stanisław leśniewski -...

of 37/37
Stanisław Leśniewski Podstawy ogólnej teorii mnogości : cz. I Filozofia Nauki 7/3/4, 173-208 1999

Post on 01-Mar-2019

218 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Stanisaw Leniewski

Podstawy oglnej teorii mnogoci :cz. IFilozofia Nauki 7/3/4, 173-208

1999

Filozofia NaukiARCHIWUM Rok VII, 1999, Nr 34(27 28)

Stanisaw Leniewski

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I(Cz. Ingrediens. Mnogo. Klasa. Element. Podmnogo. Niektre

ciekawe rodzaje klas.)

atwiej bd co bd prawd wypisa, wyrozma- wia, wydyskutowa ni j wymilcze.

Tadeusz Kotarbiski, Metoda konstrukcyjna a rozumowanie osobiste ,

Przegld Filozoficzny, 1914, s. 182

Zonie mojej ofiaruj

1. Ju po raz szsty gocimy w Filozofii Nauki Stanisawa Leniewskiego. Dotd zmiecilimy na naszych amach nastpujce teksty: Przyczynek do analizy zda egzystencjalnych (Filozofia Nauki r. 11(1994) nr 1 s. 117134); Prba dowodu on- tologicznej zasady sprzecznoci" (Filozofia Nauki r. 11(1994) nr 2 s. 117147); Gos w dyskusji wok genezy logiki trjwartociowej (Filozofia Nauki r. 11(1994) nr 34 s. 235-237); O podstawach filozoficznych teorii mnogoci (Filozofia Nauki r. VI(1998) nr 2 s. 123139); Listy do Kazimierza Twardowskiego (Filozofia Nauki r. VI(1999) nr 12 s. 115133). Obecnie przysza kolej na Podstawy oglnej teorii mnogoci I dzieo, ktre w oryginale jest dostpne w Polsce w zaledwie kilku bibliotekach publicznych. Zostao ono wydane w 1916 roku jako druga pozycja Prac Polskiego Koa Naukowego w Moskwie (Sekcja Matematyczno-Przyrodnicza) w Drukarni A.P. Popawskiego. Tak o okolicznociach powstania Podstaw pisa Tadeusz Kotarbiski (Garstka wspomnie o Stanisawie Leniewskim, [w:] Studia z historii filozofii i logiki, Warszawa 1979, PWN, s. 294):

174 Stanisaw Leniewski

Z zarodkiem [...] mereologii w gowie wyjecha Leniewski do Rosji na czas pierwszej wojny wiatowej. Tam naucza matematyki w szkole polskiej* prbujc pono czstowa malcw a limine potnymi abstrakcjami i ucileniami. O tym okresie jego ycia mogliby zapewne opowiedzie do duo panowie: profesor Wacaw Sierpiski i profesor Wojciech Switoslawski, z ktrych pierwszy zwaszcza mg z bliska obserwowa jego dziaalno. Tam i w owym czasie Leniewski sformuowa i po polsku ogosi pierwszy zarys systemu formalnego mereologii, nazywajc j jeszcze wtedy teori mnogoci. Nazwa mereologii dopiero pniej zacza wchodzi w uycie.

2. W jednej z najnowszych powanych encyklopedii filozoficznych mona przeczyta, e Leniewski by logikiem polskim pochodzenia... rosyjskiego (sic!). Jednym ze rde tego nieporozumienia jest zapewne to, e pierwsze oryginalne dzieo Leniewskiego Podstawy oglnej teorii mnogoci byo opublikowane wanie w Moskwie, gdzie skdind w latach 19161918 uczy take matematyki w polskim gimnazjum pp. Jakubowskich. Innym rdem jest by moe fakt, e w 1913 roku Leniewski wyda w Petersburgu broszur Logiceskie razsudenija, zawierajc rosyjskie przekady Przyczynku do analizy zda egzystencjalnych i Prby dowodu ontolo- gicznej zasady sprzecznoci. Nie wykluczone wreszcie, e nieporozumienie wzio si std, e Leniewski urodzi si w Sierpuchowie pod Moskw. Sierpuchw by w owym czasie duym wzem kolejowym i mieszkaa tam stale dua kolonia kolejarzy- Polakw, a wrd nich ojciec Leniewskiego, Izydor, ktry by inynierem kolejnictwa, a take m.in. (jak si niedawno okazao) ojciec naszego znanego kompozytora, Witolda Rudziskiego.

3. Zamieszczona ubiegego roku w Filozofii Nauki praca O podstawach teorii mnogoci zostaa napisana jak gosi napis pod tekstem pierwszego wydania w Kimborciszkach, we wrzeniu 1914 roku. W majtku teciw bywa nastpnie Leniewski wielokrotnie: ostatni raz na rok przed mierci. Bya to okolica pena krewniakw ony: koo Kimborciszek, w Lipniszkach, mieszka z rodzin je j stryj. Wspomina o nim w ksice Pani na Berienikach Wojciech Winiewski: By onaty, ale do nieszczliwy w maestwie. W licie (19) z Kimborciszek z dnia 6 czerwca 1936 roku Leniewski tak opisywa ten majtek: yto przed oknem, drzewa kwitnce, sowiki, rechot ab, ko do dyspozycji i inne tego rodzaju przyjemnoci (s. 131). Jak wygldaj Kimborciszki dzisiaj?

* Chodzi o szko Komitetu Polskiego w Moskwie pniejsze warszawskie gimnazjum Wadysawa Giyckiego. Traf chcia, e jednym z uczniw Leniewskiego by wwczas Konstanty Gaczyski, przyszy poeta. Jego kolega z awy szkolnej tak wspomina tamte moskiewskie czasy: Na lekcji algebry, ktr wykada wielki logista Leniewski (wedug naszej nomenklatury: Lew), mona byo uywa. Kady robi co chcia. Lew nie zwraca uwagi na takie drobiazgi (zob. Jan Hoppe, May Ildefons, [w:] A. Kamieska i J. piewak (red.), Wspomnienia o K.I. Gaczyskim, Warszawa 1961, Czytelnik, s. 49). [Bardzo dzikuj Panu Lechowi Stpniewskiemu za zwrcenie mi uwagi na ten barwny epizod z ycia dwch wielkich ludzi (JJJ).]

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 175

yto tu i wdzie ronie, ale nie mona ju na nie patrzy przez okna dworu bo pozostay po nim jedynie fundamenty, ktre porasta bujna rolinno. Sady zdziczay zupenie, ale przetrway i jeszcze dzi robi imponujce wraenie. Sowiki klskaj w resztkach dworskiego parku, * aby rechoc w zapuszczonym stawie, ale konia do dyspozycji oczywicie nie ma ocala stajni przerobiono na dom mieszkalny. Za to od okolicznych mieszkacw mona si dowiedzie (po polsku!), jak dotrze do poronitego sonin wzgrza, gdzie zachoway si fragmenty kamiennego nagrobka z inskrypcj: Sp. Marian Prewysz-Kwinto, syn ziemi brasawskiej, ochotnik WP, por. 13 pul. uanw, ur. 1856 r. zm. 27 X I 1938 r. Cze jego pamici.

Stanisaw Leniewski w wieku Ocalay fragment nagrobka Marianamodzieczym Prewysz-Kwinty w Kimborciszkach

Z archiwum J.J. Jadackiego Fot. J.J. Jadacki (1999)

4. Ze wzgldu na skpo informacji biograficznych o Leniewskim kade nowe rdo takich informacji jest na wag zota. Nale do nich dwa tomy Dziennikw Kazimierza Twardowskiego, opublikowane w 1997 roku przez nieodaowanej pamici kronikarza Szkoy Lwowsko-Warszawskiej Ryszarda Jadczaka.

Oto wzmianki dotyczce Leniewskiego zaczerpnite z owych Dziennikw (cz. 1, s. 5257, 67, 104, 111113, 115, 236, 282, 300, 309, 324; cz. 2, s. 74, 110 113,133, 149, 211 i 308).

Warszawa 1918 r.: Posiedzenie Fakultetu Filozoficznego w Seminarium Filozoficznym [...] referat Leniewskiego, kawiarnia wszyscy razem (9 czerwca). Od dziewitej trzydzieci do dwunastej w Ministerstwie [Wyzna Religijnych i Owiecenia Publicznego] z Leniewskim pracuj. [...] Kawiarnia z Janiszewskim, Leniewskim (ktry odprowadza mnie potem do do-

* To tutaj, w 1939 roku tu po mierci Leniewskiego Henryk Hi zdawa u Kotarbiskiego egzamin z Elementw. Por. Uwagi o Leniewskim, Ruch Filozoficzny, t. 1993), nr 1, s. 60.

