyságúnak és milyen irányúnak kell lenni, hogy a tartószerkezet ne mozduljon el, azaz
egyensúlyban legyen.
E témakörben olyan egyszerű eseteket vizsgálunk, amikor adott egy külső terhelő erő, és meg
kell határozni a támaszoknál (kényszereknél) ébredő reakció (támasz vagy kényszererőket) erő-
ket. A közös metszéspontú erőrendszer jellegzetessége, hogy az adott külső erők és a támasz-
erők hatásvonalai egy adott pontban metszik egymást. A feladat megoldásához itt is célszerű
felvenni egy viszonyítási koordináta rendszert, amit javasolt az erőrendszer közös metszéspont-
jában elhelyezni. A feladat ilyenkor a következő: meg kell határozni az erőrendszer hiányzó
elemeit, azaz a támaszoknál ébredő ismeretlen reakcióerőket, a nagyságukat – az irányuk (ha-
tásvonal, értelem) adódik.
14
A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el, mint eredő erő szerkesztésekor. A lépték felvé-
tele után az ismert erőt felmérjük, majd annak támadás – és végpontjában párhuzamosokat hú-
zunk az ismeretlen nagyságú, de ismert hatásvonalú erőkkel.
2.2.1. példa: Adott a 22. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok
helye (a=3 m, b=2 m, c=4 m) és a C csuklót terhelő F=34 kN koncentrált erő. Határozzuk meg
a támaszoknál fellépő reakcióerőket számítással és szerkesztéssel.
22. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása – daruszerkezet
A számító eljárás során először az erőrendszer ismeretlen erőit, nagyságukat és irányukat (ér-
telmüket), meg kell becsülni, feltételeznünk kell azokat. Jelen példában: az A és B csuklóknál
fellépő reakciók nagyságát FA–nak és FB–nek feltételezzük. Az irányuk: mivel az AC és BC
tartószerkezeti elemeket csak a végükön, a csuklókon keresztül éri hatás, magán a tartószerke-
zeti elemen nincs erő (önsúlytól eltekintünk) – ez azt jelenti, hogy ebben a két tartószerkezeti
elemben rúdirányú erők lépnek fel. Azaz: két végén terhelt, csuklós rudakban csak rúdirányú
erő ébred. Amiből következik, hogy ezek a tartószerkezeti elemek rúdirányban akarnak elmoz-
dulni, és a támaszok ezt az elmozdulást akarják megakadályozni. Azaz az ismeretlen támasz-
erők hatásvonalai párhuzamosak a tartószerkezeti elemek hossztengelyével, a kérdés csak az
értelmük. Ha azt nem tudjuk kikövetkeztetni a külső ható erőkből és a tartószerkezet elrende-
zéséből, akkor feltételeznünk kell (23. ábra). A következő lépésben a vetületi egyenleteket hasz-
náljuk fel, amit egyensúlyozási feladatok megoldása során vetületi egyensúlyi egyenleteknek
nevezünk. Az egyenlőség egyik oldalán az erőrendszer valamennyi, ismert és ismeretlen ele-
mének összegezzük előjelhelyesen a viszonyítási koordinátarendszerrel párhuzamos kompo-
nenseit, és ezeket egyenlővé tesszük nullával. Ugyanis ha az erőrendszer eredője nulla, akkor
15
022 =+= RyRxR FFF egyenlőség csak úgy lehet igaz, ha az eredő erő viszonyítási tengelyre
vett komponensei külön – külön egyenlők nullával.
23. ábra: Támaszerők nagyságának és értelmének a feltételezése
( ) ( )βFαF BA coscos0Fx ⋅+⋅==∑ és
( ) ( ) Fsinsin0Fy −⋅+⋅==∑ βFαF BA .
Előbbi két egyenletben két ismeretlen szerepel. Feladatunk, hogy a két egyenletből álló két–
ismeretlenes egyenletrendszert megoldjuk. Az α és β szögek meghatározása:
°=
+=
+= 38,66
23
4arctan
ba
carctanα és
°=
=
= 63,432
4arctan
b
carctanβ .
Behelyettesítés a vetületi egyenletekbe:
( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ 63,43cos38,66coscoscos0Fx BABA FFβFαF és
( ) ( ) ( ) ( ) 4363,43sin38,66sinFsinsin0Fy −°⋅+°⋅=−⋅+⋅==∑ BABA FFβFαF
Az első egyenletből:
( )( )°
°⋅−=38,66cos
63,43cosBA
FF ,
majd behelyettesítve második egyenletbe:
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) 4363,43sin38,66sin38,66cos
63,43cos
4363,43sin38,66sin38,66cos
63,43cos0
−
°+°⋅°°−⋅=
=−°⋅+°⋅°
°⋅−=
B
BB
F
FF
, ahonnan
16
( )( ) ( ) ( )
kN3,376
63,43sin38,66sin38,66cos
63,43cos
43 =
°+°⋅
°°−
=BF.
Visszahelyettesítés után FA–ra a következőt kapjuk:
( )( )
( )( ) kN36,338,66cos
63,43cos37,36
38,66cos
63,43cos =°
°⋅−=°
°⋅−= BA
FF .
Ezek szerint az ismeretlen támaszerők nagysága kN36,3A =F és kN63,37=BF . Az FB kény-
szererőnek feltételezett értelem helyes volt, mivel pozitív értéket kaptunk. Azonban az A tá-
masznál feltételezett támaszerőnek az előjele negatív, ami annyit jelent, hogy az ismeretlen ér-
telmű erőnek a feltételezett irány nem volt jó. A valós irányítása az erőnek éppen ellentétes (24.
ábra).
24. ábra: Az ismeretlen támaszerők nagysága és irányítása helyesen ábrázolva
A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el mint az eredő erő meghatározása esetében. Azzal
a különbséggel, hogy kiegyensúlyozási példák esetében a léptékhelyesen felvett erőknek
nyílfolytonosan záródniuk kell, hiszen az eredő erő nulla. Jelen példában első lépésként
felvesszük a léptéket (25. ábra).
25. ábra: Lépték felvétele – az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével
A második lépés, hogy az ismert ható erőt, az F koncentrált erőt léptékhelyesen felvesszük (26.
ábra).
17
26. ábra: Ható külső erő felvétele léptékhelyesen
A számolási megoldásnál már kifejtettük, hogy a támaszoknál miért csak a tartószerkezeti ele-
mek (AC és BC elemek) hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők ébrednek. Ha ezt be-
láttuk, akkor a szerkesztő eljárás harmadik lépése, hogy párhuzamost húzunk a már felvett F
koncentrált erő támadáspontján át az AC tartószerkezeti elem hossztengelyével (27. ábra). Ez-
után (4. lépés) az F koncentrált erő végpontján át a BC tartószerkezeti elem hossztengelyével
húzunk párhuzamost (28. ábra).
27. ábra: Párhuzamos az AC elem hossztengelyével az F erő támadáspontján keresztül
18
28. ábra: Párhuzamos a BC elem hossztengelyével az F erő végpontján keresztül
5. lépésként a két párhuzamost meghosszabbítjuk, hogy metsszék egymást (29. ábra). A met-
széspont fogja meghatározni a csuklóknál ébredő reakcióerők nagyságát és értelmét. A nagy-
ságot a felvett lépték alapján határozhatjuk meg, míg a támaszerők irányítása adódik, hiszen
folytonos nyílfolyammal kell záródnia a vektorsokszögnek (29. ábra).
19
29. ábra: A reakcióerők nagysága és irányítása a szerkesztő eljárásból
Egy harmadik megoldási lehetőség, hogy az előbbi vektor – háromszöget nem léptékhelyesen,
hanem csak vázlatosan vesszük fel (30. ábra). Ebben az esetben a vektorok iránya, azaz az
általános háromszög belső szögei és egyik oldala (F erő) ismert. A feladat, hogy a háromszög
ismeretlen oldalainak a hosszát trigonometrikus összefüggések felhasználásával kiszámítsuk.
20
30. ábra: A közös metszéspontú erőrendszer elemeiből felvett vektorháromszög vázlata
A sinustétel alkalmazása: ( ) ( ) ( )αF
β
F
αβ
BA
+°=
−°=
− 90sin90sinsin
F, amiből külön – külön kife-
jezhetjük az FA és FB ismeretleneket. Eredményül az előbbi két módszerhez hasonlóan FA=36,3
kN –t és FB=63,36 kN–t kapunk.
2.2.2. példa: Adott a 31. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok
helye (a=4 m, b=2,5 m, c=4,5 m) és a C csuklót terhelő F=27 kN koncentrált erő. Feladat, hogy
meghatározzuk az A és B csuklóknál fellépő támaszerőket számítással és szerkesztéssel. Felté-
teleznünk kell az ismeretlen reakció erők nagyságát és értelmét (32. ábra). A hatásvonaluk is-
mert, mivel az AC és BC tartószerkezetei elemeket csak a végükön lévő csuklókon keresztül
éri terhelés. Így ezek az elemek hossztengelyükkel párhuzamosan akarnak elmozdulni. Ezt az
elmozdulást akadályozzák meg a támaszoknál fellépő kényszererők, amik hatásvonala így az
AC és BC tartószerkezeti elemek hossztengelyével párhuzamos.
21
31. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer
32. ábra: Reakció erők nagyságának és értelmének a feltételezése
Következő lépésként célszerű felvenni a viszonyítási koordinátarendszert, és elhelyezni abba a
pontba, ahol az erőrendszer elemeinek hatásvonalai metszik egymást – jelen esetben ez a C
pont. Ugyanekkor feltüntetjük a két tartószerkezeti elem hossztengelyének (azaz a feltételezett
reakcióerők hatásvonalának is egyben) a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel bezárt
szögeit (33. ábra). Ezután kezdhetjük meg a számolást. Először az α és β szögeket számítjuk
ki: °=
=
= 582,5
4arctan
b
aarctanα és °=
=
= 41,634,5
4arctan
c
aarctanβ .
Következő lépésben írhatjuk fel a vetületi egyensúlyi egyenleteket:
( ) ( )βFαF BA coscos0ΣFx ⋅+⋅−== és
( ) ( ) Fsinsin0ΣFy −⋅+⋅== βFαF BA
22
33. ábra: Reakcióerők hatásvonalának és a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeinek a bezárt szöge
A két egyenletből álló két ismeretlenes (FA, FB) egyenletrendszer megoldása után a következő-
ket kapjuk eredményül a reakcióerőkre: kN74,20=AF és kN51,14=BF . Ezek a reakció erők
nagysága. Mivel az egyenletrendszer megoldásából pozitív értékeket kaptunk megoldásul, ez
annyit jelent, hogy a támaszerőknek feltételezett értelem helyes volt, azok megfelelnek a 33.
ábra szerint feltüntetettnek.
A szerkesztő eljárást a lépték felvételével kezdjük (1. lépés) (34. ábra).
34. ábra: Lépték felvétele a szerkesztő eljáráshoz
Második lépésként az ismert F koncentrált erőt mérjük fel (35. ábra).
35. ábra: Szerkesztő eljárás – F koncentrált erő felmérése
Ezután (3. lépés) az AC tartószerkezeti elem hossztengelyével húzunk párhuzamost a F erő
támadáspontján át (36. ábra), majd (4. lépés) a BC tartószerkezeti elem hossztengelyével hú-
zunk párhuzamost az F erő végpontján át (37. ábra).
23
36. ábra: Szerkesztő eljárás – párhuzamos az A csuklónál ébredő támaszerő hatásvonalával
37. ábra: Szerkesztő eljárás – párhuzamos a B támasznál ébredő kényszererő hatásvonalával
A két párhuzamost meghosszabbítjuk (5. lépés), hogy metsszék egymást, így megkaptuk az
erőrendszer elemeinek a vektorháromszögét – az ismeretlen reakcióerők nagyságát a felvett
lépték segítségével olvashatjuk le (38. ábra). A támaszerők irányítása pedig adódik abból, hogy
az erőrendszer elemeinek folytonos nyílértelemmel kell záródniuk a vektorháromszögben.
A feladatot megoldhatjuk úgy is, hogy az erőrendszer elemeinek hatásvonalait vázlatszerűen
rajzoljuk meg. Ebben az esetben a háromszög belső szögeinek és egyik oldalának az ismereté-
ben trigonometrikus összefüggések felhasználásával számolhatjuk ki az ismeretlen reakcióerő-
ket (megjegyzés: az eljárást a korábban már ismertettük).
24
38. ábra: Szerkesztő eljárás – reakcióerők leolvasása a lépték ismeretében a vektorháromszögről
2.2.3. példa: Adott a 39. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, ami egyik végén egy csuklóval (A
pont), másik végén egy görgővel (B pont) van megtámasztva. F = 17 kN, a = 1 m, α1=50 ° és
α2=30 °. Határozzuk meg a támaszerőket számítással.
39. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása
40. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és
irányának feltételezése
Az erőrendszernek három eleme van, az F ható erő és az A és B ismeretlen támaszerők. Ennek
a három erőnek kell egyensúlyban lennie. Három erő egyensúlyának a feltétele, hogy hatásvo-
nalaiknak egy pontban kell metszeniük egymást és a vektorsokszögnek folytonos nyílértelem-
mel kell záródnia. A vetületi egyenleteknek egyenként zérussal kell egyenlőnek lennie.
25
Sinus tételből: ( )
( )( )( )
( ) m1,6370sin
50sin2
α90α180sin
αsin2
21
1 =°
°⋅=−°−−°
⋅=b
Cosinus tételből:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m48,30390cos63,114263,114α90cos4a24a 221
22 =°−⋅⋅⋅⋅−+⋅=−⋅⋅⋅−+= bbc
Cosinus tételből: ( )
( )( )
( ) °=
⋅⋅⋅−⋅+=
⋅⋅−+= 9,23
1448,32
63,11448,3arccos
4ac2
4aarccos
222222 bcβ
x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenletek:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )°°⋅−°⋅+°⋅−=
=°⋅−⋅+⋅−==30-90cos23,9cos50cos17
α-90coscosαcosF0ΣF 21x
BA
BβA
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )°−°⋅+°⋅+°⋅−=
=−°⋅+⋅+⋅−==
3090sin23,9sin50sin17
α90sinsinαsinF0ΣF 21y
BA
BβA
A két egyenletből álló két–ismeretlenes egyenletrendszer megoldása A–ra és B–re:
A = 16,07 kN és B=7,53 kN.
Mivel a mindkét ismeretlen támaszerőre pozitív értéket kaptunk, ezért a támaszerőknek feltéte-
lezett irányítások helyesek.
Hogy mikor kell az egyensúlyi egyenletekkel, mikor a trigonometrikus egyenletekkel vagy
esetleg mikor kell a szerkesztő eljárással a feladatot megoldani, nincs ökölszabály – mindig az
adott feladathoz leginkább kézenfekvő eljárást kell alkalmazni. Természetesen ellenőrizni min-
dig lehet az esetleg bonyolultabb módszerrel.
2.2.4. példa: Adott a 41. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva. F
= 23 kN, a = 2 m és α=40 °. Határozzuk meg a támaszerőket számítással.
41. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása
26
42. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és
irányának feltételezése
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅== 40sin40sin32αsinαsinF0ΣFx AA →A = –23.
Ez azt jelenti, hogy az A támaszerő nagysága 23 kN, iránya azonban ellentétes azzal, amit fel-
tételeztünk (43. ábra).
43. ábra: Rosszul feltételezett A támaszerő irányának javítása
Az y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( ) ( ) ( ) BBA −°⋅−°⋅−=−⋅−⋅−== 40cos3240cos32αcosαcosF0ΣFy →B = –35,24.
Ez azt jelenti, hogy az B támaszerő nagysága 35,24 kN, iránya azonban ellentétes azzal, amit
feltételeztünk (44. ábra).
27
44. ábra: Rosszul feltételezett B reakcióerő irányának javítása
2.2.5. példa Adott a 45. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva. F
= 40 kN, a = 3 m, b = 1 m és α=60 °. Határozzuk meg a támaszerőket számítással.
45. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása
Megoldás: az erőrendszert az F koncentrált erő, és a támaszoknál keletkező ismeretlen reakció-
erők alkotják – három erő összesen.
Az egyensúly feltétele, hogy ennek a három erőnek a hatásvonala egy pontban metssze egy-
mást. A B pontban a támaszerő hatásvonalának az iránya ismert, mivel a BC tartószerkezeti
elemet csak a két, csuklós végén éri terhelés. A B ismeretlen erő nagyságát és értelmét vesszük
fel ismeretlenként, és hatásvonalát meghosszabbítva metszésre hozzuk az F erő hatásvonalával
(46. ábra). Ez lesz a D pont. Ezen a ponton kell az A támaszerő hatásvonalának is áthaladnia az
egyensúly feltételének a teljesítéséhez. Ebben az esetben a tartó geometriájából ki tudjuk szá-
molni a vektorháromszög szögeit, amik a vetületi egyensúlyi egyenletek felírásához kellenek.
28
46. ábra: Támaszerők irányításának feltételezése, majd hatásvonalaik meghosszabbítása az F erő hatásvonaláig
Az A–B távolság (d+c) meghatározása:
( ) m46,35,0tan60
3
5,0
atanα =
⋅°=+→
⋅+= cd
cd
Az α’ meghatározása:
( ) °=→
−+=
−++=→=
°+=→
+= 9,7331,246,3
13batanm31,2
tan60
13batanα α'
ccdα'c
c.
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( ) ( ) ( )°⋅−°⋅+=⋅−⋅+== 60cos9,73cos04αcoscosF0ΣFx BABα'A .
y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅== 60sin9,73sinαsinsin0ΣFy BABα'A .
47. ábra: Rosszul feltételezett A reakcióerő irányának javítása
29
A két egyenletből álló, két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása:
A=–48,08→ A= 48,08 kN, iránya a feltételezettel ellentétes (47. ábra),
B=53,34 kN, iránya megegyezik a feltételezett iránnyal (47. ábra).
30
3. Síkbeli párhuzamos erőrendszerek Ebben a témakörben olyan erőrendszereket vizsgálunk melyekben valamennyi erő hatásvonala
párhuzamos egymással. Ahogy a közös metszéspontú erőrendszereknél, itt is két típusú példák-
kal találkozhatunk – eredő erő számítással és kiegyensúlyozással.
3.1. Síkbeli párhuzamos erőrendszer eredő erejének meghatározása
A feladat, hogy az erőrendszer eredőjének a nagyságát, helyzetét és helyét meghatározzuk a
viszonyítási koordináta rendszerben. A számító eljárás során a viszonyítási koordinátarendszert
vesszük fel elsőnek. Ezt célszerű úgy megtenni, hogy valamelyik koordináta tengelyt párhuza-
mosnak választjuk az erőrendszer elemeinek a hatásvonalával. Az eredő nagyságának megha-
tározásához a vetületi egyenletet használjuk fel, helyzete egyértelmű, helyének megadásához
pedig a nyomatéki tételt fogjuk használni.
3.1.1. példa Adott (48. ábra) egy párhuzamos erőrendszer három eleme és elhelyezkedésük a viszonyítási
koordináta rendszerben. Határozza meg az erőrendszer eredőjét számítással és szerkesztéssel.
Megoldás számítással – vetületi tétel alkalmazása:
y irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer vala-
mennyi elemét
kN41281932FFF 321 =+−=+−=yΣF .
Az eredő erő nagysága tehát FR = 41 kN. Helyzete egyértelmű, párhuzamos az erőrendszer
egyes elemeinek a hatásvonalával. Irányítása megegyezik a viszonyítási koordinátarendszer y
tengelyének pozitív értelmével, mivel a vetületi egyenletből pozitív számot kaptunk.
48. ábra: Párhuzamos erőrendszer eredőjének meghatározása
Az eredő helyét kell meghatározni még a viszonyítási koordinátarendszerben. Ehhez a nyoma-
téki tételt alkalmazzuk, miszerint egy erőrendszer eredőjének adott pontra vett nyomatéka meg
31
kell, hogy egyezzen az erőrendszer egyes elemeinek ugyanazon pontra vett nyomatékösszegé-
vel. Az adott pontot célszerű a felvett viszonyítási koordinátarendszer középpontjának válasz-
tani, illetve egy viszonyítási forgatási irányt is célszerű felvenni – jelen példában a pozitív for-
gatási irány az óramutató járásával ellentétes iránynak felel meg (49. ábra).
