spistreści - db.faculty.wmi.amu.edu.pl · g.banaszak,w.gajda,“elementy algebry liniowej”,cz....
TRANSCRIPT
Teoria oraz część zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie m.in. książek:
G. Banaszak, W. Gajda, “Elementy algebry liniowej”, cz. I, II, WNT 2002,
A. Iwaszkiewicz-Rudoszańska, “Wstęp do algebry i teorii liczb”, UAM 2009,
J. Rutkowski, “Algebra liniowa w zadaniach”, Wydawnictwo Naukowe PWN 2008.
Spis treści1 Podstawowe struktury algebraiczne 2
1.1 Grupa, pierścień, ciało . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Grupy permutacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Rachunek macierzowy, macierz transponowana, macierz hermitowsko-sprzężona, metodaeliminacji Gaussa-Jordana 92.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Wyznacznik macierzy — opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 123.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeni liniowej (opracowanona podstawie BG „Elementy algebry liniowej t. I”) 154.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Macierz przejścia z bazy do bazy, macierz przekształcenia liniowego, wartości własne, wek-tory własne, diagonalizacja macierzy 205.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1.1 Macierz przejścia z bazy do bazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.1.2 Macierz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.1.3 Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.1.4 Diagonalizacja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1
1 Podstawowe struktury algebraiczne1.1 Grupa, pierścień, ciałoDefinicja 1.1. Działaniem wewnętrznym (w skrócie będziemy mówić działaniem) w zbiorze X nazywaćbędziemy każdą funkcję X ×X → X.
Definicja 1.2. Niech F i A będą niepustymi zbiorami. Dowolne odwzorowanie ◦ : F × A → A nazywamydziałaniem zewnętrznym w zbiorze A ze zbiorem operatorów F.
Definicja 1.3. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem · : G×G→ G, dla którego spełnione są następującewarunki:
G1. Dla dowolnych a, b, c ∈ G : (a · b) · c = a · (b · c). (łączność)
G2. Istnieje element e ∈ G (nazywany elementem neutralnym grupy) taki, że:
dla każdego a ∈ G : e · a = a · e = a.
G3. Dla każdego a ∈ G istnieje element b ∈ G (nazywany elementem odwrotnym do a) taki, że:
a · b = b · a = e.
Definicja 1.4. Grupą przemienną (lub abelową) nazywamy zbiór G z działaniem · : G×G→ G, spełnia-jącym warunki G1.—G3. z powyższej definicji oraz warunek:
G4. dla dowolnych a, b ∈ G : a · b = b · a.
Fakt 1.1. Niech G będzie grupą.
1. Element neutralny grupy G jest tylko jeden.
2. Dla każdego elementu a ∈ G element odwrotny b do elementu a jest jednoznacznie określony, oznaczamygo symbolem a−1.
3. Dla każdego a ∈ G mamy: (a−1)−1 = a.
4. Dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równość:
(ab)−1 = b−1a−1.
Często dla uproszczenia zapisu element neutralny dla mnożenia (·) będziemy oznaczać poprzez 1, natomiast dladodawania (+) poprzez 0.
Definicja 1.5. Niepusty podzbiór H grupy (G, ?) nazywamy podgrupą grupy G, gdy (H, ?) jest grupą.
Definicja 1.6. Pierścieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: z dodawaniem + : R × R → R i zmnożeniem · : R×R→ R, dla których są spełnione następujące warunki:
P1. (R,+) jest grupą abelową.
P2. Dla dowolnych a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c) (łączność mnożenia).
P3. Dla dowolnych a, b, c ∈ R :
a · (b+ c) = a · b+ a · c(a+ b) · c = a · c+ b · c
(rozdzielność mnożenia względem dodawania).
2
Jeśli ponadto R 6= {0} oraz istnieje element neutralny mnożenia e ∈ R taki, że:
dla każdego a ∈ R : a · e = e · a = a,
to mówimy, że R jest pierścieniem z jedynką.Jeśli mnożenie w pierścieniu R jest przemienne, tzn.:
dla każdego a, b ∈ R : a · b = b · a,
to mówimy, że R jest pierścieniem przemiennym.
Definicja 1.7. Ciałem nazywamy niepusty zbiórK (posiadający co najmniej dwa elementy) wraz z działaniami+ : K ×K → K oraz · : K ×K → K takimi, że:
C1. (K,+, ·) jest pierścieniem przemiennym z jedynką.
C2. Zbiór K× = K \ {0} z mnożeniem jest grupą.
Definicja 1.8. Niech (A,+A) oraz (B,+B) będą grupami. Mówimy, że odwzorowanie f : A → B jesthomomorfizmem grup, gdy dla każdego a, b ∈ A:
f (a+A b) = f (a) +B f (b) .
Niech teraz (A,+A, ·A) oraz (B,+B , ·B) będą pierścieniami. Mówimy, że odwzorowanie f : A → B jesthomomorfizmem pierścieni, gdy dla każdego a, b ∈ A:
f (a+A b) = f (a) +B f (b)f (a ·A b) = f (a) ·B f (b)
Warto zauważyć, że w przypadku, gdy:
1. (A,+A) oraz (B,+B) są grupami i f : A→ B jest homomorfizmem grup, to:
f (0A) = 0B .
2. (A,+A, ·A) oraz (B,+B , ·B) są dowolnymi pierścieniami i f : A→ B jest homomorfizmem pierścieni, to:
f (0A) = 0B .
3. (A,+A, ·A) oraz (B,+B , ·B) są dowolnymi pierścieniami z jedynką i f : A→ B jest homomorfizmem tychpierścieni, to:
f (0A) = 0B ,f (1A) = 1B
Jądrem homomorfizmu f : A→ B, jest zbiór:
Ker f = {a ∈ A : f (a) = 0B} .
Obrazem homomorfizmu f : A→ B jest zbiór:
Im f = {b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b} .
3
1.2 Grupy permutacjiDefinicja 1.9.1. Niech f : X → Y
(a) Mówimy, że f jest suriekcją (odwzorowaniem na zbiór Y ), gdy dla każdego y ∈ Y , istnieje x ∈ Xtaki, że:
y = f (x) .(b) Mówimy, że f jest iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym), gdy dla dowolnych x1, x2 ∈ X
zachodzi następująca implikacja:
x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2)
lub równoważna implikacja:f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2.
(c) Mówimy, że f jest bijekcją, gdy jest zarówno iniekcją jak i suriekcją.
2. Niech:
f : X → Y
g : Y → Z.
Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h := g ◦ f : X → Z określoną następująco:
dla każdego x ∈ X : h (x) := (g ◦ f) (x) = g (f (x)) .
Czyli mamy następującą sytuację:X Y Z
g◦f
f g
Zauważmy, że w ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest przemienne. Niech np. f, g : R → R, dladowolnego x ∈ R dane wzorami:
f (x) = 2xg (x) = x2.
Wówczas dla dowolnego x ∈ R mamy:
(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f(x2) = 2x2
(g ◦ f) (x) = g (f (x)) = g (2x) = 4x2
Twierdzenie 1.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem, a Bij (X) niech będzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioruX (tzn. Bij (X) = {f : X → X; f jest bijekcją}).Zbiór Bij (X) wraz ze składaniem funkcji ◦ tworzy grupę.Nas interesować będą zbiory, które mają skończoną liczbę elementów.Definicja 1.10. Niech X będzie dowolnym zbiorem n-elementowym. Grupę bijekcji takiego zbioru oznaczamySn i nazywamy grupą permutacji zbioru n-elementowego. Elementy grupy Sn nazywamy permutacjami.
Zauważmy, że dowolny zbiór n–elementowy możemy utożsamić ze zbiorem {1, 2, 3, . . . , n}, niech więc X ={1, 2, 3, . . . , n}. Wówczas dowolną permutację σ ∈ Sn możemy zapisać:
σ =(
1 2 3 . . . nσ (1) σ (2) σ (3) . . . σ (n)
).
Elementem neutralnym grupy Sn jest permutacja identycznościowa:
Id =(
1 2 3 . . . n1 2 3 . . . n
).