176 Stanisaw Leniewski

mu), Tatarkiewiczem, Kotarbiskim, Znamierowskim (15 czerwca). Spotkanie z Grskimi i z Leniewskim (17 czerwca). Cukiernia na Marszakowskiej. Leniewski i Kotarbiski odprowadzaj mnie do hotelu (20 czerwca). Ministerstwo z Leniewskim do wp do drugiej. [...] Na Marszakowskiej na podwieczorku z ukasiewiczem, Kotarbiskim, Tatarkiewiczem, Leniewskim, Znamierowskim, Chojeckim [...] do wp do smej. Lukasiewicz i Leniewski odprowadzaj mnie na Foksal (22 czerwca). U Leniewskich. Z nim do Instytutu [Filozoficznego]. [...] Potem razem od dziesitej do jedenastej w cukierni. Wracamy razem. Kotarbiski, Leniewski i Zabielski odprowadzaj mnie a do hotelu (25 czerwca). Wszyscy oni [tj. Lukasiewicz, Kotarbiski, Leniewski i Czeowski] i jeszcze inni byli na posiedzeniu, zwoanym przypadkiem na dzi, na ktrym uchwalili wobec zbliajcego si 25-lecia mej dziaalnoci akademickiej wyda zbiorowo moje niedostpne w handlu ksigarskim prace (31 padziernika). Lww 1919 r.: Z Wartenbergiem rozmowa o Leniewskim. Wartenberg jest stanowczo przeciwny jego habilitacji (21 maja). Warszawa 1919 r.: Mwilimy [z Kotarbiskim] o sprawie Tatarkiewicza i Leniewskiego. Powiedziaem mu o stosunku Wartenberga (28 czerwca). Z ukasiewiczem omwiem spraw [...] Leniewskiego (katedra filozofii matematyki) (29 czerwca). W restauracji Warszawa" na Nowym Swiecie wieczr spdziem z Czeowskim, Kotarbiskim, Borowskim, Lesniewskim, Chojeckim, a przyszed czas jaki Radecki. Leniewski rozwija zasady swej nowej najoglniejszej aksjomatyki, ktrej I aksjomat brzmi: Jeeli a jes t b, to a jes t a (1 lipca). U Sierpiskiego omawiam 3 sprawy: Leniewskiego, Steinhausa, yliskiego (6 lipca). Warszawa 1926 r.: Od smej do dwunastej z Kazikiem [Ajdukiewiczem], Kotarbiskim i ukasiewiczem u Leniewskich. On dzi koczy 40 lat (28 marca). Obiad u Kazikw, u ktrego po obiedzie Kotarbiski z Leniewskim (17 grudnia). Zaatwiajc po drodze sprawunki, wrciem do domu za kwadrans pierwsza chwilk byl Leniewski szukajc Kazika (18 grudnia). Lww 1927 r.: Maryna [crka Twardowskiego i ona Ajdukiewicza] opowiadaa mi o nieprzyjemnociach koleeskich, ktrych doznawa w ostatnich czasach Kazik w Warszawie ze strony Leniewskiego i W. Witwickiego (24 marca). Warszawa 1927 r.: Okoo dziesitej byem kwadran- sik u Kotarbiskiego, nastpnie u W. Witwickiego do dwunastej idc do niego spotkaem na schodach Leniewskiego (27 maja). Po referacie Izy [Dmbskij] miaem krtk dyskusj prywatn z Leniewskim. Na obiedzie byl Jzek Tomczak, po obiedzie by chwilk Lesniewski (20 wrzenia). Warszawa 1929 r.: Od Leniewskiego [udaem si] do Wali [Buczyskiej] (30 maja). Lww 1930 r.: Komisja [do sprawy obsadzenia katedry logiki we Lwowie] zebraa [...] opinie: otrzymaa je od Kotarbiskiego, Leniewskiego i ukasiewicza jedn wspln z Warszawy [...]. Warszawa [opowiedziaa si] za Tarskim, Krakw za Chwistkiem (11 stycznia). Rada [...] [Wydziau Matematyczno-Przyrodniczego] wbrew opinii Leniewskiego, Kotarbiskiego i ukasiewicza oraz wbrew mojej opinii, na katedr, ktr zamierza stworzy dla logiki, zaproponowa uchwalia nie Tarskiego, lecz Chwistka (24 stycznia). Wysuchawszy sprawozdania Kazika o jego rozmowach z Kotarbiskim, ukasiewiczem, Leniewskim i Tarskim [...], uchwali Wydzia [PTF] jednomylnie przekaza dalsz akcj w sprawie zorganizowania udziau Polakw w VII Zjedzie Filozoficznym, ktry ma si odby w Oxfordzie, Warszawskiemu Towarzystwu Filozoficznemu (27 stycznia). Ci co postpuj wedle wzoru Leniewskiego, bardzo arbitralnie domagaj si analizy tam, gdzie im to dogodne, gdy jednak kto od nich domaga si analizy tam, gdzie im to niedogodne, powouj si na intuicj". A [gdy] przeciwnik w dyskusji prbuje kiedy rwnie powoa si na intuicj", odpowiadaj: Nie rozumiemy tego, co wedug ciebie ma by intuicyjnie dane" (12 sierpnia). Lww 1932 r.: Opowiedzia /scii. Kazik] [...] o tym, e prof. Leniewski z Warszawy, ktrego PTF uchwalio prosi na odczyt do Lwowa, nie przyj zaproszenia (7 kwietnia). Lww 1933 r.: Owiadczy

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 177

[...] Chwistek [Kazikowi] , e nic nie ma przeciw Kazikowi prcz tego, te tene uznaje Leniewskiego (13 padziernika).

Redakcja

PRZEDMOWA

Praca niniejsza jest pierwszym ogniwem w duszym szeregu prac, ktre zamierzam wyda w bliszej lub dalszej przyszoci, pragnc przyczyni si w miar monoci do uzasadnienia matematyki wspczesnej. e uzasadnienie takie nie jest rzecz zbyteczn, jasne jest dla kadego, kto zna choby antynomie, do ktrych dosza matematyka w ostatnich dziesicioleciach swego rozwoju.

Ukad definicji i pewnikw, ktre ustaliem w niniejszej pracy, powiconej najoglniejszym zagadnieniom teorii mnogoci, ma dla mnie w porwnaniu z innymi znanymi dotd ukadami definicji i pewnikw (Zermelo, Russell itd.) t zalet, i usuwa antynomie oglnej teorii mnogoci bez zwania pierwotnego Cantorows- kiego zakresu wyrazu mnogo, jak to wida choby z mego aksjomatu III, z drugiej za strony nie prowadzi do twierdze, znajdujcych si w tak racym konflikcie z intuicjami ogu, jak choby twierdzenie dotychczasowej nie naiwnej teorii mnogoci, nakazujce odrnia jaki przedmiot od zbioru, zawierajcego ten tylko jeden przedmiot jako element. Wyznaj chtnie, e niektre twierdzenia moje, jak np. tw. XXVII, mog urazi intuicje matematyczne rnych mniej lub wicej subtelnych mylicieli, kontemplujcych wytwomo pewnych konstrukcji teoretycznych niezalenie od tego, czy konstrukcje owe przyczyniaj si w jakimkolwiek stopniu do ujcia naukowego rzeczywistoci, czy te su tylko do usprawiedliwienia panujcych w naszej epoce, a odznaczajcych si duym stopniem bezwadnoci, matematycznych przyzwyczaje. Nie mog jednak odmwi sobie przyjemnoci skonstatowania faktu, e staraem si pisa prac moj tak, by dotyczya ona nie tylko wszelkiego rodzaju wolnych tworw rozmaitych mniej lub wicej dedekindujcych duchw twrczych; wypada std, i bardziej si troszczyem o to, aby twierdzenia moje, posiadajc posta moliwie cis, harmonizoway ze zdrowym rozsdkiem zajmujcych si badaniem nie przez nich samych tworzonej rzeczywistoci przedstawicieli esprit laique, anieli o to, aby to, co mwi, zgodne byo z tymi intuicjami fachowych teoretykw mnogoci, ktre wyszy z zaopatrzonej w aparat wolnej twrczoci centryfugi matematycznych umysw, zdemoralizowanych przez oderwane od rzeczywistoci spekulacyjne konstrukcje.

Pragn tu jeszcze doda sw par, jako rodek profilaktyczny na ewentualne zarzuty krytykw z obozu filozoficznego: oto system swj traktuj wyranie jako system hipotetyczno-dedukcyjny, z czego wypada, i stwierdzam waciwie jedynie to, e ze zda, ktre nazywam aksjomatami wynikaj zdania, ktre nazywam twierdzeniami. rdem psychicznym moich aksjomatw s moje i n t u i j e, co

178 Stanisaw Leniewski

znaczy po prostu, e w prawdziwo moich aksjomatw w i e r z , d l a c z e g o za wierz, powiedzie nie umiem, nie znam si bowiem na teorii przyczynowoci. rda logicznego aksjomaty moje nie posiadaj, co znaczy po prostu, e aksjomaty te nie posiadaj dowodw w moim systemie, podobnie jak adne w ogle aksjomaty nie s z natury rzeczy udowadniane w tym systemie, dla ktrego s aksjomatami. Nie umiem wcale odpowiedzie na pytanie, jaka jest warto obiektywna moich aksjomatw, ani na adne inne podobne pytania, ktre zadaj sobie przedstawiciele tak zwanej teorii poznania wyznaj bowiem z boleci i na swoj wyran niekorzy, e nie potrafiem dotd pomimo najszczerszych chci z r o z u m i e ani jednego z problematw, ktre sobie stawia wspomniana wanie a szanowna nauka.

W kwestiach, dotyczcych sposobw uywania wyrazw, mam do nadmienienia, i z terminw matematycznych, ktrymi si posuguj, nie definiuj jedynie wyrazu cz, przypuszczajc, e termin ten moe nie wzbudza nieporozumie z uwagi na to, i intuicyjny jego charakter nabiera znacznej przejrzystoci w wietle aksjomatw I i II. Terminy mnogo i element, przyjmowane zwykle bez definicji w teorii mnogoci, s zdefiniowane w niniejszej pracy.

Na zakoczenie tych uwag wstpnych skadam serdeczne podzikowania tym wszystkim, ktrzy w ten lub inny sposb przyczynili si do powstania mojej pracy, a przede wszystkim memu szanownemu profesorowi Wacawowi Sierpiskiemu, ktry mi nie szczdzi swych kompetentnych informacji i wskazwek, oraz memu przyjacielowi drowi Tadeuszowi Kotarbiskiemu, ktrego liczne a pene finezji logicznej uwagi przyczyniy si bardzo w swoim czasie do wypracowania gwnych zrbw bronionej przeze mnie koncepcji. Polskiemu Kou Naukowemu w Moskwie skadam wyrazy prawdziwej wdzicznoci za umoliwienie ukazania si mej pracy w druku ju obecnie.

St. Leniewski

Moskwa, w kwietniu 1916 roku

1-

Aksjomat I. Jeeli przedmiot P jest czci przedmiotu Pu to przedmiot P\ nie jest czci przedmiotu P.

Aksjomat II. Jeeli przedmiot P jest czci przedmiotu Pu a przedmiot P\ jest czci przedmiotu P2, to przedmiot P jest czci przedmiotu P2.

Twierdzenie 1. aden przedmiot nie jest czci samego siebie.Dowd: Przypumy, e pewien przedmiot X jest czci samego siebie, to znaczy

czci przedmiotu X. Z przypuszczenia tego wypada zgodnie z aksjomatem I

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 179

i przedmiot X nie jest czci przedmiotu X, co jest sprzeczne z naszym zaoeniem. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e pewien przedmiot jest czci samego siebie. Tak wic aden przedmiot nie jest czci samego siebie, co wanie naleao udowodni.

2.

Definicja I. Uywam wyraenia ingrediens przedmiotu P dla oznaczenia samego przedmiotu P oraz kadej czci tego przedmiotu. 1

Bezporednimi wnioskami z tej definicji s dwa twierdzenia nastpujce:

Twierdzenie II. Kady przedmiot jest swoim wasnym ingrediensem.

Twierdzenie III. Jeeli P\ jest czci przedmiotu P, to P\ jest ingrediensem przedmiotu P.

3.

Twierdzenie IV. Jeeli P jest ingrediensem przedmiotu P\, a Pi jest ingrediensem przedmiotu P2, to P jest ingrediensem przedmiotu P2.

Dowd: Zgodnie z definicj I zdanie:(1) P jest ingrediensem przedmiotu P b a P\ jest ingrediensem przedmiotu P2

jest prawd zawsze i tylko wtedy, jeeli jest prawd jedno z czterech zda nastpujcych:

(2) P jest P b P\ jest P 2,(3) P jest P\, Pi jest czci przedmiotu P2,(4) ,JP jest czci przedmiotu P\, P\ jest P 2,(5) , yP jest czci przedmiotu P b Pi jest czci przedmiotu P2.

