ssr_kolokviji

KOLOKVIJUM 1Prezime, ime, br. indeksa: 10.12.2011

PREDISPITNE OBAVEZE

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti imaju rela-cije α i β na skupu {1, 2, 3}.

α = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}: R S A T β = {(1, 1), (2, 2)}: R S A T

• Za funkcije f =

(1 2 33 2 1

)i g =

(1 2 31 2 1

)iz skupa A = {1, 2, 3} u samog sebe izracunati

f ◦ f =

(1 2 31 2 3

)f ◦ g =

(1 2 33 2 3

)• Koliko ima 3-cifrenih brojeva cije su sve cifre neparni brojevi, i

1) cifre mogu biti jednake: 53 = 125 2) sve cifre su razlicite: 5 · 4 · 3 = 60

• Zaokruziti komutativne grupe: 1) (R, ·) 2) (Z, ·) 3) (Z,+)

• Zaokruziti polja: 1) (Z,+, ·) 2) (Q,+, ·) 3) (R,+, ·)

TEST

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti imaju rela-cije α, β i γ na skupu R.

α = {(x, y) | x+ y = 0}: R S A T

β = {(x, y) | x− y = 1}: R S A T

γ = {(x, y) | x · y ≤ 0}: R S A T

• Zaokruziti injektivne funkcije:

1) f : R → R, f(x) = x2 2) f : R → [0,∞), f(x) = x2 3) f : [0,∞) → R, f(x) = x2

4) f : [0,∞) → [0,∞), f(x) = x2 5) f : R → R, f(x) = sinx 6) f : R → R, f(x) = −2x+5

• Za funkcije f =

(1 2 3 43 4 1 2

)i g =

(1 2 3 41 1 3 3

)iz skupa A = {1, 2, 3, 4} u samog sebe

izracunati

f−1 =

(1 2 3 43 4 1 2

)f ◦ g =

(1 2 3 43 3 1 1

)g ◦ f =

(1 2 3 43 3 1 1

)f ◦ f =

(1 2 3 41 2 3 4

)• Za skupove A = {1, 2, 3} i B = {a, b} izracunati

1) |{f | f : A → B}| = 23 = 8 2)∣∣∣{f | f : A

1−1→ B}∣∣∣ = 0 3)

∣∣∣{f | f : Ana→B}

∣∣∣ = 6

4) |{f | f : B → A}| = 32 = 9 5)∣∣∣{f | f : B

1−1→ A}∣∣∣ = 3 · 2 = 6 6)

∣∣∣{f | f : Bna→A}

∣∣∣ = 0

• 1) Broj kombinacija bez ponavljanja od 8 elemenata klase 5 je C85 =

(8

5

)= 56

2) Broj kombinacija sa ponavljanjem od 8 elemenata klase 5 je C85 =

(8 + 5− 1

5

)= 792

• Zaokruziti grupoide sa neutralnim elementom:

1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (Z,−) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ((0,∞), ·) 7) ([0,∞), ·)

• Neka je (G, ·) komutativan, asocijativan grupoid sa neutralnim elementom e. Zaokruziti iskaze koji su

tacni za sve x, y, z ∈ G: 1) x · x = x 2) x · y = y · (x · e) 3) x · (y · x) = (x · x) · y

4) e · (x · e) = e · e 5) e · e = e 6) x · (y · z) = (x · z) · y

• Popuniti Kejlijevu tablicu grupoida (Z4,+4): +4 0 1 2 3

0 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

• Zaokruziti prstenove:

1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (R,+, ·) 4) (Z3,+, ·) 5) (Z4,+, ·) 6) (R, ·,+)

• U polju (Z5,+5) izracunati: (3−1 + 2)−1 − 4 · 2 = 1 −(2 + 2) · 4−1 + 2 · 1−1 = 1

ZADACI

1. Neka je f : A → B, f(x) =2x+ 1

3− x. Odrediti maksimalan skup A ⊆ R i minimalan skup B ⊆ R za

koje je funkcija f : A → B dobro definisana. Ispitati sirjektivnost i injektivnost funkcije f . Izracunati(f ◦ f)(x).Resenje:

(a) Ocigledno je A = R \ {3}.(b) Za svako y ∈ R je

y ∈ B ⇔ ∃x ∈ A, f(x) = y ⇔ ∃x ∈ A,2x+ 1

3− x= y / · (3− x) ⇔

⇔ ∃x ∈ A, 2x+ 1 = y(3− x) ⇔ ∃x ∈ A, x(2 + y) = 3y − 1,

pri cemu poslednja jednacina za y = −2 nema resenja, a za y = −2 postoji x ∈ A takvo da je

x =3y − 1

2 + y∈ A tj.

x =3y − 1

2 + y= 3 / · (2 + y) = 0 ⇔ 3y − 1 = 3(2 + y) = 6 + 3y ⇔ −1 = 6,

sto je tacno. Dakle, B = R \ {−2}.(c) Kako je

f(x1) = f(x2) ⇔ 2x1 + 1

3− x1=

2x2 + 1

3− x2/ · (3− x1)(3− x2) = 0 ⇔

⇔ (2x1+1)(3−x2) = (2x2+1)(3−x1) ⇔ 6x1−x2−2x1x2+3 = 6x2−x1−2x1x2+3 ⇔⇔ 6x1 − x2 = 6x2 − x1 ⇔ 6(x1 − x2) = x2 − x1 ⇔ 7(x1 − x2) = 0 ⇔ x1 = x2,

sledi da je funkcija f injektivna.

(d) Funkcija f je sirjektivna po konstrukciji skupa B.

(e) (f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f(2x+ 1

3− x) =

22x+13−x + 1

3− 2x+13−x

=

2(2x+1)+3−x3−x

3(3−x)−(2x+1)3−x

=3x+ 5

−5x+ 8.

2. U kutiji se nalazi pet crnih kuglica koje su numerisane brojevima 1, 3, 5, 7 i 9, i cetiri bele kuglicekoje su numerisane brojevima 2, 4, 6 i 8. Vuku se tri kuglice odjednom.(a) Na koliko razlicitih nacina se mogu izvuci tri crne kuglice?(b) Na koliko razlicitih nacina se mogu izvuci tri kuglice istih boja?(c) Na koliko razlicitih nacina se mogu izvuci tri kuglice tako da je zbir brojeva na njima paran broj?

Resenje:

(a)

(5

3

)= 10.

(b)

(5

3

)+

(4

3

)= 10 + 4 = 14.

(c)

(4

3

)+

(4

1

)·(5

2

)= 4 + 4 · 10 = 44.

3. Ispitati SVE aksiome polja za strukturu (A,⊕,⊙), gde je A = R2, i za sve (a, b), (c, d) ∈ A je

(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d), (a, b)⊙ (c, d) = (a · c, b · d).Resenje:

(a) Ispitujemo par (A,⊕).

(a.1) Zatvorenost operacije ⊕ na A: za sve (a, b), (c, d) ∈ A (tj. sve a, b, c, d ∈ R) je(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d) ∈ A (jer a+ c, b+ d ∈ R).

(a.2) Asocijativnost operacije ⊕: za sve (a, b), (c, d), (e, f) ∈ A (tj. sve a, b, c, d, e, f ∈ R) je((a, b)⊕ (c, d))⊕ (e, f) = (a+ c, b+ d)⊕ (e, f) = ((a+ c) + e, (b+ d) + f) == (a+ (c+ e), b+ (d+ f)) = (a, b)⊕ (c+ e, d+ f) = (a, b)⊕ ((c, d)⊕ (e, f)).

(a.3) Komutativnost operacije ⊕: za sve (a, b), (c, d) ∈ A (tj. sve a, b, c, d ∈ R) je(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d) = (c+ a, d+ b) = (c, d)⊕ (a, b).

(a.4) Postoji neutralni element (0, 0) ∈ A jer za sve (a, b) ∈ A vazi(0, 0)⊕ (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b) i (a, b)⊕ (0, 0) = (a+ 0, b+ 0) = (a, b).

(a.5) Za svako (a, b) ∈ A postoji inverzni element (−a,−b) ∈ A jer vazi(−a,−b)⊕ (a, b) = (−a+ a,−b+ b) = (0, b) i (a, b)⊕ (−a,−b) = (a− a, b− b) = (0, 0).

(b) Ispitujemo par (A,⊙).

(b.1) Zatvorenost operacije ⊙ na A: za sve (a, b), (c, d) ∈ A (tj. sve a, b, c, d ∈ R) je(a, b)⊙ (c, d) = (ac, bd) ∈ A (jer ac, bd ∈ R).

(b.2) Asocijativnost operacije ⊙: za sve (a, b), (c, d), (e, f) ∈ A (tj. sve a, b, c, d, e, f ∈ R) je((a, b)⊙ (c, d))⊙ (e, f) = (ac, bd)⊙ (e, f) = ((ac)e, (bd)f) == (a(ce), b(df)) = (a, b)⊙ (ce, df) = (a, b)⊙ ((c, d)⊙ (e, f)).

(c) Ispitujemo distributivnost ⊙ prema ⊕. Leva distributivnost vazi jer za sve (a, b), (c, d), (e, f) ∈ Aimamo(a, b)⊙ ((c, d))⊕ (e, f)) = (a, b)⊙ (c+ e, d+ f) = (a(c+ e), b(d+ f)) == (ac+ ae, bd+ bf) = (ac, bd)⊕ (ae, bf) = ((a, b)⊙ (c, d))⊕ ((a, b)⊙ (e, f)).Iz leve distributivnost ⊙ prema ⊕ i komutativnosti operacije ⊙ sledi i desna distributivnost ⊙prema ⊕.

(d) Ispitujemo par (A \ {(0, 0)},⊕).

(d.1) Operacija ⊙ nije zatvorena na A \ {(0, 0)} jer za npr. (2, 0), (0, 2) ∈ A \ {(0, 0)} imamo(2, 0)⊙ (0, 2) = (0, 0) ∈ A \ {(0, 0)}.

(d.2) Asocijativnost operacije ⊙ vazi na A \ {(0, 0)} jer vazi na A.

(d.3) Komutativnost operacije ⊙ vazi na A \ {(0, 0)} jer vazi na A.

(d.4) Postoji neutralni element (1, 1) ∈ A \ {(0, 0)} jer za sve (a, b) ∈ A \ {(0, 0)} vazi(1, 1)⊕ (a, b) = (1 · a, 1 · b) = (a, b) i (a, b)⊕ (1, 1) = (a · 1, b · 1) = (a, b).

(d.5) Nema svako (a, b) ∈ A\{(0, 0)} inverzni element u A\{(0, 0)}. Na primer, inverzni element za(−2, 3) ∈ A\{(0, 0)} je (−1

2 ,13) ∈ A\{(0, 0)}, dok npr. inverzni element za (0, 3) ∈ A\{(0, 0)}

ne postoji jer za svako (a, b) ∈ A \ {(0, 0)} imamo (0, 3)⊙ (a, b) = (0, 3b) = (1, 1).

