stabilnost konstrukcija v cas - dr mira petronijevic
TRANSCRIPT
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
1/42
3. Stabilnost konstrukcija 1
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA
V as
v. prof. Dr Mira PetronijeviProf. Dr Stanko Bri
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
2/42
3. Stabilnost konstrukcija 2
U analizi stabilnosti nosaa traimooptereenje pri kome e se pored prvobitnog
ravnotenog poloaja javiti drugi ravnotenipoloaj, tj. trenutak pojave indiferentnogstanja, ili stanja bifurkacione ravnotee.
Taka u kojoj konstrukcija gubi stabilnost se
naziva kritina taka (critical point). Postoje 2vrste kritine take: granina taka (limit point)
taka bifurkacije (bifurcation point)
6.7Analiza elastine stabilnosti
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
3/42
3. Stabilnost konstrukcija 3
Granina taka(limit point) je taka ukojoj je iscrpljena sposobnost sistema
da primi dodatno optereenje, tako daprirast deformacije dovodi do padakapaciteta optereenja.
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
4/42
3. Stabilnost konstrukcija 4
Taka bifurkacije je taka u kojoj sepored jednog ravnotenog poloaja
javlja i drugi ravnoteni poloaj. Fenomen koji se pritome javlja naziva
se izvijanje.
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
5/42
3. Stabilnost konstrukcija 5
bifurkacija
limit(granica elastinestabilnosti)
I
II
Horizontalno pomeranje
Horiz
ontalno
optereen
je
H
H=P
H=P
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
6/42
3. Stabilnost konstrukcija 6
Kritino optereenje je optereenje pri komese javljaju dva mogua ravnotena poloaja.
Postupak odreivanja kritine take tj.kritinog optereenja nije jednostavan.Kritina taka se globalno moe definisati kaotaka posle koje matrica krutosti sistema
prestaje da bude pozitivno definitna.
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
7/42
3. Stabilnost konstrukcija 7
U taki bifurkacije matrica krutostisistema postaje singularna.
Za inenjersku praksu je od najveeginteresa odreivanje kritinogoptereenja, tj. optereenja pri kome
dolazi do gubitka stabilnostikonstrukcije.
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
8/42
3. Stabilnost konstrukcija 8
Praktino imamo 2 problema: Odreivanje kritine take (taka bifurkacije)
Odreivanje ponaanja konstrukcije poslekritinog poloaja
Samo mali broj konstrukcija se ponaa takoda se javlja idealna bifurkacija (imperfekcija u
geomeriji, materijalu i optereenju smanjujemogunost pojave bifurkacije)
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
9/42
3. Stabilnost konstrukcija 9
U okviru analize stabilnosti konstrukcijabaviemo se samo problemom
odreivanja kritinog optereenja, tj.take bifurkacije.
Problem post-kritinog ponaanja
konstrukcije je daleko sloeniji, zahtevaprimenu nelinearne analize i nijepredmet prouavanja.
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
10/42
3. Stabilnost konstrukcija 10
6.7.1 Odreivanje kritinog optereenja
U taki bifurkacije sistem se nalazi u indiferentnojravnotei.
U stanju indiferentne ravnotee druga varijacija
potencijalne energije sistema je jednaka nuli.
20
q
stabilnoindiferentnolabilno
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
11/42
3. Stabilnost konstrukcija 11
Taku bifurkacije, tj. kritino optereenjeemo matematiki odrediti primenom
matrine analize iz uslova da je drugavarijacija potencijalne energije sistema(tj. nosaa) po pomeranjima jednakanuli.
2 0
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
12/42
3. Stabilnost konstrukcija 12
Potencijalna energija sistema jednaka je
*T *T1
2 * * * *
0 gq K + K q S q
deformacioni rad radspoljanjihsila
sA R
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
13/42
3. Stabilnost konstrukcija 13
Potencijalna energije je dobijena izjednaina L.T. II reda - priblino reenje.
U izrazu za potencijalnu energiju
- su unutranje sile
- su spoljanje sile* * *S = P +Q
* * *0 gK + K q
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
14/42
3. Stabilnost konstrukcija 14
*
0
*
g
K
K
- matrica krutosti sistema po linearnoj teorji
- geometrijska matrica krutosti sistema
Dobijaju se iz osnovnih matrica krutosti pojedinihtapova u globalnom sistemu, postupkom kodnihbrojeva.
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
15/42
3. Stabilnost konstrukcija 15
Veze izmeu matrica krutosti tapova uglobalnom i lokalnom sistemu su:
gde je T - matrica transformacije tapa.