Elementem odwrotnym do σ jest:
σ−1 =(σ (1) σ (2) σ (3) . . . σ (n)
1 2 3 . . . n
).
4
Definicja 1.11. Permutację σ ∈ Sn nazywamy cyklem długości k, gdy istnieje k–elementowy podzbiór{a1, a2, . . . , ak} zbioru X taki, że:
σ (a1) = a2, σ (a2) = a3, . . . , σ (ak−1) = ak, σ (ak) = a1
oraz σ (a) = a dla a /∈ {a1, a2, . . . , ak}.Przyjmujemy, że permutacja identycznościowa jest cyklem długości jeden.
Zauważmy, że każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów.
Definicja 1.12. Dwa cykle (a1, a2, . . . , aj) , (b1, b2, . . . , bk) nazywamy cyklami rozłącznymi,gdy zbiory {a1, a2, . . . , aj} , {b1, b2, . . . , bk} są rozłączne.
Twierdzenie 1.2. Każdą permutację można przedstawić w postaci iloczynu parami rozłącznych cykli. Przed-stawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności cykli.
Definicja 1.13. Cykl długości 2 nazywamy transpozycją.
Twierdzenie 1.3. Każdą permutację można rozłożyć na iloczyn transpozycji. To przedstawienie nie jest jed-noznaczne. Jednak, gdy dana permutacja jest jednocześnie iloczynem p i r transpozycji, to liczby p i r są tejsamej parzystości (tzn. obie są parzyste lub obie są nieparzyste). W rozkładzie permutacji identycznościowej natranspozycje występuje zawsze parzysta ich ilość.
Poniższa równość określa sposób rozkładu cyklu długości k na iloczyn transpozycji:
(a1, a2, a3, . . . , ak−1, ak) = (a1, ak) (a1, ak−1) . . . (a1, a3) (a1, a2) .
Definicja 1.14. Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę sgn σ = (−1)r, gdzie r jest liczbą czynnikóww rozkładzie permutacji σ na iloczyn transpozycji.
• Jeśli sgn σ = 1, to permutację σ nazywamy parzystą.
• Jeśli sgn σ = −1, to permutację σ nazywamy nieparzystą.
Definicja 1.15. Niech dana będzie permutacja:
σ =(
1 2 3 . . . s . . . t . . . nσ (1) σ (2) σ (3) . . . σ (s) . . . σ (t) . . . σ (n)
).
Mówimy, że liczby s, t tworzą inwersję, gdy:
s < t oraz σ (s) > σ (t) .
Np.
σ =(
1 2 3 4 5 6 76 4 2 3 7 5 1
)• Liczba 6 tworzy 5 inwersji.
• Liczba 4 tworzy 3 inwersji.
• Liczba 2 tworzy 1 inwersji.
• Liczba 3 tworzy 1 inwersji.
• Liczba 7 tworzy 2 inwersji.
• Liczba 5 tworzy 1 inwersji.
• Liczba 1 tworzy 0 inwersji.
Liczba wszystkich inwersji w permutacji σ wynosi 5 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 0 = 13.
Istnieje równoważna definicja „parzystości” permutacji:
Definicja 1.16 (równoważna definicji 1.14).Permutację σ ∈ Sn nazywamy parzystą, gdy dla n > 1 liczba inwersji w σ jest parzysta lub σ ∈ S1.Permutację σ ∈ Sn, n > 1 nazywamy nieparzystą, gdy liczba inwersji w σ jest nieparzysta.
5
1.3 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnikAnna Iwaszkiewicz-Rudoszańska, „Wstęp do algebry i teorii liczb”, Wyd. Naukowe UAM:
1. Pierścień wielomianów, str. 125-132
2. Pierścień liczb całkowitych (Podzielność w Z, NWD, NWW, algorytm Euklidesa), str. 52-63
Definicja 1.17. Mówimy, że liczba n dzieli liczbę a, co zapisujemy n | a wtedy i tylko wtedy, gdy istniejeliczba k ∈ Z taka, że a = kn.
Definicja 1.18. Liczbą naturalną d nazywamy największym wspólnym dzielnikiem liczb a1, a2, . . . , am,gdy
1. ∀ i ∈ {1, 2, . . . ,m} : d | ai oraz
2. ∀ c ∈ N : c | a1 ∧ c | a2 ∧ . . . ∧ c | am =⇒ c | d.
Piszemy wówczas d = (a1, a2, . . . , am).
Definicja 1.19. Liczbą naturalną w nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością różnych od zeraliczb a1, a2, . . . , am, gdy
1. ∀ i ∈ {1, 2, . . . ,m} : ai | w oraz
2. ∀ c ∈ N : a1 | c ∧ a2 | c ∧ . . . ∧ am | c =⇒ w | c.
Piszemy wówczas w = [a1, a2, . . . , am]. Gdy ∃ i ∈ {1, 2, . . . ,m} : ai = 0, to w = [a1, a2, . . . , am] = 0.
Twierdzenie 1.4. Niech R będzie dziedziną całkowitości. Niech f, g ∈ R[x] oraz współczynnik przy najwyższejpotędze x w wielomianie g będzie odwracalny. Istnieje wtedy dokładnie jedna para wielomianów q, r ∈ A[x], takaże:
f = gq + r oraz deg r < deg g.
Definicja 1.20. Niech f, g ∈ K[x], gdzie K jest dowolnym ciałem. Niech f 6= 0 lub g 6= 0. Najwięk-szym wspólnym dzielnikiem wielomianów f i g nazywamy wielomian unormowany h ∈ K[x], spełniającynastępujące warunki:
1. h|g oraz h|f ,2. dla każdego h′ ∈ K[x] takiego, że h′|f i h′|g zachodzi: h′|h.
Piszemy wtedy h = (f, g).
Definicja 1.21. Jeśli (f, g) = 1, to wielomiany f, g nazywamy względnie pierwszymi.
Definicja 1.22. Element a ∈ R nazywamy pierwiastkiem wielomianu f ∈ R[x], gdy f(a) = 0.
Twierdzenie 1.5 (Bézouta). Element a ∈ R jest pierwiastkiem wielomianu f ∈ R[x] wtedy i tylko wtedy, gdy(x− a)|f .
Twierdzenie 1.6. Niech n ∈ N. Wielomian n-tego stopnia o współczynnikach z dziedziny całkowitości ma conajwyżej n pierwiastków w tym pierścieniu.
Twierdzenie 1.7. Niech f = anxn + . . . + a1x + a0 ∈ Z[x]. Jeśli ułamek nieskracalny p
q jest pierwiastkiemwielomianu f , to p|a0 oraz q|an.
Twierdzenie 1.8 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian f ∈ C[x] stopnia dodatniego ma w cieleC pierwiastek.
Wniosek 1.8.1. Każdy wielomian f ∈ C[x] stopnia n ∈ N ma w ciele C dokładnie n pierwiastków, licząc zkrotnościami.
Twierdzenie 1.9. Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma pierwiastek w R.
6
1.4 ZadaniaZadanie 1.1. Wykonaj następujące działania:
a. − 14 + 2 w ciele Z5,
b. 1 + 12 + 1
3 + 15 w ciele Z7,
c. −2 · (1 + 23 ) + 3
2 w ciele Z5,d. − 1
2 + 1 w ciele Z3,e. 2 ·
(5−1 − 2 · 4
)w pierśc. Z6,
f. 16 − 3 ·
( 14 + 1
2)w ciele Z11.
Zadanie 1.2. Zbuduj tabelkę działania w S3.Zadanie 1.3. Niech σ = ( 1 2 3 4 5
2 1 5 4 3 ) , τ = ( 1 2 3 4 54 1 5 2 3 ). Oblicz: στ, τσ, σ−1τσ, τ−1σ.
Zadanie 1.4. Zapisz poniższe permutacje w postaci dwuwierszowej:a. σ = (1, 2, 4, 6), σ ∈ S7,b. τ = (3, 5, 4), τ ∈ S5.