Iz (a), (b) i (c) sledi da (A,⊕,⊙) jeste prsten, ali nije polje zbog (d.1) (kao i zbog (d.5)).

MATEMATIKA 1 KOLOKVIJUM 1

Prezime, ime, br. indeksa: 14.12.2012

PREDISPITNE OBAVEZE

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti ima naskupu {a, b, c} relacija α = {(a, b), (b, c), (a, a)}: R S A T

• Za funkcije f : R → R, f (x) = 2x i g : R → R, g (x) = 3x izracunati

f ◦ f : R → R, (f ◦ f) (x) = 4x

f ◦ g : R → R, (f ◦ g) (x) = 6x

• Zaokruziti komutativne grupe: 1) (N,+) 2) (Z,+) 3) (Q,+) 4) (R,+)

• Zaokruziti polja: 1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (Q,+, ·) 4) (R,+, ·)

• Zaokruziti iskaze koji su tacni u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1) za sve x, y, z ∈ B:

1) x+ y = y + x 2) x+ x = x 3) x(y + z) = xy + xz 4) x+ yz = (x+ y)(x+ z)

TEST

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti imaju rela-cije α, β i γ na skupu Z.

α ={(x, y) ∈ Z2

∣∣ xy = 0}: R S A T

β ={(x, y) ∈ Z2

∣∣ xy = 1}: R S A T

γ ={(x, y) ∈ Z2

∣∣ x2 = y2}: R S A T


1) f : R → R, f (x) = x 2) f : [0,∞) → [0,∞) , f (x) =√x 3) f : [0,∞) → R, f (x) =

√x

4) f : [0,∞) → [0,∞) , f (x) = x3 5) f : R → R, f (x) = x3 6) f : R → R, f (x) = ex

• Za funkcije f =

(1 2 3 44 3 2 1

)i g =

(1 2 3 42 2 2 2


izracunati

f−1 =

(1 2 3 44 3 2 1

)f ◦ g =

(1 2 3 43 3 3 3

)g ◦ f =

(1 2 3 42 2 2 2

)f ◦ f =

(1 2 3 41 2 3 4

)• Za skupove A = {1, 2, 3} i B = {1, 2} izracunati

1) |{f | f : A → B}| = 23 = 8 2)∣∣∣{f | f : A

1−1→ B}∣∣∣ = 0 3)

∣∣∣{f | f : Ana→B}

∣∣∣ = 8− 2 = 6

4) |{f | f : B → A}| = 32 = 9 5)∣∣∣{f | f : B

1−1→ A}∣∣∣ = 3 · 2 = 6 6)

∣∣∣{f | f : Bna→A}

∣∣∣ = 0

• Zaokruziti grupe:

1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (Z,−) 4) ((0,∞) ,+) 5) ([0,∞) ,+) 6) ((0,∞) , ·) 7) ([0,∞) , ·)



4) e · (x · e) = e · e 5) e · e = e 6) x · (y · z) = (x · z) · y

• Popuniti Kejlijevu tablicu grupoida (Z4, ·4): ·4 0 1 2 3

0 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

• Zaokruziti polja:

1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (R,+, ·) 4) (Z3,+, ·) 5) (Z4,+, ·) 6) (R, ·,+)

• U polju (Z7,+7) izracunati: (3−1 + 2)−1 − 4 · 2 = / −(2 + 2) · 4−1 + 2 · 1−1 = 1

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):

1) (a+ b)′ = a′b′ 2) (a+ b)′ = a′ + b′ 3) a+ b = b+ a 4) ab = ba 5) a(a+ a) = a

6) a(a+ a) = 1 7) 1 + 1 = 1 8) 0 + 1 = 1 9) a+ 1 = a

ZADACI

1. Neka je f : A → B, f (x) =√3− x. Odrediti maksimalan skup A ⊆ R i minimalan skup B ⊆ R za

koje je funkcija f : A → B dobro definisana. Ispitati sirjektivnost i injektivnost funkcije f . Izracunatiinverznu funkciju f−1 funkcije f , ukoliko postoji.

Resenje:

A = (−∞, 3], B = [0,∞).

Funkcija f je sirjektivna po konstrukciji skupa B.

Kako je za x1, x2 ∈ A = (−∞, 3]

f (x1) = f (x2) ⇔√3− x1 =

√3− x2 ⇔ 3− x1 = 3− x2 ⇔ x1 = x2

sledi da je funkcija f injektivna.

Kako je

y = f (x) =√3− x ⇔ y2 = 3− x ⇔ x = 3− y2,

sledi da je inverzna funkcija f : B → A definisana sa f−1 (x) = 3− x2.

2. Na skupu realnih brojeva R je definisana binarna operacija ∗ sa

∀x, y ∈ R, x ∗ y = x+ y − xy.

Ispitati asocijativnost, komutativnost, idempotentnost, egzistenciju neutralnog i inverznih elemenata,kao i egzistenciju nilpotentnog elementa za operaciju ∗.Resenje:

Operacija ∗ jeste asocijativna jer je L = D, gde je

L = (x ∗ y) ∗ z = (x+ y − xy) ∗ z = (x+ y − xy) + z − (x+ y − xy)z == x+ y + z − xy − xz − yz + xyz,

D = x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (y + z − yz) = x+ (y + z − yz)− x(y + z − yz) == x+ y + z − yz − xy − xz + xyz.

Takode je i komutativna jer je

x ∗ y = x+ y − xy = y + x− yx = y ∗ z.Idempotentna nije jer je npr. 3 ∗ 3 = 3 + 3− 3 · 3 = −3 = 3.

Neutralni element je 0 jer je 0 ∗ x = 0 + x− 0 · x = x, i x ∗ 0 = x+ 0− x · 0 = x.

Inverzni element elementa x je x′ ako je

x ∗ x′ = 0 ⇔ x+ x′ − x · x′ = 0 ⇔ x′(1− x) = −x ⇔(x = 1 ∧ x′ = x

x−1

)∈ R,

ali za element 1 ne postoji inverzni element jer je 1 ∗ 1′ = 1 + 1′ − 1 · 1′ = 1 = 0 za svako 1′.

Nilpotentni element je 1 jer je 1 ∗ x = 1 + x− 1 · x = 1, i x ∗ 1 = x+ 1− x · 1 = 1.

3. Naci sve proste implikante i sve minimalne DNF Bulove funkcije

f (x, y, z, u) = xyzu′ + xyz′u′ + x′yzu′ + x′yz′u′ + x′y′zu+ x′y′zu′ + x′y′z′u+ x′y′z′u′.

Resenje:

u

u′

u

z′

z

x x′

y y′ y

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

Proste implikante: x′y′, yu′, x′u′.Minimalne disjunktivne normalne forme:MDNF = x′y′ + yu′.


PREDISPITNE OBAVEZE

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti ima relacijeα = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} na skupu {1, 2, 3}: R S A T

• Zaokruziti bijektivne funkcije: 1) f : R → R, f(x) = 2x+ 1 2) f : R → R, f(x) = −2x+ 1

3) f : R → R, f(x) = x2 4) f : R → R, f(x) = x2 − 2 5) f : R → R, f(x) = sinx

• Inverzna funkcija funkcije f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}, f =

(1 2 3

2 3 1

)je funkcija f−1 : {1, 2, 3} → {1, 2, 3},

f−1 =

(1 2 3

3 1 2

)• Broj varijacija sa ponavljanjem od 5 elemenata klase 3 je V

53 = 53 = 125

Broj varijacija bez ponavljanja od 5 elemenata klase 3 je V 53 = 5 · 4 · 3 = 60

• Zaokruziti komutativne grupe: 1) (R,+) 2) (R, ·) 3) (Z,+) 4) (Z, ·)

• Zaokruziti prstene: 1) (Z,+, ·) 2) (Q,+, ·) 3) (R,+, ·)

TEST


α = {(x, y) | y ≥ x+ 1}: R S A T

β = {(x, y) | y = x2}: R S A T

γ = {(x, y) | x · y = 0}: R S A T

• Zaokruziti sirjektivne funkcije:


4) f : [0,∞) → [0,∞), f(x) = x2 5) f : R → R, f(x) = sinx 6) f : R → R, f(x) = −2x+5

• Za funkcije f =

(1 2 3 43 4 1 2

)i g =

(1 2 3 41 1 3 3


izracunati

f−1 =

(1 2 3 43 4 1 2

)f ◦ g =

(1 2 3 43 3 1 1

)g ◦ f =

(1 2 3 43 3 1 1

)f ◦ f =

(1 2 3 41 2 3 4

)• Za skupove A = {1, 2} i B = {a, b} izracunati

1) |{f | f : A → B}| = 2 · 2 = 4 2)∣∣∣{f | f : A

1−1→ B}∣∣∣ = 2 · 1 = 2 3)

∣∣∣{f | f : Ana→B}

∣∣∣ = 2 · 1 = 2

4) |{f | f : B → A}| = 2 · 2 = 4 5)∣∣∣{f | f : B

1−1→ A}∣∣∣ = 2 · 1 = 2 6)

∣∣∣{f | f : Bna→A}

∣∣∣ = 2 · 1 = 2


(86

)= 8!

6!·2! = 28


(8+6−1

6

)= 13!

6!·7! = 1716

• Zaokruziti grupe:

1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (Z,−) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ((0,∞), ·) 7) ([0,∞), ·)

• Zaokruziti podgrupe grupe (R,+):

1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (N,+) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ({0},+) 7) (Q,+)



4) e · (x · e) = e · e 5) e · e = e 6) x · (y · z) = (x · z) · y

• Popuniti Kejlijevu tablicu grupoida (Z3, ·3): ·3 0 1 2

0 0 0 01 0 1 22 0 2 1


1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (R,+, ·) 4) (Z3,+, ·) 5) (Z4,+, ·) 6) (R, ·,+)

• U polju (Z3,+3) izracunati: (2−1 + 2)−1 − 1 · 2 = 2 −(2 + 0) · 1−1 + 2 · 1−1 = 0

ZADACI

1. Date su funkcije f : A → R, f(x) =1√

x2 − 1i g : A → R, g(x) = e−x.

(a) Odrediti maksimalne domene A ⊆ R i B ⊆ R funkcija f i g.

(b) Ispitati sirjektivnost i injektivnost funkcije f .

(c) Izracunati (f ◦ g)(x).(d) Izracunati f−1(x) i g−1(x) ako postoje (ako ne postoje, obrazloziti zasto).

Resenje:

(a) A(−∞,−1) ∪ (1,∞) (jer mora biti√x2 − 1 = 0 i x2 − 1 ≥ 0).

B = R (jer je eksponencijalna funkcija definisana na celom skupu R).

