Specialioji Reliatyvumo teorija

Albertas Einšteinas (1879 – 1955)

Klasikinė teorija

000 ')(')'( vvdttvd

dtdr

dttvrd

dtdrv

Nejudančios ir judančios atskaitos sistemų ašys yra lygiagrečios.Judanti sistema juda išilgai vienos ašies Ox pastoviu greičiu.

PirmasisPirmasis RT RT PostulatasPostulatas

Visi fizikos dėsniai visose inercinėse atskaitos sistemose yra vienodi;

Bet...

1881 m. A. Maikelsonas (Michelson) ir E. Morlis (Morley) matavo šviesos greitį išilgai ir skersai Žemės trajektorijos.

Žemės greitis orbitoje apie 30 km/s. Matavimo tikslumas buvo apie 2 m/s. Jei šviesa vienodą atstumą išilgai ir skersai judėjimo krypties nueitų per skirtingą laiką (pagal klasikinės greičių sudėties taisyklę), jie būtų tai pastebėję. Tačiau buvo pastebėta, kad šviesos greičio reikšmės, nepriklausomai nuo šaltinio ar stebėtojo judėjimo, buvo vienodos.

Vadinasi, klasikinė greičių sudėties taisyklė šviesai netinka.

000 ')(')'( vvdttvd

dtdr

dttvrd

dtdrv

AntrasisAntrasis RT RT PostulatasPostulatas

Šviesos greitis vakuume visose inercinėse atskaitos sistemose

nepriklauso nuo šviesos šaltinio ar stebėtojo reliatyvaus judėjimo

(krypties ir greičio): visomis kryptimis šviesos greitis yra vienodas.

c = 299792456,2 m/s

Specialioji Reliatyvumo teorija - Postulatai

Specialioji reliatyvumo teorija (1905 m. A.Einšteinas) grindžiama dviem stebėjimų ir eksperimentų rezultatus apibendrinančiais postulatais:

1. Visi fizikos dėsniai visose inercinėse atskaitos sistemose yra vienodi;-------------------------------------------------

1. Šviesos greitis vakuume visose inercinėse atskaitos sistemose nepriklauso nuo šviesos šaltinio ar stebėtojo reliatyvaus judėjimo (krypties ir greičio): visomis kryptimis šviesos greitis yra vienodas. c = 299792456,2 m/s

Apibendrinimas:

1. Nėra tokio fizikinio eksperimento (atlikto inercinėje atskaitos sistemoje), kuriuo galėtume nustatyti inercinės atskaitos judėjimą.

2. Pereinant iš vienos atskaitos sistemos į kitą, šviesos greitis nesikeičia.

Specialioji Reliatyvumo teorija (SRT)

Lorenco transformacijos

Specialioji Reliatyvumo teorija – SRT

Kad išspręsti šių dviejų postulatų prieštaravimą, reikėjo sukurti tokią teoriją, kuri tenkintųabu postulatus. T.y., kad visose inrecinėse atskaitos sistemose mechanikos ir Elektromagnetizmo dėsniai būtų vienodi.

Tokią teoriją sukūrė A. Einšteinas 1905 m.

Ji vadinama specialioji reliatyvumo teorija. Ši teorija remiasi ne Galilėjaus, o Lorenco transformacijomis.

Lorenco transformacijos tenkina abu postulatus atsižvelgdamos į erdvės ir laiko savybes.

Naudojant Lorenco transformacijas, pereinant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą,nesikeičia nei mechanikos dėsniai, nei šviesos greitis.

Tačiau esant greičiams artimiems c, keičiasi kiti kinematiniai ir dinaminiai parametrai,kurie klasikinėje fizikoje buvo laikomi pastoviais ir nepriklausančiais nuo judėjimo greičio.

Esant mažiems, lyginant su c, greičiams Lorenco transformacijos virsta Galilėjaus transformacijomis ir fizikiniai reiškiniai aprašomi pagal klasikinius dėsnius.

Todėl Specialioji Reliatyvumo teorija yra bendresnė teorija, tinkanti bet kokiems greičiams,apjungianti mechanikos dėsnius su elektromagnetizmo dėsniais.

Lorenco transformacijos

Jeigu abiejose atskaitos sistemose laiko atskaitos pradžią pasirenkame tuo momentu, kai abiejųkoordinačių sistemos pradžios O ir O’ sutampa, tai Lorenco transformacijos užrašomos:

2

20

20

2

20

0

1,,,

1cv

xcvt

tzzyy

cvtvxx

Atvirkštinės transformacijos:

2

20

20

2

20

0

1,,,

1cv

xcvt

tzzyy

cvtvxx

Klasikinė teor.:,

Lorenco transformacijos

Lorenco transformacijose, tenkinančios SRT postulatus, transformuojamosne tik nagrinėjamo įvykio koordinatės, bet ir vyksmo laikas.

Laiko transformacijoje yra erdvinės koordinatės ir greitis.

Todėl laikas yra reliatyvus ir neatskiriamas nuo erdvės.