* t * t
0 0K T K T K T K Tg g
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
16/42
3. Stabilnost konstrukcija 16
Prva varijacija potencijalne energije po q*je
Druga varijacija potencijalne energije po q*
je:
2 0 * * *0 gK + K q
*T * * *0 g
K + K q S
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
17/42
3. Stabilnost konstrukcija 17
U stanju bifurkacione ravnotee 2=0. Kada se ujednainu bifurkacione ravnotee uvedu granini uslovi,dobija se da je:
gde index noznaava nepoznata pomeranja.
- vektor pomeranja u slobodnim vorovima nosaa
- varijacija vektora pomeranja
- submatrica uz nepoznata pomeranja
* 0nnn * *0 gK +K q
*
nq
nn
* *
0 gK +K
*nq
*
nq
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
18/42
3. Stabilnost konstrukcija 18
Za egzistenciju reenja potrebno je dadeterminanta submatrice sistema bude jednakanuli:
Dakle, problem odreivanja kritinogoptereenja se svodi na reavanje linearnogproblema svojstvenih vrednosti matricelinearizovane teorije II reda - priblino reenje.
det 0nn
* *0 gK +K
nn
* *
0 gK +K
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
19/42
3. Stabilnost konstrukcija 19
U analizi bifurkacione stabilnostipretpostavlja se da je su aksijalne sile utapovima poznate i odreene po Teoriji Ireda.
Ako se intezitet optereenja menja linearno,proporcionalno parametru , tada se iintenzitet sila u tapovima menjaproporcionalno parametru , tj.geometrijska matrica tapa je
Kg a geometrijska matrica sistema je *
gK
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
20/42
3. Stabilnost konstrukcija 20
Uslov za bifurkacionu stabilnost postaje:
Jednaina predstavlja problem svojstvenihvrednosti. U razvijenom obliku, gornja
jednaina predstavlja polinom n-tog
stepena po . Koreni tog polinoma (nule)predstavljaju karakteristine vrednosti:
1, 2, 2 ,... , n
det 0nn* *
0 gK + K
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
21/42
3. Stabilnost konstrukcija 21
Reenje za ise dobija odreivanjem nulakarakteristinog polinoma (za n
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
22/42
3. Stabilnost konstrukcija 22
Dakle, kritino optereenje Pcr=P je najmanjeoptereenje koje se dobija iz netrivijalnogreenja homogenog problema linearizovane
Teorije II reda.
Ono predstavlja priblino reenje problemastabilnosti, poto su sile u tapovima Sdobijenepo Teoriji I reda
*
** *
0
det 0
gde je
nn
gnn nn nn
K
K K K
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
23/42
3. Stabilnost konstrukcija 23
Pri kritinom optereenju se javlja drugiravnoteni poloaj sistema, definisanvektorom q1 , koji odgovarasvojstvenoj vrednosti 1.
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
24/42
3. Stabilnost konstrukcija 24
Kritini svojstvenivektor se dobijareenjem jednaine:
Kritini vektor jemogue odrediti dona konstantu, tj.u funkciji jedneizabrane vrednostinpr.
*1 ,1 0nnn
* *0 gK + K q
*
1,1
**2,12,1
*
,
**,1,1
1
nn
q
qq
qq
n 1q
*
1,1 1q
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
25/42
3. Stabilnost konstrukcija 25
Tanije reenje po Teoriji II reda sedobija korienjem tanih matrica krutostitapova
U tom sluaju je problem odreivanja
svojstvenih vrednosti je transcedentalan.Moe se reiti iterativnim tehnikama iliprobanjem.
*
det ( ) 0 (funkcije ( ))innK
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
26/42
3. Stabilnost konstrukcija 26
6.7.2 Postupakreavanjalinearizovane elastine stabilnosti1.Odredi se matrica krutosti sistema po Teoriji I reda
K*0i rei linearni statiki problemza= 1
tj. odrede se aksijalne sile u tapovima nosaa S.
2. Srauna se geometrijska matrica sistema K*g
3. Rei se problem svojstvenih vrednosti:
tj.
*nnn *
0 0K q p
* 0nn * *0 gK + K q* *
, , , ,nn n i i nn n i * *
0 gK q K q*
, , i n i q
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
27/42
3. Stabilnost konstrukcija 27
Najmanja svojstvena vrednost1definiesvojstveni vektor q1koji predstavlja I ton
izvijanja. Ostale svojstvene vrednosti iodgovarajui svojstveni vektori definiupreostale tonove izvijanja.