49. ábra: Párhuzamos erőrendszer eredő erejének a meghatározása – nyomatéki tétel felírása az eredő helyének a
számításához
3322110 kFkFkFΣM ⋅+⋅−⋅=⋅= RR kF .
Amennyiben minden ismert adatot behelyettesítünk az egyenletbe, akkor csak a kR lesz isme-
retlen, ami nem más, mint az eredő erő hatásvonalának távolsága a viszonyítási koordinátarend-
szer y tengelyétől.
0,3820,2912,12314ΣM 0 ⋅+⋅−⋅=⋅= Rk . Az egyenlőségből, ha kifejezzük a kR–t, a követke-
zőt kapjuk: m2,06=Rk .
Megoldás szerkesztéssel:
az áttekinthetőség miatt az erőket egymás mellett rajzoljuk. Első lépésként felvesszük a léptéket
(50. ábra).
50. ábra: Lépték felvétele – az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével
Ezután a léptéknek megfelelően felmérjük az F1 erőt (51. ábra).
32
51. ábra: Eredő erő szerkesztése – F1 erő felvétele
Következő lépésként az F1 erő végpontjából az F2 erőt mérjük fel léptékhelyesen (52. ábra),
majd az F2 erő végpontjából az F3 erőt (53. ábra).
52. ábra: Eredő erő szerkesztése – F2 erő felvétele
Az eredő erő nagyságát az F1 erő támadáspontjából, kezdőpontjából az F3 erő végpontjába hú-
zott egyenes leolvasása után kapjuk meg (54. ábra). Az eredő erő helyzete, iránya adódik a
szerkesztésből. Meg kell még határozni, hogy a felvett viszonyítási koordinátarendszerben hol
helyezkedik el az eredő erő.
53. ábra: Eredő erő szerkesztése – F3 erő felvétele
33
54. ábra: Eredő erő szerkesztése – eredő erő leolvasása
Az eredő erő helyzetének a kiszerkesztéséhez a vektor– és kötélsokszög szerkesztést használ-
juk. Először is újabb léptéket veszünk fel a távolságok felméréséhez (55. ábra).
55. ábra: Lépték felvétele a távolságok felméréséhez
Az 56. ábra szerint a léptéknek megfelelően felvesszük az erőket a viszonyítási koordinátarend-
szerben. Az ábrát kiegészítjük a jobb oldalán a már megismert vektorsokszöggel, ami mellé
tetszőleges helyre egy P pontot veszünk fel, amit nevezünk póluspontnak (57. ábra). Fontos,
hogy a póluspontnak a helye nem befolyásolja a végeredményt, ezért vehetjük fel tetszőleges
helyre. Következő lépésekben az erőrendszer egyes elemeit úgynevezett segéderőkkel felbont-
juk, helyettesítjük őket. Ehhez a P póluspontot használjuk fel. Először az F1 erőt bontjuk fel/he-
lyettesítjük S1 és S2 segéderőkkel (58. ábra), azaz F1 erő az S1 és S2 eredőjeként fogható fel.
34
56. ábra: Erőrendszer elemeinek léptékarányos felvétele a viszonyítási koordinátarendszerben
57. ábra: A vektorábra és a póluspont felvétele
Következő lépésben az F2 erőt bontjuk fel, annyi megkötéssel, hogy az egyik összetevő az S2
erő ellentettje, azaz –S2 legyen. A másik összetevő S3 erő lesz (59. ábra). Hasonlóan járunk el
az F3 erő felbontásával, az egyik összetevő az S3 erő ellentettje, azaz –S3 legyen. A másik ösz-
szetevő S4 erő lesz (60. ábra).
35
58. ábra: F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkkel
59. ábra: F2 erő felbontása –S2 és S3 segéderőkkel
60. ábra: F3 erő felbontása –S3 és S4 segéderőkkel
36
Ezután az S segéderőkkel helyettesítjük az erőrendszer egyes elemeit – a szerkesztést az 60.
ábra bal oldalán folytatjuk. Az F1 erőt S1 és S2 erőkre bontottuk fel, tehát a három erő hatásvo-
nala egy tetszőleges pontban, K1 pont, metszik egymást. Ezt a K1 pontot tetszőleges helyen
felvesszük az F1 erő hatásvonalán, majd ezen a ponton keresztül párhuzamost húzunk S1 hatás-
vonalával úgy, hogy másik erő hatásvonalát ne metsszük el (61. ábra).
61. ábra: Párhuzamos S1 segéderő hatásvonalával K 1 tetszőlegesen felvett ponton át
Következő lépésében az S2 segéderő hatásvonalával húzok párhuzamost még mindig a K1 pon-
ton keresztül; de úgy, hogy elmetssze az F2 erő hatásvonalát is (K2) – hiszen az S2 segéderőt
felhasználtuk az F2 erő felbontása során is (62. ábra).
62. ábra: Párhuzamos S2 segéderő hatásvonalával K 1 tetszőlegesen felvett ponton át, kimetszve K 2 pontot
37
Az F2, S2 és S3 erők közös metszéspontja a K2 pont lesz. Emiatt következő lépésként S3 segéd-
erővel húzunk párhuzamost K2 ponton át, hogy metssze F3 erő hatásvonalát (63. ábra).
63. ábra: Párhuzamos S3 segéderő hatásvonalával K 2 ponton át, kimetszve K 3 pontot
Utolsó előtti lépésként S4 segéderővel húzunk párhuzamost a K3 ponton át, mivel az F3 erőt S3
és S4 segéderőkkel helyettesítettük (64. ábra).
64. ábra: Párhuzamos S4 segéderő hatásvonalával K 3 ponton át
38
A jobb oldali vektorsokszögből adódik, hogy az eredő erőt S1 és S4 segéderőkkel helyettesítet-
tük. Eszerint az S1 és S4 segéderők, illetve az eredő erő hatásvonala egy pontban kell, hogy
metsszék egymást. Utolsó lépésként az S1 és S4 segéderőkkel húzott párhuzamosokat metszésre
kell hozni – így megkapjuk a K4 pontot. Ezen a ponton kell átmennie az eredő erő hatásvona-
lának, aminek az irányát már ismerjük. Ezzel az eredő erő meghatározás feladata teljessé vált.
65. ábra: Eredő helyének meghatározása – S1, S4 segéderő meghosszabbítása, metszése, K 4 pont megadása
Az eredő erőnek a helye, távolsága a viszonyítási koordinátarendszertől, leolvasható az ábráról.
Eszerint az eredő erő hatásvonala és a viszonyítási tengely távolsága 2,06 m.
Az 61. ábra – 65. ábrasorozat jobb oldala a vektorsokszög, míg a segéderőknek a baloldali,
párhuzamos része a kötélsokszög.
3.2. Síkbeli párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása
E témakörben olyan eseteket vizsgálunk, amikor egy tartószerkezeti elemre (pl.: gerenda) egy
vagy több külső terhelő erő hat, amelyek hatásvonalai egymással párhuzamosak. A tartószer-
kezetet különböző kényszerek (merev befogás, csukló, görgő) támasztják meg, biztosítva ezzel
az egyensúlyt, hogy a tartószerkezet ne mozduljon el. Meg kell határozni a támaszoknál (kény-
szereknél) ébredő reakció (támasz vagy kényszererőket) erőket. A feladat megoldásához itt is
célszerű felvenni egy viszonyítási koordináta rendszert és egy viszonyítási forgatási irányt is.
A feladat ilyenkor a következő: meg kell határozni az erőrendszer hiányzó elemeit, azaz a tá-
maszoknál ébredő ismeretlen reakcióerőket, a nagyságukat és az irányukat.
A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el, mint eredő erő szerkesztésekor.
39
3.2.1. példa Adott az 66. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, baloldali végén egy csuklóval (A
pont), jobboldali végén egy görgővel (B pont) megtámasztva. A tartószerkezetet hossztenge-
lyére merőlegesen terheli F1=19 kN, F2=26 kN és F3= 15 kN koncentrált erők. Elhelyezkedésük
ismert, a = 1 m. Határozza meg a kényszereknél ébredő támaszerőket számítással és szerkesz-
téssel.
66. ábra: Párhuzamos hatásvonalú erőrendszer kiegyensúlyozása – reakció erő meghatározás
A számító eljárás során az első lépés, hogy a támaszoknál fellépő támasz erők nagyságát és
irányát feltételezzük. Az A csukló megakadályozza a tartószerkezet elmozdulását úgy x, mint
y irányban. Ezért ott Ax és Ay erőket is feltételeznünk kell. A B támasz csak a támaszra merőle-
ges elmozdulását akadályozza meg a tartószerkezetnek, így ott csak egy y tengellyel párhuza-
mos hatásvonalú erő nagyságát és értelmét feltételezzük (67. ábra). A tartószerkezetet terhelő
erőrendszernek így öt eleme van jelen példában, F1, F2 és F3 ható erők és FA, FB ismeretlen erők.
67. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása – támaszerők nagyságának és irányának feltételezése
Az egyensúly feltétele, hogy az eredő nagysága nulla legyen. Ha ez fenn áll, akkor a tartószer-
kezet sem x, sem y irányban nem mozdul el. Azonban ha az eredő erő zérus, az nem jelenti
automatikusan, hogy nem mozdul el a szerkezet. Ugyanis az eredő erő lehet erőpár is. Azaz az
erőrendszer eredőjének erőértéke zérus, de nyomatéka van. Ebben az esetben a tartószerkezet
egy adott pont körül forgómozgást végez. Természetesen az egyensúly feltétele, hogy a tartó-
szerkezet sem haladó, sem forgómozgást nem végezhet. Ehhez nem elegendő a már ismert két
vetületi egyensúlyi egyenletet felírni:
40
xA−== 0ΣFx és 321y FFF0ΣF −+−+== yy BA .
Matematikai szempontból sem megoldható a két egyenletből álló három–ismeretlenes egyen-
letrendszer. Az erőrendszerre ugyanúgy érvényes a nyomatéki tétel is. Ha azonban az erőrend-
szer eredője nulla, annak nyomatéka bármely tetszőlegesen kiválasztott pontra is nulla lesz. Így
írhatjuk fel tetszőlegesen választott pontra a nyomatéki egyensúlyi egyenletet. A pontot, amire
vesszük az erőrendszer valamennyi elemének a nyomatékösszegét, úgy célszerű felvenni, hogy
az egyenletben az ismeretlenek száma minimális legyen. Ezt úgy érhetjük el, hogy a nyomaté-
kot olyan pontra írjuk fel, amelyen minél több ismeretlen erő hatásvonala átmegy. Jelen példá-
ban először az A pontra írunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:
3a)1,75a1,75a(1,5a1,75a)1,75a(1,5aF1,75a)(1,5aF(1,5a)F
0ΣM
123
A
+++⋅+++⋅−+⋅+⋅−===
B .
Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen a B támasznál fellépő B reakcióerő, mivel Ax és Ay
hatásvonala is átmegy az A ponton, így nyomatékuk az A pontra zérus. Behelyettesítés után:
[m]8[m]5kN][91[m]25,3kN][62[m]5,1kN][510ΣM A ⋅+⋅−⋅+⋅−== B . Az egyenletből B–
re a következőt kapjuk: B = 4,125 kN. Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt jelenti,
hogy helyes volt a B erőnek feltételezett iránya. Az eredmény felírása helyesen:
B = 4,125 kN (↑).
A következő lépésben a B pontra is felírunk egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:
3a)1,75a1,75a(1,5a1,75a)1,75a(3aF1,75a)(3aFa)3(F
0ΣM
321
B
+++⋅−++⋅++⋅−⋅===
yA.
Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen az A támasznál fellépő Ay reakcióerő, mivel Ax és By
hatásvonala is átmegy a B ponton, így nyomatékuk a B pontra zérus. Behelyettesítés után:
[m]8[m]5,6kN][51[m]75,4kN][62[m]3kN][190ΣM B ⋅−⋅+⋅−⋅== yA . Az egyenletből Ay–
ra a következőt kapjuk: Ay = 3,875 kN. Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt jelenti,
hogy helyes volt az Ay erőnek feltételezett iránya. Az eredmény felírása helyesen:
Ay = 3,875 kN (↑).
Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletből egyértelműen kiderül, hogy az A pontban feltéte-
lezett Ax komponens zérus.
Az y irányú vetületi egyenletbe, ha behelyettesítünk, ellenőrizhetjük a nyomatéki egyensúlyi
egyenletek eredményeit: 516291125,4875,30ΣFy −+−+== . Az egyenlőség fennáll. Az A
41
reakcióerő nagysága megegyezik az Ay–nal ( kN3,8753,8750 2 =+=+= 2y
2x AAA ), hatás-
vonala párhuzamos az y tengellyel, míg irányítása pozitív a viszonyítási koordinátatengelyhez
képest.
A szerkesztő eljárás hasonlóan történik, mint a párhuzamos erőrendszer eredőjének a 61. ábra
– 65. ábrasorozaton bemutatott eljárása. Úgy az erőnek, mint a távolságnak felvesszük a lépté-
ket (68. ábra), majd léptékhelyesen felvesszük a tartószerkezetet és a rá ható erőket 69. ábra).
68. ábra: Lépték felvétele
69. ábra: A tartószerkezet és a rá ható erők léptékhelyes felvétele
70. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása – vektorábra rajzolása
42
A következő lépésben az 70. ábra jobb oldalára egymás után felmérjük a ható erőket, az F1, F2
és F3 koncentrált erőket és egy tetszőleges helyre felvesszük a P póluspontot. Az F1, F2 és F3
koncentrált erőket felbontjuk, helyettesítjük S segéderőkkel. Először az F1 erőt bontjuk fel S1
és S2 segéderőkre (71. ábra). Ezután az F2 erőt helyettesítjük –S2 és S3 segéderőkkel (72. ábra),
végül F3 erőt bontjuk fel –S3 és S4 segéderőkre (73. ábra). Tudjuk azt, hogy az erőrendszer két
ismeretlen elemét, A és B erőket, ha felmérjük a vektorábrába, akkor a vektorsokszögnek foly-
tonos nyílértelemmel kell záródnia. Így lesz az eredő erő nulla, így lesz egyensúly. Az A és B
erők nagyságának a megszerkesztéséhez a kötélábrát kell megrajzolnunk.
71. ábra: F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkre
72. ábra: F2 erő felbontása –S2 és S3 segéderőkre
43
73. ábra: F3 erő felbontása –S3 és S4 segéderőkre
Először párhuzamost húzunk S1 segéderővel az A ponton keresztül, hogy metssze F1 erő hatás-
vonalát (74. ábra) – ugyanis S1 segéderő ellentettje, –S1 az A reakcióerőt helyettesítő erő egyike
lesz. Az A reakcióerő hatásvonalának pedig egyetlen pontját ismerjük, magát az A pontot. Azért
nem a B pontból indítjuk a szerkesztést, mert a B támaszerőnek a hatásvonala ismert – görgő
esetében támaszra merőleges. A kötélábra szerkesztése végén az utolsó segéderőnek (S4) met-
szeni kellene az A támaszerő hatásvonalát, azaz az A ponton kellene áthaladnia. Ez pedig nem
lehetséges – csak véletlenszerűen sikerülhet.
74. ábra: Kötélábra – párhuzamos S1 segéderővel az A ponton át
44
75. ábra: Kötélábra – párhuzamos S2 segéderővel K 1 ponton át, metszve F2 hatásvonalát K 2 pontban
Következő lépésként S2 segéderővel húzunk párhuzamost a K1 ponton át úgy, hogy S2 hatásvo-
nala metssze F2 hatásvonalát (75. ábra). A metszéspont K2. Ezután S3 segéderő hatásvonalával
húzunk párhuzamost K2 ponton át, hogy elmetsszük F3 hatásvonalát a K3 pontban (76. ábra).
Végül K3 ponton át húzunk párhuzamost S4 segéderővel, hogy metssze B támaszerő hatásvo-
nalát (77. ábra). A metszéspont K4. Ezután összekötjük A és K4 pontokat, az egyenest záróvo-
nalnak nevezzük (78. ábra).
76. ábra: Kötélábra – párhuzamos S3 segéderővel K 2 ponton át, metszve F3 hatásvonalát K 3 pontban
45
77. ábra: Kötélábra – párhuzamos S4 segéderővel K 3 ponton át, metszve B hatásvonalát K 4 pontban
78. ábra: Kötélábra – záróvonal szerkesztés, A és K 4 pontok összekötése pontvonallal
Végül a záróvonallal párhuzamost húzunk a vektorábrán szereplő P pólusponton keresztül (79.
ábra). Jól látható a kötélábráról, hogy az A támaszerőt a (–)Z és (–)S1 segéderők helyettesítik –
ennek a három erőnek a hatásvonala metszi egymást az A pontban, míg a B támaszerőt (–)S4
és Z segéderők helyettesítik – ennek a három erőnek a hatásvonala metszi egymást az K4 pont-
ban.
46
79. ábra: Záróvonal behúzása a pólusponton át, K 5 pontot kimetszve a vektorábrából, a reakció erők leolvasása
A vektorábráról leolvashatjuk a felvett lépték segítségével a támaszerők nagyságát.
3.2.2. példa Adott a 80. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, a viszonyítási koordinátarendszer, az
F=11 kN koncentrált erő, q1=5 kN/m és q2=3 kN vonal mentén egyenletesen megoszló erők,
illetve az a=2 m távolság. Határozza meg a támaszoknál ébredő kényszererőket számítással.
80. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása – koncentrált és vonal mentén megoszló erővel terhelt egye-
nes tengelyű tartószerkezet
Első lépésben a megoszló erőket helyettesítjük koncentrált erőkkel – erre azért van szükség,
mert a megoszló erőknek a nyomatékát egy tetszőlegesen választott pontra a helyettesítő erők-
nek a hatásvonala fogja meghatározni, ezek alapján olvassuk le az erőkarokat. A q1=5 kN/m
egyenletesen megoszló terhelés 1,5a = 3 m hosszon hat, míg a q2=3 kN/m egyenletesen meg-
oszló terhelés 3a = 6 m hosszon hat. A helyettesítő erők nagysága:
kN152)(1,55(1,5a)q1 =⋅⋅=⋅=1Q és kN182)(33(3a)q2 =⋅⋅=⋅=2Q .
Látható, a helyettesítő erő nagysága az azt szimbolizáló téglalap területével egyezik meg, a
hatásvonalát mindig a megoszló terhelés súlypontjába helyezzük el (81. ábra).
47
81. ábra: Egyenletesen megoszló erők helyettesítése koncentrált erőkkel
Ezután a tartót megtámasztó kényszereknél feltételezzük az ismeretlen reakcióerők nagyságát
és irányát. Az A pontban egy csukló a támasz, ami megakadályozza a tartószerkezet elmozdu-
lását x és y irányokban. Így az A pontban Ax és Ay kényszererőket feltételezünk. A B pontban
egy görgő a kényszer, így ott a támaszra merőleges hatásvonalú B reakcióerőt feltételezünk (82.
ábra). Ezután már felírhatjuk az egyensúlyi egyenleteket.
82. ábra: Reakcióerők nagyságának és irányának, értelmének feltételezése
Először az A pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )3,5a2,5aF2
3a1,5a3aq
2
1,5aq
aa1,5aa1,5aF2
aaa1,5aaaaq
2
1,5a1,5aq
aa1,5aa1,5aF2
aaa1,5a
2
1,5a0ΣM
2
21
21
A
⋅+⋅−
+⋅⋅−⋅
−=
=++⋅++⋅−
+++⋅++⋅−⋅⋅−=
=++⋅++⋅−
+++⋅−⋅−==
B
B
BQQ 21
.
Behelyettesítés után:
( ) ( ) ( ) ( )23,522,5112
2321,5233
2
21,550ΣM
2
A ⋅⋅+⋅⋅−
⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−== B .
Az egyenlőségből a B ismeretlent kifejezve: B = 26,5 kN.
A B pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:
48
( )
( ) ( )( ) ( )
( ),5a3aF2
3aq
2
25,8aq
1,5aaaaFa2
aaaaaaq
2
1,5aaa1,5aq
1,5aaaaFa2
aaa
2
1,5aaa0ΣM
22
21
21
B
⋅−⋅+⋅⋅
+⋅⋅
=
=++⋅−⋅+
−++⋅++⋅+
++⋅⋅=
=++⋅−⋅+
−++⋅+
++⋅==
y
y
y21
A
A
AQQ
Behelyettesítés után:
72112
323
2
25,8250ΣM
22
A ⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅== yA
Az egyenlőségből az Ay ismeretlent kifejezve: Ay = 17,5 kN.
