stabilitätsforderung führte zu screw-pinch... oder, um endverluste zu minimieren zum tokamak: der...
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Stabilitätsforderung führte zu screw-pinch
... oder, um Endverluste zu minimieren zum Tokamak:
Der toroidale Einschluss von Plasmen
Kein magnetischer Einschluß mit rein toroidalem Magnetfeld möglich
B
vD =F x Bq B2
vD 10-3 vth
• Ladungstrennung durch Driften im inhomogenen Magnetfeld
• Drift im E-Feld ist nach außen gerichtet
• Ausgleichsströme ermöglicht durch poloidale Feldkomponente(Pfirsch-Schlüter-Ströme)
Pfirsch-Schlüter-Ströme: die Ausgleichsströme der Ladungstrennung auf Grund des inhomogenen Magnetfeldes
+++++
- - - - -Btor
Bpol
Btor
.jPS
Pfirsch-Schlüter-Ströme schwächen Magnetfeld auf der Innenseite und stärken es auf der Außenseite
Pfirsch-Schlüter-Ströme:
||0 jjj
Für kreiskörmigen Querschnitt und großem Aspektverhältnis erhält man parallelen Strom: r
p
B
qj
tPS
cos2
Das Tokamak
„Toroidale Kammer mit Magnetfeld“
endliche Steigung der Magnetfeldlinien durch Poloidalfeld (erzeugt vom Plasmastrom)
Tokamak ist axisymmetrisch, (unabhängig von toroidaer Koordinate)
poloidale Größen
toroidale Größen
pp jBjB ,,
jBjB zz ,,
• Geeignete Größen zur Beschreibung des Tokamak:
Anzahl der toroidalen WindungenAnzahl der poloidalen Windungen
q
einer Feldlinie auf dem Torus.
• Tokamak ist charakterisiert durch Aspektverhältnis
und „Sicherheitsfaktor“ q:
aRA /
• In Zylinder-Näherung (screw-pinch):p
tB
B
Rr
q
q muss zur Stabilisierung der Kink-Mode ausreichend groß sein: „Sicherheitsfaktor“
• Aus Stabilitätsgründen (siehe pinch): q > 1 erforderlich!
q variiert von q(0)=1 auf der Achse bis q(a) = 3-5 am Rand:
pttot B
p
B
p 100
1222
02
0
Der resultierende Wert liegt zwischen 1% und 10 % !
• Diese Forderung an B hat Auswirkungen auf die Ökonomie:
pp BBrR
B 1053
•
j und B liegen auf Flächen mit p=const.
:0 BpjpBjp
Fluß durch Kurve auf einer Fläche konstanten Drucks is konstant
Gleichgewicht für den axisymmetrischen Fall (Tokamak)
0 AdB
021
constpFF
AdBAdBAdB
F2 0 FV
AdBdVB
Flächen mit p=const
magn. Feldlinien
C1
F1
C2
F2
• Fluß durch jede Kurve auf p=const. Fläche hat gleichen Wert :
Flußflächen
•
j und B liegen auf Flächen mit p=const.
:0 BpjpBjp
Gleichgewicht für den axisymmetrischen Fall (Tokamak)
• Druck ist Flußflächengröße• Tokamak besteht aus ineinandergeschachtelten Flußflächen, die von Magnetfeldlinien aufgespannt werden
• Fluß durch jede Kurve auf p=const. Fläche hat gleichen Wert :
Flußflächen
•
j und B liegen auf Flächen mit p=const.
:0 BpjpBjp
• Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus:
Poloidale Windung: toroidale Flüsse
Bt
Toroidaler Fluß
Bp
Poloidaler Fluß
• Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus:
Poloidale Windung: toroidale FlüsseToroidale Windung: poloidale Flüsse
• Wähle den poloidalen Fluß and Ipol (Strom):
)'(''2.),(0
RBRdRconstzRR
Z
)'(´2.),(0
zBdzRconstRzz
R
Projektion der Fläche auf z=const.:Poloidaler Fluss: Fluss durch Fläche, die durch toroidal geschlossene Kurve begrenzt wird
Projektion der Fläche auf R=const.:
• Zwei Arten von geschlossenen Kurven auf dem Torus:
Poloidale Windung: toroidale FlüsseToroidale Windung: poloidale Flüsse
R
IB polo
20
RRBZ
21
)'(''2.),(0
RBRdRconstzRR
Z
)'(´2.),(0
zBdzRconstRzz
R
Projektion der Fläche auf z=const.:
Projektion der Fläche auf R=const.:
ZRBR
21
R
zpol
z
jdRRI
R
RB
Rj
Bj
0
0
0
´´2
1
Poloidalstrom aus:
• schreibe Kraftbilanz in Termina der Flüsse (' bedeutet d/d):
Grad-Shafranov Gleichung
polpolIIpRZRRR
R
20
202
2
)2(1
*
Bjr
p
r
p
R
IB polo
20
ZRBR
21
RRBZ
21
Grad-Shafranov Gleichung
• Gleichung nichtlinear in
• Zur Lösung: schreibe p() und Ipol() vor und integriere numerisch
polpolIIpRZRRR
R
20
202
2
)2(1
*
• schreibe Kraftbilanz in Termina der Flüsse (' bedeutet d/d):
• Randbedingungen müssen spezifiziert werden:- Leitende Wand umgibt Plasma oder
- Zusätzlich zur Lösung der inhomogenen Gleichung kann die Lösung der homogenen Gleichung ( ) addiert werden (Vakuumfeld)
0*
Plasmaring versucht zu expandieren wegen …
Bvert
R
Bt(R)
Itor
Kraft durch toroidalen Strom
plasma R
Magnetfeld durch Plasmastrom ähnlich zu Magnetfeld eines Kreisstromes
1 2
)'(''2)(0
RBRdRRR
Z 1= 2
Vertikalfeld(gegen Expansion)
plasma
Expansion verhindert durch zusätzliches Magnetfeld
