stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timpstabilizarea sistemelor instabile, exemple •...
TRANSCRIPT
1
Stabilitatea sistemelor liniare si
invariante in timp
In continuare ne vom referi la sisteme liniare si
invariante in timp cauzale.
http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ps/Cap14_Stabilitate.pdf
Analiza stabilitatii sistemelor cu
reactie negativa
Motorv(t) (t)Input
voltage
Platform
angular
position
K+
-
+ Motor (t)D
K= K1K2
Motorul de curent continuu actioneaza
platforma
Schema sistemului in bucla deschisa.
Sistem cu reactie pentru fixarea telescopului.
Schema sistemului in bucla inchisa.
2
3
Sistem ce mentine pozitia unghiulara
a telescopului prin reactie (feedback)
• Motorul actioneaza
platforma
• Unghiul ei este (t)
• Schema sistemului in
bucla deschisa
Reglajul fin este dificil de
obtinut
Perturbatii (miscari ale platformei) nici o reactie
Unghiul
platformei
Tensiunea de
intrare aplicata
motorului care
roteste platforma
4
u(t) ~ D - (t)
Unghi
dorit
Tensiune
Unghiul
platformei
Tensiune
eroare
u(t)
tensiune
de intrare
Sistem in bucla inchisa
Perturbatii erori corectii
Se cunoaste doar unghiul dorit D dar nu si structura sistemului cu reactie
3
5
Insensibilitate la perturbatii,
Nu e necesar sa avem cunostinte amanuntite despre sistem.
Controlul proceselor chimice,
Cont
Avantajele sistemelor in bucla inchisa
Aplicatii ale sistemelor in bucla inchisa
rolul temperaturii,
Sisteme aerospatiale.
Exemplu de sistem
instabil, ce poate fi
stabilizat prin reactie
negativa.
6
Sisteme analogice• stabilitate stricta
– Functia de transfer : gradul numaratorului mai mic decat cel al numitorului
– Polii functiei de transfer situati in semiplanul stang
• Stabilitate in sens larg
– Poli simpli pe axa imaginara j, Re{s}=0
• stabilitate stricta
– Functia de transfer : gradul numaratorului mai mic sau egal
decat cel al numitorului
– Polii functiei de transfer situati in interiorului cercului
unitar
• Stabilitate in sens larg
– Poli simpli pe cercul unitar
Sisteme digitale
4
7
Alte criterii pentru stabilitate BIBO
• Numitorul Q(s) al functiei de transfer
H(s)=P(s)/Q(s) sa fie polinom Hurwitz
( )Polinomul cu coeficienti reali care are toate
al planului complex.
se numeste ,
Daca are radacini , atunci
este un
Q s
radacinile in semiplanul stang
polinom strict Hurwitz
simple pe axa imaginara
polino . m Hurwitz in sens larg
Toti coeficientii unui polinom strict Hurwitz sunt strict pozitivi.
Toti coeficientii unui polinom Hurwitz in sens larg sunt pozitivi.
Aceste conditii nu sunt si suficiente.
Criteriul de stabilitate al lui HurwitzConditia necesara si suficienta ca toate radacinile ecuatiei :
sa aiba partea reala strict negativa este toti determinantii
minori principali in diagonala ai determinantului sa fie
strict pozitivi.
( ) 01
1
10 =++++= −
−
nn
nn asa...sasasQ 00 a
n
n
n
a
.
...
...
.
.
.
.
.
..
...aa
...aaa
...aaa
...aaaa
...aaaa
0
000
00
00
0
0
31
642
531
6420
7531
=
5
Determinantul are n linii si n coloane. Stricta
pozitivitate a minorilor asigura stricta stabilitate a
sistemului care are la numitorul functiei de transfer
polinomul Q(s).
Daca unul dintre minori este nul atunci sistemul este
stabil in sens larg.
Daca unul dintre minori este negativ atunci sistemul
este instabil.
n
10
Exemplu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
5 4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
Se analizeaza stabilitatea sistemului descris de ecuatia diferentiala:
7 4 10 3 2
cu conditii initiale nule. Functia de transfer a sistemului
2
7 4 10
d y t d y t d y t d y t dy ty t x t
dt dt dt dt dt
H ss s s s s
+ + + + + =
=+ + + +
( )
0 1 2 3 4 5
. 3
Coeficientii polinomului sunt:
1, 1, 7, 4, 10 si 3, strict pozitivi.