Jeeli jest prawd zdanie 2, to na podstawie zasady sylogizmu P jest P 2, a wobec tego na zasadzie twierdzenia II P jest ingrediensem przedmiotu P2. Jeeli jest prawd zdanie 3, to P jest tu tym wanie przedmiotem Pb ktry jest czci przedmiotu P2, z czego wypada, e P jest czci przedmiotu P2, a wic zgodnie z twierdzeniem III P jest ingrediensem przedmiotu P 2. Jeeli jest prawd zdanie 4, to P, bdc czci przedmiotu P b jest przez to samo czci przedmiotu P2, albowiem Pi jest to zgodnie ze zdaniem 4 nic innego, jak wanie P2; tak wici w tym wypadku P jest zgodnie z twierdzeniem III ingrediensem przedmiotu P2. Jeeli jest prawd zdanie 5, to zgodnie z aksjomatem II P jest czci przedmiotu P2, z czego wypada na podstawie twierdzenia III, i P jest ingrediensem przedmiotu P 2. Widzimy tedy, e jeeli jest prawd ktrekolwiek ze zda 2, 3, 4, 5 to P jest ingrediensem przedmiotu P2; poniewa jednak zdanie 1 jest prawd tylko

1 Projekt zastosowania w tym wypadku wyrazu ingrediens podda mi p. Lucjan Zarzecki.

180 Stanisaw Leniewski

w takim razie, jeeli jest prawd jedno z czterech zda 2, 3, 4, 5 wic, jeeli jest prawd zdanie 1, to P jest ingrediensem przedmiotu P2, inaczej: jeeli P jest in- grediensem przedmiotu P\, a P\ jest ingrediensem przedmiotu P2, to P jest ingrediensem przedmiotu P2. To wanie naleao udowodni.

Twierdzenie V. Jeeli I jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem przedmiotu P.

Dowd: Przypumy, e twierdzenie, ktre chc udowodni, jest faszem. Wypada std, i istnieje pewien taki ingrediens 1\ przedmiotu P, e aden ingrediens przedmiotu I\ nie jest ingrediensem przedmiotu P. Wnosimy std, e i sam I\ (ktry zgodnie z twierdzeniem II jest ingrediensem przedmiotu I{) nie jest ingrediensem przedmiotu P. Otrzymany wniosek, e /, nie jest ingrediensem przedmiotu P, musi by faszem, okreliem bowiem wyej przedmiot I\ jako ingrediens przedmiotu P. Musi wic by rwnie faszem prowadzce do tego wniosku przypuszczenie nasze, e twierdzenie V jest faszem. Tak wic twierdzenie V jest prawd.

Twierdzenie VI. Jeeli I jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego ingrediensu przedmiotu P.

Dowd: Przypumy, e twierdzenie, ktre chc udowodni, jest faszem. Wypada std, i istnieje pewien taki ingrediens I\ przedmiotu P, e aden ingrediens przedmiotu I\ nie jest ingrediensem adnego ingrediensu przedmiotu P. Wypada std dalej, i aden ingrediens przedmiotu I\ nie jest ingrediensem przedmiotu P (ktry zgodnie z twierdzeniem II jest ingrediensem przedmiotu P). Moemy to sformuowa inaczej (wiedzc o tym, e I\ jest ingrediensem przedmiotu P), a mianowicie: aden ingrediens pewnego ingrediensu przedmiotu P nie jest ingrediensem tego wanie przedmiotu P. Twierdzenie otrzymane jest sprzeczne z twierdzeniem V. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e twierdzenie VI jest faszem. Tak wic twierdzenie VT jest prawd.

4.

Definicja II. Wyraenia mnogo przedmiotw m uywam dla oznaczenia kadego takiego przedmiotu P, ktry czyni zado nastpujcemu warunkowi: jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego m, ktre jest ingrediensem przedmiotu P.

[Przykady: I. Kady dany nard / / jest mnogoci ludzi, albowiem, jeeli / jest ingrediensem narodu N, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego czowieka, ktry jest ingrediensem narodu N. II. Powierzchnia szachownicy nie jest mnogoci biaych kwadratw, nie jest tu bowiem zachowany wymagany w definicji II warunek: oto aden czarny kwadrat, bdc ingrediensem szachownicy, nie posiada ani jednego takiego ingrediensu, ktryby by ingrediensem jakiego biaego kwadratu, nie jest wic prawd, i jeeli / jest ingrediensem szachownicy, to pewien

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 181

ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego biaego kwadratu, ktry jest in- grediensem szachownicy. III. Uwaajmy odcinek AB rysunku 1 i uyjmy wyrazu dla oznaczenia kadego z odcinkw AC, CD, DE i EB bdcych czciami odcinka AB. Odcinek AF nie jest mnogoci przedmiotw m, albowiem odcinek GF, bdc ingrediensem odcinka AF, nie posiada ani jednego takiego ingrediensu, ktry by by ingrediensem jakiego m, bdcego ingrediensem odcinka AF, nie jest wic prawd, i jeeli / jest ingrediensem odcinka AF, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego m, ktre jest ingrediensem odcinka AF.]

m m

Rys. 1

Definicja III. Wyrae mnogo wszystkich przedmiotw m oraz klasa przedmiotw m uywam dla oznaczenia kadego takiego przedmiotu P, ktry czyni zado dwom nastpujcym warunkom:

1) kade m jest ingrediensem przedmiotu P,2) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest

ingrediensem pewnego m.[Przykady: I. Ludzko jest mnogoci wszystkich ludzi, czyli klas ludzi, albo

wiem: 1 ) kady czowiek jest ingrediensem ludzkoci, 2 ) jeeli / jest ingrediensem ludzkoci, to pewien ingrediens przedm iotu/jest ingrediensem pewnego czowieka.

Rys. 2

II. Odcinek AC rysunku 2 nie jest klas czci odcinka AB, albowiem nie kada cz odcinka AB jest ingrediensem odcinka AC, nie jest wic zachowany warunek 1 definicji III. III. Odcinek AB rysunku 2 nie jest klas czci odcinka AC, albowiem nie jest tu zachowany warunek 2 definicji III: odcinek DB, bdcy ingrediensem odcinka AB, nie posiada ani jednego takiego ingrediensu, ktry by by ingrediensem jakiej czci odcinka AC, nie jest wic prawd, e jeli / jest ingrediensem odcinka AB, to pewien ingrediens przedmiotu/jest ingrediensem pewnej czci odcinka AC.]

Aksjomat III. Jeeli pewien przedmiot jest m, to pewien przedmiot jest klas przedmiotw m.

Aksjomat IV. Jeeli P jest klas przedmiotw m, oraz P\ jest klas przedmiotw m, to Pjest.Pi.

182 Stanisaw Leniewski

5.

Twierdzenie VII. Jeeli P jest klas przedmiotw m, to P jest mnogoci przedmiotw m.

Dowd: zamy, e(1) P jest klas przedmiotw m.

Zgodnie z definicj III moemy zapisa:(2) kade m jest ingrediensem przedmiotu P,(3) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest

ingrediensem pewnego m.Z twierdzenia 3 wnosimy na podstawie twierdzenia 2, e jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu /je s t ingrediensem pewnego m, ktre jest ingrediensem przedmiotu P. Wynika std w myl definicji II e

(4) Z5 jest mnogoci przedmiotw m.Tak wic twierdzenie 1 doprowadzio nas do twierdzenia 4. Wypada std, e jeeli P jest klas przedmiotw m, to P jest mnogoci przedmiotw m, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie VIII. Kady przedmiot P jest klas ingrediensw tego wanie przedmiotu P.

Dowd: Na podstawie zasady tosamoci moemy zapisa:(1) kady ingrediens przedmiotu P jest ingrediensem przedmiotu P. Z twierdzenia

VI wiemy, i(2) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest

ingrediensem pewnego ingrediensu przedmiotu P.Z twierdze 1 i 2 otrzymujemy zgodnie z definicj III twierdzenie dane.

Twierdzenie IX. Jeeli pewien przedmiot jest czci przedmiotu P, to P jest klas czci przedmiotu P.

Dowd: Zamy, e(1) pewien przedmiot jest czci przedmiotu P.

Wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem Pt, e(2) P) jest czci przedmiotu P.

Wobec prawdziwoci twierdzenia 1 wnosimy z twierdzenia III, i(3) kada cz przedmiotu P jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdze 3 i 2 wynika, e(4) Pi jest ingrediensem przedmiotem P.

Z twierdzenia II wiemy, i(5) P\ jest ingrediensem przedmiotu P\.

Z twierdze 4 i 5 wypada, e(6 ) pewien ingrediens przedmiotu P jest ingrediensem przedmiotu P\.

Z twierdze 6 i 2 wnosimy, i(7) pewien ingrediens przedmiotu P jest ingrediensem pewnej czci P.

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 183

Moemy powiedzie, e(8 ) jeeli jest czci przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu jest in

grediensem pewnej czci przedmiotu P,gdybymy bowiem przypucili, e jest inaczej, to wypadoby std, e pewna cz C\ przedmiotu P jest taka, i aden ingrediens przedmiotu C\ nie jest ingrediensem adnej czci przedmiotu P, z czego wynikoby (zgodnie z twierdzeniem II), e i sam przedmiot C\ nie jest ingrediensem adnej czci przedmiotu P, std za otrzymalibymy wniosek, sprzeczny z twierdzeniem II, a mianowicie wniosek, i Ci nie jest ingrediensem przedmiotu C\. Zgodnie z definicj I piszemy:

(9) kady ingrediens przedmiotu P jest albo przedmiotem P albo czci przedmiotu P.Z twierdze 7 i 8 wnosimy na podstawie twierdzenia 9, i

(10) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnej czci przedmiotu P.Z twierdze 3 i 10 wypada zgodnie z definicj III, e

(11) P jest klas czci przedmiotu P.Tak wic twierdzenie 1 doprowadzio nas do twierdzenia 11. Wypada std, e jeeli pewien przedmiot jest czci przedmiotu P, to P jest klas czci przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie X. Kady dany przedmiot P jest klas przedmiotw P.Dowd: Wiedzc z twierdzenia II, i P jest ingrediensem przedmiotu P, moemy

zapisa:(1) kade P jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdzenia V wiadomo, e(2) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest

ingrediensem pewnego P.Z twierdze 1 i 2 otrzymujemy na podstawie definicji III twierdzenie dane.

6 .

Definicja IV. Uywam wyraenia element przedmiotu P dla oznaczenia jakiegokolwiek przedmiotu P\ wtedy, jeeli przy pewnym znaczeniu wyrazu x zostaj zachowane dwa nastpujce warunki:

1 ) P j est klas przedmiotw x,2) P\ jest x.[Przykady: I. Odcinek AC na rysunku 2 jest elementem odcinka AB, albowiem,

jeeli wyraz x jest uyty w znaczeniu wyraenia odcinek, bdcy AC albo AB, to 1) odcinek AB jest klas przedmiotw x, 2) odcinek AC jest x. II. Dowolny ko nie jest elementem klasy myszy, albowiem przy adnym znaczeniu wyrazu x nie jest zarazem prawd, e klasa myszy jest klas przedmiotw x, oraz e ko jest x. (Komentarz: ko nie jest ani klas myszy, ani te czci klasy myszy; wypada std

184 Stanisaw Leniewski

zgodnie z definicj I i ko nie jest ingrediensem klasy myszy; gdyby jednak przy jakimkolwiek znaczeniu wyrazu x byy zarazem prawdami zdania 1 ) klasa myszy jest klas przedmiotw x oraz 2) ko jest x" to ze zda tych wynikoby na zasadzie definicji III, e ko jest ingrediensem klasy myszy.)]

7.

Twierdzenie XI. Jeeli P\ jest ingrediensem przedmiotu P, to P\ jest elementem przedmiotu P.

Dowd: Zamy, e(1) Pi jest ingrediensem przedmiotu P.

O przedmiocie P moemy zgodnie z twierdzeniem VIII powiedzie, e(2) P jest klas ingrediensw przedmiotu P.