Zadanie 1.5. Rozwiąż równania:a. (1, 2)x = (1, 3)(2, 4) w grupie S4,b. ( 1 2 3 4 5
3 5 2 4 1 )x ( 1 2 3 4 52 1 4 5 3 ) = ( 1 2 3 4 5
1 5 4 3 2 ) w grupie S5,c. ( 1 2 3
2 1 3 )x ( 1 2 33 1 2 )−1 = ( 1 2 3
1 3 2 ) w grupie S3,d. x ( 1 2 3 4 5
3 2 5 1 4 ) = ( 1 2 3 4 52 1 3 4 5 ) w grupie S5.
Zadanie 1.6. Daną permutację σ ∈ S10 przedstaw w postaci iloczynu transpozycji. Określ znak i parzystośćpermutacji σ.
a. σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 106 7 2 8 1 3 9 10 4 5 )
b. σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 2 6 8 10 1 4 5 7 9 )
c. σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010 1 3 5 4 8 9 7 6 2 )
d. σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 3 4 2 5 10 6 9 7 8 )
Zadanie 1.7. Oblicz f + g, f · g:a. f = 5X2 − (2 + i)X + i, g = iX + 13− i w pierścieniu C[X],b. f = 3X2 +X + 4, g = 2X2 + 3X + 3 w pierścieniu Z5[X],c. f = 2X4 + 3, g = −
(2X4 + 1
)w pierścieniu Z[X].
Zadanie 1.8. Wykonaj następujące dzielenia z resztą:a. X4 − 9X3 + 23X2 − 16X + 13 przez X − 5 w Z[X]b. 2X4 +X3 +X2 + 3X + 3 przez 3X2 +X + 4 w Z5[X]c. X5 + 4X4 + 3X2 + 2 przez 2X3 +X + 4 w Z5[X]d. 2X5 + 8X4 + 7X3 + 3X + 5 przez 3X3 + 7X2 + 5X + 1 w Z11[X]
Zadanie 1.9. Stosując metodę Hornera wykonaj następujące dzielenia z resztą:a. X5 + 2X4 + 5X3 + 13 przez X + 1 w Z[X]b. 3X5 + 7X4 − 5X3 − 14X2 − 12X − 4 przez X + 2 w Z[X]c. X4 + 5X3 + 2X2 + 4X + 3 przez X + 2 w Z7[X]d. X4 + 3X + 2 przez X + 4 w Z5[X]
Zadanie 1.10. Przy pomocy algorytmu Euklidesa wyznacz: (14, 35), (180, 252), (345, 6642), (1001, 765),(148, 684), (819, 702, 689), (3059, 2737, 943).Zadanie 1.11. Wyznacz element odwrotny do liczby
a. 35 w Z37 b. 125 w Z257 c. 637 w Z1734 d. 1633 w Z1734
Zadanie 1.12. Przy pomocy algorytmu Euklidesa wyznacz NWD(f, g), gdziea. f, g ∈ Z2[X], f(X) = X4 +X3 +X2 + 1, g(X) = X5 +X2 + 1b. f, g ∈ Z3[X], f(X) = X5 + 2X3 +X + 1, g(X) = X4 +X2 + 2c. f, g ∈ Z5[X], f(X) = X4 + 4X3 +X2 + 3, g(X) = X3 + 4X + 3d. f, g ∈ Z7[X], f(X) = X4 + 5X3 + 2X + 6, g(X) = X3 + 4X2 + 4X + 5e. f, g ∈ Z7[X], f(X) = X3 +X2 + 6X + 4, g(X) = X4 + 6X3 + 2X2 + 2f. f, g ∈ Q[X], f(X) = X3 −X2 − 4X + 4, g(X) = X2 −X − 6
7
Zadanie 1.13. Ile różnych działań można określić na zbiorze:
a. 2-elementowym?b. 3-elementowym?c. n–elementowym?
Zadanie 1.14. Czy:
a. dodawanie liczb,b. mnożenie liczb
jest działaniem wewnętrznym w zbiorze {0, 1, 2}, {−1, 0, 1}?
Zadanie 1.15. W którym zbiorze: N, {−1, 0, 1}, {0, 1}, {0} wzór:
a. a ? b = a2 + b2
b. a ? b = a− b
określa działanie (wewnętrzne)?
Zadanie 1.16. Określ czy zbiór (A, ?) jest grupą, grupą abelową:
a. a ? b = a2 + b− 1, a, b ∈ A, gdzie A = Z.b. a ? b = a+b
2 , a, b ∈ A, gdzie A = Q.c. a ? b = a+ b+ ab, a, b ∈ A, gdzie A = (−1,∞).d. a ? b = a+ b+ ab, a, b ∈ A, gdzie A = [−1,∞).e. a ? b = a+ b− 5, a, b ∈ A, gdzie A = Z.f. a ? b = 5log5 a+log5 b, a, b ∈ A, gdzie A = R+.g. a ? b = 3log3 a log3 b, a, b ∈ A, gdzie A = R+.h. (a1, a2) ? (b1, b2) = (a1b1, a1b2 + a2b1),
(a1, a2) , (b1, b2) ∈ A, gdzie A = (R \ {0})× R.
Zadanie 1.17. Stwórz tabelkę działania w Zn dla działań ·n, +n dla n = 2, 3, 4, 5. Określ jakie to strukturyalgebraiczne.
Zadanie 1.18. Wskaż wszystkie podgrupy grup: (Z6,+6) , (Z8,+8).
Zadanie 1.19. Niech D = R \ {0, 1} i niech dla i = 1, 2, . . . , 6 funkcje fi : D → D będą określone wzorami:
f1(x) = x, f2(x) = 11−x , f3(x) = x−1
x
f4(x) = 1x , f5(x) = 1− x, f6(x) = x
x−1 .
Sprawdź, czy składanie funkcji ◦ jest działaniem w G = {f1, f2, . . . , f6} (zbudować tabelkę). Czy para (G, ◦)jest grupą?
Zadanie 1.20. Sprawdzić, czy dana funkcja ϕ jest homomorfizmem grup. Jeśli jest, to wyliczyć jądro orazobraz i określić, czy jest to monomorfizm, epimorfizm, czy izomorfizm?
a. ϕ : Z→ Z, ϕ(a) := na, dla n ∈ N,b. ϕ : R→ R, ϕ(a) := a2,c. ϕ : R× → R×, ϕ(a) := a2,d. ϕ : R×>0 → R, ϕ(a) := log(a),e. ϕ : R→ R, ϕ(a) := |a|,f. ϕ : R× → R×, ϕ(a) := 3
√a,
g. ϕ : R→ R, ϕ(a) := 5a,h. ϕ : R× → R×, ϕ(a) := 5a,i. ϕ : Z→ Z/n, ϕ(a) := a (mod n), dla n ∈ N.
8
2 Rachunek macierzowy, macierz transponowana, macierz hermitowsko-sprzężona, metoda eliminacji Gaussa-Jordana
2.1 Wprowadzenie teoretyczneDefinicja 2.1. Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki:
1. Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer. Powyżejtego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer.
2. W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1. Ten niezerowy wyrazbędziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza.
3. Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje sięna lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza.
4. Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, żemacierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej.
Definicja 2.2. Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami ele-mentarnymi:
OE1. Zamiana miejscami dwóch wierszy.
OE2. Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K.
OE3. Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza.
Definicja 2.3. Rozróżniamy trzy typymacierzy elementarnych. Są to macierze E ∈ Mn(K), które powstająpo wykonaniu jednej operacji elementarnej na wierszach macierzy identycznościowej In. Zatem mamy macierzeelementarne typu:
E1; tego typu macierz powstaje po zamianie i-tego wiersza z j-tym w macierzy identycznościowej In,
E2; tego typu macierz powstaje poprzez pomnożenie i-tego wiersza macierzy identycznościowej In przez nie-zerowy skalar,
E3; tego typu macierz powstaje poprzez dodanie do i-tego wiersza macierzy identycznościowej In (niezerowej)wielokrotności j-tego wiersza tejże macierzy.
Definicja 2.4. Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanejmacierzy A.
Fakt 2.1. Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy.
Twierdzenie 2.1 (Kroneckera-Capellego). Niech [A|b] będzie macierzą rozszerzoną danego układu równań linio-wych. Wówczas ten układ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy:
rz[A|b] = rzA.