Sistemul s-ar putea sa fie stabil.
Se aplica criteriul lui Hurwitz, 5.
Q s
a a a a a a
n
+
= = = = = =
=
6
11
5
1 3 5
1 2 3 0 2 4
1 3
4 5
1 4 3 0 0
1 7 10 0 0
. Minorii principali in diagonala :0 1 4 3 0
0 1 7 10 0
0 0 1 4 3
1 4 31 4
1 0, 3 0, 1 7 10 ... 5 0,1 7
0 0 1 4
1 4 3 0 0 1 4 3 0
1 7 10 0 0 1 7 10 0
... 8 0. 0 1 4 3 0 0 1 4 3
0 1 7 10 0 0 1 7 10
0 0 1 4 3
a a a
a a a
a a
=
= = = = = = =
= = = = 4
____
3 24 0.
0, 1,5 sistem strict stabilk k
= =
=
12
Sisteme liniare cu reactie negativa
( )( )
( )
( )
( ) ( )1
Y s H sQ s
X s H s G s= =
+( )
( )
( )
( )
( ) ( )1
Y z H zQ z
X z H z G z= =
+
Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca :
- polii sunt in semi-planul stang (sisteme analogice)
- polii sunt in interiroul cercului unitar (sisteme digitale)
•Functii sistem ale caii directe (Forward-path): H(s) sau H(z)
•Functii sistem ale caii inverse (Negative feedback, feedback path): G(s) sau G(z)
•Functii sistem in bucla deschisa (open loop): H(s)G(s) sau H(z)G(z)
•Functii sistem in bluca inchisa (Closed loop) :
7
• Sistem in bucla deschisa:
• Functia de transfer in bucla deschisa
( ) ( ) ( )L s H s G s= ( ) ( ) ( )L z H z G z=
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
; 1 1
Produsul : functia de transfer in bucla deschisa.
Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca radacinile ecuatiei
1 0 au partea reala strict negativa.
Y s H s Y z H zQ s
X s H s G s X z H z G z
H s G s
W s
= = =+ +
•
•
+ =
14
Sistem Invers: Cunoscand sistemul direct P(s); se doreste
sintetizarea sistemului invers 1/ P(s).
-sistem cu reactie in care: H(s)=K (castigul) si G(s)=P(s).
Functia de transfer in bucla inchisa :
Cateva aplicatii si consecinte ale
reactiei
( )( )
( )
( )
1
1
1KP s
KQ s
KP s
P s
=+
Sistemul in bucla inchisa este chiar sistemul invers al P(s), pentru o
valoare suficient de mare a castigului K
8
Exemplu
O valoare mare a castigului poate fi obtinuta cu ajutorul unui amplificator operational.
Exemplu.
Sistemul direct: derivator implementat cu ajutorul unui condensator (curentul prin
condensator este p
K
( )
( )( )
( )
roportional cu derivata caderii de tensiune de pe condensator
).
1Sistemul invers: trebuie sa fie un integrator, =
P s sC
Y sQ s - .
X s sRC
=
=
P(s)
16
Compensarea unor caracteristici
neideale ale unor elemente de circuit
De obicei K<1 (deoarece castig constant este
obtinut numai la atenuatoare) Q()>1.
Rezulta ca
( ) ( )1
, deci se cere
castigul in bucla deschisa castigul in bucla inchisa
H QK
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )
( )
Castig constant intr-o banda de frecvente pornind de la un amplificator cu
variabil in acea banda.