Uywajc wyrazu lrx w znaczeniu wyraenia ingrediens przedmiotu P , wnosimy z twierdze 2 i 1 , e

(3) P jest klas przedmiotw x,(4) Pi jestx.

Z twierdze 3 i 4 wypada zgodnie z definicj IV, i(5) Pi jest elementem przedmiotu P.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 5. Wypada std, e jeeli Pi jest ingrediensem przedmiotu P, to Pj jest elementem przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XII. Jeeli P\ jest elementem przedmiotu P, to Pi jest ingrediensem przedmiotu P.

Dowd: Zamy, e(1) Pi jest elementem przedmiotu P.

Z twierdzenia 1 wypada zgodnie z definicj IV i istnieje takie znaczenie wyrazu x, e

(2) P jest klas przedmiotw x,(3) Pi jest x.

Z twierdzenia 2 wnosimy na podstawie definicji III, e(4) kade x jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdze 4 i 3 wypada, i(5) Pi jest ingrediensem przedmiotu P.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 5. Wypada std, e jeeli Pi jest elementem przedmiotu P, to P, jest ingrediensem przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XIII. Jeeli Pi jest czci przedmiotu P, to Pi jest elementem przedmiotu P.

Twierdzenie to jest wnioskiem z twierdze III i XI.

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 185

Twierdzenie XIV. Kady przedmiot jest swoim wasnym elementem.Dowd: Przypumy, e twierdzenie, ktre chc udowodni, jest faszem. Wypada

std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P, e(1) P nie jest elementem przedmiotu P.

Wypada std, i(2) P nie jest ingrediensem przedmiotu P,

gdyby bowiem P byo ingrediensem przedmiotu P, to P byoby zgodnie z twierdzeniem XI elementem przedmiotu P, co byoby sprzeczne z twierdzeniem 1. Twierdzenie 2 jest sprzeczne z twierdzeniem II. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, i twierdzenie XIV jest faszem. Tak wic twierdzenie XIV jest prawd.

Twierdzenie XV. Jeeli P jest elementem przedmiotu P b a Pi jest elementem przedmiotu P2, to P jest elementem przedmiotu P 2.

Dowd: zamy, e(1) P jest elementem przedmiotu P b a P] jest elementem przedmiotu P 2.

Wypada std zgodnie z twierdzeniem XII e (2) P jest ingrediensem przedmiotu P b(3) Pi jest ingrediensem przedmiotu P2.

Z twierdze 2 i 3 wnosimy na podstawie twierdzenia IV, e(4) P jest ingrediensem przedmiotu P2,

z czego wypada w myl twierdzenia XI i(5) P jest elementem przedmiotu P2.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 5. Wypada std, e jeeli P jest elementem przedmiotu P b a P\ jest elementem przedmiotu P 2, to P jest elementem przedmiotu P2. To wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XVI. Jeeli P jest klas przedmiotw m, to kade m jest elementem przedmiotu P.

Dowd: Zamy, e(1) P jest klas przedmiotw m.

Wypada std zgodnie z definicj III i(2) kade m jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdze XI i 2 wypada, e(3) kade m jest elementem przedmiotu P.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 3. Wypada std, e jeeli P jest klas przedmiotw m, to kade m jest elementem przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XVII. Jeeli P jest mnogoci przedmiotw m, to pewne m jest elementem przedmiotu P.

Dowd: zamy, e(1) P jest mnogoci przedmiotw m.

186 Stanisaw Leniewski

Wypada std zgodnie z definicj II e jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego m, ktre jest ingrediensem przedmiotu P. Widzimy std, e i pewien ingrediens samego przedmiotu P jest (zgodnie z twierdzeniem II) ingrediensem pewnego m, ktre jest ingrediensem przedmiotu P. Tak wic pewien ingrediens przedmiotu P jest ingrediensem pewnego takiego przedmiotu X, i

(2)Xj est m,(3) jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdzenia 3 wnosimy na podstawie twierdzenia XI e(4) vYjest elementem przedmiotu P.

Z twierdze 2 i 4 wynika, i(5) pewne m jest elementem przedmiotu P.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 5. Wypada std, e jeeli P jest mnogoci przedmiotw m, to pewne w jest elementem przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

8 .

Twierdzenie XVIII. Jeeli P jest m, to P jest mnogoci przedmiotw m.Dowd: Przypumy, e twierdzenie, ktre chc udowodni, jest faszem. Wypada

std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P \ e wprawdzie( 1 ) / jest m,

ale(2) P' nie jest mnogoci przedmiotw m.

Z twierdzenia II wiemy, i(3) P jest ingrediensem przedmiotu P.

Zgodnie z twierdzeniem V (4) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P , to pewien ingrediens przedmiotu /

jest ingrediensem przedmiotu P \Z twierdze 4 i 3 wnosimy, i

(5) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem przedmiotu P , ktry jest ingrediensem przedmiotu P '.Z twierdze 5 i 1 wypada, e

(6 ) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P \ to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego m, ktre jest ingrediensem przedmiotu P \Z twierdzenia 6 wynika w myl definicji II i

(7) P jest mnogoci przedmiotw m.Twierdzenie 7 jest sprzeczne z twierdzeniem 2. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e twierdzenie XVIII jest faszem. Tak wic twierdzenie XVIII jest prawd.

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 187

Twierdzenie XIX. Jeeli P jest mnogoci przedmiotw m, a kade m jest n, to P jest mnogoci przedmiotw n.

Dowd: Zamy, e:(1) P jest mnogoci przedmiotw m,(2 ) kade m jest n.

Z twierdzenia 1 wnosimy zgodnie z definicj II e(3) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest

ingrediensem pewnego m, ktre jest ingrediensem przedmiotu P.Z twierdze 3 i 2 wynika, i

(4) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego n, ktre jest ingrediensem przedmiotu P.Z twierdzenia 4 wnosimy zgodnie z definicj II e

(5) P jest mnogoci przedmiotw n.Tak wic zakadajc twierdzenia 1 i 2, dochodzimy do twierdzenia 5. Wypada std, e jeeli P jest mnogoci przedmiotw m, a kade m jest n, to P jest mnogoci przedmiotw n. To wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XX. Jeeli P jest klas mnogoci przedmiotw m, to P jest klas przedmiotw m.

Dowd: zamy, e(1) P jest klas mnogoci przedmiotw m.

Wypada std zgodnie z definicj III e (2) kada mnogo przedmiotw m jest ingrediensem przedmiotu P,(3) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest

ingrediensem pewnej mnogoci przedmiotw m.Z twierdzenia XVIII wnosimy, i

(4) kade m jest mnogoci przedmiotw m.Z twierdze 2 i 4 wynika, e

(5) kade m jest ingrediensem przedmiotu P.Moemy si przekona, i

(6 ) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego m,za pomoc nastpujcego rozumowania: przypumy, e twierdzenie 6 jest faszem; wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem / e wprawdzie

(a) I\ jest ingrediensem przedmiotu P,ale

(b) aden ingrediens przedmiotu I\ nie jest ingrediensem adnego m; z twierdze 3 i a wnosimy, i

(c) pewien ingrediens przedmiotu I\ jest ingrediensem pewnej mnogoci przedmiotw m,z czego wypada, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem I2, e

(d) I2 jest mnogoci przedmiotw m.

188 Stanisaw Leniewski

(e) pewien ingrediens przedmiotu /, jest ingrediensem przedmiotu I2>z twierdzenia e wynika, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem / 3 , e

(f ) / 3 jest ingrediensem przedmiotu / (g) / 3 jest ingrediensem przedmiotu I2,

z twierdzenia / wnosimy zgodnie z definicj II e(h) jeeli I jest ingrediensem przedmiotu I2, to pewien ingrediens przedmiotu /

jest ingrediensem pewnego m;z twierdze h i g wypada, i

(/') pewien ingrediens przedmiotu / 3 jest ingrediensem pewnego m, to znaczy, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem / 4, e

() jest ingrediensem przedmiotu / 3 ,(I) / 4 jest ingrediensem pewnego m\

z twierdze k i f wnosimy na podstawie twierdzenia IV i (m) I jest ingrediensem przedmiotu I \;

z twierdze l im wypada, e() pewien ingrediens przedmiotu 1\ jest ingrediensem pewnego m;

twierdzenie n jest sprzeczne z twierdzeniem b; musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e twierdzenie 6 jest faszem; tak wic twierdzenie 6 jest prawd. Z twierdze 5 i 6 wynika zgodnie z definicj III, i

(7) P jest klas przedmiotw m.Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 7. Wypada std, e jeeli P jest klas mnogoci przedmiotw m, to P jest klas przedmiotw m, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XXI. Jeeli P jest mnogoci przedmiotw m, to P jest ingrediensem klasy przedmiotw m.

Dowd: zamy, i(1) P jest mnogoci przedmiotw m.

Wypada std zgodnie z aksjomatem III e pewien przedmiot jest takim przedmiotem P\, i

(2) P\ jest klas mnogoci przedmiotw m.Z twierdzenia 2 wynika zgodnie z definicj III e

(3) kada mnogo przedmiotw m jest ingrediensem przedmiotu P\.Z twierdze 3 i 1 wnosimy, i

(4) P j est ingrediensem przedmiotu Px.Z twierdzenia 2 wypada w myl twierdzenia XX e

(5) P\ jest klas przedmiotw m.Z twierdze 4 i 5 widzimy, i

(6 ) P jest ingrediensem klasy przedmiotw m.Tak wic zakadajc twierdzenie 1 dochodzimy do twierdzenia 6 . Wypada std, e jeeli P jest mnogoci przedmiotw m, to P jest ingrediensem klasy przedmiotw m, co wanie naleao udowodni.

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 189

Twierdzenie XXII. Jeeli P jest klas przedmiotw m, to P jest klas mnogoci przedmiotw m.

Dowd: Przypumy, e twierdzenie, ktre chc udowodni, jest faszem. Wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem Pu e wprawdzie

(1) P\ jest klas przedmiotw m,ale

(2) P\ nie jest klas mnogoci przedmiotw m.Z twierdzenia 2 wnosimy zgodnie z definicj III e musi by faszem przynajmniej jedno z twierdze nastpujcych:

(a) kada mnogo przedmiotw m jest ingrediensem przedmiotu P\,(b) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P\, to pewien ingrediens przedmiotu /

jest ingrediensem pewnej mnogoci przedmiotw m.Rozpatrzmy kolejno moliwo faszywoci ktregokolwiek z dwch twierdze przed chwil sformuowanych. Rozpatrzmy najprzd zdanie a i przypumy, e zdanie to jest faszem. Wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P2, e wprawdzie

(a) P2 jest mnogoci przedmiotw m,ale

() P2 nie jest ingrediensem przedmiotu P\.Z twierdze XXI i a wnosimy, i

(Y) Pi jest ingrediensem klasy przedmiotw m. z czego wypada, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem/^, e

() jest klas przedmiotw m,() P 2 jest ingrediensem przedmiotu -

Z twierdzenie i 1 wynika na podstawie aksjomatu , i () P3 jest Ph

Z twierdze i widzimy, e() P2 jest ingrediensem przedmiotu P\.