Ellenőrzésként az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletet írjuk fel:
( )( ) 026,517,511222321,55
Faaaq1,5aq0ΣF 21y
=++−++⋅−⋅⋅−=
=++−++⋅−⋅−== BAy
Az x irányú vetületi egyenletben csak az Ax ismeretlen szerepel, ami így nullával egyenlő.
A keresett reakcióerők eredményei helyesen feltüntetve:
Ay = 17,5 kN (↑) és B = 26,5 kN (↑).
49
4. Síkbeli általános erőrendszerek Síkbeli általános erőrendszer esetében az erőrendszer egyes elemei egymáshoz képest teljesen
általános helyzetben helyezkednek el. Eddigi ismereteinket felhasználva vagy eredő erő számí-
tás, vagy kiegyensúlyozás a feladatunk.
4.1. Síkbeli általános erőrendszer eredő (helyettesítő) erejének a meghatározása
4.1.1. példa Adott a (83. ábra) az x–y viszonyítási koordináta rendszer, F1 kN, F2 kN és F3 kN erők nagysága
és iránya a viszonyítási koordináta rendszerben, M kNm koncentrált nyomaték és a m távolság.
F1 = 5 kN, α1 = 85 °, F2 = 4 kN, α2 = 50 °, F3 = 15 kN, α3 = 15 °, M = 19 kNm és a = 1,6 m
távolság. Határozza meg az erőrendszer eredőjét számítással és szerkesztéssel.
83. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredő erejének meghatározása
Megoldás számítással
Első lépésben a vetületi tételt alkalmazzuk a viszonyítási koordinátarendszer két tengelyére. Az
x irányú vetületi egyenlet:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 86,111590sin 515090 cos48590sin 5
15 cos5150sin 485 cos5
α90sin Fα90 cosFα90sin F
α cosFαsin Fα cosFFFF
332211
3322113x2x1x
−=°−⋅−°−⋅+°−⋅−=
=°⋅−°⋅+°⋅−==−⋅−−⋅+−⋅−=
=⋅−⋅+⋅−=−+−=
°°°
°°°
∑ xF
Ez azt jelenti, hogy az eredő erő a viszonyítási koordinátarendszer x tengelyére vett vetületének
nagysága 11,86 kN, irányítása pedig ellentétes. A vetületi egyenlet eredménye helyesen felírva:
)( kN11,86 ←==∑ Rxx FF .
Az y irányú vetületi egyenlet:
50
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 29,615-90cos1550-90sin485-90cos5
sin1515cos504sin855
α-90cosFα-90sinFα-90cosF
sinαFcosαFsinαFFFF
332211
3322113y2y1y
−=°⋅−°⋅+°⋅−=
=°⋅−°⋅+°⋅−==⋅−⋅+⋅−=
=⋅−⋅+⋅−=−+−=
°°°
°°°
∑ yF
Ez azt jelenti, hogy az eredő erő a viszonyítási koordinátarendszer y tengelyére vett vetületének
nagysága 6,29 kN, iránya pedig ellentétes. A vetületi egyenlet eredménye helyesen felírva:
( )↓==∑ kN29,6Ryy FF .
Az eredő erő nagyságát a következők szerint kapjuk meg:
kN13,426,2911,86 2222 =+=+= RyRxR FFF .
A következő lépés az erőrendszer eredőjének az elhelyezkedése, helyzetének megadása a vi-
szonyítási koordináta rendszerben – hogyan helyezkedik el az eredő erő a viszonyítási koordi-
náta rendszer tengelyeihez képest. Azt szeretnénk megtudni, hogy az eredő erő hatásvonala
mekkora szöget zár be a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel. A 84. ábra jelöléseit
használva az α a vízszintessel bezárt szög. Meghatározása valamely szögfüggvény alkalmazá-
sával történik.
84. ábra: Eredő erő nagyságának és helyzetének a meghatározása a viszonyítási koordináta rendszerben
°=
=
=
=
=
=
=
=
27,911,86
6,29arctan
13,42
11,86arccos
13,42
6,29arcsin
arctanarccosarcsinRx
Ry
R
Rx
R
Ry
F
F
F
F
F
Fα
Végül pedig azt kell meghatároznunk, hogy az eredő erő hol helyezkedik a viszonyítási koor-
dináta rendszerben. Ehhez a nyomatéki tételt használjuk fel, azaz az erőrendszer minden egyes
elemének vesszük a nyomatékát egy adott pontra, jelen esetben a viszonyítási koordináta rend-
szer középpontjára, és előjelhelyesen összegezzük őket. Az egyenlet helyes felírásához és az
előjelhelyes összegzéséhez célszerű felvenni egy viszonyítási forgatási irányt (a viszonyítási
koordináta rendszerünk jobbforgású, ami egyértelműen meghatározza a viszonyítási forgatási
irányt is). Adott pont körüli pozitív forgatásnak az óramutató járásával ellentétes irányt értjük.
51
85. ábra: Erőrendszer egyes elemeinek nyomatéka a viszonyítási koordináta rendszer középpontjára
A 85. ábra az egyes erők hatásvonalának a meghosszabbítását mutatja, illetve az origóból ezen
egyenesekre bocsátott merőlegesek (k1, k2, k3) vannak feltüntetve. E merőleges egyenesek hosz-
szát kellene kiszámolni a nyomatékok meghatározásához, ami lehetséges, de hosszadalmas.
Ehelyett a következőket tesszük. Az egyes erőknek a vetületi egyenletek során az x és y irányú
komponenseivel számolunk. A nyomatéki tétel értelmében, ha az adott erő egyes komponense-
inek a nyomatékát vesszük külön – külön adott pontra, ugyanazt kapjuk, mintha magának az
adott erőnek vettük volna a nyomatékát az adott pontra. Ennek figyelembe vételével a nyoma-
téki tétel első részének alkalmazása:
→−=−⋅⋅°⋅−⋅°⋅++⋅°⋅+⋅⋅°⋅−⋅°⋅−⋅⋅°⋅=
=−⋅⋅⋅−⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=
=−⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅−⋅⋅=
,531291)6,1(3)(15sin51)(1,6)(15cos51
)(1,6)(50cos4)6,1(1,9)(50sin4)(1,6)(85sin5)6,1(3)(85cos5
Ma)(3)(αsinF)(a)(αcosF
)(a)(αcosF)a(1,9)(αsinF)(a)(αsinF)a(3)(αcosF
Ma)(3F)(aF)(aF)a(2F)(aF)a(3F
3333
22221111
3y3x2y2x1y1xOΣM
Ez azt jelenti, hogy az erőrendszer egyes elemeinek origóra (O pont) vett eredő nyomatéka
12,53 kNm nagyságú. A forgatóhatás iránya az óramutató járásával megegyező irányú. Ezt on-
nan tudjuk, hogy az eredményre negatív értéket kaptunk, ami a felvett viszonyítási forgatási
irányunkkal ellentétes irányt jelent. Ez az érték és a forgatás iránya meg kell egyezzen az erő-
rendszer eredőjének ugyancsak az origóra vett nyomatékával. Figyelembe véve, hogy az eredő
hogyan (α, β szögek) helyezkedik el a viszonyítási koordinátarendszerben, a 86. ábra szemlél-
teti az eredő erőnek a helyét. A kérdés a kR távolság. A nyomatéki tétel második részének al-
kalmazása: RRO FkΣM ⋅== kNm,5312 , ahonnan
m93,0kN13,42
kNm12,53 ===R
OR F
ΣMk .
52
86. ábra: Eredő erő elhelyezkedése a viszonyítási koordinátarendszerben
Megoldás szerkesztéssel
Először felvesszük a léptéket (87. ábra) – ezt mindig az erők nagyságának és elhelyezkedésének
a figyelembevételével tesszük meg. Ezután egy tetszőlegesen választott G pontból az F1 erő
hatásvonalával párhuzamost húzunk az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes
hossza a léptéknek megfelelően 2,5 cm (88. ábra). Következő lépésekben az F2 és F3 erőket
mérjük fel (89. ábra és 90. ábra).
87. ábra: Erőlépték felvétele
88. ábra: F1 erő léptékhelyes felvétele
89. ábra: F2 erő léptékhelyes felvétele
53
90. ábra: F3 erő léptékhelyes felvétele
Az eredő erő támadáspontja a tetszőlegesen felvett P pont lesz, és az F3 erő végpontjába mutat.
Ez meghatározza az eredő irányát és értelmét is (91. ábra).
91. ábra: Az eredő hatásvonalának iránya és az erő irányítása
A következő lépés az eredő helyének (kr) a meghatározása az adott viszonyítási koordináta-
rendszerben. Ehhez a vektor és kötélsokszöget kell megszerkesztenünk.
Azonban mielőtt ezt megtesszük, nagyon lényeges, hogy az erőrendszerben működő nyomaté-
kot (erőpárt) is figyelembe vegyük. Az M nyomatéknak ugyanis az eredő erő nagyságára nincs
hatása (erőértéke nulla), de az elhelyezkedésére igen. Először a távolságléptéket vesszük fel
(92. ábra). Ezután az M koncentrált nyomatékot helyettesítjük az FM erőpárral (93. ábra). Az
FM erő értéke: 1F1FkNm6M MM ⋅+⋅==
→ kN3FM = .
92. ábra: Távolságlépték felvétele
54
93. ábra: A koncentrált nyomaték helyettesítése erőpárral
Ezt az FM erőt kell kétszer felvennünk a vektorsokszögben egy tetszőleges helyre – jelen példá-
ban az F2 erő végpontjából mérjük fel. Az erőpár másik, ellentétes értelmű tagja ugyanebbe a
pontba fog mutatni (94. ábra), és innen folytatódik az adott erők további felvétele.
94. ábra: Az M koncentrált nyomaték figyelembe vétele, mint erőpár
Most már nekifoghatunk a vektor– és kötélsokszög szerkesztésének. A tetszőleges helyre fel-
vett póluspontot P – vel jelöljük, és megrajzoljuk a S segéderőket. Először az F1 erőt bontjuk
fel S1 és S2 segéderőkre a vektorábrán. S1 segéderő hatásvonalával párhuzamost húzunk a kötél-
ábrán, oly módon, hogy egy tetszőleges K1 pontban elmetssze F1 erő hatásvonalát (95. ábra).
Ezen a K1 ponton át párhuzamost húzunk S2 erő hatásvonalával is.
55
95. ábra: F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkre, K 1 pont meghatározása
Ezután F2 erőt bontjuk fel –S2 és S3 segéderőkre a vektorábrán. A kötélábrán a K1 ponton átmenő
S2 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk, és metszésre hozzuk F2 erő hatásvonalával. A met-
széspont a K2 pont lesz, amin keresztül párhuzamost húzunk S3 segéderő hatásvonalával (96.
ábra).
96. ábra: F2 erő felbontása –S2 és S3 segéderőkre, K 2 pont meghatározása
A következő lépésben a felfelé mutató FM erőt bontjuk fel –S3 és S4 segéderőkre a vektorábrán.
A K2 ponton áthaladó S3 segéderőt meghosszabbítjuk a kötélábrán, hogy metssze a felfele mu-
tató FM erő hatásvonalát (97. ábra). K3 lesz a metszéspont, amin keresztül párhuzamost húzunk
S4 segéderő hatásvonalával is.
56
97. ábra: FM (↑) erő felbontása –S3 és S4 segéderőkre, K 3 pont meghatározása
Ezután a lefelé mutató FM erőt kell felbontani segéderőkre. Ezek a –S4 és S3 erők lesznek. A
kötélábrán S4 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk, és metszésre hozzuk a lefelé mutató FM
erő hatásvonalával. K4 lesz a metszéspont. Ezen a ponton át húzunk párhuzamost az S3 segéd-
erővel (98. ábra). Következő lépésként az F3 erőt bontjuk fel –S3 és S5 segéderőkre a vektoráb-
rán. A kötélábrán a K4 ponton átmenő S3 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk, metszésre
hozzuk F3 erő hatásvonalával.
98. ábra: FM (↓) erő felbontása –S4 és S3 segéderőkre, K 4 pont meghatározása
K5 lesz a metszéspont (99. ábra), amin keresztül párhuzamost húzunk S5 segéderő hatásvona-
lával.
57
99. ábra: F3 erő felbontása –S3 és S5 segéderőkre, K 5 pont meghatározása
Végül a legelső lépésben a tetszőleges K1 ponton át felett S1 segéderő hatásvonalát metszésre
hozzuk a legutolsóként a K5 ponton keresztül felvett S5 segéderő hatásvonalával.
100. ábra: K6 pont, az eredő helyének a meghatározása
K6 lesz a metszéspont. Ezen a ponton kell az eredő erőnek áthaladnia – párhuzamost húzunk az
FR eredő hatásvonalával K6 ponton keresztül (100. ábra).
58
101. ábra: A teljes vektor és kötélábra
A teljes vektor és kötélábrát a 101. ábra mutatja.
4.2. Síkbeli általános erőrendszer kiegyensúlyozása
4.2.1. példa Adott a 102. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, a viszonyítási koordinátarendszer,
az F=7 kN koncentrált erő, α=60 °, q1=2 kN/m és q2=3 kN vonal mentén egyenletesen megoszló
erők, illetve az a=2 m távolság. Határozza meg a támaszoknál ébredő kényszererőket számítás-
sal és szerkesztéssel.
102. ábra: Egyenes tengelyű tartó általános terhelése
Megoldás számítással
Előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és feltételezett irányú erőket (103.
ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra.
59
103. ábra: Ismeretlen nagyságú és irányú reakcióerők felvétele
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )221,52sin60221,572
25,1221,525,123
2
21,52
a1,5a2sinαa1,5aF2
a5,1a1,5aa5,1aq
2
1,5aq0ΣM
2
2
21
A
+⋅⋅⋅+°⋅+⋅⋅−
⋅++⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅−=
=+⋅⋅+⋅+⋅−
++⋅+⋅−⋅
−==
B
B
B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=15,23 kN (↑).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )221,522
25,125,1221,52
2
25,123sin6021,57
a1,5a22
a5,1a5,1a1,5aq
2
a5,1aqsinα1,5aF0ΣM
2
1
22
B
+⋅⋅⋅−
⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+°⋅⋅⋅=
=+⋅⋅−
++⋅⋅++⋅+⋅⋅==
y
y
A
A
Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay =11,84 kN (↑).
Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása után kifejezhetjük az Ax ismeretlent is:
⇒−⋅== xAcosαF0ΣFx Ax =3,5 kN (←).
Az reakcióerő nagysága: kN,351284,115,3 2222 =+=+= yx AAA
Az ismeretlen erőknek feltételezett irányok, értelmek minden esetben jók voltak.
Megoldás szerkesztéssel
104. ábra: Erőlépték felvétele
Elsőként felvesszük a léptéket (104. ábra). Lehetőség szerint mind az erő–, mind a távolság
léptéket úgy határozzuk meg, hogy a lapon kényelmesen, de jól láthatóan legyenek feltüntetve
a tartó méretei, illetve az erők nagyságai. Arra is gondolni kell, hogy a szerkesztés folyamán az
erők hatásvonalai egy esetleges távolabbi pontban metsződnek. (Ennek kézi szerkesztésnél van
jelentősége, számítógépes kivitelezés esetén természetesen korlátlan felület áll rendelkezé-
sünkre.)
60
105. ábra: Külső erők léptékhelyes felmérése
A következő lépésben (105. ábra) a tartószerkezetet vesszük fel léptékhelyesen az ábra bal ol-
dalán – ez a kötélsokszög kiindulási alapja. Jobbra a tartószerkezetre ható külső, aktív erőket
vesszük fel léptékhelyesen – ez a vektorsokszög kiindulási alapja. A megoszló erőket a helyet-
tesítő erőikkel (Q1, Q2) vesszük figyelembe. Ezután (106. ábra) az vektorábrától jobbra tetsző-
leges helyen felvesszük a P póluspontot. F erőt felbontjuk S1 és S2 segéderőkre. S1 segéderő
hatásvonalával párhuzamost húzunk az A ponton keresztül, hogy metssze F erő hatásvonalát.
A metszéspont a K1. A következő lépésben (107. ábra) Q1 erőt bontjuk fel –S2 és S3 segéderőkre
a vektorábrán, majd a kötélábrán S2 segéderő hatásvonalával párhuzamost húzunk K1 ponton
át, hogy elmetsszük a Q1 hatásvonalát. A metszéspont K2. Ezután (108. ábra), ismét a vektor-
ábrán, felbontjuk a Q2 erőt –S3 és S4 segéderőkre. A kötélerő ábrán S3 segéderő hatásvonalával
párhuzamost húzunk K2 ponton át, hogy metsszük Q2 hatásvonalát. A metszéspont a K3.
61
106. ábra: F erő felbontása S1, S2 segéderőkre, K 1 pont meghatározása
107. ábra: Q1 erő felbontása –S2, S3 segéderőkre K 2 pont meghatározása
62
108. ábra: Q2 erő felbontása –S3, S4 segéderőkre K 3 és K 4 pontok meghatározása
109. ábra: Záróvonal meghatározása, A és B reakcióerők leolvasása a vektorábráról
63
Most az S4 segéderő hatásvonalával húzunk párhuzamost a K3 ponton át, hogy elmetsszük a B
támaszerő hatásvonalát. Az újabb metszéspont K4.
Tudjuk azt, hogy a vektorábrán Q2 végpontja az egyben az ismeretlen B kényszererő támadás-
pontja is. A B erő végpontja a szintén ismeretlen A támaszerő támadáspontja lesz. Azt azonban
tudjuk, hogy az A erőnek az elsőként felvett F erő kiindulási pontjába kell mutatnia, különben
nem áll fenn az egyensúly (ekkor kapunk nullvektort az erőrendszer eredőjére). A jobboldali
vektorábrán láthatjuk, hogy egy berajzolt segéderő mindig két erő felbontásakor jelenik meg,
csak ellentétes értelemmel.
Ez annyit jelent, hogy következő lépésként a K4 ponton keresztül kellene egy párhuzamost húz-
nunk azzal a segéderővel, ami a póluspont és a B erő végpontját köti össze. Ennek a segéderőnek
az ellentettjével kellene az A erőt is felbontani. Ennek értelmében ennek az ismeretlen segéd-
erőnek a K4 ponton és az A erő hatásvonalán mindenképpen át kell haladnia. Az erő hatásvo-
nalának pedig egyetlen pontja ismert, mégpedig maga az A pont, ahonnan a kötélábra szerkesz-
tését elkezdtük.
A szerkesztés befejezéseként (109. ábra) semmi más dolgunk, mint K4 és A pontokat összekötni
a kötélerő ábrán. A két pontot összekötő egyenest nevezzük záróvonalnak. Végül a záróvonallal
húzunk párhuzamost a vektorábrán a P pólusponton keresztül. Ez az egyenes fogja kimetszeni
nekünk a függőleges helyzetű B támaszerő végpontját, ami az A támaszerő támadáspontja is. A
léptéknek megfelelően le kell olvasni az eredményeket.
A további példákban a megoldást csak számító eljárással határozzuk meg, a szerkesztő eljárást
már nem ismertetjük.
4.2.2. példa Adott a 110. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, az F=20 kN koncentrált erő, q=5
kN/m vonal mentén egyenletesen megoszló erő, M=8 kNm koncentrált nyomaték, illetve az
a=1 m távolság. Határozzuk meg a támaszerőket számítással.
110. ábra: Kéttámaszú tartó kiegyensúlyozása
Megoldás: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú erőket (111.
ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra. Az A pontban csak
64
függőleges, y irányú erőt veszünk fel, mivel az Ax kivételével x irányú erő nem működik az
erőrendszerben. Így a vízszintes vetületi egyensúly csak úgy teljesül, ha Ax=0.
111. ábra: Ismeretlen támaszerők felvétele / feltételezése
( )
( ) 141022
10,751211,25110,751258
4aaF2
0,75a2a1,25aa0,75a2aqM0ΣM A
⋅⋅+⋅−
⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−=
=⋅+⋅−
+++⋅+⋅−==
B
B
B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=15,46 kN (↑).