Kiekvienai inercinei atskaitos sistemai (IAS) yra savas laikas – visuose tos pačios IAS taškuose fizikiniai procesai vyksta vienoda sparta.

Tie patys procesai, aprašomi iš judančios IAS, atitiks skirtingą laiką, priklausantį nuo koordinatės ir greičio.

2

20

20

2

20

0

1,,,

1cv

xcvt

tzzyy

cvtvxx

Laiko transformavimo formulėse yra ir erdvinės koordinatės.

Taigi, laikas yra reliatyvus ir neatskiriamas nuo erdvės.

Erdvė ir laikas tarpusavyje susijęir tarytum sudaro keturmatęerdvės-laiko sistemą, dar

vadinamą:

• erdvės ir laiko kontinuumu,

• įvykių erdve arba

• Minkovskio erdve.

SRT – Vienalaikiškumo reliatyvumas

Du įvykiai vykstantys skirtinguose pasirinktos koordinačių sistemos taškuose vadinami vienalaikiais, jeigu jie įvyksta tą patį laiko momentą, pagal tos atskaitos sistemos laikrodį.

Nejudančios atskaitos sistemos S taškuose x1 ir x2, tuo pačiu metu (t1=t2=t0) įvyksta du tarpusavyje nesusiję įvykiai.

Šių įvykių laiką judančioje sistemoje S’ apskaičiuojame pasinaudoję laiko transformacijomis.

2

20

120

0

1

1cv

xcvt

t

Ir , o skirtumas:

2

20

220

0

2

1cv

xcvt

t

2

20

2120

12

1

)(

cv

xxcv

tt

SRT – Vienalaikiškumo reliatyvumas

2

20

120

0

1

1cv

xcvt

t

Ir skirtumas:

2

20

220

0

2

1cv

xcvt

t

2

20

2120

12

1

)(

cv

xxcv

tt

Jeigu du įvykiai, kurie atskaitos sistemoje S vyksta tuo pačiu metu:• tai t’1=t’2

ir jei tame pačiame taške:• tai x1= x2.

Vadinasi atskaitos sistemoje S’ jie yra taip pat vienalaikiai (t’1-t’2=0):

Tačiau įvykiai, vykstantys skirtinguose erdvės taškuose, sistemoje S’ jau yra nevienalaikiai:

0, 1221 ttxx

0, 1221 ttxx

SRT - Reliatyvistinis sutrumpėjimas

Sakykime judančios sistemos S’Atžvilgiu nejudantis strypas orientuotas išilgai O’x’ ašies.

Šioje atskaitos sistemoje strypo galųkoordinatės laikui bėgant nekinta, o savasis ilgis yra:

,120 xxl

Nejudančios sistemos S atžvilgiu strypas juda pastoviu greičiu v0

Tuo pačiu metu nejudančioje sistemoje (t1=t2=t0) išmatavę ilgį, gautume::

,12 xxl

Strypo ilgis

Reliatyvistinis sutrumpėjimas

,120 xxl

Tačiau atliekant Lorenco transformacijas iš nejudančios strypo atžvilgiu įjudančią sistemą, gauname:

,12 xxl

2

20

022

2

20

011

1,

1cvtvxx

cvtvxx

Jų skirtumas: įstatę l ir l0:2

20

1212

1cvxxxx

2

20

0 1cvll

Stebėtojui, kurio atžvilgiu kūnas juda, kūno tiesiniai matmenys yra trumpesni,negu matmenys nustatyti to stebėtojo, kurio atžvilgiu kūnas nejuda.

Judančios sistemos atžv.

Nejudančios sistemos atžv.

Kūnui judant v0=0.87c, jo matmuo judėjimo kryptimi sumažėja perpus.

Nejudančioje sistemoje S šie įvykiai įvyksta skirtinguose erdvės taškuose atitinkamais laiko momentais t1 ir t2. Laiko tarpas tarp įvykių šioje atskaitos sistemoje:

SRT – Laikotarpio pokytis

Pasirinkime judančioje sistemoje S’nejudantį tašką A. Sakykime, kad šiame taške vienas po kito laiko momentais t’1 ir t’2 įvyksta du įvykiai.Laiko tarpas tarp įvykių šioje sistemoje bus:

,12' ttt ,12 ttt

SRT – Laikotarpio pokytis

,12' ttt

Tame pačiame erdvės taške nejudančios sistemosatžvilgiu laikai bus:

ir , o jų skirtumas bus laiko tarpas tarp įvykių

,12 ttt

constxx A

2

20

20

1

1

1cv

xcvt

tA

2

20

20

2

2

1cv

xcvt

tA

2

20

1212

1cvtttt

arba:

2

20

'

1cvtt

Laikotarpio pokytis

Laiko tarpas yra reliatyvus ir priklauso nuo judančios atskaitos sistemos judėjimo greičio nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu.

Judančioje atskaitos sistemoje laiko tekmėvyksta lėčiau nejudančios sistemos

atžvilgiu,t.y. judantis laikrodis eina lėčiau negu nejudantis.