Twierdzenie jest sprzeczne z twierdzeniem . Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, i twierdzenie a jest faszem. Przypumy obecnie, e jest faszem twierdzenie b. Wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem I\, e wprawdzie

(&) /] jest ingrediensem przedmiotu P\,ale

(i) aden ingrediens przedmiotu I\ nie jest ingrediensem adnej mnogoci przedmiotw m.Z twierdzenia II wiemy, i

() /, jest ingrediensem przedmiotu I\.Z twierdze i i wnosimy, e

() /, nie jest ingrediensem adnej mnogoci przedmiotw m.Z twierdze i wynika, i

() P\ nie jest mnogoci przedmiotw m,

190 Stanisaw Leniewski

z czego wypada na podstawie twierdzenia VII e (v) P] nie jest klas przedmiotw m.

Twierdzenie V jest sprzeczne z twierdzeniem 1. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, i twierdzenie b jest faszem. Tak tedy

(3) twierdzenie 2 jest faszem, albowiem nie jest, jak widzielimy, faszem adne z twierdze a i b z ktrych przynajmniej jedno musiaoby by faszem, gdyby twierdzenie 2 byo prawd. Twierdzenie 3 jest sprzeczne z twierdzeniem 2. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e twierdzenie XXII jest faszem. Tak wic twierdzenie XXII jest prawd.

Twierdzenie XXIII. Jeeli jest prawd, i jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P b to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem przedmiotu P, to P\ jest ingrediensem przedmiotu P.

Dowd: Zamy, i jest prawd, e(1) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P b to pewien ingrediens przedmiotu /

jest ingrediensem przedmiotu P.Z twierdzenia II wiemy, e

(2) Pi jest ingrediensem przedmiotu P\.Z twierdze 1 i 2 wnosimy, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P2, e

(3) P2 jest ingrediensem przedmiotu Pu(4) P 2 jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdze 3 i 4 wynika, i(5) pewien przedmiot jest ingrediensem przedmiotu P\ i zarazem ingrediensem

przedmiotu P. Jasne jest, i(6 ) kady przedmiot, ktry jest ingrediensem przedmiotu Pi i zarazem ingredien

sem przedmiotu P, jest ingrediensem przedmiotu P i.Moemy si przekona, e

(7) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P b to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego przedmiotu, ktry jest ingrediensem przedmiotu Pi i zarazem przedmiotu P,za pomoc nastpujcego rozumowania: przypumy, i twierdzenie 7 jest faszem; wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem I\, e wprawdzie

(a) I\ jest ingrediensem przedmiotu P\,ale

(b) aden ingrediens przedmiotu /, nie jest ingrediensem adnego przedmiotu, ktry jest ingrediensem przedmiotu P\ i zarazem przedmiotu P;z twierdze l i a - wypada, e

(c) pewien ingrediens przedmiotu I\ jest ingrediensem przedmiotu P;z twierdzenia widzimy, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem /2, e

(id) / 2 jest ingrediensem przedmiotu /

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 191

(e) / 2 jest ingrediensem przedmiotu P; z twierdze d i a wnosimy, i

(f) / 2 jest ingrediensem przedmiotu P\ ; z twierdze / i e wynika, e

(g) / 2 jest przedmiotem, ktry jest ingrediensem przedmiotu Pi i zarazem przedmiotu P;z twierdzenia II wiemy, i

(A) / 2 jest ingrediensem przedmiotu /2; z twierdze / i A wypada, e

(/') pewien ingrediens przedmiotu I\ jest ingrediensem przedmiotu I\, z twierdze i i g wnosimy, i

(k) pewien ingrediens przedmiotu 1\ jest ingrediensem pewnego przedmiotu, ktry jest ingrediensem przedmiotu P, i zarazem przedmiotu P2;twierdzenie jest sprzeczne z twierdzeniem b; musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, i twierdzenie 7 jest faszem; tak wic twierdzenie 7 jest prawd. Z twierdze 6 i 7 wypada na zasadzie definicji III, e

(8 ) P] jest klas przedmiotw, bdcych ingrediensami przedmiotu P\ i zarazem przedmiotu P.Z twierdze VII i 8 wnosimy, i

(9) Pi jest mnogoci przedmiotw, bdcych ingrediensami przedmiotu P\ i zarazem przedmiotu P.Jasne jest, e

(10) kady przedmiot bdcy ingrediensem przedmiotu P\ i zarazem przedmiotu P, jest ingrediensem przedmiotu P.Z twierdze 9 i 10 wynika zgodnie z twierdzeniem XIX, i

( 11 ) Pi j est mnogoci ingrediensw przedmiotu P.Z twierdze XXI i l l wypada, e

(12) Pi jest ingrediensem klasy ingrediensw przedmiotu P,z czego wnosimy, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P 3) e

(13) P 3 jest klas ingrediensw przedmiotu P,(14) P] jest ingrediensem przedmiotu P3.

Z twierdzenia VIII wiemy, i(15) P jest klas ingrediensw przedmiotu P.

Z twierdze 13 i 15 wynika zgodnie z aksjomatem IV, e(16) P 3 jestP .

Z twierdze 14 i 16 wypada, i(17) Pi jest ingrediensem przedmiotu P.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 17. Wypada std, e jeeli pewien ingrediens kadego ingrediensu przedmiotu P] jest ingrediensem przedmiotu P, to i sam przedmiot Pi jest ingrediensem przedmiotu P. To wanie naleao udowodni.

192 Stanisaw Leniewski

9-

Twierdzenie XXIV. Kady przedmiot P jest klas elementw tego wanie przedmiotu P.

Dowd: Z twierdzenia XII wiemy, i(1) kady element przedmiotu P jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdzenia VI wiemy, e(2) jeeli I jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest

ingrediensem pewnego ingrediensu przedmiotu P.Z twierdzenia 2 wnosimy zgodnie z twierdzeniem XI i

(3) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego elementu przedmiotu P.Z twierdze 1 i 3 otrzymujemy zgodnie z definicj III twierdzenie dane.

Twierdzenie XXV. Kada mnogo jest swoim wasnym elementem.Twierdzenie to jest bezporednim wnioskiem z twierdzenia XIV.

Twierdzenie XXVI. aden przedmiot nie jest klas mnogoci, nie bdcych swoimi wasnymi elementami.

Dowd: Przypumy, i twierdzenie, ktre chc udowodni, jest faszem. Wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P, e

(1) P jest klas mnogoci, nie bdcych swoimi wasnymi elementami.Z twierdze VII i 1 wynika, i

(2) P jest mnogoci mnogoci, nie bdcych swoimi wasnymi elementami.Z twierdze XVII i 2 wynika, e

(3) pewna mnogo, nie bdca swoim wasnym elementem, jest elementem przedmiotu P.Z twierdzenia 3 widzimy, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P\, e

(4) Fi jest mnogoci, nie bdc swoim wasnym elementem,(5) P\ jest elementem przedmiotu P.

Twierdzenie 4 jest sprzeczne z twierdzeniem XXV. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, i twierdzenie XXVI jest faszem. Tak wic twierdzenie XXVI jest prawd.

Twierdzenie XXVII. Twierdzenie Jeeli P jest elementem mnogoci przedmiotw m, to P jest w jest faszem.*

Dowd: Przypumy, e twierdzenie XXVII jest faszem. Wnosimy std, i(1) twierdzenie Jeeli P jest elementem mnogoci przedmiotw m, to P jest m

jest prawd.Z twierdzenia 1 wynika, e

(2) jeeli P jest elementem mnogoci przedmiotw m, to jest P jest m.

* Kade z twierdze XXVI i XXVII wskazuje na to, e w rozwijanej w pracy niniejszej teorii mnogoci nie daje si wcale skonstruowa tzw. antynomia Russella.

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 193

Uwaajmy jakie takie przedmioty P\ i P2 e(3) Pi jest czci przedmiotu P2.

Z twierdzenia 2 wypada, i(4) jeeli P\ jest elementem mnogoci przedmiotw P2, to P\ jest P2.

Z twierdzenia X wiemy, e(5) P2 jest klas przedmiotw P2.

Z twierdze VII i 5 wnosimy, i(6 ) P2 jest mnogoci przedmiotw P2.

Z twierdzenia 3 wynika na podstawie twierdzenia III, X e(7) P\ jest elementem przedmiotu P2.

Z twierdze 7 i 6 wypada, i(8 ) Pi jest elementem mnogoci przedmiotw P2.

Z twierdze 4 i 8 wnosimy, e(9) Pi jest P2,

skd wynika (zgodnie z twierdzeniem I), i(10) Pi nie jest czci przedmiotu P2.

'Twierdzenie 10 jest sprzeczne z twierdzeniem 3. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e twierdzenie XXVII jest faszem. Tak wic twierdzenie XXVII jest prawd.

10.

Definicja V. Wyraenia podmnogo przedmiotu P" uywam dla oznaczenia wszelkiego takiego przedmiotu Pi, ktry czyni zado nastpujcemu warunkowi: kady element przedmiotu Pi jest elementem przedmiotu P.

[Przykady: I. Odcinek AC rysunku 2 jest podmnogoci odcinka AB, albowiem odcinek AC czyni zado warunkowi definicji V: kady element odcinka jest elementem odcinka AB. II. Odcinek AB rysunku 2 nie jest podmnogoci odcinka AC, albowiem nie kady element odcinka AB jest elementem odcinka AC: oto np. sam odcinek AB, ktry jest zgodnie z twierdzeniem XIV elementem odcinka AB, nie jest elementem odcinka AC.]

Definicja VI. Wyraenia podmnogo waciwa przedmiotu P uywam dla oznaczenia wszelkiej takiej podmnogoci Pi przedmiotu P, ktra nie jest P.

[Przykady: I. Odcinek AC rysunku 2 jest podmnogoci waciw odcinka AB, albowiem odcinek AC jest tak podmnogoci odcinka AB, ktra nie jest odcinkiemAB. II. Odcinek AB rysunku 3 nie jest podmnogoci waciw odcinka AB, albowiem odcinek AB jest odcinkiem AB, nie jest wic prawd, i odcinek AB jest tak podmnogoci odcinka AB, ktra nie jest odcinkiem AB

11

Twierdzenie XXVIII. Jeeli P\ jest ingrediensem przedmiotu P, to P\ jest podmno- goci przedmiotu P.

Dowd: Przypumy, e twierdzenie, ktre chc udowodni, jest faszem. Wypada std, e pewne przedmioty s takimi przedmiotami A i e wprawdzie

(1) A jest ingrediensem przedmiotu B,ale

(2) A nie jest podmnogoci przedmiotu B.Z twierdzenia 2 wnosimy na podstawie definicji V, i

(3) pewien element przedmiotu A nie jest elementem przedmiotu B, z czego widzimy, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem C, e wprawdzie

(4) jest elementem przedmiotu A,ale

(5) nie jest elementem przedmiotu B.Z twierdzenia 5 wynika, i

(6 ) nie jest ingrediensem przedmiotu B,gdyby bowiem byo ingrediensem przedmiotu B, to wypadoby std na zasadzie twierdzenia XI, e jest elementem przedmiotu B, co jest sprzeczne z twierdzeniem5. Z twierdze XII i 4 widzimy, i

(7) jest ingrediensem przedmiotu .Z twierdze 7 i 1 wnosimy zgodnie z twierdzeniem IV, e

(8 ) jest ingrediensem przedmiotu B.Twierdzenie 8 jest sprzeczne z twierdzeniem 6 . Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci zaoenie nasze, i twierdzenie XXVIII jest faszem. Tak wic twierdzenie XXVIII jest prawd.