(b) Funkcija f nije sirjektivna jer je√x2 − 1 > 0 i f(x) =

1√x2 − 1

> 0 za sve x ∈ A, te za y ≤ 0

ne postoji x ∈ A takvo da je f(x) = y. Injektivna takode nije jer je npr. f(−2) = f(2) = 1√3za

−2 = 2.

(c) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) =1√

(e−x)2 − 1=

1√e−2x − 1

, za e−2x − 1 > 0, odnosno e−2x > 1, odnosno

−2x > 0, odnosno x < 0.

(d) Funkcija f−1(x) ne postoji jer funkcija f nije bijektivna (nije ni injektivna ni sirjektivna). Funk-cija g−1 : R → B = R takode ne postoji jer g nije sirjektivna funkcija, jer je et > 0 za ∀t ∈ R, teza y ≤ 0 ne postoji x ∈ R takvo da je g(x) = y. Ali, funkcija g je injektivna, jer je kompozicijainjektivnih funkcija y = −x i y = et, tako da za funkciju g : R → (0,∞), g(x) = e−x postojiinverzna funkcija g−1 : (0,∞) → R, g−1(y) = − ln y (jer je e−x = y ⇔ −x = ln y ⇔ x = − ln y).

2. Na koliko razlicitih nacina se moze izabrati 8 karata iz spila od 52 karte tako da medu izabranimkartama bude

(a) tacno 2 sedmice i 3 keca,

(b) tacno 2 sedmice i bar 3 keca?

Resenje: Oznacimo sa si broj nacina izbora i sedmica, sa kj broj nacina izbora j keceva, a saok broj nacina izbora k karata medu kojima nema ni sedmica ni keceva (takvih karata u spilu ima52− 4− 4 = 44). Koristeci pravilo proizvoda izracunavamo

(a) s2k3o3 =

(4

2

)·(4

3

)·(44

3

)= 317856.

(b) s2k3o3 + s2k4o2 =

(4

2

)·(4

3

)·(44

3

)+

(4

2

)·(4

4

)·(44

2

)= 317856 + 5676 = 323532.

3. Neka je A = {1, 2, 3, 4} i ∗ 1 2 3 4

1 2 1 4 32 1 2 3 43 4 3 1 24 3 4 2 1

Za strukturu (A, ∗) ispitati (sa obrazlozenjem)

(a) komutativnost operacije ∗,(b) idempotentnost operacije ∗,(b) egzistenciju neutralnog elementa,

(b) egzistenciju inverznih elemenata.

Resenje:

(a) Operacija ∗ je komutativna jer je tablica simetricna u odnosu na glavnu dijagonalu.

(b) Operacije ∗ nije idempotentna jer je npr. 3 ∗ 3 = 1 = 3.

(b) Neutralnog element postoji i to je 2, jer su vrsta i kolona elementa 2 jednaki granicnoj vrsti igranicnoj koloni.

(b) Neutralni element je 2, te su inveryni elementi redom 1−1 = 1 (jer je 1 ·1 = 2), 2−1 = 2 (neutralnielement je uvek sam sebi inverzni element), 3−1 = 4 (jer je 3 · 4 = 4 · 3 = 2), 4−1 = 3 (jer je3 · 4 = 4 · 3 = 2).


PREDISPITNE OBAVEZE


1) (ab)′ = a′b′ 2) a+ b = ab 3) a+ a′ = 1 4) aa′ = 1 5) 1 + 1 = 1 6) a+ 1 = 1

• Pri delenju polinoma P (x) = (x2 + 3)(x4 − 1) polinomom Q(x) = x2 + 3 dobija se

kolicnik x4 − 1 i ostatak 0

Skup svih realnih korena polinoma P (x) je { −1, 1 }

• Za kompleksne brojeve z = 1− 5i i w = −1 + 2i je

z + w = −3i , z − w = 2− 7i , |z| =√26 ,

z = 1 + 5i , Re(z) = 1 , Im(z) = −5 .

• Za matrice A =

[−2 −5 91 2 −1

]i B =

[−2 −1 2−3 5 6

]je

2 ·A =

[−4 −10 182 4 −2

]A+B =

[−4 −6 11−2 7 5

]

• Napisati skup resenja R sistema linearnih jednacinax − 2y = 32x − 4y = 5

R = ∅

TEST

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b, c ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):

1) a+ a′′ = 1 2) a+ a′′ = a 3) a+ a′′ = 0 4) a(b+ c) = ba+ ca 5) (ab)′ = a′ + b′

• Za A = {a, b, c} i Bulovu algebru (P(A),∪,∩, , ∅, A), zaokruziti njene podalgebre:

1) ({{a}, {b, c}},∪,∩, , {a}, {b, c}) 2) ({{a}, {b, c}},∪,∩, , ∅, A) 3) ({∅, A},∪,∩, , ∅, A)

4) ({∅, A, {a}, {b, c}},∪,∩, , ∅, A) 5) ({∅, A, {a}, {b}, {c}},∪,∩, , ∅, A)

6) ({{a}, {b}, {c}},∪,∩, , ∅, A) 7) (P(A),∪,∩, , ∅, A)

• Deljenjem polinoma P (x) = x5 − 2x4 − x3 + 4x2 − 1 polinomom Q(x) = x3 − x+ 1 se dobija

kolicnik x2 − 2x i ostatak x2 + 2x− 1

• Za koje vrednosti parametra a ∈ R je broj 2 koren polinoma P (x) = 2x4 − 3x2 − 2ax+ 6a?

a ∈ { −10 }

• Za kompleksne brojeve z = −2 + 5i i w = −2− 2i je

z + w = −4 + 3i , zw = 14− 6i ,z

w= −3

4− 7

4i , |z| =

√29 ,

arg(w) = −34π , z = −2− 5i , Re(z) = −2 , Im(z) = 5 .

• Izracunati, u skupu kompleksnih brojeva, 4√−16 = { 2e

π4i, 2e

3π4i, 2e−

3π4i, 2e−

π4i, }

• Izracunati inverznu matricu matrice A =

[2 −3−2 −2

]:

A−1 =

[210 − 3

10− 2

10 − 210

]

• Za matrice A =

[1 −3 21 3 −1

], B =

−3 1 −10 3 21 4 −5

i C =[−2 −3 4

]izracunati

detB = 74 AB =

[−1 0 −17−4 6 10

]CB =

[10 5 −24

]−2 ·A =

[−2 6 −4−2 −6 2

]

• Sistem linearnih jednacina2x − 2y + 5z = 10x − y + 3z = 5

je:

1) kontradiktoran 2) odreden 3) 1 puta neodreden 4) 2 puta neodreden 5) 3 puta neodreden

• Skup resenja sistema linearnih jednacinax − y = 22x − 2y = 4

je: {(α+ 2, α) | α ∈ R}

• Za koju vrednost parametra a ∈ R je sistem linearnih jednacinax − 4y = 1x − a2y = 3

odreden:

a ∈ R \ { −2, 2 }

ZADACI

1. Naci sve proste implikante i minimalne DNF Bulove funkcije f date izrazom u obliku SDNF ,

f(x, y, z, u) = xyzu+ xyz′u+ xy′zu′ + xy′z′u′ + x′yzu′ + x′yz′u+ x′yz′u′ + x′y′zu′ + x′y′z′u′

Resenje:

u

u′

u

z′

z

x x′

y y′ y

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

Proste implikante: y′u′, x′u′, xyu, yz′u, x′yz′.Minimalne disjunktivne normalne forme:MDNF1 = y′u′ + x′u′ + xyu+ yz′u,MDNF2 = y′u′ + x′u′ + xyu+ x′yz′.

2. Resiti po z ∈ C jednacinu: (2 + i)2 + 2Re

(1 + i

1− i

)z − 2iz = 1− 2i.

Resenje:

(2 + i)2 = 3 + 4i,1 + i

1− i=

1 + i

1− i· 1 + i

1 + i=

2i

2= i,

te je data jednacina ekvivalentna sa

3 + 4i+ 2Re (i) z − 2iz = 1− 2i ⇔ 3 + 4i+ 2 · 0 · z − 2iz = 1− 2i ⇔⇔ 3 + 4i− 2iz = 1− 2i ⇔ −2iz = −2− 6i ⇔ iz = 1 + 3i / · (−i) ⇔⇔ −i2z = −i− 3i2 ⇔ z = 3− i.

3. (a) Izracunati inverznu matricu matrice A =

2 −1 3−1 −2 21 −2 3

(b) Diskutovati po parametru a ∈ R sistem linearnih jednacina

x + 2y − 3z = 2−x − 3y + 2z = −12x + 3y − az = 3

Resenje:

(a) A−1 =

−23 −1 4

353 1 −7

343 1 −5

3

(b) Dodavanjam prve jednacine na drugu, i dodavanjem prve jednacine pomnozene sa −2 trecoj

dobijamo ekvivalentan sistemx + 2y − 3z = 2

− y − z = 1− y + (6− a)z = −1

.

Oduzimanjem druge jednacine od trece dobijamo sistem u trougaonom oblikux + 2y − 3z = 2

− y − z = 1(7− a)z = −2

, odakle sledi da

(1) za a = 7 je sistem kontradiktoran;

(2) za a = 7 je sistem odreden.


PREDISPITNE OBAVEZE

• Koji su od navedenih brojeva koreni polinoma P (x) = x4 + 3x3 − 9x2 + 3x− 10 (zaokruziti):

0 −1 2 −2 4 10


1) (a+ b)′ = a′b′ 2) a+ b = b+a 3) a+a′ = 0 4) a+a′ = 1 5) a+a = 1 6) a+1 = 1

• Pri delenju polinoma P (x) = (x− 3)(x4 + 1) polinomom Q(x) = x4 + 1 dobija se

kolicnik x− 3 i ostatak 0

• Za kompleksne brojeve z = 4 + 5i i w = −1 + i je

z + w = 3 + 6i , |z| =√41 , z = 4− 5i , Re(z) = 4 .

• Za matrice A =

[2 −31 3

]i B =

[−2 10 4

]je

detA = 9 A+B =

[0 −21 7

]


R = {(1,−1)}

TEST


1) a+ ab = b 2) a+ ab = a 3) a+ bc = (a+ b)(a+ c) 4) a+ b′ = a′b 5) (ab)′ = a′b′

• Napisati u obliku SDNF Bulov izraz

(x+ y′)′ + x′(z + yz) = x′yz + x′yz′ + x′y′z

• Deljenjem polinoma P (x) = 2x5 − 3x4 + x2 − 3 polinomom Q(x) = x2 + x+ 1 se dobija

kolicnik 2x3 − 5x2 + 3x+ 3 i ostatak −6x− 6

• Za koje vrednosti parametra a ∈ R je broj −2 koren polinoma P (x) = x3 + 3x2 − ax+ 4?

a ∈ { −4 }


z + w = 3 + 6i , zw = −9− i ,z

w=

1

2− 9

2i , |z| =

√41 ,

arg(w) =3π

4, z = 4− 5i , Re(z) = 4 , Im(z) = 5 .