537,05,2583024
5a37,0a5,2qM3aF4a0ΣM B
⋅⋅++⋅+⋅==⋅⋅++⋅+⋅==
A
A
A ismeretlenre a következőt kapjuk: A = –18,17 → A=18,17 kN (↑).
65
5. Igénybevételek – rácsos tartók A tartószerkezetre ható erőrendszer (külső erők és támaszerők együttesen) hatására a tartó bel-
sejében is erők keletkeznek. Ezeket az erőket nevezzük belső erőknek vagy más néven igény-
bevételeknek. A tartószerkezet egy tetszőleges K keresztmetszetének igénybevételét oly módon
határozzuk meg, hogy a K–keresztmetszettől jobbra vagy balra ható erők eredőjét számítjuk ki.
Megkülönböztetjük a normál igénybevételt (tartószerkezet hossztengelyével párhuzamos ha-
tásvonalú erők eredője), nyíró igénybevételt (tartószerkezet hossztengelyére merőleges hatás-
vonalú erők eredője) és a hajlító igénybevételt.
Rácsos tartókról abban esetben beszélünk, ha a tartószerkezetet rudakból építjük fel, amelyek
csuklóval kapcsolódnak egymáshoz. A külső terheléseket csak a csuklókban visszük fel a tar-
tóra. A közös metszéspontú erőrendszereknél tanultak alapján ilyenkor a tartószerkezeti ele-
mekben, a rudakban csak normál igénybevétel lép fel. Ez az igénybevétel kétirányú lehet –
húzás (+) vagy nyomás (–).
5.1.1. példa Adott a 112. ábra szerinti rácsos tartószerkezet, az F=6 kN koncentrált erő, illetve az a=2,4 m
távolság. Határozzuk meg a támaszerőket és a rudak igénybevételeit számítással.
112. ábra: Rácsos tartó szerkezet
Megoldás: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket
(113. ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet az A és B pontokra, végül pedig vetületi
egyensúlyi egyenletet írunk fel.
66
113. ábra: Rácsos tartó kiegyensúlyozása – támaszerők felvétele
2,422,462,4262,4362,446
2aaF2aF3aF4aF0ΣM A
⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==
B
B
B ismeretlenre a következőt kapjuk: B= –30 →B= 30,0 kN (→),
2,422,462,4262,4362,446
2aaF2aF3aF4aF0ΣMB
⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅−⋅+⋅+⋅+⋅==
x
x
A
A
Ax ismeretlenre a következőt kapjuk: Ax = 30,0 kN (←),
yy AA +⋅−=+⋅−== 64F40ΣFy
Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay = 24 kN (↑).
Most már ismerjük a tartószerkezetre működő külső erőrendszer minden elemét (114. ábra).
114. ábra: Rácsos tartóra ható erőrendszer
A következő lépésben az egyes rudak igénybevételeit kell meghatároznunk. Ezt kétféle mód-
szerrel tehetjük meg. Az egyik az úgynevezett csomóponti módszer, a másik a 3–as átmetszés
módszere.
67
A csomóponti módszer lényege, hogy a rácsos tartószerkezetnek egy olyan csomópontját,
csuklóját választjuk ki először, amelybe legfeljebb két ismeretlen tartószerkezeti elem, rúd csat-
lakozik. A kiválasztott csomópontot, mint egy egyensúlyban lévő közös metszéspontú erőrend-
szert tekinthetjük. A feladat, hogy ennek az egyensúlyi erőrendszernek az ismeretlen elemeit,
azaz a csomópontba befutó két ismeretlen rúderőt meghatározzuk. Minden csomópontban kü-
lön – külön is teljesülnie kell a függőleges és vízszintes vetületi egyenletnek. Jelen példában
kettő olyan csomópontot találunk, amelyikbe maximum két ismeretlen rúd csatlakozik be. Az
egyik a B, a másik a 4–es csomópont.
Válasszuk el a 4–es csomópontot a tartó többi részétől) a külső erővel együtt, ha van. (115.
ábra). Ezzel gondolatban elmetszettük az S4,5 és S3,4 rudakat. Felszabadítottuk, láthatóvá tettük
az átvágott rudakban lévő belső erőket, igénybevételeket. Megjelenítjük a belső erőket oly mó-
don, hogy az átmetszésnél a rúd hossztengelyével párhuzamos irányban felvesszük az S4,5 és
S3,4 ismeretlen rúderőket (116. ábra).
115. ábra: A 4–es csomópont különválasztása a tartószerkezettől
116. ábra: Ismeretlen rúderők megjelenítése
Hogyan kell értelmeznünk a felvett ismeretlen rúderőket? Az S4,5 és S3,4 rudak belső erőket
jelölnek. A nyilak irányításai azt mutatják meg nekünk, hogyan reagál az adott rúd anyaga,
belső része a két végén lévő terhelések hatására. Ha a 116. ábra szerinti feltételezéseket vesszük
alapul, akkor a 4–5 rúd másik, 5–ös csomópont felőli végén éppen ellentétesen kell mutatnia
S4,5 rúderőnek. Ehhez hasonlóan a 3–4 rúd 3–as csomópont felőli oldalán is ellentétes irányban
kell feltételezni az S3,4 rúderőt (117. ábra).
68
117. ábra: Rudak ismeretlen belső erőinek feltételezése
A 117. ábra bal oldala szerinti jelölés azt jelenti, hogy a 4–5 rudat a két végén nyomják a külső
erők, míg a jobb oldala szerint a 4–3 rudat húzzák a külső erők (118. ábra).
118. ábra: Normál (húzó vagy nyomó) igénybevétel értelmezése
Ezek alapján írjuk fel a két vetületi egyensúlyi egyenletet a 4–es csomópontra ható erőrendszer
kiegyensúlyozása végett (116. ábra). Ehhez előbb meg kell határoznunk az S4,5 rúderő vízszin-
tessel bezárt szögét (α):
°=
= 26,574a
2aarctanα ,
αSS 4,53,4 cos0Fx ⋅−==∑ és
αS4,5 sinF0Fy ⋅−−==∑ → S4,5 = –13,41 → S4,5 = 13,41 kN (húzott, (+)).
Mivel S4,5 rúderőre negatív értéket kaptunk, ez azt jelenti, hogy a belső erőnek felvett értelem
(irány) nem jó, éppen ellentétes (119. ábra). Azaz 4–5 rúd húzott tartószerkezeti elem lesz.
119. ábra: 4–5 rúd normál igénybevétele helyesen
Az x irányú vetületi egyenletet írjuk fel ismét, immár a 4–5 rúd igénybevételének ismeretében:
69
αSS 4,53,4 cos0Fx ⋅+==∑ → S3,4 = –12,0 → S3,4 = 12,0 kN (nyomott, (–)) (120. ábra).
Mivel negatív értéket kaptunk, azt jelenti, hogy a húzottnak feltételezett rúd nem jó, ezért lesz
nyomott a 3–4 jelű rúd.
120. ábra: 3–4 rúd normál igénybevétele helyesen
Következő lépésként tovább léphetünk egy újabb csomópontra, ahova csak két ismeretlen rúd
csatlakozik. Ez a 3–as csomópont, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett ismeretlen
rúderőket (belső erőket) felvesszük (121. ábra).
121. ábra: A 3–as csomópontba csatlakozó ismeretlen (S3,5, S3,2) rúd(belső)erők feltételezése
A 3–as csomópontra felírt vetületi egyenletek:
3,23,4 SS +==∑ 0Fx → S3,2 = –S3,4 = –12,0 → S3,2 = 12,0 kN (nyomott, (–)),
53S ,y 0F ==∑ → S3,5 = 0, azaz 3–5 rúd úgynevezett vakrúd (122. ábra).
122. ábra: 3–5 és 3–2 rudak normál igénybevétele helyesen
Most már az 5–ös csomópontot is vizsgálhatjuk, ahova 2–5 és 5–6 ismeretlen rudak csatlakoz-
nak. Az eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az elmetszett
ismeretlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (123. ábra).
123. ábra: Az 5–ös csomópontba csatlakozó ismeretlen (S2,5, S5,6) rúd(belső)erők feltételezése
Az 5–ös csomópontra felírt vetületi egyenletek:
70
αSαSαS 2,55,64,5 coscoscos0Fx ⋅+⋅+⋅−==∑ → 5,65,64,52,5 SSSS −=−= 41,13
és
αSαSαS 2,55,64,5 sinsinFsin0Fy ⋅−⋅+−⋅−==∑ .
Behelyettesítés után:
°⋅+°⋅−°⋅+−°⋅= sin26,57sin26,5741,31sin26,576sin26,57-13,410 5,65,6 SS →
[kN]12,02sin26,572
sin26,5713,416sin26,5713,41 =°⋅
°⋅++°⋅=5,6S (húzott, (+)) → S2,5 = –6,71→ S2,5 =
6,71 kN (nyomott, (–)) (124. ábra).
124. ábra: 5–6 és 2–5 rudak normál igénybevétele helyesen
Ezután a 6–os csomópontot vizsgálhatjuk, ahova 6–7 és 2–6 ismeretlen rudak csatlakoznak. Az
eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az elmetszett isme-
retlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (125. ábra).
125. ábra: A 6–os csomópontba csatlakozó ismeretlen (S6,7, S2,6) rúd(belső)erők feltételezése
A 6–os csomópontra felírt vetületi egyenletek:
αSαS 6,75,6 coscos0Fx ⋅+⋅−==∑ → kN21,20== 5,66,7 SS (húzott, (+)), és
αSSαS 6,72,65,6 sinFsin0Fy ⋅+−−⋅−==∑ → 6−=2,6S → kN6,0=2,6S (nyomott,(–)) (126.
ábra).
71
126. ábra: 6–7 és 2–6 rudak normál igénybevétele helyesen
Következő lépésben a 2–es csomópontot vizsgálhatjuk, ahova 2–7 és 1–2 ismeretlen rudak csat-
lakoznak. Az eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az el-
metszett ismeretlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (127. ábra).
127. ábra: A 2–es csomópontba csatlakozó ismeretlen (S2,7, S1,2) rúd(belső)erők feltételezése
Mielőtt felírnánk a vetületi egyensúlyi egyenleteket, meg kell határoznunk az S2,7 rúderő hatás-
vonalának vízszintessel bezárt szögét (β).
°=
= 56,312a
3aarctanβ .
A 2–es csomópontra felírt vetületi egyenletek:
212,7
212,72,53,2
SS
SβSαSS
,
,x
cos56,31cos26,576,7112
coscos0F
+°⋅+°⋅+=
=+⋅+⋅+==∑ → °⋅−−= cos56,310,18 2,71,2 SS ,
és
°⋅+−°⋅−=
=⋅+−⋅−==∑sin56,316sin26,5771,6
sinsin0Fy
2,7
2,72,62,5
S
βSSαS→ [kN]82,01=2,7S (húzott, (+))
Visszahelyettesítés után:
0,42cos56,3110,8218-cos56,310,18 −=°⋅−=°⋅−−= 2,71,2 SS → kN24,0=1,2S (nyomott,(–))
(128. ábra).
72
128. ábra: 2–7 és 1–2 rudak normál igénybevétele helyesen
Ezután az 1–es csomópontot vizsgálhatjuk, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett
ismeretlen rúderőket (belső erőket) felvesszük (129. ábra).
129. ábra: Az 1–es csomópontba csatlakozó ismeretlen (S1,7, SA,1) rúd(belső)erők feltételezése
Az 1–es csomópontra felírt vetületi egyenletek:
A,11,2 SS +==∑ 0Fx → SA,1 = –S1,2 = –24,0 → S1,2 = 24,0 kN (nyomott, (–)),
1,7S==∑ 0Fy → S1,7 = 0, azaz 1–7 rúd is vakrúd (130. ábra).
130. ábra: 1–7 és A–1 rudak normál igénybevétele helyesen
Most a 7–es csomópontot vizsgálhatjuk, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett isme-
retlen rúderőket (belső erőket) felvesszük (131. ábra).
73
131. ábra: A 7–es csomópontba csatlakozó ismeretlen (SB,7, SA,7) rúd(belső)erők feltételezése
A 7–es csomópontra felírt vetületi egyenletek:
αSβSβSαS B,7A,72,76,7 coscoscoscos0Fx ⋅+⋅+⋅−⋅−==∑ → →
A,7A,7
B,7 SS
S ⋅−=°
°⋅−°⋅+°⋅= 62,083,26
cos26,57
cos56,31 cos56,3182,01cos26,5712,02,
αSβSβSαS B,7A,72,76,7 sinsinFsinsin0Fy ⋅+⋅−−⋅−⋅−==∑ →
Behelyettesítés után:
°⋅⋅−+°⋅−−°⋅−°⋅−= sin26,57)0,62(26,83sin56,316sin56,3110,82sin26,5720,120 A,7A,7 SS
→ 82,10−=A,7S → kN82,10=A,7S (nyomott, (–)) →
kN33,5410,820,6226,8362,083,26 =⋅+=⋅+= A,7B,7 SS (húzott, (+)) (132. ábra).
132. ábra: A–7 és B–7 rudak normál igénybevétele helyesen
Befejezésként már választhatjuk mind az A, mind a B csomópontot, hogy meghatározzuk az
utolsó ismeretlen rúderőt (SA,B). A B csomópontot választva kevesebb számolással érhetünk el
eredményt. Különválasztjuk a tartótól, és felvesszük az átmetszett ismeretlen rúderőt (belső
erőt) (133. ábra).
74
133. ábra: A B csomópontba csatlakozó ismeretlen (SA,B) rúd(belső)erő feltételezése
A B pontra felírt x irányú vetületi egyenletet eddigi számolásunk ellenőrzéseként írhatjuk fel:
BαSB,7 +⋅−==∑ cos0Fx → B = SB,7 = 30 kN (húzott, (+)).
Az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletből határozhatjuk meg az SA,B rúderőt:
A,BB,7 SαS −⋅−==∑ sin0Fy → 15sin26,5733,54sin −=°⋅−=⋅−= αSS B,7A,B → SA,B= 15 kN
(nyomott, (–)) (134. ábra).
134. ábra: A–B rúd normál igénybevétele helyesen
Ezzel a tartószerkezet minden elemének igénybevételét ismerjük, az eredményeket úgynevezett
rúderő–táblázatban foglalhatjuk össze.
S1,A S1,2 S2,3 S3,4 S4,5 S3,5 S2,5
húzott rúd 13,41 ∅
nyomott rúd 24,0 24,0 12,0 12,0 ∅ 6,71
S5,6 S2,6 S2,7 S6,7 S1,7 SA,7 SB,7
húzott rúd 20,12 10,82 20,12 ∅ 33,54
nyomott rúd 6,0 ∅ 10,82
75
A másik eljárás a rudak igénybevételének a meghatározására a 3–as átmetszés módszere. Az
eljárás lényege, hogy a tartószerkezetünket két különálló részre választjuk szét. Ezt úgy tehetjük
csak meg, hogy maximum három rudat vágunk át (135. ábra).
135. ábra: Rácsos tartó rúderőinek (igénybevételeinek) meghatározása 3–as átmetszéssel – S1,2, S2,7, S6,7 rudak
átvágása
A 135. ábra szerinti, hullámvonallal jelölt átvágással a tartó S1,2, S2,7 és S6,7 rúdjait vágtuk át,
szabadítottuk fel a rúderőket. Az egyik, tetszőlegesen kiválasztatott tartórészen dolgozunk to-
vább – legyen ez a jobb oldali része a tartónak (136. ábra).
136. ábra: A szétválasztott tartó jobb oldalának a kiválasztása
Felvesszük a felszabadított, de ismeretlen belső erők (az igénybevételek) nagyságát és értelmét
(általában húzottnak feltételezünk minden átmetszett rudat) (137. ábra). Ezek lesznek az S1,2,
76
S2,7 és S6,7 rúderők, ez a három felszabadított belső erő fog egyensúlyt tartani a jobboldali tar-
tórészre működő külső erőkkel (F, B, Ax, Ay). Csak azokat a rúderőket vehetjük figyelembe,
amelyeket átmetszettünk.
137. ábra: Rúderők feltételezése a 3–as átmetszés módszerében
Ennek megfelelően a már ismert egyensúlyi, a nyomatéki és vetületi egyensúlyi egyenleteket
használjuk fel az ismeretlenek meghatározására. Ha a 7–es csomópontra írunk fel nyomatéki
egyensúlyi egyenletet, akkor az S4,7, S2,7 rúderők nem fognak szerepelni az egyenlőségben, mi-
vel hatásvonaluk átmegy a kiválasztott ponton.
2
a
2
a3
2
a30M 7 ⋅−⋅⋅−⋅⋅−==∑ BAS x1,2 →
40
2
2,43
2
2,403
2
2,4303
2
a3
2
a
2
a3
−=⋅
⋅−⋅⋅−=
⋅
⋅−⋅⋅−=
BAS
x
1,2 .
Mivel negatív értéket kaptunk az egyenlőségből S1,2–re, ez azt jelenti, hogy a felvett irányt meg
kell fordítani, S1,2 nyomott rúd lesz (a felvett irány mindig a megmaradt csomópontok irányából
értelmezendők).
S1,2=40 kN (nyomott, (–)).
Következő lépésként az 1–2 és 2–7 rudak metszéspontját választjuk ki a nyomatéki egyensúlyi
egyenlet felírásához. Ez a pont tulajdonképpen a 2–es csomópont.
a2a22
a3cosasinaF0M 2 ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅−==∑ y6,76,7 ABαSαS →
13,20
2
2,43cos26,574,2sin26,57
4,264,2203-4,2242
2
a3cosαasinα
aFa2-a2+=
⋅⋅°−⋅°
⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅
⋅−⋅⋅⋅⋅=
BAS y
6,7
77
Mivel pozitív értéket kaptunk az egyenlőségből S6,7–re, ez azt jelenti, hogy amit felvettünk neki
értelmet az jó, azaz S6,7 húzott rúd lesz.
S6,7=20,13 kN (húzott, (+)).
Végül egy vetületi egyensúlyi egyenletet írhatunk fel.
426sin56,31sin26,5713,02
Fsinsin0Fy
+−°⋅−°⋅−=
=+−⋅−⋅−==∑2,7
y2,76,7
S
AβSαS→
Mivel pozitív értéket kaptunk az egyenlőségből S2,7–re, ez azt jelenti, hogy amit felvettünk neki
értelmet az jó, azaz S2,7 húzott rúd lesz.
S2,7 = 10,81 kN (húzott, (+)).
Amennyiben további rúderőket szeretnénk meghatározni, ahhoz egy másik helyen kell az át-
metszést elvégezni (138. ábra).
138. ábra: Rácsos tartó rúderőinek (igénybevételeinek) meghatározása 3–as átmetszéssel – S5,6, S5,2, S2,3 rudak
átvágása
Ezután ugyanaz az eljárás menete, mint az előbb. A kettéválasztott tartónak most nem a jobb,
hanem a bal oldalát tarjuk meg (139. ábra), majd feltételezzük az átvágott rudaknak a nagyságát
és értelmét (140. ábra). Végül pedig felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.
2
2,42,46
2
aaFM 5 ⋅−⋅=⋅−⋅=∑ 2,32,3 SS →
S2,3 = 12,0 kN (nyomott, (–)).
78
139. ábra: A második helyen szétválasztott tartó bal oldalának a kiválasztása
140. ábra: Rúderők feltételezése a 3–as átmetszés módszerében
4,22sin26,574,26a2sinaFM 4 ⋅⋅°⋅+⋅−=⋅⋅⋅+⋅−=∑ 2,52,5 SαS →
S2,5 = 6,71 kN (nyomott, (–)).
°⋅−−°⋅−=⋅−−⋅−==∑ cos26,5712,0cosn26,576,71coscos0Fx 5,65,62,32,5 SαSSαS →
S5,6 = –20,13 →
S5,6 = 20,13 kN (húzott, (+)).
Láthatjuk, hogy a 3–as átmetszés módszerének eredményeit, ha összehasonlítjuk a csomóponti
módszer eredményeivel, ugyanazt kapjuk. Azt, hogy mikor melyik módszert kell, illetve cél-
szerű alkalmazni, azt mindig a feladat jellege határozza meg.