Twierdzenie XXIX. Jeeli P, jest podmnogoci przedmiotu P, to P\ jest ingrediensem przedmiotu P.

Dowd: Przypumy, e twierdzenie XXIX jest faszem. Wynika std, i pewne przedmioty s takimi przedmiotami A i e wprawdzie

(1) A jest podmnogoci przedmiotu ale

(2) A nie jest ingrediensem przedmiotu B.Z twierdzenia 2 wypada, i

(3) A nie jest elementem przedmiotu B,gdyby bowiem A byo elementem przedmiotu B, to wypadoby std na podstawie twierdzenia XII, e A jest ingrediensem przedmiotu B, co jest sprzeczne z twierdzeniem 2. Z twierdzenia XIV wiemy, i

(4) A jest elementem przedmiotu A.Z twierdze 4 i 3 wnosimy, e

(5) pewien elementem przedmiotu A nie jest elementem przedmiotu B.

194 Stanisaw Leniewski

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 195

Z twierdzenia 5 wynika na zasadzie definicji V, i(6 ) A nie jest podmnogoci przedmiotu B.

Twierdzenie 6 jest sprzeczne z twierdzeniem 1. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e twierdzenie XXIX jest faszem. Tak wic twierdzenie XXIX jest prawd.

Twierdzenie XXX. Jeeli P i jest czci przedmiotu P, to Pi jest podmnogoci waciw przedmiotu P.

Dowd: Zamy, i(1) Pi jest czci przedmiotu P.

Z twierdze III i 1 wypada, e(2) P\ jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdze XXVIII i 2 widzimy, i(3) P] jest podmnogoci przedmiotu P.

Z twierdze I i i wnosimy, e(4) Pi nie jest P.

Z twierdze 3 i 4 wynika zgodnie z definicj VI, i(5) Pi jest podmnogoci waciw przedmiotu P.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 5. Wypada std, e jeeli Pi jest czci przedmiotu P, to P\ jest podmnogoci waciw przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XXXI. Jeeli P\ jest podmnogoci waciw przedmiotu P, to P, jest czci przedmiotu P.

Dowd: zamy, i(1) Pi jest podmnogoci waciw przedmiotu P.

Z twierdzenia 1 wnosimy na podstawie definicji VI, e(2) Pi jest podmnogoci przedmiotu P,(3) Pi nie jest P.

Z twierdze XXIX i 2 wynika, i(4) Pi jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdze 4 i 3 wypada na zasadzie definicji I, e(5) Pi jest czci przedmiotu P.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 5. Wnosimy std, i jeeli Pi jest podmnogoci waciw przedmiotu P, to Pi jest czci przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XXXII. aden przedmiot nie jest podmnogoci waciw samego siebie.

Dowd: Gdybymy przypucili, e jaki przedmiot P jest podmnogoci waciw samego siebie, to znaczy, i jaki przedmiot P jest podmnogoci waciw przedmiotu P, to wynikaoby std zgodnie z twierdzeniem XXXI, e P jest czci przedmiotu P, co jest sprzeczne z twierdzeniem I.

196 Stanisaw Leniewski

Twierdzenie XXXIII. Kady przedmiot jest podmnogoci samego siebie.Dowd: Gdybymy przypucili, i jaki przedmiot P nie jest podmnogoci sa

mego siebie, to znaczy, e jaki przedmiot P nie jest podmnogoci przedmiotu P, to wypadoby std na podstawie twierdzenia XXVIII, i P nie jest ingrediensem przedmiotu P, co jest sprzeczne z twierdzeniem II.

Twierdzenie XXXIV. Jeeli P jest podmnogoci waciw przedmiotu P b to Pi nie jest podmnogoci waciw przedmiotu P.

Dowd: Zamy, e(1) P jest podmnogoci waciw przedmiotu P\.

Wnosimy std na zasadzie twierdzenia XXXI, i(2) P jest czci przedmiotu P\,

z czego wynika w myl aksjomatu I, e(3) Pi nie jest czci przedmiotu P.

Z twierdze XXI i 3 wypada, i(4) Pi nie jest podmnogoci waciw przedmiotu P.

Tak wic twierdzenie 1 doprowadzio nas do twierdzenia 4. Widzimy std, e jeeli Pi jest podmnogoci waciw przedmiotu P\, to Pi nie jest podmnogoci waciw przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XXXV. Jeeli P jest podmnogoci waciw przedmiotu P b to P nie jest podmnogoci przedmiotu P.

Dowd: Przypumy, i twierdzenie XXXV jest faszem. Wypada std, i pewne przedmioty s takimi przedmiotami A i e wprawdzie

(1)^4 jest podmnogoci waciw przedmiotu B,ale

(2) jest podmnogoci przedmiotu A.Z twierdzenia 1 wypada zgodnie z definicj VI i

(3) A nie jest B.Z twierdzenia 3 wypada, e

(4) nie jest A.Z twierdze 2 i 4 wnosimy na podstawie definicji VI, i

(5) jest podmnogoci waciw przedmiotu^.Z twierdze XXXIV i 1 wynika, e

(6 ) nie jest podmnogoci waciw przedmiotu A.Twierdzenie 6 jest sprzeczne z twierdzeniem 5. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, i twierdzenie XXXV jest faszem. Tak wic twierdzenie XXXV jest prawd.

Twierdzenie XXXVI. Jeeli P jest podmnogoci przedmiotu Pi, a P) jest podmnogoci przedmiotu Pi, to P jest podmnogoci przedmiotu Pi.

Dowd: Zamy, i (1) P jest podmnogoci przedmiotu P b

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 197

(2) P i jest podmnogoci przedmiotu P2.Z twierdze XXIX i 1 wynika, e

(3) P jest ingrediensem przedmiotu P\.Z twierdze XXIX i 2 wypada, i

(4) P\ jest ingrediensem przedmiotu P2.Z twierdze 3 i 4 wnosimy zgodnie z twierdzeniem , e

(5) P jest ingrediensem przedmiotu P2.Z twierdze XXVIII i 5 wynika, i

(6 ) P jest podmnogoci przedmiotu P2.Tak wic zakadajc twierdzenia 1 i 2 dochodzimy do twierdzenia 6 . Wypada std, e jeeli P jest podmnogoci przedmiotu P b a P\ jest podmnogoci przedmiotu P2, to P jest podmnogoci przedmiotu P2. To wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XXXVII. Jeeli P jest podmnogoci waciw przedmiotu P\, a Pi jest podmnogoci przedmiotu P2, to P jest podmnogoci waciw przedmiotu P 2.

Dowd: Zamy, i(1) P jest podmnogoci waciw przedmiotu P b(2) Pi jest podmnogoci przedmiotu P2.

Z twierdze 1 i 2 wnosimy na podstawie twierdzenia XXXVI, e(3) P jest podmnogoci przedmiotu P2.

Moemy powiedzie, i(4) P 2 nie jest P,

gdyby bowiem P 2 byo P, to wynikoby std zgodnie z twierdzeniem 2, e P] jest podmnogoci przedmiotu P, co musi by faszem, wiadomo bowiem z twierdze XXXV i l i Pi nie jest podmnogoci przedmiotu P. Z twierdzenia 4 wypada, e

(5) P n ie jest P2.Z twierdze 3 i 5 wnosimy na podstawie definicji VI, i

(6 ) P jest podmnogoci waciw przedmiotu P2.Tak wic zakadajc twierdzenia 1 i 2 dochodzimy do twierdzenia 6 . Wypada std, e jeli P jest podmnogoci waciw przedmiotu P\, a Pi jest podmnogoci przedmiotu P2, to P jest podmnogoci waciw przedmiotu P2. To wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XXXVIII. Jeeli P jest podmnogoci przedmiotu Pu a Pi jest podmnogoci waciw przedmiotu P2, to P jest podmnogoci waciw przedmiotu P2.

Dowd: zamy, i (1) P jest podmnogoci przedmiotu Pj,(2) Pi jest podmnogoci waciw przedmiotu P2.

Z twierdze 1 i 2 wnosimy na zasadzie twierdzenia XXXVI, e(3) P jest podmnogoci przedmiotu P2.

Z twierdze XXXV i 2 wynika, i(4) P 2 nie jest podmnogoci przedmiotu P\.

Z twierdze 1 i 4 wypada, e

198 Stanisaw Leniewski

(5) P nie jest P2.Z twierdze 3 i 5 wnosimy w myl definicji VI, i

(6 ) P jest podmnogoci waciw przedmiotu P2.Tak wic zakadajc twierdzenia 1 i 2 dochodzimy do twierdzenia 6 . Wynika std, e jeeli P jest podmnogoci przedmiotu P\, a jest podmnogoci waciw przedmiotu P2, to P jest podmnogoci waciw przedmiotu P2. To wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XXXIX. Jeeli P\ jest elementem P, to P\ jest podmnogoci przedmiotu P.

Twierdzenie to otrzymujemy z twierdze XXVIII i XII.

Twierdzenie XL. Jeeli P\ jest podmnogoci przedmiotu P, to P\ jest elementem przedmiotu P.

Twierdzenie to otrzymujemy z twierdze XI i XXIX.

Twierdzenie XLI. Kady przedmiot P jest klas podmnogoci tego wanie przedmiotu P.

Dowd: z twierdzenia XXIX wiemy, i(1) kada podmnogo przedmiotu P jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdzenia VI wiemy, e(2) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest

ingrediensem pewnego ingrediensu przedmiotu P.Z twierdzenia 2 wnosimy zgodnie z twierdzeniem XXVIII i

(3) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnej podmnogoci przedmiotu P.Z twierdze 1 i 3 otrzymujemy zgodnie z definicj III twierdzenie dane.

Twierdzenie XLII. Jeeli P jest mnogoci przedmiotw m, [a] kade m jest n, to P jest podmnogoci klasy przedmiotw n.

Dowd: zamy, e(1) P jest mnogoci przedmiotw m, a kade m jest n.

Z twierdze XIX i 1 wynika, i(2) P jest mnogoci przedmiotw n.

Z twierdze XXI i 2 wypada, e(3) P jest ingrediensem klasy przedmiotw n.

Z twierdze XXVIII i 3 wnosimy, i(4) P jest podmnogoci klasy przedmiotw n.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, otrzymujemy twierdzenie 4. Wypada std, e jeeli P jest mnogoci przedmiotw m, a kade m jest n, to P jest podmnogoci klasy przedmiotw n. To wanie naleao udowodni.

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 199

12.

Definicja VII. Uywam wyrazu wszechwiat dla oznaczenia klasy przedmiotw.

Twierdzenie XLIII. Pewien przedmiot jest klas przedmiotw niesprzecznych. Dowd: W myl zasady niesprzecznoci moemy powiedzie, i kady przedmiot

jest przedmiotem niesprzecznym. Wypada std, e pewien przedmiot jest przedmiotem niesprzecznym, skd wynika zgodnie z aksjomatem III twierdzenie dane.