• Izracunati 3√−1 + i = { 6

√2ei

3π12 ,

6√2ei

11π12 ,

6√2e−i 5π

12 }


[2 −34 −5

]:

A−1 =

[−5

2

3

2−2 1

]

• Za matrice A =

[2 −3 21 3 −1

], B =

−3 1 −10 3 22 4 −5

i C =[−2 3 4

]izracunati

detB = 79 AB =

[−2 1 −18−5 6 10

]CB =

[14 23 −12

]−2 ·A =

[−4 6 −4−2 −6 2

]


je:



je:


• Za koju vrednost parametra a ∈ R je sistem linearnih jednacina2x − 4y = 1x − ay = 1

odreden:

a ∈ R \ {2}

ZADACI



Resenje:

u

u′

u

z′

z

x x′

y y′ y

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

Proste implikante: y′u′, x′u′, xyu, yz′u, x′yz′.Minimalne disjunktivne normalne forme:MDNF1 = y′u′ + x′u′ + xyu+ yz′u,MDNF2 = y′u′ + x′u′ + xyu+ x′yz′.


(z + 1

2

)− iIm

(2 + z

1− i

)+ z = 5 + 5i.

Resenje: Neka je z = x+ yi, gde je x, z ∈ R. Tada je

Re

(z + 1

2

)= Re

(x− yi+ 1

2

)=

x+ 1

2,

Im

(2 + z

1− i

)= Im

(2 + x+ yi

1− i

)= Im

((2 + x+ yi)(1 + i)

2

)=

2 + x+ y

2,

(2 + i)3 = 23 + 3 · 22i+ 3 · 2i2 + i3 = 2 + 11i.

Uvrstavanjem u jednacinu sledi

2 + 11i+ 2x+ 1

2− i

2 + x+ y

2+ x− iy = 5 + 5i,

odnosno

3 + 2x+

(10− x+ 3y

2

)i = 5 + 5i.

Izjednacavanjem realnog dela kompleksnog broja na levoj strani jednakosti sa realnim delom kom-pleksnog broja na desnoj strani jednakosti, i izjednacavanjem njihovih imaginarnih delova dobijaju serealne jednacine 3+ 2x = 5 i x+3y = 10, po nepoznatim x, y ∈ R, cijim resavanjem dobijamo x = 1 iy = 3. Dakle, resenje polazne kompleksne jednacine je z = 1 + 3i.

3. (a) Resiti po x, y, z ∈ R sistem linearnih jednacinax + 2y − z = 2

−x − 3y + 2z = −12x + 3y − z = 5

Resenje: Ako prvu jednacinu dodamo na drugu, a zatim prvu jednacinu pomnozenu sa −2 dodamo na

trecu, dobijamo ekvivalentan sistemx + 2y − z = 2

− y + z = 1− y + z = 1

. Zatim, oduzimanjem druge jednacine

od trece dobijamo ekvivalentan sistem u trougaonom oblikux + 2y − z = 2

− y + z = 1, odakle vidimo

da je on 1 puta neodreden, i zamenom unatrag dobijamo z = α ∈ R, y = α− 1 i x = −α+4, odnosnoskup resenja sistema je R = {(−α+ 4, α− 1, α) | α ∈ R}.(b) Diskutovati po parametru a ∈ R sistem linearnih jednacina

x + 2y − z = 2−x − 3ay + 2z = −12x + 3y − az = 5

Resenje: Ako prvu jednacinu dodamo na drugu, a zatim prvu jednacinu pomnozenu sa −2 dodamo

na trecu, dobijamo ekvivalentan sistemx + 2y − z = 2

(2− 3a)y + z = 1−y + (2− a)z = 1

. Zamenom druge i

trece jednacine, a zatim, dodavanjem druge jednacine pomnozene sa 2− 3a trecoj jednacini dobijamo

ekvivalentan sistem u trougaonom oblikux + 2y − z = 2

−y + (2− a)z = 1(3a2 − 8a+ 5)z = 3− 3a

.

Kako je 3a2 − 8a+ 5 + 0 za a1,2 =8±

√64− 60

2= {3, 5}, dobijamo sledece slucajeve:

(1) Za sve a ∈ {3, 5} je sistem (jednoznacno) odreden.

(2) Za a = 3 je sistem ekvivalentan sax + 2y − z = 2

−y − z = 10 = −6

,

te je u ovom slucaju kontradiktoran.

(3) Za a = 3 je sistem ekvivalentan sax + 2y − z = 2

−y − 3z = 10 = 12

,

te je u ovom slucaju takode kontradiktoran.

KOLOKVIJUM 1Prezime, ime, br. indeksa: RESENJA 18.03.2012

PREDISPITNE OBAVEZE

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti ima relacijaekvivalencije α: R S A T

Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti ima relacijaporetka β: R S A T

• Zaokruziti injektivne (”1− 1”) funkcije skupa A = {1, 2, 3} u skup B = {1, 2, 3, 4}:

1) f =

(1 2 3

1 2 3

)2) f =

(1 2 3

1 2 4

)3) f =

(1 2 3

1 1 1

)4) f =

(1 2 3

4 4 4

)5) f =

(1 2 3

1 2 1

)• Zaokruziti sirjektivne (

”na”) funkcije skupa A = {1, 2, 3} u skup B = {1, 2, 3, 4}:

1) f =

(1 2 3

1 2 3

)2) f =

(1 2 3

1 2 4

)3) f =

(1 2 3

1 1 1

)4) f =

(1 2 3

4 4 4

)5) f =

(1 2 3

1 2 1

)

• Broj kombinacija bez ponavljanja od 5 elemenata klase 3 je C53 =

(5

3

)= 10

• Ako je (A, ∗) grupa, tada vazi (zaokruziti):

1) ∀x, y ∈ A, x ∗ y = y ∗ x 2) ∀x ∈ A, x ∗ x = x 3) skup A je konacan 4) postoji neutralni

element e u skupu A (∀x ∈ A, x ∗ e = e ∗ x = x) 5) ∀x, y, z ∈ A, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

TEST

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti imaju rela-cije α, β i γ na skupu prirodnih brojeva N.

α = {(x, y) | |x− y| je paran broj}: R S A T

β = {(x, y) | y = 1}: R S A T

γ = {(x, y) | x+ y = y + x}: R S A T

• Zaokruziti koje osobine na skupu F = {f | f : R → R} (skupu svih funkcija iz R u R) ima kompozicijafunkcija ◦. Neka su f, g, h ∈ F i neka je iR : R → R, iR(x) = x identicka funkcija skupa R.

1) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) (asocijativnost) 2) f ◦ g = g ◦ f (komutativnost)

3) f ◦ f = f (idempotentnost) 4) f ◦ f = iR 5) iR ◦ iR = iR

6) iR ◦ f = f ◦ iR = f (iR je neutralni element) 7) iR ◦ f = f ◦ iR = iR


1) f : R → R, f(x) = x3 2) f : [0,∞) → R, f(x) = x3 3) f : {0} → {0}, f(x) = x3

4) f : R → R, f(x) ≡ 1 5) f : {1} → {1}, f(x) ≡ 1 6) f : (0,∞) → R, f(x) = lnx

7) f : R → R, f(x) = ex 8) f : R → (0,∞), f(x) = ex

• Za funkcije f : R → R, f(x) = −2x + 4 i g : R → R, g(x) = x2 izracunati (ako postoji - napisaticrticu ako ne postoji)

f−1 : R → R, f−1(x) = 2− 1

2x g−1 : R → R, g−1(x) = ne postoji

f ◦g : R → R, (f ◦g)(x) = −2x2 + 4 g◦f : R → R, (g◦f)(x) = (−2x+ 4)2 = 4x2 − 16x+ 16

• 1) Koliko ima 6-ocifrenih brojeva cije su sve cifre neparni brojevi? 56 = 15625

2) Koliko ima 6-ocifrenih brojeva cije su prve dve cifre neparni brojevi? 52 · 104 = 250000


1) (Z,+) 2) (Z,−) 3) (Z, ·) 4) (N,+) 5) (N ∪ {0},+)

6) (N, ·) 7) ({0},+) 8) ({0, 1},+) 9) ({0, 1}, ·)


1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (N,+) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ({0},+) 7) (Q,+)

• Neka je (G, ·) grupoid sa neutralnim elementom e. Zaokruziti iskaze koji su tacni za sve x, y, z ∈ G:

1) x · x = x 2) x · y = y · (x · e) 3) x · (y · x) = (x · x) · y

4) e · (x · e) = e · e 5) e · e = e 6) x · (y · z) = (x · z) · y

• Neka je (P,+, ·) prsten sa neutralnim elementom 0 operacije +, i neutralnim elementom 1 operacije ·.Zaokruziti iskaze koji su tacni za sve x, y, z ∈ P :

1) x+ x = x 2) x(y + z) = xy + xz 3) x+ 0 = x 4) x+ 1 = x 5) x+ 1 = 1

6) x+ (y + z) = z + (y + x) 7) x · (y · z) = (x · z) · y 8) 1 · 1 = 1


1) ({0, 1},+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (C,+, ·) 4) (N,+, ·) 5) (Z4,+, ·) 6) (R,+, ·)

• U polju (Z7,+3) izracunati: (5−1 + 2)−1 − 4 · 2 = 2 (2 + 6) · 2 + 4 · 1−1 = 6

ZADACI

1. Date su funkcije f : R → R, f (x) = 8x3 i g :(−π

2,π

2

)→ R, g (x) = tg x.

(a) Ispitati injektivnost i sirjektivnost funkcije f .

(b) Ispitati injektivnost i sirjektivnost funkcije g.

(c) Izracunati (ako postoji) f−1.

Resenje:

-2 -1 1 2

-60

-40

-20

20

40

60

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-6

-4

-2

2

4

6

(a) Sa grafika funkcije f vidimo da je ona i injektivna (jer je rastuca te za x1 < x2 vazi f (x1) < f (x2)a ne f (x1) = f (x2)), i sirjektivna jer svako y ∈ R ima svoj original x ∈ R.

(b) Sa grafika funkcije g vidimo da je ona i injektivna (jer je rastuca te za x1 < x2 vazi g (x1) < g (x2)a ne g (x1) = g (x2)), i sirjektivna jer svako y ∈ R ima svoj original x ∈

(−π

2 ,π2

).

(c) y = f (x) = 8x3 ⇔ 3√y =

3√8x3 = 2x ⇔ x =

1

23√y,

odnosno f−1 (x) =1

23√x.

2. (a) Fabrika proizvodi kapute, od koji svaki moze biti od vunenog ili pamucnog stofa, svaki moze bitiu crnoj, sivoj, plavoj i braon boji, i svaki moze biti u velicinama S, M, L, XL, XXL i XXXL.Koliko razlicitih kaputa proizvodi fabrika?