Ponadto, jeśli układ równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie, to jego rozwiązanie zależy ods = n− rzA parametrów.
Twierdzenie 2.2. Jeśli A ∈Mn,n (K), to następujące warunki są równoważne:
1. A jest macierzą odwracalną,
2. postać całkowicie zredukowana macierzy A jest macierzą identycznościową In,
3. rzA = n,
4. detA 6= 0,
5. dla każdego b ∈ Kn układ równań liniowych AX = b ma dokładnie jedno rozwiązanie,
6. jednorodny układ równań liniowych AX = θn ma tylko jedno rozwiązanie: x1 = x2 = . . . = xn = 0.
9
2.2 ZadaniaZadanie 2.1. Oblicz: A+ 3I, 3A, D +D,
(B +DT
)T, D +BT ,
AAT ,(AAT
)T, ATA, CTC, CCT , BDDT , CCTA, αB, ADBE, CTAE, gdzie:
A =
1 −1 20 2 3−1 1 1
, B =
2 0 13 0 1−1 1 0
0 1 −1
, C =
213
, D =
2 2 1 −10 1 2 11 2 −2 0
, E =
1 22 11 1
, α ∈ R
Zadanie 2.2. Wyznacz macierz hermitowsko-sprzężoną A∗ do macierzy A.
a. A =
0 2 + 3i i−2 + 3i 0 1
i −1 0
b. A =[
1 i−i 1
]
Zadanie 2.3. Znajdź postacie zredukowane i rzędy następujących macierzy:
a. A =
1 0 2 −2 1 4−1 1 −1 0 −1 1
2 0 1 −3 2 0
,b. B =
0 1 2 30 1, 5 3 4, 50 0 4 55 0 3 0
,c. C =
1 0 1 0 −12 1 0 −1 00 1 −1 1 41 1 1 0 2
,
d. D =
1 3 5 7 94 8 3 −2 57 1 4 7 54 4 4 4 20
.Zadanie 2.4. Znajdź postacie całkowicie zredukowane i rzędy następujących macierzy:
a. A =
1 0 2 −1 00 1 2 0 −1−1 0 0 −2 3
1 0 0 0 −10 1 0 1 41 1 1 −1 −1
,b. B =
1 2 −1 −1 −1 0 42 4 −2 0 0 0 −20 0 −1 0 1 −1 1
Zadanie 2.5. W zależności od parametru m ∈ R oblicz rząd poniższych macierzy:
a. A =[3m+ 7 m+ 26m− 5 2m− 2
]
b. B =
1 2m+ 5 m2 +m2 5m+ 10 3m2 + 3m3 6m+ 15 4m2 + 2m
c. C =
[2m2 + 9m− 5 m2 + 6m+ 52m2 + 8m− 10 m2 + 5m
]
d. D =
m+ 1 m m mm m+ 1 m mm2 m m2 m5m m 5m m
Zadanie 2.6. Wyznacz macierze odwrotne do podanych macierzy:
A =
1 2 10 1 40 0 −1
, B =
2 4 00 1 00 0 −1
, C =
−1 0 00 −1 01 1 −1
, D =
5 0 00 −10 00 0 −1897
.Zadanie 2.7. W zależności od parametru m przeanalizuj liczbę rozwiązań układu równań: −x1 − 2x2 − x3 = 0
2x1 + 3x2 + x3 = 2x1 +mx2 −mx3 = 1
Zadanie 2.8. (przykład 1.6, str 53, BG tom 1) Rozwiąż układ równań w ciele liczb rzeczywistych oraz w Z5. 2x1 + 4x2 + 6x3 = 184x1 + 5x2 + 6x3 = 24
2x1 + 7x2 + 12x3 = 40
10
Zadanie 2.9. Rozwiąż (metodą Gaussa) następujące układy równań w ciele liczb rzeczywistych:
a.
x1 + 3x2 + 5x3 = 22x1 + 7x2 + 9x3 = −13x1 + 8x2 + 7x3 = −7
b.
2x1 + 5x2 + 2x3 = 15x1 + 9x2 + 7x3 = 3x1 − 8x2 + 7x3 = 1
c.
x1 + 2x2 − x3 = 43x1 + 5x2 − 2x3 = 94x1 + 5x2 − x3 = 7
d.
x1 + 3x2 + x3 + 4x4 = 0
3x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 15x1 + x2 + 2x3 + 8x4 = 4
7x1 + 3x3 + 5x4 = 0
e.
x1 + 2x2 + 2x3 = 2x1 + 4x2 + 3x3 = 6
3x1 + 4x2 + 4x3 = 85x1 − 6x2 − 3x3 = 8
f.
x1 + 4x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 5x1 + 3x2 + x3 + 2x4 + 5x5 = 2x1 + 7x2 + 5x3 − 2x4 − 3x5 = 14
Zadanie 2.10. Rozwiąż układ równań:
a.
x+ 11y + z = 52x+ 2y = 6
5x+ 10y + 4z = 1w ciele Z13,
b.
x+ 2y + 3z = 12x+ y + z = 0
4x+ 3y + z = 3w ciele Z5,
c.
x+ 2y + 3z = 43x+ 4y + z = 4
2x+ 3y + 2z = 1w ciele Z5,
d.
x+ y + z = 0x+ 4y + 2z = 33x+ y + 4z = 3
w ciele Z5,
e.
2x+ y + 4z = 43x+ y + z = 0
2x+ 3y + 3z = 0w ciele Z5,
f.
x+ 3y + 5z = 64x+ 6y + 3z = 16x+ 5y + 4z = 5
w ciele Z7.
Zadanie 2.11. Znajdź wielomian f ∈ R[X] stopnia co najwyżej drugiego spełniający warunki:
a. f (1) = 5, f (2) = 10, f (3) = 17, b. f (−1) = 15, f (3) = 3, f (4) = 5.
Zadanie 2.12. Znajdź wielomian f ∈ R[X] stopnia co najwyżej trzeciego spełniający warunki:
a. f (1) = 7, f (2) = 1, f (3) = 1, f (4) = 13, b. f (−1) = 11, f (1) = 1, f (3) = 15, f (5) = 53.
Zadanie 2.13. Niech f ∈ R[x]. Reszta z dzielenia wielomianu f przez (x − 1) wynosi 1, reszta z dzieleniaprzez (x−2) wynosi −2, natomiast przy dzieleniu przez (x−3) otrzymujemy resztę −1. Jaką otrzymamy resztęz dzielenia wielomianu f przez wielomian (x− 1)(x− 2)(x− 3)?
Zadanie 2.14. Znajdź macierze odwrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy:
A =
1 3 2−2 −5 −7−1 −2 −4
, B =
−3 −4 −2 −2
1 −3 −1 10 3 1 02 2 1 1
, C =
−2 2 1−3 1 1
1 −4 −1
, D =
1 3 2−1 −4 1
0 −1 3
Zadanie 2.15. Rozwiąż układ równań liniowych AX = b, znajdując macierz odwrotną do macierzy współczyn-ników, gdzie:
a. A =
1 0 10 1 00 1 1
, b =
101
, b. A =
2 0 −1 11 1 −1 0−1 0 6 1
1 0 1 1
, b =
1010
Zadanie 2.16. Korzystając z rozkładu LU, znaleźć macierze odwrotne do następujących macierzy (o ile ist-nieją):
A =
1 3 52 7 93 8 7
, B =
1 2 −13 5 −24 5 −1
, C =
2 5 25 9 71 −8 7
, D =
1 2 21 4 33 4 4
11
3 Wyznacznik macierzy — opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego3.1 TeoriaDefinicja 3.1. Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej.
1. Jeżeli A = [a] ∈M1,1(K), to detA = a.
2. Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n−1 wierszach. Niech A ∈Mn,n(K)oraz niech Mi,j ∈Mn−1,n−1(K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza ij-tej kolumny. Ponadto niech
Aij = (−1)i+j detMij .