Twierdzenie XLIV. Klasa przedmiotw niesprzecznych jest wszechwiatem. Dowd: Zgodne z definicj III moemy zapisa ( 1 ) kady przedmiot niesprzeczny jest ingrediensem klasy przedmiotw nie

sprzecznych,(2) jeeli I jest ingrediensem klasy przedmiotw niesprzecznych, to pewien ingre

diens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego przedmiotu niesprzecznego.Zgodnie z zasad niesprzecznoci

(3) kady przedmiot jest przedmiotem niesprzecznym.Z twierdze 1 i 3 wypada, i

(4) kady przedmiot jest ingrediensem klasy przedmiotw niesprzecznych.Z twierdzenia 2 widzimy, e

(5) jeeli / jest ingrediensem klasy przedmiotw niesprzecznych, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego przedmiotu. Z twierdze 4 i 5 wnosimy na podstawie definicji III, i

(6 ) klasa przedmiotw niesprzecznych jest klas przedmiotw, skd na zasadzie definicji VII otrzymujemy twierdzenie dane.

TwierdzenieXLV. Jeeli P jest wszechwiatem i Pi jest wszechwiatem, to P jest P\. Dowd: Zamy, e ( 1 ) Z5 jest wszechwiatem,(2 ) Pi jest wszechwiatem.

Z twierdzenia 1 otrzymujemy w myl definicji VII:(3) P jest klas przedmiotw.

Z twierdzenia 2 wnosimy zgodnie z definicj VII, i(4) Pi jest klas przedmiotw.

Z twierdze 3 i 4 wynika na podstawie aksjomatu IV, e(5) P jest P,.

Tak wic, zakadajc twierdzenia 1 i 2 dochodzimy do twierdzenia 5. Wypada std, e jeeli P jest wszechwiatem i Pi jest wszechwiatem, to P jest P h co wanie naleao udowodni.

200 Stanisaw Leniewski

13.

Definicja VIII. Wyraenia przedmiot zewntrzny wzgldem przedmiotu P uywam dla oznaczenia kadego takiego przedmiotu P\, ktry czyni zado nastpujcemu warunkowi: aden ingrediens przedmiotu P nie jest ingrediensem przedmiotu P\.

[Przykady: I. Odcinek AC rysunku 2 jest przedmiotem zewntrznym wzgldem odcinka DB, albowiem aden ingrediens odcinka DB nie jest ingrediensem odcinkaAC. II. Odcinek AD rysunku 2 nie jest przedmiotem zewntrznym wzgldem odcinka CB, albowiem odcinek CD, bdcy ingrediensem odcinka CB, jest rwnie ingrediensem odcinka AD, nie jest wic prawd, i aden ingrediens odcinka CB nie jest ingrediensem odcinka AD .]

Twierdzenie XLVI. Jeeli P\ jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\, to P jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.

Dowd: Zamy, e(1) Fi jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P. Z twierdzenia 1

wnosimy na podstawie definicji VIII, i(2) aden ingrediens przedmiotu P nie jest ingrediensem przedmiotu P\,

z czego wynika, i(3) aden ingrediens przedmiotu P\ nie jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdzenia 3 wypada na zasadzie definicji VIII, e(4) P jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, otrzymalimy twierdzenie 4. Wypada std, e jeeli P\ jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P, to P jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\. To wanie naleao udowodni.

Twierdzenie XLVII. aden przedmiot nie jest przedmiotem zewntrznym wzgldem samego siebie.

Dowd: Przypumy, i twierdzenie XLVII jest faszem. Wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotu P, e

(1) P jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P.Z twierdzenia 1 wnosimy (zgodnie z definicj VIII), i

(2) aden ingrediens przedmiotu P nie jest ingrediensem przedmiotu P. Twierdzenie 2 jest twierdzeniem sprzecznym. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci zaoenie nasze, e twierdzenie XLVII jest faszem. Tak wic twierdzenie XLVII jest prawd.

14.

Definicja IX. Wyraenia dopenienie przedmiotu P\ do przedmiotu P uywam dla oznaczenia dowolnego przedmiotu P2, jeeli s zachowane dwa nastpujce warunki:

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 201

( 1 ) Pi jest podmnogociP,(2) P2 jest klas elementw przedmiotu P zewntrznych wzgldem przedmiotu P\. [Przykady: I. Stanisaw Poniatowski jest dopenieniem klasy krlw polskich, nie

bdcych Stanisawem Poniatowskim, do klasy krlw polskich, albowiem: 1) klasa krlw polskich, nie bdcych Stanisawem Poniatowskim, jest podmnogoci klasy krlw polskich, 2) Stanisaw Poniatowski jest klas takich elementw klasy krlw polskich, ktre s przedmiotami zewntrznymi wzgldem klasy krlw polskich, nie bdcych Stanisawem Poniatowskim. II. Odcinek AC rysunku 2 nie jest dopenieniem odcinka DB do odcinka AB, albowiem jest tu wprawdzie zachowany warunek 1 (odcinek DB jest podmnogoci odcinka AB), ale nie jest zachowany warunek 2 (odcinek AC nie jest klas elementw odcinka AB zewntrznych wzgldem odcinka DB). III. Zermelo nie jest dopenieniem klasy matematykw, nie bdcych Zermelem, do klasy matematykw, nie bdcych Borelem, albowiem jest tu wprawdzie zachowany warunek 2 (Zermelo jest klas takich elementw klasy matematykw, nie bdcych Borelem, ktre s przedmiotami zewntrznymi wzgldem klasy matematykw, nie bdcych Zermelem), ale nie jest zachowany warunek 1 (klasa matematykw, nie bdcych Zermelem, nie jest podmnogoci klasy matematykw, nie bdcych Borelem).]

15.

Twierdzenie XLVIII. Jeeli P\ jest czci przedmiotu P, to pewien przedmiot jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu P.

Dowd: Zamy, i(1) P\ jest czci przedmiotu P.

Z twierdze XXX i 1 wnosimy, e(2) P\ jest podmnogoci waciw przedmiotu P.

Z twierdzenia 2 wynika na podstawie definicji VI, i(3) P\ jest podmnogoci przedmiotu P,

na podstawie za twierdzenia XXXV e(4) P nie jest podmnogoci przedmiotu P\.

Z twierdzenia 4 wypada na zasadzie twierdzenia XXVIII, i(5) P nie jest ingrediensem przedmiotu P\.

Moemy powiedzie, i pewien przedmiot jest takim przedmiotu P2, e (6 ) P2 jest ingrediensem przedmiotu P,(7) aden ingrediens przedmiotu P2 nie jest ingrediensem przedmiotu P,

gdyby bowiem aden przedmiot nie by przedmiotem P2, czynicym zado twierdzeniom 6 i 7 to wypadoby std, i jest prawd, e jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem przedmiotu P\ std za wynikaoby zgodnie z twierdzeniem XXIII, i P jest ingrediensem przedmiotu P\, co jest sprzeczne z twierdzeniem 5.

202 Stanisaw Leniewski

Z twierdzenia 7 wnosimy na zasadzie definicji VIII, i(8 ) P\ jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P2.

Z twierdze XLVI i 8 wynika, e(9) P 2 jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.

Z twierdze XI i 6 wypada, i(10) P2 jest elementem przedmiotu P.

Z twierdze 10 i 9 widzimy, e(11) / * 2 j est elementem przedmiotu P, zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.

Z twierdzenia 11 wnosimy w myl aksjomatu III i(12) pewien przedmiot P 3 jest klas elementw przedmiotu P, zewntrznych

wzgldem przedmiotu P3.Z twierdze 3 i 12 wynika na podstawie definicji IX, e

(13) Pi jest dopenieniem przedmiotu P, do przedmiotu P.Tak wic zakadajc twierdzenie 1, doszlimy do twierdzenia 13. Wypada std, e jeeli Pt jest czci przedmiotu P, to pewien przedmiot jest dopenieniem przedmiotu P] do przedmiotu P, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie IL. Jeeli P2 jest dopenieniem przedmiotu P, do przedmiotu P, to P2 jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu Pf.

Dowd: Przypumy, i twierdzenie IL jest faszem. Wypada std, i pewne przedmioty s takimi przedmiotami P,P\ i P2 e wprawdzie

(1) P 2 jest dopenieniem przedmiotu Pi do przedmiotu P,ale

(2) P2 nie jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P i.Z twierdzenia 1 wnosimy na podstawie definicji IX, i

(3) P 2 jest klas elementw przedmiotu P, zewntrznych wzgldem przedmiotu P\. Z twierdzenia 3 wynika na zasadzie definicji III, e

(4) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P2, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego takiego elementu przedmiotu P, ktry jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P i.Z twierdzenia 2 wypada w myl definicji VIII i

(5) pewien ingrediens przedmiotu Pi jest ingrediensem przedmiotu P 2.Widzimy std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P3, e

(6 ) P 2 jest ingrediensem przedmiotu P b(7) P 3 jest ingrediensem przedmiotu P2.

Z twierdze 4 i 7 wnosimy, i(8 ) pewien ingrediens przedmiotu P 3 jest ingrediensem pewnego takiego elementu

przedmiotu P, ktry jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu Pj.Wynika std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P4, e

(9) P 4 jest ingrediensem przedmiotu P3,(10) P 4 jest ingrediensem pewnego takiego elementu przedmiotu P, ktry jest

przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 203

Z twierdzenia 10 wypada, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P3, e (11) P 5 jest elementem przedmiotu P,(12) P 5 jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P b ( 13) P j est ingrediensem przedmiotu P 5.

Z twierdzenia 12 wnosimy na podstawie definicji VIII, i(14) aden ingrediens przedmiotu P\ nie jest ingrediensem przedmiotu P s.

Z twierdze 9 i 6 wynika na zasadzie twierdzenia , e(15) P jest ingrediensem przedmiotu P\.

Z twierdze 14 i 15 wypada, i(16) P nie jest ingrediensem przedmiotu P 5.

Twierdzenie 16 jest sprzeczne z twierdzeniem 13. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e twierdzenie IL jest faszem. Tak wic twierdzenie IL jest prawd.

Twierdzenie L. Jeeli P2 jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu P, to P2 jest czci przedmiotu P.

Dowd: Zamy, i(1) P2 jest dopenieniem P\ do przedmiotu P.

Z twierdzenia 1 wnosimy w myl definicji IX e (2) P\ jest podmnogoci przedmiotu P,(3) P2 jest klas elementw przedmiotu P zewntrznych wzgldem przedmiotu P\.

Z twierdzenia 3 wynika zgodnie z definicj III i(4) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P2, to pewien ingrediens przedmiotu /

jest ingrediensem pewnego takiego elementu przedmiotu P, ktry jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.Wypada std, e

(5) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P2, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego elementu przedmiotu P.Z twierdzenia 5 wnosimy na podstawie twierdzenia XII, i

(6 ) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P2, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego ingrediensu przedmiotu P.Z twierdzenia 6 wynika na zasadzie twierdzenia IV, e

(7) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P2, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem przedmiotu P.Z twierdze XXIII i 7 wypada, i

(8 ) P2 jest ingrediensem przedmiotu P.Z twierdze IL i 1 wnosimy, e

(9) P2 jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.Z twierdzenia 9 wynika w myl definicji VIII, i

(10) aden ingrediens przedmiotu Pi nie jest ingrediensem przedmiotu P2.Z twierdzenia II wiemy, e

( 1 1 ) P] jest ingrediensem przedmiotu Pi-

204 Stanisaw Leniewski

Z twierdze l Oi l l wypada, i( 1 2 ) Fi nie jest ingrediensem przedmiotu P2.