(b) Na sahovskom turniru ucestvuje 12 sahista. Ako svaki sahista treba da odigra po jednu partijusa svim ostalim sahistima, koliko ce ukupno partija biti odigrano na turniru?

Resenje:

(a) Kaputi se prave od 2 moguca materijala, u 4 moguce boje, i 6 mogucih velicina, te postoji ukupno2 · 4 · 6 = 48 razlicitih kaputa koje fabrika pravi.

(b) Bice odigrano onoliko partija koliko ima parova sahista, tj. koliko ima dvoclanih podskupovaskupa od 12 sahista, a taj broj je C12

2 = 12·112 = 66.

3. U skupu Z3 = {0, 1, 2} je operacija ∗ definisana sa

∀x, y ∈ Z3, x ∗ y = x+ y + x · y,gde su + i · redom skracene oznake za +3 i ·3 (sabiranje i mnozenje po modulu 3).

(a) Popuniti Kejlijeve tablice operacije ∗ na skupu Z3.

(b) Ispitati komutativnost operacije ∗, kao i egzistenciju neutralnog i inverznih elemenata u grupoidu(Z3, ∗).

Resenje:

(a) Operacija ∗ je zatvorena na skupu Z3 jer je definisana pomocu zatvorenih operacija +3 i ·3.Racunajuci redom x ∗ y za sve x, y ∈ Z3, na primer 0 ∗ 1 = 0 +3 1 +3 0 ·3 1 = 1 +3 0 = 1,2 ∗ 2 = 2+3 2+3 2 ·3 2 = 1+3 1 = 2, itd. popunjavamo Kejlijevu tablicu operacije ∗ na skupu Z3,i dobijamo

* 0 1 2

0 0 1 21 1 0 22 2 2 2

(b)(b.1) Operacija ∗ je komutativna jer je njena tablica simetricna u odnosu na glavnu dijagonalu.

(b.2) Element 0 je neutralni element u (Z3, ∗) jer je njegova vrsta jednaka granicnoj vrsti, i kolonajednaka granicnoj koloni.

(b.3) Neutralni element 0 je sam sebi inverzni element, a iz tablice vidimo da je element 1 takodesam sebi inverzni element, kao i da element 2 nema inverzni element (ne postoji element atakav da je 2 ∗ a = a ∗ 2 = 0 jer je 2 ∗ a = a ∗ 2 = 2 za sve a ∈ Z3).


PREDISPITNE OBAVEZE


1) (ab)′ = a′ + b′ 2) a+ a = a′ 3) a+ a = a 4) aa′ = 1 5) aa′ = 0

• Koliko najmanje elemenata ima svaka Bulova algebra: 2

• Za polinome P (x) = 2x3 − x2 + 1 i Q(x) = (x+ 1)2(x− 2) = x3 − 3x− 2 je

P (x) +Q(x) = 3x3 − x2 − 3x− 1 , P (x) ·Q(x) = 2x6 − x5 − 6x4 + 2x2 − 3x− 2 ,

a skup svih realnih korena polinoma Q(x) je {−1, 2}

• Za kompleksne brojeve z = −3− 4i i w = 2− 4i je

z + w = −1− 8i , z − w = −5 , |z| = 5 ,

z = −3 + 4i , Re(z) = −3 , Im(z) = −4 .

• Za matrice A =

[−2 −51 2

]i B =

[−2 −1−3 5

]je

2 ·A =

[−4 −102 4

]detA = 1 A+B =

[−4 −6−2 7

]

• Sistem linearnih jednacinax − 2y = 32x − 4y = 5

je:

1) kontradiktoran 2) jednoznacno odreden 3) 1 puta neodreden 4) 2 puta neodreden

• Sistem linearnih jednacinax − 2y + z = 32x − 4y + 2z = 6

je:


TEST


1) a+ a′′ = 1 2) a+ a′′ = a 3) a+ a′′ = 0 4) a(b+ c) = ba+ ca 5) (ab)′ = a′ + b′


(xy′)′ + x′(z + yz) = x′yz + x′yz′ + x′y′z + x′y′z′ + xyz + xyz′

• Deljenjem polinoma P (x) = −2x4 − x3 + 4x2 − 1 polinomom Q(x) = x3 − x+ 1 se dobija

kolicnik −2x− 1 i ostatak 2x2 + x

• Za koje vrednosti parametra a ∈ R je broj −3 koren polinoma P (x) = x3 + ax2 + x+ 6a?

a ∈ { 2 }

• Za kompleksne brojeve z = 4− 3i i w = −2i je

z + w = 4− 5i , zw = −6− 8i ,z

w=

3

2+ 2i , |z| = 5 ,

arg(w) = −π2 , z = 4 + 3i , Re(z) = 4 , Im(z) = −3 .

• Izracunati, u skupu kompleksnih brojeva,2√i = { ei

π4 , e−i 3π

4 }

• Za matricu A =

[3 −4−2 3

]izracunati:

detA = 1 A−1 =

[3 42 3

]

• Za matrice A =

[−2 −3 21 4 −1

], B =

−3 1 01 3 21 4 −2

i C =[−5 1 4

]izracunati

detB = 46 AB =

[5 −3 −100 9 10

]

CB =[20 14 −6

]−2 ·A =

[4 6 −4−2 −8 2

]


je:



je: {(1,−1)}

• Za koju vrednost parametra a ∈ R je sistem linearnih jednacinax − 4y + z = 1x − a2y − 2z = 3

odreden:

a ∈ ∅

ZADACI

1. Naci sve proste implikante i sve minimalne disjunktivne normalne forme Bulove funkcije date tablicom:

x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

z 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

u 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1

Resenje:

u

u′

u

z′

z

x x′

y y′ y

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

Proste implikante su: y′u′, xyu, xzu, xy′z,x′z′u, x′y′z′, yz′u.Minimalne disjunktivne normalne forme su:MDNF1 = y′u′ + xzu+ xyu+ x′z′u,MDNF2 = y′u′ + xzu+ yz′u++x′y′z′,MDNF3 = y′u′ + xzu+ yz′u+ x′z′u,MDNF4 = y′u′ + xy′z + xyu+ x′z′u.

2. Resiti po z ∈ C jednacinu: |z|2 + z2 = 8− 4i.

Resenje: Uvodenjem smene z = x+ iy dobijamo(√x2 + y2

)2+ x2 − y2 + 2ixy = 8− 4i ⇔ 2x2 + 2ixy = 8− 4i ⇔

⇔ (2x2 = 8 ∧ 2xy = −4) ⇔ (x2 = 4 ∧ xy = −2) ⇔⇔ ((x = −2 ∨ x = 2) ∧ xy = −2) ⇔ ((x = −2 ∧ −2y = −2) ∨ (x = 2 ∧ 2y = −2)) ⇔⇔ ((x = −2 ∧ y = 1) ∨ (x = 2 ∧ y = −1)) ⇔ (z = −2 + i ∨ z = 2− i)

3. (a) Resiti po x, y, z ∈ R sistem linearnih jednacina

x + 2y − 3z = 2−x − 3y + 2z = −12x + 3y − 7z = 3


x + 2y − 3z = 2−x − 3y + (a− 5)z = −12x + 3y − az = 5

Resenje:

(a) Dodavanjem prve jednacine na drugu, i prve pomnozene sa −2 trecoj dobijamox + 2y − 3z = 2

− y − z = 1− y − z = 1

, a zatim oduzimanjem druge od trecex + 2y − 3z = 2

− y − z = 10 = 0

, te vi-

dimo da je sistem 1 puta neodreden. Za z = α ∈ R redom iz druge i prve jednacine dobijamo y = −α−1i x = −5α+ 4, te je skup resenja RS = {(−5α+ 4,−α− 1, α) | α ∈ R}.(b) Dodavanjem prve jednacine na drugu, i prve pomnozene sa −2 trecoj dobijamox + 2y − 3z = 2

− y + (a− 8)z = 1− y + (6− a)z = 1

, a oduzimanjem druge od trecex + 2y − 3z = 2

− y + (a− 8)z = 1(14− 2a)z = 0

.

(b.1) Za 14− 2a = 0 odnosno a = 7 je sistem jednoznacno odreden.

(b.2) Za 14− 2a = 0 odnosno a = 7 je sistem 1 puta neodreden (treca jednacina u ovom slucaju glasi0 = 0).


PREDISPITNE OBAVEZE

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti imaju rela-cije α i β na skupu {1, 2, 3}.α = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}: R S A T β = {(1, 1), (2, 2)}: R S A T

• Zaokruziti injektivne (”1− 1”) funkcije skupa A = {1, 2, 3} u skup B = {1, 2, 3}:

1) f =

(1 2 3

1 2 3

)2) f =

(1 2 3

1 2 1

)3) f =

(1 2 3

2 2 2

)4) f =

(1 2 3

3 2 1

)5) f =

(1 2 3

3 2 3


”na”) funkcije skupa A = {1, 2, 3} u skup B = {1, 2, 3}:

1) f =

(1 2 3

1 2 3

)2) f =

(1 2 3

1 2 1

)3) f =

(1 2 3

2 2 2

)4) f =

(1 2 3

3 2 1

)5) f =

(1 2 3

3 2 3

)• Broj permutacija od 5 elemenata je P5 =

• Ako je (A, ∗) grupa, tada vazi (zaokruziti):1) ∀x, y ∈ A, x ∗ y = y ∗ x 2) ∀x ∈ A, x ∗ x = x 3) skup A je konacan 4) postoji neutralnielement e u skupu A (∀x ∈ A, x ∗ e = e ∗ x = x) 5) ∀x, y, z ∈ A, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

TEST

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti imaju rela-cije α, β i γ na skupu realnih brojeva R.

α = {(x, x) | x ∈ R}: R S A T

β = {(x, y) | x2 = y2}: R S A T

• Zaokruziti koje osobine na skupu F = {f | f : R → R} (skupu svih funkcija iz R u R) ima kompozicijafunkcija ◦. Neka su f, g, h ∈ F i neka je iR : R → R, iR(x) = x identicka funkcija skupa R.1) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) (asocijativnost) 2) f ◦ g = g ◦ f (komutativnost)

3) f ◦ f = f (idempotentnost) 4) iR ◦ iR = iR 5) f ◦ f = iR





7) f : R → R, f(x) = ex 8) f : R → (0,∞), f(x) = ex



3) Broj varijacija bez ponavljanja od 7 elemenata klase 5 je V 75 =

4) Broj varijacija sa ponavljanjem od 7 elemenata klase 5 je V75 =


1) (Z,+) 2) (Z,−) 3) (Z, ·) 4) (N,+) 5) (N ∪ {0},+)

6) (N, ·) 7) ({0},+) 8) ({0, 1},+) 9) ({0, 1}, ·)

• Zaokruziti podgrupe grupe ((0,∞), ·):1) (N,+) 2) (N, ·) 3) ((0,∞), ·) 4) ({1}, ·) 5) ((0, 1),+) 6) ((0, 1],+)

• Neka je (G, ·) grupoid sa neutralnim elementom e. Zaokruziti iskaze koji su tacni za sve x, y, z ∈ G:

1) x · x = x 2) x · y = y · (x · e) 3) x · (y · x) = (x · x) · y4) e · (x · e) = e · e 5) e · e = e 6) x · (y · z) = (x · z) · y


1) x · x = x 2) 1 + 0 = 1 3) x · 1 = x 4) x · 1 = 1 5) (y + z)x = yx+ zx

6) x+ (y + z) = z + (y + x) 7) x · (y · z) = (x · z) · y 8) 1 · 1 = 1


1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (R,+, ·) 4) (Z3,+, ·) 5) (Z4,+, ·) 6) (R, ·,+)

• U polju (Z7,+3) izracunati: (4−1 + 2)−1 − 4 · 2 = (4 + 6) · 2 + 4 · 1−1 =

ZADACI

1. Date su funkcije f : R → R, f (x) = x3 − 4x2 i g : R → R, g (x) = 2x− 1.

(a) Ispitati injektivnost funkcije f .