Pentru 1 1
Castigul in bucla deschisa:
Daca in banda de frecvente
s j
H
H s H jG s K Q s Q j
KH s KH j
KH
=
= = =
+ +
( )
( ) ( )
de interes : 1 atunci
1castigul in bucla inchisa:
KH j
Q j Q cstK
=
9
17
Stabilizarea sistemelor instabile,
Exemple
• Sistemele instabile pot fi incluse in bucla inchisa pentru
stabilizare (ex: zborul unei rachete pe o traiectorie)
• Exemplul #1 Sistem cu reactie proportionala
sistem stabil. Marimea de reactie este proportionala cu
marimea de iesire (G(s)=K)
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
, 0 si
1
Pol: semiplanul stang, daca p
bH s a G s K
s a
H s bQ s
KH s s a Kb
s a Kb Kb a
= =−
= =+ − −
= −
( )
( )
( )( )
2
2
Functia de transfer a oscilatorului are poli simpli pe axa imaginara:
in cazul unei reactii proportionale sistem in bucla inchisa
sistemele de ordinul 2,
bH s .
s a
G s K ,
bQ s .
s a Kb
=+
=
=+ +
Al doilea exemplu
( )
( ) ( )
20
02 20 0
20
sunt stabile daca 0 si daca 0, 2
adica daca exista atenuare.
Analizand comparativ si s rezulta ca nu putem influenta prin reactie
proportionala decat deoarece 0
Nu
t
t
Q ss s
Q s Q
.
=
+ +
=
( )
( )( )
1
22 1
2
vom putea deci stabiliza oscilatorul numai prin reactie proportionala.
De aceea includem in bucla de reactie si o componenta
Sistemul in bucla inchisa este
derivativa
t
.
s
G s K .
bQ s .
s bK
K
s a K b
s= +
=+ + +
1 2abil daca 0 si 0a K b bK .+
10
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1
Al treilea exemplu
1 ; 2
1 2
1
1 1 2 1
2 1
1Stabilitatea se obtine daca 1 1
2
p
p
H z G z z .z
H zQ z
G z H z z
z .
z .
−
−
−
= = −
= =+ − −
= −
1
1-2z-1
2z-1
e[n]x[n] y[n]
+
-
+
20
Sisteme cu urmarire (tracking)
• Pilotul automat: intrarea este ruta dorita.
Iesirea este ruta reala a avionului.
11
21
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )( )( )
Pentru:
; cu 1
1
Pe cercul unitar: 1
c p
j
j
j
H z H z H z
H zY z X z E z H z Y z
H z
X zE z
H z
X eE e
H e
=
= =+
=+
=+
Eroarea trebuie sa fie neglijabila:
( ) ( )0, 0 marej je n E e H e
O performanta buna de urmarire se obtine la un castig global foarte mare.
Fara perturbari.
22
• Erorile modelate prin perturbatia d[n]
• Erori mici inseamna castig mic:
• Castigul trebuie sa fie mare (la frecvente
joase) si mic (la frecvente inalte)
( )( )( )
( )( )( )
( )1 1
H z H zY z X z D z
H z H z= −
+ +
( )jH e
12
Instabilitati cauzate de reactie
La microfon nu ajunge numai semnalul vocal ce provine de
la vorbitor ci si un semnal nedorit de la difuzor. Apare astfel
o bucla de reactie. Daca faza celor doua semnale este potrivita
se produce inta
1
2
rirea sunetului generat de difuzor, pana la
saturatia acestuia.
atenuarea datorata propagarii sunetului prin aer.
- durata propagarii semnalului de la difuzor la microfon.
K amplificarea,
K
T
−
−
K2e-sT
K1
AmplificatorDifuzor
Microfon
24
intrari
audio de la
vorbitor
intrari audio
totale la microfon
intrari audio de la difuzor (nedorite)
iesiri la difuzor
( )
( )
11 2 1 2
1 2
1 2
2
1 0 1
0 1- conditie de instabilitate
Pe masura ce distanta dintre difuzor si microfon creste, atenuarea
datorata aerului creste si deci scade, sistemul p
sT sT
sT
KQ s K K e e K K
K K e
s K K .
K
−
−= − = =
−
utand deveni stabil.
13
25
Metoda locului radacinilor
(Root-locus method)• Polii sistemului cu reactie se reprezinta in
functie de castigul K.