Element Aij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A. Przy tychoznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia
detA = a11A11 + a12A12 + · · ·+ a1nA1n
Twierdzenie 3.1 (Laplace’a). Jeżeli A ∈Mn,n(K), to zachodzą następujące wzory:
1. detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin dla każdego 1 ≤ i ≤ n,
2. detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj dla każdego 1 ≤ j ≤ n.
Definicja 3.2. Niech A ∈ Mn,n(K) będzie macierzą o współrzędnych aij ∈ K. Wówczas mówimy, że A jestmacierzą:
1. dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli aij = 0 dla i < j,
2. górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli aij = 0 dla i > j,
3. przekątniową(diagonalną), jeżeli aij = 0 dla i 6= j.
Własności 3.1 (Wyznacznika). Niech
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∈Mn,n(K).
1. Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to detA = 0.
2. Dla każdego c ∈ K i dla każdego 1 ≤ j ≤ n mamy
det
a11 · · · ca1j · · · a1na21 · · · ca2j · · · a2n...
.... . .
...an1 · · · can2 · · · ann
= cdetA
Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar.
3. Jeżeli macierze B , C ∈Mn,n(K) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać
B =
a11 · · · b1j · · · a1na21 · · · b2j · · · a2n...
......
an1 · · · bn2 · · · ann
C =
a11 · · · a1j + b1j · · · a1na21 · · · a2j + b2j · · · a2n...
......
an1 · · · anj + bn2 · · · ann
to detC = detA+ detB. Taka sama własność zachodzi dla wierszy macierzy.
12
4. Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to detA = 0.
5. Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się naprzeciwny.
6. Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), todetA = 0.
7. Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza),to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie.
8. Jeżeli A,B ∈Mn,n(K) to zachodzą następujące równości:
det(AB) = detA∑σ∈Sn
(sgn σ)bσ(1)1bσ(2)2 · · · bσ(n)n
detB =∑σ∈Sn
(sgn σ)bσ(1)1bσ(2)2 · · · bσ(n)n
gdzie Sn jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ ∈ Sn.
Twierdzenie 3.2 (Cauchy’ego). Jeżeli A,B ∈Mn,n(K), to
det(AB) = detAdetB.
Definicja 3.3. Dla macierzy kwadratowej A ∈Mn,n(K) definiujemy jej macierz dołączoną
AD =
A11 A21 · · · An1A12 A22 · · · An2...
.... . .
...A1n A2n · · · Ann
tzn AD jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczneAji.
Twierdzenie 3.3. Jeżeli A ∈ Gln(K), to zachodzi następujący wzór:
A−1 = 1detAA
D
Mamy następujący układ równań:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(3.1)
Twierdzenie 3.4. Jeżeli detA 6= 0, to układ równań (3.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane zapomocą wzorów
xi = detAxi
detA ,
dla 1 ≤ i ≤ n, gdzie Axi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnychukładu (3.1).
13
3.2 ZadaniaZadanie 3.1. Obliczyć następujące wyznaczniki:
a.
∣∣∣∣∣∣1 −1 12 3 0−1 1 1
∣∣∣∣∣∣, b.
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0 00 1 2 −11 1 −1 30 5 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣, c.
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0 00 1 2 −10 0 −1 30 0 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣.Zadanie 3.2. Wykazać, że wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej/górnotrójkątnj jest równy iloczynowi elemen-tów na przekątnej.
Zadanie 3.3. Wykaż, że jeśli liczba zer w macierzy stopnia n jest większa od n2 − n, to jej wyznacznik równyjest 0.
Zadanie 3.4. Wyprowadzić wzór na wyznaczniki macierzy 1× 1, 2× 2, 3× 3 z własności 8 wyznacznika.
Zadanie 3.5. Podać przykład macierzy A,B ∈M2(R) takich, że A 6= 0, B 6= 0 i AB = 0.
Zadanie 3.6. Niech c ∈ R, A ∈Mn(R) i detA = a. Oblicz det cA.
Zadanie 3.7. Niech a, b, c, d, t ∈ R. Stosując twierdzenie Cauchy’ego do macierzy
A =[
a b−bt a
], B =
[c d
−dt c
]udowodnić tożsamość (a2 + b2t)(c2 + d2t) = (ac− bdt)2 + (ad+ bc)2t.
Zadanie 3.8. Za pomocą wzorów Cramera rozwiąż następujący układ równań nad ciałem R:
a.{
4x1 − 7x2 = 35x1 − 6x2 = 4 b.
x1 − x2 + x3 = −13x1 − 4x2 + 5x3 = −54x1 − 5x2 + 9x3 = −8
c.
x1 + 3x2 + 4x3 = 12x1 + 4x2 + 7x3 = 2
4x1 + 9x2 + 11x3 = 5
Zadanie 3.9. Oblicz wyznaczniki:
a.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 9 100 29 230 −5 2 24 670 0 2 345 20 0 0 3 220 0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b.
∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 1 45 1 2 14 2 3 23 5 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
c.
∣∣∣∣∣∣∣∣2 2 3 31 2 0 −14 4 0 00 2 3 0
∣∣∣∣∣∣∣∣d.
∣∣∣∣∣∣4 3453 3457 6786 6781 9129 912
∣∣∣∣∣∣e.
∣∣∣∣∣∣9 4 38 4 37 3 2
∣∣∣∣∣∣
f.
∣∣∣∣∣∣8 4 37 3 29 4 3
∣∣∣∣∣∣g.
∣∣∣∣∣∣8 3 47 2 39 3 4
∣∣∣∣∣∣h.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 2 2 12 7 4 7 23 8 5 6 14 5 3 5 25 9 7 9 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Zadanie 3.10. Oblicz macierze odwrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją):
a. A =[7 94 5
]
b. B =
−1 0 1−4 3 −1
3 −1 −1
c. C =
3 0 13 1 3−4 0 −2
d. D =
−3 −2 −25 5 43 4 3
e. E =
cosα 0 sinα0 1 0
− sinα 0 cosα
Zadanie 3.11. Rozwiąż równania:
a.[2 51 3
]·[x11 x12x21 x22
]=[1 30 4
]b.
[−3 8−1 2
]·[x1x2
]=[20
] c.
x11 x12 x13x21 x22 x23x31 x32 x33
·2 1 2
3 2 34 1 2
=
1 2 00 1 00 2 1
14
4 Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeniliniowej (opracowano na podstawie BG „Elementy algebry linio-wej t. I”)
4.1 Wprowadzenie teoretyczneDefinicja 4.1. Zbiór V z wyróżnionym elementem θ = θV ∈ V oraz z dwoma działaniami:
+ : V × V → V — dodawania elementów V,
• : K × V → V — mnożenia elementów V przez elementy K,
nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K (lub przestrzenią wektorową nad ciałem K), jeślispełnione są następujące warunki:
1. (V,+, θ) jest grupą abelową z elementem neutralnym θ,
2. α • (v + w) = α • v + α • w, (α+ β) • v = α • v + β • v,
3. α • (β • v) = (αβ) • v,
4. 1 • v = v.
Równości z dodpunktów 2. – 4. zachodzą dla wszystkich v, w ∈ V oraz α, β ∈ K. Elementy przestrzeni liniowejnazywamy wektorami. Elementy ciała K nazywamy skalarami.
Definicja 4.2.
1. Układem wektorów przestrzeni liniowej V o wskaźnikach ze zbioru T nazywamy każdą funkcjęv : T → V . Wartość funkcji v na elemencie t ∈ T oznaczamy vt. Układ wektorów będziemy zapisywaćw postaci (vt)t∈T .
2. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałemK. Niech będzie dany układ wektorów S = (v1, v2, . . . , vm)z V oraz układ skalarów (α1, α2, . . . , αm) z K. Wektor:
v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm =m∑i=1
αivi
nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S. Skalary αi nazywamy współczynnikami tejkombinacji.
Liniową kombinację wektorów można zdefiniować dla dowolnego układu wektorów S = (vt)t∈T , gdzie T jestpewnym niekoniecznie skończonym zbiorem wskaźników. Należy jednak pamiętać, że po to, aby wyrażenie:∑
t∈Tαtvt
miało sens, trzeba założyć, że αt = 0 dla prawie wszystkich t ∈ T .
3. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech S = (vt)t∈T będzie pewnym układem wektorówz V . Weźmy układ skalarów (αt)t∈T ∈
∏t∈T K, taki że αt = 0 dla prawie wszystkich t ∈ T . Wektor:
v =∑t∈T
αtvt
nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S. Skalary αt nazywamy współczynnikami tejkombinacji.
4. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Mówimy, że wektory układu S = (v1, v2, . . . , vm) zV rozpinają przestrzeń V , jeśli każdy wektor v ∈ V jest kombinacją liniową wektorów vi, dla i =1, 2, . . . ,m. Oznacza to, że każdy wektor v ∈ V można zapisać w postaci:
v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm
dla pewnych skalarów α1, α2, . . . , αm ∈ K.
15
5. Niech będzie dany układ wektorów (v1, v2, . . . , vm) z przestrzeni V . Wtedy zbiór wszystkich kombinacjiliniowych:
L(v1, v2, . . . , vm) = {α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm : α1, α2, . . . , αm ∈ K}
wektorów v1, v2, . . . , vm nazywa się powłoką liniową układu wektorów (v1, v2, . . . , vm).
6. Niech v1, v2, . . . , vm ∈ V będą wektorami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Mówimy, że te wektory sąliniowo niezależne, gdy z równości:
α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm = θV
wynika, że wszystkie współczynniki są równe zero:
α1 = α2 = . . . = αm = 0.
Mówimy, że wektory v1, v2, . . . , vm ∈ V są liniowo zależne, gdy nie są liniowo niezależne.
Twierdzenie 4.1. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech S = (v1, v2, . . . , vm) będzie pewnymukładem wektorów z V . Niech będzie dany układ wektorów S0 = (vi1 , vi2 , . . . , vik ), gdzie vij dla 1 ≤ j ≤ k sąpewnymi wektorami układu S oraz liczby i1, i2, . . . , ik są parami różne. Wówczas:
1. Jeśli wektory z S są liniowo zależne, to jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.
2. Jeśli θV jest jednym z wektorów układu S, to układ S jest liniowo zależny.
3. Jeśli wektory układu S są liniowo niezależne, to wektory układu S0 są liniowo niezależne.
4. Jeśli wektory układu S0 są liniowo zależne, to wektory układu S są liniowo zależne.
Twierdzenie 4.2. Jeśli v1, v2, . . . , vn ∈ Km oraz n > m, to wektory v1, v2, . . . , vn są liniowo zależne.
Wniosek 4.2.1.
1. Każdy skończony układ liniowo niezależnych wektorów w Kn składa się co najwyżej z n wektorów.
2. Kolumny macierzy A ∈ Mm,n(K) są wektorami liniowo zależnymi w Km wtedy i tylko wtedy, gdy równaniemacierzowe:
AX = θm
ma niezerowe rozwiązanie ze względu na X.
Twierdzenie 4.3. Niech v1, v2, . . . , vn ∈ Kn będą pewnymi wektorami. Niech:
A =[v1 v2 . . . vn
]∈ Mn(K)
będzie macierzą, której kolumnami są wektory v1, v2, . . . , vn. Wtedy następujące warunki są równoważne:
1. Wektory v1, v2, . . . , vn są liniowo niezależne.
2. Układ równań liniowych AX = θn ma tylko jedno rozwiązanie w Kn.
3. detA 6= 0.
Twierdzenie 4.4. Niech S = (v1, v2, . . . , vn) będzie układem liniowo niezależnym w przestrzeni Kn. Wtedykażdy wektor w Kn jest kombinacją liniową wektorów z układu S, tzn. S rozpina przestrzeń Kn.
Definicja 4.3. Niech funkcje fi(x), i = 1, 2, . . . , n mają pochodne do rzędu n− 1 włącznie na przedziale (a, b).Wyznacznik postaci:
W (x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1(x) f2(x) . . . fn(x)f ′1(x) f ′2(x) . . . f ′n(x)
......
. . ....
f(n−1)1 (x) f
(n−1)2 (x) . . . f
(n−1)n (x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego lub wrońskianem dla funkcji f1, f2, . . . , fn w punkcie x ∈ (a, b).
16
Twierdzenie 4.5. Jeśli funkcje f1, f2, . . . , fn są liniowo zależne na przedziale (a, b), to ich wrońskian jesttożsamościowo równy zeru.Wniosek 4.5.1. Jeśli dla pewnego x0 ∈ (a, b), W (x0) 6= 0, to funkcje f1, f2, . . . , fn są liniowo niezależne.Definicja 4.4. Układ wektorów S = (vt)t∈T przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli są spełnionenastępujące warunki:1. Układ S jest liniowo niezależny.
2. Układ S rozpina przestrzeń V , tzn. V = L(S).W szczególności, jeśli skończony układ wektorów S = (v1, v2, . . . , vn) jest bazą przestrzeni V , to mówimy, że Vma bazę skończoną.Definicja 4.5. Niech dane będą dwa układy wektorów S1 = (vt)t∈T1 oraz S2 = (wt)t∈T2 przestrzeni V . Mówimy,że układ S1 zawiera układ S2, gdy T2 ⊂ T1 oraz wt = vt dla każdego t ∈ T2. Zawieranie układów zapisujemyS2 ⊂ S1.Twierdzenie 4.6. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech S = (vt)t∈T będzie danym układemwektorów w V . Wtedy następujące warunki są równoważne:
1. Układ S jest bazą przestrzeni V .
2. Każdy wektor v ∈ V da się jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów:
v =∑t∈T
αtvt,
gdzie vt ∈ S i αt są prawie wszystkie równe zero.
3. S jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V ze względu na relację zawierania układów.
4. S jest minimalnym układem ze względu na relację zawierania układów, które rozpinają przestrzeń V .Definicja 4.6. Niech S = (vt)t∈T będzie bazą przestrzeni liniowej V oraz niech v ∈ V .1. Układ skalarów (αt)t∈T taki, że αt = 0 dla prawie wszystkich t ∈ T oraz taki, że:
v =∑t∈T
αtvt,
nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy S i oznaczamy symbolem 〈v〉S .
2. W szczególności, jeśli V ma bazę skończoną S = (v1, v2, . . . , vn) oraz:
v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn,
to współrzędne wektora v ∈ V względem bazy S zapisujemy jako wektor z Kn w następujący sposób:
〈v〉S =
α1α2...αn
.Twierdzenie 4.7. Niech S = (v1, v2, . . . , vn) oraz S2 = (wt)t∈T będą bazami przestrzeni liniowej V . Wówczasbaza S2 też jest skończona i składa się z n wektorów.Definicja 4.7. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K.1. Jeśli V ma skończoną bazę S, to mówimy, że V jest przestrzenią skończenie wymiarową.
2. Liczbę elementów bazy S przestrzeni skończenie wymiarowej V nazywamy wymiarem przestrzeni Vi oznaczamy symbolem dimK V .
3. Jeśli przestrzeń V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa.Wniosek 4.7.1. Niech dimK V = n.
1. Jeśli S = (v1, v2, . . . , vm) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V , to m ≤ n.
2. Jeśli S = (v1, v2, . . . , vn) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V , to S jest bazą przestrzeni V .
17
Inne metody badania rzędu macierzyTwierdzenie 4.8. Niech A ∈ Mn,m(K). Zachodzą następujące równości:
rzA = rz(AAT ) = rz(ATA).
Definicja 4.8. Minorem macierzy A nazywamy wyznacznik każdej macierzy kwadratowej, utworzonej zmacierzy A w wyniku skreślenia odpowiedniej liczby kolumn i odpowiedniej liczby wierszy. Stopień tego wy-znacznika nazywamy stopniem minora.
Uwaga 1. Macierz A ∈ Mm,n(K) posiada minory k-tego stopnia dla każdego 1 ≤ k ≤ min(n,m).
Twierdzenie 4.9. Rząd macierzy A jest równy r wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. istnieje niezerowy minor stopnia r macierzy A.
2. każdy minor macierzy A stopnia wyższego niż r (o ile taki istnieje) jest równy zeru.