5.1.2. példa Adott a 141. ábra szerinti szimmetrikus szerkezetű és terhelésű rácsos tartószerkezet, az F=20
kN koncentrált erő, illetve az a=1,0 m távolság. Határozzuk meg a támaszerőket, az S1,7 rúderőt
csomóponti módszerrel, míg S2,3 és S6,7 rudak igénybevételeit a 3–as átmetszés módszerével.
79
141. ábra: Rácsos tartószerkezet
Rúderők meghatározása azok nagyságának és irányának a feltételezése után:
1201420182011120112
aFa4Fa8Fa11Fa120M A
⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=
=⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅==∑B
B → B = 40 kN (↑).
02404F40Fy ⋅−+=⋅−+==∑ yy AAB → Ay = 40 kN (↑).
142. ábra: Adott rácsos tartószerkezetre ható külső erők és a reakcióerők
Az S1,7 rúderő meghatározása csomóponti módszerrel:
80
143. ábra: Az A csomópontra ható erők, az S1,A és SA,7 ismeretlen rúderők feltételezése
°== 45,03a
3aarctanα és °== 75,96
a
4aarctanβ
°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ cos45,0cos75,96coscos0Fx A,71,AA,71,A SSαSβS →
°°⋅
−=cos75,96
cos45,0A,71,A
SS
40sin45,0sin75,96sinsin0Fy +°⋅+°⋅=+⋅+⋅==∑ A,71,AyA,71,A SSAαSβS
Behelyettesítés után:
40sin45,0sin75,96cos75,96
cos45,00 +°⋅+°⋅
°°⋅
−= A,7A,7 S
S →
SA,7 = 18,86 kN (húzott, (+)).
Visszahelyettesítés után:
S1,A = –54,98 →
S1,A = 54,98 kN (nyomott, (–)) (144. ábra).
144. ábra: S1,A és SA,7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása
A következő lépés az 1–es csomópontra ható erők vizsgálata (145. ábra).
81
145. ábra: Az 1–es csomópontra ható erők, az S1,2 és S1,7 ismeretlen rúderők feltételezése
°== 57,622a
aarctanγ és °== 33,69
3a
2aarctanδ
°⋅+°⋅+°⋅=
=⋅+⋅+⋅==∑cos33,69cos26,57cos75,9698,45
coscoscos0Fx
1,21,7
1,21,71,A
SS
δSγSβS →
°°⋅+
−=cos26,57
cos33,6913,34 1,21,7
SS
20-sin26,57sin33,69sin75,9654,98
F-sinsinsin0Fy
°⋅−°⋅+°⋅=
=⋅−⋅+⋅==∑1,71,2
1,71,21,A
SS
γSδSβS
Behelyettesítés után:
20-sin26,57cos26,57
cos33,6913,34sin33,69sin75,9654,980 °⋅
°°⋅+
+°⋅+°⋅= 1,21,2
SS →
S12 = –41,2 →
S12 = 41,2 kN (nyomott, (–)).
146. ábra: S1,2 és S1,7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása
Visszahelyettesítés után (figyelem, az S1,2 rúdról immár tudjuk, hogy nyomott tartószerkezeti
elem, ezért ezt az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletben figyelembe kell venni.):
82
°°⋅−−=
°°⋅−
−=cos26,57
cos33,692,1413,34
cos26,57
cos33,6913,34 1,21,7
SS →
S1,7= 23,41 kN (húzott, (+)) (146. ábra).
Az S2,3 és S6,7 rúderők meghatározása 3–as átmetszés módszerrel:
A megfelelő helyen kettéválasztjuk a tartót oly módon, hogy a keresett rúderőket felszabadítsuk
az átmetszéssel. Ezután megtartjuk a kettévágott tartó bal oldali részét és felvesszük az isme-
retlen nagyságú és értelmű rúderőket (147. ábra).
147. ábra: Rúderők feltételezése a 3–as átmetszés módszerében
Az S7,6 és S2,6 rudak metszéspontja a 6–os csomópont – erre írunk fel először nyomatéki egyen-
súlyi egyenletet:
12160415021202
a2a6a5Fa2F0M ,6
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑2,3
32y
S
SA →
S2,3= – 50,0 →
S2,3= 50,0 kN (nyomott, (–)).
A 7–6 rúd vízszintessel bezárt szöge: [ ]°== 4318,3a
aarctanϕ .
A nyomatéki egyensúlyi egyenlet a 2–es csomópontra:
)18,431sin138,431cos(14041302
asina3cosa4a3F0M 2
⋅°−⋅⋅°⋅+⋅⋅−⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅==∑7,6
7,67,6y
S
SSA ϕϕ →
83
S7,6= 39,53 kN (húzott, (+)).
84
6. Igénybevételek – kéttámaszú, egyenes tengelyű tartók A tartószerkezetre ható erőrendszer (külső erők és támaszerők együttesen) hatására a tartó bel-
sejében is erők keletkeznek. Ezeket az erőket nevezzük belső erőknek vagy más néven igény-
bevételeknek. A tartószerkezet egy tetszőleges K keresztmetszetének igénybevételét oly módon
határozzuk meg, hogy a K–keresztmetszettől jobbra vagy balra ható erők eredőjét számítjuk ki.
Megkülönböztetjük a normál igénybevételt (tartószerkezet hossztengelyével párhuzamos ha-
tásvonalú erők eredője), nyíró igénybevételt (tartószerkezet hossztengelyére merőleges hatás-
vonalú erők eredője) és a hajlító igénybevételt.
Az egyes igénybevételekről, belsőerő típusokról már ejtettünk szót. Ebben a fejezetben olyan
egyenes tengelyű tartószerkezetekkel foglalkozunk, amelyekre nemcsak tengelyirányú, hanem
hossztengelyre merőleges külső erők is hatnak. Így nemcsak normál, hanem nyíró és hajlító
igénybevételek is fellépnek. A feladat, hogy a belső erők változását a tartó hossztengelye men-
tén megszerkesszük, illetve megrajzoljuk. Ehhez a tartó valamennyi keresztmetszetében ismer-
nünk kell a fellépő igénybevételeket.
Az igénybevétel (belső erő) definícióját megismételjük: a tartószerkezet egy tetszőleges K ke-
resztmetszetének igénybevételén az adott K–keresztmetszettől jobbra vagy balra ható erők
(külső és reakció erők) eredőjét értjük.
6.1. Igénybevételi ábrák szerkesztési szabályai
Jelölések: N – normálerő ábra
T – nyíróerő ábra
M – hajlító nyomatéki ábra
1. A tartó azon szakaszán, ahol nincs erőhatás, az N és T ábra vonala a tartótengellyel
párhuzamosan halad.
2. Koncentrált erő helyén az N és T ábrán az erő megfelelő irányú összetevőjének megfe-
lelő ugrás van.
3. A nyomatéki ábra vonala lineárisan halad azon a szakaszon, ahol nincs erőhatás. A kon-
centrált erő helyén az M ábrában törés van.
4. Az M és T ábra között differenciális kapcsolat van. A nyíróerő ábra függvényét integ-
rálva kapjuk a nyomatéki ábra függvényét, illetve a nyomatéki ábra függvényét deri-
válva kapjuk a nyíróerő ábra függvényét.
5. Előző pontból következik, hogy a nyomaték helyi/lokális szélsőértékei ott lépnek fel,
ahol a nyíróerő nulla.
6. A tartó végein, ha nincs koncentrált nyomaték, akkor a nyomaték nulla.
85
7. Koncentrált erő helyén a nyomatéki ábrában törés van.
8. Megoszló terhelés alatt a T ábra vonala ferde helyzetű egyenes, meredeksége a teherin-
tenzitás.
9. Megoszló terhelés alatt az M ábra parabola, adott pontjához húzott érintő iránytangense
az adott hely nyíróereje.
10. Az N és T ábrán a koncentrált nyomaték nem okoz változást.
11. A koncentrált nyomaték helyén, az M ábrán a nyomatéknak megfelelő ugrás van.
6.1.1. példa Adott a 148. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. F=7 kN, q1=2 kN/m és q2= 3 kN/m,
a = 2 m és α=60 °. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
148. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – terhelések és támaszerők
A támaszerők kiszámítását lásd 4.2.1 példában. Először mindig a normál igénybevételi ábrát
rajzoljuk meg. Azokat az erőket összegezzük az egyes keresztmetszetekben, amelyek hatásvo-
nala párhuzamos a tartó hossztengelyével. Ebben az esetben az Ax–ből és az F erő x irányú
komponenséből származik normál igénybevétel. A 149. ábra mutatja a normál igénybevételnek
az eloszlását a tartó hossztengelye mentén. A szerkesztési szabályoknak megfelelően láthatjuk,
hogy a tartóra két helyen koncentrált normál erő (Ax és F) hat. Ezeken a helyeken azonos nagy-
ságú, de ellentétes irányú ugrás található, mivel a két erő irányítása ellentétes. A terheletlen
szakaszon a tartó hossztengelyével párhuzamosan haladunk. Nagyon egyszerűen ellenőrizhet-
jük, hogy jól dolgoztunk–e. Ugyanazon keresztmetszetben két oldalról nézve a belső erőknek
ki kell egyensúlyozniuk egymást. Azaz azonos keresztmetszetet két oldalról vizsgálva azonos
nagyságú, de ellentétes irányítású erőket kell kapnunk eredményül.
86
149. ábra: Normálerő ábra
Előbb az A ponttól tetszőleges x < 5 m távolságban található K keresztmetszetet vizsgáljuk. A
150. ábra felső részén láthatjuk, hogy a K keresztmetszettől jobbra eső tartószerkezeti részt
megtartottuk. A balra található összes (jelen esetben egy) normálerőnek a hatását vettük figye-
lembe a vizsgált K keresztmetszetre. A 150. ábra alsó részén a tartó bal oldali részét tartottuk
meg, és a K keresztmetszettől jobbra lévő normálerők hatását összegeztük a vizsgált kereszt-
metszetre. Látható, hogy két oldalról nézve ugyanazon K keresztmetszetben a belső erő nagy-
sága azonos, irányítása ellentétes.
150. ábra: Normál igénybevétel értelmezése ugyanazon K keresztmetszetben, két oldalról nézve
A normálerő ábra alá közvetlenül rajzoljuk a nyíróerő ábrát. Azoknak az erőknek a hatását
vizsgáljuk, melyeknek a tartó hossztengelyére merőleges komponense van. Ezek az Ay, q1, q2,
Fy és B erők. A tartó bal oldalán az A pontban az Ay koncentrált erőhatás miatt az erő nagysá-
gának megfelelően ugrunk (151. ábra), a nyíró igénybevétel értéke az A keresztmetszetben
11,84 kN – első lépés. Onnan q1 terhelés miatt ferde helyzetű egyenessel indulunk el az ugrással
ellentétesen, mivel q1 és Ay egymással ellentétes irányba mutatnak – második lépés. A C ke-
resztmetszet nyíró igénybevételének meghatározás a keresztmetszettől jobbra és balra eső nyí-
róerők eredőjének külön – külön meghatározásával (152. ábra).
87
151. ábra: Nyíróerő ábra – első, második lépés
152. ábra: C keresztmetszet nyíró igénybevételének értelmezése két oldalról nézve
Ha a C keresztmetszettől balra eső nyíró erőket összegezzük:
84,53284,113q1 =⋅−=⋅−=∑ yb
C AT → ( )↑=∑ kN84,5bCT .
Ha C keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük:
83,55306,615,235qF 2y −=⋅−−=⋅−−=∑ BT jC → ( )↓=∑ kN83,5j
CT .
Láthatjuk, hogy ugyanazon keresztmetszetben két oldalról vizsgálva a két nyíró igénybevétel
éppen kiegyenlíti egymást. Azaz a C keresztmetszetben fennáll az egyensúly, mivel a nagyság
megegyezik (a minimális eltérés a kerekítésekből adódik), míg az irányok ellentétesek egymás-
sal.
Innen a q2 megoszló terhelés intenzitásának megfelelő meredekségű egyenessel haladunk to-
vább egészen az F koncentrált erő támadáspontjáig – harmadik lépés, ahol az F erő y kompo-
nensének megfelelően ugrunk lefele (153. ábra) – negyedik lépés.
88
153. ábra: Nyíróerő ábra – harmadik, negyedik lépés
16,0233284,112q3q 21 −=⋅−⋅−=⋅−⋅−=∑ yb
D AT → ( )↓=∑ kN0,16bDT .
Az ábrán az erők nagysága és a geometria miatt nehezen látható, de a nyíró erő értéke a tengely
alá esik a vizsgált keresztmetszetben. Ezután jön az F erő y komponensének a figyelembevétele:
6,226,060,16F0,16233284,112q3q y21 −=−−=−→−=⋅−⋅−=⋅−⋅−=∑ yb
D AT →
( )↓=∑ kN6,22bDT .
Ha D keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük:
154. ábra: D keresztmetszet nyíró igénybevételének értelmezése két oldalról nézve
23,63315,233q2 =⋅−=⋅−=∑ BT jD → ( )↑=∑ kN23,6j
DT .
Az F erő y komponensének a figyelembevétele:
→ 17,006,623,6F23,63315,233q y2 =−=−→=⋅−=⋅−=∑ BT jD →
( )↑=∑ kN17,0jDT .
89
Innen továbblépve a q2 megoszló terhelésnek megfelelően ferde helyzetű egyenessel haladok
tovább a következő koncentrált erőhatásig, ami a B erő – ötödik lépés. Végül pedig a B kon-
centrált erő nagyságának megfelelően felfelé ugrunk – hatodik lépés (155. ábra).
155. ábra: Nyíróerő ábra – ötödik, hatodik lépés
A B keresztmetszetet vizsgálata mindkét oldalról hasonló módon történik, mint a C és D ke-
resztmetszeteké.
Az utolsó igénybevétel fajta a hajlító nyomaték és eloszlásának a vizsgálata a tartó hossztenge-
lye mentén. Ezt az ábrát közvetlenül a nyíróerő ábra alá rajzoljuk. Fontos tudnivaló (ahogy a
szerkesztési szabályoknál már említettük), hogy a nyomatéki és nyíróerő ábra között differen-
ciális kapcsolat áll fenn. Ennek figyelembevételével legelőször megnézzük, melyik keresztmet-
szetben áll fenn a T = 0 egyenlőség – ott lokális (adott keresztmetszet közeli) szélsőértéknek
kell lenni. Ezután, megnézzük, hogy a tartó végein működik–e koncentrált nyomaték – ha nem,
ott a nyomaték értéke zérus. Végül pedig megtekintjük, hogy a tartón működik–e valahol kon-
centrált nyomaték – ha igen, ott ugrás lesz a nyomatéki ábrán. Ezek figyelembevételével tesszük
meg az első lépést a nyomatéki ábra rajzolásakor. A 156. ábra mutatja, hogy T = 0 a D kereszt-
metszet közvetlen közelében lesz – mivel nagyon kis távolságról van szó, ezért úgy tekintjük,
hogy a D keresztmetszetben van a zérus. Azt is láthatjuk, hogy a tartón sehol, se a végeken, se
a tartószerkezeten nem működik koncentrált nyomaték, így a tartó két végén zérus a nyomaték,
és nem lesz ugrás sem a nyomatéki ábrában.
90
156. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – első lépés
Következő lépésben a D keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oldalról
nézve, megkeressük a lokális szélsőértéket (157. ábra).
157. ábra: D keresztmetszet hajlító igénybevételének értelmezése két oldalról nézve
2,32584,115,3322
2355,33q
2
2q 2
1
22 −=⋅−⋅⋅+⋅=⋅−⋅⋅+
⋅=∑ y
bD AM →
2,32=∑ bDM kNm ( ) és
19,32323,515,13335,13q2 =⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=∑ BM jD → 19,32=∑ j
DM kNm ( ).
Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 32,2 kNm, és mindkét esetben
az alsó a húzott oldal. Ugyanazon D keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybevételek
kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fennáll.
91
Következő lépésben a C keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oldalról
nézve (158. ábra).
158. ábra: C keresztmetszet hajlító igénybevételének értelmezése két oldalról nézve
52,62311,842
323
2
3q 221 −=⋅−⋅=⋅−
⋅=∑ y
bC AM → 52,62=∑ b
CM kNm ( ) és
53,26523,51206,62
5352F
2
5q 2
y
22 =⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅−
⋅−=∑ BM j
C →
53,62=∑ jCM kNm ( ).
Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 26,52 kNm, és mindkét eset-
ben az alsó a húzott oldal. Ugyanazon C keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybevéte-
lek kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fennáll.
Ezután már csak össze kell kötni az eddig meghatározott pontokat (159. ábra). Négy „neveze-
tes” pontunk van. Mivel a tartó hossztengelye mentén végig megoszló terhelés működik, ezért
a nyomatéki ábra végig másodfokú függvény (parabola) szerint változik.
92
159. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – második lépés
6.1.2. példa
Adott a 160. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. F=15 kN, q=4 kN/m, a = 1 m és α
= 30 °. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
160. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – támaszerők felvétele és meghatározása a terhelések és geometria
ismeretében
A feladat megoldását, a felírt egyenleteket most már kevesebb magyarázó szöveggel egészítjük
ki.
93
Először a támaszerőket kell meghatározni. X irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása:
°⋅−−=⋅−−==∑ 03cos51αcosF0Fx xx AA → 13−=xA →
13=xA kN (→).
Az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
161503sin5112
17174
a6a5αsinFa2
a7a7q0M A
⋅⋅+⋅⋅°⋅−
+⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅⋅−
+⋅⋅⋅⋅−==∑
B
B
→
25,27=B kN (↑).
A B pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
16103sin5111,5174a6aαsinFa1,5a7q0M B ⋅⋅−⋅°⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑ yy AA →
25,8=yA kN (↑) (161. ábra).
A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, normál igénybevétel szempontjából (162.
ábra):
0,13==∑ xbC AN kN (→) és
13,030cosFx =°⋅−=∑ jCN kN (←).
161. ábra: Támaszerők és normál igénybevételi ábra
A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:
25,8==∑ yb
C AT kN (↑) és
25,8-25,7230sin5117430sinFa7q x =+°⋅−⋅⋅−=+°⋅−⋅⋅−=∑ BT jC → 25,8=∑ j
CT kN
(↓).
94
A D keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:
162. ábra: A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve
75,714425,8a4q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ yb
D AT →
75,7=∑ bDT (↓) és =↓+↓=∑ )(F)(7,75 y
b
DT 15,25 kN (↓).
25,1525,72134a3q =+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ BT jD kN (↑)
A B keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:
25,197,5-15425,8F-a5q y −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ yb
B AT →
25,19=∑ bBT (↓) és 825,2725,1925,91 =+−=+−=∑ BT b
B kN (↑).
0,8124a2q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ jBT →
0,8=∑ jBT kN (↓) (163. ábra).
163. ábra: Nyíró–igénybevételi ábra
95
Az F keresztmetszet pontos helyének a meghatározása fontos, mert ott a nyíróerő értéke nulla
lesz. Ez azt jelenti, hogy az F (és B) keresztmetszet(ek)ben lokális nyomatéki szélsőérték lesz.
Az F keresztmetszet helye a C–től számítva:
[ ][ ] m306,2
4
25,8
kN/mq
kN=== C
F
Tx ,
Az F keresztmetszet helye a D–től számítva:
[ ][ ] m793,1
4
75,7
kN/mq
kN=== D
F
Tx (163. ábra).
Az F keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából (164.
ábra):
0~063,2425,8063,2q =⋅−=⋅−=∑ yb
F AT
0~25,275,7937,44F4,937q y =+−⋅−=+−⋅−=∑ BT jF
164. ábra: Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve
A hajlító igénybevétel meghatározása az F keresztmetszetben két oldalról nézve:
75,162
063,24063,325,8
2
063,2q063,3
22
−=⋅+⋅−=⋅+⋅−=∑ ybF AM →
75,16=∑ bFM kNm ( ),
75,16937,2,2572937,15,72
4,9374937,2937,1F
2
4,937q
2
y
2
=⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅−⋅−=∑ BM jF
→ 75,16=∑ jFM kNm ( ) (166. ábra).
A hajlító igénybevétel meghatározása a B keresztmetszetben két oldalról nézve:
0,817,52
54625,81F
2
5q6
2
y
2
=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑ ybB AM → 0,8=∑ b
BM kNm ( ),
0,82
24
2
2q 22
−=⋅−=⋅−=∑ jBM → 0,8=∑ j
BM kNm ( ) (167. ábra).