Kraft durch endlichen Plasmadruck (pol ~ 1)
Plasmadruck konstant, aber größere Fläche auf Niederfeldseite größere Kraft auf Niederfeldseite Expansion des Plasmas
Plasmarand
Flußflächen für niedriges
Kraft durch endlichen Plasmadruck (pol ~ 1)
R
Bpol(R)
Plasmarand
Shafranov-Verschiebung
Poloidalfeld auf linker Seite wird schwächer (besonders bei hohem )
leftright a
pol
a
pol rdrrBrdrrB00
2)(2)( Auswärtsverschiebung der magnetischen Achse
Vertikalfeld(gegen Expansion)Bpol vom
Plasmastrom
Zusätzlicher Beitrag zur Shafranov-Verschiebung durch Pfirsch-Schlüter-Ströme
r
p
B
qj
tPS
cos2
Gleichgewichte bei unterschiedlichem Plasmadruck
+
=
Vertikal-feld
Bpol
(r)
r0
b) pol=1 c) pol>1a) pol<1
Btor
Vakuum-verlauf
(a) Bei kleinem Plasmadruck ist magnetischer Druck durch Poloidalfeld viel höher als Plasmadruck. Ohne Toroidalfeld würde Plasma so weit komprimiert werden, bis pol=1. Mit Toroidalfeld entsteht erforderlicher Gegendruck vor allem durch Kompression des im Plasma eingeschlossenen Toroidalfeldes. Toroidalfeld übersteigt daher das Vakuumfeld, d.h. das Plasma wird paramagnetisch (bezüglich des Toroidalfeldes)
(b) Plasmadruck erhöht auf pol=1. Toroidalfeld entspricht Vakuumfeld.
(c) Bei weiterer Steigerung des Plasmadrucks wird auch Toroidalfeld zum Einschluß benötigt, das Plasma verhält sich diamagnetisch bezüglich des Toroidalfeldes. Mit steigendem Druck wird auch ein größeres Vertikalfeld nötig, um radiale Plasmaposition zu halten.
Gleichgewichtsgrenze: pol = A
Separatrix
X-Punkt
„Limiter“
Übergang zwischen Plasma und Wand: 2 Lösungen (Limiter, Divertor)
Flußflächen schneiden Wand in kontrolliertem Gebiet, aber Problem mit Verunreinigungskonzentration!
ASDEX UpgradeDivertorexperiment
Separatrix trennt Bereiche geschlossener und offener Feldlinien
D-Strahlung ist Maß für TeilchenverlusteVoraussetzung für H-Mode: T(a)100eVEdge-Localized-Modes
Edge-Localized-Modes
Überraschung: nicht nur Verbesserung der Erosion unddes Verunreinigungsverhaltens!
Transportbarriere am Rand, Transport wird aber überall verbessert! („Profilsteifigkeit“)ITER basiert auf H-Mode.
Eigenmoden Analyse
• Löse zeitabhängige MHD-Gleichungen für linearisierten Eigenmoden-Ansatz:
(poloidale und toroidale Modenzahlen m und n, Anwachsrate )
• For rationale q = m/n, sind Flußflächen besonders empfindlichfür Instabilitäten stehende Wellen auf rationalen Flächen auf `resonanten Flächen`
tonmi ee )(0
m = 1
m = 2
m = 3
Beispiel: magnetische Inseln
Abflachung des Druckprofils wegen gutem Transport entlang von Magnetfeldlinien
p
Technische Realisierung eines Tokamaks
• Toroidalfeld durch externe Spulen:
• Transformator treibt Plasmastrom
• Loop voltage getrieben durch Transformator erzeugt Plasma und heizt es
TBt 51
TBMAI Pp 2.0,1
)10( V).111( MWVMAP
Stellaratoren
Endliche Steigung der Magnetfeldlinien ohne Plasmastrom
STELLARATOR (l = 2)
Btor
(externer) Helix-Strom
Bpoloidal +
+
-
-
-
TF-Spule
+
Ohne Plasmastrom stationärer Betrieb möglich und keine stromgetriebenen Instabilitäten
Abgewickelte Flussfläche im Stellarator
)(
1)(
q
Itor = Tokamak
IHelix2= Stellarator
2. Ordnungs-Effekt!
Steigung der Feldlinien im Stellarator meist kleiner als im Tokamak …
und Poloidalfeld fällt nach außen ab
0 0,5 1
1
0,5
0
TOKAMAK
= r/a
l = 2(Kleine Steigung der helikalen Spulen)
= 1/q
Stellarator-Gleichgewicht
• Stellaratoren sind nicht axisymmetrisch, sondern 3-dimensional
• In 3D-Geometrie kann man nicht allgemein beweisen, dass Flußflächen existieren
• Stellarator hat im allgemeinen Flussflächen, aber mit Inseln an rationalen Flächen
Optimierung von Stellaratoren … Beispiel: geringe Shafranov-Verschiebung
und dadurch höherer Plasmadruck möglich
1970 1980 1990 2000 2010
W 7-A
W 2-A
W 2-B
W 1-A
W1-B
Greifswald
W 7-ASGarching
Stellarator experiments at IPP
W 7-X
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association
Magnetic surfaces in W7-X
Sometimes islands are wanted:
e.g. island divertor in W7-X
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association
Island divertor in W7-AS
Bottom divertor
Target
BafflesProbe arrays•
••
Targets
Baffles
Titanium evaporators
•
•
5x2 divertor modules
5/9-islandseparatrix
P. Grigull, Plasma Phys. Contr. Fus. (2001)
W7-X
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, EURATOM Association