Uwaga 2. Dla dowolnej macierzy A ∈ Mm,n(K) prawdziwa jest nierówność:
0 ≤ rzA ≤ min(n,m).
Różne/wybrane metody badania liniowej zależności układu wektorów w przestrzeniliniowej Kn nad ciałem K
Niech S = (v1, v2, . . . , vm) będzie układem wektorów w przestrzeni Kn, i niech
vi =
vi1vi2...vin
dla każdego i ∈ {1, 2, . . . ,m}.
1. Jeśli m > n, to wektory v1, v2, . . . , vm są liniowo zależne.
2. Niech m ≤ n. Rząd macierzy A ∈ Mn,m(K) (A ∈ Mm,n(K)), której kolumnami (wierszami) są wektoryv1, v2, . . . , vm jest równy m wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo niezależne.
3. Niechm < n, A =
v11 v12 . . . v1nv21 v22 . . . v2n...
.... . .
...vm1 vm2 . . . vmn
. CzyliA jest macierzą, której wierszami są wektory v1, v2, . . . , vm.
det(AAT ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v1, v2, . . . , vm są liniowo zależne.
18
4.2 ZadaniaZadanie 4.1. Sprawdzić, czy dany zbiór jest przestrzenią liniową:
a. zbiór Rn z dodawaniem i mnożeniem przez skalar po współrzędnych
b. zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych
c. zbiór macierzy Mmn(R) z dodawaniem i mnożeniem przez skalar
d. zbiór macierzy kwadratowych Mn(R) z mnożeniem i mnożeniem przez skalar
e. zbiór wielomianów stopnia co najwyżej n o współczynnikach rzeczywistych (ozn. Rn[X]) z dodawaniemi mnożeniem przez skalar.
Zadanie 4.2. Sprawdzić, czy w przestrzeni V = K4 nad ciałem K, prawdziwa jest przynależność :
a. K = R, (4, 6, 4, 5) ∈ L{(1, 4, 6, 5), (5, 6, 2, 4)};
b. K = R, (3, 1, 5, 0) ∈ L{(1, 4, 8, 7), (1, 5,−5, 4), (1, 6, 0, 7)};
c. K = Z7, (1, 6, 5, 4) ∈ L{(2, 5, 3, 1)};
d. K = Z7, (4, 5, 3, 6) ∈ L{(1, 3, 4, 6), (1, 5, 1, 5), (1, 4, 3, 1)};
Zadanie 4.3. Sprawdzić, czy dane wektory przestrzeni V są liniowo zależne:
a. V = R3 nad ciałem R, wektory: (3,−1, 2), (−9, 3,−6);
b. V = R3 nad ciałem R, wektory: (4, 4, 1), (1, 4, 4);
c. V = R3 nad ciałem R, wektory: (1, 0,−4), (5, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 8);
d. V = Z35 nad ciałem Z5, wektory: (1, 1, 0), (4, 3, 1), (1, 4, 2);
e. V = CR nad ciałem R, wektory: 1, sin x, cosx;
f. V = CR nad ciałem R, wektory: 1, 2x, 3x, 6x;
g. V = C(0,∞) nad ciałem R, wektory: log x, log 2x, log 3x;
Zadanie 4.4. Sprawdź, czy wektory {(1, 0,−1), (1, 1, 3), (4, 1, 1)} tworzą bazę przestrzeni R3.
Zadanie 4.5. Wyznacz jedną z baz przestrzeni W nad ciałem R, gdzie:
a. W ={
(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : 2x1 + 3x2 + 4x4 = 0, 4x1 + 2x2 + 3x3 = 0}
b. W ={
(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : 2x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 0, x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 0, 4x1 + 4x2 + 2x3 + 4x4 = 0}
c. W ={
(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + 3x2 + 9x3 − 6x4 = 0, x1 + 7x2 + x3 − 2x4 = 0 2x1 + x2 + 7x3 − 5x4 = 0}
Zadanie 4.6. Zbadaj dla jakich x ∈ R trójka wektorów tworzy bazę R3
a. (x, 4, 1), (x, 1,−2), (5, x, 2)
b. (1, 3, 4), (2, 1, 5), (1, 8, x)
c. (3, 1, 4), (2, 2, 5), (5, 4x, 7x)
19
5 Macierz przejścia z bazy do bazy, macierz przekształcenia linio-wego, wartości własne, wektory własne, diagonalizacja macierzy
5.1 Wprowadzenie teoretyczneW poniższym opracowaniu:
K oznaczać będzie dowolne ciało,
V/K oznaczać będzie przestrzeń liniową V nad ciałem K.
5.1.1 Macierz przejścia z bazy do bazy
Definicja 5.1. Niech V/K będzie przestrzenią n-wymiarową (tzn. każda baza tej przestrzeni składa się z nwektorów), niech B1, B2 będą dwoma bazami tej przestrzeni.
B1 = (v1, . . . , vn)B2 = (w1, . . . , wn).
Zapisujemy wektory bazy B1 za pomocą wektorów bazy B2, jako kombinacje liniowe:
v1 = a11w1 + a21w2 + . . .+ an1wn
v2 = a12w1 + a22w2 + . . .+ an2wn
...vn = a1nw1 + a2nw2 + . . .+ annwn
i zapisujemy współrzędne wektora vi w bazie B2, w i-tej kolumnie macierzy A dla i = {1, 2, . . . , n}:
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...an1 an2 . . . ann
Powyższa macierz nazywa się macierzą przejścia z bazy B1 do B2.
Fakt 5.1.
1. Jeśli A jest macierzą przejścia z bazy B1 do bazy B2, to macierz A−1 jest macierzą przejścia z bazy B2do B1.
2. Jeśli A jest macierzą przejścia z bazy B1 do bazy B2, B jest macierzą przejścia z bazy B2 do B3, to BAjest macierzą przejścia z bazy B1 do B3.Ilustracja:
B1 B2 B3
B·A
A B
Uwaga 3. Niech V/K będzie dowolną przestrzenią liniową skończenie wymiarową oraz B′, B′′ będą dwomabazami tej przestrzeni. Niech v ∈ V będzie dowolnym wektorem. Niech ponadto M będzie macierzą przejścia zbazy B′ do B′′. Współrzędne wektora v względem bazy B′ i współrzędne względem bazy B′′ spełniają równanie:
〈v〉B′′ = M〈v〉B′ (5.1)
5.1.2 Macierz przekształcenia liniowego
Definicja 5.2. Niech V , W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Mówimy, że funkcja T : V → Wjest przekształceniem liniowym, gdy spełnia następujące warunki:
1. T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) dla każdego v1, v2 ∈ V ,
2. T (αv) = αT (v) dla każdego skalara α ∈ K i każdego wektora v ∈ V .
20
Jeśli V = W , to przekształcenie liniowe T nazywamy operatorem liniowym przestrzeni V lub endomor-fizmem liniowym przestrzeni V .
Definicja 5.3. Niech będą dane przestrzenie liniowe V i W nad ciałem K, których wymiarami są odpowiednion i m. Niech T : V →W będzie przekształceniem liniowym. W przestrzeni V wybieramy bazę:
BV = (v1, v2, . . . , vn),
a w przestrzeni W ustalamy bazę:BW = (w1, w2, . . . , wm).
Obrazy wektorów bazy BV przy przekształceniu T zapisujemy w postaci kombinacji liniowych wektorów bazyBW ze współczynnikami aij ∈ K:
T (v1) = a11w1 + a21w2 + . . .+ am1wmT (v2) = a12w1 + a22w2 + . . .+ am2wm. . .
T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . .+ amnwm
. (5.2)
Macierz AT ∈ Mm,n(K): a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
,której kolumnami są współrzędne wektorów T (vi) w bazie BW , uzyskane z równań (5.2), nazywa się macierząprzekształcenia T w bazach BV i BW .