(c) Izracunati (ako postoji) g−1.

2. Na koliko nacina se mogu staviti tri novcanice od 10 dinara, dve od 20 dinara i jedna od 50 dinara uautomat za kafu da bi se platile tri kafe od po 40 dinara?

3. U skupu Z3 = {0, 1, 2} je operacija ∗ definisana sa

∀x, y ∈ Z3, x ∗ y = x+ y + x · y,gde su + i · redom skracene oznake za +3 i ·3 (sabiranje i mnozenje po modulu 3).

(a) Popuniti Kejlijeve tablice operacije ∗ na skupu Z3.

(b) Ispitati komutativnost operacije ∗, kao i egzistenciju neutralnog i inverznih elemenata u grupoidu(Z3, ∗).


PREDISPITNE OBAVEZE

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) (ab)′ = a+ b 2) a+ a = 1 3) a+ a = a 4) aa′ = a′a 5) aa′ = 0

• Koliko najmanje elemenata ima svaka Bulova algebra:

• Za polinome P (x) = 2x3 − x2 + 1 i Q(x) = (x+ 1)2(x− 2) = x2 − 3x+ 2 je

P (x) +Q(x) = , P (x) ·Q(x) = ,

a skup svih realnih korena polinoma Q(x) je { }

• Za kompleksne brojeve z = −1− i i w = 2 + 2i je

z + w = , z − w = , |z| = ,

z = , Re(z) = , Im(z) = .

• Za matrice A =

[−2 −51 3

]i B =

[−2 −1−3 5

]je

2 ·A = detA = A+B =

• Sistem linearnih jednacinax − 2y = 32x − 5y = 5

je:



je:


TEST

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b, c ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) a+ a′′ = 1 2) a+ a′′ = a 3) a+ a′′ = 0 4) a(b+ c) = ba+ ca 5) (ab)′ = a′ + b′


(xy′)′ + x′(z + yz) =

• Deljenjem polinoma P (x) = −2x4 − x3 + 4x2 + x− 1 polinomom Q(x) = x3 − x+ 1 se dobija

kolicnik i ostatak

• Za koje vrednosti parametra a ∈ R je broj −1 koren polinoma P (x) = x3 + ax2 + x+ 6a?

a ∈ { }

• Za kompleksne brojeve z = 2− 3i i w = −2 je

z + w = , zw = ,z

w= , |z| = ,

arg(w) = , z = , Re(z) = , Im(z) = .

• Izracunati, u skupu kompleksnih brojeva,3√i = { }

• Za matricu A =

[3 −4−2 3

]izracunati:

detA = A−1 =

• Za matrice A =

[−2 −3 21 4 −1

], B =

−3 1 01 3 21 4 −2

i C =[−5 1 4

]izracunati

detB = AB =

CB = −2 ·A =


je:



je:

• Za koju vrednost parametra a ∈ R je sistem linearnih jednacinax − 4y + z = 1x − a2y − 2z = 3

odreden:

a ∈

ZADACI


x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

z 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

u 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1

2. Resiti po z ∈ C jednacinu: Re (z − 1)− 2 Im(z − 1

1 + i

)= −i.


x − y + 2z = 22x − y + z = −35x − 3y − 5z = 1


x − y + 2z = 22x − y + z = −3

(a+ 1)x − 3y + az = −4


PREDISPITNE OBAVEZE



1) f =

(1 2 3

1 2 3

)2) f =

(1 2 3

1 2 4

)3) f =

(1 2 3

1 1 1

)4) f =

(1 2 3

4 4 4

)5) f =

(1 2 3

1 2 1



1) f =

(1 2 3

1 2 3

)2) f =

(1 2 3

1 2 4

)3) f =

(1 2 3

1 1 1

)4) f =

(1 2 3

4 4 4

)5) f =

(1 2 3

1 2 1

)• Broj kombinacija bez ponavljanja od 5 elemenata klase 3 je C5

3 =



TEST



β = {(x, y) | y = 1}: R S A T

γ = {(x, y) | x+ y = y + x}: R S A T



4) f : [0,∞) → [0,∞), f(x) = x2 5) f : R → R, f(x) = sinx 6) f : R → R, f(x) = −2x+ 5

• Za skupove A = {1, 2, 3} i B = {a, b} izracunati

1) |{f | f : A → B}| = 2)∣∣∣{f | f : A

1−1→ B}∣∣∣ = 3)

∣∣∣{f | f : Ana→B}

∣∣∣ =4) |{f | f : B → A}| = 5)

∣∣∣{f | f : B1−1→ A}

∣∣∣ = 6)∣∣∣{f | f : B

na→A}∣∣∣ =

• Za funkcije f : R → R, f(x) = −2x + 4 i g : R → R, g(x) = x2 izracunati (ako postoji - napisaticrticu ako ne postoji)

f−1 : R → R, f−1(x) = g−1 : R → R, g−1(x) =

f ◦ g : R → R, (f ◦ g)(x) = g ◦ f : R → R, (g ◦ f)(x) =

• 1) Koliko ima 6-ocifrenih brojeva cije su sve cifre neparni brojevi?

2) Koliko ima 6-ocifrenih brojeva cije su prve dve cifre neparni brojevi?

• Koliko ima parnih trocifrenih brojeva ciji je zbir cifara neparan broj?


1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (N,+) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ({0},+) 7) (Q,+)


1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (Z,−) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ((0,∞), ·) 7) ([0,∞), ·)


1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (R,+, ·) 4) (Z3,+, ·) 5) (Z4,+, ·) 6) (R, ·,+)

• U polju (Z5,+5) izracunati: (4−1+2)−1−4 ·3 = −(2+2) ·4−1+2 ·3−1 =

ZADACI


2,π

2

)→ R, g (x) = tg x.




2. U kutiji se nalazi pet crnih kuglica koje su numerisane brojevima 1, 3, 5, 7 i 9, i cetiri bele kuglicekoje su numerisane brojevima 2, 4, 6 i 8. Vuku se tri kuglice odjednom.(a) Na koliko razlicitih nacina se mogu izvuci tri crne kuglice?(b) Na koliko razlicitih nacina se mogu izvuci tri kuglice istih boja?(c) Na koliko razlicitih nacina se mogu izvuci tri kuglice tako da je zbir brojeva na njima paran broj?

3. Neka je A = {1, 2, 3, 4} i ∗ 1 2 3 4

1 2 1 4 32 1 2 3 43 4 3 1 24 3 4 2 1





PREDISPITNE OBAVEZE


0 −1 2 −2 4 10

• Pri delenju polinoma P (x) = (x− 3)(x4 + 1) + 2 polinomom Q(x) = x4 + 1 dobija se

kolicnik i ostatak

• Za kompleksne brojeve z = 4− 3i i w = −1− i je

z + w = , |z| = , z = , Re(z) = .

• Za matrice A =

[3 −32 3

]i B =

[−2 13 4

]je

detA = A+B =

• Sistem linearnih jednacinax − y = 1x − y = 1

je:


• Sistem linearnih jednacinax − y = 2x − y = 1

je:


• Napisati skup resenja R sistema linearnih jednacinax − y = 32x − 3y = −1

R =

TEST

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b, c ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) a+ ab = b 2) a+ ab = a 3) a+ bc = (a+ b)(a+ c) 4) a+ b′ = a′b 5) (ab)′ = a′b′

• Broj elemenata u Bulovoj algebri moze biti:

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5 6) 7 7) 16 8) 20 9) 22


kolicnik i ostatak

• Skup realnih korenova polinoma P (x) = x3 − 1 je: { }

• Skup kompleksnih korenova polinoma P (x) = x3 − 1 je: { }

• Izracunati 3√1 + i = { }

• Za kompleksne brojeve z = −2 + 2i i w = 12 +

√32 i je

|z| = , arg z = , |w| = , argw = .

• Za matrice A =

[2 −3 21 3 −1

], B =

−3 1 −10 3 22 4 −5

i C =[−2 3 4

]izracunati

detB = AB =

CB = −2 ·A =


je:


• Sistem linearnih jednacina3x − 3y = 122x − 2y = 8x − y = 4

je:


• Za koju vrednost parametra a ∈ R je sistem linearnih jednacina2x − 2ay = 2x − ay = 1

odreden:

a ∈

ZADACI



2. Resiti po z ∈ C jednacinu: |z|2 + z2 = 8− 4i.


x − y + 2z = 22x − y + z = −35x − 3y − 5z = 1


x − y + 2z = 22x − y + z = −3

(a+ 1)x − 3y + az = −4


PREDISPITNE OBAVEZE

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti ima relacijaekvivalencije α: R S A T

Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti ima relacijaporetka β: R S A T

• Za funkcije f =

(1 2 33 2 1

)i g =

(1 2 31 2 1


f ◦ f =

(1 2 3

)f ◦ g =

(1 2 3

)• Zaokruziti injektivne (

”1− 1”) funkcije skupa A = {1, 2} u skup B = {1, 2, 3, 4}:

1) f =

(1 2

1 2

)2) f =

(1 2

3 4

)3) f =

(1 2

4 3

)4) f =

(1 2

1 3

)5) f =

(1 2

3 2

)• Ako je (A, ∗) grupa, tada vazi (zaokruziti):

1) ∀x, y ∈ A, x ∗ y = y ∗ x 2) ∀x ∈ A, x ∗ x = x 3) skup A je konacan 4) postoji neutralnielement e u skupu A (∀x ∈ A, x ∗ e = e ∗ x = x) 5) ∀x, y, z ∈ A, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

• Broj permutacija od 5 elemenata je P3 =

TEST


α = {(x, y) | x+ y = 0}: R S A T

β = {(x, y) | x− y = 1}: R S A T

γ = {(x, y) | x · y ≤ 0}: R S A T

• Za funkcije f =

(1 2 3 43 4 1 2

)i g =

(1 2 3 41 1 3 3


izracunati

f−1 =

(1 2 3 4

)f ◦ g =

(1 2 3 4

)g ◦ f =

(1 2 3 4

)f ◦ f =

(1 2 3 4

)• Zaokruziti koje osobine na skupu F = {f | f : R → R} (skupu svih funkcija iz R u R) ima kompozicija

funkcija ◦. Neka su f, g, h ∈ F i neka je iR : R → R, iR(x) = x identicka funkcija skupa R.1) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) (asocijativnost) 2) f ◦ g = g ◦ f (komutativnost)

3) f ◦ f = f (idempotentnost) 4) f ◦ f = iR 5) iR ◦ iR = iR


• Koliko ima petocifrenih prirodnih brojeva koji se citaju s leva u desno jednako kao i s desna u levo?