A hajlító igénybevételi ábra (165. ábra) szélsőértékeinek a meghatározásán kívül tetszőleges
keresztmetszet igénybevételének a meghatározását hasonló módon kell elvégezni. Ami érdekes
96
lehet számunkra, annak a keresztmetszetnek a meghatározása, ahol a hajlító igénybevétel értéke
zérus. Láthatjuk, hogy ez a keresztmetszet valahol közelítően a D és B keresztmetszetek közé
esik. Pontos meghatározása:
( ) ( )2
42-25,72
2
q2-B0M
22j...
xx
xx
⋅−⋅=⋅−⋅==∑ →
A másodfokú egyenletből: x1 = 11,2 m és x2 = 2,44 m. Mivel a tartó hossza összesen nincs 11m,
ezért csak az x2 = 2,44 m a jó megoldás. Azaz a nyomaték a tartó jobb oldali végétől (E kereszt-
metszet) 2,44 m–re lesz zérus.
165. ábra: Nyomatéki ábra
166. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása az F keresztmetszetben két oldalról nézve
97
167. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása a B keresztmetszetben két oldalról nézve
6.1.3. példa
Adott a 168. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. F=15 kN, q=4 kN/m, a=1 m és α =
30 °. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
168. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú, két oldalt konzolosan túlnyúló tartó
14,51)(2,5154-12,512-10,5133
a4,5a)a(2,5a5q-a2,5F-a0,5a3q0M 21A
⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∑B
B →
B=21,22 kN (↑),
14,5-12211)3,51(1,51331154
a4,5-a2Fa)3,5a(1,5a3qaa5q0M 12B
⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==∑y
y
A
A →
Ay=19,78 kN (↑),
Ax=0.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:
6123a2q1 −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ bAT → ∑ b
AT = 6 kN (↓), majd ugrás az ábrán
13,786 =+−=∑ ybA AT kN (↑).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:
78,1078,91133a3q1 =+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ yb
C AT kN (↑).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:
98
78,478,9111,54-133a5,1q-a3q 21 =+⋅⋅⋅⋅−=+⋅⋅⋅⋅−=∑ yb
D AT kN (↑), majd ugrás az áb-
rán 7,22124,78F4,78 −=−=−=∑ bDT → 7,22=∑ b
DT kN (↓).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:
22,15-1219,7813,54-133Fa3,5q-a3q 21 =−+⋅⋅⋅⋅−=−+⋅⋅⋅⋅−=∑ yb
B AT →
22,15=∑ bBT kN (↓), majd ugrás az ábrán 622,2122,15- =+=∑ b
BT kN (↑).
169. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:
( ) ( )6
2
123
2
a2q 221 =⋅⋅=
⋅⋅=∑ b
AM kNm ( ).
-614,522,1212,5211)1(2,51542
13
a4,5a2,5Fa)a(2,5a5q2
aq
2
2
21
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅−⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅−⋅
−=∑ BM jA
→
6=∑ jAM kNm ( ).
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:
( ) ( )94,171222,12
2
13,54a2
2
a3,5q 222 =⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅+
⋅⋅−=∑ BM j
D kNm ( ),
( )
( )95,1712,578,91
2
11,541)1,51(1,5133
a2,52
a1,5qa)1,5a(1,5a3q
2
22
1
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅
+⋅+⋅⋅⋅⋅=∑ ybD AM
→
99
95,71=∑ bDM kNm ( ).
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:
( ) ( )5,4
2
11,54
2
a1,5q 222 =⋅⋅−=
⋅⋅−=∑ j
BM kNm ( ).,
( ) ( )
( ) ( ) 49,414,578,91122113,511,51332
13,54
a4,5a2Fa3,5a1,5a3q2
a3,5q
2
1
22
=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅
=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=∑ ybB AM
→
=∑ bBM 4,49 kNm ( ).
170. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
100
7. Igénybevételek – merev befogású, egyenes tengelyű tartók A mereven befogott tartók reakcióerőinek a számítására korábban nem tértünk ki, ezért ezzel
most részletesen foglalkozunk.
7.1.1. példa Adott a 171. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. F=8 kN, q=2 kN/m, M= 25 kNm és
a=1 m. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
Első lépésben a kényszernél fellépő ismeretlen nagyságú és irányú reakciókat kell meghatá-
rozni. A merev befogás megakadályozza a tartó x és y irányú elmozdulását, illetve az elfordulást
a sík normálisa, a z irány körül. Ennek megfelelően az A pontban x és y irányú támaszerők (Ax
és Ay) és forgatónyomaték (MA) ébred. Ezek nagyságát és irányát vesszük fel a 172. ábra szerint.
171. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó
172. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó –ismeretlen reakciók felvétele
Az ismeretlenek meghatározásához a vetületi és nyomatéki egyensúlyi egyenleteket használjuk
fel:
x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
xA==∑ 0Fx ,
y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:
8162Fa6q0Fy −⋅⋅−=−⋅⋅−==∑ yy AA → Ay=20 kN (↑),
az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:
( ) ( )168
2
16252a6F
2
a6qM0M
22
A ⋅⋅−⋅⋅−+=⋅⋅−⋅⋅−+==∑ AA MM →
MA=59 kNm ( ).
101
Normál igénybevétel nem lesz a tartón, a nyíró igénybevételi ábra szerkesztését az eddig tanul-
tak szerint végezzük el. Az A pontban az Ay, tengelyre merőleges erő hat, mint nyíró erő. Ennek
megfelelően ugrás lesz ebben a pontban, és a C pontban is az F koncentrált erő miatt, ami a
tartó másik végén helyezkedik el (173. ábra).
A nyomatéki ábra szerkesztése során annyi újdonság lesz az eddigi példákhoz képest, hogy a
szerkesztési szabályok (6.1) 12. pontja értelmében a tartón működő koncentrált nyomatéknak
megfelelő ugrás lesz a hajlító igénybevételi ábrán. A tartó bal oldali végén (az A pontban) az
MA koncentrált nyomaték működik. Mivel a nyomaték értékét kivétel nélkül a tartó húzott ol-
dalára mérjük fel, abba az irányba ugrunk, amelyik oldalt a koncentrált nyomaték húzza.
173. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve:
59==∑ AbA MM kNm ( ), és
( ) ( )5925168
2
162Ma6F
2
a6q 22
−=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ jAM → 59=∑ j
AM kNm
( ).
Láthatjuk, mindkét esetben azonos eredményt kapunk, a nyomaték nagysága 59 kNm és a felső
a húzott oldal.
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve (174. ábra):
( ) ( )81302
2
13295a3
2
a3q 22
=⋅⋅−⋅⋅+=⋅⋅−⋅⋅+=∑ yAbB AMM kNm ( ) és az M koncentrált
nyomaték figyelembevétele:
8=∑ bBM ( ) + 25 ( ) =33 kNm ( ).
102
174. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve
( ) ( )33-138
2
132a3F
2
a3q 22
=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ jBM → 33=∑ j
BM kNm ( ) és az M kon-
centrált nyomaték figyelembevétele:
33=∑ jBM kNm ( ) – 25 kNm ( ) = 8 kNm ( ).
A hajlító igénybevételi ábrát a 175. ábra mutatja.
175. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
103
7.1.2. példa Adott a 176. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. F1=10 kN, F2=15 kN, q=3 kN/m,
M= 40 kNm, a=2 m, b=2,5 m, c=d=1 m, e=1,5 m és α=68 °. Határozzuk meg a támaszerőket,
rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
176. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó
Egyensúlyi egyenletek:
°⋅+=⋅+==∑ cos6810cosαF0F 1x xx AA → Ax=3,75 kN (←),
51sin68011,5)(13FsinαFe)(dq0F 21y +°⋅−+⋅−=+⋅−+⋅−==∑ yy AA →
Ay=1,77 kN (↑),
( )
( ) )5,2(2sin68012
5,1115,225,11q1)15,2(25104
b)(asinαF2
edcbaedqd)cb(aFM0M 12A
+⋅°⋅−
++++⋅+⋅−+++⋅++
=+⋅⋅−
++++⋅+⋅−+++⋅++==∑
A
A
M
M
→ MA=45,15 kNm ( ).
177. ábra: Normál és nyíró erő ábra
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (177. ábra):
104
1,77==∑ yb
C AT kN (↑), majd az F1 erő y komponensének megfelelő ugrás: 1,77=∑ bCT (↑)
+ F1y (↓) = 1,77 – 9,27=–7,5 → 7,5 kN (↓).
5,7)5,1(1351e)(dqF2 =+⋅−=+⋅−=∑ jCT kN (↑), majd az F1 erő y komponensének megfe-
lelő ugrás:
5,7=∑ jCT (↑) + F1y (↓) = 7,5 – 9,27=–1,77 → 1,77 kN (↓).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (177. ábra):
5,10-1327,977,1dqF1y =⋅−−=⋅−−=∑ yb
D AT →10,5 kN (↓), majd az F2 erőnek megfelelő
ugrás:
5,01=∑ bDT (↓) + F2 (↑) = –10,5 +15=4,5 kN (↑).
5,41,53eq −=⋅−=⋅−=∑ jDT → 4,5 kN (↓), majd az F2 erőnek megfelelő ugrás:
5,4=∑ jDT (↓) + F2 (↑) = –4,5 +15=10,5 kN (↑).
178. ábra: Nyomatéki ábra
105
A nyomatéki ábrán (178. ábra), a tartó bal oldali végén az MA nyomatéknak megfelelően ug-
runk. Az alsó oldalt húzza, ezért lefele ugrunk.
A B keresztmetszet nyomatékának számítása:
69,48277,115,54a −=⋅−−=⋅−−=∑ yAbB AMM → 69,48=∑ b
BM kNm ( ), majd az M ug-
rásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán:
69,48=∑ bBM ( ) + 40 ( )=–48,69+40=–8,69→8,69 kNm ( ).
=
+++⋅+⋅−⋅−++⋅=
=
+++⋅+⋅−⋅−++⋅=∑
15,22
5,111,5)1(35,227,91)1(2,551
cb2
ede)(dqbFd)c(bF 1y2
jBM
=8,7 kNm ( ), majd az M ugrásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán:
7,8=∑ jBM ( ) + 40 ( ) = 8,7+40 = 48,7 kNm ( ).
A C keresztmetszet nyomatékának számítása:
12,31)5,2(277,10415,54b)(aM −=+⋅−+−=+⋅−+−=∑ yAbC AMM → 12,31=∑ b
CM
kNm ( ),
13,131)(15112
1,51)5,1(13d)(cFc
2
ede)(dq 2 =+⋅+
++⋅+⋅−=+⋅+
++⋅+⋅−=∑ jCM
kNm ( ).
106
8. Igénybevételek – tört tengelyű tartók Ebben a fejezetben a törttengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztését és az egyes
keresztmetszetek egyes igénybevételeinek kiszámítását tanulmányozzuk. Az belső erőkre vo-
natkozó szabályok, definíciók változatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az előző
két fejezetben.
A nehézséget a következő szokta okozni. Egyenes tengelyű tartók esetében hozzászoktunk,
egyértelmű volt, hogy a tartó hossztengelye egybe esik az x viszonyítási tengellyel. Ebből adó-
dóan magától értetődőnek tűnik, hogy egy x iránnyal párhuzamos hatásvonalú erő normál
igénybevételt okoz. Előbbi, tulajdonképpen hibás megállapítás a tört tengelyű tartókra nem ér-
vényes.
Mindig az adott külső erő (terhelés és reakció erő) és a vizsgált tartószerkezeti rész hosszten-
gelyének egymáshoz képesti elhelyezkedését kell szem előtt tartanunk és vizsgálnunk. Azokra
kell alkalmazni a már megtanult definíciókat, szerkesztési szabályokat.
8.1.1. példa Adott a 179. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. F=10 kN, q=3 kN/m, a=0,5 m. Határoz-
zuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
179. ábra: Tört tengelyű tartó
Először a kényszernél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (179. ábra),
majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.
10F0Fx −=−==∑ xx AA → Ax=10 kN (→),
0,533a3q0Fy ⋅⋅−=⋅⋅−==∑ yy AA → Ay=4,5 kN (↑),
( ) ( )AA MM −⋅⋅+⋅=−⋅⋅+⋅==∑ 2
5,0335,001
2
a3qaF0M
22
A → MA=8,38 kNm ( ).
A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) normál igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax és F) a tartórész
hossztengelyével.
107
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAN , majd az Ax–nek megfelelően ugrás 100 =+=∑ x
bA AN kN (→).
180. ábra: Normál igénybevételi ábra – vízszintes (AB) tartó elem
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen:
10==∑ xbB AN kN (→), illetve
10-F −==∑ jBN → 01=∑ j
BN kN (←).
A függőleges tartószerkezeti elem (BC) normál igénybevételének meghatározása során azok-
nak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartórész
hossztengelyével.
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen:
05,0335,4a3q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ ybB AN , illetve ha a B keresztmetszettől jobbra lévő normál
(y iránnyal párhuzamos hatásvonalú) erőket szeretnénk összegezni, láthatjuk, hogy nincs ilyen
erő. A függőleges tartószerkezeti elem normál igénybevétele zérus (181. ábra).
181. ábra: Normál igénybevételi ábra – függőleges (BC) tartó elem
A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész
hossztengelyére.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAT , majd az Ay–nak megfelelően ugrás
5,40 =+=∑ ybA AT kN (↑).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen:
108
05,0335,4a3q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ yb
B AT .
182. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen:
10==∑ xb
B AT kN (→).
A hajlító igénybevételi ábra megrajzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A és
C pontok) van–e koncentrált nyomaték. Mivel az A pontban van (MA), ezért ott ugrás lesz a
nyomatéki ábrán. Ezután megnézzük, hogy működik–e valahol a tartó hossztengelye mentén
koncentrált nyomaték. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy nyomatéki
lokális szélsőértékhelyet nem kell keresnünk, mivel a nyíró igénybevételi ábra sehol sem metszi
a nulla vonalat.
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAM , majd az MA–nak megfelelően ugrás
38,80 =+=∑ AbA MM kNm ( ).
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
55,035,4,501,55,03338,8a3a1,5a3q =⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=∑ yAbB AMM kNm ( ),
55,010aF −=⋅−=⋅−=∑ jBM → 5=∑ j
BM kNm ( ) (183. ábra).
183. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve
184. ábra: A vízszintes (AB) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája
109
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata során arra kell figyelni, hogy a sarok-
kapcsolat a nyomatékot továbbadja egyik tartószerkezeti elemről a másikra (185. ábra). A nyo-
matéki ábrán az értékeknek a megfelelő, húzott oldalra kell kerülni.
185. ábra: A függőleges (BC) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája
8.1.2. példa Adott a 186. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. F=15 kN, q=3 kN/m, M=4,0 kNm, a=1,0
m. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
186. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők feltételezése
Először a kényszereknél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (186. ábra),
majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.
14,5112313154a4,5aa2qa3FM0M A ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+−=⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+−==∑ BB →
B = –7,78 → B=7,78 kN (→),
112311,55144,5aa2qa1,5FM4,50MC ⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅==∑ xx AA →
Ax = 7,22 kN (→),
110
13A14,522,74-11,515-12123
a3a4,5M-a1,5F-a2a2q0M
y
B
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅==•
∑ yx AA→
Ay = 6,0 kN (↑) (187. ábra).
187. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével
A függőleges tartószerkezeti elem (AC) normál igénybevételének meghatározása során azok-
nak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartórész
hossztengelyével.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAN , majd az Ay–nak megfelelően ugrás:
60 =+=∑ ybA AN kN (↑).
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a függőleges (AC) tartórészen (188.
ábra):
6==∑ ybC AN kN (↑), illetve
612-3a2-q −=⋅⋅=⋅⋅=∑ jCN → 6=∑ j
CN kN (↓).
111
188. ábra: Az AC tartószerkezeti elem normál igénybevétele
A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) normál igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax, F és B) a tartórész
hossztengelyével.
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen:
7,78157,22F −=−=−=∑ xbC AN → 7,78=∑ b
CN kN (←), illetve
7,78==∑ BN jC kN (→).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ jBN , majd a B–nek megfelelően ugrás
7,780 =+=∑ BN jB kN (→), illetve
7,78157,22F −=−=−=∑ xbB AN → 7,78=∑ b
BN kN (←) (189. ábra).
189. ábra: A BC tartószerkezeti elem normál igénybevétele
A függőleges tartószerkezeti elem (AC) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ax, F és B) a tartórész
hossztengelyére.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAT , majd az Ax–nek megfelelően ugrás:
22,70 =+=∑ xbA AT kN (→).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a függőleges (AC) tartórészen (190.
ábra):
7,78157,22F −=−=−=∑ xb
C AT → 7,78=∑ bCT kN (←), illetve
78,7==∑ BT jC kN (→).
112
190. ábra: Az AC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele
A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak
az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész
hossztengelyére.
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen:
6==∑ yb
C AT kN (↑), illetve
612-3a2-q −=⋅⋅=⋅⋅=∑ jCT → 6=∑ j
CT kN (↓).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ jBT .
191. ábra: A BC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele
A hajlító igénybevételi ábra megrajzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A és
B pontok) van–e koncentrált nyomaték. Mivel nincs, ott a nyomaték értékek zérus. Ezután meg-
nézzük, hogy működik–e valahol a tartó hossztengelye mentén koncentrált nyomaték. A füg-
gőleges tartószerkezeti elemen működő M koncentrált nyomaték miatt a hajlító igénybevételi
ábrán ugrás lesz abban a pontban. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy
nyomatéki lokális szélsőértékhelyet a függőleges tartószerkezeti elemen kell keresnünk.
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (192. ábra):
113
192. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása
10,8311,57,22a1,5 =⋅⋅=⋅⋅=∑ xbD AM kNm ( ), majd az M–nek megfelelően ugrás
83,6483,10483,01 =−=−=∑ bDM kNm ( ),
84,61378,71112315,151a3a1a2q5,1F −=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=∑ BaM jD →
84,6=∑ jDM kNm ( ), majd az M–nek megfelelően ugrás
84,10484,6 −=−−=∑ jDM → 84,10=∑ j
DM kNm ( ).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (193. ábra):
193. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása
6,011,515-4-14,57,22a1,5F-M-a4,5 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∑ xbC AM kNm ( ),
6,011123a1a2q −=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅−=∑ jCM → 0,6=∑ j
CM kNm ( ).
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (194. ábra):
114
194. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása
0,01212311,515-4-14,57,22136
a2a2qa1,5F-M-a4,5a3
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=∑ xybE AAM
0,0=∑ jEM .
Ezek alapján már megrajzolhatjuk (megszerkeszthetjük) a hajlító igénybevételi ábrát (195.
ábra).
195. ábra: A hajlító igénybevételi ábra
8.1.3. példa Adott a 196. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. F1=15 kN, F2=10 kN, q=4 kN/m, M=15
kNm, α=40 °, a=1,0 m. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrá-
kat.
115
196. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők irányainak feltételezése
1510112cos405113,5sin4051511124
a5aFa2cosαFa3,5sinαFMaa2q0M 211B
⋅⋅−⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅°⋅++⋅⋅⋅
=⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅⋅==∑A
A →
A=4,75 kN (↑),
1575,410113,5sin4051511124-12
a5aFa3,5sinαFMaa2q-a20M 21C
⋅⋅−⋅+⋅⋅°⋅++⋅⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅==∑x
x
B
AB →
Bx=–13,49 → Bx=13,49 kN (←) és
151249,311124-5111,5sin4015-101
a5a2aa2q-Ma1,5sinαF-aF0M 12D
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅°⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑y
yx
B
BB→
By=4,89 kN (↑).
197. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével
116
Az igénybevételi ábrák megrajzolása (megszerkesztése) során a három tartószerkezeti elemet
(AD, DC és BC) külön – külön vizsgáljuk. Az egyes részek különböző igénybevételének a
meghatározásánál mindig az adott tartószerkezeti elem hossztengelyének és a tartó egészén mű-
ködő egyes erők hatásvonalának a viszonyát kell szem előtt tartanunk.