• cazul simplu: polii sunt cunoscuti
• Exemplu #1, sistem digital
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
1
1
1
1 2; 2
1 2 2
1
1 2 1 2 1
2 1
1 3Sistem stabil daca 1
2 2
p
p
zH z G z z
z z z
zQ z
z z
z
z
−
−
−
= = = =
− −
= =− − − −
= −
26
• Exemplu #2, sistem analogic
( ) ( )
( )( )
( )
2;
2
; 2 12 1
Sistem stabil daca Re 0 1
p
p
sH s G s
s s
sQ s s
s
s
= =
−
= = −− −
14
27
Cazul in care polii nu sunt
cunoscuti
• Sisteme cu reactie cu castig variabil
( )
( )
( )
( ) ( )1
Y s KH s
X s KH s G s=
+
( )
( )
( )
( ) ( )1
Y s H s
X s KH s G s=
+
28
Polii sunt dati de
Pentru sistemul in bucla inchisa, polii depind de K:
Pentru K→0: H(s)G(s)→, solutia ecuatiei data de polii lui H(s)G(s)
Pentru K→, 1/K→0, solutia data de zerourile lui H(s)G(s)
( ) ( )1
H s G sK
= −
Punctele de capat ale locului radacinilor: polii
sistemului in bucla inchisa pentru K=0 si |K|=
( ) ( )1 0KH s G s+ =
( ) ( ) ( ) ( )2 2
pentru: ; 2 2
2 1
2
0 2
sH s G s H s G s
s s s
s
s
= = =
− −
= −−
= =
15
29
Criteriul variatiei argumentului
• K-real, s0 – pol al sistemului cu reactie, atunci
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
1
multiplu de
jArg G s H s
jArg G s H s
G s H s G s H s e
e
Arg G s H s
=
=
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
1multiplu impar de 0
1multiplu par de 0
KG s H s
KG s H s
− =
− = −
30
• Locul radacinilor: s0 pentru care argumentul
functiei de transfer in bucla deschisa este
• -multiplu impar de pentru castig pozitiv K>0
• -multiplu par de pentru castig negativ K<0
( ) ( )
( )
00
00
0
2 2 1Pentru:
2 2
22
2
21castig 2 1
22
2
H s G ss s
s Arg -s
ss
s
= = −
− −
=
−
− = = = −
−
16
31
• Poli reali:
• Poli complecsi. Pt ω pozitiv: K>0, pt ω negativ: la
fel
( ) ( )1 1
1 3H s ;G s
s s= =
+ +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0
3 1 0
3 2 0
s ,s : Arg G s H s K
s , s : Arg G s H s - K
s ,s : Arg G s H s - K
− =
− − =
− =
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 00 2 0 0
0 0
: Arg G s H s Arg G s H s K
: K
− = −
32
Locul
radacinilor
pt K>0
(sistem stabil)
K<0 (s-ar
putea sa
fie instabil)
17
33
( ) ( )( )( )
1
1 3
sG s H s
s s
−=
+ +
34
( ) ( )1
1 11 1 1 11 1
2 4 2 4
z zG z H z
z z z z
−
− −
= = − − − −
18
• Sistem stabil
pentru K(0,48)
( ) ( )( )( )
1
2 4G s H s
s s s=
+ +
K>0
Criteriul de stabilitate NyquistUtilizarea criteriului de stabilitate Hurwitz presupune cunoasterea expresiei
functiei de transfer in bucla inchisa a sistemului cu reactie. Exista situatii cand
aceasta functie de transfer nu este cunoscuta: in cazul identificarii experimentale
a unui sistem cu reactie, cand pot fi identificate doar raspunsurile in frecventa H
si G. In aceste cazuri poate fi folosit criteriul lui Nyquist.
( ) ( )1
Solutiile ecuatiei depind de valoarea lui .
Pot fi determinate valori ale lui pentru care sistemul cu reactie
sa fie stabil. Pe baza criteriului lui Nyquist pot fi determinate aceste
valo
H s G s KK
K
= −
( ) ( )
( )
ri prin examinarea functiei Reprezentarea grafica
in planul a acestei functii poarta numele de hodograf al lui
In scopul formularii criteriului lui Nyquist se enunta in prealabil principi
G j H j .
s W s .
ul
variatiei argumentului, care da informatii despre hodograful unei functii
complexe de variabila complexa.