1) (Z,+) 2) (Z,−) 3) (Z, ·) 4) (N,+) 5) (N ∪ {0},+)

6) (N, ·) 7) ({0},+) 8) ({0, 1},+) 9) ({0, 1}, ·)

• Neka je (G, ·) komutativan, asocijativan grupoid sa neutralnim elementom e. Zaokruziti iskaze koji sutacni za sve x, y, z ∈ G: 1) x · x = x 2) x · y = y · (x · e) 3) x · (y · x) = (x · x) · y4) e · (x · e) = e · e 5) e · e = e 6) x · (y · z) = (x · z) · y



6) x+ (y + z) = z + (y + x) 7) x · (y · z) = (x · z) · y 8) 1 · 1 = 1

• U polju (Z5,+5) izracunati: (3−1+2)−1−4 ·2 = −(2+2) ·4−1+2 ·1−1 =

ZADACI

1. Date su funkcije f : D → R, f (x) =√ex i g : D → R, g (x) =

√x+ 2.

(a) Odrediti domene funkcija f i g.

(b) Ispitati injektivnost i sirjektivnost funkcija f i g.

(c) Izracunati (ako postoji) (f ◦ g) (x).

2. (a) Koliko ima sedmocifrenih prirodnih brojeva sa razlicitim ciframa u kojima su cifre 5 i 6 susedne?

(b) Na fudbalskom turniru ucestvuje 20 ekipa, i svaka ekipa treba da odigra po jednu utakmicu sasvakom od preostalih ekipa. Koliko ce utakmica ukupno biti odigrano na turniru?

3. Ispitati SVE aksiome polja za strukturu (A,⊕,⊙), gde je A = R2, i za sve (a, b), (c, d) ∈ A je

(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d), (a, b)⊙ (c, d) = (a · c, b · d).


PREDISPITNE OBAVEZE

• Koji su od navedenih brojeva koreni polinoma P (x) = x3 + x2 + x+ 1 (zaokruziti):

0 −1 1 −3 3 −4

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) (a+ b)′ = a′b′ 2) a+ b = b+ a 3) a+ a′ = 0 4) a+ a′ = 1 5) a+ a = 1 6) a+ 1 = 1

• Za kompleksne brojeve z = 4− 5i i w = −2 + i je

z + w = , |z| = , z = , Re(z) = .

• Za matrice A =

[2 −31 3

]i B =

[−2 10 4

]je

detA = A+B =

• Sistem linearnih jednacinax + y + z = 1x + y + z = 2

je:


• Sistem linearnih jednacinax + y + z = 1x + y + z = 1

je:


• Napisati skup resenja R sistema linearnih jednacina2x − 2y = 02x − 3y = 1

R =

TEST

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b, c ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) a+ ab = b 2) a+ ab = a 3) a+ bc = (a+ b)(a+ c) 4) a+ b′ = a′b 5) (ab)′ = a′b′

• Za A = {a, b} i Bulovu algebru (P(A),∪,∩, , ∅, A), zaokruziti njene podalgebre:

1) ({{a}},∪,∩, , ∅, {a}) 2) ({{∅, a}},∪,∩, , ∅, {a}) 3) (A,∪,∩, , ∅, {a})4) (A,∪,∩, , ∅, A) 5) ({∅},∪,∩, , ∅, A) 6) ({∅, A},∪,∩, , ∅, A)


a ∈ { }

• Deljenjem polinoma P (x) = 2x5 − 3x4 + x2 − 1 polinomom Q(x) = x2 + 1 se dobija

kolicnik i ostatak


z + w = , zw = ,z

w= , |z| = ,

arg(w) = , z = , Re(z) = , Im(z) = .

• Izracunati 3√−i = { }

• Za matrice A =

[2 −31 −1

], B =

[−3 13 4

]i C =

[−2 3

]izracunati

detB = AB =

CB = −3 ·A =

• Sistem linearnih jednacinax − y + 3z = 5x − y + 3z = 5

je:


• Sistem linearnih jednacinax − y + z = 10x − y + 3z = 5

je:



odreden:

a ∈

ZADACI


x 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

y 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

z 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

u 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1


(z + 1

2

)− iIm

(2 + z

1− i

)+ z = 5 + 5i.


x + 2y − 3z = 2−x − 3y + 2z = −12x + 3y − 7z = 3


x + 2y − 3z = 2−x − 3y + (a− 5)z = −12x + 3y − az = 3


PREDISPITNE OBAVEZE

• Zaokruziti koje od osobina Refleksivnosti, Simetricnosti, Antisimetricnosti i Tranzitivnosti imaju rela-cije α i β na skupu {1, 2}.α = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)}: R S A T β = {(1, 1), (2, 2)}: R S A T

• Za funkcije f =

(1 2 31 1 1

)i g =

(1 2 31 2 3


f ◦ f =

(1 2 3

)f ◦ g =

(1 2 3

)• Broj kombinacija bez ponavljanja od 5 elemenata klase 3 je C5

3 =

• Broj varijacija bez ponavljanja od 5 elemenata klase 3 je V 53 =


• Zaokruziti iskaze koji su tacni u svakoj komutativnoj grupi G, ∗: 1) x ∗ y = y ∗ x 2) x ∗ x = x3) ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = e 4) ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x

• Zaokruziti prstene: 1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (R,+, ·) 4) (C,+, ·)

TEST


α = {(x, y) | |x · y| je paran broj}: R S A T

β = {(x, y) | y ≤ 0}: R S A T

γ = {(x, y) | x2 = y2}: R S A T



4) f : [0,∞) → [0,∞), f(x) = x2 5) f : R → R, f(x) = sinx 6) f : R → R, f(x) = −2x+ 5

• Za skupove A = {1, 2, 3} i B = {a, b} izracunati

1) |{f | f : A → B}| = 2)∣∣∣{f | f : A

1−1→ B}∣∣∣ = 3)

∣∣∣{f | f : Ana→B}

∣∣∣ =4) |{f | f : B → A}| = 5)

∣∣∣{f | f : B1−1→ A}

∣∣∣ = 6)∣∣∣{f | f : B

na→A}∣∣∣ =

• 1) Koliko ima 5-ocifrenih brojeva cije su sve cifre neparni brojevi?

2) Koliko ima 5-ocifrenih brojeva cije su prve dve cifre neparni brojevi?

• U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko ima izbora 3 kuglice s vracanjem ako poredak izabranihkuglica nije bitan?

U kutiji je 5 loptica ralicite boje. Koliko ima izbora 3 kuglice s vracanjem ako je poredak izabranihkuglica bitan (stavljamo ih u niz)?

• Zaokruziti komutativne grupe:

1) (Z,+) 2) (Z,−) 3) (Z, ·) 4) (N,+) 5) (N ∪ {0},+)

6) (N, ·) 7) ({0},+) 8) ({0, 1},+) 9) ({0, 1}, ·)


1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (Z,−) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ((0,∞), ·) 7) ([0,∞), ·)

• Popuniti Kejlijevu tablicu grupoida (Z4,+4): +4 0 1 2 3

0123


1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (R,+, ·) 4) (Z3,+, ·) 5) (Z4,+, ·) 6) (R, ·,+)

ZADACI

1. Date su funkcije f : D → R, f (x) =√

x2 − 1 i g : D → R, g (x) = 2x+ 5.

(a) Odrediti domene funkcija f i g.

(b) Ispitati injektivnost i sirjektivnost funkcija f i g.

(c) Izracunati (ako postoji) g−1 (x).

2. Koliko ima osmocifrenih brojeva sa razlicitim ciframa u kojima je cifra 1 zapisana pre cifre 2 (mozeali ne mora neposredno iza cifre 1)?

3. Ispitati sve aksiome komutativne grupe za uredeni par (R, ∗), gde je x ∗ y = x+ y + xy.


PREDISPITNE OBAVEZE

• Koji su od navedenih brojeva koreni polinoma P (x) = x4 − 1 (zaokruziti):

0 −1 1 −4 4

• Pri delenju polinoma P (x) = (x− 3)(x4 + 1) polinomom Q(x) = x4 + 1 dobija se

kolicnik i ostatak

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) (a+ b)′ = a′ + b′ 2) (ab)′ = a′b′ 3) 1′ = 1 4) 1′ = 0 5) a′′ = 0 6) a′′ = a

• Za kompleksne brojeve z = 1− i i w = −1− 2i je

z + w = , |z| = , z = , Re(z) = .

• Za matrice A =

[2 −31 1

]i B =

[−2 12 4

]je

detA = A+B =

• Sistem linearnih jednacinax + y + z = 12x + 2y + 2z = 23x + 3y + 3z = 3

je:


• Napisati skup resenja R sistema linearnih jednacina−x − 2y = 32x + y = 5

R =

TEST


(x+ y′)′ + x′(xz + y) =

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) (a+ b)′ = b′a′ 2) a(b+ c) = ab+ ac 3) a(b+ c) = ba+ ca 4) a(a+ b) = a 5) a(a+ b) = b6) a+ b = a+ c ⇒ b = c 7) a′′ = a


kolicnik i ostatak

• Za kompleksne brojeve z = 1 + i i w = −1 + i je

z + w = , zw = ,z

w= , |z| = ,

arg(w) = , z = , Re(z) = , Im(z) = .

• Izracunati 3√−1− i = { }


[2 −34 −5

]:

A−1 =

• Za matrice A =

[2 −31 −1

], B =

[−3 13 4

]i C =

[−2 3

]izracunati

detB = AB =

CB = −3 ·A =


je:



kontradiktoran:

a ∈

ZADACI

1. Naci sve realne i kompleksne korene polinoma P (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1, i faktorisati ga nadpoljem realnih i nad poljem kompleksnih brojeva.


(1 + i

1− i

)z − 2iz = 1− 2i.