Z twierdze XXIX i 2 wnosimy, e(13) Fi jest ingrediensem przedmiotu F.

Z twierdze 12 i 13 wynika, i(14) P 2 nie jest F.

Z twierdze 8 i 14 wypada zgodnie z definicj 1, e ( 15) P 2 jest czci przedmiotu F.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, otrzymujemy twierdzenie 15. Wnosimy std, e jeeli P 2 jest dopenieniem przedmiotu Fi do przedmiotu F, to P 2 jest czci przedmiotu F, co wanie naleao udowodni.

Twierdzenie LI. Jeeli P 2 jest dopenieniem przedmiotu Fi do przedmiotu F, to F] jest dopenieniem przedmiotu P 2 do przedmiotu F.

Dowd: Zamy, i(1) P 2 jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu F.

Wynika std na podstawie definicji IX, e(2) P 2 jest klas elementw przedmiotu F zewntrznych wzgldem przedmiotu P b

na podstawie za twierdzenia L, e(3) P 2 jest czci przedmiotu F.

Z twierdzenia 3 wypada na zasadzie twierdzenia XXX, i(4) P 2 jest podmnogoci przedmiotu F.

Z twierdzenia 2 wnosimy w myl definicji III, e(5) kady element przedmiotu F, zewntrzny wzgldem przedmiotu F b jest ingre-

diensem przedmiotu P2.Moemy si przekona, i

(6 ) kady element przedmiotu F, zewntrzny wzgldem przedmiotu P2, jest ingrediensem przedmiotu P\ za pomoc nastpujcego rozumowania: przypumy, e twierdzenie 6 jest faszem; wynika std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem F3, e wprawdzie

(a) F 3 jest elementem przedmiotu F,(b) F 3 jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P 2,

ale(c) F 3 nie jest ingrediensem przedmiotu Fi ;

z twierdzenia wypada, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P4, e (d) P 4 jest ingrediensem przedmiotu P3,(e) aden ingrediens przedmiotu P 4 nie jest ingrediensem przedmiotu P\,

gdyby bowiem aden przedmiot nie by przedmiotem P4, czynicym zado twierdzeniom d i e to wypadoby std, i jest prawd, e jeeli / jest ingrediensem przedmiotu F 3, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem przedmiotu F] std za wynikaoby zgodnie z twierdzeniem XXIII, i P 3 jest ingrediensem przed

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 205

miotu P\, co jest sprzeczne z twierdzeniem c; z twierdzenia e wypada na podstawie definicji VIII, i

(/) Pi jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P4; z twierdze XLVI i f wnosimy, e

(g) P jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu Pi; z twierdze XI i d wynika, i

(h) P 4 jest elementem przedmiotu P3;z twierdze h i a wypada na zasadzie twierdzenia XV, e

(0 P 4 jest elementem przedmiotu P; z twierdze i g widzimy, i

(k) P4 j est elementem przedmiotu P zewntrznym wzgldem przedmiotu P\ ; z twierdze 5 i wnosimy, e

(/) P jest ingrediensem przedmiotu P 2; z twierdzenia b wynika w myl definicji VIII, i

(m) aden ingrediens przedmiotu P 2 nie jest ingrediensem przedmiotu P3; z twierdze m i l wypada, e

(n) P nie jest ingrediensem przedmiotu P3; twierdzenie n jest sprzeczne z twierdzeniem d; musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, i twierdzenie 6 jest faszem; tak wic twierdzenie 6 jest prawd. Z twierdzenia 1 wypada zgodnie z definicj IX, e

(7) Pi jest podmnogoci przedmiotu P, zgodnie za z twierdzeniem IL e

(8 ) P 2 jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.Z twierdze XL i 7 widzimy, i

(9) Pj jest elementem przedmiotu P.Z twierdze XLVI i 8 wnosimy, e

(10) Pi jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P2.Z twierdze 9 i 10 wynika, i

(11) Pi jest elementem przedmiotu P zewntrznym wzgldem przedmiotu P2.Z twierdzenia V wiemy, e

(12) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P b to pewien ingrediens przedmiotu I jest ingrediensem przedmiotu P x.Z twierdze 12 i 11 wypada, e

(13) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P\, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego takiego elementu przedmiotu P, ktry jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P2.Z twierdze 6 i 13 wnosimy na podstawie definicji III, e

( 14) Pi j est klas elementw przedmiotu P, zewntrznych wzgldem przedmiotu P 2. Z twierdze 4 i 14 wynika na zasadzie definicji IX, i

(15) P] jest dopenieniem przedmiotu P 2 do przedmiotu P.

Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 15. Wypada std, e jeeli P 2 jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu P, to P t jest dopenieniem przedmiotu P2 do przedmiotu P. To wanie naleao udowodni.

Twierdzenie LII. Jeeli P2 jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu P, to P, jest czci przedmiotu P.

Twierdzenie to jest wnioskiem z twierdze L i LI.

Twierdzenie LIII. Jeeli Pi jest podmnogoci waciw przedmiotu P, to pewien przedmiot jest dopenieniem przedmiotu Pi do przedmiotu P.

Twierdzenie to jest wnioskiem z twierdze XLVIII i XXXI.

Twierdzenie LIV. Jeeli P2 jest dopenieniem przedmiotu Pj do przedmiotu P, oraz P 3 jest dopenieniem przedmiotu Pj do przedmiotu P, to P 2 jest P 3.

Dowd: Zamy, i (1) P 2 jest dopenieniem przedmiotu Pi do przedmiotu P,(2) P 3 jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu P.

Z twierdzenia 1 wnosimy na podstawie definicji IX, e(3) P 2 jest klas elementw przedmiotu P zewntrznych wzgldem przedmiotu P\.

Z twierdzenia 2 wynika na teje podstawie, i(4) P 3 jest klas elementw przedmiotu P zewntrznych wzgldem przedmiotu P\.

Z twierdze 3 i 4 wypada na zasadzie aksjomatu IV, e(5)P 2 je s tP 3.

Tak wic, zakadajc twierdzenia 1 i 2 dochodzimy do twierdzenia 5. Jest wic prawd twierdzenie dane.

Twierdzenie LV. aden przedmiot nie jest dopenieniem siebie samego do jakiego przedmiotu.

Dowd: Przypumy, i twierdzenie LV jest faszem. Wnosimy std, i pewne przedmioty s takimi przedmiotami P i P\ e

(1) P\ jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu P.Z twierdze IL i 1 wynika, e

(2) Pi jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.Twierdzenie 2 jest sprzeczne z twierdzeniem XLVII. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci zaoenie nasze, e twierdzenie LV jest faszem. Tak wic twierdzenie LV jest prawd.

Twierdzenie LVI. aden przedmiot P nie jest dopenieniem adnego przedmiotu do przedmiotu P.

Dowd: Przypumy, i twierdzenie LVI jest faszem. Wypada std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem P b e

(1) P jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu P.Z twierdze L i i wnosimy, i

(2) P jest czci przedmiotu P.

206 Stanisaw Leniewski

Podstawy oglnej teorii mnogoci. I 207

Twierdzenie 2 jest sprzeczne z twierdzeniem I. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci zaoenie nasze, i twierdzenie LVI jest faszem. Tak wic twierdzenie LVI jest prawd.

Twierdzenie LVII. aden przedmiot nie jest dopenieniem adnego przedmiotu P do tego wanie przedmiotu P.

Dowd: Przypumy, e twierdzenie LVII jest faszem. Widzimy std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem Pu e

(1) P\ jest dopenieniem przedmiotu P do przedmiotu P.Z twierdze LII i 1 wnosimy, i

(2) P jest czci przedmiotu P.Twierdzenie 2 jest sprzeczne z twierdzeniem I. Musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, e twierdzenie LVII jest faszem. Tak wic twierdzenie LVII jest prawd.

Twierdzenie LVIII. Jeeli P2 jest dopenieniem przedmiotu P t do przedmiotu P, to P jest klas przedmiotw, bdcych P\ albo P2.

Dowd: Zamy, i(1) P2 jest dopenieniem przedmiotu P\ do przedmiotu P.

Z twierdzenia 1 wynika na podstawie twierdzenia LII, e(2) P\ jest czci przedmiotu P,

na podstawie za twierdzenia L e(3) P2 jest czci przedmiotu P.

Z twierdze III i 2 wypada, i(4) P\ jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdze III i 3 wnosimy, e(5) P2 jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdze 4 i 5 wynika, i(6 ) kady przedmiot, bdcy P\ albo P2, jest ingrediensem przedmiotu P.

Z twierdzenia 1 wypada na zasadzie definicji IX, e(7) P2 jest klas elementw przedmiotu P, zewntrznych wzgldem przedmiotu P\.

Z twierdzenia 7 wnosimy w myl definicji III, i(8 ) kady element przedmiotu P zewntrzny wzgldem przedmiotu Px jest ingre

diensem przedmiotu P2.Moemy si przekona, e

(9) jeeli / jest ingrediensem przedmiotu P, to pewien ingrediens przedmiotu / jest ingrediensem pewnego przedmiotu, bdcego P\ albo P2 za pomoc nastpujcego rozumowania: przypumy, i twierdzenie 9 jest faszem; wynika std, i pewien przedmiot jest takim przedmiotem Iu e wprawdzie

(a) I\ jest ingrediensem przedmiotu P,ale

(b) aden ingrediens przedmiotu I\ nie jest ingrediensem adnego przedmiotu, bdcego P\ albo P2,

208 Stanisaw Leniewski

Z twierdzenia b wypada, i (c) aden ingrediens przedmiotu I\ nie jest ingrediensem przedmiotu P u(d) aden ingrediens przedmiotu I\ nie jest ingrediensem przedmiotu P2,

z twierdzenia wnosimy zgodnie z definicj VIII, e(e) Pi jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu Ii,

z twierdze XLVI i e wynika, i(/) /) jest przedmiotem zewntrznym wzgldem przedmiotu P\ ;

z twierdze XI i a wypada, e(g ) I\ jest elementem przedmiotu P;

z twierdze g i f widzimy, i(A) 7/ jest elementem przedmiotu P, zewntrznym wzgldem przedmiotu P\.

Z twierdze 8 i A wnosimy, e(i) Ii jest ingrediensem przedmiotu P2,

z twierdzenia II wiemy, i() Ii jest ingrediensem przedmiotu I\ ;

z twierdze d i k wynika, e(/) I\ nie jest ingrediensem przedmiotu P2;

twierdzenie / jest sprzeczne z twierdzeniem /; musi wic by faszem prowadzce do tej sprzecznoci przypuszczenie nasze, i twierdzenie 9 jest faszem; tak wic twierdzenie 9 jest prawd. Z twierdze 6 i 9 wypada na podstawie definicji III, e

(10) P jest klas przedmiotw, bdcych P\ albo P2.Tak wic zakadajc twierdzenie 1, dochodzimy do twierdzenia 10. Wynika std twierdzenie dane.