19
( ) ( ) cu modificandu-se de la - la - hodograf Nyquist al sistemului
in bucla deschisa.
hodograful Nyquist tre
G j H j
( ) ( )
1buie sa inconjoare punctul de coordonate - 0 in sens
anti-orar de un numar de ori egal cu 2
- numarul polilor din semiplanul drept ai lui
- numarul polilor de pe axa imaginara
Ci
i
C
,K
nn .
n H s G s ,
n
+
( ) ( )ai lui H s G s .
Criteriul de stabilitate Nyquist
pentru sisteme analogice
Conditia necesara si suficienta ca sistemul in bucla inchisa
considerat sa fie strict stabil este ca numarul de incercuiri ale
1punctului de coordonate - 0 de catre hodograful Nyquist
al sistemu
,K
( ) ( )
( ) ( )
lui in bucla deschisa in sens antiorar
cand se modifica de la - la sa fie egal cu numarul polilor
lui din semiplanul drept si de pe axa imaginara,
adica cu + . 2
Ci
H j G j
,
H s G s
nn
Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca si numai daca numarul de
incercuiri ale punctului de coordonate (-1/K,0) de catre hodograful Nyquist H(jω)G(jω) al sistemului in bucla deschisa in sens trigonometric, pentru ω (-,
) , este egal cu numarul polilor lui H(s)G(s) localizat in semiplanul drept.
20
Observatii
( ) ( )1 Daca sistemul in bucla deschisa este stabil atunci nu are poli
in semiplanul drept si nici pe axa imaginara. Deci hodograful Nyquist al
sistemului in bucla deschisa nu trebuie sa incercuiasca pu
. H s G s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
nctul de
1coordonate 0
2 Deoarece si sunt functii reale
si deci
si
Hodograful Nyquist pe
* *
* * * *
** *
, .K
. h t g t H j G j H j G j
H j G j H j G j H j G j H j G j
arg H j G j arg H j G j arg H j G j
arg H j G j
−
− − =
− − = = =
− − = = =
= −
( )
( ) ( )
( )
ntru domeniul de variatie a lui intervalul - ,0 se
obtine prin simetrie fata de axa reala a planului complex din
hodograful Nyquist pentru domeniul de variatie a lui cuprins in intervalul
0,
H s G s
.
40
Exemplul #1
( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 1;
1 0 5 1 0 5 1 5 1G s H s H s G s
s . s . s . s= = =
+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Exista doua modalitati de constructie
a hodografului sistemului in bucla deschisa.
Prima se bazeaza pe caracteristicile Bode
(valorile si )
ale sistemului in bucla deschisa sau
valorile
H G arg H G
Re H
( ) ( ) ( ) si G Im H G .
21
41
Pentru reactia negativa, K > 0, stabilitatea este asigurata intotdeauna.
Pentru reactia pozitiva, K < 0, avem din a doua conditie: -1 < K < 0
Deoarece sistemul in bucla
deschisa este stabil pentru
ca si sistemul in bucla inchisa
sa fie stabil este necesar ca
sa nu fie incercuit punctul de
1coordonate 0
1 10 sau 1
0 sau 1 adi
, .K
K K
K K
−
− −
− ca 1K . −
42
- Sistemul in bucla deschisa este
instabil, avand un pol in semiplanul
drept:
- Sistemul in bucla inchisa stabil:
daca punctul critic σ = -1/K este
inconjurat de hodograf o singura data
in sens trigonometric.
Exemplul #2
( ) ( )( )
( )( )
2 1
1 2
sG s H s
s s
+=
− +
11 0 1K
K− −
22
43
( ) ( ) ( )1 2 ,
sT jsTK K K G s H s e e− + −= = − =
Exemplul #3 sistem acustic
( ) ( ) ( )
( )
Modulul este unitar, argumentul are expresia
Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil, hodograful Nyquist
nu are voie sa incercuiasca punctul critic 1 sau 1
Deoarec
j TG j H j e .
T .
/ K , K .
− + =
− +
−
1 2
1 2
e si au semnificatia de atenuari acustice, sunt pozitive
Sistemul in bucla deschisa este stabil daca 1
K K
K K .