3. (a) Resiti po x, y, z ∈ R sistem linearnih jednacinax + 2y − z = 2

−x − 3y + 2z = −12x + 3y − z = 5


x + 2y − z = 2−x − 3ay + 2z = −12x + 3y − az = 5


PREDISPITNE OBAVEZE



1) f =

(1 2 3

1 2 3

)2) f =

(1 2 3

1 2 4

)3) f =

(1 2 3

1 1 1

)4) f =

(1 2 3

4 4 4

)5) f =

(1 2 3

1 2 1



1) f =

(1 2 3

1 2 3

)2) f =

(1 2 3

1 2 4

)3) f =

(1 2 3

1 1 1

)4) f =

(1 2 3

4 4 4

)5) f =

(1 2 3

1 2 1

)• Koliko ima 3-cifrenih brojeva cije su sve cifre neparni brojevi, i

1) cifre mogu biti jednake: 2) sve cifre su razlicite:

• Zaokruziti iskaze koji su tacni u svakoj komutativnoj grupi G, ∗: 1) x ∗ y = y ∗ x 2) x ∗ x = x3) ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = e 4) ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x


TEST



β = {(x, y) | y = 1}: R S A T

γ = {(x, y) | x+ y = y + x}: R S A T




7) f : R → R, f(x) = ex 8) f : R → (0,∞), f(x) = ex

• Za funkcije f =

(1 2 3 43 4 1 2

)i g =

(1 2 3 41 1 3 3


izracunati

f−1 =

(1 2 3 4

)f ◦ g =

(1 2 3 4

)g ◦ f =

(1 2 3 4

)f ◦ f =

(1 2 3 4

)• Za funkcije f : R → R, f(x) = −2x + 4 i g : R → R, g(x) = x2 izracunati (ako postoji - napisati

crticu ako ne postoji)

f−1 : R → R, f−1(x) = g−1 : R → R, g−1(x) =

f ◦ g : R → R, (f ◦ g)(x) = g ◦ f : R → R, (g ◦ f)(x) =

• Koliko plesnih parova mozemo formirati od 8 djevojaka s 8 decaka?




1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (Z,−) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ((0,∞), ·) 7) ([0,∞), ·)

• Neka je (G, ·) komutativan, asocijativan grupoid sa neutralnim elementom e. Zaokruziti iskaze koji sutacni za sve x, y, z ∈ G: 1) x · x = x 2) x · y = y · (x · e) 3) x · (y · x) = (x · x) · y4) e · (x · e) = e · e 5) e · e = e 6) x · (y · z) = (x · z) · y



6) x+ (y + z) = z + (y + x) 7) x · (y · z) = (x · z) · y 8) 1 · 1 = 1


1) (N,+, ·) 2) (Z,+, ·) 3) (R,+, ·) 4) (Z3,+, ·) 5) (Z4,+, ·) 6) (R, ·,+)


1) (Z,+) 2) (Z, ·) 3) (N,+) 4) ((0,∞),+) 5) ([0,∞),+) 6) ({0},+) 7) (Q,+)

ZADACI


2,π

2

)→ R, g (x) = tg x.




2. U koliko devetocifrenih prirodnih brojeva sa razlicitim ciframa se izmedu cifara 7 i 8 nalaze tacno 3druge cifre?

3. Neka je A = {1, 2, 3, 4} i ∗ 1 2 3 4

1 2 1 4 32 1 2 3 43 4 3 1 24 3 4 2 1





PREDISPITNE OBAVEZE


0 −1 2 −2 4 10

• Pri delenju polinoma P (x) = x2 − 4 polinomom Q(x) = x+ 2 dobija se

kolicnik i ostatak

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) (a+ b)′ = a′b′ 2) (ab)′ = a′ + b′ 3) 1 + 1 = 1 4) a′′ = 1 5) a′′ = 0 6) a′′ = a

• Za kompleksne brojeve z = 4 i w = −1 + i je

z + w = , |z| = , z = , Re(z) = .

• Za matrice A =

[1 −31 3

]i B =

[−4 1−1 3

]je

detA = A+B =

• Sistem linearnih jednacinax + y + z = 12x + 2y + 2z = 13x + 3y + 3z = 1

je:



R =

TEST


(x+ y′)′ + x′(z + yz) =

• Koji od navedenih iskaza su tacni (zaokruziti) za sve a, b ∈ B u Bulovoj algebri (B,+, ·,′ , 0, 1):1) (a+b)′ = b′+a′ 2) a(bc) = (ab)c 3) a+(b+c) = (a+b)+c 4) a(a+b) = 0 5) a(a+b) = 16) ab = ac ⇒ b = c 7) a′′ = a′


a ∈ { }

• Za kompleksne brojeve z = −2− 2i i w = −1 + i je

z + w = , zw = ,z

w= , |z| = ,

arg(w) = , z = , Re(z) = , Im(z) = .

• Izracunati 4√−16 = { }


[2 −2−2 3

]:

A−1 =

• Za matrice A =

[2 −3 21 3 −1

], B =

−3 1 −10 3 22 4 −5

i C =[−2 3 4

]izracunati

detB = AB =

CB = −2 ·A =


je:



je:


• Za koju vrednost parametra a ∈ R je sistem linearnih jednacina2x − 2ay = 2x − ay = 1

1 puta neodreden:

a ∈

ZADACI

1. Naci sve realne i kompleksne korene polinoma P (x) = x3 + x2 + x + 1, i faktorisati ga nad poljemrealnih i nad poljem kompleksnih brojeva.

2. Resiti po z ∈ C jednacinu: Re (z − 1)− 2 Im(z − 1

1 + i

)= −i.

3. (a) Izracunati inverznu matricu matrice A =

2 −1 3−1 −2 21 −2 3


x + 2y − 3z = 2−x − 3y + 2z = −12x + 3y − az = 3

MATEMATIKA 1 KOLOKVIJUM 2

Prezime, ime, br. indeksa: 24.01.2013

PREDISPITNE OBAVEZE

• (x2 − 3x− 1)(x3 + 2x− 4) =


z + w = , |z| = , z = , Re(z) = .

• Za matrice A =

[1 −31 3

]i B =

[−2 12 2

]je

detA = A+B =


R =

• Za vektore a = (2, 1,−3) i b = (2, 2, 1) je

a+ b = , |a| = , 3a =

• Napisati matricu Mf linearne transformacijef : R3 → R3, f (x, y, z) = (x− y + 2z, 3x− y − 6z,−x+ y + 2z): Mf =

TEST

• Za koju vrednosti parametra a ∈ R je broj −2 koren polinoma p (x) = 2x5 + ax3 + 2x− 4?

a ∈ { }

• Pri delenju polinoma p (x) = x4 + x3 + 2x2 − x− 4 polinomom q (x) = x− 2 se dobija

kolicnik i ostatak


zw = , zw = , arg z = , z + w = .

• Za matrice A =

[1 −31 3

]i B =

[−2 12 2

]je

A−1 = AB =

• Sistem linearnih jednacinax − 3y + z = 22x − 6y − z = 1

je

1) odreden 2) kontradiktoran 3) 1 puta neodreden 4) 2 puta neodreden 5) 3 puta neodreden


je

1) odreden 2) kontradiktoran 3) 1 puta neodreden 4) 2 puta neodreden 5) 3 puta neodreden

• Za vektore a = (2, 1,−3), b = (1, 1, 0) i c = (2, 2, 1) je

3b = ,∣∣∣b∣∣∣ = ,

a+ b = , a · b = ,

a× b = ,[a, b, c

]=

• Zaokruziti linearne transformacije:

1) f : R3 → R3, f (x, y, z) = (x− y + 2z + 5, 3x− y − 6z,−x+ y + 2z)

2) f : R3 → R3, f (x, y, z) = (x− y + z, x− y + 2z,−x+ y + 2z)

3) f : R2 → R3, f (x, y, z) = (x− y, 3x− y,−x+ y)

4) f : R3 → R2, f (x, y, z) = (x− y + 2z, 3x− y − 6z)

5) f : R3 → R2, f (x, y, z) = (x− y + 2z, 0)

6) f : R3 → R3, f (x, y, z) =(x2 + y3 + z, 2, x+ y + z

)ZADACI

1. Faktorisati polinom p (x) = x5 − x4 − 3x3 + 7x2 − 40x+ 60 nad poljima R i C.Resenje: Kandidati za racionalne korene polinoma P su ±1, ±2, ±3, ±5, ±4, ±6, ±10, ±15, ±12,±20, ±30, ±60. Njihovom proverom dobijamo

1 −1 −3 7 −40 60

1 1 0 −3 4 −36 24−1 1 −2 −1 8 −48 12

2 1 1 −1 5 −30 0

2 1 3 5 15 02 1 5 15 45

−2 1 1 3 9

−3 1 0 5 0

odakle redom sledi

p (x) = (x− 2)(x4 + x3 − x2 + 5x− 30

)= (x− 2)2

(x3 + 3x2 + 5x+ 15

)= (x− 2)2(x+ 3)

(x2 + 5

)= (x− 2)2(x+ 3)

(x−

√5i)(x+

√5i),

gde su poslednja dva izraza redom faktorizacije polinoma p nad poljima R i C.

2. (a) Naci skup resenja sistema linearnih jednacinax + 2y − z = 22x + 4y − z = 3

(b) U zavisnosti od parametra a ∈ R diskutovati sistem linearnih jednacina

x + y + z = 1−x + y + az = −22x + 2y + az = 3

Resenje:

(a) Dodavanjem prve jednacine pomnozene sa −2 drugoj, i zamenom druge i trece kolone dobijamo

ekvivalentan sistem linearnih jednacinax − z + 2y = 2

z = −1koji je 1 puta neodreden.

Za y = α zamenom unatrag dobijamo z = −1 i x = −2α, te je RS = {(−2α+ 1, α,−1) | α ∈ R}.(b) Dodavanjem prve jednacine drugoj, i dodavanjem prve jednacine pomnozene sa −2 trecoj do-

bijamo ekvivalentan sistem linearnih jednacinax + y + z = 1

2y + (a+ 1)z = −1(a− 2)z = 1

, te je za

a = 2 sistem odreden, a za a = 2 je kontradiktoran.

3. Neka je v = (x, y, z), a = (1,−1, 2), b = (−2, 2,−4), i neka je linearna transformacija f : R3 → R3

definisana sa f (v) = v × a+ v × b.

(a) Ispitati da li su vektori a i b linearno nezavisni.

(b) Odrediti f (x, y, z), i napisati matricu linearne transformacije f .

Resenje: (a) Vektori a i b su linearno zavisni jer je b = −2a.

(b) v × a =

∣∣∣∣∣∣i j kx y z1 −1 2

∣∣∣∣∣∣ = (2y + z,−2x+ z,−x− y),

v × b =

∣∣∣∣∣∣i j kx y z−2 2 −4

∣∣∣∣∣∣ = v ×−2(a) = −2(v × a) = (−4y − 2z, 4x− 2z, 2x+ 2y),

f (x, y, z) = (2y + z,−2x+ z,−x− y) + (−2y − z, 2x− z, x+ y),

Mf =

0 −2 −12 0 −11 1 0

.

ssr_kolokviji

Documents