A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) normál igénybevételi ábráit a tartórészek
hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők (A, F1y és By) határozzák meg. A vízszintes tar-
tószerkezeti elem (DC) normál igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyével párhuzamos ha-
tásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg (198. ábra).
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAN , majd az A–nak megfelelően ugrás
75,40 =+=∑ AN bA kN (↑).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
75,4==∑ AN bD kN (↑), illetve
75,489,440sin15F1y −=+°⋅−=+−=∑ yj
D BN → 75,4=∑ jDN kN (↓).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen:
10F2 ==∑ bDN kN (→), illetve
10,013,49124cos4015a2qF1x −=−⋅⋅−°⋅=−⋅⋅−=∑ xj
D BN → 0,10=∑ jDN kN (←).
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
21,4913,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ xj
E BN → 49,21=∑ jEN kN (←), majd az F1x –nek
megfelelő ugrás:
0,01cos401521,49cosαF21,49 1 −=°⋅+−=⋅+−=∑ jEN → 10=∑ j
EN kN (←), illetve
10F2 ==∑ bEN kN (→), majd az F1x–nek megfelelő ugrás:
21,49cos401510cosαF10 1 =°⋅+=⋅+=∑ bEN kN (→).
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen:
21,49cos401510cosαFF 12 =°⋅+=⋅+=∑ bCN kN (→), illetve
21,4913,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ xj
C BN → 49,21=∑ jCN kN (←).
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen:
4,89sin40154,75sinαF1 −=°⋅−=⋅−=∑ AN bC → 89,4=∑ b
CN kN (↓), illetve
89,4==∑ yj
C BN kN (↑).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
117
0=∑ bBN , majd a By–nak megfelelően ugrás
89,40 =+=∑ ybB BN kN (↑).
198. ábra: Normál igénybevételi ábra
A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) nyíró igénybevételi ábráit a tartórészek hossz-
tengelyére merőleges hatásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg. A vízszintes tartószer-
kezeti elem (DC) nyíró igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyére merőleges hatásvonalú
erők (A, F1y és By) határozzák meg (199. ábra).
Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bFT , majd az F2–nek megfelelően ugrás:
0,10F0 2 =+=∑ bFT kN (→).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
0,10F2 ==∑ bDT kN (→), illetve
0,0149,3112440cos51a2qF1x −=−⋅⋅−°⋅=−⋅⋅−=∑ xj
D BT → 0,10=∑ jDT kN (←).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen:
75,4==∑ AT bD kN (↑), illetve
75,44,89sin4015F1y −=+°⋅−=+−=∑ yj
D BT → 75,4=∑ jDT kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
89,4==∑ yj
E BT kN (↑), majd az F1y –nak megfelelő ugrás:
75,4sin40154,89sinαF4,89 1 −=°⋅−=⋅−=∑ jET → 75,4=∑ j
ET kN (↓), illetve
75,4==∑ AT bE kN (↑), majd az F1y–nak megfelelő ugrás:
-4,89sin40154,75sinαF1 =°⋅−=⋅−=∑ AT bE → 4,89=∑ b
ET kN (↓).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen:
118
89,4-sin40154,75sinαF1 =°⋅−=⋅−=∑ AT bC → 89,4=∑ b
CT kN (↓), illetve
89,4==∑ yj
C BT kN (↑).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen:
21,49cos401510cosαFF 12 =°⋅+=⋅+=∑ bCT kN (→), illetve
49,1213,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ xj
C BT → 49,12=∑ jCT kN (←).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bBT , majd a Bx–nek megfelelően ugrás:
49,1349,3100 −=−=−=∑ yb
B BT → 49,13=∑ bBT kN (←).
199. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhe-
lyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei.
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (200. ábra):
200. ábra: A F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
0=∑ bFM , illetve
119
0~1,05,04,891,01,013,49151,01,0cos40151,01,5sin4015
a5,0a1,0Ma1,0cosαFa1,5sinαF 11
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅°⋅−⋅⋅°⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yxj
F BBM
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (201. ábra):
201. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
10,01,010aF2 =⋅=⋅=∑ bDM kNm ( ), illetve
100,15,089,40,12,049,310,10,124511,01,5sin4051
a5,0a2,0aa2qMa1,5sinαF1
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅°⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−=∑ yxj
D BBM →
0,10=∑ jDM kNm ( ).
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (202. ábra):
202. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
2,881,0101,01,54,75aFa1,5A 2 =⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=∑ bEM kNm ( ), illetve
87,20,15,389,40,12,049,310,10,12451
a5,3a2,0aa2qM
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yxj
E BBM → 87,2=∑ jEM kNm ( ).
A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (203. ábra):
120
203. ábra: A G keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
66,121,02,0sin40151,0101,03,54,75a2sinαFaFa3,5 12 =⋅⋅°⋅+⋅+⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅−=∑ AM bG
kNm ( ), majd az M–nek megfelelő ugrás:
66,271566,21M66,21 =+=+=∑ bGM kNm ( ), illetve
65,270,15,189,40,12,049,310,10,124
a5,1a2,0aa2q
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yxj
G BBM → 65,27=∑ jGM kNm ( ), majd az
M–nek megfelelő ugrás:
65,121565,27M65,27 −=+−=+−=∑ jGM → 65,12=∑ j
GM kNm ( ).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (204. ábra):
204. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
=⋅⋅−⋅+⋅⋅°⋅+=
=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅+=∑1,05,04,751,0101,03,5sin401515
a5,0aFa3,5sinαFM 21 AM bC
=35,0 kNm ( ), illetve
0,35~0,12,049,310,10,124a2,0aa2q −=⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ xj
C BM → 0,35~=∑ jCM
kNm ( ).
A tartó hajlító nyomatéki igénybevételi ábrája (205. ábra):
121
205. ábra: Hajlító nyomatéki igénybevételi ábra
8.1.4. példa Adott a 206. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. F=16 kN, q=3 kN/m, M=20 kNm, a=1,25
m. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
206. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerő irányainak feltételezése
A reakció erők kiszámítása (207. ábra):
25,17,625,12,46125,15,625,14302
a7,6a2,4Fa5,6a4qM0M B
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+==∑A
A →
A=18,21 kN (↑),
xB==∑ 0Fx = 0 és
25,17,625,15,216-25,1225,14302
a7,6a5,2F-a2a4qM0M A
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−==∑y
y
B
B→
122
By=12,79 kN (↑).
207. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
A normál igénybevételi ábra (209. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők hatá-
rozzák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével
párhuzamos hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAN , majd az A–nak megfelelően ugrás:
21,180 =+=∑ AN bA kN (↑), illetve
18,2112,79161,2543Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ yj
A BN → 21,18=∑ jAN kN (↓), majd az
A–nak megfelelően ugrás:
018,2118,2118,21 =+−=+−=∑ AN jA .
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
21,18==∑ AN bD kN (↑), illetve
21,1879,216125,143Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ yj
D BN → 21,18=∑ jDN kN (↓).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:
0=∑ bDN , illetve
0=∑ jDN .
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (208.
ábra):
123
208. ábra: Az EB tartószerkezeti elemre ható normál és nyíró erők
05,2sin39,825,143sin39,821,81sinαa4qsinα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ AN bE kN ( ), illetve
05,2sin39,812,79sin39,816sinαsinαF −=°⋅+°⋅−=⋅+⋅−=∑ yj
E BN → 05,2=∑ jEN kN ( ).
Az F keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (208. ábra):
05,2sin39,825,143sin39,821,81sinαa4qsinα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ AN bF kN ( ), majd IIF –
nak megfelelően ugrás:
19,8sin39,81605,2sinαF05,2 −=°⋅−=⋅−=∑ bFN → 19,8=∑ b
FN kN ( ), illetve
19,8sin39,812,79sinα =°⋅=⋅=∑ yj
F BN kN ( ), majd IIF –nak megfelelően ugrás:
2,05sin39,8168,19sinαF8,19 −=°⋅−=⋅−=∑ jFN → 05,2=∑ j
FN kN ( ).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (208. ábra):
19,8sin39,861sin39,825,143sin39,821,81
sinαFsinαa4qsinα
−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅=
=⋅−⋅⋅⋅−⋅=∑ AN bB →
→ 19,8=∑ bBN kN ( ), majd yIIB –nak megfelelően ugrás:
0sin39,812,798,19sinα8,19 =°⋅+−=⋅+−=∑ ybB BN , illetve
0=∑ jBN , majd yIIB –nak megfelelően ugrás:
8,19sin39,812,790sinα0 =°⋅+=⋅+=∑ yj
B BN kN ( ).
124
209. ábra: Normál igénybevételi ábra
A nyíró igénybevételi ábra (210. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők határoz-
zák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merő-
leges hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAT , illetve 0=∑ j
AT .
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
0=∑ bDT , illetve 0=∑ j
DT .
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:
18,21==∑ AT bD kN (↑), illetve
18,2112,79161,2543Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ yj
D BT → 18,21=∑ jDT kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:
21,325,14318,21a4q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ AT bE kN (↑), illetve
21,312,7916F −=+−=+−=∑ yj
E BT → 21,3=∑ jET kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (208. ábra):
2,47cos39,81,2543cos39,818,21cosαa4qcosα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ AT bE kN ( ), illetve
2,47cos39,812,79cos39,816cosαcosαF −=°⋅+°⋅−=⋅+⋅−=∑ yj
E BT → 47,2=∑ jET kN ( ).
Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (208. ábra):
47,2cos39,81,2543cos39,818,21cosαa4qcosα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ AT bF kN ( ), majd ⊥F –
nek megfelelően ugrás:
9,82cos39,8162,47cosαF2,47 −=°⋅−=⋅−=∑ bFT → 82,9=∑ b
FT kN ( ), illetve
82,9cos39,812,79cosα =°⋅=⋅=∑ yj
F BT kN ( ), majd ⊥F –nek megfelelően ugrás:
2,47cos39,8169,82cosαF9,82 −=°⋅−=⋅−=∑ jFT → 47,2=∑ j
FT kN ( ).
125
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (208. ábra):
82,9cos39,816cos39,81,2543cos39,818,21
cosαFcosαa4qcosα
−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅=
=⋅−⋅⋅⋅−⋅=∑ AT bB →
→ 82,9=∑ bBT kN ( ), majd ⊥yB –nek megfelelően ugrás:
0cos39,812,799,82cosα9,82 =°⋅+−=⋅+−=∑ yb
B BT , illetve
0=∑ jBT , majd ⊥yB –nek megfelelően ugrás:
82,9cos39,812,790cosα0 =°⋅+=⋅+=∑ yj
B BT kN ( ).
210. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőérték-
helyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (215. ábra).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (211. ábra):
211. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
126
0,201,257,612,791,255,2161,2521,2543
a7,6a5,2Fa2a4q
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ yj
C BM→ 0,20=∑ j
CM kNm ( ), majd a
M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
020,020,0M20,0 =+−=+−=∑ jCM .
0=∑ bCM , majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
20,020,00M0 =+=+=∑ bCM kNm ( ).
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (212. ábra):
212. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
0,201,257,612,791,255,2161,2521,2543
a7,6a5,2Fa2a4q
−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ yj
D BM→ 0,20=∑ j
DM kNm ( ), illetve
20,020,0M ===∑ bDM kNm ( ).
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (213. ábra):
213. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
56,331,253,612,791,251,216a6,3a1,2F =⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅+⋅⋅−=∑ yj
E BM kNm ( ), illetve
127
55,3325,1421,810225,1225,143a4Ma2a4q −=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ AM bE → →
55,33=∑ bEM kNm ( ).
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (214. ábra):
214. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
37,381,254,212,79a4,2 =⋅⋅=⋅⋅=∑ yj
F BM kNm ( ), illetve
37,3825,12,521,810225,12,325,143a2,5Ma2,3a4q −=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ AM bF →
37,38=∑ bFM kNm ( ).
215. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
128
9. Igénybevételek – Gerber tartók Ebben a fejezetben olyan egyenes tengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztésé-
vel foglalkozunk, amelyekbe egy (vagy több) plusz csuklót építünk be. A többletcsuklók szá-
mának megfelelően a kényszerek szabadságfokának a számát is ugyanúgy növeljük a szerkezet
stabilitásának megőrzése miatt. A belső erőkre (igénybevételekre) vonatkozó szabályok válto-
zatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az előző fejezetekben. Amit tudni kell, hogy
a szerkezetbe épített csukló(k) az erőket (N, T) átadják, de a nyomatékot nem. A nyomatéki
ábra a csukló pontjában zérus értéket vesz fel. Ezt használjuk ki a többlet kényszer(ek)nél éb-
redő ismeretlen támaszerő(k) meghatározására.
9.1.1. példa Adott a 216. ábra szerinti Gerber tartószerkezet. F1=35 kN, F2=20 kN, q=4 kN/m, a=2,0 m.
Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
216. ábra: Gerber tartó; támaszerők irányainak feltételezése
Reakcióerők meghatározása (217. ábra):
Tudjuk, hogy a D pontban beépített csukló nyomatékot nem ad át, ami annyit jelent, a D ke-
resztmetszet hajlító igénybevétele zérus: 0MM jD
bD ∑∑ == .
2
)0,2(1,3540,21,35
2
a)(1,35qa1,350M
22jD
⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅==∑ CC →C=5,4 kN (↑).
0,254,50,22,250,2022
)0,25(4
2
0,240,253
a5a2,25aF2
a)5(q
2
aqaF0M
22
2
22
1A
⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅+⋅=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅+⋅==∑
B
CB → B=24,0 kN (↑).
0,250,22,750,240,26530,24022
)0,2(64
a5a2,75a6Fa4F2
a)(6q0M
2
12
2
C
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==∑
A
AB→ A=73,6 kN (↑).
xA==∑ 0Fx .
129
217. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevétel
nem ébred.
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
0=∑ bET , majd ugrás az F1 erőnek megfelelően:
35350F0 1 −=−=−=∑ bET → 35=∑ b
ET kN (↓), illetve
352,06420245,473,6a6qF2 =⋅⋅−−++=⋅⋅−−++=∑ BCAT yj
E kN (↑), majd ugrás az F1
erőnek megfelelően:
035-35F-35 1 ===∑ jET .
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
432,0435aqF1 −=⋅−−=⋅−−=∑ bAT → 34=∑ b
AT kN (↓), majd ugrás az Ay erőnek megfe-
lelően:
30,673,64343 =+−=+−=∑ ybA AT kN (↑), illetve
6,302,05420245,4a5qF2 −=⋅⋅−−+=⋅⋅−−+=∑ BCT jA → 6,30=∑ j
AT kN (↓), majd
ugrás az Ay erőnek megfelelően:
4373,630,630,6 =+−=+−=∑ yj
A AT kN (↑).
Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
6,226,370,22435a2qF1 =+⋅⋅−−=+⋅⋅−−=∑ yb
F AT kN (↑), majd ugrás az F2 erőnek
megfelelően:
2,62022,6F22,6 2 =−=−=∑ bFT kN (↑), illetve
6,22,044245,4a4q −=⋅⋅−+=⋅⋅−+=∑ BCT jF → 6,2=∑ j
FT kN (↓), majd ugrás az F2
erőnek megfelelően:
22,6202,6F2,6 2 −=−−=−−=∑ jFT → 22,6=∑ j
FT kN (↓).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
130
4,76,37200,225,3435Fa25,3qF 21 −=+−⋅⋅−−=+−⋅⋅−−=∑ yb
B AT → → 4,7=∑ bBT kN
(↓), majd ugrás a B erőnek megfelelően:
16,6247,47,4 =+−=+−=∑ BT bB kN (↑), illetve
6,160,275,244,5a75,2q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ CT jB → 6,16=∑ j
BT kN (↓), majd ugrás a B erő-
nek megfelelően:
4,724,661,661 =+−=+−=∑ BT jB kN (↑).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
4,5426,370,265,440253a65,4qFF 21 =++⋅⋅−−−=++⋅⋅−−−=∑ BAT yb
D kN (↑), il-
letve
4,50,235,144,5a35,1q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ CT jD → 4,5=∑ j
DT kN (↓).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
4,52,06420532473,6a6qFF 21 −=⋅⋅−−−+=⋅⋅−−−+=∑ BAT yb
C → 4,5=∑ bCT kN
(↓), majd ugrás a C erőnek megfelelően:
04,55,4C5,4 =−=−=∑ bCT , illetve
0=∑ jCT , majd ugrás a C erőnek megfelelően:
4,55,40C0 =+=+=∑ jCT kN (↑).
218. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
131
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhe-
lyek (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (220. ábra). A nyíró erő az
A, G, B és H pontokban lesz zérus. A G és H pontok helyének a megadása (219. ábra):
65,04
2,6
q=== F
FG
Tx m vagy 85,1
4
7,4
q=== B
BG
Tx m és
15,44
16,6
q=== B
BH
Tx m vagy 35,1
4
5,4
q=== C
CH
Tx m.
219. ábra: A nyíróerő zérus értékei – a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0,782
0,240,235
2
aqaF
22
1 =⋅+⋅=⋅+⋅=∑ bAM kNm ( ), illetve
0,782
)0,25(40,2020,225,2420,254,5
2
a)5(qaFa25,2a5
2
2
2
−=⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅=∑ BCM jA
→ 0,78=∑ jAM kNm ( ).
A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∑
0,21,3256,372
)0,2(2,32540,2325,0020,2325,253
a1,3252
a)(2,325qa325,0Fa325,2F
2
2
21 AM bG
= 23,96 kNm ( ), illetve
132
96,232
)0,2675,3(40,2925,0420,2675,34,5
2
a)675,3(qa925,0a675,3
2
2
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=∑ BCM jG
→ 96,23=∑ jGM kNm ( ).
A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∑
0,225,26,372
)0,2(3,2540,225,1020,225,353
a25,22
a)(3,25qa25,1Fa25,3F
2
2
21 AM bB
= 30,8 kNm ( ), illetve
8,302
)0,275,2(40,275,24,5
2
a)75,2(qa75,2
2
2
−=⋅⋅−⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅=∑ CM jB
→ 8,30=∑ jBM kNm ( ).
A H keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∑
0,2075,2420,2325,46,372
)0,2(5,32540,2325,3020,2325,553
a075,2a325,42
a)(5,325qa325,3Fa325,5F
2
2
21 BAM bH
= –3,65→ 65,3=∑ bHM kNm ( ), illetve
65,32
)0,2675,0(40,2675,04,5
2
a)675,0(qa675,0
22
=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=∑ CM jH kNm ( ).
220. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
133
9.1.2. példa Adott a 221. ábra szerinti Gerber tartó. F=16 kN, q=3 kN/m, a=2,0 m. Határozzuk meg a tá-
maszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
221. ábra: Gerber tartó; támaszerők irányának feltételezése
Reakcióerők meghatározása (222. ábra):
0MM jC
bC ∑∑ == .
2
0,230,2
2
aqa0M
22jC
⋅−⋅=⋅−⋅==∑ BB → B=3,0 kN (↑).
2,03,2532
2,0)(3,2532,01,2516
a3,252
a)(3,25qa1,25F0M
2
2
A
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−==∑
A
A
M
BM → MA=83,875 kNm ( ).
0,225,3875,830,22612
)0,2(3,253
a25,3a2F2
a)(3,25q0M
2
2
B
⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅==∑
y
yA
A
AM→ Ay=32,5 kN (↑).
xA==∑ 0Fx
222. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevétel
nem ébred.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
0=∑ bAT , majd ugrás az Ay erőnek megfelelően:
134
5,3232,500 =+=+=∑ ybA AT kN (↑), illetve
32,53162,03,253Fa3,25q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ BT jA → 32,5=∑ j
AT kN (↓), majd ugrás
az Ay erőnek megfelelően:
05,325,3232,5 =+−=+−=∑ yj
A AT .
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
252,01,25332,5a1,25q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ yb
D AT kN (↑), majd ugrás az F erőnek megfelelően:
9,01625F25 =−=−=∑ bDT kN (↑), illetve
0,932,023a2q −=+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ BT jD → 0,9=∑ j
DT kN (↓), majd ugrás az F erőnek
megfelelően:
25169,0F9,0 −=−−=−−=∑ jDT → 0,25=∑ j
DT kN (↓).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
3612,02,25332,5Fa2,25q =−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ yb
C AT kN (↑), illetve
330,23aq −=+⋅−=+⋅−=∑ BT jC → 0,3=∑ j
CT kN (↓).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:
0=∑ jBT , majd ugrás a B erőnek megfelelően:
0,3300 =+=+=∑ BT jB kN (↑), illetve
0,35,23162,03,253Fa3,25q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ yb
B AT → 0,3=∑ bBT kN (↓), majd ug-
rás a B erőnek megfelelően:
00,30,30,3 =+−=+−=∑ BT bB .
223. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
135
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhe-
lyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (225. ábra). A nyíró erő
az E pontban lesz zérus. A E pont helyének a megadása (224. ábra):
33
9,0
q=== D
DE
Tx m vagy 0,1
3
3,0
q=== B
BG
Tx m.
224. ábra: A nyíróerő zérus értékei – a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei
Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAM , majd az MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
83,87583,87500 =+=+=∑ AbA MM kNm ( ), illetve
875,832
)0,225,3(30,225,1610,225,33
2
a)25,3(qa25,1Fa25,3
2
2
−=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=∑ BM jA
→ 875,83=∑ jAM kNm ( ), majd az
MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
083,87583,87583,875 =+−=+−=∑ AjA MM .
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0,210,21,255,232
)0,2(1,253875,38a1,25
2
a)(1,25q 22
=⋅⋅−⋅⋅+=⋅⋅−⋅⋅+=∑ yAbD AMM
kNm ( ), illetve
122
)0,22(30,223
2
a)2(qa2
22
−=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=∑ BM jD → 0,12=∑ j
DM kNm ( ).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
136
02,02,2532,52,0162
2,0)(2,25383,875
a2,25aF2
a)(2,25q
2
2
=⋅⋅−⋅+⋅⋅+=
=⋅⋅−⋅+⋅⋅+=∑ yAbC AMM
, illetve
02
0,230,23
2
aqa
22
=⋅−⋅=⋅−⋅=∑ BM jC .
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
5,12,02,7532,525,1162
2,0)(2,75383,875
a2,75a5,1F2
a)(2,75q
2
2
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+=∑ yAbE AMM
→ 5,1=∑ bEM kNm ( ),
illetve
5,12
)0,25,0(30,25,03
2
a)5,0(qa5,0
22
=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=∑ BM jE kNm ( ).
225. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
137
10. Igénybevételek – háromcsuklós keretek A háromcsuklós keretek támaszainál ébredő reakcióerők meghatározásánál ugyanazt az elvet
használjuk fel, mint a Gerber–tartók esetében. Az eltérés annyi lehet, hogy itt legfeljebb egy
csuklót építünk be a szerkezetbe. Az igénybevételi ábrák meghatározása során ugyanazon sza-
bályok érvényesek, mint a tört tengelyű tartók esetében.
10.1.1. példa Adott a 226. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. F=15 kN, q=4 kN/m, M=25 kNm, a=1,0
m. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
226. ábra: Tört tengelyű tartó – három csuklós keret; támaszerők feltételezése
A reakció erők kiszámítása (227. ábra):
0,11,07,61,02,4151,05,61,04425
aa7,6a2,4Fa5,6a4qM0M B
⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=
=⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+==∑xy
xy
AA
AA→
xy AA +⋅−= 6,76,1500 → 6,1506,7 −⋅= yx AA
0,120,140,120,14452
a2a4a2a4qM0M bE
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+==∑xy
xy
AA
AA→
02)6,1506,7(45724570 =⋅−⋅−⋅−=⋅−⋅−= yyxy AAAA →
Ay=18,66 kN (↑) →
Ax= −8,78→ Ax= 8,78 kN (→).
aa7,60,12,5510,120,14452
aa7,6a2,5Fa2a4qM0M A
⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==∑xy
xy
BB
BB→
xy BB +⋅+−= 6,7850 → 6,785 ⋅−= yx BB
138
0,11,2510,130,13,6
a1,2Fa3a3,60M jE
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑xy
xy
BB
BB→
0183)6,7(856,31836,30 =−⋅⋅−+⋅=−⋅+⋅= yyxy BBBB →
By=12,34 kN (↑) →
Bx= −8,78 → Bx= 8,78 kN (←).
227. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
A normál igénybevételi ábra (229. ábra) a következők határozzák meg: az erőrendszer egyes
elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAN , majd az Ay–nak megfelelően ugrás:
66,180 =+=∑ ybA AN kN (↑), illetve
18,6612,34151,044Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ yj
A BN → 66,18=∑ jAN kN (↓), majd az
Ay–nak megfelelően ugrás:
018,6618,6618,66 =+−=+−=∑ yj
A AN .
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
66,18==∑ ybD AN kN (↑), illetve
66,1834,21510,144Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ yj
D BN → 66,18=∑ jDN kN (↓).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:
8,78==∑ xbD AN kN (→), illetve
8,78−=−=∑ xj
D BN → 8,78=∑ jDN kN (←).
139
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:
78,8==∑ xbE AN kN (→), illetve
8,78−=−=∑ xj
E BN → 8,78=∑ jEN kN (←).
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (228.
ábra):
228. ábra: Az EB ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre
04,5sin39,81,044cos39,8 ˙8,78sin39,818,66
sinα0,14qcosαsinα
−=°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=
=⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xybE AAN →
→ 04,5=∑ bEN kN ( ), illetve
04,5cos39,88,78sin39,812,34sin39,815cosαsinαsinαF =°⋅+°⋅+°⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑ xyj
E BBN
kN ( ).
Az F keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (228. ábra):
04,5sin39,80,144cos39,878,8sin39,866,81
sinαa4qcosαsinα
−=°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=
=⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xybF AAN → 04,5=∑ b
FN kN ( ), majd
IIF –nak megfelelően ugrás:
64,14sin39,81504,5sinαF04,5 −=°⋅−−=⋅−−=∑ bFN → 64,14=∑ b
FN kN ( ), illetve
64,41cos39,88,78sin39,812,34cosαsinα =°⋅+°⋅=⋅+⋅=∑ xyj
F BBN kN ( ), majd IIF –nak
megfelelően ugrás:
04,5sin39,81564,41sinαF64,41 =°⋅−=⋅−=∑ jFN kN ( ).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (228. ábra):
64,14sin39,815sin39,81,044cos39,88,78sin39,818,66
sinαFsinαa4qcosαsinα
−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=
=⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xybB AAN →
→ 64,14=∑ bBN kN ( ), majd yIIB és xIIB –nak megfelelően ugrás:
140
0cos39,878,8sin39,812,3414,64cosαsinα14,64 =°⋅+°⋅+−=⋅+⋅+−=∑ xybB BBN , illetve
0=∑ jBN , majd yIIB és xIIB –nak megfelelően ugrás:
64,41cos39,88,78sin39,812,340cosαsinα0 =°⋅+°⋅+=⋅+⋅+=∑ xyj
B BBN kN ( ).
229. ábra: Normál igénybevételi ábra
A nyíró igénybevételi ábra (230. ábra) egyes értékeit az erőrendszer egyes elemeinek az adott
tartószerkezeti elem hossztengelyére merőleges hatásvonalú elemei határozzák meg.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAT , majd az Ax erőnek megfelelő ugrás:
78,80 =+=∑ xbA AT kN (→), illetve
8,78−=−=∑ xj
A BT → 8,78=∑ jAT kN (←).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:
8,78==∑ xb
D AT kN (→), illetve
8,78−=−=∑ xj
D BT → 8,78=∑ jDT kN (←).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:
18,66==∑ yb
D AT kN (↑), illetve
18,6612,34151,044Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ yj
D BT → 18,66=∑ jDT kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:
66,20,14418,66a4q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ yb
E AT kN (↑), illetve
66,212,3415F −=+−=+−=∑ yj
E BT → 66,2=∑ jET kN (↓).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (228. ábra):
66,7cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66
cosαa4qsinαcosα
=°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=
=⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xyb
E AAT → 66,7=∑ bET kN ( ), illetve
141
66,7sin39,88,78cos39,812,34cos39,815
sinαcosαcosαF y
−=°⋅−°⋅+°⋅−=
=⋅−⋅+⋅−=∑ xj
E BBT → 66,7=∑ jET kN ( ).
Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (228. ábra):
66,7cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66
cosαa4qsinαcosα
=°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=
=⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xyb
F AAT → 66,7=∑ bFT kN ( ), majd
⊥F –nek megfelelően ugrás:
86,3cos39,81566,7cosαF66,7 −=°⋅−=⋅−=∑ bFT → 86,3=∑ b
FT kN ( ), illetve
86,3sin39,88,78cos39,812,34sinαcosα =°⋅−°⋅=⋅−⋅=∑ xyj
F BBT kN ( ), majd ⊥F –nek
megfelelően ugrás:
66,7cos39,8153,86cosαF3,86 −=°⋅−=⋅−=∑ jFT → 66,7=∑ j
FT kN ( ).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (228. ábra):
86,3-cos39,851cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66
cosαFcosαa4qsinαcosα
=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=
=⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xyb
B AAT →
→ 86,3=∑ bBT kN ( ), majd ⊥yB és BxII–nak megfelelően ugrás:
0 sin39,878,8cos39,812,3486,3sinαcosα3,86 =°⋅−°⋅+−=⋅−⋅+−=∑ xyb
B BBT , illetve
0=∑ jBT , majd ⊥yB és BxII–nak megfelelően ugrás:
86,3 sin39,878,8cos39,812,340sinαcosα0 =°⋅−°⋅+=⋅−⋅+=∑ xyj
B BBT kN ( ).
230. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőérték-
helyek (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei és az E pontban található
csukló (235. ábra).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (231. ábra):
142
231. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
78,330,1278,81,07,612,341,05,2151,021,044
a2a7,6a5,2Fa2a4q
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xyj
C BBM→ 78,33=∑ j
CM kNm
( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:
78,825,078,33M78,33 −=+−=+−=∑ jCM → 78,8=∑ j
CM kNm ( ), illetve
8,781,08,78a =⋅=⋅=∑ xbC AM kNm ( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ug-
runk:
78,3325,078,8M78,8 =+=+=∑ bCM kNm ( ).
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (232. ábra):
232. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
57,420,1378,81,07,612,341,05,2151,021,044
a3a7,6a5,2Fa2a4q
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xyj
D BBM→ 57,42=∑ j
DM
kNm ( ), illetve
56,241,028,7825,0a2M =⋅⋅+=⋅⋅+=∑ xbD AM kNm ( ).
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (233. ábra):
143
233. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
008,0
0,10,378,81,03,612,341,01,215a0,3a6,3a1,2F
≅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=∑ xyj
E BBM,
illetve
.008,00,1278,80,1466,81520,120,144
a2a4Ma2a4q
≅−=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ xybE AAM
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (234. ábra):
234. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása
06,120,10,278,81,04,212,34a0,2a4,2 =⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=∑ xyj
F BBM kNm ( ), illetve
05,120,178,80,12,566,81520,12,30,144
aa2,5Ma2,3a4q
−=⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=
=⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ xybF AAM
→ 05,12=∑ bFM kNm ( ).
144
235. ábra: Hajlító igénybevételi ábra
10.1.2. példa Adott a 236. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. q1=4 kN/m, q2=3 kN/m, q3=3 kN/m,
a=1,0 m. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat.
236. ábra: Tört tengelyű tartó – három csuklós keret; támaszerők feltételezése
A reakció erők kiszámítása (237. ábra):
0,180,120,1430,120,1430,160,144
a8a2a4qa2a4qa6a4q0M 321B
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑y
y
A
A→
145
→ 0,12=yA kN (↑).
a80,120,1430,160,1430,120,144
a8a2a4qa6a4qa2a4q0M 321A
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==∑y
y
B
B→
→ 0,16=yB kN (↑).
0,120,143a50,1461
a2a4qa5a40M 2jD
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑x
xy
B
BB →
→ Bx= −8 → Bx= 8,0 kN (←).
0,130,1430,150,14210,120,144
a3a4qa5a4a2a4q0M 31bD
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅==∑x
xy
A
AA →
→ Ax= 4,0 kN (←).
237. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők
A normál igénybevételi ábra (240. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők hatá-
rozzák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével
párhuzamos hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAN , majd az Ay–nak megfelelő ugrás:
0=∑ bAN +Ay=0+12=12,0 kN (↑), illetve
12161,0431,044a4qa4q 21 −=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ yjA BN → 12,0=∑ j
AN kN (↓),
majd az Ay–nak megfelelő ugrás:
146
0.121212 =+−=+−=∑ yjA AN
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti ele-
men:
=∑ bCN Ay=12,0 kN (↑), illetve
12161,0431,044a4qa4q 21 −=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ yj
C BN → 12,0=∑ jCN kN (↓).
A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti
elemen:
238. ábra: A CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre
67,10cos1421cos144sin1421cosαQcosαsinα 3 =°⋅+°⋅−°⋅=⋅+⋅−⋅=∑ xybC AAN kN ( ),
illetve
10,67cos148sin1416 sin1412sin1416
cosαsinα sinαQsinαQ 21
−=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅−=
=⋅−⋅+⋅−⋅−=∑ xyj
C BBN→ 10,67=∑ j
CN kN ( ).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti
elemen:
79,6sin1416cos1412cos144sin1412
sinαQcosαQcosαsinα 13
=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=
=⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xybD AAN
→ 79,6=∑ bDN kN ( ), illetve
79,6cos148sin1416 sin1412cosαsinα sinαQ2 −=°⋅−°⋅+°⋅−=⋅−⋅+⋅−=∑ xyj
D BBN →
79,6=∑ jDN kN ( ).
A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti
elemen:
73,8sin1416cos1412cos144sin1412
sinαQcosαQcosαsinα 13
=°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=
=⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xybD AAN
→ 73,8=∑ bDN kN ( ), illetve
147
73,8cos148sin1416 sin1412cosαsinα sinαQ2 −=°⋅−°⋅−°⋅=⋅−⋅−⋅=∑ xyj
D BBN →
73,8=∑ jDN kN ( ).
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti
elemen:
63,11sin1421sin1416cos1412cos144sin1412
sinαQsinαQcosαQcosαsinα 213
=°⋅+°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=
=⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xybE AAN
→ 63,11=∑ bEN kN (
), illetve
239. ábra: A DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre
63,11cos148sin1416 cosαsinα −=°⋅−°⋅−=⋅−⋅−=∑ xyj
E BBN → 63,11=∑ jEN kN ( ).
Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az EB függőleges helyzetű tartószer-
kezeti elemen:
160,1430,14421a4qa4q 21 −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ ybE AN → 16,0 =∑ b
EN kN (↓), illetve
16,0 ==∑ yj
E BN kN (↑).
A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:
160,1430,14421a4qa4q 21 −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ ybB AN → 0,16=∑ b
BN kN (↓), majd
ugrás a By–nak megfelelően:
0161616 =+−=+−=∑ ybB BN , illetve
0=∑ jBN , majd ugrás a By–nak megfelelően:
16,0160 0 =+=+=∑ yj
B BN kN (↑).
148
240. ábra: Normál igénybevételi ábra
A nyíró igénybevételi ábra (241. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők határoz-
zák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merő-
leges hatásvonalú elemei.
Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0=∑ bAT , majd az Ax–nek megfelelő ugrás:
440=0 −=−−=∑ xbA AT −4,0 → 4=∑ b
AT kN (←), illetve
0,481,043a4q3 =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ xj
A BT kN (→), majd az Ax–nek megfelelő ugrás:
0444 =−=−=∑ xj
A AT .
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti ele-
men:
0,840,143a4q3 =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ xb
C AT kN (→), illetve
8−=−=∑ xj
C BT → 0,8=∑ jCT kN (←).
A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti ele-
men:
9,71sin1412sin144cos1412sinαQsinαcosα 3 =°⋅−°⋅+°⋅=⋅−⋅+⋅=∑ xyb
C AAT kN ( ), il-
letve
71,9sin148cos1461 cos1421cos1461
sinαcosα cosαQcosαQ 21
−=°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=
=⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xyj
C BBT→ 71,9=∑ j
CT kN ( ).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti ele-
men:
149
81,5cos1461sin1412sin144cos1412
cosαQsinαQsinαcosα 13
−=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅=
=⋅−⋅−⋅+⋅=∑ xyb
D AAT→ 81,5=∑ b
DT kN ( ), illetve
81,5sin148cos1461 cos1421sinαcosα cosαQ2 =°⋅+°⋅+°⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑ xyj
D BBT kN( ).
A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti ele-
men:
95,1cos1416sin1412sin144cos1412
cosαQsinαQsinαcosα 13
−=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=
=⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xyb
D AAT→ 95,1=∑ b
DT kN ( ), illetve
95,1sin148cos1416 cos1412sinαcosα cosαQ2 =°⋅−°⋅+°⋅−=⋅−⋅+⋅−=∑ xyj
D BBT kN( ).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti ele-
men:
59,13-cos1412cos1416sin1412sin144cos1412
cosαQcosαQsinαQsinαcosα 213
=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=
=⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xyb
E AAT → 59,13=∑ b
ET
kN( ), illetve
58,13sin148cos1416 sinαcosα =°⋅−°⋅=⋅−⋅=∑ xyj
E BBT kN ( ).
Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az EB függőleges helyzetű tartószerke-
zeti elemen:
0,80,1434a4q3 =⋅⋅+−=⋅⋅+−=∑ xb
E AT kN (→), illetve
80 −=−=∑ xj
E BT → 8,0=∑ jET kN (←).
A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:
0,80,1434a4q3 =⋅⋅+−=⋅⋅+−=∑ xb
B AT kN (→), majd ugrás a Bx–nek megfelelően:
0888 =−=−=∑ xb
B BT , illetve
0=∑ jBT , majd ugrás a Bx–nek megfelelően:
880 0 −=−=−=∑ xj
B BT → 0,8=∑ jBT kN (←).
150
241. ábra: Nyíró igénybevételi ábra
A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a
tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőérték-
helyek (242. ábra) (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei és a D pont-
ban található csukló (243. ábra).
242. ábra: A nyíróerő zérus értékei – a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei
A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
67,22
1,3333,1333,14=
2q3 −=⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−=∑ AG
AGAGxbG
xxxAM →
→ 67,2=∑ bGM kNm ( ), illetve
( )
( ) 67,233,180,18610,140,120,1430,120,1442
2,6767,23
=a8a4a2a4qa2a4q2
q 213
=⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=
⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=∑ AGxyGC
GCj
G xBBx
xM→
151
→ 67,2=∑ jGM kNm ( ).
A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
0,80,120,1430,144=a2a4qa4 3 =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=∑ xbC AM kNm ( ), illetve
( )( ) 80,1480,18610,140,120,1430,120,144
=a4a8a4a2a4qa2a4q 21
−=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xyj
C BBM→
0,8=∑ jCM kNm ( ).
Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
( ) ( )
( ) ( )
51,42
cos1458,2cos1458,24
sin1458,20,120,143cos1458,221sin1458,20,144
=2
cosαcosαq
sinαa2a4qcosαsinαa4
1
3
−=
°⋅⋅°⋅⋅+
+°⋅+⋅⋅⋅⋅+°⋅⋅−°⋅+⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅+
+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−=∑CF
CF
CFCFyCFxbF
xx
xxAxAM
→
→ 51,4=∑ bFM kNm ( ), illetve
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
→=
=
°⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅−⋅−°⋅−⋅⋅⋅⋅−
−°⋅−⋅⋅+°⋅+⋅⋅−=
⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−
−⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−=∑
51,4
2
cos1458,20,14cos1458,20,1440,12cos1458,20,180,143
cos1458,20,1861sin1458,20,148
=2
cosαa4cosαa4q
a2cosαa8a4qcosαa8sinαa4
1
2
CFCF
CFCFyCFxj
F
xx
xxBxBM
51,4=∑ jFM kNm ( ).
A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
00,120,1440,130,1430,14210,154
=a2a4qa3a4qa4a5 13
=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=∑ yxbD AAM
, illetve
00,1580,14610,120,143
=a5a4a2a4q2
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=∑ xyj
D BBM.
Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:
( )( ) 320,1440,18210,120,1430,140,120,1440,120,143
=a4a8a2a4qa4a2a4qa2a4q 312
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=∑ xybE AAM
→
→ 0,32=∑ bEM kNm ( ), illetve
320,148=a4 −=⋅⋅−⋅⋅−=∑ xj
E BM → 0,32=∑ jEM kNm ( ).
152
243. ábra: Hajlító igénybevételi ábra