Cazul polilor sistemului in bucla
deschisa situati pe axa imaginara( ) ( )
( )
cu timpacelasiin 0 raza de semicercun -printr imaginara,
axa pe de polulocolit fie saincat fel asain modificat, C, conturul considera se
anterioare cazurilein ca fel la uiargumentul variatieicriteriul aplica aPentru
1
1 imaginara. axa pe pol unui cazul Consideram
.M,
.ss
sHsG
→→
+=
Im
Re
C+jM
-jM
M
planul s
j
-j ( ) ( )( )
( ) ( )
Nyquist. uihodograful a verticala
asimptota este 1 adica ,1 si
1
1
1
1
:Avem . raza
de semicerculpentru si imaginara axapentru numaiNyquist
hodograful trasamsa deci Trebuie .-la la de trece cand
uiargumentul a variatieo nici aparenu deci si constanta o
este raza de cercul pe produsului Valoarea
0
2
2
−=−=
+=
+=
→
+
−
jHjGRelim
ejj
jHjG
MGH
j
arctgsgnj
23
. raza de semicercul pe produsului acomportare determinam sa Ramane ε
Re
Im
-1-1/K
Raza tinde
la
→0+
=-
=+
→0-
Arg{}→π/2
Arg{}→-π/2
nula. este 1- polul
de cauzata unghiului variatia
zero, spre tinde raza Deoarece
Im
Re
~2 arctg→0
-1
j
-j
θ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
. raza de semicercul pe 0 la 0
la de trecese cand atunciorar sensin 180cu ihodogrfulu a
rasucire o inseamna Aceasta sau
22
deci si semicerc pe schimbIn
-
00
==
−=
−−
−=−−=
−=
+
== −+
.jHjGΔArg
jHjGArg
jHjGArg
Re
Im
-1-1/K
Raza tinde
la
→0+
=-
=+
→0-
Arg{}→π/2
Arg{}→-π/2
.KK
.
C
K
0sau 01
avem sa trebuieca Rezulta
inchisa. buclain sistemului eastabilitat avea
apentru hodograf, de inconjurat fie sa nu trebuie
critic punctul consecintaIn raza de semicerculcu
dreaptaprin l-ocolindu afara,in lasat am-l deoarece
origine,din polulmacar nici afla senu considerat
conturului interiorulin ca mentiunea face vom
, castigulpentru admise valoriledetermina aPentru
−
24
Cazul sistemelor in timp discret
( ) ( ) ( )
( )
0
Pentru ca sistemul in timp discret in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca nici
1un zero al ecuatiei : 0 sa nu fie in afara cercului unitate.
1Fie :
Daca este un zero (
R z G z H zK
R̂ z R .z
z
= + =
=
( ) ( )
( )
( )
0
00
1pol) al lui atunci este un zero (pol) al lui
1Daca 1 atunci 1 Orice zero (pol) al lui din exteriorul cercului
unitate este un zero (pol) al lui situat in interiorul cercului un
ˆR z R z .z
z . R zz
R̂ z
( ) ( ) ( ) ( )
itate.
Conform principiului variatiei argumentului daca parcurge odata cercul
unitate in sens orar atunci incercuieste originea planului
in sens orar de un numar de ori egal cu diferent
z
ˆ ˆ ˆR z Re R z ,Im R z
( )
( ) ( )( )
a dintre numarul de zerouri si de poli
ai lui situati in interiorul cercului unitate.
1Pe cercul unitate si . De aceea .
Evaluarea lui , cand parcurge odata cercul unit
j j j j
R̂ z
ˆz e e R e R ez
R̂ z z
− − = = =
( )
ar in sens orar, este identica
cu evaluarea lui cand parcurge odata cercul unitar in sens antiorar.R z , z
Enuntul criteriului lui Nyquist
pentru sisteme in timp discret
Conditia necesara si suficienta pentru ca sistemul in bucla
inchisa sa fie stabil este ca numarul de incercuiri in sens
1antiorar ale punctului de coordonate - 0 de catre hodograful
Nyquist al l
,K
( ) ( )( ) ( )
ui cand se modifica de la 0 la 2
trebuie sa fie egal cu numarul polilor lui care se gasesc
in exteriorul cercului unitate.
j jG e H e
H z G z
25
49
Exemplul #1
• Valorile maxime si minime pentru 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
2
1
1 2 2
1
1 11
2 2
1 1 1
1
2
j jj j
j j
zG z H z
z z z
G e H e e ev v v
e e
−
−
− + − +
= =
+ +
= = =
+
( ) ( )
( ) ( )
0,2 : 2 3
: 2
j j
j j
G e H e /
G e H e
= =
= =
50
• Sensul de parcurgere al hodografului este orar
• Se fac 2 rotatii complete in jurul (0,0).