Uwaga 4. Jeśli AT jest macierzą przekształcenia liniowego T : V →W w bazach BV , BW oraz AS jest macierząprzekształcenia liniowego S : W → Z w bazach BW , BZ , to:
AS◦T = AS ·AT
jest macierzą przekształcenia liniowego S ◦ T w bazach BV , BW .Ilustracja:
V W Z
S◦T
T S
Twierdzenie 5.1. Niech T : V → W będzie przekształceniem liniowym. Niech BV = (v1, v2, . . . , vn), BW =(w1, w2, . . . , wm) będą bazami przestrzeni V i W odpowiednio. Niech AT będzie macierzą przekształcenia T wbazach BV , BW . Niech v ∈ V będzie dowolnym wektorem. Wówczas zachodzi następujący wzór na współrzędnewektora T (v) w bazie BW :
〈T (v)〉BW= AT · 〈v〉BV
. (5.3)
Twierdzenie 5.2. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech S = (v1, v2, v . . . , vn) i S′ =(w1, w2, . . . , wn) będą bazami przestrzeni V . Wtedy macierz przejścia A od bazy S do bazy S′ jest równa macierzyprzekształcenia identycznościowego IdV : V → V w bazach S i S′.
5.1.3 Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne
Definicja 5.4. Niech A ∈ Mn,n(K).
1. Niezerowy wektor v ∈ Kn nazywamy wektorem własnym macierzy A, gdy istnieje taki skalar λ ∈ K,że:
Av = λv.
Skalar λ nazywamy wartością własną macierzy A odpowiadającą wektorowi v.
2. Macierz A − tIn o współczynnikach w pierścieniu wielomianów K[t] nazywamy macierzą charaktery-styczną macierzy A.
3. Równanie det(A− tIn) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A.
21
4. Wielomian fA(t) = det(tIn − A) = (−1)n det(A − tIn) ∈ K[t] nazywamy wielomianem charaktery-stycznym macierzy A.
5. Załóżmy, że wielomian charakterystyczny fA(t) ma k-krotny pierwiastek w ciele K, tzn.:
fA(t) = (t− λ)kg(t),
gdzie g(t) ∈ K[t] oraz g(λ) 6= 0. Wtedy liczbę k nazywamy krotnością algebraiczną wartości własnejλ.
Definicja 5.5. Niech T : V → V będzie przekształceniem liniowym określonym na skończenie wymiarowejprzestrzeni liniowej nad ciałem K.
1. Niezerowy wektor v ∈ V nazywamy wektorem własnym przekształcenia T , jeśli istnieje skalar λ ∈ Ktaki, że:
T (v) = λv.
Skalar taki nazywamy wartością własną przekształcenia T , która odpowiada wektorowi v.
2. Niech λ ∈ K będzie wartością własną przekształcenia liniowego T .
a. Zbiór Vλ = {v ∈ V : T (v) = λv} nazywamy przestrzenią własną przekształcenia T odpowiada-jącą wartości własnej λ.
b. Liczbę dimK Vλ nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej λ przekształcenia T .
Definicja 5.6. Śladem macierzy A = [aij ] ∈ Mn(K) nazywamy skalar:
trA = a11 + a22 + . . .+ ann ∈ K.
Fakt 5.2. Niech A ∈ Mn(K) oraz λ1, λ2, . . . , λn będą wartościami własnymi macierzy A. Wówczas zachodząnastępujące równości:
trA =n∑i=1
λi oraz detA =n∏i=1
λi.
5.1.4 Diagonalizacja macierzy
Definicja 5.7. Niech dana będzie macierz A ∈ Mn(K). Mówimy, że A da się sprowadzić do postacidiagonalnej, gdy istnieje B ∈ GLn(K) taka, że:
B−1AB jest macierzą diagonalną.
Twierdzenie 5.3. Niech A ∈ Mn(K) będzie macierzą, która ma n różnych wartości własnych λ1, λ2, . . . , λn ∈K. Załóżmy, że dane są wektory własne v1, v2, . . . , vn ∈ Kn macierzy A takie, że Avi = λivi dla 1 ≤ i ≤ n.
1. Wówczas układ S = (v1, v2, . . . , vn) stanowi bazę przestrzeni Kn.
2. Niech B =[v1 v2 . . . vn
]∈ Mn(K) oznacza macierz utworzoną ze współrzędnych wektorów własnych
vi (współrzędne wektora vi wpisujemy do i-tej kolumny macierzy B). Wtedy:
B−1AB = diag(λ1, λ2, . . . , λn).
W szczególności macierz A da się sprowadzić do postaci diagonalnej.
22
5.2 ZadaniaZadanie 5.1. Niech
B1 =
1−2
0
, 0
1−1
,−1
21
B0 =
100
,0
10
,0
01
będą danymi bazami przestrzeni R3. Wyznaczyć macierz przejścia z bazy B1 do B0.
Zadanie 5.2. Niech
B1 =
1−2
0
, 0
1−1
,−1
21
B2 =
10−1
,−2
12
, 0−1
1
będą danymi bazami przestrzeni R3. Wyznaczyć macierz przejścia z bazy B1 do B2.
Zadanie 5.3. Wyznacz współrzędne wektora:
a. v =
1−2
0
b. v =
012
w bazie B2 z Zadania 5.2.
Zadanie 5.4. Niech ϕ : R3 → R2, ψ : R2 → R3 będą przekształceniami liniowymi danymi wzorami:
ϕ
x1x2x3
=[
4x1 + 3x2 + x35x1 + 4x2 + 2x3
], ψ
([x1x2
])=
3x1 − x25x1 − 3x27x1 − 5x2
.Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego ϕ, ψ, ϕ ◦ ψ, ψ ◦ ϕ.
Zadanie 5.5. Przekształcenie liniowe ϕ : R2 → R3 określone jest przez macierz Aϕ w bazach standardowych
B20 =
([10
],
[01
]), B3
0 =
100
,0
10
,0
01
. Znaleźć wzór:
ϕ
([x1x2
]), jeśli Aϕ =
4 73 62 5
.Zadanie 5.6. Przekształcenie liniowe ϕ : R2 → R2 określone jest przez macierz Aϕ w bazach
B1 =([
51
],
[112
]), B2 =
([11
],
[43
]).
Znaleźć wzór:ϕ
([x1x2
]), jeśli Aϕ =
[−7 −8
3 5
].
23
Zadanie 5.7. Niech T : R3 → R3 będzie przekształceniem liniowym danym wzorem:
T
x1x2x3
=
x1 − x2 + x3x1 + x2 − x3−x1 + x2 + x3
.
Wyznaczyć macierz przekształcenia T w bazach B1 =
10−1
, 0
1−1
,1
10
, B2 =
020
,1
20
,0
02
.
Zadanie 5.8. Niech T : R2 → R2 będzie przekształceniem liniowym (endomorfizmem). Wyznaczyć wartościwłasne przekształcenia T oraz przestrzenie własne, gdzie:
T
([x1x2
])=[x1 + 4x2x1 + x2
].
Zadanie 5.9. Niech T : R3 → R3 będzie przekształceniem liniowym (endomorfizmem). Wyznaczyć wartościwłasne, wektory własne i przestrzenie własne przekształcenia T , gdzie:
T
x1x2x3
=
2x1 − x2 − x3x2 + x3
5x3
.Zadanie 5.10. Obliczyć wartości własne, wektory własne, krotność algebraiczną i geometryczną dla każdejwartości własnej macierzy:
A =
3 2 42 0 24 2 3
.Zadanie 5.11. Niech A ∈ Mn(R).
a. Niech n = 5. Niech 2+i, 1, 3 będą wartościami własnymi macierzy A oraz trA = 7. Wyznaczyć pozostałewartości własne macierzy A.
b. Niech n = 6. Niech i, 4 − 2i, 2 będą wartościami własnymi macierzy A oraz detA = 20. Wyznaczyćpozostałe wartości własne macierzy A.
c. Niech n = 8. Niech 3 − 5i, −8, −5 + 8i, 3, 3 będą wartościami własnymi macierzy A oraz trA = −6.Czy macierz A jest macierzą odwracalną?
Zadanie 5.12. Sprowadzić macierz A do postaci diagonalnej, gdzie:
a. A jest macierzą z zadania 5.8.
b. A jest macierzą z zadania 5.9.
Zadanie 5.13. Obliczyć An dla macierzy z zadania 5.12, dla dowolnego n ∈ N.
24