Jeigu judėjimo greitis yra v<<c abiejose sistemose laiko tarpas tarp įvykiųyra vienodas, t.y. turime klasikinės mechanikos atvejį.

2

20

'

1cvtt

nejudančioje sistemoje laikas tarp

įvykių:

Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė greičių sudėtis

Nejudančioje atskaitos sistemoje S materialiojo taško greičio v projekcijos ašyse yra:

dtdzv

dtdyv

dtdxv zyx ,,

Judančioje atskaitos sistemoje S’, greičio v’ projekcijos:

tdzdv

tdydv

tdxdv zyx

,,

Iš Lorenco transformacijų, pakeitę x ir x’ į dx ir dx’ gauname:

2

20

20

2

20

0

1,,,

1cv

xdcvtd

dtzddzyddy

cvtdvxddx

Padaliję visus koordinačių diferencialus iš laiko diferencialo.

/ :dt’

Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė greičių sudėtis

Gauname greičio projekcijų sudėties reliatyvistines formules:

20

2

20

20

2

20

20

0

1

1,

1

1,

1cvvcvv

v

cvvcvv

v

cvvvvv

x

z

zx

y

yx

xx

Taip pat ir atvirkštinės greičio projekcijų sudėties formules:

20

2

20

20

2

20

20

0

1

1,

1

1,

1cvvcvv

v

cvvcvv

v

cvvvvv

x

z

zx

y

yx

xx

Kadangi atskaitos sistema juda išilgai Ox ašies kryptimi, projekcija vx lygi greičio moduliui, O projekcijos vy ir vz lygios nuliui. Taip pat ir atvirkštinėms greičio sudėties formulėms:

0,0,0,0, zyxzyx vvvvirvvvv

Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė greičių sudėtis

Todėl gauname vienos krypties greičių sudėties išraišką:

20

0

20

0

11cvvvvvir

cvvvvv

Vadinamą reliatyvistiniu greičio projekcijų sudėties dėsniu:

Pagal šį dėsnį galima įsitikint, kad šviesos greitis abiejose sistemose yra vienodas.

Tarkime, kad atskaitos sistema S’ juda atžvilgiu S greičiu v0=c. Sistemoje S’ šviesos greitis vakuume v’=с. Tada šviesos greitis nejudančioje sistemoje bus:

Todėl, Lorenco transformacijos, iš kurių išvesta reliatyvistinio greičių sudėties dėsnio formulė.tenkina antrąjį SRT postulatą.

Jeigu greičiai v0, v ir v’ maži, lyginant su c, reliatyvistinės greičių sudėties formulės virsta klasikinėmis.

c

cccccv

21

Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė dinamika

Pagal SRT pirmąjį postulatą, visi fizikos dėsniai visose inercinėse atskaitos sistemose yra vienodi.

Mechanikoje šis postulatas gali būti patenkintas tik naudojant Lorenco transformacijas.

Mechanikos dėsniai, tenkinantys šią salygą ir aprašantys kūnų judėjimą ir jįsukėlusias priežastis vadinami reliatyvistines mechanikos dėsniais.

Fizikos šaka, tirianti kūnų judėjimą esant greičiams artimiems c, vadinama Reliatyvistine mechanika.

Reliatyvistinėje dinamikoje įrodoma, kad II Niutono dėsnis vienodas visose inercinėse atskaitos sistemose tik tuomet, kai impusas išreiškiamas:

dydį: vadiname reliatyvistine mase.v

cv

mp

2

20

1

2

20

1cv

mmr

0m - dydį, kai v=0, vadiname mase.

Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė dinamika

Reliatyvistinės masės išraiška rodo, kad reliatyvistinė masė yra didesnė už rimties masę ir priklauso nuo judančio kūno greičio Nejudančios atskaitos sistemos atžvilgiu.

Kūno greičiui artėjant į c, reliatyvistinė masė artėja link begalybės.2

20

1cv

mmr

Naudojantis reliatyvistine impulso išraiška II Niutono dėsnis užrašomas:

Fv

cv

mdtd

dtpd

2

20

1

Specialioji Reliatyvumo teorija – Masės ir energijos sąryšis

SRT įrodė universalųjį kūno reliatyvistinės masės ir pilnutinės energijos sąryšio dėsnį:

2

2

202

1c

cv

mcmW r

Ši lygtis sieja energiją su reliatyvistine mase ir teigia, kad masė ir energija viena be kitos neegzistuoja ir visada proporcingos viena kitai.

Iš šios lygties seka, kad nejudančio kūno ar dalelės energija lygi:

Ši energija vadinama rimties energija.

200 cmW

Tačiau, Masė nevirsta energija, ir energija nevirsta mase.

Specialioji Reliatyvumo teorija – Reliatyvistinė Kinetinė energija

Atėmę iš kūno pilnutinės energijos rimties energiją, gauname reliatyvistinę kinetinę energiją:

11

1

2

2

200

cv

cmWWWk

Kai kūno greitis žymiai mažesnis už c, gauname klasikinę kinetinės energijos išraišką:

21

2111

1

1 2

2

22

0

2

2

20

mvcvcm

cv

cmWk