• Sistemul in bucla deschisa este stabil punctul critic nu
trebuie sa fie inconjurat de hodograful lui Nyquist
• Sistemul in bucla inchisa este stabil pentru:
( ) ( )
1 1 or 1 2 0 1 sau 1 2 0
1 2 0 0 1
/ K / K K / K
K / , ,
− − − −
−
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
4
j j
j j
Arg G e H e
Arg G e H e
= − +
= −
26
51
Exemplul #2
partea noului contur corespunzand
cercului unitar
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2
1: pol pe cercul unitar
1
1 1j jj j
G z H zz z
G e H e e ev v v
− + − +
=−
= =
conturul cercului unitar C se modifica prin
adaugarea unui semicerc de raza → 0, care
pastreaza polii in interiorul conturului.
52
Sistemul in bucla inchisa
stabil daca:
-1/K<1 sau 0<K<1.
Ω θ Modul Faza Observatii
π/3 2π/3 1 -π
π π 1/2 -2π x=-3/2
asimptota
verticala
( ) ( ) ( )2 2j jArg G e H e / / = − + = −
27
Rezerva de amplificare si de faza
Uneori este interesant sa se stie, pentru un sistem stabil, in ce
masura poate fi modificata amplificarea sistemului si ce
defazaj suplimentar poate fi introdus in sistem in asa fel incat
el sa ramana stabil.
Se numeste margine de amplificare a sistemului din stanga, valoarea minima a lui
pentru care sistemul din dreapta, pentru 0 devine instabil.
Se numeste margine de faza a sistemului din stanga, valoa
K =
( ) ( )
rea minima a lui pentru
1 pentru care sistemul din dreapta devine instabil.
1 0
Prin modificarea lui sau a lui unul dintre polii funct
j j j
,
K ,
H e G e K e
K
−
=
+ =
( ) ( )
0
0 0
iei de transfer in bucla
inchisa poate ajunge pe axa imaginara, in punctul :
1j
j
Ke H j G j−
= −
Stable system
28
55
Conditia de instabilitate pentru al doilea sistem:
Modificand K sau φ unul dintre polii sistemului in bucla
inchisa se duce pe axa imaginara, in pozitia jω0.
( ) ( )1 0j j jH e G e K e − + =
( ) ( )( ) ( )
2
14 1
2Exemplu.
1 2 1 0 05 0 125
Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil,pentru ca sistemul in bucla inchisa
sa ramana stabil este necesar ca punctul critic sa ramana in exte
s
G s H s .s s , s , s
+
=
+ + +
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
0 0
riorul hodografului.
Rezerva de amplificare va fi distanta, pe axa reala, de la puctul critic la intersectia
hodografului cu axa reala negativa. Pentru 0 ecuatia devine:
1
Deo
jArg G j H j
,
K G j H j e .
=
= −
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
1 1 1
1
arece primii 2 factori din membrul stang sunt pozitivi este necesar ca exponentiala
complexa sa fie negativa.
Fie frecventa la care: 1
La frecventa are loc intersec
jArg G j H je Arg G j H j .
= − = −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2 2
2 2
tia hodografului cu axa reala negativa.
1Rezerva de amplificare este
Fie frecventa la care 1
Rezerva de faza va fi:
K .G j H j
ω G j H j .
Arg G j H j .
=
=
= −
29
57
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2 2
2 2
Rezerva de amplificare:
1
: 1.
Rezerva de faza:
.
KG j H j
ω G j H j
Arg G j H j
=
=
= −
58
hodograful lui Nyquist pentru sistemul in bucla deschisa