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
28/42
3. Stabilnost konstrukcija 28
6.7.3 Primer 1
Odrediti kritinu silu konzolnog nosaapomou priblinog i tanog reenja
linearizovane teorije II reda (1. Euler-ovsluaj)
EI
L2
24e
EIP
L
P
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
29/42
3. Stabilnost konstrukcija 29
Sq1q2
q3q4
X =x
Y =y
x
L
1
Mogua pomeranja: q1 , q2, q3, q4
Nepoznata pomeranja: q3, q4
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
30/42
3. Stabilnost konstrukcija 30
Priblino reenje - matrica krutosti tapa
2 2
0 3
2 2
2 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
36 3 36 33 4 3
36 3 36 330
3 3 4
g
l l
l l l l EIK
l ll
l l l l
l ll l l l S
Kl ll
l l l l
1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1
2
3
4
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
31/42
3. Stabilnost konstrukcija 31
2 2 2 23 3
0
2 2 2 2
2
0 2
12 6 12 6 36 3 36 3
6 4 6 2 3 4 3
12 6 12 6 36 3 36 330
6 2 6 4 3 3 4
30
12 1 3 3 2det det
3 2 4 1
g
g nn
l l l l
l l l l l l l l l S lK K
l l l l EI l EI
l l l l l l l l
S l
EI
lK K
l l
2
1
21cr 2 2 2
= 0
Karakteristini polinom: 135 156 12 0 0.082825
Kritina sila: S 30 2.485 1.008 , -4
e e
EI EIEI P P Eulerova kritina sila
l l l
1 2 3 4 1 2 3 4
1
2
1 2
1
2
3
4
Priblino reenje: det (K0+Kg)nn = 0 / x (l3/EI)
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
32/42
3. Stabilnost konstrukcija 32
Tano reenje
1 2 1 2
2 2
2 3 2 4
31 2 1 2
2 2
2 4 2 3
1 2 2 2 2
1 3 22
2 3
1 2 3
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 66 2 6 4
det K 0
12 6= 0 48 -36 = 0
6 4
Kada se unesu funkcije , i dobija se
nn
l l
l l l l EIK
l lll l l l
ll l
l l
n 1
karakteristina jednaina:
cos sin 2 1 cos 0, gde je
Mogua su 2 reenja, od kojih prvo daje kritinu silu jednaku -ovoj:
1) cos = 0 = 2n-1 ,2
Skl l
EI
Euler
2 2
1 11
= S = =2 4
e2 2
EI EIP
l l
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
33/42
3. Stabilnost konstrukcija 33
6.7.4 Primer 2
Odrediti kritinu silu obostranoukljetene grede (4. Euler-ov sluaj)
PEI
L2
24e
EIP
L
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
34/42
3. Stabilnost konstrukcija 34
Dva konana elementa
3
1 2
l l l= L/2
X=x
Y=y
1 2
q1q2
q3q4
q5
q6
P
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
35/42
3. Stabilnost konstrukcija 35
Matrice krutosti prvog elementa:
22
22
)1(
22
22
3
)1(
0
3
4
3
11212
3
1
3
4
1212
10
4626
612612
2646
612612
llll
ll
llll
ll
l
PK
llll
ll
llll
ll
l
EIK
g
1 2 3 4
1 2 3 4
1
2
3
4
1
2
3
4
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
36/42
3. Stabilnost konstrukcija 36
Matrica krutosti drugog elementa je istakao za prvi element
Globalna matrica krutosti sistema sedobija sabiranjem matrica krutostipojedinih elemenata
Broj moguih pomeranja je 6 :q1=v1, q2= 1, q3= v2, q4= 2,q5=v3, q6= 3
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
37/42
3. Stabilnost konstrukcija 37
Granini uslovi(krajevi tapa):
1 2
q1q2
q3q4
q5
q6
P
1 2
5 6
0 : 0 0
: 0 0
x q q
x L q q
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
38/42
3. Stabilnost konstrukcija 38
Prelazni uslovi(sredina tapa)
za simetrinudeformaciju :
4 2
3 2
3
0
0
n
q
q v
q q
1 2
q1q2
q3q4
q5
q6
P
q3
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
39/42
3. Stabilnost konstrukcija 39
Globalna matrica krutosti K0:
22
2222
22
30
4626
612612
26446626
612661212612
2646612612
llll
ll
llllllll
llll
llllll
l
EIK
1 2 3 4 5 61
2
3
4
5
6
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
40/42
3. Stabilnost konstrukcija 40
Globalna matrica krutosti Kg:1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
22
2222
22
3
4
3
1
12123
1
3
4
3
4
3
112121212
3
1
3
4
1212
10
llll
ll
llllllll
llll
llll
ll
l
PKg
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
41/42
3. Stabilnost konstrukcija 41
Iz jednaine stabilnosti:
0
3
3 2
det 0
se dobija samo jedna jednaina (n=3):
(12 12) (12 12) 010
odakle sledi:
24 2.4 0 10
gnn
cr
K K
EI P
ll
EI P EIP
ll l
-
7/27/2019 STABILNOST KONSTRUKCIJA V cas - dr Mira Petronijevic
42/42
Kako je to se dobija:
Tano reenje je
Greka iznosi: 1.32%
Ll 5.0
240L
EI
Pcr
2
24 39.478
e
EIP
L